R t ió d S ñ l Representación de Señales no periódicas: La ...

Desarrollo de la Transformada deFourier• Sea x(t) una señal cuadrada de período T. Suscoeficientes de Fourier para su representación en seriesse notan por a k , y pueden relacionarse con una funciónde evolvente Ta k .• Conforme el valor de T aumenta, las muestras equisespaciadassobre la evolvente Ta k forman un espectromucho más compacto. Esto significa que en ciertosentido el conjunto de coeficientes i de la serie de Fourierse aproxima a la función de la evolvente a medida que Ttiende a infinito.11/10/2010 René Játiva Espinoza

Desarrollo de la Transformada deFourier⎧ ⎪1,t

Desarrollo de la Transformada deFourier: Ciclo de Trabajo DC=0,1250.25Coeficientes Serie de Fourier y Transformada de FourierAmplitud0.20.150.10.050-0.05Los coeficientesde la serie deFourier seencuentranequis-espaciados.En este caso son8 en el intervalo[-π,π)-0.1-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20Frecuencia11/10/2010 René Játiva Espinoza

Desarrollo de la Transformada deFourier: Ciclo de Trabajo DC=0,0500.1Coeficientes Serie de Fourier y Transformada de FourierAmplitud0.080.060.040.02-0.02Los coeficientesde la serie deFourier seencuentranmucho más0 próximos, y eneste caso son 20en el intervalo[-π,π)-0.04-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Frecuencia11/10/2010 René Játiva Espinoza

Desarrollo de la Transformada deFourierFormemos una señal periódica x tildada a partir de laseñal de tiempo continuo original x(t) y obtengamossu representación en serie de Fourier:T /2∞jw 1;ot− jkwotxt ( ) = ∑ aekak=∫ xte ( ) dtTk =−∞T /2−T/21 − jkwt 1o− jkwt oa ( ) ( )k= ∫ x t e dt = ∫ x t e dtTT−T/2∞1Si X jw = ∫ x t e dt → ak= X jkwT( ) ( )− jwt( )−∞11/10/2010 René Játiva Espinoza∞−∞o

Desarrollo de la Transformada deFourier• Nótese que la señal x(t) original puede concebirse comola señal periódica x tildada cuando T tiende a infinito:∞∞1 1() ( )jkw( )otxt = ∑ X jkwo e = ∑ woX jkwoek=−∞T2π k=−∞Si T →∞ ⇒w →0;xt →x t∞0() ()jkw t1() ( )jwt; ( ) ( )− jwt→ x t = ∫ X jw e dw X jw = ∫ x t e dt2π−∞∞−∞o11/10/2010 René Játiva Espinoza

SeriesLas representaciones de FourierPeriódicas() [ ]x tjkwot= ∑X k e∫No Periódicas∞1Tjwtx() t = X ( jw)e dw2πr−∞∞1−[ ] ( )jkw o t− jwtX k = x t e dt X ( jw ) =x ( t ) e dtT∫∫( ) ( +)< T > −∞x t = x t+ T ;w =o2πT1x n X e dw2πjkwonjw[ ] = ∑ X[ ke ] [ ] = ∫ ( )xnk=< N> −π∞− jkw n jw − jwn1o[ ] = ∑ [ ] ( ) = ∑ [ ]X k X n e X e x n eNn=< N> n=−∞2π jwjw+2πxn= xn+ N;wX e X eo==N11/10/2010 René Játiva Espinoza[ ] [ ] ( ) ( )πansformada

La Transformada de Fourier entiempo discreto (DTFT)• De forma similar al caso anterior, las expresiones de laDTFT pueden hallarse como un caso límite de larepresentación en series de Fourier en tiempo discreto(DTFS). Representemos x[n] una señal no periódicacomo una porción de la señal periódica x[n] tildada deperíodo N=2M+1 y hagamos tender a N hacia elinfinito:⎪⎧ xn [ ],− M≤n≤Mx[ n]= ⎨; x n = lim xn0, n > MM →∞⎪⎩11/10/2010 René Játiva Espinoza[ ] [ ]

