Ejercicios resueltos

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 1TEMA 3 – DETERMINANTESa) 1 − x 1 01 1−x 1EJERCICIO 1 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:0 1 1 − xSolución:a) 1−x 1 01 1−x 1 = ( 1−x) 3− ( 1−x) − ( 1−x) = ( 1−x) 3− 2( 1−x) = ( 1−x)( [ 1−x)2− 2]=0 1 1−xb)42− 31− 203− 531200− 121=( 1−x)[ 1−2x + x2− 2] = ( 1−x)( x2− 2x −1) = −x3+ 3x2− x −1FILASb)42− 31− 203− 531200− 121=32aa1+ 4− 2 ⋅ 44aaaa43− 51− 2− 513− 531200001( 1)=43− 5− 2− 513312=FILAS=13aa− 3 ⋅ 22aa− 2 ⋅ 2a− 53−1113− 523010( 2)=−− 5−111323= −( − 115 + 143) = −28aa( 1 ) Desarrollamos por la 4 columna.( 2 ) Desarrollamos por la 3 columna.EJERCICIO 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de ta) 1 1 1−t b) 2 − 1 3 4para que el determinante sea cero:12t40t1− 1142053Solución:1a) Calculamos el valor del determinante: 1 t 0 t 4( 1 t) 2t( 1 t) t t 4 4t 2t 2t t 3t 7t 42141−tVeamos para que valores de t se anula el determinante:4El determinante vale cero cuando t = y cuando t = 1.3b)21−11− 114332034531=FILAS1a23− 2 ⋅ 4aa− 4+ 44aaaa0001− 7− 273− 3− 1332441t=2+−−3t2 − 7t + 4 = 0− 7− 3−→−=12+7 ±t =( 1) ( 2) ( 3)= − − 27−132440= − − 270−13644−3−3+12−49 − 48 7 ± 1=6 6==⎧⎪t=⎨⎪⎪t=⎩2−8666=43= 1− 2 −1− 6 = −6−7 3+( − 6 + 7) = 6aaaa( 1 ) Desarrollamos por la 1 columna. ( 2 ) Sumamos a la 1 fila la 3 . ( 3 ) Desarrollamos por la 1 fila.EJERCICIO 3 : a) Resuelve la ecuación: 1 x 2 = 0 b) Calcula el valor del determinante:Solución:x11x3312312312− 11100− 123

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 3aa( 1 ) Desarrollamos por la 2 columna.( 2 ) Desarrollamos por la 1 fila.x x x xx 1 0 xEJERCICIO 6 : Desarrolla el siguiente determinante:x 0 x 1x x 1 0Solución:x x x x x 0 0 01−x − x 0x 1 0 x (1) x 1−x − x 0 (2)x x 0 1 x x [3x ( 1 x)] x. [32 3= = −− = − −3= x − (1 − 3x + 3x − x )]=x 0 x 1 x − x 0 1−x0 1−x − xx x 1 0 x 0 1−x − xx.(2x 3 – 3x 2 + 3x – 1)(1) Restamos la 1 a columna a las demás. (2) Desarrollamos por la 1 a fila.EJERCICIO 7 : Halla el valor de los siguientes determinantes:a) b) c)− 1 2 0 31 2 − 3 12 15 − 13 − 22 0 11 20 − 2 11 3 2 41 1 2− 31− 12102− 123− 1121− 1− 1− 210Solución:Filasa)−125121−1303123− 224=24aaa1 −12 0 3−12 3a− 3 · 3 − 13 4 0 − 8 (1)(1) Desarrollamos por la 3 a columna.= −134 − 8 = 17a3 5 − 1 1 2− 9 5 0a− 2 · 3 − 9 5 0 0Filasb)120120− 21− 31121− 31−1=2a4a1 1 2 − 3 1− 4 7 − 5a− 2 · 1 0 − 4 7 − 5 (1)(1) Desarrollamos por la 1 a columna.= − 2 1 1 = 38a3 0 − 2 1 1−15 − 2a a− 1 0 −15 − 2Filasc)2102− 123− 1121− 1−1− 210=14aa− 2 · 223aaa− 2 · 2a0100− 523− 5− 321− 53− 214(1)= −− 53− 5− 31− 5314= −( − 24) = 24(1) Desarrollamos por la 1 a columna.EJERCICIO 8 : Calcula, en función de x, el valor de este determinante:Solución:1 x x x 1+3x x x x 1 x x xx 1 xx x 1x 1+3x 1 x x=x 1+3x x 1 x(1)=( 1+3x) =x x x 1 1+3x x x 1 1 x x 1111xx1xx1xxxx1xxxx1xxxx1Da el resultado factorizado.

