Transformada Discreta de Fourier (DFT) - Tecnun

17/11/99 

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal 

Transformada Discreta de Fourier 

(DFT) 

❒ Transformada Discreta de Fourier 

❒ FFT (Fast Fourier Transform) 

Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT) 

1

17/11/99 



❒ Antes de definir la DFT, analizaremos primero la Transformada 

de Fourier en tiempo discreto (DTFT). 

❒ La DTFT describe el espectro de señales discretas. Deduciremos 

la DFT a partir de la convolución discreta explicada en el 

Capítulo 2. 

❒ Allí se definió la convolución discreta como 

◆ Si tenemos una señal de entrada armónica x[n]=exp(j2πnft s ), la 

respuesta y[n] es 

[] = [] ∗ [] = [] [ − ] 

yn xn hn x kh n k 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ 

k=−∞ 

s s 

[] = exp [ 2π( 

− ) ] ⋅ [] 

yn j n k ft hk 

k=−∞ 

∞ 

∑ 

[] [] ( ) 

= exp( j2πnft ) exp( −j2πkft ) ⋅ h k = x n ⋅Hf 

s s 

k=−∞ 

◆ H(f) es la DTFT de la señal discreta h[n]. Nótese que la función H(f) 

es periódica, debido a que h[n] es una función discreta. 

s 


2

17/11/99 


❒ Se define la DTFT de una señal discreta x[n] como 

∞ 

X( f) = ∑x[] k exp( −j2πkfts) 

k=−∞ 

❒ Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT 


◆ Tenemos una señal periódica continua x p (t). Mediante las series de 

Fourier transformamos esa señal periódica continua en una función 

aperiódica y discreta (los coeficientes espectrales X S [k]). 

X k 

1 

T 

[] = x () t exp( − j2πkf t) dt x () t = X [] k exp( 

j2πkf t) 

S p 

T 

∫ ∑ =−∞ 

0 p S 

0 

k 

◆ De una manera dual, podemos intercambiar tiempo y frecuencia de 

forma 1 

x [] k = X ( f ) exp( 

j2πkft 

) df X ( f ) = 

∞ 

x [] n exp( 

− j2πkft 

) 

S 

S 

F 

∫ 

S 

F 

P 

s 

donde S F =1/t s . Ahora tenemos una señal aperiódica discreta x s [k] y la 

transformamos en una señal periódica continua (X p (f)) mediante la 

DTFT. 

P 

∞ 

∑ 

S 

k= 

−∞ 


s 

3

17/11/99 



◆ El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se 

manifiesta en lo siguiente : 

✦ En las series de Fourier parto de una señal x(t), temporal, continua y periódica 

(periodo T) y obtengo los coeficientes X[k], que es una función de la 

frecuencia, aperiódica y discreta con una distancia entre dos valores 

consecutivos de f 0 =1/T. 

✦ En la DTFT parto de una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de 

muestreo t s =1/f s y aperiódica y obtengo una función X(f), que es función 

continua de la frecuencia y periódica con periodo f s . 

◆ Todas las propiedades que se vieron para las series de Fourier tienen su 

correspondientes equivalencias en la DTFT. 

◆ Ejemplo : DTFT de la secuencia x[n]=δ[n] : 

∞ 

X( f ) = ∑δ[] k exp( 

− j2πkfts ) = 1 

k=−∞ 

Si tenemos una secuencia x[n]={1,0,3,-2}, a partir de la anterior ecuación 

y aplicando la propiedad del desplazamiento, 

( π ) ( π 

) 

X( f) = 1+ 3exp −j4 ft −2exp −j6 

ft 

s s 


4

17/11/99 



❒ Sin embargo, a la hora de realizar operaciones tenemos los 

mismos problemas que en las series de Fourier ya que 

seguimos tratanto con señales continuas o con series de datos 

de longitud infinita. La electrónica nos obliga a trabajar con 

un número finito de datos discretos que además tienen una 

precisión finita. 

❒ De lo que se trata es de conseguir discretizar las variables 

continuas y de limitar el números de muestras en los dos 

dominios (temporal y frecuencial). 

❒ Esto nos lleva a definir las series discretas de Fourier y la 

Transformada Discreta de Fourier (DFT). 


5

17/11/99 



❒ De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier 

◆ Para las Series de Fourier se cumple (f 0 =1/T) 

◆ Para limitar x p (t), tomamos N muestras de x p (t) durante un periodo a 

intervalos t s , de forma que N·t s =T. Al calcular los coeficientes X[k] me 

queda, 

∞ 

= ∑ ∫T 

k= 

−∞ 

P 

S 

S 

P x 0 

0 

T 

() t X [] k exp( j2πkf 

t) 

X [] k = x () t ⋅exp( 

− j2πkf 

t) 

X 

1 

Nt 

[] k = x [] n ⋅exp( 

− j2πkf 

nt ) 

= 

1 

N 

s 

N −1 

n= 

0 

N −1 

∑ 

∑ 

n= 

0 

x 

P 

P 

◆ La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica 

muestreada x P [n]. 

0 

1 

s 

⋅t 

⋅dt 

[] n ⋅exp( 

− j2πkn 

/ N ) k = 0, 

1, 

2 , N −1 

s 


6

17/11/99 


❒ De la DTFT a la DFT 


◆ Tenemos una señal x[n] limitado a N muestras con un periodo de 

◆ 

muestreo ts . 