La Transformada de Fourier entiempo discreto (DTFT)⎧⎪xn [ ],−M≤n≤Mxn [ ] = ⎨; xn [ ] = lim xn [ ]M →∞⎪⎩ 0, n > MMM1jkw;onxn [ ] = ∑ X[ ke ] X[ k] =∑ xne [ ]2 M +1k=− M n=−M∞1 − o[ ] [ ]→X k =2M+ 1∞∑n=−∞x n ejkw n(jw) − jwnjkw= [ ] → [ ] = ( )∑−1oSi X e x n e X k X e2M+ 1n=−∞11/10/2010 René Játiva Espinozajkw no

La Transformada de Fourier entiempo discreto (DTFT)M1[ ] (jkw)2o jkwonπ→ xn = ∑ X e e ; wo=2M+ 1 2M+ 1k=−MM→ 1[ ] (jkw)o jkwonxn = X e e wo2π ∑k =−MM1lim lim jkwo jkwonxn [ ] = xn [ ] = ∑ X( e ) e wM→∞M→∞2ππk=−M1jwjwn→ xn [ ] = ∫X( e )e dw2π −π11/10/2010 René Játiva Espinozao

Señal Discreta Periódica x[n] deperíodo N=130.5Señal Discreta Periódica N=130.4504 0.40.3500.30x[n]0.250.200.15. . .0.100.0500 20 40 60 80 100 120[n]11/10/2010 René Játiva Espinoza

Módulo de Coeficientes de Fourierde la señal Periódica x[n]xk025 0.250.2Módulo de Coeficientes de Serie de Fourier N=13; wo=2pi/15x o =0.2110.15k]p0.10.05X 12 =0.11900 2 4 6 8 10 12[k]11/10/2010 René Játiva EspinozaLa señalperiódica x[n]estácaracterizadapor N=13coeficientespara surepresentaciónen series deFourier

Señal discreta No Periódica x 1 [n] deextensión N 1 =104[n]x1Señal Discreta No Periódica N1=1040.50.450.40.350.3025 0.250.20.150.10.0500 20 40 60 80 100 120[n]11/10/2010 René Játiva EspinozaNote que larepetición delas primerasN=13muestras deesta señalx 1 [n] generanla señalperiódicax[n] anterior

Representaciones de Fourier parax[n] y x 1 [n]Representaciones de Fourier N=13; N1=104; 104; wo=2pi/15; wmin=pi/600.250.20.150.10.05X1(jw)/N en azulCoeficientes yk en rojo00 1 2 3 4 5 6 7Frecuencia angular w11/10/2010 René Játiva EspinozaNote como laTransformada deFourier de x 1 [n]escalada en N=13y los coeficientesde la serie deFourier de x[n]coinciden en lagráfica.

La Transformada de Fourier entiempo discreto (DTFT)• Al deducir la DTFT se ha supuesto que x[n] tieneduración finita. Estos resultados se extienden a señalesde duración infinita siempre y cuando x[n] seaabsolutamente sumable, pues en este caso la DTFTconverge uniformemente a una función continua de w.Si x[n] no es absolutamente sumable, pero tiene energíafinita, la DTFT converge en un sentido del errorcuadrático dáti medio, pero no converge puntualmente.∞∑n=−∞[ ] ; xn[ ]2xn∞∑11/10/2010 René Játiva Espinoza< ∞