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 4=Filas234aaa1aa− 1a− 1a− 11 x x x01−x( 1+3x) = ( 1+3x) 0 1−x 0 = ( 1+3x) ( 1−x) 301−x001−x000 0 0 1−x(2)000 0 1−x(1) Sacamos (1 3x) factor común de la 1 a columna. (2) Desarrollamos por la 1 a columna.a a a aEJERCICIO 9 :Demuestra que: a) = a( b − a) ⋅ ( c − b) ⋅ ( d − c)b) 2b b − c − a 2b = ( a + b + c) 3a b c dSolución:a a a a a a a ab − aa b b b 1 0 b − a b − a b − a 2a)== a b − aa b c c 0 b − a c − a c − ab − aa b c d 0 b − a c − a d − a( 3)= a( b − a)1 b − a1 c − aaabb( ) ( ) ( 3)b − ac − a( 4)= a( b − a)bcbc1 b − a0 c − bb − ac − b1 c − a d − a0 0 d − cb − ac − ab − ac − ac − a d − a( 5)= a=( b - a)( c − b)( d − c)a − b − c2a2a2c 2c c − a − ba( )a1 Restamos la 1 fila a las otras tres.( 2) Desarrollamos por la 1 columna. ( 3) Sacamos ( b − a) factor común.aaa a( 4 ) Restamos a la 3 fila la 2 y a la 2 la 1 . ( 5 ) Es el determinante de una matriz triangular.a − b − cb) 2b2c2a 2ab − c − a 2b2c c − a − b( 1)=a + b + c a + b + c a + b + c2b b − c − a 2b =2c 2c c − a − bCOLUMNAS( 2) ( )a a( )( 3)= a + b + c12b1b − c − a2b2c 2c c − a − b1=23a1a− 1a− 1( 3) ( )( )( ) ( )3= a + b + c − a − b − c − a − b − c = a + b + ca + b + c12b0− a − b − c2c 0 − a − b − ca( 1 ) Sumamos a la1 fila las otras dos. ( 2 ) Sacamos ( a + b + c) factor común. ( 3 ) Es el determinante de una matriz triangular.EJERCICIO 10 : Calcula el valor de este determinante:Solución:x a a a x + 3a a a a1 a a aa x a aa a x a( 1) x + 3a x a a ( 2 =) 1 x a a=( x + 3a ) =x + 3aaxa a a x x + 3a a a x1 a a xa1axx a a aa x a aa a x aa a a xa234aaa1FILASa−−−111aaa000=1 a a a( x + 3a ) = ( x + 3a) ⋅( x − a) 30x − a00x − a000 0 0 x − aa( 1 ) Sumamos a la1 columna las otras tres. ( 2 ) Sacamos ( x + 3a ) factor común. ( 3 ) Es el determinante de una matriz triangular.a1EJERCICIO 11 : Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:011a1001a1101a

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 5Solución:a 1 0 1 a + 2 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 01 a 1 00 1 a 1( 1) a + 2 a 1 0 ( 2) 1 a 1 0( )( 3) 1 a −11 − 1( )( 4)=a + 2 1 a 1=a + 21 1 a 1= a + 21 0 a 01 0 1 a a + 2 0 1 a 1 0 1 a 1 − 1 1 a − 1a −11− 1( 4) ( )( 5) a − 1 − 1a + 2 0 a 0 = ( a + 2 ) a= ( a + 2 ) a ( a − 1 )[2] ( ) (2−1= a + 2 a a − 2 )== a−1a −1− 1 1 a − 1=( a + 2) a2( a − 2) = a2( a + 2)( a − 2)a( 1 ) Sumamos a la1 columna las demás. ( 2 ) Sacamos ( a + 2) factor común.aa( 3 ) Restamos la1 columna a la 2ay a la 4 .a( 4 ) Desarrollamos por la1 fila.a( 5 ) Desarrollamos por la 2 fila.a − a − 1 − 11 a 1 1EJERCICIO 12 : Halla en función de a, el valor de este determinante:1 1 a 00 − 1 − 1 aSolución:FILASa − a1 a1 1− 1 − 11 1=a 00 − 1 − 1 aa112a134a+aa1aa − a −1− 1a + 1 0 0 01 1 a 00 −1−1a( 1)= −( 2) ( ) ( )(3)3= a + 1 1 a 0 = a + 1 a −1+ a − a = ( a + 1)( a −1)− 1 − 1 a− a− 1 − 1( a + 1) 1 a 0 =− 1 − 1 aa( 1 ) Desarrollamos por la 2 fila.( 2) Sacamos − 1 factor común.EJERCICIO 13 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:a) x y z 2x 2y 2zb) 3x 3a 3p x y za b ca b c = + p + q + r3y 3b 3q = 3 a b c2 2 2p q r p q r3z 3c 3r p q rSolución:FILASa)2xa+ p2p2yb+ q2q2zc+ r2r=2a13a−a3a2xa2p2yb2q2zc2r= 2 ⋅12xapybqzcr=xapybqzcrPor tanto, es verdadera la igualdad.b) Falsa, ya que:3x3y3z3a3b3c3p3q3r3= 3xyzabcpqr3= 3xapybqzcrx≠ 3 apybqzcrEJERCICIO 14 :a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:αa b a b αab a b a b a b;2 α α= α= α ;= α2αcd c d c αdc d αcαdc da bb) Si =c d3, calcula el valor de los siguientes determinantes :abc;d2a + 2b2c + 2dbdSolución:a) αabαcd= αad− αbc= αa( ad − bc) = α → VERDADERAcbd