La DTFT se define como 

N−1 

X P( f ) = ∑x[ n] ⋅exp( − j2πnfts) ◆ X P (f) es periódica con periodo 1/t s . Muestreamos esta señal N veces 

sobre un periodo, por tanto X T [k] será sustituir f por k/(Nt s ) : 

◆ Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta de 

Fourier de una señal x[n]. Excepto por el término 1/N es idéntica a la 

Serie Discreta de Fourier. 

n= 

0 

[ ] 

N−1 

[ ] = ∑ [ ] ⋅exp − 2π 

/ ( ) 

X k x n j nkt Nt 

T s s 

n= 

0 

N−1 

∑ 

[ ] [ π 

] 

= xn⋅exp − j2 nk/ N k= 012 , , , , N−1 

n= 

0 


7

17/11/99 


❒ Transformada Discreta inversa (IDFT), 

[] [] ( π ) 

xn 

N−1 

1 

= ∑XT 

k exp j2 nk / N n = 012 , , , , N −1 

N 

k= 

0 

❒ Convolución Circular o Cíclica 


◆ La convolución normal entre dos señales periódicas es cero o infinito. Para 

este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias x p [n] y 

h p [n] con periodo N : 

[] = [] • [] = x [] k h [ n−k] y n x n h n 

1 

N 

p p p p p 

k= 

0 

◆ La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo 

tamaño. Si no fuera así habría que llenar de ceros la secuencia más corta. 

N−1 

∑ 


8

17/11/99 


❒ Propiedades de la DFT 

Simetria Conjugada 

Linealidad 

Desplazamiento 

Modulacion 

Producto 

Simetria 

Conjugado 

Convolucion Circular 

Correlacion 

Ecuacion de Parseval 

[ − ] = 

∗ 

[ ] = [ − ] 

[] + [] ↔ [] + [] 

XT k XT k XT N k 

αxn βynαXkβYk [ ] [] exp ( 2π 

/ ) [] 

[] [ ] 

[][] ↔ X [] k •Y 

[] k 

∗ 

[ − ] ↔ [ − ] = [ ] 

∗ 

[] ↔ 

∗ 

T[ 

− ] 

[] • [] ↔ [] [] 

∗ 

[] • [ − ] ↔ [] 


xn−m↔ X k ⋅ − j km N = X k ⋅W 

−nm 

W ⋅x n ↔ X k −m 

N 

xnyn 

1 

T 

N 

T 

x n X k X k 

x n X k 

xn yn X kY k 

T T 

T T 

km 

N 

T 

T T 

T T 

[] 

xn y n XT ∗ 

kYT 

k 

2 

∑ xn [] 

1 

2 

= ∑ XT[] k 

N 


9

❒ Ejemplos 

17/11/99 


◆ x[n]={1,2,1,0} 

[] [] 

k = 0 X 0 = x n = 1+ 2+ 1+ 0= 4 

T 


[] [ ] exp ( π / ) exp ( π / ) exp( 

π) 

[] [] exp ( π / ) exp( π) exp( 

π) 

k = 1 X 1 = x n − j2 4 = 1+ 2 − j 2 + − j = −j2 

T 

k = 2 X 2 = x n − j2 2 4 = 1+ 2 − j + − j2 

= 0 

T 

[] [] exp ( π / ) exp ( π / ) exp( 

π) 

k = 3 X 3 = x n − j2 3 4 = 1+ 2 − j3 2 + − j3 = j2 

T 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

por tanto la DFT de x[n] es X T [k]={4,-j2,0,j2} para k=0,1,2,3 


10

17/11/99 



❒ Podemos interpretar los resultados del DFT de una secuencia 

x s [n] desde dos puntos de vista: 

◆ Como los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal 

periódica discreta cuyos muestreos coinciden con la secuencia x s [n]. 

◆ Como el espectro de una señal aperiódica discreta cuyos muestreos 

corresponden a la secuencia x s [n]. 

❒ EL DFT es una aproximación al espectro de la señal analógica 

original. Su magnitud se ve influenciada por el intervalo de 

muestreo, mientras que su fase depende de los instantes de 

muestreo. 


11

17/11/99 



❒ Como hacer la DFT a partir de una señal x(t), muestreada 

durante D segundos, con periodo de muestreo t s : 

◆ Elegir el intervalo de muestreo ts de forma que se cumpla el Teorema 

del muestreo. 

◆ Crear la expensión periodica (xp (t)) de x(t) con periodo D. 

◆ Tomar N muestras de x p (t) empezando en t=0. 

◆ Si hay discontinuidades, los valores de muestreo los tomaremos en el 

punto medio de la señal. 

x(t) 

x p (t) 

-3 -2 -1 0 1 2 3 

T 

-3 -2 -1 0 1 2 3 


T 

12

17/11/99 


❒ DFT de señales periódicas 


◆ Siendo x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1ms y N=8 tenemos la siguiente 

secuencia de muestreos : 

x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071} 

Amplitud 

1 

0.5 

0 

-0.5 

Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

x 10 -3 

-1 

Tiempo (s) 

El resultado de hacer el DFT es XT [k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}. 

