TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA ( )3

Tema 10 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas II – 2º Bachillerato 5EJERCICIO 12 : Entre todos los triángulos rectángulos de área 5 cm 2 , determina las longitudes de los lados delque tiene la hipotenusa mínima.Solución:10Área = x · y = 10 → y = , x > 0x2 2 2 100Hipotenusa = x + y = x +2xBuscamos el valor de x > 0 que hace mínima la función: ( x)Derivamos:f 'f '1200 ⎞( x) =· ⎜2x −3 ⎟ 100 ⎝ ⎠⎛2 100f = x +x22 x2 x +x220044= 0 → 2x − = 0 → 2x − 200 = 0 → x = 100x3( x) →( x) 0 a la izquiera de 10 y f '( x) > 0 a su derecha, en x 10 hay un→x = 4100= 10 → y =(Como f ' < =mínimo).Por tanto ,los catetos miden10 cmcada uno; y la hipotenusa medirá20 cm.10CÁLCULO DE LÍMITESEJERCICIO 13 : Calcular los siguientes límites:xe − 1 xsen x 2x − 2sen xa) lím b) lím c) límx→0x + sen x x→ 0 x3 3x2+ x→0x + sen xaf) límx→0x− bxxg)lím (xLx)+x→0x − senxh) límx→0sen2 x4 − 4cos xd) límx→02xxsenxi) límx→01 − cos xxe) límx→ 0 xcos x + sen xj)lím x+x→0x3x − xe −e −2xk) límx→0x − senxSolución:xL´Hxe −1 ⎛ 0 ⎞ e 1a) lím = ⎜ ⎟ = lím =x→0 x + sen x 0 x→0⎝ ⎠ 1+cos x 2x sen x 0L´Hsen x + x cos x 0L´Hcos x + cos x − x sen x 2 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞b) lím = lím límx 03 2 ⎜ ⎟ = =x 02 ⎜ ⎟ = = =→ x + 3x 0 → 3x 6x 0 x→0⎝ ⎠ + ⎝ ⎠6x + 6 6 32x − 2sen xL´H⎛ 0 ⎞ 2 − 2cos x 2 − 2c) lím = ⎜ ⎟ = lím = = 0 .x→0 x + sen x 0 x→0⎝ ⎠ 1+ cos x 1+14 4cos x 0L´H4sen x 2sen x 0L´H2cos x− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞d) lím = lím lím lím 2x 02 ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ = =→ x 0 x→0 2x x→0 x 0 x→0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 13 L´H2x 0 3x 0⎛ ⎞e) lím = ⎜ ⎟ = lím = = 0x→0 x cos x + sen x 0 x→0⎝ ⎠ cos x − x sen x + cos x 2x x 0 0 x xa − b ⎛ a − b 1−1 0 ⎞ a .La − b .Lbx xf) lím = ⎜ = = ⎟ = lím = lím(a La − b Lb) =x→0 x 0 0 0 x→0 1x→0⎝⎠12Lx ⎛ ∞ ⎞xg) lím (xLx) = (0. ∞ ) = lím = lím x lím lím ( x) 0+ +x 0 x 0 1 ⎜ ⎟ = = = − =+ + +→ →⎝ ∞ ⎠x→0 −1 x→0 −xx→02xx.0 0a La − b Lb = La − Lb