Ejemplo:• Encuentre la DTFT de x[n]=2(3) n u[-n].(jw) [ ]X e∞= ∑n=−∞x n e−jwn∞0jw jwn n − jwn( ) n−= 23 ( ) [ − ] =23( )∑∑X e u n e en=−∞n=−∞1 1 1(jw)2 ⎛21 jw j w jwn ⎞X e = ⎜ + e + e + … e + …3 9 3 n ⎟⎝⎠( jw)2X e =jw1 − e /311/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de lasRepresentaciones de Fourier• Periodicidad:En el Dominio delTiempoContinuaDiscretaPeriódicaNo periódicaEn el Dominio dela FrecuenciaNo periódicaPeriódicaDiscretaContinua11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de lasRepresentaciones de Fourier• LinealidadFTz t = ax t + by t ↔ Z jw = aX jw +bY jw( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )FT , woz t ax t by t Z k aX k bY k( ) = ( ) + ( ) ↔ [ ] = [ ] +[ ]DTFT[ ] jwjw= [ ] + [ ] ↔ [ ] = ( ) + ( )z n ax n by n Z k aX e bY eDTFT , wo[ ] = [ ] + y[ ] ↔ [ ] = [ ] +[ ]z n ax n by n Z k aX k bY k11/10/2010 René Játiva Espinoza

Ejemplo: Cálculo de laTransformada Inversa de FourierX• Encuentre la transformada inversa de Fourier de:jw( )jw( )=jw + 1( jw) 2 + 5jw+ 61 C1C2jw+= + → C1 =− 1; C2= 22+ 5jw+ 6 jw + 2 jw + 3−1 2→ X ( jw)= +jw + 2 jw + 3→ x t = 2e u t −eu t( )−3t( )−2t( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Ejemplo: Transformada Discretade Fourier en Tiempo Discreto• Encuentre la transformada de Fourier en tiempodiscreto de:[ ]n= a u[ n]x n∞ ∞ ∞jw − jwn n − jwn n −jwn( ) [ ] [ ]∑ ∑ ∑X e = xne = aune = aen=−∞ n=−∞ n=0∞z1X z = ∑ a z = =n=0 z−a 1−az(jw)1→ X e =jw1 − ae −( )n −n−111/10/2010 René Játiva Espinoza

Ejemplo: Cálculo de laTransformada Inversa de Fourier• Encuentre la transformada inversa de Fourier entiempo discreto de:5 −jw5 −1− e + 5 − z +5= 6 ; X z = 61 jw 1 jw1 11+ e − e 1+ z − z6 6 6 6(jw) ( )X e55− −2 −1 −2−1− z +6 C1 C2= + →C1= 4; C2=11 −1 1 −2 1 −1 1 −11+ z − z 1+ z 1−z6 6 2 3⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞→ xn= 4⎜− ⎟ un+⎜ ⎟ un⎝ 2⎠ ⎝3⎠11/10/2010 René Játiva Espinozan[ ] [ ] [ ]n

Pares Básicos de Transformadasde FourierDominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia∞∞1j t − jwtjwt( ) = ( ) ( ) =( )x t ∫ X jw e dw X jw ∫ x t e dt2π−∞⎧⎪1, t ≤T 2sin( ( wT)x() t = ⎨X ( jw)=⎪⎩ 0, de otra formaw1 ⎧⎪1, w≤Wx() t = sin ( Wt) X ( jw)=⎨πt ⎪ ⎩0,de otra formax t = δ t X jw =( ) ( ) ( ) 111/10/2010 René Játiva Espinoza−∞

Pares Básicos de Transformadasde FourierDominio del TiempoDominio de la Frecuencia( ) = 1 ( ) = 2πδ( )x t X jw w1x t u t X jw wjw( ) = ( ) ( ) = +πδ( )−at( ) ( ) , Re { } 0( j)x t = e u t a > X jw =−at( ) ( ), Re { } 0( j)x t = te u t a > X jw =11/10/2010 René Játiva Espinoza1a + jw1( a + jw) 2

Pares Básicos de Transformadasde FourierDominio del TiempoDominio de la Frecuencia−atx t = e , a> 0 X jw=2a+ w( ) ( )2 21 2 2t /2 −w/2x ( t ) = e −X ( jw )=e2πa11/10/2010 René Játiva Espinoza

