Defina estrategia. Represente el juego en forma normal o estratégica.
Defina estrategia. Represente el juego en forma normal o estratégica.
Defina estrategia. Represente el juego en forma normal o estratégica.
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Considere <strong>el</strong> sigui<strong>en</strong>te <strong>juego</strong> <strong>en</strong> <strong>forma</strong> ext<strong>en</strong>siva:<br />
1<br />
I<br />
D<br />
(i) <strong>Defina</strong> <strong>estrategia</strong>. <strong>Repres<strong>en</strong>te</strong> <strong>el</strong> <strong>juego</strong> <strong>en</strong> <strong>forma</strong> <strong>normal</strong> o <strong>estratégica</strong>.<br />
(ii) <strong>Defina</strong> <strong>estrategia</strong> (estrictam<strong>en</strong>te) dominada. ¿Qué combinaciones de<br />
<strong>estrategia</strong>s sobreviv<strong>en</strong> a la Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictam<strong>en</strong>te<br />
Dominadas (EIEED)?<br />
(iii) <strong>Defina</strong> equilibrio de Nash. Obt<strong>en</strong>ga los equilibrios de Nash.<br />
(iv) <strong>Defina</strong> equilibrio perfecto <strong>en</strong> sub<strong>juego</strong>s. Obt<strong>en</strong>ga los equilibrios perfectos <strong>en</strong><br />
sub<strong>juego</strong>s.<br />
(i) Definición de Estrategia.<br />
2<br />
L<br />
M<br />
L<br />
M<br />
(3, 6)<br />
“Una <strong>estrategia</strong> de un jugador es una descripción completa de lo que haría <strong>en</strong> caso de<br />
ser llamado a jugar <strong>en</strong> cada uno de sus nodos de decisión. Hay que especificarlo incluso<br />
<strong>en</strong> aqu<strong>el</strong>los nodos que no fueran alcanzables para él dado <strong>el</strong> comportami<strong>en</strong>to actual d<strong>el</strong><br />
otro o de los otros jugadores”. Es un plan de comportami<strong>en</strong>to o plan de conducta.” (Es<br />
una función <strong>en</strong> la que cada jugador asigna una acción a cada nodo que le corresponde.<br />
1<br />
1<br />
1<br />
a<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
b<br />
2<br />
(4, 3)<br />
(5, 7)<br />
(3, 4)<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
(6, 5) a<br />
(2, 5)<br />
(1, 3)<br />
(3, 2)<br />
(8, 4)
Una <strong>estrategia</strong> de un jugador ti<strong>en</strong>e tantas compon<strong>en</strong>tes como conjuntos de in<strong>forma</strong>ción<br />
t<strong>en</strong>ga <strong>el</strong> jugador.)<br />
Juego <strong>en</strong> <strong>forma</strong> <strong>normal</strong>.<br />
(ii) Definición: Estrategia (estrictam<strong>en</strong>te) dominada<br />
“Decimos que una <strong>estrategia</strong> está estrictam<strong>en</strong>te dominada para un jugador si existe otra<br />
<strong>estrategia</strong> que conduce a mejores resultados cualesquiera que sean las <strong>estrategia</strong>s<br />
seguidas por los demás jugadores”.<br />
dd d d dd<br />
“ s está estrictam<strong>en</strong>te dominada si ∃s tal que Π ( s , s ) > Π ( s , s ), ∀s ∈ S ”.<br />
i i i i −i i i −i −i −i<br />
Estrategias estrictam<strong>en</strong>te dominadas:<br />
Iaa (por Dab y Dbb); Iab (por Dab y Dbb); Daa (por Dab y Dbb) y Dba (por Dab y<br />
Dbb).<br />
1<br />
Iab<br />
Iba<br />
Lx<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
Ibb (3, 6)<br />
Ly<br />
Iaa (3, 6) (3, 6)<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
Daa (4, 3) (4, 3)<br />
Dab<br />
Dba<br />
(5, 7)<br />
(4, 3)<br />
Dbb (5, 7)<br />
(5, 7)<br />
(4, 3)<br />
(5, 7)<br />
2<br />
(2, 5)<br />
(2, 5)<br />
(3, 2)<br />
(3, 2)<br />
2<br />
Mx<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
My<br />
(1, 3)<br />
(1, 3)<br />
(8, 4)<br />
(8, 4)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)
Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictam<strong>en</strong>te Dominadas (EIEED)<br />
1ª Etapa: Iaa, Iab, Daa y Dba son <strong>estrategia</strong>s estrictam<strong>en</strong>te dominadas. Las <strong>el</strong>iminamos<br />
y computamos <strong>el</strong> <strong>juego</strong> reducido.<br />
2ª Etapa: Mx y My son <strong>estrategia</strong>s estrictam<strong>en</strong>te dominadas (por Lx y Ly) d<strong>el</strong> <strong>juego</strong><br />
reducido. Las <strong>el</strong>iminamos y computamos <strong>el</strong> <strong>juego</strong> reducido.<br />
3ª Etapa: Iba e Ibb son <strong>estrategia</strong>s estrictam<strong>en</strong>te dominadas (por Dab y Dbb) d<strong>el</strong> <strong>juego</strong><br />
