Problemas de Red Real y Red Recíproca

1) Problemas de Red Real y Red RecíprocaProblemas del libro Introduction to Solid State Physics, Kittel:1.4 / 1.5 / 1.7 / 1.82.1 / 2.3 / 2.102) Problemas de Fonones acústicos y ópticos (enfoque clásico)Problemas del libro Introduction to Solid State Physics, Kittel:5.1 / 5.6 / 5.7Problemas del libro Solid State Physics, Ashcroft / Mermin:22.3Red bidimensional anisotrópica: Considerar una red bidimensional de átomos todosequivalentes, pero no es cuadrada. Parámetros de red “a” y “b” en las direcciones ‘x’ y‘y’. Ademas, los resortes de interacción entre atomos primeros vecinos son diferentes.Tienen constante de fuerza “C 1 ” y “C 2 ” en las direcciones ‘x’ y ‘y’. 1) Obtener larelación de dispersión de fonones. 2) Obtener la velocidad del sonido en la dirección ‘x’ yen la dirección ‘y’. 3) Si C 2 = 2C 1 y b = a/2, ¿cuál velocidad es más grande? 4) ¿Quérelación deben cumplir los parámetros a, b, C 1 y C 2 para que funcione lo mejor posibleun modelo de Debye isotrópico? 5) Grafique ω(k x ,k y ) para C 2 = 4C 1 y b = a.3) Problemas de Fonones (enfoque cuántico)Problemas del libro Quantum Theory of Solids, Kittel:4) Problemas de MagnonesMagnones 3D: Suponga una red tridimensional cúbica de N espines 1/2 acopladosmediante una interacción ferromagnética J>0. El Hamiltoniano del sistema está dadoentonces como:H = -J/2 Σ S j .S j+δdonde el índice j recorre todos los espines ubicados en las posiciones R=(l a,m a,n a) y δrecorre todos sus vecinos ubicados en ( (l ±1) a,m a,n a) , (l a, (m ±1) a,n a) y (l a,m a, (n

±1) a). Encuentre la relación de dispersión de magnones ε(k) para este sistema y calculeel calor específico magnético en función de la temperatura.Magnones “ópticos”: Suponga una cadena lineal de N espines 1/2 acoplados medianteinteracciones ferromagnéticas. Sin embargo, estos espines se agrupan de a pares einteractúan mediante dos energías de acoplamiento diferentes, J i y J e (positivas). J i es elacople interno dentro de cada par, y J e es la interacción entre espines de pares vecinos.Gráficamente:A B A B A B A BJ eJ i J e J iSuponga que todos los espines se encuentran a una distancia a (no preste atención algráfico, donde se juntaron de a pares espacialmente sólo para remarcar el problema).1) Escriba el hamiltoniano del sistema.2) Obtenga la relación de dispersión de magnones, ε(k).Ayudas:- note que es conveniente considerar que la red consiste de M celdas unidad(M=N/2) donde cada celda posee dos clases de espines, A y B. El parámetro dered de la celda primitiva es entonces 2a.- según el punto anterior puede haber entonces dos clases de excitaciones: unadonde los espines A están invertidos y otra donde los espines B están invertidos.- para resolver el problema considere dos clases de estados cuánticos conexcitaciones deslocalizadas de las dos clases mencionadas en el punto anterior.Luego diagonalice.- Si no obtiene dos ramas algo está mal !!!3) Grafique la relación de dispersión ε(k) de ambas ramas. ¿Cuanto vale el gap deenergía que las separa?4) Demuestre que en el límite J i =J e se re-obtienen los magnones de un ferromagnetonormal.5) Calcule el calor específico magnético en función de la temperatura a bajastemperaturas. Ayuda:Integral 0∞ [ x 1/2 / (e x – 1) ] dx = 1.306 π 1/25) Metales/aislantes, electrones cuasi-libresProblemas del libro Introduction to Solid State Physics, Kittel:7.4/9.3/9.4/9.10

6) Tight bindingObtenga y grafique la estructura de bandas de los siguientes sistemas:1- Una cadena lineal de N átomos en la dirección x y con un orbital s en cada átomo.Indique para k=0 y k=π el carácter de las funciones de onda (bonding/antibonding).2- Una cadena lineal de N átomos en la dirección x y con un orbital p x en cada átomo.Indique para k=0 y k=π el carácter de las funciones de onda (bonding/antibonding).3- Una cadena lineal en la dirección x que posee dos tipos de átomos alternadamente. Elátomo S tiene un orbital s y el átomo P tiene un orbital p x . Hay en total N pares deátomos S-P. Indique para k=0 y k=π el carácter de las funciones de onda(bonding/antibonding) de cada una de las bandas obtenidas.4- Una red 2D rectangular en el plano xy con N átomos todos iguales. Cada átomo poseeun orbital s. Indique para k=0 y k=(π,0) el carácter de las funciones de onda(bonding/antibonding) de cada una de las bandas obtenidas.5- Una red 2D rectangular en el plano xy con N átomos todos iguales. Cada átomo poseeun orbital p x .6- Una red 2D cuadrada en el plano xy con dos tipos de átomos alternadamente, A y B,de manera que cada átomo A tiene cuatro vecinos B y viceversa. Hay en total 2N átomosde cada uno (note que cada celda unidad posee dos átomos A y dos átomos B). Ambosátomos, A y B, poseen un orbital s, pero sus energías de ocupación son diferentes.7- Una red 2D cuadrada en el plano xy con dos tipos de átomos alternadamente, S y D, demanera que cada átomo S tiene cuatro vecinos D y viceversa. Hay en total 2N átomos decada uno (note que cada celda unidad posee dos átomos S y dos átomos D). En cadaátomo S hay un orbital s y en cada átomo D hay un orbital d_x 2 -y 2 .8- Una red 3D cúbica de N átomos todos iguales cada uno con un orbital s.9- Una red 3D tetragonal de N átomos todos iguales cada uno con un orbital d_x 2 -y 2 .-- Problemas del libro Solid State Physics, Ashcroft / Mermin:10.1/10.2-- Problemas del libro Atomic and Electronic Structure of Solids, Kaxiras:Todos los del capítulo 4.