Material Docente - del Departamento de Economía Aplicada III

Estadística Actuarial y Análisis de RegresiónAutor:M. Victoria Esteban GonzálezDepartamento de Economía Aplicada III. Econometría y EstadísticaFacultad de Ciencias Económicas y EmpresarialesUniversidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea

Queda terminantemente prohibida la reproducción no autorizada de este material docente, y ladistribución no autorizada de copias de la misma, así como cualquier otra infracción de los derechosque sobre esta recopilación corresponden a la Profesora M a Victoria Esteban junto con el Departamentode Econometría y Estadística de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de laUPV/EHU.c○UPV/EHU 2012.

iiEstadística Actuarial: Análisis de Regresión

PresentaciónEl objetivo de este documento es introducir un conjunto de técnicas estadísticas y econométricaspara la estimación de modelos lineales en situaciones donde se cumplen las hipótesis estadísticas decomportamiento habituales. Se pretende introducir al alumno en el análisis de regresión, por lo queprevio a un repaso de aspectos fundamentales de la estimación de parámetros y sus propiedades yde la inferencia estadística se estudia en detalle el Modelo de Regresión Lineal General. El objetivofundamental del curso es que, al final del mismo, los estudiantes sean capaces de utilizar el modelode regresión para resolver un problema sencillo que se les plantee: desde la especificación, estimacióny validación del modelo hasta contrastar hipótesis de relevancia económica y predecir. Este objetivose ha de satisfacer tanto desde un punto de vista teórico, resolver cuestiones y explicar resultados yaobtenidos, como práctico: estimar un modelo con una base de datos concreta y realizar los contrastespertinentes.Estas notas incluyen seis temas más un tema inicial que aborda la descripción gráfica y numéricade una variable más un tema final con orientaciones dirigidas al desarrollo por parte de los alumnosde un proyecto final donde se muestre la evolución de un caso práctico de interés. Los contenidosse estructuran entorno a dos núcleos centrales, el análisis de la información que podemos extraerde una única variable y el estudio de cómo se relacionan las variable entre sí. El análisis de unaúnica variable ocupa los contenidos de los tres primeros temas. En el tema uno se estudian losconceptos de variable aleatoria, discreta y continua, junto con sus distribuciones de probabilidad.Se estudian las distribuciones, normal, chi-cuadrado, t-student y F-Snedecor así como los conceptosde población y muestra. El tema 2 introduce la estimación por punto y por intervalo. El tema 3aborda el diseño de pruebas estadísticas y el contraste de hipótesis.Cómo se relaciona una variable con otras ocupa el contenido de los temas cuatro a seis. El temacuatro introduce la nomenclatura y conceptos más habituales a manejar en el contexto del análisisde regresión. El tema cinco aborda el análisis de regresión a través del modelo de regresión linealgeneral. Su especificación, estimación y el contraste de hipótesis ocupan este tema. El estimador dereferencia es el estimador de Mínimos Cuadrádos Ordinarios. Se estudiaran sus propiedades y cómocompararlo con otros estimadores de interés. El último tema muestra cómo analizar si alguna de lashipótesis estadísticas de comportamiento habituales no se cumplen y cuáles son las consecuenciasde su incumplimiento para finalizar abordando la predicción de la variable de interés.A lo largo de los temas se va mostrando cómo utilizar un software libre, el programa gretl, especialmenteindicado para el análisis econométrico y que permite un afianzamiento de los contenidosteóricos. Por ello, al final de los temas tres, cinco y seis se incluye una sección que muestra cómoutilizar este programa en relación a los contenidos vistos. En cada tema se muestran ejemplos queiii

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónilustran los diferentes escenarios de trabajo así como se recomienda la realización de los ejerciciospropuestos. Al término de cada tema se muestra la bibliografía correspondiente. Al final deldocumento aparece la bibliografía completa.Las notas tienen como objetivo servir de apoyo al proceso de aprendizaje de los estudiantes de laasignatura Estadística Actuarial: Regresión del Grado en Finanzas y Seguros. Sin embargo, dadasu temática básica de estadística y análisis de regresión pueden ser útiles en asignaturas afinesde los Grados en Economía, Administración y Dirección de Empresas, Marketing y Fiscalidad yAdministración Pública. Así mismo sirven de apoyo a estudiantes de master por ejemplo el MasterUniversitario en Economía: Instrumentos del Análisis económico o el Máster Universitario en Bancay Finanzas Cuantitativas.Las competencias específicas de la asignatura y la evaluaciónLa asignatura de Estadística Actuarial: Regresión es una asignatura de 6 créditos ECTS que conlleva60 horas de trabajo presencial en el aula y 90 horas de trabajo no presencial. La metodología ymodalidades docentes a utilizar están sujetas al criterio del docente y pueden variar cada cursoacadémico. Hay que tener en cuenta que la organización de la metodología docente junto con eldiseño de los contenidos de los temas del curso van dirigidos a que los alumnos alcancen las siguientescompetencias específicas de la asignatura:1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, así como sus propiedades parapoder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.2. Aplicar la metodología estadística adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para latoma de decisiones en el ámbito profesional.3. Analizar de forma crítica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprenderla lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variableseconómicas.4. Aplicar la metodología econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas enbase a la información estadística disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentosinformáticos apropiados.5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidasen un caso de estudio particular.El sistema actual de docencia dentro del EEES tiene como ejes fundamentales el proceso de enseñanza-aprendizajey la adquisición no sólo de conocimientos, sino también, y fundamentalmente,de destrezas implica directamente la valoración del trabajo diario del alumno y su evolución en laadquisición de las competencias. La utilización de la evaluación continua en la evaluación de losalumnos implica la realización, junto con otras pruebas y tareas que el docente crea de interés, deiv

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióntest rápidos o de preguntas cortas en relación a todo lo visto en las clases, conceptos teóricos yejercicios prácticos incluido el software gretl que permitan evaluar al alumno y saber si han adquiridolos resultados del aprendizaje alcanzando así las competencias específicas. Parte de las pruebastendrán componente de sorpresa, es decir sin previo aviso, y parte serán pactadas en cuanto a fecha.Como se indicaba anteriormente estas notas sirven de apoyo al estudio. Analizan los problemas enprofundidad y permiten al alumno profundizar en los temas que conforman el contenido del curso.Así mismo tienen una fuerte vertiente práctica que permitirá al alumno no solo saber sino tambiénsaber hacer. En ningún caso deben utilizarse como sustituto de los libros incluidos en la bibliografía.De igual manera se recomienda la realización de ejercicios tanto los recomendados en clase como losque aparecen en la bibliografía. La unión del estudio de los conceptos y la utilización de los mismosen los ejercicios permite adquirir la agilidad necesaria para el dominio de la asignatura y alcanzarlas competencias específicas de la misma.Sobre el software gretlA lo largo del curso se muestra cómo utilizar un software gretl que permite al alumno un afianzamientode los contenidos teóricos del curso de Econometría como la puesta en práctica de casosreales con la utilización del software gretl 1 .gretl es software libre especialmente dirigido hacia la práctica de la econometría y la estadística,muy fácil de utilizar. Ha sido elaborado por Allin Cottrell (Universidad Wake Forest) y existenversiones en inglés, castellano y euskera, además de en otros idiomas. Junto con el programa sepueden cargar los datos utilizados como ejemplos de aplicaciones econométricas en los siguienteslibros de texto Davidson y Mackinnon (2004), Greene (2008), Gujarati (1997), Ramanathan (2002),Stock y Watson (2003), Verbeek (2004), Wooldridge (2003). Al instalar gretl automáticamente secargan los datos utilizados en Ramanathan (2002) y Greene (2008). El resto se pueden descargarde la página:http: //gretl.sourceforge.net/gretl − data.htmlen la opción textbook datasets. Este curso se estructura sobre casos prácticos presentados en Ramanathan(2002) y en Wooldridge (2003) y ejercicios a resolver con ayuda de gretl.También da acceso a bases de datos muy amplias, tanto de organismos públicos, como el Banco deEspaña, como de ejemplos recogidos en textos de Econometría. En la páginahttp: //gretl.sourceforge.net/gretl − espanol.htmlse encuentra la información en castellano relativa a la instalación y manejo del programa. Tambiénhay versiones de esta ayuda en euskera y en inglés.Una página web interesante sobre las posibilidades del programa para el aprendizaje de Econometríaes:http://www.learneconometrics.com/gretl.html1 Acrónimo de Gnu Regression, Econometric and Time Series (Biblioteca Gnu de Regresión Econometría y SeriesTemporales)v

viEstadística Actuarial: Análisis de Regresión

Contenido0. Introducción 10.1. La naturaleza de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. Clasificación de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3. Representación gráfica de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.4. Descripción numérica de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.5. Tratamiento de la información con gretl : inclusión de datos en gretl y análisis descriptivobásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.6. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181. Variables Aleatorias. Población y muestra 191.1. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Ejemplos . . . . . . . . . . . . 211.1.1. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad . . . . . . . . 211.1.2. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad . . . . . . . . 221.1.3. Esperanzas y variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.1.4. Dos variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1.5. Más de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.1. La distribución normal estandarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.2. La distribución chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.3. La distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.4. La distribución F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3. Muestreo de una población. Muestras aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4. Estadísticos y distribuciones en el muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5. La distribución de la media muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.6. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45vii

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Estimación por punto y por intervalo 472.1. Introducción a la inferencia estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2. Estimadores puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2. Estimadores de la media y la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1. Intervalos de confianza y nivel de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.2. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianzaconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.3. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianzadesconocida. La distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.4. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603. Contraste de hipótesis 613.1. Concepto de hipótesis nula e hipótesis alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Tipos de error en el contraste y potencia de un contraste . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3. El p-valor y conclusiones del contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4. Pasos en la realización de un contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.1. Contrastes de la media de una distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714. Modelo econométrico: introducción 734.1. Modelo económico y modelo econométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Etapas en la elaboración de un modelo econométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3. Tipología de datos y variables en Econometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2. Fuentes de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845. Modelo de Regresión Lineal General 855.1. Especificación del Modelo de Regresión Lineal General (MRLG): supuestos básicos . 88viii

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.1.1. Hipótesis básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2. Forma funcional. Interpretación de los coeficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3. Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3.1. Método de estimación de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) . . . . . . . 1015.3.2. Propiedades de la Función de Regresión Muestral, FRM . . . . . . . . . . . . 1075.3.3. Medidas de bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4. Propiedades de los estimadores MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.1. Propiedades de los estimadores MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.2. Estimación de la varianza de las perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4.3. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: colinealidad . . . . . 1165.4.4. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: omisión de variablesrelevantes e inclusión de variables irrelevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5. Utilización de variables explicativas cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5.1. Modelo que recoge sólo efectos cualitativos: comparando medias. Sólo un conjuntode variables ficticias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.2. Dos o más conjuntos de variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5.3. Inclusión de variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.4. Comportamiento estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.5.5. Efectos de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.6. Distribución del estimador MCO. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . 1305.6.1. Distribución del estimador de MCO bajo Normalidad . . . . . . . . . . . . . 1305.6.2. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7. Contraste de hipótesis sobre los coeficientes de la regresión . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7.1. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión individuales . . . 1315.7.2. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión . . . . . . . . . . 1335.7.3. Contrastes basados en sumas de cuadrados de residuos . . . . . . . . . . . . . 1375.8. Estimación del MRLG con gretl: principales resultados, contraste de hipótesis . . . . 1545.8.1. Tratamiento de las variables ficticias en gretl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.9. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.9.1. Anexo 1. Distintas expresiones de SCT, SCE y SCR . . . . . . . . . . . . . . 1635.9.2. Anexo 2. Demostración de la insesgadez de ˆσ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.9.3. Anexo 3. Distribuciones que nos interesan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165ix

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.10. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666. Validación 1676.1. Forma funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2. Sobre constancia de los coeficientes: contraste de cambio estructural . . . . . . . . . 1716.3. Sobre las perturbaciones: contrastes de heterocedasticidad y ausencia de correlación 1726.3.1. Contraste de heterocedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.3.2. Detección gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.3.3. Contraste de White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.4. Contraste de ausencia de correlación temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4. Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.5. Validación en gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.1. Contraste de Ramsey con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.2. Contraste de cambio estructural o Chow con gretl . . . . . . . . . . . . . . . 1936.5.3. Contraste de heterocedasticidad con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.5.4. Contraste de ausencia de correlación con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.5.5. Predicción en gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.6. Bibliografía del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047. Guía para el desarrollo de un proyecto empírico 2057.1. Características básicas del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Bibliografía 209x

Figuras1. N o de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economía. . . . . . . . . . 62. Distribución de frecuencias del gasto en sanidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Distribución de frecuencias relativas y evolución temporal del la demanda domésticade electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Evolución temporal del consumo y renta per cápita junto a la nube de puntos . . . . 105. Gráficos de las observaciones para las variables price y sqft . . . . . . . . . . . . . . 161.1. Distribución normal bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2. Ejemplos de función de densidad de la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . 351.3. Función de distribución acumulada de la distribución normal . . . . . . . . . . . . . 351.4. Probabilidades correspondientes a Z = 1, 65 y Z = −1, 65 en la distribución normalestándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5. Función de densidad de la distribución Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6. Función de densidad de la distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7. Función de densidad de la distribución F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1. Sesgo y varianza de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2. Ejemplos de distribución de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1. Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2. Función de regresión poblacional y función de regresión muestral . . . . . . . . . . . 1016.1. Relaciones económicas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2. Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.3. Residuos MCO versus P OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.4. Residuos MCO versus P OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.5. Residuos MCO y sus cuadrados versus SEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178xi

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6.6. Perturbaciones homocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.7. Residuos MCO frente a una variable ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.8. Proceso autorregresivo de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.9. Perturbaciones AR(1) positivo versus AR(1) negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.10. Variable endógena versus exógena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.11. Gasto sanitario real y ajustado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.12. Residuos MCO versus RENTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.13. Residuos versus tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.14. Residuos en t versus residuos en t-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.15. Variable endógena versus exógena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.16. Residuos modelo (6.20) versus tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202xii

Tablas1. N o de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economía. . . . . . . . . . 62. Gasto sanitario por estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Distribución de frecuencias para el gasto en sanidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Demanda doméstica de electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Distribución de frecuencias para la demanda doméstica de electricidad . . . . . . . . 91.1. Función de densidad de probabilidad conjunta f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2. Distribuciones marginales para X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1. Datos sobre salario medio por hora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2. Tamaño de la cadera para 50 individuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1. Datos de características de viviendas. Fichero 4-1.gdt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2. observaciones muestrales de la prima pagada y renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.1. Observaciones sobre rendimiento y t/i por país . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.1. Modelos estimados para el precio de la vivienda P RICE . . . . . . . . . . . . . . . 2087.2. Función de Salarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208xiii

Tema 0IntroducciónLa Estadística, la Econometría y muchas otras materias se alimentan de datos. En ocasiones elnúmero de datos u observaciones recogidas es tan grande que no es fácil obtener unos resultadosinterpretables con claridad. En este tema vamos a dedicar las clases a resumir de forma clara yprecisa la información que nos transmiten los datos sin ocultar características importantes. No hayuna estrategia correcta para ello en general depende del tipo de datos y del fin del estudio. En estetema vamos a introducir gráficos y tablas que resuman la información de los datos, por ejemplográficos de barra, tarta, gráficos de series temporales. Los gráficos, diagramas y tablas puedenmejorar la comunicación de los datos a los clientes u proveedores.A lo largo del tema se han introducido ejemplos ilustrativos de los conceptos a aprender.Competencias a trabajar en estas sesiones:5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Representar gráficamente variables.2. Describir numéricamente los datos observados.3. Incluir datos en gretl y obtener su análisis descriptivo básico.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular se os recomienda leerlos capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:1

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 1, Cap. 2 y Cap. 3.• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.• Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Cap. 1• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice B.2