reducido. Las <strong>el</strong>iminamos y computamos <strong>el</strong> <strong>juego</strong> reducido.<br />
Estrategias que sobreviv<strong>en</strong> a la EIEED: (Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb,<br />
Ly)<br />
1<br />
Iab<br />
Iba<br />
Lx<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
Ibb (3, 6)<br />
Ly<br />
Iaa (3, 6) (3, 6)<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
(3, 6)<br />
Daa (4, 3) (4, 3)<br />
Dab<br />
Dba<br />
(5, 7)<br />
(4, 3)<br />
Dbb (5, 7)<br />
(5, 7)<br />
(4, 3)<br />
(5, 7)<br />
2<br />
Mx<br />
(2, 5)<br />
(2, 5)<br />
(3, 2)<br />
(3, 2)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
3<br />
My<br />
(1, 3)<br />
(1, 3)<br />
(8, 4)<br />
(8, 4)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5)
(iii) Definición de equilibrio de Nash.<br />
“Una combinación de <strong>estrategia</strong>s s * * *<br />
≡ (s1 ,...,sn ) constituye un equilibrio de Nash si<br />
la <strong>estrategia</strong> de cada jugador es la mejor respuesta (o al m<strong>en</strong>os una de <strong>el</strong>las) ante las<br />
<strong>estrategia</strong>s seguidas por los otros jugadores.” Es decir, s * * *<br />
≡ (s1 ,...,sn ) es un equilibrio<br />
* *<br />
de Nash si: si ∈MRi (s−i )∀i,i =1,...,n<br />
* ' ' * * '<br />
donde MRi (s−i ) = { si ∈Si : Πi (si ,s−i ) ≥ Πi (si ,s−i ), ∀si ∈Si ,si ≠ si }.<br />
Equilibrios de Nash<br />
(Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb, Ly)<br />
(iv) Definición de equilibrio perfecto <strong>en</strong> sub<strong>juego</strong>s.<br />
“Una jugada o combinación de <strong>estrategia</strong>s s * * *<br />
≡ (s1 ,...,sn ), que sea equilibrio de Nash,<br />
constituye un equilibrio perfecto <strong>en</strong> sub<strong>juego</strong>s si las partes r<strong>el</strong>evantes de las <strong>estrategia</strong>s<br />
de equilibrio de cada uno de los jugadores son también de equilibrio para cada uno de<br />
los sub<strong>juego</strong>s.”<br />
1<br />
I<br />
D<br />
2<br />
L<br />
M<br />
L<br />
M<br />
(3, 6)<br />
1<br />
1<br />
En <strong>el</strong> <strong>juego</strong> sólo hay dos sub<strong>juego</strong>s: <strong>el</strong> que comi<strong>en</strong>za <strong>en</strong> <strong>el</strong> nodo superior d<strong>el</strong> jugador 1 y<br />
<strong>el</strong> que coincide con <strong>el</strong> propio <strong>juego</strong>. Consideramos <strong>el</strong> primero de <strong>el</strong>los y exigimos que<br />
4<br />
a<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
b<br />
2<br />
(4, 3)<br />
(5, 7)<br />
(3, 4)<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
(6, 5) a<br />
(2, 5)<br />
(1, 3)<br />
(3, 2)<br />
(8, 4)
las partes r<strong>el</strong>evantes de las <strong>estrategia</strong>s de equilibrio sean también de equilibrio <strong>en</strong> este<br />
sub<strong>juego</strong>.<br />
En este sub<strong>juego</strong> la combinación de <strong>estrategia</strong>s (b, y) es <strong>el</strong> único equilibrio de Nash.<br />
Computamos <strong>el</strong> <strong>juego</strong> reducido <strong>en</strong> <strong>el</strong> que hemos <strong>el</strong>iminado todos aqu<strong>el</strong>los<br />
comportami<strong>en</strong>tos que no son de equilibrio <strong>en</strong> <strong>el</strong> sub<strong>juego</strong> superior y vamos al anterior<br />
sub<strong>juego</strong> que coincide con <strong>el</strong> propio <strong>juego</strong> y que comi<strong>en</strong>za <strong>en</strong> <strong>el</strong> nodo inicial d<strong>el</strong> jugador<br />
1.<br />
1<br />
Iba Ly Ly<br />
Dba<br />
I<br />
D<br />
1<br />
My<br />
a<br />
b<br />
2<br />
L<br />
L<br />
2<br />
M<br />
M<br />
s 1 MR 2 s2<br />
MR 1<br />
Ibb Ly<br />
Dbb<br />
Ly<br />
My<br />
Dbb<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
Iba, Ibb<br />
(3, 6)<br />
1<br />
1<br />
5<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
(2, 5)<br />
(1, 3)<br />
(3, 2)<br />
(8, 4)<br />
b<br />
2<br />
(4, 3)<br />
(5, 7)<br />
(3, 4)<br />
(6, 5) a<br />
y<br />
(8, 4)
En <strong>el</strong> <strong>juego</strong> reducido la combinación de <strong>estrategia</strong>s (Dbb, Ly) es <strong>el</strong> único equilibrio de<br />
Nash. Por tanto, (Dbb, Ly) es <strong>el</strong> único EPS.<br />
No EPS: (Dab, Lx), (Dab, Ly) y (Dbb, Lx) ya que las partes r<strong>el</strong>evantes de las<br />
<strong>estrategia</strong>s no son de equilibrio <strong>en</strong> <strong>el</strong> sub<strong>juego</strong> superior.<br />
6