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 6b)α a b 22 a b= α ad − bc ≠ α = α2c αdc dα a αb2 2 2= α ad − α bc = α2αcαda cb da b= = 3c d( ad − bc) → FALSAa( ad − bc) = α → VERDADERAcbd( )2a+ 2b b 2a b 2b b 1= + = 22c + 2d d 2c d 2d dacbd+ 0 = 2 ⋅ 3 = 6( 1 ) El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.EJERCICIO 15 : Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:a) 2 2 2 1 1 1b) 1 a2ax y z = 2x 2y 2z12a3a = 0a b c a + 2 b + 2 c + 213a4aSolución:a)La 1aPor tanto:fila la hemos multiplicado por2xa2yb2zc=12⋅ 212xa + 212y2b + 2y la 212zac + 2.por1.2aaA la 3 le hemos sumado la1 .La igualdad es cierta.b) Observamos que la 2 a y la 3 a columna son proporcionales, puesto que la 3 a la obtenemos multiplicando la 2 a por a. Por tanto, eldeterminante es cero.La igualdad es cierta.EJERCICIO 16 :a) Si A y B son dos matrices 2× 2, tales que A = 2 y B = −4,calcula, justificando la respuesta:A2;− A;2A ;AB( )t t−1; B A; AB t representa la traspuesta de la matriz Bb)Siacbd= −2,calcula2a + b2c + d− b− d.Solucióna) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades:Consideramos A y B dos matrices 2×2.Por tanto:22• A = A ⋅ A = A ⋅ A = A=2 2= 41 )2tA ⋅B= A ⋅ B;2) k ⋅ A = k ⋅ A;3) A =A2( −1) ⋅ A = ( −1) ⋅ A = 1⋅A = = 2• − A =A2• 2A= 2 ⋅ A = 4 ⋅ A = 4 ⋅ 2 = 8( − 4) = 8tt• A ⋅B= A ⋅ B = A ⋅ B = 2 ⋅ −tt• B ⋅ A = B ⋅ A = B ⋅ A =( − 4) ⋅ 2 = −8−1 −1−1• Para hallar A , vamos a tener en cuenta que A ⋅ A = I; y que existe A , puesto que A = 2 ≠ 0. Así:−1A ⋅ A = I→−1A ⋅ A = 1→−1A =1A=b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (–1) factor común: = = ( − 2) ⋅ = ( − 2) ⋅ ( − 2) = 4a122a + b2c + dEJERCICIO 17 : Sabiendo que x y z = 4, halla el valor de los siguientes determinantes :pbqcr− b− d2a2c− b− dacbd