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión0.1. La naturaleza de los datosEn la actualidad el individuo tiene a su disposición datos de casi todo aquello que desee conocer.La Administraciones públicas, los entes privados y los investigadores científicos publican y recogendatos. Es muy importante saber resumir e interpretar la información que proporcionan. Pensemosen el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. El productor necesitará conocer su nivel dedemanda potencial, todos sus posibles compradores. A este conjunto de todos sus posibles compradoresse le denomina población. En ocasiones el tamaño de la población puede ser muy grande eincluso infinito por lo que debemos limitarnos a estudiar una parte más reducida de la misma, quedenominamos muestra.La población es el conjunto de todos los objetos que interesan al investigador. Al número de observacionesu objetos que conforman la población se le denomina tamaño de la población y se denota porN. La muestra es un subconjunto observado de valores poblacionales. El número de observacionesque conforman la muestra se denomina tamaño de la muestra y se denota por n.El muestreo aleatorio simple o muestreo aleatorio es el procedimiento que se utiliza para seleccionaruna muestra de n observaciones de una población en el que cada miembro de la población se eligeestrictamente al azar. Cada miembro de la población se elige con la misma probabilidad y todas lasmuestras posibles de un tamaño dado, n, tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.Tomar una muestra y estudiar sus características es un medio para extraer conclusiones sobre lapoblación. Por ejemplo si estamos interesados en conocer la renta media de las familias de unpaís, el tamaño de la población es tan grande que solo podríamos tomar una muestra aleatoria depor ejemplo 1000 familias y calcular su renta media. Esta media basada en datos muestrales sellama estadístico. Si pudiéramos calcular la renta media de todas las familias la media resultantese llamaría parámetro. En este curso estudiaremos cómo se toman decisiones sobre un parámetrobasándonos en un estadístico. Trabajaremos en un entorno de incertidumbre ya que el valor exactodel parámetro es desconocido. Un parámetro es una característica específica de la población. Unestadístico es una característica específica de la muestra.Una vez que tenemos definido un problema y recolectados los datos objeto de interés, estos seanalizan utilizando métodos estadísticos. La estadística descriptiva y la estadística inferencial permitenconvertir los datos en conocimiento útil para la toma de decisiones. La estadística descriptivaestá formada por métodos gráficos y numéricos que permiten resumir y procesar los datosconvirtiéndolos en información. La estadística inferencial permite hacer estimaciones, contraste dehipótesis, predicciones y previsiones.Una vez que tenemos recolectados los datos debemos transformarlos en información. Para ellopodemos llevar a cabo un análisis gráfico de los mismos y también un análisis descriptivo.0.2. Clasificación de las variablesAntes de abordar el estudio gráfico y el estudio descriptivo de los datos vamos a hablar de lasvariables. Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptiblede adoptar diferentes valores. Las variables pueden clasificarse de varias formas, por ahora lo haremos3

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónen dos. Cuando las clasificamos según el tipo y la cantidad de información que contienen podemosdistinguir entre variables categóricas y numéricas. Cuando las clasificamos por nivel de mediciónpodemos distinguir entre variables cualitativas y cuantitativas.Una primera clasificación divide los datos en variables categóricas y variables numéricas. Las variablescategóricas son aquellas que generan respuestas que pertenecen a categorías o grupos. Porejemplo ¿tiene coche? ¿utiliza tarjeta de crédito? También son variables categóricas las respuesta apreguntas sobre sexo, estado civil, nivel de educación y también lo son las respuestas con diferentesgrados de intensidad como las que van de totalmente de acuerdo a totalmente en desacuerdo.Una variable numérica es aquella que toma valores. Una variable numérica discreta puede tenerun número infinito de valores, pero en general proviene de un proceso de recuento, por ejemplonúmero de aprobados en Matemáticas II o el número de matriculados en una asignatura. Una variablenumérica continua puede tomar cualquier valor en un intervalo dado de números reales ynormalmente proviene de un proceso de medición. Por ejemplo la altura y el peso, la temperatura,el tiempo, la distancia entre dos puntos, etc.También podemos clasificar los datos por su nivel de medición en variables cualitativas y cuantitativas.Variables cuantitativas son aquellas que podemos valorar numéricamente. Por ejemplo, larenta disponible de una familia, el precio de un bien, la renta per cápita. Variables cualitativasson aquellas que miden cualidades y que por lo tanto no se miden con un valor numérico y será elinvestigador el que se lo asigne según un criterio. Por ejemplo, si un individuo es hombre o mujer, siestá o no casado, si trabaja en turno de noche o no, si tiene estudios superiores o no. En las variablescualitativas es el investigador el que establece el valor de la variable para cada característica.Las variables cualitativas pueden tener niveles de medición nominales y ordinales mientras que losdatos cuantitativos pueden tener niveles de medición basados en intervalos y en razones. Son datosnominales los que responden a preguntas categóricas, el sexo, el lugar de nacimiento, el estado civil.Por ejemplo, la respuesta a la pregunta sexo del individuo son palabras que describen la categoría:hombre, mujer y se ha de asignarlas un código de manera arbitraria, por ejemplo: hombre = 1,mujer = 0, este valor solo se emplea para clasificar a los individuos, la diferencia entre ellos notienen ningún valor. Los datos ordinales indican el orden que ocupa el objeto, por ejemplo en unaencuesta pueden preguntar sobre el grado de dificultad de un determinado procedimiento y lasrespuestas pueden ser: alto=1, medio=2, bajo=3. Las respuestas siguen un orden, son ordinales,pero la diferencia entre ellas no tiene significado mensurable.Los niveles de medición basados en intervalos y razones se refieren a datos en una escala ordenadaen los que la diferencia entre las mediciones tiene un significado. Una escala de intervalos indica elorden y la distancia con respecto a un cero arbitrario medidos en intervalos unitarios, por ejemploel año es un dato de este tipo donde el nivel de referencia es el calendario gregoriano. Otro ejemplosería la temperatura. Los datos basados en una escala de razones indican el orden y la diferenciacon respecto a un cero natural y los cocientes entre dos medidas tienen un significado. Por ejemplouna persona que tiene 90 años tiene el doble de años que una persona de 45 años. El peso, la alturason variables de este tipo.Con respecto a la unidad de medida los podemos clasificar en:4

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1. Datos de serie temporal: Reflejan la evolución de una variable a lo largo del tiempo, según estola variable estará ordenada cronológicamente con un orden lógico. Las variables medidas enseries temporales se denotan con el subíndice t y este puede referirse a observaciones temporalesmensuales, trimestrales, diarias, cuatrimestrales, anuales, etc. Ejemplo: la demanda domésticade electricidad (DDE) del segundo trimestre de 1972 al cuarto trimestre de 1993. En este casola población serían todos los posibles valores de dicha demanda DDE a lo largo del tiempo yla muestra el período que vamos a estudiar, 1972:2-1993:4, el tamaño de la muestra es de 87observaciones.2. Datos de sección cruzada o corte transversal: Son datos atemporales dado que miden el comportamientode una variable en diferentes unidades y en el mismo momento del tiempo.Ejemplo: el salario de los trabajadores del sector de educación en las diferentes comunidadesautónomas españolas en el año 2011.3. Datos de panel: es la unión de datos de serie temporal y datos de sección cruzada. Están fueradel objetivo del curso.Hay que notar que una variable puede ser clasificada en varias de las categorías anteriores, unavariable cualitativa puede ser categórica nominal u ordinal. Una variable numérica discreta como laedad, variable cuantitativa en su naturaleza puede ser convertida en una variable cualitativa cuandopor ejemplo en el estudio no nos interese más que conocer en que tramo de edad se encuentre elindividuo y por ejemplo lo clasifiquemos en menores de 25 años, entre 25 y 45 años y mayores de45 años. Son tres tramos de edad y a cada uno de ellos le asignaremos un valor arbitrario. Ademásserán datos de serie temporal o de sección cruzada.Una vez recogidos los datos de interés y asignados los arbitrarios si es necesario podemos procedera analizarlos gráficamente.0.3. Representación gráfica de las variablesLas variables categóricas suelen representarse utilizando tablas de distribución de frecuencias y gráficoscomo los de barras, de Pareto o de tarta. Las variables numéricas se describen por histogramas,ojivas y diagramas de tallo y hojas.La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de losdatos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. En principio, en la tabla defrecuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el númerode veces que aparece, es decir, su frecuencia. Se puede complementar la frecuencia absoluta con ladenominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos.La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histograma o diagrama de barras.Normalmente en el eje vertical se colocan las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores.Ejemplo 0.1La Tabla 1 muestra el número de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura enEconomía en los cursos 2009-2010 y 2010-2011. Las clases que muestra la tabla son las5

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónrespuestas posibles a la variable categórica. La pregunta realizada es ¿Cuántos alumnoshan aprobado la asignatura XX en el curso Y Y ?Asignatura 2009-2010 2010-2011Microeconomía 60 76Estadística para economistas 89 98Econometría 85 105Tabla 1: N o de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economía.La misma información muestra el gráfico de barras recogido en la Figura 1:Figura 1: N o de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economía.Ejemplo 0.2La Tabla 2 muestra el gasto en sanidad, GS, en billones de dólares en el año 1993 paralos 50 estados de Estados Unidos junto con Washington DC:Estado GS Estado GS Estado GS Estado GS Estado GSWY 0,998 NH 3,452 MS 6,187 LA 13,014 GA 20,104VT 1,499 HI 3,485 IA 7,341 MN 14,194 NC 18,241DC 4,285 ME 3,433 OR 7,999 MD 15,154 NJ 25,741AK 1,573 NV 3,747 OK 8,041 WI 14,502 MI 27,136ND 2,021 NE 4,400 CT 12,216 TN 16,203 OH 33,456DE 2,260 NM 3,878 CO 10,066 MO 15,949 IL 34,747SD 1,953 WV 5,197 SC 9,029 WA 15,129 PA 41,521MT 2,103 UT 4,118 KY 10,384 IN 16,401 FL 44,811RI 3,428 AR 6,111 AZ 10,635 MA 23,421 TX 49,816ID 2,277 KS 6,903 AL 12,060 VA 16,682 NY 67,033CA 94,178Tabla 2: Gasto sanitario por estado6

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónCon los datos se ha construido la Tabla 3 de frecuencias. Se han construido cinco intervalospara los posibles valores de la variable. Para cada uno de ellos se ha calculado supunto medio y el número de observaciones que caen dentro del intervalo y que aparecenen la columna frecuencia. La columna relativa muestra la frecuencia relativa es decir elporcentaje sobre el total de observaciones del número de observaciones que caen dentrodel intervalo. La columna acumulada agrega la frecuencia relativa del intervalo a la delanterior.Observaciones 1-51, número de cajas = 7,media = 15,2649, desv.típ.=17,8877intervalo punto medio frecuencia relativa acumulada< 15,530 7,7650 35 68,63 % 68,63 %15,530 - 31,060 23,295 9 17,65 % 86,27 %31,060 - 46,590 38,825 4 7,84 % 94,12 %46,590 - 62,120 54,355 1 1,96 % 96,08 %62,120 - 77,650 69,885 1 1,96 % 98,04 %77,650 - 93,180 85,415 0 0,00 % 98,04 %>= 93,180 100,94 1 1,96 % 100,00 %Tabla 3: Distribución de frecuencias para el gasto en sanidadA partir de la tabla de frecuencias se pueden dibujar los siguientes gráficos de las distribuciones, ala izquierda de frecuencia y a la derecha de frecuencia acumulada:Figura 2: Distribución de frecuencias del gasto en sanidadEl gráfico de la izquierda es un histograma cuyos intervalos se corresponden con los de la tabla dedistribución de frecuencias. La altura de la barra es proporcional al número de observaciones delintervalo. El gráfico de la derecha es una ojiva, muestra una línea que conecta los puntos que sonel porcentaje acumulado de observaciones situadas por debajo del límite superior de cada intervaloen una distribución de frecuencias acumuladas.En el histograma encontramos información sobre la muestra. Si la muestra está equilibrada, es decirsi las observaciones se distribuyen de forma uniforme a ambos lados del punto medio, la forma del7

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónhistograma será simétrica. En el ejemplo la muestra claramente no está equilibrada, esta sesgadapositivamente ya que se extiende hacia la derecha donde los valores son positivos. Si se extiendehacia los valores negativos se dice que está sesgada negativamente.Gráficas para datos de serie temporalEn el caso de disponer de datos de serie temporal además de analizar su distribución de frecuenciasnos interesará su evolución temporal.Ejemplo 0.3Se dispone de una muestra de observaciones sobre la demanda doméstica de electricidadpara el periodo de 1972:2 a 1993:4 en San Diego en millones de kilowatios/hora. Lasobservaciones se recogen en la Tabla 4:t DDE t DDE t DDE t DDE t DDE1972:2 586,608 1976:4 860,741 1981:2 883,718 1985:3 1062,046 1989:4 1279,6261972:3 625,797 1977:1 946,673 1981:3 958,449 1985:4 1079,565 1990:1 1485,4531972:4 704,154 1977:2 793,593 1981:4 980,453 1986:1 1137,534 1990:2 1206,4551973:1 817,206 1977:3 820,803 1982:1 1062,744 1986:2 992,370 1990:3 1394,0551973:2 667,642 1977:4 876,286 1982:2 887,136 1986:3 1087,314 1990:4 1336,9791973:3 661,827 1978:1 993,199 1982:3 933,269 1986:4 1107,644 1991:1 1455,1211973:4 732,839 1978:2 842,539 1982:4 978,160 1987:1 1263,671 1991:2 1210,5951974:1 796,876 1978:3 893,369 1983:1 1020,435 1987:2 1054,402 1991:3 1261,0561974:2 655,335 1978:4 998,721 1983:2 917,487 1987:3 1107,669 1991:4 1407,9251974:3 692,599 1979:1 1135,091 1983:3 975,387 1987:4 1214,441 1992:1 1446,2151974:4 768,172 1979:2 901,289 1983:4 998,109 1988:1 1335,147 1992:2 1255,0081975:1 877,881 1979:3 942,471 1984:1 1015,545 1988:2 1122,214 1992:3 1504,5111975:2 722,124 1979:4 1024,852 1984:2 919,639 1988:3 1238,305 1992:4 1405,3361975:3 697,671 1980:1 1068,690 1984:3 1040,188 1988:4 1233,677 1993:1 1512,3061975:4 804,178 1980:2 914,884 1984:4 1082,732 1989:1 1432,962 1993:2 1241,3451976:1 880,008 1980:3 930,812 1985:1 1164,663 1989:2 1156,211 1993:3 1405,0361976:2 763,618 1980:4 969,382 1985:2 945,277 1989:3 1276,944 1993:4 1392,1831976:3 790,428 1981:1 1028,968Tabla 4: Demanda doméstica de electricidadLa distribución de frecuencias correspondiente se muestra en la Tabla 5.8

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónObservaciones 1-87, número de cajas = 9,media = 1035,08, desv.típ.=233,605intervalo punto medio frecuencia relativa acumulada< 644,46 586,61 2 2,30 % 2,30 %644,46 - 760,18 702,32 8 9,20 % 11,49 %760,18 - 875,89 818,03 10 11,49 % 22,99 %875,89 - 991,60 933,74 20 22,99 % 45,98 %991,60 - 1107,3 1049,5 16 18,39 % 64,37 %1107,3 - 1223,0 1165,2 10 11,49 % 75,86 %1223,0 - 1338,7 1280,9 10 11,49 % 87,36 %1338,7 - 1454,4 1396,6 7 8,05 % 95,40 %>= 1454,4 1512,3 4 4,60 % 100,00 %Tabla 5: Distribución de frecuencias para la demanda doméstica de electricidadA continuación se muestra la gráfica de la distribución de frecuencias relativas, a laizquierda, y a la derecha la evolución temporal de la variable. El gráfico de frecuenciasmuestra una distribución moderadamente asimétrica positiva. El gráfico de serie temporalmostrado a la derecha indica una tendencia creciente en la variable y un patrónde comportamiento anual que se repite.0,25160015000,214001300Frecuencia relativa0,150,1DDE1200110010009000,058007000600 800 1000 1200 1400 1600DDE6005001975 1980 1985 1990Figura 3: Distribución de frecuencias relativas y evolución temporal del la demanda doméstica deelectricidadGráficas para describir relaciones entre variablesEn muchas ocasiones los estudios se centran en las relaciones entre dos variables. En este caso lagráfica de la nube de puntos informa tanto del rango como de la relación entre las variables. Elgráfico muestra la nube de puntos o pares de observaciones de las variables.Por ejemplo podemos estudiar la relación entre el salario de un individuo y su antigüedad en laempresa, la dependencia del precio de una vivienda con respecto a la superficie da la misma, larelación entre consumo y renta, etc. En todos estos ejemplos una variable depende de la otra, elconsumo depende de la renta, el salario depende de la antigüedad en el puesto, el precio dependede la superficie de la vivienda. A las variables consumo, precio de la vivienda y salario se les llama9