Pares Básicos de Transformadasde Fourier en Tiempo DiscretoDominio del TiempoDominio de la Frecuencia∞1jw jwn jw − jwn[ ] = ∫( ) ( ) =∑[ ]x n X e e dw X e x n e2π< 2π>n=−∞⎡ ⎛2M+ 1⎞⎤sinw⎧1, n M⎜ ⎟⎪ ≤⎢2⎥[ ] (jwxnX e )⎝ ⎠=⎣ ⎦⎨=⎪⎩ 0, de otra forma⎛w⎞sin ⎜⎟⎝2⎠n[ ] [ ] (jw)1xn= α un, α < 1 X e =jw1 − αe−[ ] [ ] (jw= δ) = 1xn n X e11/10/2010 René Játiva Espinoza

Pares Básicos de Transformadasde Fourier en Tiempo DiscretoDominio del TiempoDominio de la Frecuencia∞1[ ] [ ] (jw= ) = + π ∑ δ ( −2π− jw)xn un X e w p1−e1 ⎧1,[ ] sin ( ) (jw)⎪xn=Wn X e = ⎨π n⎪⎩ 0,0 < W ≤πjwX e = X ep=−∞wW< ≤ π ( ) ( jw+2π)n[ ] ( 1) [ ] jwα( )xn= n+ un X e =11/10/2010 René Játiva Espinoza≤W< w ≤π1( jw1−αe−)2

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoSi g ( ) ( ) ( ) ( )1t ←⎯⎯→⎯G1 f , g2 t ←⎯ ⎯⎯→ G2 f , y c1,c2sonconstantes, pueden demostrarse las siguientes propiedades:pI. Linealidad:II.III.cg1 1t + cg2 2t ←⎯⎯→⎯ cG1 1f + cG2 2f( ) ( ) ( ) ( )Escalamiento Temporal1 fgat( )←⎯⎯→⎯ G⎛ ⎜ ⎞⎟a ⎝ a ⎠DualidadGt () ←⎯⎯→⎯ g − f( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoIV.Desplazamiento Temporalgt ( −t o) ←⎯⎯→⎯G f exp −j 2πft( ) ( )V. Desplazamiento FrecuencialVI.exp j 2 π f ( )ct g t ←⎯⎯→ ⎯ G f − f( ) ( )Área bajo g(t)∞∫−∞g tG( ) ( )11/10/2010 René Játiva Espinoza=oSiendo f c es una constante real0c

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoVII.Área bajo G(f)g∞( 0) ( )= ∫−∞G f dfVIII. Diferenciación en el Dominio Temporald Se asume que la derivadag () t = j 2πfG ( f ) de g(t) tiene transformadadtde FourierIX. Integración en el Dominio Temporalt∫−∞1g τ d τ ←⎯⎯→ ⎯= 0j2fG f + π G δπw( ) ( ) ( ) ( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoX. Funciones ConjugadasXI.Si g t es compleja,()←⎯⎯→⎯* *g t G − f( ) ( )(.)* () denota conjugaciónMultiplicación en el Dominio Temporal∞g t g t ←⎯⎯→ ⎯ ∫ G λ G f − λ dλ= G f ∗G f() () ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2−∞XII.Convoluciónen el lDominio i Temporal∞∫−∞g τ t τ dτt t ⎯⎯→1g2 − = g1 ∗g2 ← ⎯ G 1 f G 2f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada de Fourier:I. Linealidad -Demostración• Linealidad:cg () t + cg () t ⎯⎯→ cG ( f ) +cG ( f)1 1 2 2 1 1 2 2DemostraciónObtenemos la transformada de Fourier de la suma a la izquierda:∞∫−j2( 1 1 ()2 2())−∞∞∫∫−∞πftcg t cg t e dt+ =( −j 2 πft−j 2πft)1 1+2 2cg(t)e () c g () (t)e dt distributiva ib i de multiplicación li li ió11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada de Fourier:I. Linealidad -Demostración∞∞∫− j 2πft− j2πft1 1+ ∫ 2 2linealidad de la integral−∞−∞c g (t)e dt c g (t)e dtcG( f) + cG ( f) definición de T. Fourier1 1 2 2l.q.q.d11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoV. Desplazamiento FrecuencialSiexp(g(t)j2πf⇔ G(fCDemostraciónIpI−1{=−1{G(ff−G(f−f−Cf)t) g(t)}entonces⇔G(f−C) = ∫ ∞ G(f − fC) exp (j2−∞; dpfC)}= g(t)exp(j2πff==t)df∫ ∞ −∞11/10/2010 René Játiva EspinozaCfC)fCcteπft)df∈RG(p) exp (j2πpt)dpexp (j2πfCt) =