XS [k]=1/8{0,-4j,0,0,0,0,0,4j}={0,-j/2,0,0,0,0,0,j/2} 


13

Magnitud DFT 

17/11/99 

5 

4 

3 

2 

1 


DFT 

0 

0 2 4 

Indice k 

6 8 


5 

4 

3 

2 

1 



0 

-4000 -2000 0 2000 

Frecuencia (Hz) 

◆ x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=0.5ms y N=8, tenemos la secuencia de 

muestreos: x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}. 

Los coeficientes del DFT son 

{5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654} 

Y los coeficientes del DFS son 

X[k]=1/8{5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654} 


14

Amplitud 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

17/11/99 



0 1 2 3 4 5 

x 10 -4 

-1 

Tiempo (s) 


◆ En este nuevo ejemplo, la frecuencia de muestreo es 16KHz. Los X[k] 

son reales, por lo que la función tiene simetría par. Para la onda dada, 

los coeficientes exactos de Fourier son : 

✦ XS [0]=1/π XS [k]=2/π(1-4k2 ) 

✦ Comparando XS [0]≈X[0] 


8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 

Indice k 

5 6 7 8 

X S [1]≈X[1] dentro del 5% de precisión 


✦ Para los términos con k=2,3..., X[k] se desvía bastante del término exacto 

debido a que la señal no tiene un espectro limitado, produciéndose aliasing. 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 


15

17/11/99 


◆ x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1.5ms y N=24. 

Amplitud 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 


0 0.5 1 1.5 

x 10 -3 

Tiempo (s) 


20 

15 

10 

5 

0 



-5000 0 


5000 

20 

15 

10 

5 


0 

0 5 10 15 20 

Indice k 



16

17/11/99 



✦ En este ejemplo se ha producido el denominado “leakage”, que consiste 

en que las componentes originales de la señal se derraman hacia las 

nuevas componentes de la señal. Para evitarlo, se debe muestrear un 

número entero de periodos, o bien utilizar alguna de las ventanas 

espectrales (ventana de Hamming, etc). 

◆ Podría ocurrir que no conocieramos el periodo de la señal de la cual 

queremos calcular el DFT. En ese caso se muestrea una señal de 

duración lo más larga posible. De esta forma, se reduce el “leakage” y 

el espacio entre frecuencias obteniéndose una buena estimación del 

espectro original. 

Amplitud 

1 

0.5 

0 

-0.5 

Sinusoide 1KHz 

-1 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 

Tiempo (s) 


17

17/11/99 



80 

60 

40 

20 

0 

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 


❒ DFT de señales aperiódicas 



◆ La señal aperiódica x(t) debe ser muestreada durante un tiempo D. El 

DFT produce los coeficientes espectrales correspondientes a la 

extensión periódica de x(t) con periodo D. El espacio entre frecuencias 

es f 0 =1/D. A f 0 se le denomina resolución frecuencial. Esta depende 

sólo de la duración. Si la señal está limitada en el tiempo, la forma de 

aumentar la duración es añadir ceros. 


18

Magnitud 

Magnitud 

1.5 

0.5 

17/11/99 

1 


Señal x(t)=exp(-t) 

0 

0 0.5 1 

Tiempo (s) 

1.5 2 

1.5 

1 

0.5 


0 

0 0.5 1 1.5 2 

Tiempo (s) 

2.5 3 3.5 4 

Magnitud 

Magnitud 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 



0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 


2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 



19

17/11/99 



❒ Tal y como se observa en las figuras de la páginas anteriores 

hay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de una 

secuencia de datos. 

❒ Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. Se 

puede observar que |X T [k]| es simétrico respecto a N/2. 

❒ Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuencia. 

De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de la 

DFT es 1/(Nt s ). La DFT nos da la Transformada de Fourier 

para las frecuencias 

f -(N/2)/(Nt s ),...,-1/(Nt s ),0, 1/(Nt s ), 2/(Nt s )...(N/2-1)/(Nt s ) 

k (N/2) ,..., N-1 ,0, 1 , 2 ... (N/2-1) 

❒ La máxima frecuencia detectable por la DFT es lógicamente 

f s /2, de acuerdo con el Teorema del Muestreo. 


20

17/11/99 



❒ En general, el DFT es una aproximación a las series o a la 

transformada de Fourier. Es muy importante elegir 

correctamente los parámetros del DFT (frecuencia de 

muestreo f s =1/t s , resolución de frecuencia f 0 =1/D). 

❒ La frecuencia de muestreo se determina a partir del teorema 

de muestreo. Si queremos detectar el espectro de una señal 

hasta una máxima frecuencia B , la frecuencia de muestreo 

deberá ser 2B. 

❒ La duración del muestreo se elige para una determinada 

resolución de frecuencia. 

❒ Una regla de diseño muy útil es: Si queremos los M primeros 

armónicos de una señal con un error máximo del 5%, el 

número de muestreos N=8M. 


21

17/11/99 



❒ Ejemplo: Queremos determinar mediante un algoritmo digital 

el espectro de la señal x(t)=exp(-t). La máxima frecuencia de 

la que pide su coeficiente es f B =1Hz. Además el armónico 

correspondiente a f=0.3Hz debe tener un error menor que el 

5%. Calcular f s ,D y N. 