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónvariables dependientes porque depende de la renta, la superficie de la vivienda y la antigüedadmientras que estas se denominan variables independientes ya que no dependen de otra. La variableindependiente (denotada habitualmente por X) se muestra en el eje de abscisas mientras que lavariable dependiente (denotada habitualmente por Y) se muestra en el eje de ordenadas.Ejemplo 0.4Supongamos que disponemos datos sobre consumo per cápita y renta per cápita endólares de 1987 para Estados Unidos en el periodo de 1970-1991. En el gráfico de laizquierda se muestra la evolución temporal de ambas variables. A la derecha se muestrala nube de puntos de ambas variables. La muestra consta de 22 observaciones luegola nube está constituida por 22 puntos, para cada año un punto recoge el valor de lavariable consumo y el valor de la variable renta (P P CE t , P DP I t ).150001400013000PPCEPDPI13500130001250012000PPCE con respecto a PDPI (con ajuste mínimo−cuadrático)Y = −1,22e+003 + 1,01X1200011000100009000PPCE115001100010500100009500900080001970 1975 1980 1985 1990850010000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000PDPIFigura 4: Evolución temporal del consumo y renta per cápita junto a la nube de puntosEl gráfico de serie temporal muestra que ambas variables evolucionan de forma parejay son crecientes con t. La nube de puntos muestra la misma relación creciente y linealentre las variables. La recta que aparece en la nube de puntos muestra esta relaciónlineal. A esta recta se le llama función de regresión muestral y nos ocuparemos de ellaen el tema 5.0.4. Descripción numérica de los datosEn la sección anterior se han descrito los datos de una muestra gráficamente. En esta sección vamosa describirlos numéricamente con medidas de tendencia central, medidas de variabilidad y medidasdel sentido y del grado de relación entre dos variables.Medidas de la tendencia central: Las medidas de tendencia central dan información numéricasobre una observación “típica”de los datos.• Media aritmética o media muestral: La media aritmética de un conjunto de datos es la suma delos valores de los datos dividida por el número de observaciones.¯X =∑ n1 X in= X 1 + X 2 + . . . + X nn10

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Mediana: es la observación que ocupa el lugar central de un conjunto de observaciones ordenadasen sentido ascendente o descendente. Si el tamaño de muestra n es impar la mediana es el valor quese encuentra en medio. Si el tamaño muestral es par la mediana es la media de las dos observacionesque se encuentran en el medio. La mediana se encuentra en la posición 0, 50(n + 1).• Moda, es el valor que aparece con más frecuencia. Puede no existir.¿Cuál de las tres es la mejor medida para describir la tendencia central de los datos, la media,la mediana o la moda? Depende de los datos. Si los datos son numéricos en general será útil lamedia, pero si son categóricos será más útil la mediana o la moda. Por ejemplo imaginemos quetenemos cinco individuos dos hombres y tres mujeres y que el investigador asocia el valor 1 a loshombres y el valor cero a las mujeres. La media muestral de la variable“sexo” es 2/5 lo que notine sentido, sin embargo la moda es el valor 0 que indica que hay más mujeres que hombres en lamuestra. Imaginemos que la variable objeto de estudio es la renta. La media se verá incrementadapor aquellos valores muy altos y no describirá bien la variable sin embargo la mediana es el nivelde renta por encima del cual están la mitad de los hogares de la muestra.Medidas de la variabilidad: Junto a la media es necesario presentar estadísticos descriptivos quemidan la variabilidad o dispersión de los datos u observaciones con respecto a la media.• Rango: es la diferencia entre los valores mayor y menor de la muestra.• Varianza muestral: la varianza muestral es la suma de los cuadrados de las diferencias entre cadaobservación y la media muestral dividida por el tamaño de la muestra menos 1:S 2 =∑ n1 (X i − ¯X) 2n − 1• Desviación típica muestral: Es la raíz de la varianza muestral:√ ∑n1 (X i − ¯X) 2S = √ S 2 =n − 1• Coeficiente de variación: es una medida de la dispersión relativa que expresa la desviación típicaen porcentaje de la media (siempre que esta sea positiva). El coeficiente de variación muestral sedefine:CV = S¯X × 100 % si ¯X > 0Medidas de las relaciones entre las variables• Covarianza: es una medida de la relación entre dos variables. Un valor positivo indica una relaciónlineal directa o creciente y un valor negativo una relación lineal inversa o decreciente. La covarianzamuestral se define:∑ n1Cov(X, Y ) = S XY =(X i − ¯X)(Y j − Ȳ )n − 1donde X i e Y j son los valores observados de las variables X e Y , ¯X e Ȳ son, respectivamente,sus medias muestrales y n es el tamaño de muestra. El coeficiente de correlación da una medidaestandarizada de la relación lineal entre dos variables. Indica el sentido y el grado de la relación.11

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Coeficiente de correlación: es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviacionestípicas entre las variables:r XY = Cov(X, Y )S X S YEl coeficiente de correlación está comprendido entre −1 y 1, −1 ≤ r XY ≤ 1. Cuanto más cercase encuentra de 1 más cerca se encuentran los datos de puntos de una línea recta ascendente queindica una relación lineal positiva. Cuanto más cerca de −1 más cerca se encuentran los datos depuntos de una línea recta descendente que indica una relación lineal negativa. Cuando r = 0 noexiste ninguna relación lineal entre las variables.0.5. Tratamiento de la información con gretl : inclusión de datos engretl y análisis descriptivo básicogretl es un programa que permite obtener de manera sencilla mediante ventana resultados estadísticosy econométricos. Una vez ejecutado el programa gretl en la ventana principal aparece un menú deventanas que nos permite diferentes posibilidades. En la pantalla principal, una vez abierto gretlnos aparecen las siguientes pestañas:Archivo Herramientas Datos Ver Añadir Muestra Variable Modelo AyudaPero solo tres de ellas están activas, las distinguimos porque las no activas aparecen en gris mientrasque las activas están en negrita. Las activas son Archivo, Herramientas y Ayuda. En la primeraleemos datos. Empezaremos viendo como leer datos. Dependiendo del origen de éstos si están enuna archivo de muestra incluido en gretl , si están disponibles en papel, en la web o en un archivopropio procederemos de una manera u otra.• Para leer datos incluidos en la base del programa gretl :Pinchar Archivo → Abrir archivo de datos → Archivo de muestra → Aquí seleccionamos la basede datos que necesitemos, por ejemplo ETM → y ahora seleccionamos el archivo, por ejemplomonthly-crsp.gdtAparecerán las variables de la muestra y en la barra superior se habrán activado las etiquetas mencionadasanteriormente. Por ejemplo en Datos podremos ver las observaciones y sus características.Algunas de las opciones que contiene la etiqueta Datos son las siguientes:Mostrar valoresEditar los valoresInformación del conjunto de datosEstructura del conjunto de datosPara obtener lo que necesitamos sólo tenemos que pinchar la etiqueta correspondiente y la variableo variables a estudiar. Por ejemplo para ver la estructura del conjunto de datos pinchamos enesta etiqueta y obtendremos una pantalla en la que aparecerá seleccionado el tipo de datos con elque estamos trabajando, en este caso Serie temporal. Pinchamos adelante y veremos la frecuencia,mensual, y el inicio y final de la muestra 1968:1 a 1998:12. La etiqueta estructura del conjunto12

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónde datos es muy útil cuando necesitamos cambiar alguno de ellos por ejemplo si añadimos nuevasobservaciones.En el menú inicial aparece también la etiqueta Ver con, entre otras, las siguientes opciones:GráficosGráficos múltiplesEstadísticos principalesMatriz de correlación• Para hacer Gráficos:Pinchar Ver → Gráficos → Gráficos de series temporales. Seleccionar las variables que se quierenincluir en el gráfico y pinchar Aceptar.Para guardar el gráfico: situar el ratón sobre el gráfico y pinchar con el botón derecho. Elegir opción.Podemos guardarlos en postcript (.eps) o .png, etc. En la ventana que aparece para guardarloescribir la dirección de la carpeta donde queremos guardar el gráfico y ponerle un nombre porejemplo CRSPVW.Dentro de las opciones que aparecen al pinchar con el botón derecho está la opción Editar. En estaopción se pueden modificar los ejes, los nombres de las variables, incluso el tipo de línea y colorutilizada para representar la serie de observaciones, entre otras posibilidades.• Para obtener los Estadísticos principales de las variables de la muestra:Pinchar en Ver → Estadísticos principales.La ventana de output mostrará la media, moda, valor máximo y mínimo de la serie, desviacióntípica, coeficiente de variación, curtosis y asimetría. Podemos obtener los estadísticos para unaúnica serie o para el conjunto de ellas seleccionándolo previamente.Si queremos guardar el output pinchamos en el icono del diskette arriba a la izquierda y seleccionamoscómo queremos que lo guarde, texto plano, Word o Latex y en la ventana damos el nombre quedeseemos al fichero de resultados, por ejemplo estadVW para la serie CRSP o estadmuestra parael conjunto y a continuación damos la dirección de la carpeta donde queremos que nos guarde elfichero de resultados.En el menú inicial también aparece la etiqueta Variable para trabajar con una única serie de lamuestra. Algunas de las opciones que incluye esta etiqueta son:BuscarMostrar valoresEstadísticos principalesContraste de NormalidadDistribución de frecuenciasGráfico de frecuencias (simple, contra la normal, contra la gamma)Gráfico de series temporalesEditar atributosetc.13

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Obtener datos que están en el servidor:Queremos estudiar una serie que se encuentra en el servidor, Crédito más de 5 años a hogares. Estaserie aparece publicada en la base de datos del Banco de España con el código BE182704.Pinchar Archivo → Bases de datos → Sobre servidorEn el listado de bases de datos que aparece vamos a bde18 Banco de España (Tipo de interés)y pinchamos en Obtener listado de series comprobando que contienen la serie que queremos.Series → MostrarPara representarla gráficamente: Series → RepresentarPara importar los datos a gretl situamos el cursor sobre la serie de interés, BE182704, y vamos aSeries → ImportarAdemás tenemos opción de hacer lo siguiente:• Añadir o cambiar información sobre la variable: en menú Variable → Editar atributos. En estaventana podremos cambiar también el nombre de la serie utilizado en los gráficos.• Añadir notas explicativas: en menú Datos → Editar información• Consultar las notas informativas: en menú Datos → Leer información o en Datos → Descripción• Para crear un conjunto de datos:Pinchar Archivo → Nuevo conjunto de datos y completar la información que pide sobre:número de observacionesestructura del conjunto de datos (serie temporal o sección cruzada)frecuenciaA la pregunta ¿Desea empezar a introducir los valores de los datos usando la hoja de cálculo degretl ? contestar Sí• Introducir el nombre de la variable. El máximo de caracteres que acepta es 15, no usar acentosni la letra ñ. Pinchar Aceptar.• En la hoja de cálculo situarnos en la primera celda y teclear la observación correspondiente,a continuación pinchar intro. Si nos saltamos alguna observación podemos insertar una fila enel lugar correspondiente con solo situarnos en la celda posterior e ir a observación → insertarobs. Una vez introducidas todas las variables pinchar Aplicar.• Para guardar los datos: en menú Archivo → Guardar datos. Dar nombre al conjunto de datos,por ejemplo Azar y se grabará automáticamente con la extensión gdt.Si en otro momento queremos usar este conjunto de datos solo habrá que clickear en él dosveces para que se active.14

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Si queremos añadir variables en menú: Pinchar en la etiqueta Añadir tenemos las siguientesposibilidades:• Logaritmos de las variables seleccionadas• Cuadrados de las variables seleccionadas• Retardos de las variables seleccionadas• Primeras diferencias de las variables seleccionadas• Diferencias del logaritmo las variables seleccionadas• Diferencias estacionales de las variables seleccionadas• Variable índice• Tendencia temporal• Variable aleatoria (uniforme, normal, chi cuadrado y t-Student) Por ejemplo para crearuna variable normal de media 0 y desviación 1 haremos nombre de la variable 0 1• Variables ficticias, etc.• Definir una nueva variable. Esta opción podemos utilizarla para crear combinaciones devariables por ejemplo Z t = 4 + ɛ t ɛ t ∼ N(0, 1). Permite los operadores,+, -, *, /, ^(suma, resta, producto, potencia) entre otros.• Para obtener información sobre la muestra pinchar en la etiqueta Muestra. En ellaencontraremos, entre otras, las siguientes opciones:Establecer rangoRecuperar rango completoRestringir, a partir de un criterioetc.Ejemplo 0.1Vamos a trabajar con el archivo de datos data4 − 1.gdt ya que en los temas siguientesva a ser uno de los ejemplos que seguiremos. Está incluido como archivo de muestraen la pestaña Ramanathan. Una vez abierto podemos buscar información sobre susvariables tal y como se ha indicado. Siguiendo la ruta indicada encontramos la siguienteInformación del conjunto de datosDATA4-1: Data on single family homes in University City communityof San Diego, in 1990.price = sale price in thousands of dollars (Range 199.9 - 505)sqft = square feet of living area (Range 1065 - 3000)bedrms = number of bedrooms (Range 3 - 4)baths = number of bathrooms (Range 1.75 - 3)15

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónDonde aparece una somera descripción de los datos disponibles y su fuente y/o origen.En este caso nos dicen que son datos de hogares de la comunidad universitaria de SanDiego en 1990, de lo que deducimos que son datos de sección cruzada ya que se refierena un único año. También aparecen los nombres de las variables y su descripción así comoel rango de cada una (la amplitud del intervalo de valores que toma la variable en lamuestra) y la fuente de los datos. Los estadísticos principales son los siguientes:Estadísticos principales, usando las observaciones 1 - 14Variable Media Mediana Mínimo Máximoprice 317,493 291,500 199,900 505,000sqft 1910,93 1835,00 1065,00 3000,00bedrms 3,64286 4,00000 3,00000 4,00000baths 2,35714 2,25000 1,75000 3,00000Variable Desv. Típ. C.V. Asimetría Exc. de curtosisprice 88,4982 0,278741 0,653457 −0,529833sqft 577,757 0,302344 0,485258 −0,672125bedrms 0,497245 0,136499 −0,596285 −1,64444baths 0,446291 0,189336 0,331609 −1,39015Donde se nos muestra, para cada variable, su media, mediana, valores mínimo y máximo, desviacióntípica, coeficiente de variación (C.V.), coeficiente de asimetría y coeficiente de exceso de curtosis.Los gráficos de las variables price y sqft son:55030005002800450260024004002200price350sqft200030018002501600140020012001502 4 6 8 10 12 14index10002 4 6 8 10 12 14indexFigura 5: Gráficos de las observaciones para las variables price y sqftVolviendo a la pantalla de inicio. También estaban disponibles al iniciar el programa las etiquetasHerramientas y Ayuda. En Herramientas disponemos de instrumentos de análisis muy útiles como:- En Tablas estadísticas los valores críticos de las distribuciones Normal Tipificada, t-Studenty F-Snedecor entre otras distribuciones.16

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión- Un buscador de valores p.- Un calculadora de estadísticos de contraste como la igualdad de medias o varianzas.- La posibilidad de dibujar distribuciones o curvas.- Hacer contrastes no paramétricos.- Generar numeros aleatorios.En Ayuda encontramos al Guía del usuario y la Guía de instrucciones.17

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión0.6. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial y Análisis de Regresión. Material docente. Serviciode Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.18

Tema 1Variables Aleatorias. Población y muestraEn las clases del tema de Variables Aleatorias vamos a revisar y/o introducir los principales conceptosde probabilidad. Comenzaremos definiendo el concepto de variable aleatoria discreta y continuaasí como sus funciones de distribución de probabilidad. Revisaremos las propiedades de las funcionesde distribución de probabilidad prestando especial atención al concepto de valor esperado y al conceptode varianza. En general, no estudiaremos el comportamiento de una única variable por lo quenecesitaremos introducir el concepto de distribución de probabilidad conjunta, probabilidad condicionadae independencia estadística. Dentro de las muchas distribuciones de probabilidad específicasde que disponemos mostraremos las principales funciones de distribución de probabilidad utilizadasen Econometría: la normal, la normal estándar, la chi-cuadrado, la t-Student y la F-Snedecor.Los métodos estadísticos centran la atención en la realización de inferencias sobre grandes poblacionesde objetos utilizando una pequeña muestra de los mismos. Por ello para finalizar el temaintroduciremos el concepto de muestreo aleatorio, estadísticos muestrales y distribuciones en elmuestreo para finalizar mostrando la distribución del estadístico media muestral.A lo largo del tema se han introducido ejemplos ilustrativos de los conceptos a aprender así comoejercicios básicos que han de ser resueltos por el alumno.Competencias a trabajar en estas sesiones:5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Explicar la diferencia entre una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continuaproporcionando ejemplos de cada una de ellas.2. Explicar la diferencia entre la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta y a función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.19