Propiedades de la Transformada de Fourier:X. Funciones conjugadas - DemostraciónSea : g(t)Su conjugada⇔ G(f) y g(t)es compleja.se denotapor g(t)∞**F { g ( t)}= ∫ g(t)exp( − j2πft)dt−∞∞⎡⎢ ∫⎣−∞∞⎡= ⎢ ∫⎣lqqd⎤g ( t)exp(j2πft)dt⎥⎦−∞*⎤*g ( t)exp(− j2π( − f ) t)dt⎥ = G ( − f )⎦11/10/2010 René Játiva Espinoza**

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoXI.Multiplicación en el Dominio TemporalSi g ( t ) ⇔ G ( f ) y g ( t ) ⇔ G ( f ) entonces1 1 2 2∞g () t g () t G ( ) G ( f ) d G ( f)* G ( f)⇔ ∫ λ − λ λ =1 2−∞1 2 1 2Demostración{ ∞} { }−G(f1)* G2( f) ∫G1 ( λ ) G(f2λ )dλ−∞−I 1 I 1∫I = I − =∞ ∞∫ ∫ −∞ −∞1 2''f = λ+ λ ; df = dλ= G ( λ ) G (f −λ)exp (j2πft)df f) fdλ∞ ∞1{ }⎡( )I −G(f1 )* G2 ( f ) = G1 ( λ ) G(2λ ')exp ⎡⎣j 2 π λ +λ ' t⎦⎤d λ 'dλ∫ ∫11/10/2010 René Játiva Espinoza−∞−∞

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoXI.Multiplicación en el Dominio Temporal (Continuación)−1( ) ( )∞{ } ∫ ( )g t =I G f =∫ G f exp(j2πft)df1 1 1−∞−1( ) ( ){{ } ∫( )g t =I G f = G f exp(j2πft)df2 2 2−∞}∞∞∞−1I1 2=∫−∞1 ∫−∞2G(f)* G ( f ) G ( λ )exp (j 2 π λ t)d λ G ( λ')exp (j 2π λ' t)dλ'{−1→I1)*2( ) =1 2G (f G f g (t)g (t)}11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo ContinuoXII.Relación de Parseval∞∫−∞∞∫∞2 21x() t dt =∫ X ( jw)dw2π−∞∞2 *x t dt = x t x t dt( ) ( ) ( )∫−∞−∞∞* 1 *jwt( ) ( )x t = ∫ X − jw e dw2π −∞∞ ∞ ∞2 1*−jwt→ x t dt = X f x t e dt( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫2π−∞ −∞ −∞11/10/2010 René Játiva Espinoza

Ejercicio 1• Demuestre que la transformada de la función sgn(t)es la que se muestra a continuación.⎧+ 1, t > 0⎪2sgn () t = ⎨0, t = 0 F ⎡⎣sgn() t ⎤⎦=⎪ jw⎩ − 1, t 0⎧exp , 0⎪= ⎨0, t = 0⎩⎪ − exp ( at), t

Ejercicio 1 (continuación)• Calculemos la transformada de Fourier de g(t) yllevémosla al límite cuando el parámetro “a” tiende acero.() t = g( t) → F ⎡ ( t) ⎤ = G( f )sgn lim ⎣sgn ⎦ lim( )a→0 a→00∞at − jwt − at −jwtG jw e e dt e e dt( )G jw= ∫ − +∫−∞00a jw t jw a t( − ) − ( + )ee1 1= − = +jw − a jw + a jw − a jw + a−∞( f) F⎡sgn( t)G f+∞−2 jw2= → ⎤ =2 2a + w⎣ ⎦jw11/10/2010 René Játiva Espinoza0

