Guía de la práctica 1

ÁLGEBRA Y CÁLCULOGrado en Óptica y OptometríaProfesores Bernardo González Merinoy Miguel Ángel Javaloyes VictoriaPráctica 1. Viernes 15 de Octubre de 20101. Maxima: operaciones elementales, funciones, límites y derivadas1.1. Primeros pasos. Vamos a comenzar por el principio. Al abrir el programa Maxima, loprimero que vemos son dos cuadros distintos, uno en la parte superior de nuestra pantalla, y otroen la inferior. El de la parte superior es donde pondremos lo que queremos que Maxima calcule ( %i1)y lo que nos va a devolver ( %o1). El de la parte inferior, además de para visualizar los resultadosde las operaciones que introduzcamos, será muy útil cuando queramos usar dicha información.Etiquetas. Como ya hemos anunciado, va a aparecer en rojo en la pantalla superior un símbolo( %i1), que se trata de una etiqueta que el programa adjudica a cada expresión que nosotrosintroducimos en el ordenador. Asimismo, el programa adjudica a cada expresión de salida un( %o1). Estas etiquetas nos permitirán referirnos a una expresión particular que tengamos escritacon anterioridad en el programa.Sintaxis. Cuando vayamos a introducir una expresión siempre hay que escribir “;” al final de lalinea para que el programa entienda donde termina. La suma se expresará con el habitual “+”, lamultiplicación con *, los exponentes con ˆ y los cocientes con “/”. Veamos algunos ejemplos decomo se escriben las operaciones en Maxima:2 + 2 ⇒ 2 + 2;2 · 3 + 5 ⇒ 2 ∗ 3 + 5;4 3 ⇒ 4ˆ3;25 + 7 5 2 ⇒ 2/5 + 7/(5ˆ2);2 32 ⇒ 2ˆ(3ˆ2);Se recomienda tener mucho cuidado con el orden en el que introducimos las operaciones, y conla cantidad de paréntesis necesarios en cada caso.Ejercicio 1.1. Efectúa las siguientes operaciones:(i) 3 2 + 2323 ,(ii) (3 2 ) 2 ,(iii) 3 24 ,(iv) 1 3 · ( 217 + 2) .Uso de etiquetas. Ahora, calculemos el cociente de lo que hemos obtenido en el primer punto delejercicio anterior, partido por lo obtenido en el segundo punto. La sintaxis sería:%o1/ %o2;Ejercicio 1.2. Haz el cociente del resultado obtenido en el punto (i) del ejercicio anterior por elresultado del punto (iii).Símbolos importantes de Maxima. Funciones elementales. Veamos como se escriben algunos de lossímbolos, números y funciones más usados en Maxima.%i es la unidad imaginaria. Si queremos calcular i 2 , el código es %iˆ2;%e es el número e.%pi es el número π.“abs(x)” es el valor absoluto de x.“sqrt(x)” es la raíz cuadrada de x.“exp(x)” es la exponencial de x.“log(x)” es el logaritmo de x.1

“sin(x)”,“cos(x)”,“tan(x)”,“cot(x)”,“csc(x)”son las funciones trigonométricas fundamentales.Las inversas de las funciones trigonométricas se escriben igual, salvo que hay que añadirlesuna “a” delante (por ejemplo, el arco seno sería “asin(x)”).Fíjate en que todos los números se escriben precedidos por el símbolo % para indicar que es unode los números especiales, mientras que las funciones encierran el argumento entre paréntesis. Porejemplo, si quieres calcular el cos(π/2), el código sería cos( %pi/2);Ejercicio 1.3. Calcula sin(π/3), e iπ , log(1), | − 3|, √ 196, tan(π/4), arctan(1), exp(iπ/3).Para obtener una aproximación decimal de la expresión que introducimos, basta añadir numer alfinal separado por una coma. Esto es, si queremos calcular una expresión decimal de √ 2, entoncestenemos que escribir:sqrt(2), numer;Ejercicio 1.4. Con el uso de las funciones, ¿cómo podemos obtener una aproximación en pantalladel número e y π?Operaciones básicas en Maxima. Todos los comandos en Maxima encierran la entrada entre paréntesis.Por ejemplo, si queremos factorizar un polinomio o un número en factores primos, debemosusar el comando “factor”. Para factorizar 33, escribimosfactor(33);Otros operaciones que podemos realizar con Maxima son por ejemplo:SIMPLIFICAR: Aquí hay de 3 tipos de simplificación,1. “ratsimp( %);”, caso general;2. “radcan( %);”, caso de funciones racionales;3. “trigsimp( %);”, caso de funciones trigonométricas.Por ejemplo, si queremos simplificarx 2 + (sin x − cos x)x − sin x cos xx + sin xescribimos ratsimp((xˆ2 + (sin(x) − cos(x)) ∗ x − sin(x) ∗ cos(x))/(x + sin(x)));Ejercicio 1.5. Aplica los tres comandos para simplificar sin 2 (x) + cos 2 (x).Ten en cuenta que para escribir sin 2 (x) (así como la potencia de cualquier función) hay que ponerel cuadrado al final. Esto es,sin(x)ˆ2;EXPANDIR: Expandir actúa sobre 2 tipos de funciones,1. “expand( %);”, caso general;2. “trigexpand( %);”, caso de funciones trigonométricas.Ejercicio 1.6. Expande las funciones (1 − x) 7 , (x + y + z) 4 , sin(2x), tan(4x), cos(8x).REDUCIR FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA: “trigreduce( %);”, para reducir funcionestrigonométricas a elementos que no tengan potencias en sus miembros.Ejercicio 1.7. Transforma las siguientes expresiones de forma que desaparezcan las potencias:sin 2 (x) − 3cos 2 (x), cos 3 (x) + sin 3 (x), cos 4 (x) + sin 2 (x) − 3.RESOLVER: “solve([ %], [variable]);”, para hallar las raíces de la función que pongamos. Siqueremos hallar una aproximación decimal de las raíces (de un polinomio), hay que usar“allroots[ %], [variable]);”. Por ejemplo, si queremos hallar las raíces de x 2 − 3 = 0, tenemosque introducirsolve(x 2 − 3 = 0,x); ó allroots(x 2 − 3 = 0,x);También se puede escribir

solve(x 2 − 3,x); ó allroots(x 2 − 3,x);sin necesidad de igualar la ecuación a 0, porque ya se sobreentiende.Ahora algunas aplicaciones de estas definiciones:Ejercicio 1.8. Descompón el número 237456 en sus factores primos con el comando “factor”.Ejercicio 1.9. Efectúa el proceso que se describe a continuación:1. Aplica el comando factor al polinomio x 6 − 1.2. Al resultado de la orden anterior aplícale el comando “expand” y observa el resultado.3. Al mismo polinomio anterior aplícale el comando “solve” para hallar las raíces y observa elresultado.Ejercicio 1.10. Introduce la fracción siguiente y aplícale sucesivamente los comandos “radcan” y“solve’:x 6 − 1x 2 + x + 1 .Ejercicio 1.11. Resuelve las ecuaciones x 3 − x = 3, x 6 − x 5 − x + 2 = 0 y x 10 − x 5 = 10.