Examen Septiembre 2002

Komunikazioaren Teoria / Teoría de la ComunicaciónSeptiembre 2002 IrailaOrri desberdinetan hasi ariketa bakoitza. /Realice cada en ejercicio en hojas separadas.Ezin da mugikorrik erabili. / No se permite uso de teléfono móvil.Idatzi zure izena orri guztietan. / Escriba su nombre en todas las hojas.Argi adierazi zein atalari erantzuten ari zaren. / Indique claramente el apartado al que está respondiendo.Ondo irakurri enuntziatu osoa ariketa hasi baino lehen. /Lee bien todo el enunciado del problema.Denbora / Tiempo: 3 horasProblema 1 (20p.)Una tensión senoidal x t)= A ⋅sin(2π f t + φ ) en donde A es una variable aleatoria, y φ x una(0 xfase aleatoria uniformemente distribuida en (0, 2π) e independiente de A, se pasa a través delfiltro paso bajo RC de la figura:RCa) ¿Es x(t) estacionario en sentido amplio? Justifique su respuesta. (5 ptos)b) Para la tensión senoidal de salida y t)= B ⋅ sin( 2π f t + φ ) calcular B y φ y en función(0 yde A, φ x, f 0 , R y C. (5 ptos)c) Calcular la función de correlación de la entrada con la salida R xy (τ). (5 ptos)d) Calcular la función de correlación de la salida R yy (τ). (5 ptos)Problema 2 (30p.)Como sabe, un filtro adaptado a una cierta señal de entrada s(t), se caracteriza por tener unarespuesta impulsional del tipo:h( t)= s(T − t)A lo largo de este ejercicio vamos a analizar algunas importantes propiedades de estos filtros. Esimportante que realice las demostraciones justificando todos los pasos realizados.

a) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 1.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, el espectro S 0 (f) dela señal de salida s 0 (t) es proporcional a la Densidad Espectral de Energía de la señal de entrada(|S(f)| 2 ), salvo por un factor de retardo. (6 ptos)b) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 2.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, la salida esproporcional a una versión desplazada de la función de autocorrelación de la entrada. (6 ptos)c) Demuestre la siguiente propiedad:Propiedad 3.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, y a la entrada delfiltro hay ruido blanco, la relación SNR definida como:20( T )sSNR = (σ 2 n es la potencia de ruido a la salida del filtro adaptado)σ2ndepende únicamente de la relación entre la energía de la señal a la entrada y de la densidadespectral del ruido blanco situado a la entrada. (6 ptos)d) Considere un filtro adaptado a una señal s(t) de energía finita y duración T segundos. El filtrose excita con una entrada consistente en una versión de s(t) retardada t0 segundos. ¿En quéinstante alcanza la salida del filtro su máxima amplitud? ¿Cuál es el valor máximo de la salida yqué significado tiene? (6 ptos)e) El filtro adaptado puede emplearse en la recepción óptima de pulsos en presencia de ruidogausiano, mediante el esquema:s(t) s 0 (t) s 0 (T)h(t)Dibuje otra posible implementación o realización del mismo receptor. Demuestre que las salidasobtenidas con ambos esquemas son las mismas, calculando la expresión de la señal de salida enambos casos para una señal de entrada x(t) cualquiera (para la que el filtro no estánecesariamente adaptado). (6 ptos)Problema 3 (25p.)La señal de entrada al detector síncrono de la figura es:y[ A + A x(t)] cos w t − A x′( t)senw t n()( t)=tR l mc nc+donde x′ (t)es una transformación lineal del proceso x (t)y n (t)es un ruido blanco conηdensidad espectral de potencia2 .

Bloqueodey R(t)continua y D(t)Filtro ideal de predetecciónajustado al ancho de bandade transmisiónKDcos( w t + φ)ca) Obtener la relación S/N a la salida del detector. (13 ptos)b) Particularizar el resultado de la relación S/N obtenida para los casos de modulaciónAM, DBL y BLU. Para ello realice las consideraciones oportunas en la expresiónanalítica de y R(t)para adecuarse a la definición de cada modulación. (8 ptos)c) ¿Cómo influye la fase inicial del oscilador local φ en la relación S/N de cada una de lasmodulaciones anteriores? (4 ptos)Problema 4 (25p.)Se considera una transmisión digital utilizando un código AMI de la forma:2 6El canal que atraviesa introduce un ruido gaussiano n(t) de media nula y varianza σ =10 − ,y finalmente se encara un receptor como el descrito en la figura siguiente, llegando la señal conuna amplitud V=5mV,Muestreadorcada T sCircuito dedecisiónn(t)a) Considerando los '1' y '0' equiprobables, calcule los umbrales ±U D que debenconfigurarse en el circuito de decisión a partir del criterio de máximo a posteriori MAP.(10 ptos)b) Considerando que se configura el detector con U D = 2.63mV, calcule la probabilidad deerror P e de la recepción. (9 ptos)c) Dibuje una gráfica aproximada para la probabilidad de error P e en función de U D delcircuito de decisión. Utilice para ello la gráfica de la función de coerror que acontinuación se presenta. (6 ptos)