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 7a)x − a2pxy − b2qyz − c2rzb)abcxyz3p + x3q + y3r + zSolución:aa) Restando a la 1 fila la 3x − a2pxy − b2qyz − c2rz=− a2pxay sacamos− b2qy− c2rz( − 2) factor común :a= −2pxbqycrza(*)= ( − 2 ) ⋅( −1) x y z = 2⋅4= 8pbqcra a( ) Al permutar la 2 y 3 filas de orden, el determinante cambia de signo.*b)Restamos ala 3acolumna la 2a, y sacamos 3 factor común :abcxyz3p + x3q + y3r + z=abcxyz3p3q3ra= 3 bcxyzpqra(* )= 3 x y z = 3 ⋅ 4 = 12pbqcr( ) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el* de su traspuesta.EJERCICIO 18 : Calcula el rango de las matrices:⎛ 1 − 1 2 0⎞⎛ 2 − 1 3 4 2 3 ⎞− 1 2 3 2a) A = 1 0 − 1 3 1 − 1 b) M =c)⎜⎜⎜⎟⎟⎟0 1 0 3⎝ 3 2 1 − 1 2 4 ⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎝ 3 − 4 1 1⎠⎛ 2 3 − 1 5⎞⎛ 2 3 − 1 2 ⎞1 − 2 3 1− 1 1 1 2d) A =e) M =1 12 − 11 70 3 4 − 1⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎝ 0 7 − 7 3⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎝ 5 5 − 3 2 ⎠⎛ 2− 1M =0⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1− 12− 14313− 12− 1013 ⎞13− 1⎟⎟⎟⎟⎟⎠Solución:2 − 1a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = 1 ≠ 01 0Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes.Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:2 −131 0 −1= 14 ≠ 0 → Las tres filas son linealmemente independientes. Luego, ran (A) = 3.321⎛⎜1 −1⎜−12b) M = ⎜⎜ 0 1⎝ 3 − 423010 ⎞⎟2 ⎟⎟3 ⎟1⎠Tomamos un menor no nulo de orden 2: 4 ≠ 0 → ran ( ) ≥ 2aVeamos si la 3 fila depende linealmente de las dos primeras:1 2 01 2− 1 3 2 = 3 = 15 ≠ 0 → Las tres primeras filas sonlinealmente independientes → ran−130 0 3Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:1 − 1 2 0 1 −12 31 2 3−12 3 2 ( 1) − 1 2 3 − 4 ( 2)M === − 1 −13 − 4 = −15≠ 00 1 0 3 0 1 0 03 1 133 − 4 1 1 3 − 4 1 132302= M Las dos primeras filas son linealmente independientes.( M) ≥ 3

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 8aaa( 1 ) Restamos a la 4 columna, la 2 multiplicada por 3.( 2 ) Desarrollamos por la 3 fila.Por tanto, ran (M) = 4c)Observamos que la 4aaaacolumna coincide con la1 y que la 5 es igual que la 3 .Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.2 −1Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = 3 ≠ 0−12Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.2 −13Veamos si la 3a fila depende linealmente de las dos primeras: −12 1 = 14 ≠ 0 → ran ( M ) = 32 3d) Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = −7≠ 01 − 2Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:2 3 −11 − 2 3 = 0aapues, si restamos la1 columna menos la 2 , obtenemos la 31211123− 212−1151 = 0. Así, la 370−1a( )afila es combinación lineal de las dos primeras.Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:2 3 −12 3 510− 273− 7= 0;10− 27Por tanto, ran (A) = 2.2 3e) Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = 5 ≠ 0−111 = 0. También la cuarta fila depende de las dos primeras.3Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:2 3 − 1− 1 1 1 = 17 ≠ 0 → Las tres primeras filas sonlinealmente independientes → ran ( M) ≥ 30 3 4Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:COLUMNASM =2−1053135−114− 322Por tanto, ran (M) = 3.2=−1423aaa1aa+ 1a+ 1a+ 2 ⋅ 12−10550310104260=−11253101426123−1= 0