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión3. Explicar el concepto de media o valor esperado de una variable aleatoria.4. Calcular la media y varianza de funciones de variables aleatorias.5. Calcular probabilidades utilizando la distribución normal.6. Definir los principales estadísticos muestrales.7. Obtener la distribución de la media muestral.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular se os recomienda leerlos capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 5 sec. 5.1; 5.2; 5.3 y 5.7; Cap. 6 salvola sec. 6.5 y Cap. 7 sec. 7.1 y 7.2.• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.• Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Cap. 1• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice B.20

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1.1. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. EjemplosUna variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el azar.Desde el punto de vista de la notación es importante distinguir entre una variable aleatoria y losvalores posibles que ésta puede tomar. Denotamos en mayúscula, X a la variable aleatoria y con sucorrespondiente minúscula un valor posible de la misma.Ejemplo 1.1Se mide la altura de un individuo y el peso corporal, dos variables aleatorias son, X =altura, Y = peso y sus valores posibles por ejemplo serían: x = 156 cm, x = 179 cm, . . .;y = 60 kg, y = 87 kg, . . .Ejemplo 1.2Consideremos el lanzamiento de un dado. Sea el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} lavariable X = N o de puntos, puede tomar los valores: x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} cada uno conprobabilidad P (x = 1) = P (x = 2) = . . . = P (x = 6) = 1 6 .Hay que distinguir entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.Una variable aleatoria es discreta si no puede tomar más que una cantidad numerable de valores.El conjunto de realizaciones es finito o infinito pero numerable. Por ejemplo el número de hijos deuna familia, el número de clientes de un bar en un día, el número de veces que sale cara al lanzardiez veces una moneda al aire. En el Ejemplo 1.2 X es una variable discreta.Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo. El conjuntode realizaciones es infinitamente divisible y por tanto no numerable. Por ejemplo la renta anual deuna familia, la temperatura, la variación en el precio de las acciones ordinarias de IBM en un día.En el Ejemplo 1.1 las variables peso y altura son variables continuas.En la práctica se consideran variables discretas cuando tiene sentido asignar probabilidades a losresultados individuales posibles. La contabilidad de los sucesos genera observaciones de variablesaleatorias discretas mientras que mediciones como tiempo, renta, generan observaciones sobre variablesaleatorias continuas. Muchos indicadores económicos y empresariales como las ventas, lainversión, el consumo, los ingresos, etc. pueden representarse como variables aleatorias continuas.1.1.1. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidadSea X una variable aleatoria discreta y x uno de sus posibles valores. La probabilidad de que la variablealeatoria X tome el valor específico x se denota por P (X = x). El conjunto de probabilidadesse denomina función de cuantía o función de densidad de probabilidad, fdp y se denota P (x).Función de cuantía de una variable aleatoria discreta. La función de cuantía, P (x), de unavariable aleatoria discreta X expresa la probabilidad de que X tome el valor x, como una función21

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónde x:P (x) = P (X = x), para todos los valores de x.Dado que la función de cuantía solo toma valoresdistintos de 0 en puntos discretos x, a veces se lallama función de masa de probabilidad. Se puederepresentar gráficamente. A la derecha se muestrala función de densidad de una variable discretaque toma valores 1, 2 y 3 con probabilidad0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente. Además se debecumplir 0 ≤ P (x) ≤ 1 para cualquier valor de x,es decir las probabilidades no pueden ser negativasni superiores a la unidad y ∑ xP (x) = 1,las probabilidades individuales suman 1.f(x)0,80,70,60,50,40,30,20,100 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4XFunción de distribución o función de probabilidad acumulada. La función de probabilidad acumuladaF (a) de una variable aleatoria X expresa la probabilidad de que X no tenga un valorsuperior a a, como una función de a. Es decir,F (a) = P (X ≤ a)donde la función se evalúa en todos los valores de a.Relación entre la función de cuantía y la función de distribución. Sea X una variable aleatoriacon función de cuantía P (x) y función de distribución F (a). Se puede demostrar queF (a) = ∑ P (x) = P (x 0 ) + P (x 1 ) + . . . + P (a).x≤a1.1.2. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidadMuchos indicadores económicos y empresariales como las ventas, la inversión, el consumo, los ingresos,etc. pueden representarse como variables aleatorias continuas, por ello vamos a dedicar estepunto a su estudio.Sea X una variable aleatoria y x un valor determinado de la misma. Podemos definir una funciónde densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas de manera análoga a la función decuantía para las variables aleatorias discretas. La fdp nos informa de la probabilidad asociada a losresultados posibles de la variable aleatoria. Sin embargo no tiene sentido hablar de la probabilidadde que una variable aleatoria continua tome un valor determinado, usaremos la fdp de la variablealeatoria continua solo para calcular la probabilidad de los sucesos referidos a un intervalo de valores.Si X es continua la probabilidad asociada a cualquier punto en particular es cero por loque nos referimos a la probabilidad de que X tome valores en un intervalo.Para calcular probabilidades para variables aleatorias continuas es más sencillo trabajar con lafunción de distribución fd ó función de probabilidad acumulada.22

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónFunción de distribución. La función de distribución F (x) de una variable aleatoria continua Xexpresa la probabilidad de que X no sea mayor que el valor x, en función de x:F (x) = P (X ≤ x).Para entender el concepto de función de distribución, se suele recurrir a un símil físico: una masaigual a la unidad, distribuida a lo largo del campo de variación de la variable. En esta situación,la función de distribución F (x) = P (X ≤ x) proporciona la cantidad de masa que hay en el puntox y a su izquierda hasta el extremo inferior del campo de variación de la variable. La función dedistribución, por su definición no puede ser negativa, al ser una probabilidad, ni decreciente, pueses acumulativa. Además por ser una probabilidad está acotada: 0 ≤ F (x) ≤ 1.Probabilidad de un intervalo utilizando la función de distribución. Sea X una variable aleatoriacontinua que tiene una función de distribución F (x) y sean a y b dos valores posibles de X, siendoa < b. La probabilidad de que X se encuentre entre a y b esP (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)Una variable aleatoria es continua si su función de distribución, F (x) es continua. Su dominio dedefinición es todo R y no existe ningún punto de la recta con probabilidad no nula. Suponemos, porsimplicidad, que en las variables aleatorias continuas la función de distribución es derivable en elinterior del dominio. En este caso, a su derivada le llamamos función de densidad de probabilidady la denotamos por f(x). La relación existente entre la función de densidad y la de distribución es:F (x) =∫ ∞−∞f(x)dx,f(x) = F ′ (x)La función de densidad de probabilidad, f(x), de la variable aleatoria es una función que tiene lassiguientes propiedades:1. f(x) ≥ 0 para todos los valores de x.2. El área situada debajo de la función de densidadde probabilidad f(x), cuando se abarcan todoslos valores de la variable aleatoria, X, es igual ala unidad.3. El gráfico de la derecha representa gráficamentela función de densidad de cierta variable aleatoriacontinua. Sean a y b dos valores posibles dela variable aleatoria X, siendo a < b. En este casola probabilidad de que X se encuentre entrea y b es el área situada debajo de la función dedensidad entre estos puntos.P (a ≤ X ≤ b) =∫ baf(x)dx23f(X)0,40,350,30,250,20,150,10,05N(0, 1)0-5 -4 -3 -2 -1 0 a 1 2 b 3 4 5XP(a

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1.1.3. Esperanzas y variables aleatoriasLa distribución de probabilidad de una variable aleatoria contiene toda la información sobre propiedadesprobabilísticas de una variable aleatoria. Su examen gráfico puede servir para describirla, sinembargo, es necesario establecer medidas estadísticas que sirvan para caracterizar la distribución.Las medidas más importantes son la media o valor esperado y la varianza.Media de una variable aleatoria. La media o valor esperado de una variable aleatoria sedenota como E(X) y se define como:⎧ ∑⎨ xxP (x) si X es discretaE(X) = µ X =⎩ ∫(1.1)x xf(x)dx si X es continuadonde E se conoce como el operador de esperanza matemática.La media es un promedio ponderado de los valores x que toma la variable donde las ponderacionesson las probabilidades respectivas. La media recoge el centro de gravedad sobre el que se distribuyela variable. Cuanto mayor es la media, mayor es el valor que se espera que tomen las realizacionesde la variable. En la práctica la media no tiene porqué coincidir con un valor que tome la variable.Ejemplo 1.3• Sea X variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 1, 2 y 3 con probabilidades0,20; 0,30 y 0,50 respectivamente. Su esperanza matemática es:E(X) = ∑ xxP (x) = 1 · 0, 20 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 50 = 2, 30.• Consideremos la variable continua definida por: f(x) = 4x 3 ∀ 0 ≤ x ≤ 1. Suesperanza matemática es:∫E(X) =xxf(x)dx =∫ 10[ xx4x 3 5dx = 45] 10= 4 5 .Varianza de una variable aleatoria. La varianza de una variable aleatoria se denota comoV ar(X) = σX 2 y se define como:⎧ ∑⎨V ar(X) = σX 2 = E[(X − µ X ) 2 x (x − µ X) 2 P (x) si X es discreta.] =⎩ ∫(1.2)x (x − µ X) 2 f(x)dx si X es continua.La varianza es una medida de dispersión de la distribución, siendo la dispersión la mayor o menorvariabilidad de los valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio.24

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa varianza también puede expresarse como:σ 2 X = E(X 2 ) − µ 2 X. (1.3)De donde trabajando la expresión anterior obtenemos un resultado útil: E(X 2 ) = σ 2 X + µ2 X .La desviación √ típica o estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza y se denota porσ X = σX 2 .La varianza es una medida de dispersión, siendo la dispersión la mayor o menor variabilidad de losvalores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio. Si la varianza es pequeña será porquelas desviaciones de la variable aleatoria en torno a su valor medio son pequeñas, con lo que lamedia será representativa del conjunto de valores de la distribución y por consiguiente, la dispersiónserá pequeña. Si la varianza es grande, la dispersión será grande y la media de la variable aleatoriano será representativa. Cuanto mayor sea la varianza mayor es la probabilidad de obtener valoresalejados de µ X .Ejemplo 1.4Supongamos que X es la variable rendimiento de una cartera de valores. µ X mide elrendimiento, en media, que esperamos obtener de esa cartera y σX 2 nos da la dispersiónde los posibles rendimientos. Si σX 2 es grande entonces tendremos una gran probabilidadde obtener rendimientos mucho mayores o mucho menores de lo esperado µ X . Por lotanto σX 2 mide el riesgo de la cartera. Cuanto mayor es σ2 Xmás arriesgada es la cartera.La media y la varianza constituyen dos importantes indicadores sintéticos de una distribución deprobabilidad. La media es una medida del centro de la distribución mientras que la varianza es unamedida de su dispersión. Otras dos medidas que también se utilizan habitualmente para describiruna distribución de probabilidad desde el punto de vista de su forma son el coeficiente de asimetríay el coeficiente de curtosis.Asimetría.El coeficiente de asimetría es:γ 1 = E[(X − µ X) 3 ]σ 3 = µ 3σ 3 (1.4)donde µ 3 es el momento de orden 3 respecto a la media. Si γ 1 = 0 la distribución es simétrica y portanto las desviaciones por la derecha tienen el mismo peso que las desviaciones por la izquierda. Siγ 1 > 0 la distribución es asimétrica (+). Si γ 1 < 0 la distribución es asimétrica (−).Curtosis. La curtosis hace referencia al apuntamiento o achatamiento de una distribución de probabilidadcuando se compara con la normal. El coeficiente de curtosis se define:E[(X − µ X ) 4 ]σ 4 = µ 4σ 4 .25

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEl coeficiente de curtosis es un indicativo del peso que en la distribución tienen los valores másalejados del centro, tiene que ver con el grosor de las colas. Para evaluar la curtosis es necesarioque la distribución tenga perfil campaniforme y sea simétrica o moderadamente asimétrica ya quela curtosis trata de analizar la zona central de la distribución simétrica o no; la mayor o menorpresencia de valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio, es decir en su zona central,dará lugar a una distribución más o menos apuntada. En general se evalúa el exceso de curtosis:γ 2 = µ 4− 3. (1.5)σ4 Esta medida está basada en la distribución normal, de su misma varianza, cuyo exceso de curtosises cero. Si γ 2 = 0 la distribución tendrá el perfil de la distribución normal y se le dice mesocúrtica.Esto quiere decir que tiene las colas igual de gruesas que la distribución normal, la cual veremosmás adelante. Más concentración en las colas indica colas más densas que la normal de su mismavarianza. Si γ 2 > 0 la distribución es más apuntada que la distribución normal y se le denominaleptocúrtica. Si γ 2 < 0 la distribución es más achatada que la distribución normal y se le denominaplaticúrtica.Coeficiente de variación. El coeficiente de variación es útil para comparar la volatilidad de variablesque tienen una esperanza matemática diferente como por ejemplo, al comparar la volatilidad dedos índices bursátiles distintos. Considera la desviación típica como porcentaje del nivel alrededordel cual fluctúa la variableCoeficiente de variación = 100 σ Xµ X. (1.6)Ejercicio 1.1Calcular media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria discreta X cuyafunción de probabilidad es:x 0 1 2 3P(x) 0,1 0,3 0,4 0,21.1.4. Dos variables aleatoriasPara responder a preguntas relativas a dos o más variables aleatorias debemos conocer su funciónde densidad conjunta o función de cuantía conjunta, según sean discretas o continuas. La función dedensidad conjunta describe las probabilidades de que se puedan producir combinaciones de valoresde ambas variables. Si las variables aleatorias X e Y son discretas, a cada posible par de resultados(x i , y j ) podemos asignar una probabilidad P (x i , y j ). El conjunto de probabilidades es la función decuantía conjunta, cumpliéndose que 0 ≤ p(x i , y j ) ≤ 1 y ∑ ∑i j p(x i, y j ) = 1.Si las variables aleatorias son continuas, su distribución conjunta se recoge mediante la función dedensidad conjunta f(x, y). Si las dos variables siguen una distribución normal, la forma típica de sufunción de densidad conjunta se encuentra en la Figura 1.1.26

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónFigura 1.1: Distribución normal bivarianteEl volumen total recogido bajo esta superficie es la masa de probabilidad total que es igual a launidad, es decir, ∫ ∫x yf(x, y) dx dy = 1. Además, la función no toma valores negativos, f(x, y) ≥ 0.Así, el volumen debajo del rectángulo definido por dos puntos (a, b) mide la probabilidad de que Xtome valores menores o iguales que a e Y menores o iguales que b. Es decir,P (X ≤ a, Y ≤ b) =∫ a−∞∫ b−∞f(x, y) dx dyPor ejemplo, el volumen recogido bajo la superficie marcada en la Figura 1.1 es la probabilidad deque X ≤ −2 e Y ≤ 5.La función de densidad marginal de cada variable puede obtenerse mediante integración. Así:Marginal de X: f X (x) =Marginal de Y: f Y (y) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞f(x, y) dyf(x, y) dx (1.7)La distribución conjunta de dos variables aleatorias se puede resumir mediante:• El centro de gravedad de cada variable, es decir, las medias (µ X , µ Y ), que se obtienen de lasdistribuciones marginales recogidas en (1.7).• Medidas de dispersión de cada variable alrededor de su media, por ejemplo, las varianzas deX e Y , σX 2 y σ2 Y, que se derivan de las distribuciones marginales recogidas en (1.7).• Medida de la relación lineal entre las dos variables aleatorias, para lo que se utiliza la covarianzaσ XY . La covarianza entre dos variables mide el signo de la asociación entre las fluctuacionesque experimentan ambas. Nos dice si cuando una de ellas está por encima de su valor dereferencia, por ejemplo, su media, la otra variable tiende a estar por encima o por debajo desu respectiva media:Cov(X, Y ) = σ XY = E[(X − µ X )(Y − µ Y )] = E(XY ) − µ X µ Y .27