◆ De acuerdo con el Teorema del Muestreo f s =2f B =2Hz. 

◆ Escogemos una resolución frecuencial de f 0 =0.1Hz, de forma que 

D=1/0.1=10s. 

◆ La frecuencia 0.3Hz se corresponde con el índice k=3, por lo que 

N=3·8=24 muestreos. Esto me indica que fs =N/D=24/10=2.4 > 2. 

◆ Si el objetivo es hacer que N sea lo menor posible (para facilitar los 

cálculos del DFT), se puede elegir f0 =0.3Hz, D=1/0.3=3.33s, k=1 y 

N=1·8=8. 


22

Magnitud 

Magnitud 

1.5 

1 

0.5 

17/11/99 



0 

0 2 4 6 

Tiempo (s) 

8 10 

1.5 

1 

0.5 


0 

0 0.5 1 1.5 

Tiempo (s) 

2 2.5 3 

Magnitud 

Magnitud 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 



0 

-1.5 -1 -0.5 0 


0.5 1 1.5 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


0 

-1.5 -1 -0.5 


0 0.5 1 


23

17/11/99 



❒ Ventanas espectrales: Si tenemos señales truncadas, el 

espectro de la señal muestra unos picos que no decaen lo 

suficientemente rápido con la frecuencia. Para ello podemos 

utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esas 

discontinuidades. Los picos serán menores aunque el ancho de 

banda de cada lóbulo aumentará. 


24


Resumen de Series y Transformadas de Fourier 

❒ Series de Fourier 

17/11/99 

◆ Señal Continua Periódica (periodo T), Espectro Discreto Aperiódico 

(intervalo de discretización 1/T) 

❒ Transformada de Fourier 

◆ Señal Continua Aperiódica, Espectro Continuo Aperiódico. 

❒ Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo 

◆ Señal Discreta Aperiódica (intervalo de discretización t s ), Espectro 

Continuo Periódico (periodo 1/ t s ) 

❒ Transformada Discreta de Fourier 

◆ Señal Discreta Periódica (intervalo de discretización t s , periodo T), 

Espectro Discreto (intervalo de discretización 1/T) 


25

17/11/99 

FFT (Fast Fourier Transform) 


❒ La importancia de DFT estriba en que es posible utilizar un 

algoritmo, llamado FFT, que lo realiza de forma eficiente y 

rápida. 

❒ El DFT de una secuencia x[n] es : 

N −1 

∑ 

n= 

0 

[] 

nk 

Xk [ ] = xnW k= 01 , , , N−1 

donde 

N 

W = e 

N 

−j2π/ 

N 

Una primera aproximación al cálculo del DFT requeriría la suma 

compleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de las 

salidas. En total, N 2 multiplicaciones complejas y N 2 sumas complejas 

para realizar un DFT de N puntos. 

Lo que consigue el algoritmo FFT es simplicar enormemente el 

cálculo del DFT introduciendo “atajos” matemáticos para reducir 

drasticamente el número de operaciones. 


26

17/11/99 



❒ La optimización del proceso de cálculo del DFT está basado 

en las siguientes ideas : 

◆ Simetría y Periodicidad de los términos W N . 

n+ N 

W = W 

N 

n+ N/2 

W =−W 

N 

◆ Elegimos el valor de N de forma que N=r m . Al factor r se le denomina 

radix y su valor más habitual es 2, de forma que N=2 m y algoritmo se 

denomina FFT radix-2. 

❒ Radix-2 FFT-Decimación en el Tiempo. 

n 

N 

n 

N 

◆ Dividimos la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de 

índices par y el otro de índices impar. Con estas sub-secuencias se 

realiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para formar 

el DFT de N puntos. 

W 

Nk 

N 

= 1 

2 

W = W 

N N/ 

2 


27

17/11/99 


N / 2−1 ∑ N 

N/ 

2−1 ∑ N 

N / 2−1 ∑ N 

N / 2−1 N ∑ 

n= 

0 

n= 

0 

n= 

0 

n= 

0 


2nk 

( 2n+ 1) 

k 

2nk 

k 

[] = [ 2 ] + [ 2 + 1] = [ 2 ] + [ 2 + 1] 

X k x n W x n W x n W W x n W 

[] = [ 2 ] 

[] = [ 2 + 1] 

Sustituimos x n x n 

1 

x n x n 

2 

2nk 

W = W 

N 

nk 

N / 2 

N / 2−1 ∑ 1 N / 2 

N / 2−1 N ∑ 2 N / 2 

n= 

0 

n= 

0 

nk k 

nk 

k 

[] [] [] [] [] 

Xk = x nW + W x nW = Yk + W Zk k= 

012 ,, , , N − 1 

◆ Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dos 

DFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k]) realizadas con las secuencias par e impar 

de la secuencia original x[n]. Cada término Z[k] es multiplicado por un 

factor W N k , llamado “twiddle factor”. Ya que WN k+N/2 =-WN k y debido a la 

periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) podemos poner X[k] como 

[ ] = [ ] + 

k 

N [ ] ⋅ [ ] 

[ / 2] 

[ ] k[ 

] [ ] 

Xk Yk W k Zk 

X k + N = Y k −WNk ⋅Z 

k 

Para k = 01 ,, , N / 2−1 N 

2nk 

N 


28

17/11/99 

x[N-2] 

x[N-1] 

x[0] 

x[2] 

x[1] 

x[3] 