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 9EJERCICIO 19 : Estudia el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de los parámetros:⎛ a 1 3 0 ⎞⎛ 1 0 4 2 ⎞⎛ 1 1 λ + 1⎜⎟⎜⎟⎜a) M = ⎜ 1 a 2 1 ⎟b) M = ⎜ 0 t 4 0 ⎟c) A = ⎜ λ 0 0⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎝ 2 2a5 a⎜⎟⎠⎝ − 1 3 t − 2⎜⎠⎝ 0 λ 2⎛ 1 2 3 1 ⎞⎛ 1 0 − 1 0 ⎞⎜⎟⎜⎟d) M = ⎜ 1 t 3 2 ⎟ e) A = ⎜ 0 a − 3 0 ⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 1 8 − 3t3 − 2⎜⎟⎠⎝ 4 1 a 0 ⎠120⎞⎟⎟⎟⎟⎠Solución:3 0a) Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 3 ≠ 02 1Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1 a , 3 a y 4 a sea igual a cero:a 3 0122(2= + − − = − + = − + )24 ± 16 −124 ± 22 1 2a 6 5a 3a 2a 8a 6 2 a 4a 3 = 0 → a − 4a + 3 = 0 → a ==2 22 5 aa• Si a = 1 → Sabemos que la1 columna depende linealmente de las dos últimas.11Veamos que ocurre con la 23201 = 0→La 22 5 1Por tanto, ran (M) = 2.• Si a = 3 → Sabemos que la1136b)Veamos que ocurre con la 232501 = 8 ≠ 0. Por tanto, ran3aacolumna:columna depende linealmente de las dos últimas.aacolumna depende linealmente de las dos últimas.columna:( M) = 3⎧a= 3⎨⎩a= 1Observamos que la 4acolumna es eldoble de la1. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.a1 4Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 4 ≠ 0 Así, ran (M) ≥ 2.0 4Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:1 0 42− 4 ± 16 + 48 − 4 ± 8 ⎧t= 20 t 4 = t + 4t − 12 = 0 → t == ⎨22 ⎩t= −6− 1 3 t( M) 3• Si t ≠ 2 y t ≠ −6→ ran =• Si t = 2 o t = −6→Por tanto, ran (M) = 2.c)⎛⎜1 1 λ + 1A = ⎜ λ 0 0⎜⎜ 0 λ 2⎝La 2120⎞⎟⎟⎟⎟⎠Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:aa acolumna depende linealmente de la1 y 3 .101= 2 ≠ 0 Luego, ran (A) ≥ 2.2

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 10Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2 a , 3 a y 4 a :1 λ + 1 11 λ + 1= − = − [ − λ( λ + )] = − [2−1±1+8 −1±30 0 2 22 2 1 2 2 − λ − λ]== 2⋅[ λ2+ λ − 2]= 0 → λ ==λ 22 2λ 2 0• Si λ ≠ 1 y λ ≠ −2→ A =• Si λ = 111010110• Si λ = −21− 20→2 = −1≠ 010− 210→La 32 = 8 ≠ 0a→La 3ran ( ) 3columna depende linealmente de la 2a→ran( A) = 3columna depende linealmente de la 2ran( A) = 3Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.d)aay 4 . Veamos qué ocurre con la 1aay 4 . Veamos qué ocurre con la1acolumna:acolumna:⎧λ = 1⎨⎩λ = −2Observamos que la 3acolumna es proporcional aTomamos un menor de orden 2 distinto de cero:la111a( es su triple) ; por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.1= 1 ≠ 0 Luego, ran (M) ≥ 2.2Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1 a , 2 a y 4 a sea cero:1 2 111t8 − 3t2− 2= −2t+ 8 − 3t + 4 − t − 2( 8 − 3t) + 4 = 0 para cualquier valor de t.aPor tanto, la 3 fila depende linelmente de las dos primeras para cualquier valor de t.Así, ran (M) = 2.ae) Podemos prescindir de la 3 columna, pues no influye en el rango.1 0Tomemos un menor de orden 2 distinto de cero: = 1 ≠ 0 Luego, ran (A) ≥ 2.4 1Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:1 0 −12− 4 ± 16 −12− 4 ± 2 ⎧a= −10 a − 3 = a + 4a + 3 = 0 → a == ⎨22 ⎩a= −34 1 a( A) 3• Si a ≠ −1y a ≠ −3→ ran =a• Si a = −1o a = −3→ La 2 fila depende linealmente de las otras dos→ran (A) = 2EJERCICIO 20 : Dada la matrizfórmula anterior, calcula A 4 .⎛ 5 − 4 2 ⎞2A = 2 − 1 1 , comprueba que A = 2A − I, siendo I la matriz identidad. Usando la⎜⎜⎜4 4 1⎟⎟⎟⎝ − − ⎠Solución:Comprobamos que A 2 = 2A - I