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióno bien el coeficiente de correlación entre las variables,corr(X, Y ) = ρ XY =Cov(X, Y )desv(X)desv(Y ) = σ XYσ X σ Y∈ [−1, 1].La covarianza nos da el tipo de relación lineal existente entre dos variables + ó −. Así, siσ XY = ρ XY = 0 se dice que las variables X e Y están incorrelacionadas. El coeficiente decorrelación mide el grado de asociación lineal entre dos variables. Su valor se encuentra entre−1 y 1, un valor de −1 indica asociación perfecta negativa y un valor de 1 asociación perfectapositiva.El vector de medias µ y la matriz de varianzas y covarianzas denotada por Σ ó V , son dos importantesestadísticos de la variable aleatoria (X, Y ):( ) ( ) ( )µXV (X) Cov(X, Y ) σ2µ =Σ == Xσ XYµ Y Cov(X, Y ) V (Y )σ XYσ 2 YDistribución condicionada. Al estudiar un conjunto de variables, interesa evaluar la posibilidadde que un suceso ocurra dado que otro suceso ha tenido lugar. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidadde que una mujer casada y con hijos en edad escolar participe en el mercado de trabajo? La probabilidadcondicionada permite responder este tipo de preguntas. Si las variables son discretas,se define la función de cuantía condicional de Y dado que la variable aleatoria X toma el valor x icomo:P (Y = y j |X = x i ) = P (Y = y j, X = x i )P (X = x i )para P (X = x i ) > 0.= p(x i, y j )∑j p(x i, y j ) .Si las variables son continuas, se define la función de densidad de Y condicionada a que la variablealeatoria X tome el valor x (para f(x) > 0):f(y|X = x) =f(x, y)f(x) .De esta forma se obtiene una nueva distribución, con las propiedades ya vistas. Dos momentos deinterés de esta distribución se denominan media y varianza condicionada de Y para el valor dadode X = x, y se denotan E(Y |X = x) y V ar(Y |X = x).Independencia. Dos variables aleatorias X y Y son independientes o están independientementedistribuidas, si conocido el valor que toma una de ellas, no aporta ninguna información sobre elvalor que puede tomar la segunda. Si X e Y son independientes si y solo si su función de densidadconjunta es igual al producto de sus funciones de densidad marginalesf(x, y) = f(x) × f(y) − ∞ < x, y < ∞.Además, se tiene que f(y|X = x) = f Y (y). Se demuestra que si X e Y son independientes, entoncesCov(X, Y ) = 0. También se demuestra que, si las variables X e Y se distribuyen conjuntamentesegún una normal y Cov(X, Y ) = 0, entonces X e Y son independientes.28

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEn el caso de distribuciones discretas las variables son independientes siP (X = x, Y = y) = P (X = x) × P (Y = y).Ejemplo 1.5Distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas:Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que un individuo seleccionadoaleatoriamente de una población posea una licenciatura y haya tenido rentas salarialesen el año 2003. La Tabla 5.2 recoge la función de probabilidad conjunta de dos variables.La variable X caracteriza los niveles de educación que pueden alcanzar los individuos.Toma los valores 1, 2, 3, 4 según el grado de estudios alcanzado por el individuo. El valor1 indica alcanzar educación secundaria obligatoria, 2 indica alcanzar bachiller, 3 indicaposeer educación superior y 4 tener un master. La variable Y es una variable dicotómicaque toma valor 1 si el individuo ha tenido rentas salariales en el año 2003 y 0 en casocontrario. Esta tabla permite obtener los siguientes resultados:xy 1 2 3 40 0,19 0,06 0,04 0,021 0,28 0,19 0,14 0,08Tabla 1.1: Función de densidad de probabilidad conjunta f(x, y)• Probabilidad conjunta:La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga estudios superiores yhaya obtenido rentas salariales en el año 2003 es P (X = 3, Y = 1) = f(3, 1) = 0, 14.• Distribuciones marginales:La distribución marginal de X se define: f X (x) = ∑ yf(x, y) para cada valor que Xpuede tomar. La distribución marginal de Y se define: f Y (y) = ∑ xf(x, y) para cadavalor que Y puede tomar.Por tanto f Y (y) = ∑ 4x=1 f(x, y) y = 0, 1 luego f Y (0) = ∑ 4x=1f(x, y) = 0, 19 + 0, 06 +0, 04 + 0, 02 = 0, 31.En general las funciones de distribución conjunta y marginales se suelen mostrar comoa continuación:xy 1 2 3 4 f Y (y)0 0,19 0,06 0,04 0,02 0,311 0,28 0,19 0,14 0,08 0,69f X (x) 0,47 0,25 0,18 0,10 1Tabla 1.2: Distribuciones marginales para X e Y29

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Probabilidad condicionada:Podemos contestar a preguntas como ¿cuál es la probabilidad de que un individuo tengarenta salarial en el año 2003 dado que tiene estudios superiores? En este caso debemosde utilizar la función de densidad de Y condicionada a X: f(y|x) = P (Y = y|X = x), enrealidad el efecto de condicionar es reducir el conjunto de posibles resultados. Dada laTabla 1.2 consideramos solo el 18 % de la población con título superior. La tabla siguienterecoge la probabilidad condicionada de Y dado X = 3. Dada la tabla la probabilidadde seleccionar a un individuo con renta salariales dado que tenga estudios superiores esde 0,78. Notar sin embargo que la probabilidad de seleccionar a un individuo, de entretoda la población, que tenga rentas salariales es de 0,69.y f(y|X = 3)0 0,04/0,18=0,221 0,14/0,18=0,78Ejercicio 1.2En la tabla se recoge la función de densidad conjunta de dos variables aleatorias discretasX e Y . Se pide:1. La función de densidad de probabilidad marginal de Y .2. La función de densidad de probabilidad conjunta de Y dado que X = 2.3. La covarianza de X e Y .4. ¿Son las variables independientes?Y1 3 92 1/8 1/24 1/12X 4 1/4 1/4 06 1/8 1/24 1/121.1.5. Más de dos variablesLos resultados anteriores se pueden generalizar a un conjunto de n variables, X 1 , X 2 , . . . , X n , quese recogen en un vector⎛ ⎞X 1X 2X = ⎜ ⎟⎝ . ⎠X nLa distribución conjunta de estas variables se resume en el vector de medias E(X) ó ⃗µ y la matrizde varianzas y covarianzas V (X) ó Σ X . Así:30

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión⎛E(X) = ⃗µ = ⎜⎝E(X 1 )E(X 2 ).E(X n )⎞ ⎛⎟⎠ = ⎜⎝⎞µ 1µ 2⎟. ⎠µ nyΣ X =⎛⎜⎝V (X 1 ) Cov(X 1 , X 2 ) . . . Cov(X 1 , X n )Cov(X 1 , X 2 ) V (X 2 ) . . . Cov(X 2 , X n )..... ....Cov(X 1 , X n ) Cov(X 2 , X n ) . . . V (X n )⎞ ⎛⎟⎠ = ⎜⎝σ1 2 σ 1,2 . . . σ 1,nσ 1,2 σ2 2 . . . σ 2,n..... ....σ 1,n σ 2,n . . . σn2⎞⎟⎠donde Σ X es una matriz cuadrada de orden n, simétrica y definida no negativa. Esto implica quelos elementos de la diagonal principal son no negativos, σi 2 ≥ 0, ∀i.Si las variables son independientes entre sí, entonces están incorrelacionadas, es decir, σ i,j = 0, ∀i ≠j, por lo que la matriz Σ X es diagonal:⎛⎞σ1 2 0 . . . 00 σΣ X =2 2 . . . 0⎜⎝.. . ..⎟. ⎠0 0 . . . σn2Si, además, X 1 , . . . , X n siguen la misma distribución, con la misma media y la misma varianza:⎛ ⎞ ⎛⎞µσ 2 0 . . . 0µ0 σE(X) = ⎜ ⎟ Σ X =2 . . . 0⎝ . ⎠ ⎜⎝.. . ..⎟. ⎠ = σ2 Iµ0 0 . . . σ 2entonces se dice que son variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas con mediaµ y varianza σ 2 y se denota X i ∼ iid(µ, σ 2 ), ∀i = 1, . . . , n.Si X 1 , . . . , X n son variables aleatorias normales, se dice que el vector X sigue una distribuciónnormal multivariante, y queda caracterizada por su vector de medias ⃗µ y su matriz de varianzasy covarianzas Σ X . Se denota X ∼ N(⃗µ, Σ X ). Si además las variables son independientes, con mediay varianza común, se denota X i ∼ NID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n.Propiedades de la esperanza matemática• La esperanza matemática de una constante es igual a la misma constante: E(c) = c• La esperanza matemática de una suma de variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzasmatemáticas de cada una de las variables aleatorias:E(X 1 ± X 2 ± . . . ± X n ) = E(X 1 ) ± E(X 2 ) ± . . . ± E(X n ) = µ 1 ± µ 2 ± . . . ± µ n .31

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• La esperanza matemática de un producto de variables aleatorias es igual al producto de lasesperanzas de cada una de las variables aleatorias, si y sólo si son independientes:E(X 1 · X 2 · X 3 · . . . · X n ) = E(X 1 ) · E(X 2 ) · E(X 3 ) · . . . · E(X n ) = µ 1 · µ 2 · µ 3 · . . . · µ n .• Notar que si X e Y son independientes E(XY ) = E(X) · E(Y ) pero E(X|Y ) ≠ E(X)E(Y ) aunqueX e Y lo sean.• El valor medio, o esperanza matemática, de las desviaciones de los valores de la variablealeatoria respecto a su media es cero. Sea E(X) = µ entonces E(X − µ) = 0.• Si a una variable aleatoria se le suma una constante su esperanza matemática queda modificadaen esa misma constante: E(X + c) = E(X) + c = µ + c.• Si una variable aleatoria se multiplica por una constante su esperanza matemática quedamultiplicada por esa misma constante, E(X · c) = c · E(X) = c · µ.Propiedades de la varianza• La varianza es siempre no negativa.• Varianza de una suma de variables aleatorias:V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) ± 2Cov(X, Y ) = σ 2 X + σ 2 Y ± 2 σ XY .• Generalizando:V ar(X 1 + X 2 + . . . + X n ) = V ar(X 1 ) + V ar(X 2 ) + . . . + V ar(X n ) + 2• Si X 1 , X 2 , . . . , X n son independientes:= σ 2 1 + σ 2 2 + . . . + σ 2 n + 2n−1∑n∑i=1 j=i+1σ Xi X j.n−1∑n∑i=1 j=i+1Cov(X i , X j ) =V ar(X 1 + X 2 + . . . + X n ) = V ar(X 1 ) + V ar(X 2 ) + . . . + V ar(X n ) = σ 2 1 + σ 2 2 + . . . + σ 2 n.• Si a una variable aleatoria se le suma una constante, su varianza no varía: V ar(X + c) =V ar(X) ya que V ar(c) = 0.• V ar(cX) = c 2 V ar(X).• V ar(aX + bY ) = a 2 V ar(X) + b 2 V ar(Y ) + 2 ab Cov(X, Y ).32

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjemplo 1.6Sea X una variable aleatoria continua de media µ X y varianza σX 2 y sean a y b dosconstantes cualesquiera. La media y varianza de la transformación lineal W = a + bXson:E(W ) = µ W = E(a + bX) = a + bE(X) = a + b µ X .V ar(W ) = σ 2 W = V ar(a + bX) = b 2 σ 2 X.Ejercicio 1.3Sea X una variable aleatoria continua de media µ X y varianza σX 2 y sean a y b dosconstantes cualesquiera. Calcular la media y varianza de las siguientes funciones:• Y = a.• Z = bX.• W = X−µ Xσ X.Ejercicio 1.4Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1, 2 con probabilidad P (X =0) = 0, 30; P (X = 1) = 0, 60; P (X = 2) = 0, 10 respectivamente. Se pide:1. Buscar E(X), E(X 2 ), V (X).2. El valor esperado y varianza de g(X) = 3X + 2.Ejercicio 1.5Sea la variable aleatoria X el precio de las acciones de la empresa Biltox y sea la variablealeatoria Y el precio de las acciones de la empresa Baltat. El Sr. Martínez ha comprado50 y 80 acciones de cada empresa respectivamente. El valor de mercado de la carteradel Sr. Martínez es W = 50X + 80Y . Calcular el valor medio y varianza de la carterasiendo X ∼ (µ X , σ 2 X ) , Y ∼ (µ Y , σ 2 Y ) y σ XY = cov(X, Y ).Ejemplo 1.7Supongamos que el Sr. Alonso quiere crear una cartera de valores con acciones de dosempresas. Dispone de un capital de 3000 e para invertir en acciones de las dos empresascuyos rendimientos por e invertido son las variables aleatorias X e Y , independientesentre sí y con igual media, µ, y varianza, σ 2 . ¿Cómo debería construir el Sr. Alonso lacartera para minimizar el riesgo de pérdida?33

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónSupongamos que asignamos α euros a la inversión en una de las empresas y (3000 − α)a la otra. El rendimiento total de la inversión es:El rendimiento esperado de la inversión es:r = α X + (3000 − α) Y.E(r) = α E(X) + (3000 − α) E(Y ) = αµ + (3000 − α)µ = 3000µluego el rendimiento esperado de la inversión no depende de cómo éste esté asignadosino exclusivamente de la media de los rendimientos µ. Calculamos ahora la varianzaesperada de la inversión:V (r) = α 2 V (X)+(3000−α) 2 V (Y ) = α 2 σ 2 +(3000−α) 2 σ 2 = (2α 2 −6000α+9000000)σ 2 .Si se asigna α = 0 o α = 3000, asignando toda la inversión a acciones en una de las dosempresas la varianza de la inversión es 9000000σ 2 . Si se asigna la mitad del dinero, 1500e , a invertir en cada empresa, la varianza del rendimiento es la más pequeña posible4500000 σ 2 . Luego repartiendo la inversión entre las dos empresas reduce la varianzadel rendimiento de la inversión y por lo tanto puede reducir los efectos de que losrendimientos de las acciones de una de las empresas sean muy bajos o muy altos. Si elSr. Alonso solo está interesado en el rendimiento esperado qué cantidad de dinero invierteen cada empresa no es relevante, pero si además de estar interesado en el rendimientoesperado también le preocupa el riesgo de la inversión puede minimizarlo dividiendo suinversión a partes iguales en acciones de las dos empresas. Cualquier otra combinaciónaumenta el riesgo de la inversión.1.2. La distribución normalAlgunas situaciones experimentales dan lugar a distribuciones de probabilidad específicas. Sin embargo,en economía, en la mayoría de los casos, las distribuciones utilizadas son simplemente modelosde los fenómenos observados. Una de las distribuciones más utilizadas en economía y en las aplicacionesempresariales es la distribución normal ya que se adecúa a una gran variedad de variablesaleatorias, por ejemplo: las ventas de una empresa, la producción, los precios de las acciones y bonos,los precios de viviendas, la renta, etc.La función de densidad de una variable aleatoria X con distribución normal de media µ ydesviación típica σ es:f(x) =1√2πσ 2 e−(x−µ)2 /2σ 2 para − ∞ < x < ∞. (1.8)La distribución normal representa una gran familia de distribuciones, cada una con una especificaciónúnica de los parámetros µ y σ 2 . La media de la variable aleatoria es: E(X) = µ. La varianza dela variable aleatoria es: V (X) = E[(X − µ) 2 ] = σ 2 . La forma de la función de densidad es una curvasimétrica en forma de campana centrada en su media µ y exceso de curtosis cero. Habitualmentese denotaX ∼ N(µ, σ 2 ).34

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónIgual varianza y distinta mediaIgual media y distinta varianza0,4N(0, 1)N(6, 1)0,1N(3, 81)N(3, 16)0,350,30,080,250,06f(X)0,20,15f(X)0,040,10,050,020-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12X0-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50XFigura 1.2: Ejemplos de función de densidad de la distribución normalLa Figura 1.2 muestra ejemplos de la función de densidad de la distribución normal. A la izquierdase muestran dos funciones de densidad normal con igual varianza, σ 2 = 1, y distinta media. Notarque cuanto mayor es la media, mayor es el valor que se espera que tomen las realizaciones delexperimento. En la derecha se muestran dos distribuciones con igual media y distinta varianza. Notarque cuanto menor es la varianza de la variable, mayor es la probabilidad concentrada alrededor dela media.Función de distribución acumulada de la distribución normal. Supongamos que X ∼ N(µ, σ 2 ).La función de distribución acumulada esF (x 0 ) = P (X ≤ x 0 ) (1.9)y se representa por el área debajo de la función de densidad normal a la izquierda de x 0 en elgráfico de la izquierda en la Figura 1.3. A la derecha se muestra la la forma general de la funciónde distribución acumulada.0,4N(0, 1)10,9FDA normal0,350,80,30,7f(X)0,250,20,150,1f(X)0,60,50,40,30,20,050,10-5 -4 -3 -2 -1 0 1 Xo 2 3 4 5X0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4XFigura 1.3: Función de distribución acumulada de la distribución normal35

