Matemáticas II 2º BACHILLERATO CONTROL DE GEOMETRÍA 1 1 ...

Matemáticas II2º BACHILLERATOCONTROL DE GEOMETRÍA 1⎧x= 1 + λ⎪1) Considera el plano π ≡ 2 x + y − z + 7 = 0 y la recta r ≡ ⎨y= 1 + λ⎪⎩z= 1 + 3λa) Halla la ecuación del plano perpendicular a π y que contenga a la recta r.b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativodetermina su ecuación.(2 puntos)⎧x= a + t⎪x − 1 z2) Sea la recta r de ecuación ⎨y= 1 − 2t y la recta s de ecuación = y + 2 =⎪2 3⎩z= 4 − ta) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan.b) Halla el punto de corte. (2 puntos)3) Considera los puntos A( 1,0,− 2)y B( − 2,3,1)a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.b) Calcula el área del triángulo ABC, donde C es un punto de la recta − x = y − 1 = z¿depende el resultado de la elección concreta del punto C? (2 puntos)r4) Dados los vectores v ( 1 , −1, 3) y w ( − 2 , 6 , a)a) Halla el valor del parámetro a para que sean perpendiculares.b) Halla el valor del parámetro a para que sean paralelos.c) Halla el área del triángulo determinado por los dos vectores para a = 0.(1,5 p)r⎧x+ y − z − 3 = 05) Considera el punto P( 3,2,0)y la recta de ecuaciones r ≡ ⎨⎩x+ 2z + 1 = 0a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.b) Determina las coordenadas del punto Q, simétrico del P respecto de la recta r.(2,5 puntos)

Matemáticas II2º BACHILLERATOSOLUCIONES1) π ≡ 2 x + y − z + 7 = 0a) Plano perpendicular a π y que contenga a rrSi contiene a r → P( 1,1,1)d(1,1,3), su vector de dirección, lo es también del planobuscado y el punto pertenece al mismorSi es perpendicular a π , su vector normal n( 2,1,−1), es vector director del planobuscado, entonces:1 2 x −1π ' ≡ 1 1 y − 1 = 0 → π'≡ 4x − 7y + z + 2 = 03 −1z −1b) Para ver si es posible, vemos primero la posición de π y r, ya que para que exista eseplano, r y π tendrían que ser paralelos:2 ( 1 + λ)+ ( 1 + λ)− ( 1 + 3λ)+ 7 = 0 ⇒ 0λ= −9⇒ paralelosluego, el plano pedido, tiene el mismo vector normal que π → 2 x + y − z + d = 0 , parahallar d, sabemos que el plano pasa por P(1,1,1)→ 2 + 1 − 1 + d = 0 ⇒ d = −2Plano: 2 x + y − z − 2 = 0a + t = 1 + 2λ⎫ t − 2λ= 1 − a⎫⎪⎪2) a) r y s se cortan, posición relativa: 1 − 2t = −2+ λ⎬→ 2t + λ = 3 ⎬4 − t = 3λ⎪ + λ = ⎪⎭ t 3 4 ⎭⎛1− 2⎞⎛1− 2 1 − a ⎞⎜ ⎟ ⎜⎟1 − 2A = ⎜21 ⎟ A' = ⎜ 2 1 3 ⎟ → vemos que ≠ 0 ⇒ r(A)= 2⎜ ⎟ ⎜⎟2 1⎝13 ⎠ ⎝ 1 3 4 ⎠1 − 2 1 − ay tiene que ser también r ( A') = 2 ⇒ 2 1 3 = 0 ⇒ − 5 a + 10 = 0 ⇒ a = 21 3 4t − 2λ= −1⎫− 2t + 4λ= 2⎫b) Para a = 2 → ⎬ →⎬ ⇒ 5λ= 5 ⇒ λ = 12t + λ = 3 ⎭ 2t + λ = 3 ⎭Punto de corte , para λ = 1 → P( 3,−1,3)3) A( 1,0,− 2)y B( − 2,3,1)a) AB = ( −2,3,1)− ( 1,0,−2)= ( −3,3,3)→1AC = AB = ( −1, 1,1) = ( c1 , c2, c3) − ( 1,0,−2)⇒ C = ( −1,1,1)+ ( 1,0,−2)= ( 0,1,−1)32AD = AB = ( − 2, 2,2) = ( d1 , d2, d3) − ( 1,0,−2)⇒ D = ( −2,2,2)+ ( 1,0,−2)= ( −1,2,0)3rb) AB = ( −3,3,3)y el vector de dirección de la recta: d( −1,1,1)luego la recta dada esparalela al segmento AB, por lo que el área no depende del punto (la altura del triánguloy la base serían siempre las mismas, hallamos el área por el producto vectorial,cogiendo como punto C → ( 0,1,0)

Matemáticas II2º BACHILLERATO1 1A = ABxAC = ( −3,3,3)x(−1,1,2)2 2=123132223 −3+2 −1−3+−1312=12=18 u.a.4) a)Para que sean perpendiculares el productoescalar debe ser 0.( , − 1 , 3) ⋅ ( − 2 , 6 , a)1 = −2− 6 + 3a = 0 → −8+ 3a = 0 → a =b) Para que sean paralelos los vectores deben ser proporcionales:⎧1= −2t⎧ 1⎪b= −⎪2( 1,− 1,3)= t(−2,6,a)→ ⎨−1 = 6t → ⎨ → IMPOSIBLE⎪13 ta ⎪⎩ = b = −⎩ 6r r ⎛ −13 1 3 1 − 1 ⎞v xw = ⎜ , , ⎟−= −18,−6,46 0 2 0 2 6⎝ − − ⎠r r2 2 2376 22→ vxw = ( −18)+ ( −6)+ 4 = 376 ⇒ A t = u = 94 u2c) Hacemos el p. vectorial: ( )5) P ( 3,2,0)⎧x+ y − z − 3 = 0r ≡ ⎨ponemos r en paramétricas:⎩x+ 2z + 1 = 0⎧x= −1− 2λ⎪z = λ → x = −1− 2λ → y = 3 + λ + 1 + 2λ= 4 + 3λ→ r ≡ ⎨y= 4 + 3λA( − 1,4,0)⎪⎩z= λr ra) Punto P ( 3,2,0), d( −2,3,1), e = AP = ( 4,−2,0)−24 x −3π ≡ 3 −2y −2= 0 → 4z + 4y −8+ 2x − 6 −12z= 0 ⇒ x + 2y − 4z − 7 = 01 0 zb) Hallamos primero la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r:r rn = d = ( −2,3,1)→ π'≡ −2x+ 3y + z + k = 0 , pero sabemos que pasa por P, es decirque − 2 ⋅3+ 3⋅2+ 0 + k = 0 ⇒ k = 0 ⇒ −2x+ 3y + z = 0Hallamos la intersección de la recta dada con este plano (punto M) y este M es el puntomedio del segmento PQ: − 2 ( −1− 2λ)+ 3(4 + 3λ)+ λ = 0 ⇒ 14λ+ 14 = 0 → λ = −1⎛ x + 3 y + 2 z + 0 ⎞Luego M( −1− 2(−1),4 + 3(−1),−1)= ( 1,1,−1)= ⎜ , , ⎟⎝ 2 2 2 ⎠→ Q ( x,y,z)→ x = −1;y = 0;z = −2⇒ el simétrico es Q( − 1,0,−2)83