N/2 Puntos 


N/2 Puntos 

Y[0] 

Y[1] 

Y[N/2-1] 

Z[0] 

Z[1] 

Z[N/2-1] 

W0 

x 

W1 


◆ Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTs 

de N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones 

2k 

2k 

Yk [] = Uk [] + WN Vk [] 

Zk [] = Rk [] + WN Sk [] 

2k 

2k 

Yk [ + N/ 4] 

= Uk [] −WVk 

[] Zk [ + N/ 4] 

= Rk [] −WSk 

[] 

Para k = 01 ,, , N / 4−1 N 

x 

WN/2-1 

x 

-1 

-1 

-1 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

Para k = 01 ,, , N / 

4−1 X[0] 

X[1] 

X[N/2-1] 

X[N/2] 

X[N/2+1] 

X[N-1] 


N 

29

17/11/99 



◆ El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el 

DFT de dos valores x[n], en concreto x[k] y x[k+N/2], para 

k=0,1,...,N/2-1. Para una DFT de N=8 puntos tenemos el siguiente 

esquema Butterfly 

x[0] 

x[4] 

x[2] 

x[6] 

x[1] 

x[5] 

x[3] 

x[7] 

0 

W 

x 

0 

W 

x 

0 

W 

x 

0 

W 

x 

-1 

-1 

-1 

-1 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

0 

W 

x 

2 

W 

x 

0 

W 

x 

2 

W 

x 

-1 

-1 

-1 

-1 

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

0 

W 

x 

1 

W 

x 

2 

W 

x 

3 

W 

x 

-1 

-1 

-1 

-1 

+ X[0] 

+ X[1] 

+ X[2] 

+ X[3] 


+ 

+ 

+ 

+ 

X[4] 

X[5] 

X[6] 

X[7] 

30

17/11/99 



◆ Las características de una FFT de N puntos decimada en el tiempo se 

sumarizan en la siguiente tabla : 

Número de 

Grupos 

Butterflies por 

Grupo 

Exponentes 

Twiddle Factors 

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2N 

N/2 N/4 N/8 1 

◆ Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. 

Hay N/2 butterflies por etapa y log 2 N etapas. 

✦ El número total de multiplicaciones es ½N·log 2 N . 

✦ El número total de sumas es N·log 2 N . 

1 2 4 N/2 

(N/2)k, 

k=0 

(N/4)k, 

k=0,1 

(N/8)k, 

k=0,1,2,3 

k, 

k=0,1,...,N/2-1 


31

17/11/99 



◆ Para pequeños valores de N, la diferencia puede parecer pequeña, pero 

para valores grandes la diferencia es enorme. Para un DFT de 1024 

puntos, el número de multiplicaciones en un FFT es aprox. 5000 

mientras que para un DFT normal es de aprox. 10 6 . 

❒ Radix-2 FFT-Decimación en Frecuencia 

◆ Expresaremos el FFT como suma de los FFT de dos secuencias, la 

primera con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos. 

N−1 

∑ N 

N / 2−1 ∑ N 

N−1 

∑ 

nk 

N 

n= 

0 

n= 

0 

n= N/ 

2 

N / 2−1 ∑ [] 

nk 

N 

N/ 

2−1 ∑ [ / 2] 

( n+ N/ 2) 

k 

N 

n= 

0 

n= 

0 

nk 

nk 

[] = [] = [] + [] 

Xk xnW xnW xnW 

= xnW + xn+ N W 

N / 2−1 ∑ N 

N / 2−1 ∑ 

n= 

0 

n= 

0 

nk k 

[] ( 1) [ / 2] 

= xnW + − xn+ N W 

N / 2−1 ∑ 

k [ [] ( ) [ ] 

nk 

= xn + − 1 xn+ N/ 2 W k= 012 , , , , 

N−1 

n= 

0 

N 

nk 

N 


32

17/11/99 



◆ La decimación en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de 

salida (X[k]) en dos ecuaciones, una para los índices pares y otro para 

los impares. 

N / 2−1 ∑ 

[ ] 

[ 2 ] = [] + [ + / 2] 

X k xn xn N W 

n= 

0 

N / 2−1 ∑ 

[ [] [ ] 

2nk 

N 

nk 

= xn + xn+ N/ 2 W k= 01 , , , N/ 

2−1 n= 

0 

N/ 

2−1 ∑ 

[ ] 

[ 2 + 1] = [] − [ + / 2] 

N / 2 

X k xn xn N W 

n= 

0 

N / 2−1 ∑ 

n( 2k+ 1) 

N 

n 

[ [ [] [ ] N] 

nk 

= xn − xn+ N/ 2 W W k= 01 , , , N/ 

2−1 n= 

0 

◆ X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizado 

con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la 

secuencia de entrada. 

