1) Tomamos el sistema que aparece en la resolución del ejercicio 2 ...

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjercicios1) Tomamos el sistema que aparece en la resolución del ejercicio 2 apartado c) de la hoja de problemas desplines 4 1 0 0 0 0 r1 96 r1 35.6125 1 4 1 0 0 0 r 2174 r2 46.4500 0 1 4 1 0 0 r 330 r3 23.8124 0 0 1 4 1 0 r4 396 r4 111.6998 0 0 0 1 4 1 r 512 r5 26.9866 0 0 0 0 1 4 r 690 r6 15.7533Se pide.a) Introducir la matriz A de los coeficiente como una matriz B sparseb) Dar A como una matriz llena a partir de la matriz Bc) Volver a definir A como una matriz dispersa S a partir de la matriz llenad) Introducir A como una matriz tridiagonal E cuyas diagonales son escalarese) Dar la solución A\b del sistemaf) Dar la descomposición LU de Ag) Hallar la solución del sistema utilizando la descomposición LUh) Dar la solución con la función crouti) Dar una solución aproximada aplicando el método de Jacobi, tomando como x 0 el vector nulo, comocota de error tol=0.01 y como el máximo de iteraciones maxiter=50.j) Dar una solución aproximada aplicando el método de Gauss‐Seidelk) Dar una solución aproximada aplicando el método de sobrerrelajación con =1.2l) Dar el número de condición de ASolución:a) B=sparse([1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6],[1,2,1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,,5,6,5,6],[4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4]B =(1,1) 4(2,1) 1(1,2) 1(2,2) 4(3,2) 1(2,3) 1(3,3) 4(4,3) 1(3,4) 1(4,4) 4(5,4) 1(4,5) 1Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjercicios0 0 0 1 4 10 0 0 0 1 4e) >> b=[‐96;174;30;‐396;12;90], x=A\bb =‐9617430‐3961290x =‐35.612546.450023.8124‐111.699826.986615.7533f) Obsérvese que A es una matriz estrictamente diagonal dominante por lo que no haría falta el pivoteo>> [L,U]=lu(A)L =1.0000 0 0 0 0 00.2500 1.0000 0 0 0 00 0.2667 1.0000 0 0 00 0 0.2679 1.0000 0 00 0 0 0.2679 1.0000 00 0 0 0 0.2679 1.0000U =4.0000 1.0000 0 0 0 00 3.7500 1.0000 0 0 00 0 3.7333 1.0000 0 00 0 0 3.7321 1.0000 00 0 0 0 3.7321 1.00000 0 0 0 0 3.7321g) La solución con la descomposición LU es>> x=U\(L\b)Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjerciciosx =‐35.612546.450023.8124‐111.699826.986615.7533h) Para hallar la solución del sistema con el algoritmo de crout de MATLAB hemos de definir la funcióncrout (a,b,c,z) en MATLAB con un fichero del tipo.mFile/NewBlank M‐File (las órdenes se pueden copiar del documento Ficheros_MATLAB (punto m) quese encuentra en el curso “Complementos Formativos”del Moodle del Centro>> a=[4,4,4,4,4,4],b=[1,1,1,1,1],c=[1,1,1,1,1],z=[‐96;174;30;‐396;12;90], crout(a,b,c,z)a =4 4 4 4 4 4b =1 1 1 1 1c =1 1 1 1 1z =‐9617430‐3961290x =x =x =0 0 0 0 26.9866 15.75330 0 0 ‐111.6998 26.9866 15.75330 0 23.8124 ‐111.6998 26.9866 15.7533x =Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjerciciosmaxiter =50incr =1.0100ans =‐35.613046.452023.8113‐111.697226.985715.7545j) Para hallar la solución del sistema con el método (iterativo) de Gauss‐Siedel hemos de definir unafunción que podemos designar por gaussiedel (A,b,x0,tol,maxiter) en MATLAB con un fichero del tipo.m(tal y como se ha mostrado en el apartado anterior)A es la matriz de coeficientes del sistema, b es la columna de términos independientes, x0 es el valorinicial, tol es la cota de error y maxiter es el máximo número de iteraciones>> A,b=[‐96;174;30;‐396;12;90],x0=[0;0;0;0;0;0],tol=0.01,maxiter=50,gaussiedel(A,b,x0,tol,maxiter)A =4 1 0 0 0 01 4 1 0 0 00 1 4 1 0 00 0 1 4 1 00 0 0 1 4 10 0 0 0 1 4b =‐9617430‐3961290x0 =0000Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 6

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjercicios00tol =0.0100maxiter =50incr =1.0100ans =‐35.613046.450423.8122‐111.699726.986615.7534k) Para hallar la solución del sistema con el método (iterativo) de Gauss‐Siedel hemos de definir unafunción que podemos designar por sobrerrelajacion (A,b,x0,omega,tol,maxiter) en MATLAB con unfichero del tipo.m (tal y como se ha mostrado en el apartado anterior)A es la matriz de coeficientes del sistema, b es la columna de términos independientes, x0 es el valorinicial, tol es la cota de error y maxiter es el máximo número de iteraciones>> A,b=[‐96;174;30;‐396;12;90], x0=[0;0;0;0;0;0], omega=1.2, tol=0.01, maxiter=50,sobrerrelajacion(A,b,x0,omega, tol,maxiter)A =4 1 0 0 0 01 4 1 0 0 00 1 4 1 0 00 0 1 4 1 00 0 0 1 4 10 0 0 0 1 4b =‐9617430‐3961290Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 7

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEjerciciosx0 =000000omega =1.2000tol =0.0100maxiter =50incr =1.0100ans =‐35.612446.449723.8126‐111.699826.986615.7533l) El número de condición de a es:>> cond(A)ans =2.6396Es decir, la matriz está bien condicionada.Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGCAsignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 8