Ejercicio 2• Demuestre que la transformada de Fourier de lafunción u(t) es la que se muestra a continuación:⎧1; ∀ t>0⎪1u() t = ⎨1 ; t = 0→ F ⎡u 2⎣ () t ⎤⎦= + ( w)jwπδ⎪⎩0; ∀ t < 01 1 ⎡1 1⎤u ( t ) = sgn( t ) + → F⎡( ) sgn( )2 2⎣u t ⎤⎦ = F⎢t +⎣2 2⎦⎥1 1 1→ F ⎡ ⎣ u t ⎤ ⎦ = F sgn t 1w2 ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ + F2= jw+ πδ( ) ( ) [ ] ( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo Discreto[ ] (jw) [ ] (jwSi x )1n ←⎯⎯→⎯ X1 e , x2 n ←⎯ ⎯⎯→ X2e ,yc , c son constantes, pueden demostrarse las siguientes1 2propiedades:I. Linealidad: jwjwcx [ n] + cx [ n] ⎯⎯→ cX ( e ) + c X ( e )1 1 2 2 1 1 2 2II.III.Desplazamiento Temporal← ⎯xn n ⎯⎯→o← ⎯ X e jwn[ jw− ] ( ) exp( − j)Desplazamiento Frecuencial( )expjw − woep( jwn) x[ n] ←⎯⎯→⎯ X ( e )o11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo DiscretoIV.Conjugaciónx n ←⎯⎯→⎯X e−[ ] ( )* * jwV. Inversión en el Tiempox n ←⎯⎯→⎯ X e − jw[ − ] ( )VI. Expansión en el Tiempo⎧⎪ xnk [ ], si n=múltiplo de kx [ ] ( )n = ⎯⎯→ X ek ⎨ ← ⎯⎪⎩0, si n ≠ múltiplo l de k[ ] (jkw)( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo DiscretoVII.Convoluciónx 1n x2 n ←⎯⎯→⎯X1 e X2e[ ] [ ] (jw) (jw*)VIII. MultiplicaciónIX.1x n x n X e X e dθ[ ] [ ] (jθ)jw ( −θ⎯⎯→)← ⎯ ∫1 2 1 22π2π( )Diferenciación en el Dominio Temporalxn xn ←⎯⎯→⎯e X e[ ] − jwjw− [ −1] ( 1−) ( )11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo DiscretoX. AcumulaciónnX e∑ xk[ ] ←⎯⎯→⎯k1 e −=−∞−XI. Diferenciación en Frecuencia(jw)jwXII.(jwdX e )nx[ n]←⎯⎯→⎯ jdwSimetría conjugada para señales realesxn real ←⎯⎯→ ⎯ X e = X e−[ ] (jw)*(jw)11/10/2010 René Játiva Espinoza

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo DiscretoXIII. Simetría para señales par reales[ ] (jwx n real y par ←⎯⎯→⎯ X e ) real y parXIV. Simetría para señales impar realesXV.[ ] (jwx n real e impar ←⎯⎯→⎯ X e ) puramenteimaginaria e imparDescomposición de señales reales en par e imparxn real[ ]{ }{ }(jwX e )x [ ] [ ]en = Ev x nRe←⎯⎯→⎯x [ ] [ ]on = Od x n jImX e11/10/2010 René Játiva Espinoza{ } (jw){ }

Propiedades de la Transformada deFourier en Tiempo DiscretoXVI. Relación de Parseval para señales aperiódicas:[ ]2 1( jwx n = ∫ X e ) 2dwπ∞∑n=−∞22π11/10/2010 René Játiva Espinoza

Bbl Bibliografía• Señales y Sistemas, Segunda Edición; AlanV. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. HamidNawab; Pearson Educación, 1997.• Communication Systems, Fourth Edition;Simon Haykin; John Wiley & Sons, Inc,2001.11/10/2010 René Játiva Espinoza