N/ 

2 


33

17/11/99 

x[0] 

x[1] 

x[N/2-1] 

x[N/2] 

x[N/2+1] 

x[N-1] 


-1 

-1 

-1 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

0 

W 

x 

1 

W 

x 

W 

x 

N/2-1 


N/2 Puntos 


N/2 Puntos 


X[0] 

X[2] 

X[N-2] 

X[1] 

X[3] 

X[N-1] 


34

17/11/99 

x[0] 

x[1] 

x[2] 

x[3] 

x[4] 

x[5] 

x[6] 

x[7] 


W 

x 

0 

-1 

+ 

-1 + 

W 

x 

-1 

+ 

1 

W 

x 

2 

-1 

+ 

W 

x 

3 

+ 

+ 

+ 

+ 

-1 

-1 

-1 

-1 

+ 

+ 

+ 

W 

+ x 

2 

W 

x 

0 

+ 

+ 

+ 

W 

+ x 

2 

W 

x 

0 

Butterfly 


+ 

W 

+ x 

0 

X[0] 

X[4] 

X[2] 

X[1] 

X[5] 

X[3] 


+ 

W 

+ x 

0 

+ 

W 

+ x 

0 

+ 

W 

+ x 

0 

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 

-1 

-1 

-1 

-1 

X[6] 

X[7] 

35

17/11/99 


◆ Las característica del FFT decimado en frecuencia son 


Grupos 

Butterflies por 

Grupo 

Exponentes 

Twiddle Factors 


Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2N 

1 2 4 N/2 

N/2 N/4 N/8 1 

n, 

n=0,...,N/2-1 

2n, 

n=0,...,N/4-1 

4n, 

k=0,...,N/8-1 

(N/2)n, 

n=0 

❒ Se puede observar que en el caso de decimación en el tiempo, la secuencia 

de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden 

correcto. 

❒ Para la decimación en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que 

la salida habrá que reordenarla. 

❒ Se da la circunstancia que esa reordenación es simplemente invertir el 

índice en binario. Por ejemplo, en la misma posición que x[1] aparece 

X[4], y 001 invertido es 100. 


36

17/11/99 


❒ DFT en 2 dimensiones 


◆ En aplicaciones como procesamiento de imagen, las señales dependen 

de dos variables n1 y n2 (el eje x y el eje y en una imagen bidimensional). 

Por tanto necesitamos extender el concepto de DFT a dos dimensiones. 

◆ Dada una secuencia x(n1 ,n2 ), se define la DFT como 

( 1 , 2) 

Xk k 

⎧N1 

−1N2−1 

− j( 2π N1 ) k1n1 − j( 2π 

N2) k2n2 ⎪∑∑xn 

( 1 , n2) e e 0≤ n1 ≤ N1 −1, 0≤ n2 ≤ N2 

−1 

⎪n1= 

0n2= 

0 

= ⎨ 

⎪ 

0, 

en otro caso 

⎪ 

⎩ 

◆ La IDFT de X(k 1 ,k 2 ) se define como 

( 1 , 2) 

xn n 

⎧ N1 

−1N1 

−1 

1 

j( 2π N1 ) k1n1 j( 2π 

N2) k2n2 ⎪ ∑∑ 

X( k1 , k2) e e 0≤ n1 ≤ N1 −1, 0≤ n2 ≤ N2 

−1 

⎪N1N2 

k1 

= 0k2= 

0 

= ⎨ 

⎪ 

0, 

en otro caso 

⎪ 

⎩ 


37

❒ FFT-2D 

17/11/99 



◆ Al igual que en el caso de señales unidimensionales, disponemos de un 

eficiente algoritmo para realizar el DFT. 

◆ Descomposición Fila-Columna 

✦ Reescribimos la ecuación anterior 

N1 

−1N2−1 

− ( 2π ) − ( 2π 

) 

( 1 , 2) = ( 1 , 2) 

X k k x n n e e 

= 

∑ 

n = 0n 

= 0 

N 

n 

1 

1 

−1 

= 0 

∑ 

2 

( 1 2) 

j N k n j N k n 

( 2 ) 

1 1 1 2 2 2 

2 

( 1 2) ( 1 2) 

✦ Si consideramos n 2 fijo (pe, n 2 =0), f(k 1 ,n 2 ) es el DFT unidimensional de 

x(n 1 ,n 2 )| n2=0 con respecto a la variable n 1 . De esta forma obtenemos una 

matriz f(k 1 ,n 2 ) para todos los posibles valores de n 2 (Figura). 

✦ Ahora podemos calcular X(k 1 ,k 2 ) a partir de f(k 1 ,n 2 ), 

( 2 ) 

N −1 

− j π N k n − j π N k n 

1 

2 2 2 1 1 1 

∑ f k , n e , donde f k , n = ∑x 

n , n e 

N 

−1 

2 

( 1 , 2) = ( 1 , 2) 

∑ 

Xk k fk n e 

n = 0 

2 

( 2π 

) 

− j N k n 

2 2 2 

n 

2 

= 0 


38

N 2 -1 

17/11/99 

n 2 



✦ Fijamos k 1 (pe, k 1 =0), por lo que f(k 1 ,n 2 )| k1=0 es una columna de f(k 1 ,n 2 ) y 

X(0,k 2 ) es la DFT unidimensional de f(k 1 ,n 2 )| k1=0 con respecto a la variable 

n 2 . Obtendremos X(k 1 ,k 2 ) haciendo N 1 DFT 1D para cada valor de k 1 

(Figura). 

x(n 

n2 1 ,n2 ) f(k1 ,n2 ) 