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónProbabilidades de intervalos de variablesaleatorias normales. Sea X una variablealeatoria con función de distribuciónF (x 0 ) y a y b son dos posibles valores dela misma tal que a < b.. Entonces:P (a < X < b) = F (b) − F (a) (1.10)La probabilidad es el área situada debajode la correspondiente función de densidadentre a y b como muestra la Figura de laderecha.f(X)N(0, 25)0,080,070,060,050,040,030,020,010-25 -20 -15 -10 a -5 0 5 b10 15 20 25XEjercicio 1.6Sea X ∼ N(µ, σ 2 ) se pide obtener la distribución de la variable Y = a + bX siendo a yb dos constantes cualesquiera.Ejercicio 1.7Sean X ∼ N(50, 10) e Y ∼ N(20, 40). La covarianza entre ambas es 0,5. Calcula lamedia y varianza de la variable aleatoria Z = 5X − 4Y .1.2.1. La distribución normal estandarizadaEl cálculo de la probabilidad de cualquier distribución normal de media y varianza determinadas esengorroso. Sin embargo es más sencillo si la convertimos en una variable normal estandarizada, esdecir de media cero y varianza 1. Para ello debemos utilizar la transformaciónZ = X − µσdonde X ∼ N(µ, σ 2 ). Habitualmente la función de densidad de la variable Z normal estandarizadase denota por φ(Z):φ(Z) = 1 √2πe −Z2 /2 . (1.11)Una vez realizada la transformación podemos utilizar la tabla normal estándar para calcular lasprobabilidades de cualquier variable aleatoria distribuida normalmente. Como la forma de la distribuciónno varía bajo transformaciones lineales, no es necesario tabular la distribución para otrosvalores de µ y σ. Para cualquier variable normalmente distribuida se cumple:( a − µP (a < X < b) = Pσ36< X − µσ< b − µ ).σ

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónAdemás dado que la distribución es simétrica Φ(−Z) = 1 − Φ(Z) donde Φ(Z) denota función dedistribución de la variable Z normal estandarizada. Por tanto las tablas de la distribución mostraranúnicamente la cola positiva de la distribución. A continuación mostraremos como utilizar las tablasde la normal estándar para el cálculo de probabilidades. La tabla da los valores deΦ(Z) = P (Z ≤ z) (1.12)correspondientes a valores no negativos de z. Ver la Figura 1.4 para los ejemplos siguientes:• La probabilidad acumulada de un valor de Z = 1, 65 es Φ(1, 65) = P (Z ≤ 1, 65) = 0, 9505.• Dado que la distribución es simétrica la probabilidad de que Z > −1, 65 es también 0, 9505;P (Z > −1, 65) = P (Z ≤ −1, 65) = 0, 9505.• La probabilidad acumulada de un valor Z = −1, 65 es Φ(−1, 65) = 1−Φ(1, 65) = 1−0, 9505 =0, 0495.0,4N(0, 1)0,4N(0, 1)0,350,350,30,30,250,25f(X)0,2f(X)0,20,150,10,95050,150,1F(-1,65)=0,04951-F(1,65)=1-0,0495=0,95050,050,050-5 -4 -3 -2 -1 0 11,652 3 4 5X0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5XFigura 1.4: Probabilidades correspondientes a Z = 1, 65 y Z = −1, 65 en la distribución normalestándarEjemplo 1.8Suponiendo X ∼ N(8, 4) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre X 1 = 4y X 2 = 12? ¿Cuál es la probabilidad de que exceda de 12?Para calcular la probabilidad obtenemos los valores de Z tal que:Z 1 = X 1 − µσ= 4 − 82= −2 Z 2 = X 2 − µσ= 12 − 82= +2.Luego P (4 < X < 12) = P (−2 < Z < 2) = Φ(2) − Φ(−2) = Φ(2) − (1 − Φ(2)) =0, 9772 − (1 − 0, 9772) = 0, 9544. La probabilidad de que X exceda el valor 12 es lamisma que la probabilidad de que Z exceda de 2, luego (P (X > 12) = P (Z > 2) =P (Z < −2) = 1 − 0, 9772 = 0, 0228.37

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjemplo 1.9Un inversor tiene una cartera cuyo valor medio es de 650.000e y su desviación típicaes 18.000e. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y686.000e?Para calcular la probabilidad de que el valor de su cartera esté entre 632.000e y 686.000eutilizaremos el resultado:( a − µP (a < X < b) = P < X − µ < b − µ )=( a − µ= Pσ< Z < b − µσσ σ) ( b − µ= Fσ)− Fσ( b − µTenemos que calcular primero probabilidad de la cartera tenga una valor de 632.000 y686.000e respectivamente.632000 − 650000Z (632000) = = −1.18000686000 − 650000Z (686000) = = 2.18000Luego la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y 686.000e esigual a la probabilidad de que Z esté entre −1 y 2.( )P (632000 ≤ X ≤ 686000) = P 632000 − 65000018000< Z < 686000 − 65000018000== P (−1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−1) == Φ(2) − (1 − Φ(1)) == 0, 9772 − (1 − 0, 8413) = 0, 8185.luego la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y 686.000e esdel 81, 85 %.σ).Ejemplo 1.10Supongamos dos inversiones cuya función de incertidumbre es una distribución normal.La inversión A ∼ N(10,4, (1,2) 2 ) y la inversión B ∼ N(11, (4) 2 ), ¿cuál se debe elegirpara maximizar la probabilidad de generar un rendimiento de al menos un 10 %?En la inversión A la probabilidad de que el rendimiento sea más del 10 % es:P(Z >)10 − 10, 4= P (Z > −0, 33) = P (Z < 0,33) = Φ(0, 33) = 0, 6293.1, 2En la inversión B la probabilidad de que el rendimiento sea más del 10 % es:()10 − 11P Z > = P (Z > −0, 25) = P (Z < 0, 25) = Φ(0, 25) = 0, 5987.4La inversión A maximiza la probabilidad, luego es más interesante que la B.38

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 1.8La sociedad MaxBolsa gestiona una cartera con 20 acciones de la empresa A y 30 accionesde la empresa B. Denotamos por X al precio de las acciones de la empresa A tal queX ∼ N(25, 81). Denotamos por Y al precio de las acciones de la empresa A tal queY ∼ N(40, 121). La correlación entre los precios de las acciones de -0,40. ¿Cuál es laprobabilidad de que el valor de la cartera sea más de 2000 e ? Si la correlación entre losprecios es de 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el valor de la cartera sea más de 2000e ? ¿Cuál es la relación entre el riesgo de una cartera y la correlación de los activos quela componen?Derivadas de la distribución normal existen otras muchas distribuciones. Tres de ellas, las distribucioneschi-cuadrado, t-Student y F-Snedecor, son muy útiles en econometría. Surgen como sumas den variables adicionales. Estas tres distribuciones tienen asociados uno o dos parámetros de nominadosgrados de libertad que en nuestros términos serán el número de variables en la suma relevante.1.2.2. La distribución chi-cuadrado• Si Z ∼ N(0, 1), entonces X = Z 2 ∼ χ 2 (1)y se lee X sigue una distribución chi-cuadrado conun grado de libertad. Esta es una distribución asimétrica, solo tiene cola positiva, con media 1 yvarianza 2.• Sea Z i ∼ NID(0, 1)estándar, entonces:i = 1, . . . , n variables aleatorias independientes con distribución normalX =n∑Zi 2 ∼ χ 2 (n)(1.13)i=1y se dice que X es una variable aleatoria chi-cuadrado con n grados de libertad. Es una distribuciónasimétrica, con media igual a n y varianza 2n.Para valores negativos de X, f(x) = 0 y la forma general de su función de densidad se muestra en laFigura 1.5. Existen tablas que proporcionan la probabilidad acumulada hasta un punto P (X ≤ x)en función de los grados de libertad. A la hora de buscar en las tablas es necesario una tabladistinta de la distribución chi-cuadrado para cada n. En la tabla correspondiente aparecen losvalores de la distribución correspondientes a diferentes puntos de corte específicos en la única colade la distribución para distintos valores de los grados de libertad.1.2.3. La distribución t-StudentSean Z ∼ N(0, 1) y X ∼ χ 2 (n)independientes entonces:Z√X/n∼ t (n) (1.14)39

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión0,25Chi-cuadrado(3)Chi-cuadrado(6)0,2n=3f(X)0,150,1n=60,0500 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20XFigura 1.5: Función de densidad de la distribución Chi-cuadradoy se lee distribución t-Student con n grados de libertad. La Figura 1.6 incluye ejemplos de la funciónde densidad de la t-Student comparándolas con la distribución normal estándar:0,50,450,4t(2)t(4)t(25)N(0, 1)0,350,3f(X)0,250,20,150,10,050-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5XFigura 1.6: Función de densidad de la distribución t-StudentLa distribución t-Student tiene la misma forma que la distribución normal, es campaniforme ysimétrica pero las colas son más anchas, el exceso de curtosis es positivo. A medida que aumentanlos grados de libertad la distribución t converge a la normal estándar. En su tabla correspondienteaparecen los valores de la distribución correspondientes a diferentes puntos de corte específicos enlas colas para distintos valores de los grados de libertad.1.2.4. La distribución F-SnedecorSean X 1 ∼ χ 2 (n 1 ) y X 2 ∼ χ 2 (n 2 )independientes, entoncesX 1 /n 1X 2 /n 2∼ F (n1 , n 2 ) (1.15)y se lee distribución F-Snedecor con n 1 y n 2 grados de libertad. La Figura 1.7 muestra su funciónde densidad para distintos grados de libertad. Las tablas de la distribución F-Snedecor se computanpara cada par de valores (n 1 , n 2 ), donde n 1 son los grados de libertad del numerador y n 2 son40

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónlos grados de libertad del denominador. En general solo se tabulan para valores específicos como95 % y 99 % de la cola superior. A medida que aumentan los grados de libertad del denominador ladistribución n 1 F (n1 ,n 2 ) converge a la una χ 2 (n 1 ) .1,21F(15, 15)F(15, 100)F(100, 15)0,8f(X)0,60,40,200 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5XFigura 1.7: Función de densidad de la distribución F-SnedecorHay que notar la relación entre la distribución t y la distribución F :Ejercicio 1.9Si t ∼ t (n) entonces t 2 ∼ F (1, n) (1.16)Suponiendo X ∼ N(3, 9) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre X 1 = 4y X 2 = 6?1.3. Muestreo de una población. Muestras aleatoriasEn este punto vamos a construir modelos de probabilidad para distintos estadísticos calculados apartir de datos muestrales. Estos modelos de probabilidad se llaman distribuciones en el muestreoy se utilizan para desarrollar diversos métodos de inferencia estadística. Los métodos estadísticos secentran en la realización de inferencia sobre grandes poblaciones de objetos utilizando una pequeñamuestra de objetos.En general el análisis estadístico y el análisis econométrico se basan en el estudio de una muestra.Medir una variable para la población en ocasiones es imposible y en otras ocasiones muy costoso.Pensemos que ejemplos de una población son todas las familias que viven en un país, región o ciudad;el número de hogares de una autonomía, todas las empresas que declaran su actividad en el sectorservicios, etc. Luego la población son todos los elementos objeto de estudio. Medir por ejemplo larenta en todas las familias de un país resulta excesivamente costoso en términos de tiempo y coste.Sin embargo, quizá no lo sea tanto hacerlo en una muestra aleatoria extraída de dicha población.Luego muestra sería la parte de la población que vamos a utilizar en el estudio para extraerconclusiones. Por tanto la muestra está contenida en la población y nosotros la utilizaremos paraestablecer conclusiones que puedan extrapolarse a la población. Para ello la muestra extraída debeser representativa de la población. Una forma de conseguirlo es usando una muestra aleatoriasimple. Para ello seleccionamos una muestra de n objetos de una población de N objetos. En el41

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónsupuesto de las familias la población son todas las familias, que supongamos son N, y la muestraun subconjunto de las misma de tamaño n. En la muestra seleccionada todos los objetos tienen lamisma probabilidad de ser seleccionados y se seleccionan independientemente, luego la selección deuno de ellos no altera la probabilidad de que sean seleccionados otros objetos.Definición. Muestra aleatoria simple: Una muestra de n observaciones de una o más variables,designadas por X 1 , X 2 , . . . , X n es una muestra aleatoria si las n observaciones son extraídas independientementede la misma población o distribución de probabilidad. La muestra puede ser univariantesi X i es la única variable aleatoria o multivariante si cada observación contiene varias variables. Lamuestra, designada como (X 1 , X 2 , . . . , X n ) o {X i } i=1,...,n se dice que está independientemente eidénticamente distribuida, se denota iid.Dada una población podemos muestrearla repetidamente mediante un muestreo aleatorio. El muestreoaleatorio protege de que una parte de la población esté subrepresentada o sobrerepresentadaen la muestra. Por otra parte cada muestra obtenida de una población con el mismo número deobservaciones tendrá una media muestral ¯X distinta, luego ¯X es una variable aleatoria con unadistribución de probabilidad. La distribución en el muestreo de este estadístico, ¯X, es la distribuciónde probabilidad de las medias muestrales obtenidas de estas muestras posibles extraídas dela población con el mismo número de observaciones. La distribución en el muestreo de las mediasmuestrales posibles es la base para realizar inferencia sobre la población. Utilizamos la informaciónmuestral para hacer inferencia sobre la población. Por ejemplo, utilizando la media y la varianzamuestral podemos hacer inferencia sobre la media y varianza poblacional, que son desconocidas ycaracterizan la distribución poblacional.1.4. Estadísticos y distribuciones en el muestreoAntes de intentar estimar los parámetros de una población se examinan los datos. Visualizarlosgráficamente es útil pero si la muestra es de tamaño grande debemos usar estadísticos para describirla.Los más interesantes son las medidas de posición, es decir el valor central de los datos, y deescala o dispersión de los datos.• Medidas de tendencia central o posición:Media muestral: ¯X =1n∑ ni=1 X iMediana:Amplitud muestral:m = valor de posición centralamm = Máximo-Mínimo2• Medidas de dispersión o escala:Varianza muestral: S 2 X = ∑ ni=1 (X i− ¯X) 2n−1Desviación estándar: S X =42[ ∑ ni=1 (X i− ¯X) ] 2 1/2n−1

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• En muestras multivariantes, por ejemplo con dos variables X e Y , además pueden resultar interesanteslas siguientes medidas:Covarianza: S XY =∑ ni=1 (X i− ¯X)(Y i −Ȳ )n−1Correlación: r XY = S XYS X S YLa covarianza mide la variación conjunta de dos variables, y su signo indica la dirección de lavariación, depende de las escalas de medida. El coeficiente de correlación mide al grado de asociaciónlineal y no se ve afectado por la escala de las variables, siempre está comprendido entre −1 y 1.Cuando hay más de dos variables es más útil ordenar estas covarianzas y correlaciones en las matricescorrespondientes como se verá más adelante.Cada una de las medidas anteriores tienen su correspondiente medida poblacional basada en la distribucióna partir de la cual han sido generados los datos. Los valores muestrales se corresponden conesperanzas poblacionales y esperamos que los valores de estos estadísticos tiendan a parecerse a losvalores de los parámetros poblacionales. La manera en que se aproximan a los valores poblacionalesviene dada por la distribución muestral del estadístico.Un estadístico es una función que se calcula a partir de los datos contenidos en una muestra. Lamedia muestral es un estadístico, la varianza muestral es otro estadístico. Como ya se ha indicadocuando hacemos un muestreo aleatorio simple repetido cada muestra obtenida de una población conel mismo número de observaciones tendrá una media muestral ¯X distinta, luego el estadístico ¯X esuna variable aleatoria con una distribución de probabilidad a la que se llama distribución en elmuestreo o distribución muestral. La distribución muestral es la base para realizar inferenciasobre la población. Los parámetros que caracterizan a la distribución de la población, la mediay varianza poblacionales son desconocidos. Podemos decir algo de ellos utilizando los estadísticosmuestrales homónimos mediante la inferencia estadística.Los momentos muestrales por ser función de la muestra recogida son variables aleatorias y su valorcambia de una muestra a otra. La media muestral, ¯X como variable aleatoria que es tiene unaesperanza matemática que coincide con la de la distribución de que se obtuvo la muestra, es decirE( ¯X) = µ X . Además si las observaciones muestrales son independientes la varianza de la mediamuestral es igual a la varianza de la variable aleatoria de la que se obtuvo la muestra dividida porel tamaño muestral, es decir V ( ¯X) = σ2 XnTanto la media poblacional como la muestral son medidas de localización. µ X refleja el valor alrededordel cual se van a situar todas las posibles observaciones que podamos obtener de la variablealeatoria X. La media muestral ¯X refleja lo mismo pero relativo a los valores de la muestra.Con respecto a la varianza, debemos recordar que es una medida de dispersión, siendo la dispersiónla mayor o menor variabilidad de los valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio. Sila varianza es pequeña será porque las desviaciones de la variable aleatoria en torno a su valor medioson pequeñas, con lo que la media será representativa del conjunto de valores de la distribución ypor consiguiente, la dispersión será pequeña. Si la varianza es grande, la dispersión será grande yla media de la variable aleatoria no será representativa. Cuanto mayor sea la varianza mayor es laprobabilidad de obtener valores alejados de µ X .43