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 11⎛ 5A 2 ⎜= ⎜ 2⎜⎝−4⎛ 10⎜2A − I = ⎜ 4⎜⎝−8− 4−14− 8− 282 ⎞ ⎛ 5⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 2−1⎟⎜⎠ ⎝−44 ⎞ ⎛1⎟ ⎜2 ⎟ − ⎜0− 2⎟ ⎜⎠ ⎝0− 4−140102⎞⎛ 9⎟ ⎜1⎟= ⎜ 41⎟⎜⎠ ⎝−80⎞⎛ 9⎟ ⎜0⎟= ⎜ 41⎟ ⎜⎠ ⎝−8− 8− 38− 8− 384 ⎞ ⎫⎟ ⎪2 ⎟ ⎪− 3⎟⎠⎪⎪⎬4 ⎞⎟2 ⎟− 3⎟⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎠⎭Soniguales.Utilizando que A 2 = 2A - I, calculamos A 4 :A 4 = (A 2 ) 2 = (2A – I) 2 = 4A 2 – 4A + I = 4(2A – I) – 4A + I = 4A – 3I⎛ 5 − 4 2 ⎞ ⎛10 0⎞⎛ 20 −168 ⎞ ⎛30 0⎞⎛ 17 −168 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟Por tanto: A 4⎜= 4A − 3I = 4 ⎜ 2 −11 ⎟ − 3⎜01 0⎟= ⎜ 8 − 4 4 ⎟ − ⎜03 0⎟= ⎜ 8 − 7 4⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝−4 4 −1⎠⎝00 1⎠⎝−1616 − 4⎠⎝00 3⎜⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎝−1616 − 7⎠EJERCICIO 21 :⎛ 3 − 1 − 1 2 ⎞a) Calcula el rango de la siguiente matriz: A = 2 1 1 − 2⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎝ 0 1 1 − 1⎠b) ¿Cuántas filas hay en la matriz A que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.Solución:3 −1a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = 5 ≠ 02 1Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.3 −1−13 −12Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 2 1 1 = 0 ; 2 1 − 2 = 5 ≠ 00 1Por tanto, ran (A) = 3.b) Como ran (A) = 3, las tres filas de A son linealmente independientes.EJERCICIO 22 : Halla el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:⎛ 2 − 1 0 2⎞m = 1 − 2 3 1⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎝ 0 3 − 6 0⎠Solución:Tomamos un menor de orden2 no nulo:21− 1= −3≠ 0− 2Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.2 −10 2 −12Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 1 − 2 3 = 0 ; 1 − 2 1 = 00 3 − 6La tercera fila depende linealmente de las dos primeras. Por tanto, ran (M) 2.Así, el número de columnas de M linealmente independientes es 2.EJERCICIO 23 :⎛ − 3 5 4⎞2 − 1 2a) Averigua el rango de la matriz: M =1 3 8⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎝ 0 1 1⎠b) ¿Cuál es el número de columnas linealmente independientes en la matriz M? Justifica tu respuesta.Solución:10013−10

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 12− 3 5a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo : = −7≠ 02 − 1Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:− 3 5 4a2 −12 = 0 La 3 fila depende linealmente de las dos primeras.138− 3 5 4Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 2 −12 = 7 ≠ 00 1 1Por tanto, ran (M) = 3.b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.EJERCICIO 24 :⎛ − 2 0 2 1 ⎞a) Halla el rango de la siguiente matriz: A = 3 1 − 2 1⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎝ 1 − 1 − 2 − 3⎠b) Averigua el número de columnas de A que son linealmente independientes.Solución:− 2 0a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo: = −2≠ 03 1Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.− 2 0 2 − 2 0 1Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 3 1 − 2 = 0 ; 3 1 1 = 0Por tanto, ran (M) = 2.b) Como ran (A) = 2, hay dos columnas de A linealmente independientes.1−1− 21−1− 3EJERCICIO 25 :⎛ 2 0 − 2⎞3 − 1 0a) Obtén el rango de la siguiente matriz: M =2 − 1 1⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎝ 0 2 3 ⎠b) ¿Cuántas columnas hay en la matriz M que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.Solución:2 0a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo : = −2≠ 03 − 1Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:2 0 − 23 − 1 0 = 0 .aLa 3 fila depende linealmente de las dos primeras.2−11Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: = −18≠ 0 . Por tanto, ran ( M) = 3.0 2 3b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.230− 1− 20

