TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS: Para ... - maristascoruna

CÁLCULO DE PRIMITIVASTABLA DE INTEGRALES INMEDIATASp ≠ −1p+1p x∫ x dx = + Cp + 11∫ dx = tgx + C2cos xdx∫ = ln x + Cx∫x xedx= e + C∫xa > 0, a dx =xa+ Cln a∫∫−12dx = cot gx + Csen xdx2= tgh x + Ccosh xdx∫ = arcsen x + C21−xdxa > 0, ∫ = logax + Cx ln a∫− dx1−x2= arccos x + C∫∫∫senxdx =− cos x + Ccos xdx = sen x + Csenh xdx = cosh x + Cdx∫ 2= arctg x + C1 + x∫ dxx C2x + 1= arg senh +∫dxx C2x − 1= arg cosh +∫coshxdx = senh x + CCOMPOSICIÓN DE FUNCIONESSi( )dx∫ 2= arg tgh x + C1−xu = u( x) , entonces ∫ u ′( x ) f u ( x ) dx es inmediata siempre que lo sea∫f ( x)dx. Por ejemplo,′∫ u =u dx ln| u|+ C , o bien, u′∫ = +1 + u dx u C2arctgln x (ln x)∫ dx =x 2∫xe1−e2 x2+ Cdx = arcsen ex+ C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN1. - Cambio de variable:Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.Queremos realizar la integral ∫f ( x)dx donde f no tiene unaprimitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transformela integral en una integral inmediata o composición de funciones.Entonces,para el cambio, g(t)x = dx = g′(t)dt∫ ( x)dx ∫ f ( g(t))g′f = ( t)dtMás adelante estudiaremos algunos cambios específicos.2. - Integración por partesSe basa en la derivada de un producto.Sean u = u(x) y v = v(x)entonces( uv )′ = u′v + u v′obtenemosPor tanto,Ejemplos:∫. Integrando en ambos lados de la igualdad∫ u′∫ uv′uv = vdx + dx .⎡u = x → du = dxxxe dx = ⎢ x⎣dv = e dx → v = e∫ u v dx = uv − ∫ u ′x′ vdx⎤x x x x x⎥ = xe − ∫e dx = xe − e + C = e ( x − 1 ) + C⎦

∫⎡u ln x duln xdx = ⎢ = → =⎢⎣dv = dx → v = xdxx⎤⎥ xln x ∫dx xln x x C x(ln x ) C⎥ = − = − + = − 1 +⎦3. - Integración de funciones trigonométricas:Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:senx + cos x = 12 2cos( 2x) = cos x −sen2 2sen( 2x) = 2sen xcosxResultan:x21sen x = ( cos( ))2 1 − 2 x21cos x = ( cos( ))2 1 + 2 x⎛ x⎞2⎛ x⎞2⎛ x⎞sen⎜⎟ = 1− cos x cos⎜⎟ = 1+ cos x tg⎜⎟ =⎝ 2⎠2⎝ 2⎠2⎝ 2⎠1 − cos x1 + cos xsen( x + y) = sen xcos y + cos xsenycos( x + y) = cos xcos y −sen xseny2sen xcos y = sen( x + y) + sen( x − y)2 cos xcos y = cos( x + y) + cos( x − y)2sen xsen y =− cos( x + y) + cos( x −y)Ejemplos:211 11 ⎛ 1 ⎞i) ∫sen xdx = ( 1 cos( 2x)) dx dx cos( 2x) dx x sen( 2x)C2∫ − =2∫ −2∫ = ⎜ − ⎟ +2 ⎝ 2 ⎠11 ⎛ 11 ⎞ii) ∫ sen( 4x) cos( 2x) dx = (sen( 6x) + sen( 2x)) dx = ( − cos( 6x)) + ( −cos( 2x))C2∫⎜⎟ +2 ⎝ 62 ⎠3 314iii) ∫ cos x sen xdx = ∫ sen x(sen x) ′ dx = sen x + C4iv)∫ ∫ ∫∫5 2 4 2 2 2 2sen xcos xdx = sen xcos xsen xdx = − ( 1− cos x) cos x(cos x)′ dx =2 4 2132517( 1− 2cos x + cos x)cos x(cos x) ′ dx = cos x − cos x + cos x + C3 5 72 2112∫sen x cos xdx = ( cos( ))( cos( )) ( cos ( ))4∫ 1− 2x 1+ 2x dx = 1 24∫ − x dx =v)1 1cos( ) sen( ) sen( )4 8 1 4 1 1 1 1 1= ∫dx − ∫ + x dx = x − x − 4x = x− 4x+C4 8 32 4 32

vi)∫sendxx cos2 2x=∫2 2sen x + cos xx x dx dx dx2 2= tg x cot xsen cos∫ 2+2cos x∫ = − + Csen x5. - Integración de funciones hiperbólicas:Son integrales del tipolas siguientes formas:∫R(senh x, cosh x)dxy se resuelven de alguna de1) Teniendo en cuenta la definición: senh x =2) Teniendo en cuenta las relaciones:e−− ee + e; cosh x =2 2x x x−xcoshde donde se deduce:senhEjemplo:∫x − senh x = 12 2senh( 2x) = 2senh xcoshxcosh( 2x) = senh x + cosh2 2x11x = (cosh( 2x) − 1); cosh x = (cosh( 2x) + 1)222 22 1cosh xdx = (cosh( ) ) ,2∫ 2x + 1 dx2 1 x −x 2 1cosh xdx = ( e + e ) dx =442x −2x( e + e + 2)dx∫ ∫ ∫6. - Integración de funciones irracionales:p1⎡⎛ ax + b⎞q1ax1) Integrales del tipo Rx ⎢⎛∫ , ⎜ ⎟ ,..., ⎜⎢ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx⎣++b⎞⎟d ⎠pqkk⎤⎥dx⎥⎦donde ab , , cd , ∈ Rypq11pk,..., son funciones irreducibles.qkConsideramos el cambio: tEjemplos:n =axcx++bddonde n = m. c. m.( q1,..., q k)

166xi)x x dx x∫ = dx3 2 ∫ 1 2como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t 6 = x+2 3x + xii)122x⎛ 2x⎞∫ dx = dxx + 1∫ ⎜ ⎟cambio t⎝ x + 1⎠x=x +1222) Integrales del tipo:∫ Rx ( , a 2 − x 2 ) dx ∫ Rx ( , a 2 + x 2 ) dx ∫ Rx ( , x 2 − a 2 ) dxcambio: x= asen t cambio: x = asenh t cambio: x = acoshtdx = a cos tdtdx = a cosh tdtdx = a senh tdtqueda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica.Ejemplos:( a)( b)2224 − x ⎡x= 2sent ⎤ cos t senIdxx dx cos tdt sen t dt 1−t= ∫ 2= ⎢dt=⎥ = ∫ 2= ∫ 2=⎣ 2 ⎦sen tx x−cot t − t + C = −cot(arcsen( )) − arcsen( ) + C2 22x ⎡x= cosh t ⎤21I = ∫ dx = ⎢cosh tdt (cosh( t) ) dtx − dx = senh tdt⎥ = ∫ = ∫ 2 + 1 =21 ⎣⎦21 111( senh( 2t) + t) + C = senh( 2 arccos hx) + arccos hx + C2 242