N 1 -1 

n 1 

FFT 1D 

N 1 puntos 

N 2 -1 

N 1 -1 


k 1 

39

N 2 -1 

17/11/99 

n 2 


f(k 1 ,n 2 ) 

N 1 -1 

k 1 

FFT 1D 

N 2 puntos 

N 2 -1 


Multiplicaciones 

2 2 

Calculo Directo N1N2 Descomposición 

Fila-Columna con 

FFT 1D 

NN 

2 

1 2 

k 2 



Sumas 

2 2 

N1N2 X(k 1 ,k 2 ) 

log 2( NN 1 2) 

NN 1 2log2( NN 1 2) 

N 1 -1 


k 1 

40

17/11/99 

>> X = fft(x) 

FFT con MATLAB 


Hace la FFT del vector x. “X” es un vector de números complejos 

ordenados desde k=0...N-1. Se recomienda que la longitud del vector 

x sea una potencia de 2. Lo que no se recomienda es que la longitud 

de x sea un número primo. 

Otra opción del la FFT es especificar el número de puntos con el 

que se quiere hacer la FFT. 

>> X = fft(x,N) 

Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena con 

ceros. Si es mayor, el vector es truncado. 

>> x = ifft(X) 

Hace la FFT inversa del vector X. También se puede especificar el 

número de puntos N con el que quiero hacer la IFFT. 

>> x = ifft(X,N) 

>> X = fftshift(X) 

Reordena el vector X en orden creciente de frecuencia. Si “X” es el 

vector resultante de hacer una FFT, utilizando esta función 

reordenamos los puntos en función de la frecuencia. 

❒ A continuación tienen unos ejemplos del uso de las FFT. Los programas de 

MATLAB utilizados los pueden conseguir en el Web de la asignatura. 


41

17/11/99 


FFT con MATLAB: fftej1.m → x(t)=sin(2·π·20·t)+chirp(5-40) 

x(t)=sin(2· ·20·t)+chirp(5-40) 

N=128 D=1 s 

x(t) 

|X[k]| 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

x(t) 

-2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Tiempo (s) 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]| 

-80 

0 

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 



42

17/11/99 

FFT con MATLAB: fftej1.m → 

Fase (º) 

x(t) 

2000 

1500 

1000 

500 

-500 

0 


→ x(t)=sin(2·π·20·t)+chirp(5-40) 

x(t)=sin(2· ·20·t)+chirp(5-40) 

N=128 D=1 s 

Fase de Coeficientes Espectrales X[k] 

-1000 

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 


Comparación entre x(t) y su reconstrucción a partir de X[k] 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

0 0.2 0.4 0.6 

Tiempo (t) 

0.8 1 


43

x(t) 

17/11/99 


-0.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-1 


→ x(t)=sin(2·π·20·t)+chirp(5-40) 

x(t)=sin(2· ·20·t)+chirp(5-40) 

N=128 D=1 s 


-1.5 

0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 

Tiempo (t) 


44

17/11/99 


|X[k]| 

x(t) 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


→ x(t)=sin(2·π·20·t)+chirp(5-40) 

x(t)=sin(2· ·20·t)+chirp(5-40) 

N=32 D=1 s 

Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]| 

Aliasing 32-20=12 Hz 

-20 

0 

-15 -10 -5 0 5 10 15 



2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

-2.5 

0 0.2 0.4 0.6 

Tiempo (t) 

0.8 1 


45

17/11/99 


x(t) 

|X[k]| 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 


→ x(t)=exp x(t)= exp(-2·t)+0.2·chirp(60-100) 

(-2·t)+0.2·chirp(60-100) 

N=256 D=1 s 

x(t)=exp(-2t)+0.2·chirp(60-100) 

-0.2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Tiempo (s) 

0.45 

0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]| 

-150 

0 

-100 -50 0 50 100 150 



46

17/11/99 


Fase(X[k]) (º) 

1500 

1000 

500 

-500 

-1000 

0 



(-2·t)+0.2·chirp(60-100) 

N=256 D=1 s 

Fase de los coeficientes espectrales X[k] 

-1500 

-150 -100 -50 0 50 100 150 


x(t) 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 


-0.2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Tiempo (t) 


47

17/11/99 

x(t) 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 



(-2·t)+0.2·chirp(60-100) 

N=256 D=1 s 


0.96 0.97 0.98 0.99 1 

Tiempo (t) 


48

17/11/99 

|X[k]| 


x(t) 



(-2·t)+0.2·chirp(60-100) 

N=64 D=0.1 s 

0.1 

0.09 

0.08 

0.07 

0.06 

0.05 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 

Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]| 

0 

-400 -300 -200 -100 0 100 


200 300 400 

1.2 

1.1 

1 

0.9 

0.8 

0.7 


0.6 

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 

Tiempo (t) 


49

17/11/99 


x(t) 

|X[k]| 


→ x(t)=exp x(t)= exp(-2·t)·sin(2· (-2·t)·sin(2·π·200·t) ·200·t) 

N=128 D=0.2 s 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

x(t)=exp(-2t)·sin(2·p·200·t) 

-1 

0 0.05 0.1 

Tiempo (t) 

0.15 0.2 

0.09 

0.08 

0.07 

0.06 

0.05 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 

Módulo de los coeficientes espectrales de x(t) 

