Variable Compleja II Tarea 3 5 de abril 2013 1. Sean {zn},{wn} ⊂ C ...

Variable Compleja II Tarea 35 de abril 20131. Sean {z n } , {w n } ⊂ C dos sucesiones tales que ∞n=1 z n y ∞n=1 w n convergen (a un complejo distintode cero). Demuestre que los productos ∞n=1 z nw n y ∞n=1 (z n) −1 convergen y ademásy∞z n w n =n=1∞∞z n w nn=1 n=1∞∞ −1(z n ) −1 = z n .n=12. Demuestre que ∞n=1 (1 + z n) converge absolutamente si y sólo si ∞n=1 (1 + |z n|) converge.3. Demuestre que si f es una función meromorfa en una región G ⊂ C entonces existen g, h ∈ H (G)tales que f = g/h.4. Sean f,g ∈ ´H (G). Demuestre que existen f 1 ,g 1 ,h ∈ ´H (G) tales que, ∀z ∈ G, f (z) =h (z) f 1 (z) yg (z) =h (z) g 1 (z), yf 1 y g 1 no tienen ceros en común.n=15. a) Sean 0 < |a| < 1 y |z| ≤ r

converge en H (G) y es igual a f (z).b) Suponga que f no es idénticamente cero. Sea K ⊂ G compacto tal que f no se anula en K.Demuestre que ∀z ∈ Ky que la convergencia es uniforme sobre K.f (z)∞f (z) = n=1f n (z)f n (z)10. Encuentre una función entera f, talquef (z) =0si y sólo si z = n + in con n ∈ Z. Trate de dar elejemplo más elemental posible.11. Encuentre una función entera f, talquef (z) =0si y sólo si z = m + in con n, m ∈ Z. Trate de darel ejemplo más elemental posible.12. Encuentre una factorización para senh (z) y cosh (z).13. Encuentre una factorización para la función cos πz4− senπz4.14. Demuestre la fórmula de Wallis:π∞ 2 = (2n) 2(2n − 1) (2n +1) .n=115. Demuestre que para toda z/∈ Z, Γ (z) Γ (1 − z) =π csc (πz) y concluya que Γ (1/2) = √ π.16. Demuestre que√ πΓ (2z) =2 2z−1 Γ (z) Γ z + 1 .2Sugerencia: considere a la función Γ (z) Γ z + 1 2(Γ (2z)) −1 .17. Demuestre que log Γ (z) está definido para z ∈ C \ (−∞, 0] yquelog Γ (z) =− log z − γz −∞n=1 log 1+ z − z .n n18. Sea f una función analítica en el semiplano Re (z) > 0 ytalque,f (1) = 1, f (z +1)=zf (z) yparatoda zf (z + n)limn→∞ n z f (n) =1.Demuestre que f = Γ.19. Demuestre que para z = 0, −1, −2,...Γ (z) =∞ (−1) n ∞n!(z + n) + e −t t z−1 dt.n=0120. Demuestre que ∞ ∞sen t 2 dt = cos t 2 dt = 1 122 π00