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1.5. La distribución de la media muestralSean X 1 , X 2 , . . . , X n observaciones de una muestra aleatoria extraída de una población de media µy varianza σ 2 . La media muestral ¯X es una variable aleatoria de media µ y varianzaσ 2n . Prueba1 :¯X = 1 ∑ nn i=1 X iE( ¯X) = E ( 1∑ nn i=1 X )i = E(1n (X 1 + X 2 + . . . + X n )) = 1 ∑ nn i=1 E(X i) = 1 ∑ nn i=1 µ = nµ n = µV ( ¯X) = V ( 1∑ nn i=1 X )i = V (1n (X 1 + X 2 + . . . + X n )) = 1 ∑ nn 2 i=1 V (X i) = 1 ∑ nn 2 i=1 σ2 = nσ2n 2Por tanto la media de la distribución de la media muestral es la media poblacional y la varianza de ladistribución de la media muestral es la varianza poblacional dividida por el número de observacioneso tamaño de la muestra, n. Si X i ∼ NID(µ, σ 2 ) i = 1, . . . , n entonces ¯X es una combinación linealde n variables aleatorias independientes, por lo que su distribución muestral es:)¯X ∼ N(µ, σ2(1.17)nAnalicemos el significado del resultado sobre la media de la distribución. Que la media de la distribuciónde la media muestral sea la media poblacional indica que a medida que aumenta el númerode muestras la media de las medias muestrales se aproxima a la verdadera media poblacional. Unaúnica media muestral puede ser mayor o menor que la poblacional pero en promedio no hay razonespara esperar que una media muestral sea mayor o menor que la poblacional. Con respecto a lavarianza de la distribución de la media muestral vemos que esta disminuye a medida que aumentael tamaño muestral. Luego más concentrada está la distribución en el muestreo. En resumen cuantomayor es el tamaño muestral más seguros estamos de la inferencia sobre la media poblacional.• Si denotamos por σ 2¯X a la varianza de la media muestral podemos definir la desviación típica dela misma como σ ¯X = √ σn.• Si el tamaño de la muestra no es pequeño en relación al de la población los miembros de lamuestra no se distribuyen independientemente. En este caso la varianza de la media muestral esV ( ¯X) = σ2 N−nN−nn N−1donde N es el tamaño de la población y el términoN−1se denomina factor decorrección en el caso de una población finita.= σ2nLa distribución muestral se utiliza para hacer inferencia sobre la población. Para ello se utilizanestimadores. Un estimador es un estadístico calculado a partir de la muestra que pretende ser unaaproximación a un parámetro desconocido. Obviamente del ejemplo anterior podemos deducir queun estimador de la media poblacional es la media muestral dado que la distribución muestral de lamedia de un conjunto de observaciones de variables normales tine media µ. La inferencia estadísticanos permitirá obtener conclusiones sobre la media poblacional desconocida utilizando la distribuciónde la media muestral.1 Para calcular el resultado sobre la varianza de la distribución se ha utilizado el hecho de que las distribucionesde los miembros de muestras aleatorias son aproximadamente independientes cuando la población es muy grande enrelación al tamaño de la muestra.44

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1.6. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial y Análisis de Regresión. Material docente. Serviciode Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.45

46Estadística Actuarial: Análisis de Regresión

Tema 2Estimación por punto y por intervaloLos economistas en general estamos interesados en las relaciones entre las variables económicas.Por ejemplo ¿cómo variará el consumo de las familias si sus ingresos se ven incrementados en 100eal mes? o ¿cómo influirá en el consumo un incremento del impuesto del valor añadido de un 1 %?¿cómo variaran las ventas de un modelo de automóvil si se reduce su precio en 1500 e ? Sin embargo,muchas cuestiones de intere se centran en el comportamiento de una única variable. Por ejemplo,un diseñador de espacios públicos para ver espectáculos sentado estará interesado en ver cual es eltamaño adecuado de la butaca y cuál debe ser su distancia con respecto a la butaca inmediatamentedelante y detrás de ella. Quizá su pregunta relevante sea ¿cuál es el tamaño medio de los futurosespectadores? Imaginemos que diseña una butaca de 45 cm de ancho situada a 86 cm de la butacaanterior ¿qué porcentaje de espectadores no pueden sentarse en estas condiciones? Para contestara estas preguntas deberíamos medir a cada miembro de la población, cosa que no podemos hacer.Sin embargo, la estadística tiene instrumentos que pueden ayudarnos a contestar estas preguntas.En este tema nos introduciremos en el conocimiento de la inferencia estadística para establecerconclusiones sobre una población basándonos en la muestra. Introduciremos el concepto de estimadory estimación. Presentaremos dos métodos de estimación, la estimación por punto y la estimaciónpor intervalo. Veremos qué propiedades debe tener un estimador y como construir intervalos deconfianza. Aplicaremos los resultados a la media de una población normal.Competencias a trabajar en estas sesiones:1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, así como sus propiedades parapoder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.47

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónAl final de este tema deberíais ser capaces de:1. Diferenciar entre población y muestra.2. Relacionar los conceptos de población y variable aleatoria y conocer qué información sobre lapoblación proporcionan la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria, elvalor esperado y la varianza.3. Explicar la diferencia entre media poblacional y media muestral.4. Conocer la diferencia entre parámetro, estimador y estimación. Entender la razón de que unestimador sea una variable aleatoria con distribución asociada.5. Definir los conceptos de insesgadez y eficiencia.6. Elegir entre estimadores con un criterio estadístico.7. Conocer la diferencia entre estimación por punto y por intervalo.8. Interpretar un intervalo de confianza.9. Construir un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianzaconocida y con varianza desconocida.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular os recomendamosleer los capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 8 salvo la sección 8.5 y Cap. 9 salvo lasección 9.3.• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice C.48

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2.1. Introducción a la inferencia estadísticaEn el tema anterior vimos la diferencia entre población y muestra. La población es el conjunto detodos los elementos objeto de estudio mientras que la muestra es un subconjunto representativode la población. Para decir algo de las características de la población a partir del estudio de lamuestra utilizamos la inferencia estadística. Cualquier inferencia extraída de la población se basaen estadísticos muestrales.Una vez definida la población, hay que especificar un modelo para los datos que recoja las característicaspoblacionales que interesan. En Econometría suponemos que los datos X 1 , X 2 , . . . , X nson realizaciones de n variables aleatorias cuya distribución conjunta depende de varios parámetrosdesconocidos Θ. Un modelo para los datos especifica las características generales de la distribuciónjunto con el vector de parámetros desconocidos Θ. Por ejemplo, supongamos que nos interesa conocerlas ventas medias de un determinado modelo de automóvil y la muestra está formada por 30 empresasconcesionarias. Suponemos que los valores recogidos de las ventas de los 30 concesionarios,X 1 , . . . , X 30 , son realizaciones de variables normales idéntica e independientemente distribuidas,NID. Por tanto, el modelo especificado para los datos es:X i ∼ NID(µ X , σ 2 X) (2.1)Los parámetros que determinan la distribución son la media y la varianza de las ventas, que sondesconocidos, es decir, Θ = (µ, σ 2 ). Además, la media es el parámetro de interés en el estudio yqueremos aprender sobre ella a partir de los datos.Para poder decir algo de la población a partir de la muestra disponemos de dos herramientas de laestadística, la estimación y el contraste de hipótesis. En la estimación se trata de calcular posiblesvalores para parámetros de interés, por ejemplo, el salario medio de los graduados en Finanzas ySeguros o el salario medio de las mujeres casadas con carga familiar y estudios superiores. En elcontraste de hipótesis hay que establecer una hipótesis o conjetura específica sobre la población, porejemplo, que no hay discriminación salarial por sexo o que la renta disponible determina el consumode las familias, y analizar los datos para decidir si la hipótesis es correcta. En este tema veremosuna introducción al problema de la estimación y en el tema siguiente introduciremos el contrastede hipótesis.2.2. Estimadores puntualesLos parámetros son desconocidos pero pueden estimarse. El objetivo de la estimación es aproximarel valor de un conjunto de parámetros desconocidos de una distribución a partir de las observacionesmuestrales de la misma. Denotaremos como θ a un parámetro desconocido y Θ = (θ 1 , θ 2 , . . . , θ K ) ′ aun vector de K parámetros desconocidos. Un estadístico es una función, o fórmula, que se calculaa partir de los datos contenidos en una muestra. La media muestral es un estadístico, la varianzamuestral es otro estadístico. Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoriaque depende de la información de la muestra. Su valor proporciona aproximaciones al parámetrodesconocido. Notacionalmente un estimador del parámetro desconocido θ es un estadístico quepretende ser un aproximación a dicho parámetro desconocido y se denota por ˆθ. Una vez se aplica49

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónun estimador a la muestra se obtiene un valor numérico que se denomina estimación. Un estimadorque genera un único valor de estimación se denomina estimador por punto.2.2.1. PropiedadesSin embargo, no existe un único estimador. En el caso anterior hemos propuesto como estimador de lamedia poblacional a la media muestral pero igualmente podíamos haber propuesto como estimadora la mediana muestral. ¿Cuál elegir entonces? Para elegir entre estimadores podemos basarnos enlas propiedades de la distribución muestral del estimador. En general exigimos a los estimadoresque se aproximen al verdadero valor de los parámetros, vamos a fijarnos en tres propiedades enconcreto: insesgadez, eficiencia y error cuadrático medio.Insesgadez. Un estimador es insesgado si la media de su distribución empírica coincide con elverdadero valor del parámetro, es decir,E(ˆθ) = θSi se pudieran obtener todas las posibles realizaciones muestrales de ˆθ, el promedio de todas estasestimaciones sería el verdadero valor del parámetro. Es una propiedad deseable porque indica quesi un estimador es insesgado, el error de estimación, ˆθ − θ, se anula en promedio.Cuando E(ˆθ) ≠ θ se dice que el estimador es sesgado. Se define el sesgo de un estimador comoSesgo(ˆθ) = E(ˆθ) − θLa parte izquierda de la Figura 2.1 representa las distribuciones de tres estimadores de un mismoparámetro, θ: el estimador ˆθ 1 es insesgado; ˆθ 2 , tiene sesgo negativo, es decir, en promedio subestima(subvalora) el valor del parámetro; finalmente el sesgo de ˆθ 3 es positivo, es decir, este estimador enpromedio sobrestima (sobrevalora) el valor del parámetro.Figura 2.1: Sesgo y varianza de estimadoresUn ejemplo de estimador insesgado de la media poblacional, µ, de una distribución normal es lamedia muestral ˆµ = ¯X, ya que como se demostró en el Tema 1, E( ¯X) = µ. Un estimador insesgadode la varianza de una distribución es la varianza muestral, ˆσ 2 = S 2 tal que E(ˆσ 2 ) = σ 2 .50

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEficiencia. Si nos fijamos únicamente en los estimadores insesgados, nos interesa establecer uncriterio para elegir un estimador dentro de esta clase de estimadores. En la parte derecha de la Figura2.1 se representa la distribución de dos estimadores, ambos insesgados. Claramente, el estimador conmenor varianza, ˆθ 1 , tiene una probabilidad menor de obtener realizaciones alejadas del verdaderovalor del parámetro. Por tanto, se considera que ˆθ 1 supera al estimador ˆθ 2 y se dice que ˆθ 1 es máseficiente que ˆθ 2 ya que V (ˆθ 1 ) < V (ˆθ 2 ).En general, si un estimador es el que tiene menor varianza dentro de una clase de estimadores sedice que es el estimador eficiente dentro de esa clase. Así, se dice que un estimador ˆθ es eficientedentro de la clase de estimadores insesgados si no hay otro estimador insesgado ˜θ con una varianzamenor:V (ˆθ) ≤ V (˜θ) ∀˜θ insesgadoPor ejemplo, la media de los datos es un estimador eficiente dentro de la clase de estimadoresinsesgados de la media poblacional µ de una variable normal. Es decir, se demuestra que, si X i ∼NID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n, entonces para todo estimador insesgado de µ, ˜µ con E(˜µ) = µ:V ( ¯X) = σ2n ≤ V (˜µ)Si se trata de estimar un conjunto de K parámetros Θ, se dice que un estimador insesgado ̂Θes más eficiente que otro estimador insesgado ˜Θ si la diferencia [V ( ˜Θ) − V (̂Θ)] es una matrizsemidefinida positiva. Esto implica que cada elemento de ̂Θ tiene una varianza menor o igual queel correspondiente elemento de ˜Θ.Error cuadrático medio. Aunque la insesgadez es una propiedad deseable, esto no implica que unestimador insesgado siempre sea preferible a uno sesgado. La Figura 2.2 ilustra una situación en laque un estimador insesgado ˆθ 1 puede descartarse frente a otro sesgado, ˆθ 2 . El estimador ˆθ 1 tienemucha varianza, por lo que tiene una probabilidad mayor de obtener errores de estimación másgrandes que el estimador con menor varianza, ˆθ 2 , aunque este sea sesgado.Figura 2.2: Ejemplos de distribución de estimadoresEsto sugiere utilizar como criterio de elección de estimadores una medida del error del estimador.Se define el error cuadrático medio de un estimador:ECM(ˆθ) = E[(ˆθ − θ) 2 ] = V (ˆθ) + [sesgo(ˆθ)] 251

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónque se descompone en un término de varianza y otro de sesgo. Así, entre un conjunto de estimadoresse elige aquel que tiene menor error cuadrático medio.Ejercicio 2.1Sea X ∼ N(µ, σ 2 ). Como estimador de la media poblacional se ha utilizado la mediamuestral de una muestra aleatoria simple. El valor estimado es 5. Di si son ciertas ofalsas las siguientes afirmaciones:1. Tomando muestras distintas pueden obtenerse otras estimaciones.2. La distribución de estas estimaciones debe estar centrada entorno al verdaderovalor 5.Ejercicio 2.2Un profesor de Econometría encarga a sus estudiantes que elijan la mejor estimaciónposible de un parámetro de entre las alternativas disponibles en los libros de Econometría.El estudiante A propone un estimador insesgado tal que ˆθ = 5 V (ˆθ) = 8.El estudiante B propone un estimador insesgado tal que ˆθ ⋆ = 6 V (ˆθ ⋆ ) = 4.El estudiante C propone utilizar la media de las dos estimaciones ˆθ ⋆⋆ = 5, 5.¿Cuál de las tres estimaciones es más adecuada? ¿ Por qué?2.2.2. Estimadores de la media y la varianzaLa media muestral de los datos, ¯X puede ser un estimador de la media poblacional µX de una variablealeatoria X. La varianza muestral SX 2 de los datos es un estimador de su varianza poblacionalσ 2 X . Es decir,ˆµ X = ¯X = 1 nn∑i=1X i ˆσ 2 X = S 2 X = 1n − 1n∑(X i − ¯X) 2 (2.2)i=1Ejemplo 2.1Supongamos que se dispone del salario medio por hora percibido 30 individuos. En laTabla 2.1 se recoge dicha información:La estimación de la media del salario medio por hora es:ˆµ X = ¯X =La estimación de la varianza es:3, 10 + 3, 24 + 3 + 6 + . . . + 7, 78 + 12, 5 + 12, 5 + 3, 2530ˆσ 2 X = S 2 X = (3, 10 − 7, 8547)2 + (3, 24 − 7, 8547) 2 + . . . + (3, 25 − 7, 8547) 230 − 152= 7, 8547= 23, 8778