-400 

0 

-300 -200 -100 0 100 200 300 400 



50

17/11/99 

Fase X[k] 


200 

150 

100 

50 

-50 

-100 

-150 

0 



N=128 D=0.2 s 


-200 

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 



51

17/11/99 


|X[k]| 

x(t) 


→ x(t)=sin(2·π·200·t+5·sin(2· 

x(t)=sin(2· ·200·t+5·sin(2·π·2·t)) ·2·t)) 

N=256 D=0.5 s 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2·pi·2·t) 

-1 

0 0.1 0.2 0.3 

Tiempo (t) 

0.4 0.5 

0.1 

0.09 

0.08 

0.07 

0.06 

0.05 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 


0 

-300 -200 -100 0 


100 200 300 


52

17/11/99 


Fase X[k] 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 


→ x(t)=sin(2·π·200·t+5·sin(2· 

x(t)=sin(2· ·200·t+5·sin(2·π·2·t)) ·2·t)) 

N=256 D=0.5 s 


-1000 

-300 -200 -100 0 100 200 300 



53

17/11/99 


x(t) 

|X[k]| 


→ x(t)=sin(2·π·200·t+5·sin(2· 

x(t)=sin(2· ·200·t+5·sin(2·π·2·t)) ·2·t)) 

N=128 D=0.2 s 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2·pi·2·t) 

-1 

0 0.05 0.1 

Tiempo (t) 

0.15 0.2 

0.06 

0.05 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 


-400 

0 

-300 -200 -100 0 100 200 300 400 



54

17/11/99 


Fase X[k] 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 


→ x(t)=sin(2·π·200·t+5·sin(2· 

x(t)=sin(2· ·200·t+5·sin(2·π·2·t)) ·2·t)) 

N=128 D=0.2 s 


0 

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 



55

17/11/99 


x(t) 

|X[k]| 


→ x(t)=sin(2·π·200·t-5· 

x(t)=sin(2· ·200·t-5· exp(-2·t)) exp(-2·t)) 

N=256 D=0.5 s 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

x(t)=sin(2·pi·200·t-5·exp(-2t)) 

-1 

0 0.1 0.2 

Tiempo (t) 

0.3 0.4 0.5 

0.18 

0.16 

0.14 

0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 


0 

-300 -200 -100 0 100 200 300 



56

17/11/99 


Fase X[k] 

150 

100 

50 

-50 

-100 

0 


→ x(t)=sin(2·π·200·t-5· 

x(t)=sin(2· ·200·t-5· exp(-2·t)) exp(-2·t)) 

N=256 D=0.5 s 

-150 

-300 -200 -100 0 100 200 300 


Comparación entre el espectro de señales moduladas 

en amplitud (x) y moduladas en frecuencia (o) 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 


0 

160 170 180 190 200 210 220 230 240 


57

17/11/99 


x(t) 

|X[k]| 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 


N=16 D=1 s 

Puntos de muestreo (--) y Reconstrucción a partir de X[k] (o) 

-0.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Tiempo (s) 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 


0 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 




58

17/11/99 


Fase X[k] 

x(t) 

200 

150 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 


N=16 D=1 s 


-200 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 


-0.8 

0 0.5 1 

Tiempo (t) 

1.5 2 



59

17/11/99 


Fase X[k] 

|X[k]| 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

2000 

1500 

1000 

500 

-500 

-1000 


→ x(t)= (1+t 2 /2)·sin(2·π·5·t)+ /2)·sin(2· ·5·t)+ 0.2·chirp(20-60) 

N=128 D=1 s 

Módulo de los coeficientes espectrales de x(t) |X[k]| 

-80 

0 

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 


0 


-1500 

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 



60

17/11/99 


x(t) 

2.5 

-0.5 

-1.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-1 

-2 


→ x(t)= (1+t 2 /2)·sin(2·π·5·t)+ /2)·sin(2· ·5·t)+ 0.2·chirp(20-60) 

N=128 D=1 s 


-2.5 

0 0.5 1 1.5 

Tiempo (t) 


61

17/11/99 

|X[k]| 

FFT con MATLAB: goodbye.m 

N=4096 Fs=22050 Hz Nh=1000 Nh=1000 

goodbye.au 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

-0.2 

-0.25 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

Tiempo (s) 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

x 10 4 

-4 

9 

x 10 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

Espectro de goodbye.au 

0 




62

17/11/99 

|X[k] 

FFT con MATLAB: goodbye.m 

N=4096 Fs=22050 Hz Nh=1000 Nh=1000 

9 x 10 -4 Espectro de goodbye.au filtrado 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

x 10 4 

0 



63

17/11/99 

Amplitud y(t) 

0.03 

0.02 

0.01 

-0.01 

-0.02 

-0.03 

FFT con MATLAB: good_wnd good_wnd.m 

.m 

Ni=1245 Ni=1245 

Nw=128 Nw=128 

Nh=10 Nh=10 

Fs=22050 Hz 

0 

Señal (--) y Recontrucción con 10 armónicos (--) 

-0.04 

0.056 0.057 0.058 0.059 0.06 0.061 0.062 0.063 

Tiempo (s) 

|Y[k]| 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

x 10 4 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

Espectro de la señal (--) y filtrado (--) 

0 




64

Transformada Discreta de Fourier (DFT) - Tecnun

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?