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 13EJERCICIO 26 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:− 2 − 4 0 22 − 1 1 1− 1 0 1 − 1a)b)2 3 − 2 10 − 1 1 − 20− 1− 2 3 1c)2 − 1 0− 1 0 4 332− 3− 2−10122−11012− 21d)2110− 1− 13102− 123421e)− 12− 1021− 210− 1313112Solución:FILAS− 2 − 4 0 2− 10 − 4 − 2 4− 1− 4− 2aa) 2( 1) == −1− 2 3 = −62031− 2−110 −11 − 21a3− 2 ⋅ 2a+ 14aaa00− 11− 2−130 − 1 1 − 24−11 − 2a( 1 ) Desarrollamos por la1 columna.FILAS2 −11 11a0 −19ab) 0 − 2 3 1 2 0 − 2 3 1 ( 1)− 1 2 −10=− 1 0 4 33+ 2 ⋅ 4a− 44aaa70 2 − 5 − 3=− 1 0 4 3− 1− 2293− 571− 3= −4a( 1 ) Desarrollamos por la1 columna3 − 1 2 1FILAS−1ac) 2 0 −12 2 2 0 −12 ( 1)=a a− 3 1 1 − 2 3 + 1a− 2 2 0 1 4 + 2 ⋅ 121aa3210 0 3 −1=4 0 4 30 1 − 4 − 52 −1034 4 31− 42−1= 6a( 1 ) Desarrollamos por la 2 columna.aad) 1 − 1 2 4 2 1 −12 4 ( 1) 1 4 3 2 1 ( 30) ( 1 ) Desarrollamos por la1 columna301− 130− 1320 1 2 1e)−12 0 32−10=1 − 1 1− 2 3 11 1 2FILAS1a3=− 2 ⋅ 2a2− 24a3a1aa− 104− 3− 20 1 2 1−12 0 3−1= −a+ 2 ⋅ 1 0 5 7 1a4aaa0 − 4 30 1 1− 22⋅−− 5−1 2 15= −−1⋅7−=( ) ( 1) = = ( −1) ⋅ − 4 3 − 2 = − 1 ⋅ ( − 15)= 15a( 1 ) Desarrollamos por la1 columna.1 1 2EJERCICIO 27 : Halla, en función del parámetro, el valor de estos determinantes:1 1 1 121 a − 1 a− 12a) 1 2a − 2 2a − 1 b)x 1 11 02a− 1 − 1 x 1− 1 − 1 − 1 xSolución:221 a − 1 a 1 a − 1 a(a) ( )1 1 a122− − = − − = (21 2a 2 2a 1 1 2 a 1 2a 1 a − 1) 1 2 2a − 1 =1 02a 1 02a1 02a

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 14= 23FILASaa1aa−1a−1( a2−1)10011−1aa −1a2− a( 2 ) ( ) ( )( ) ( ) 2= a2−11−1( ) Sacamos ( a2a1) factor común de la 2 columna.a −1a2− a= a2−1a2−1= a2−1a1 − ( 2 ) Desarrollamos por la1 columna.b)1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1−1x 1 1 − 1 x 1 12== x + 1 − 1 x 1 = x + 1 −1x 1 =−1−1x 1 − 1 −1x 1− 1 − 1 x 0 0 x + 1−1−1− 1 x 0 0 0 x + 1( 1) ( 2) ( 1) ( )( ) ( )( 2) ( )2 1 1 ( )2 ( ) ( )3=x + 1−1x= x + 1x + 1 =x + 1(1) Sumamos a al última fila la primera. (2) Desarrollamos por la última filaEJERCICIO 28 : Resuelve la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):− 1 x x xx − 1 xx x − 1x x xxx− 1= 0aSolución: Sumamos a la1 columna las otras tres:−1x x x 3x − 1 x x xxxx− 1xxFILASx−1xxx− 13x − 1=3x − 13x − 1−1xxx− 1xxx−11( 1) 1 − 1 x x= ( 3x −1) =11xxxx−1xxx−1=234aaa1aa− 1a−1a−1( 3x −1)1000x−1−x00x0−1−x0x00−1−x( 2) ( 3x 1)(1 x)3 0=−−−=a( ) Sacamos ( 3x 1) factor común de la 1 columna.1 − (2) Es el determinante de una matriz triangular.⎧1⎪3x −1= 0 → 3x = 1 → x =( 3x −1)( −1−x)3= 0 → ⎨3⎪( ⎩ −1−x)3= 0 → −1−x = 0 →1La ecuación tiene dos soluciones: x1 = ; x 2 = −13EJERCICIO 29 : Desarrolla el siguiente determinante:Solución: Sumamos a la primera columna las otras tres:FILASx + 2111x + 2111x = −11x + 2111x + 21111x + 2111x + 21111x + 2111x + 2x + 5x + 5=x + 5x + 51x + 21111x + 21111x + 2( 1)=a a( 1) 1 x + 2 1 1 2 − 1 0 x + 1 0 0 ( 2) ( ) ( ) ( )( )3= x + 51111111x + 2111x + 2=34aa1aa− 1a− 1x + 51001001x + 1010x + 1=x + 5 x + 1