Tema 10 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas II – 2º Bachillerato 6x − senx ⎛ 0 ⎞ 1− cos x 1−cos x ⎛ 0 ⎞ senx 0h) lím = lím lím lím 0x 0 2 ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ = = =→ sen x 0 x→0 2senx.cos x x→0 sen2x 0 x→0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos 2x.2 2xsenx ⎛ 0 ⎞ 1.senx + x cos x ⎛ 0 ⎞ cos x + 1.cos x + ( −senx).x 2lím = = lím = = lím = = 21− cos x ⎝ 0 ⎠ senx ⎝ 0 ⎠cos x 1i)x 0⎜ ⎟→ x → 0⎜ ⎟ x → 0j)LnxLnx1/ xx lím L´H lím lím xx Lnx x.Lnx 2x 0 1/ x x 0 1/ x−1/ x →+→+ −x→0+ 0lím x = lím e = lím e = lím e = e = e = e = e = 1+ + + +x→0 x→0 x→0 x→0x −x x −x x −x x −xe − e − 2x ⎛ 0 ⎞ e + e − 2 ⎛ 0 ⎞ e − e ⎛ 0 ⎞ e + ek) lím = ⎜ ⎟ = lím = ⎜ ⎟ = lím = ⎜ ⎟ = lím = 2x→0 x − senx 0 1 cos x 0 x→0 senx 0 x→0⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos xx→0TEOREMAS DE DERIVABILIDADEJERCICIO 14 : Comprueba que la función f (x) = x 2 + 2x − 1 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en elintervalo [−3, 1]. ¿Dónde cumple la tesis?Solución:• La función f (x) = x 2 + 2x − 1 es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [−3, 1] y derivable en(−3, 1).⎪⎧f ( − 3)= 2⎪⎫• Además : ⎨ ⎬ son iguales.⎪⎩ f ( 1)= 2 ⎪⎭• Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existec ∈ (−3, 1) tal que f '(c) = 0.• Veamos dónde se cumple la tesis:f '(x) = 2x + 2 → f '(c) = 2x + 2 → c = −1 ∈ (−3, 1)⎧3x2− 2x + m si x ≤ 1=⎪⎨⎪⎩ nx − 2 si x > 1cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?EJERCICIO 15 : Calcula m y n para que la función: f ( x)Solución:• Continuidad en [0, 2]:- Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.⎧ lím f ( x) = lím ( 3x2− 2x + m)= 1+m⎪ −−x→1x→1⎪- En x = 1: ⎨ lím f ( x) = lím ( nx − 2)= n − 2 ⇒ Para que sea continua en, ha de ser 1 + m = n − 2++⎪x→1x→1⎪⎪f( 1)= 1+m⎩• Derivabilidad en (0, 2):⎧6x− 2 si x < 1- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: f '( x)= ⎨⎩nsi x > 1( )( )−f ' 1 = 4⎫⎪- Para que sea derivable en x = 1, han de coincidir las derivadas laterales: ⎬+f ' 1 = n⎪⎭• Por tanto, f (x) cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 2] si:⎧1+ m = n − 2 ⎧m= 1⎨⎨⎩n= 4 ⎩n= 4⎪⎧3x2− 2x + 1 si x ≤ 1⎧6x− 2 si x ≤ 1Este caso quedaría: f ( x) = ⎨f '( x)= ⎨⎪⎩ 4x − 2 si x > 1⎩4si x > 1Veamos dónde cumple la tesis:f (2) − f (0) 6 −155 3f '( c)= = = ⇒ f '( c) = 6c− 2 = → c = ∈ ( 0, 2) ( si c > 1)2 − 0 2 22 4n = 4

Tema 10 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas II – 2º Bachillerato 7⎧−x2+ 1 si x ≤ 2EJERCICIO 16 : Comprueba que la función: f ( x)=⎪⎨⎪⎩ − 4x + 5 si x > 2satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis?Solución:• Continuidad en [0, 3]:- Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.⎧lím f ( x) = lím ( − x2+ 1)= −3⎫⎪ −−x→2x →2⎪⎪lím f ( x) = f ( 2)⎪- En x = 2: lím f ( x) lím ( 4x 5)3 x 2⎨ = − + = − →⎬++⎪x→2x→2⎪ f ( x) es continua en x = 2.⎪⎪⎪f ( 2)= −3⎩⎪⎭Por tanto, f (x) es continua en [0, 3].• Derivabilidad en (0, 3):⎧−2x si x < 2- Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es: f '( x)= ⎨⎩−4 si x > 2- En x = 2, como f '(2 − ) = f '(2 + ) = −4, también es derivable; y f '(2) = −4.Por tanto, f (x) es derivable en (0, 3).• Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3]; por tanto, existe c ∈ (0, 3) talf (3) − f (0) −7−1−8que: f '( c)= = =3 − 0 3 − 0 3−84 4Veamos dónde se cumple la tesis: − 2x= → x = → c = ∈ ( 0, 3)3 3 3⎧x2+ ax si − 2 ≤ x < 1EJERCICIO 17 : Calcula los valores de a, b y c para que la función: f ( x)=⎪⎨⎪⎩ bx + c si 1 ≤ x ≤ 2cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2, 2]. ¿Qué asegura el teorema en este caso?Solución:• Continuidad en [−2, 2]:- Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.⎧ ( ) (2lím f x = lím x + ax)= 1+a⎪ −−x→1x→1⎪- En x = 1: ⎨ lím f ( x) = lím ( bx + c)= b + c ⇒ Para que sea continua en x = 1, ha de ser 1 + a = b + c.++⎪x→1x→1⎪⎪f( 1)= b + c⎩• Derivabilidad en (−2, 2):- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: f '( x)⎧2x+ a= ⎨⎩b( )( )−f ' 1 = 2 + a⎫⎪- En x = 1, han de ser iguales las derivadas laterales:⎬+f ' 1 = b⎪⎭• Además, debe ser f (−2) = f (2); es decir:4 − 2a = 2b + c1+a = b + c ⎫⎪• Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que: 2 + a = b ⎬⎪4 − 2a = 2b + c⎭sisi− 2 < x < 11 < x < 22 + a = b1a =49b =4c = −1• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (−2, 2) tal que f '(c) = 0.

