Examen Septiembre 2002

a) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 1.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, el espectro S 0 (f) dela señal de salida s 0 (t) es proporcional a la Densidad Espectral de Energía de la señal de entrada(|S(f)| 2 ), salvo por un factor de retardo. (6 ptos)b) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 2.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, la salida esproporcional a una versión desplazada de la función de autocorrelación de la entrada. (6 ptos)c) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 3.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, y a la entrada delfiltro hay ruido blanco, la relación SNR definida como:20( T )sSNR = (σ 2 n es la potencia de ruido a la salida del filtro adaptado)σ2ndepende únicamente de la relación entre la energía de la señal a la entrada y de la densidadespectral del ruido blanco situado a la entrada. (6 ptos)d) Considere un filtro adaptado a una señal s(t) de energía finita y duración T segundos. El filtrose excita con una entrada consistente en una versión de s(t) retardada t0 segundos. ¿En quéinstante alcanza la salida del filtro su máxima amplitud? ¿Cuál es el valor máximo de la salida yqué significado tiene? (6 ptos)e) El filtro adaptado puede emplearse en la recepción óptima de pulsos en presencia de ruidogausiano, mediante el esquema:s(t) s 0 (t) s 0 (T)h(t)Dibuje otra posible implementación o realización del mismo receptor. Demuestre que las salidasobtenidas con ambos esquemas son las mismas, calculando la expresión de la señal de salida enambos casos para una señal de entrada x(t) cualquiera (para la que el filtro no estánecesariamente adaptado). (6 ptos)Problema 3 (25p.)La señal de entrada al detector síncrono de la figura es:y[ A + A x(t)] cos w t − A x′( t)senw t n()( t)=tR l mc nc+donde x′ (t)es una transformación lineal del proceso x (t)y n (t)es un ruido blanco conηdensidad espectral de potencia2 .