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 15a( ) Sacamos ( x 5) factor común de la 1 columna.1 + (2) Es el determinante de una matriz triangular.x − a − b a bEJERCICIO 30 : Resuelve la siguiente ecuación: c x − b − c b = 0c a x − a − cSolución:x − a − b a b( 1=)x x − b − c b =c x − b − c b= 2c a x − a − c x a x − a − c3(1) A la primera columna le sumamos las otras dos.⎧x= 0x( x − a − b − c)2= 0 → ⎨⎩x− a − b − c = 0 → x = a + b + cPor tanto, la ecuación tiene dos soluciones: x1 = 0; x 2 = a + b + cxabFILASaa1aa− 1a− 1x00ax − a − b − c0b0x − a − b − c= x( x − a − b − c) 2= 0EJERCICIO 31 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:a) a b c 2 2 2 b) x y zaa x y = b x pa b c = 02a p q c y q2x − a 2y − b 2z − cSolución:a) a baaxpcyq1( 1) ( 2)= a 11bxpcyq1= a bc1xy1pq=a22bc2xy2pqPor tanto, la igualdad es cierta.a( 1 ) Sacamos a factor común de la1 columna. (2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.aa ab) La 3 fila es combinación lineal de las dos primera ( es 2 ⋅ 1 − 2 ).Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta.xEJERCICIO 32 : Sabiendo que a b c = 2, halla el valor de los siguientes determinantes:a)Solución:a) a − xb)2apa − x2apb − y2bqb − y2bqc − z2crc − z2cr= 2a − xappyqzrb − ybqb)aa( ) Hemos restado a la 1 fila la 2 .*x + y + za + b + cp + q + r2y2b2qzcr=xap2y2b2qzcr+ybqc − z2y2b2qcrx + y + za + b + cp + q + rzcr2y2b2q( )= 2 a b c =oaa( ) El 2 determinante es 0 por tener dos columnas ( la1 y la 2 )zcr− x − y − z x y z* = −2 a b c = −2⋅ 2 = −4+zcrp2y2b2qqzcr=rxpq(* )= 2 a b c + 0 + 0 = 2 ⋅ 2 = 4*proporcionales.a aEl tercer determinante es cero por tener dos columnas iguales ( 1 y 3 ).pyqzrr

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 16EJERCICIO 33 :a) Justifica, sin desarrollar el determinante, que12 − 1203435344es múltiplo de 7.b) Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es cero:2 1 3 22x − 1 x / 2x − 2 y − 1 z − 3 t − 2; 2y 2 y / 22 − 5 0 32z 3 z / 2x y z tSolución:a)Sumamos a la1acolumna las otras dos:12 − 1 3 14 − 1 3 7 ⋅ 2 − 1 3 2 − 1203435Por tanto, el determinante es múltiplo de 7.44=284243544= 7 ⋅ 47 ⋅ 64354 = 7 4b) Primer determinante → La 2 a es combinación lineal de la 4 a y la 1 a (es igual a la 4 a menos la 1 a ). Por tanto, el determinante escero.Segundo determinante → La 1 a y la 3 a columna son proporcionales (la 1 a es 4 veces la 3 a ). Por tanto, el determinante es cero.EJERCICIO 34 : Indica, razonando tu respuesta, si son ciertas o no las siguientes igualdades:b) a b c 2a 2p 2xa) x + 2y y + 2z x y 2y 2z= +p q r = 8 2b 2q 2yp q p q p qx y z 2c 2r 2zSolución:a) x + 2y y + 2zx y 2y 2z= q( x + 2y) − p( y + 2z) = qx + 2qy − py − 2pz = = ( qx − py) + ( 2qy − 2pz)= +p qp q p qPor tanto, la igualdad es verdadera.b) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Además, si multiplicamos una fila (o una columna) por un número,2a 2p 2x a p x a b cel determinante queda multiplicado por ese número. Por tanto: 8 2b 2q 2y = 8 ⋅ 8 b q y = 64 pPor tanto, la igualdad es falsa.EJERCICIO 35 : Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 2 tales que |A| = - 2 y |B| = 4, calcula, justificando lat t −1−1respuesta: AB ; A ; B ; A B ; 3A2c2r2zc4r6z435344xqyrzSolución:Tendremos en cuenta que:t1)AB = A ⋅ B2) A = A3)11 11 1A ⋅ A− − −−( −1= I → A ⋅ A = A ⋅ A = 1 → A = si A ≠ 0; es decir,si existe AA).⎛ a=⎜114 ) Si A⎝a21Por tanto:tABa12⎞⎛ 3a⎟=⎜11, entonces 3Aa 22 ⎠⎝3a213a12⎞⎟3a 22 ⎠t= A B = A B = −2⋅4 = −8A t = A = −21 −1A B = A B =1 1B = ⋅ 4 = −2A − 2− 3A = 3 A = 9 A = 9 ⋅ ( − 2 ) = − 182− 1B 1 = =B14