HOJA de ejercicios nº 1 - ETSI Topografia (UPM)

HOJA de ejercicios nº 1: FÓRMULA DE TAYLOR Curso 10 – 111. Se mide la arista de un contenedor de forma cúbica con un resultado de a=6m con unerror de 0,1m. Aproximar, mediante diferenciales, la cota del error propagado al calculara) El volumen del contenedorb) El área del mismo.2. a) Hallar la fórmula de Taylor para cada una de las funciones siguientes y para los valoresde a y n indicadosf(x) = x para a = 4 y n = 2.f(x) = cos x para a = 3π y n = 4.f(x) = arctg x para a = 1 y n = 3.b) Calcular, usando la fórmula correspondiente del apartado anterior, el valor aproximadoy una estimación del error cometido para 5 , cos1, arctg 2x3. Dada la función f ( x) e . Se pide:a. Escibir la fórmula de MacLaurinb. Calcular el valor aproximado de e con el polinomio de MacLaurin de grado 5,acotando el error cometido en dicha aproximaciónc. Calcular el grado necesario para obtener con la fórmula de MacLaurin un errormenor que 10 -6 en el cálculo de e4. Para valores de x entreaproximaciónsen x 40 y2250 , obtener una cota del error que se comete al efectuar la 1 1 x x 4 2 4 5. Dada la función f(x) = x 2 e -x , se pide:a) Escribir la fórmula de MacLaurin. 1 b) Acotar el error cometido en el cálculo de f utilizando el polinomio de grado 5. 5 c) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de 1 f con un error menor a 10 -6 5 6. Sea f(x) una función que admite un desarrollo en serie de Maclaurina) Demostrar que si f(x) es una función impar entonces T n (f(x),0) solo presenta potenciasimpares.b) Desarrollar tgx en potencias de x hasta el término de grado 5, empleando la igualdadtg x sen x.cos x2Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC 1

HOJA de ejercicios nº 1: FÓRMULA DE TAYLOR Curso 10 – 11EJERCICIOS A RESOLVER POR EL ESTUDIANTE1. La medida del lado de una pieza cuadrada ha dado 15cm con una cota de error de 0,03cm.a. Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota) al calcularel área.b. Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del lado para que el errorcometido al calcular el área no supere el 2,5%.2. Usando Derive para obtener polinomios de Maclaurin, y usando las propiedades deinfinitésimos equivalentes, calcular los siguientes límitesa)c)x senxlimx0 2x xe 1x 2limx01xtg2x. b) limcosxex0 ln(1 x) x222x arcsenxln (1 x) sen. d) lim25x0 x cos x ln(1 x)1e63cot gx3. Dado el polinomio de Mac-Laurin T n (cos x,0), calcular T n (cos(x 2 ) ,0).4. Sea f ( x) xe x tg( x)a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de fb) Hallar una aproximación del valor f (0,1) con el polinomio de MacLaurin de orden 3c) Acotar el error cometido en el cálculo de f (0,1) en el apartado b)5. Sea f(x) una función que admite un desarrollo en serie de Maclaurin, probar que si f(x) esuna función par entonces T n (f(x),0) solo presenta potencias pares.2x..Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC 2