Tema 10 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas II – 2º Bachillerato 8EJERCICIO 18 : Comprueba que la función f (x) = 3x 2 − 6x + 7 cumple las hipótesis del teorema del valormedio en el intervalo [−1, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?Solución:• La función f (x) = 3x 2 − 6x + 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [−1, 2] y derivable en(−2, 1). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.f (2) − f (1) 7 −16−9• Entonces, existe c ∈ (−1, 2) tal que: f '( c) = = = = −32 − ( −1)2 + 1 3Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis:f '(x) = 6x − 6 → f '(c) = 6c − 6 = −3 → 6c = 3 ⇒3 11c = = . La tesis se cumple en c = ∈ ( −1,2)6 22EJERCICIO 19 : La función f: [-1,1] → R definida por f(x) = 3 x 2 toma el valor en los extremos del intervalo,f(-1) = 1; f(1) = 1. Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema deRolle?Solución:1) ¿ f continua en [-1,1]?: Cierto porque f es continua en todo R2 12) ¿f derivable en (-1,1)? : f ′(x) = . ⇒ Falsa porque f no se derivable en x = 0 ⇒ No es cierta33 xEsto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica.EJERCICIO 20 : Calcula b para que la función f(x) = x 3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en elintervalo [0,b]. ¿Dónde se cumple la tesis?Solución:1) ¿f continua en [0,b]?: Cierto porque f es continua en todo R.2) ¿f derivable en (0,b)?: f ´(x) = 3x 2 – 4 cierto porque f es derivable en todo R3) ¿f(0) = f(b)?:f(0) = 3; f(b) = b 3 – 4b +3 = 3 ⇒ b 3 –4b = 0 ⇒ b(b 2 – 4) =0Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2.¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x 2 – 4; f´(c ) = 3c 2 – 4 = 0 ⇒ c = 23⎧2x + 2 si -1/2 ≤ x

Tema 10 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas II – 2º Bachillerato 10f continua en [0,2] – {1}En x = 12 2⎧ 3 − x 3−1lim f (x) = lim = = 1−⎪x→1x→1limf (x) =2 2⎨x→1⎪ 1 1⇒ Por tanto f continua en x = 1lim f (x) = lim = = 1+⎪⎩ x→1x→1x 1f (1) = 1/1 = 1f continua en [0,2] y se cumple la primera hipótesis⎧-x si x < 1⎪2) ¿f derivable en (0,2)? f ′(x) = ⎨ −1⎪ si x ≥ 12⎩xf derivable en (0,2) – {1} por composición de funciones derivables.En x = 1f´(1 - ) = -1f´(1 + )= -1f derivable en x = 1Por tanto derivable en (0,2) y se cumplen la segunda hipótesisSatisface las dos hipótesis del teorema del valor mediof (2) − f (0)Tesis: Existe un c ∈ (0,2) tal que := f ′(c)2 − 0⎧−⎪c si c < 1f(2) = 1/2 ; f(0) = 3/2 , f ′(c)= ⎨ − 12 si c ≥ 1⎪⎩ c1 − 3 ⎧− c si c 1luego 2 2 ⎪