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónIndividuo Salario Individuo Salario Individuo Salario1 3,10 11 6,25 21 6,882 3,24 12 8,13 22 8,483 3,00 13 8,77 23 6,334 6,00 14 5,5 24 0,535 5,30 15 22,2 25 66 8,75 16 17,33 26 9,567 11,25 17 7,5 27 7,788 5,00 18 10,63 28 12,59 3,60 19 3,6 29 12,510 18,18 20 4,5 30 3,25Tabla 2.1: Datos sobre salario medio por horaˆσ X = √ 23, 8778 = 4, 88652.3. Estimación por intervaloEn la Tabla 2.1 anterior se estima que el salario medio por hora oscila alrededor de 7,8547 euros. Sinembargo, ¿qué confianza podemos tener en este resultado? Por ejemplo, ¿valoraríamos igual estacantidad si se hubiera calculado con una muestra de 5 observaciones? La respuesta obvia es NO,sino que consideramos más fiables los resultados con 30 datos que con 5. Por tanto, un estimadordebe complementarse con una medida de su fiabilidad o precisión.Un estimador es una variable aleatoria que depende de las variables X i , i = 1, . . . , n. Su distribuciónde probabilidad se denomina distribución muestral o distribución empírica del estimador. En elejemplo anterior, si X i ∼ NID(µ, σ 2 ), entonces el estimador ˆµ = ¯X es una combinación lineal den variables normales independientes. En el Tema 1 se demostró que su distribución muestral es:ˆµ = ¯X ∼ N(µ, σ 2 /n)De la distribución de la media muestral se deduce que la media muestral se distribuye alrededor dela media poblacional y se concentra con más probabilidad alrededor de µ cuanto mayor es el tamañomuestral n, es decir cuanto menor es la varianza. Por tanto, hay mayor probabilidad de obtener unaestimación cercana a µ con 30 datos que con 5. En este caso, es sensato utilizar como indicador dela precisión a la desviación típica σ/ √ n , menor desviación típica, o lo que es igual menor varianza,indica mayor precisión. Normalmente, σ 2 es desconocido, por lo que sustituimos su valor poblacionalpor el correspondiente muestral, ˆσ 2 = SX 2 . La estimación de la desviación típica de la distribuciónmuestral de ¯X,√ˆσ ¯X = ˆσ 2¯X ˆσ ¯X= √ nse conoce como error típico de ¯X. En el ejemplo del salariomedio por hora obtenemos que el error típico de estimación es 4, 8865/ √ 30 = 0, 8921. Es fácilcomprobar que si obtuviéramos los mismos valores de ¯X y S X con una muestra de 5 observaciones,el error típico casi se multiplicaría por dos veces y media, S ¯X = 4, 8865/ √ 5 = 2, 185.53

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónUna forma de tener una mayor confianza en la estimación es obtener una estimación por intervalo.Un estimador por intervalo o estimador de un intervalo de confianza de un parámetro poblacionales una regla que utiliza la información muestral para hallar un intervalo que es probable que incluyaese parámetro.2.3.1. Intervalos de confianza y nivel de confianzaSea θ un parámetro desconocido. Supongamos que utilizando la información muestral se hallandos variables aleatorias A y B tales que P (A < θ < B) = 1 − α, donde α es cualquier númerocomprendido entre 0 y 1. Si los valores muestrales específicos A y B son a y b, entonces el intervalode a a b se llama intervalo de confianza de θ al 100(1 − α) %. La cantidad 100(1 − α) % se llamanivel de confianza del intervalo.Interpretación: Si se extraen repetidamente muestras aleatorias de la población, el verdadero valordel parámetro θ se encontrará en el 100(1 − α) % de los intervalos calculados de esta forma. Elintervalo de confianza calculado de esta forma se expresa de la manera siguiente: a < θ < b a unnivel de confianza del 100(1 − α) %.2.3.2. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianzaconocidaSea X 1 , X 2 , . . . , X n una muestra de n observaciones extraídas de una población que sigue unadistribución normal de media µ desconocida y varianza conocida σ 2 . Vamos a calcular un intervalode confianza para la media poblacional al 100(1 − α) %. Sea¯X ∼ N(µ, σ2n)−→ Z = ¯X − µσ/ √ n∼ N(0, 1)Sea z α/2 el valor de la distribución normal estándar tal que la probabilidad de la cola superior esα/2. A continuación construimos el intervalo de confianza:P (−z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 − αP (−z α/2 < ¯X−µσ/ √ n < z α/2) = 1 − αP (−z α/2σ √n < ¯X − µ < z α/2σ √n ) = 1 − αP(¯X − zα/2σ √n < µ < ¯X + z α/2σ √n)= 1 − αInterpretación: Si se extraen repetida e independientemente muestras aleatorias de n observacionesde la población y se calculan intervalos de confianza al 100(1 − α) %, entonces el 100(1 − α) %contendrá el verdadero valor de la media poblacional.Por ejemplo, fijado α = 5 %, z α/2 = 1, 96, el nivel de confianza es del 95 % y tenemos:(P ¯X − 1, 96 √ σ < µ < ¯X + 1, 96 σ )√ = 0, 95 (2.3)n n54

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa ecuación (2.3) es un intervalo de confianza al 95 por ciento para µ, luego el intervalo aleatoriocontiene a µ con probabilidad 0, 95. Es decir antes de obtener nuestra muestra aleatoria particularhay una probabilidad del 95 por ciento de que (2.3) contenga a µ. La ecuación (2.3) es un ejemplo deestimador por intervalo. El intervalo es aleatorio ya que los límites inferior y superior cambiancon las diferentes muestras.Interpretación: Si se extraen repetida e independientemente100 muestras aleatoriasde n observaciones de la población y secalculan 100 intervalos de confianza, entonces95 de ellos contendrán el verdaderovalor de la media poblacional. El gráficomuestra que la probabilidad de que unavariable aleatoria normal estándar se encuentreentre −1, 96 y 1, 96 es 0, 95.N(0, 1)0,40,350,30,250,20,150,1Región Crítica0,0250,05Región de Aceptación0,95Región Crítica0,0250−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 52.3.3. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianzadesconocida. La distribución t de StudentSea X 1 , X 2 , . . . , X n una muestra de n observaciones extraídas de una población que sigue una distribuciónnormal de media µ desconocida y varianza desconocida σ 2 . Vamos a calcular un intervalode confianza para la media poblacional al 100(1 − α) %. Sea¯X ∼ N) (µ, σ2n−→ Z = ¯X − µσ/ √ n∼ N(0, 1)En el caso de que la varianza σ 2 sea conocida, vimos en el apartado anterior que el intervalo deconfianza 100(1 − α) % es:()σP ¯X − z α/2 √n < µ < ¯X σ+ z α/2 √n = 1 − αSin embargo si σ 2 es desconocida el resultado no puede ser utilizado directamente. También hemosvisto que la varianza muestral S 2 es un estimador de σ 2 por lo que para construir el intervalo deconfianza podemos utilizar el siguiente estadístico y distribución asociada:t = ¯X − µˆσ/ √ n ∼ t (n−1)siendo ˆσ 2 = S 2 . Sea t (v) α/2 el valor de la distribución t-Student con v grados de libertad tal quela probabilidad de la cola superior es α/2. El intervalo de confianza 100(1 − α) % para la mediapoblacional cuando la varianza es desconocida es:()ˆσP ¯X − t (n−1) α/2 √n < µ < ¯X ˆσ+ t (n−1) α/2 √n = 1 − α55

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióncon la misma interpretación que en el apartado anterior.Por ejemplo, para α = 5 % y n = 49 tenemos t (n−1)α/2 = t (48)0,025 = 2, luego:Ejemplo 2.2(P ¯X − 2 × √ ˆσ < µ < ¯X + 2 × ˆσ )√ = 0, 95n nUtilizando los datos de la Tabla 2.1 vamos a construir un intervalo de confianza al 95 %para la media del salario medio por hora.Para la variable X = Salario tenemos:ˆµ X = ¯X = 7, 8547 ; ˆσX 2 = S2 X= 23, 8778 ;ˆσ = 4, 8865 ; t (n−1)α/2 = t (30−1)0,025 = 2, 045(P ¯X − t (n−1)α/2 × √ ˆσ < µ < ¯X + t n (n−1)α/2 × √ ˆσ )= 0, 95 nP (7, 8547 − 2 × 0, 8921 < µ < 7, 8547 + 2 × 0, 8921) = 0, 95P (6, 070 < µ < 9, 6389) = 0, 95Concluimos que con confianza del 95 % la media poblacional estará entre los valores6, 070 y 9, 6389.2.3.4. Otros ejemplosAdemás de construir intervalos de confianza para los parámetros de una población, como es la mediao la varianza también podemos construir intervalos de confianza para estimar algunos parámetros dedos poblaciones. Por ejemplo un empresario puede estar interesado en comparar la productividadmedia de sus trabajadores en dos plantas distintas, o podemos estar interesados en comparar lamedia del salario medio por hora de hombres y mujeres. Para ello podemos construir un intervalode confianza para la diferencia de las medias. Veamos algunos ejemplos.Intervalos de confianza de la diferencia entre dos medias: muestras independientesSupongamos que extraemos una muestra de n X observaciones de una población normal de media µ Xy varianza σX 2 y una muestra independiente de n Y observaciones de una población normal de mediaµ Y y varianza σY 2 . Denotamos las medias muestrales respectivas por ¯X y Ȳ . Estamos interesadosen la diferencia de ambas medias, luego basamos la inferencia en dicha diferencia: ¯X − Ȳ . La mediay varianza de la variable aleatoria diferencia de medias es:E( ¯X − Ȳ ) = E( ¯X) − E(Ȳ ) = µ X − µ YV ( ¯X − Ȳ ) = V ( ¯X) − V (Ȳ ) = σ2 Xn X+ σ2 Yn Y56

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa distribución de la variable aleatoria Z = ¯X − Ȳ combinación lineal de variables normales es unanormal:Z = ( ¯X − Ȳ ) − (µ x − µ y )√σ 2XnX+ σ2 Yn Y∼ N(0, 1)suponiendo que las varianzas son conocidas podemos escribir el siguiente intervalo de confianza:⎛P ⎝( ¯X − Ȳ ) − z α/2√σ 2 Xn X+ σ2 Yn Y< µ X − µ Y < ( ¯X − Ȳ ) + z α/2√σ 2 Xn X+ σ2 Yn Y⎞⎠ = 0, 95Si las varianzas son desconocidas se han de estimar con lo que la variable aleatoria Z ya no sigueuna distribución estándar sino una t-Student con v = n X +n Y −2 grados de libertad donde estamossuponiendo que las varianzas poblacionales aunque desconocidas son iguales 1 .⎛P ⎝( ¯X − Ȳ ) − t (n X +n Y −2)α/2√ˆσ 2 Xn X+ ˆσ2 Yn Y√ ⎞< µ X − µ Y < ( ¯X − Ȳ ) + t ˆσX2(n X +n Y −2)α/2 + ˆσ2 Y ⎠ = 0, 95n X n YEjemplo 2.3Supongamos que disponemos de una muestra sobre salario medio por hora para 252mujeres proveniente de una población X ∼ N(µ X , σX 2 ) y una muestra de salario mediopor hora para 274 hombres proveniente de una población Y ∼ N(µ Y , σY 2 ) tal que:¯X = 4, 5877 ˆσ X = 2, 5294Ȳ = 7, 0995 ˆσ Y = 4, 1609Suponiendo que ambas muestras tienen varianza poblacional desconocida pero igual, elintervalo de confianza al 100(1 − α) % para la diferencia de las medias es:(4, 5877 − 7, 0995) ± t (524)α/2√2, 5294 2252+4, 160922741 Los grados de libertad v dependen del supuesto que se realice sobre las varianzas de ambas poblaciones.• Si suponemos que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales: v = n X + n Y − 2. Este es elsupuesto más habitual.• Si suponemos que las varianzas poblacionales son desconocidas y no son iguales y las muestras son de distintotamaño: v =[ˆσX2 ] 2+ ˆσ2 Yn X n Y(ˆσX 2 /n X )2 + (ˆσ2 Y /n Y )2(n X −1) (n Y −1)• Si suponemos⎛que las varianzas ⎞ poblacionales son desconocidas y no son iguales y las muestras son del mismotamaño: v = ⎝1 +ˆσ 2 Xˆσ 2 Y2+ ˆσ2 Yˆσ 2 X⎠ × (n − 1)57

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónIntervalos de confianza de la diferencia entre dos medias: muestras dependientesDos muestras son dependientes si en los valores de una muestra influyen los de la otra. Los miembrosde la muestra se eligen por pares, uno de cada población. Supongamos que se eligen n pares aleatorios(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ) extraídos de dos poblaciones X ∼ N(µ X , σ 2 X ) y Y ∼ N(µ Y , σ 2 Y )dependientes. Denotamos por d y S d a la media y desviación típicas muestrales observadas de las ndiferencias d i = x i − y i . Si suponemos que la distribución poblacional de las diferencias es normal,entonces tenemos el siguiente intervalo de confianza 100(1 − α) % de la diferencia entre las medias:¯d − t (n−1)α/2S d√ n< µ d < ¯d − t (n−1)α/2S d√ nEjercicio 2.3Supongamos que Y 1 , Y 2 , . . . , Y n constituyen una muestra aleatoria simple de una poblacióncon media µ y varianza σ 2 . Consideramos el siguiente estimador de µ:Y ⋆ = Y 1 + Y 221. Demostrar que Y ⋆ es un estimador insesgado.2. Obtener V (Y ⋆ ).∑3. Consideramos ahora Ȳ = ni=1 Y in. ¿Cuál de los dos estimadores es mejor?Ejercicio 2.4Supongamos que Y 1 , Y 2 , Y 3 constituyen una muestra aleatoria simple de una poblaciónN(µ, σ 2 ). Consideramos el siguiente estimador de µ:Ỹ = 1 2 Y 1 + 1 3 Y 2 + 1 6 Y 31. Demostrar que Ỹ es un estimador insesgado.2. Obtener V (Ỹ ).3. Consideramos ahora como estimador de µ amejor?Ȳ , ¿cuál de los dos estimadores esEjercicio 2.5Un diseñador de aviones en el proceso de diseño del interior de un avión está interesado enconocer el tamaño estándar de un asiento de forma que se maximice el espacio utilizableen el avión y que el mayor número de viajeros viaje cómodamente. Supongamos quela variable Y , medida de la cadera, es tal que Y ∼ N(µ, σ 2 ). La Tabla 2.2 recoge unamuestra de la medida de la cadera, en pulgadas, para 50 individuos adultos que vuelanhabitualmente.58

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónIndv. Medida Indv. Medida Indv. Medida Indv. Medida Indv. Medida1 14,96 11 14,76 21 15,97 31 15,71 41 17,772 17,34 12 17,89 22 17,19 32 13,53 42 17,813 16,40 13 18,36 23 16,87 33 17,89 43 16,904 19,33 14 17,59 24 15,26 34 17,31 44 19,265 17,69 15 16,64 25 13,90 35 13,71 45 16,036 17,50 16 20,23 26 16,40 36 17,92 46 15,867 15,84 17 16,98 27 20,40 37 14,91 47 16,568 18,69 18 16,23 28 15,94 38 20,00 48 16,719 18,63 19 14,21 29 19,08 39 19,22 49 20,2310 18,55 20 20,33 30 19,40 40 16,48 50 15,54Tabla 2.2: Tamaño de la cadera para 50 individuos.1. Realizar un análisis descriptivo de los datos de la tabla. Calcular media, varianzay desviación típica muestrales de la variable junto con el coeficiente de asimetría ycurtosis.2. Supongamos que se diseña una butaca de 18 pulgadas de ancho, ¿qué porcentajede clientes no podrán volar?3. ¿Cuánto debería medir la butaca para que pudiera volar el 95 % de la población?Ejercicio 2.6Para evaluar diferentes planes de jubilación para los trabajadores de una multinacionalcon una plantilla de miles de trabajadores la empresa debe determinar la edad mediade sus trabajadores. Asumiendo que la edad de los trabajadores sigue una distribuciónnormal y que la desviación estandar es conocida e igual a 21 años, ¿cuál debe ser eltamaño de la muestra de trabajadores que se debe muestrear si queremos que el intervalode confianza del 95 % de la edad media no sean más ancho de 4 años?59

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2.4. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08.Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.60

Tema 3Contraste de hipótesisEn el tema anterior vimos algunos conceptos de la inferencia estadística para establecer conclusionessobre una población basándonos en la muestra y nos centramos en la estimación. En este tema nosvamos a centrar en la inferencia o contrate de hipótesis. Aprenderemos a realizar contraste dehipótesis para poder realizar afirmaciones sobre la población a partir de la información contenidaen una muestra. Para ello utilizaremos estadísticos calculados a partir de muestras aleatorias yvistos en los temas anteriores. Introduciremos los conceptos de hipótesis nula y alternativa así comoel concepto de estadístico y distribución muestral. Desarrollaremos el proceso de tomar decisionespara rechazar o no la hipótesis nula y analizaremos los errores que podemos cometer en el procesode contrastar hipótesis. Finalmente aplicaremos los resultados a la media de una población normal.Competencias a trabajar en estas sesiones:1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, así como sus propiedades parapoder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.2. Aplicar la metodología estadística adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para latoma de decisiones en el ámbito profesional.5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Conocer los elementos y etapas de un contraste de hipótesis.2. Formalizar la hipótesis nula y alternativa de un contraste.3. Conocer la diferencia entre nivel de significatividad y valor-p de un contraste.4. Definir el error tipo I y el error tipo II de una prueba.61

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5. Conocer la diferencia entre un contraste a una cola y un contraste a dos colas.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular os recomendamosleer los capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Caps 10 y 11.• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice C.62

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión3.1. Concepto de hipótesis nula e hipótesis alternativaUno de los objetivos de la Estadística y de la Econometría es el contraste de hipótesis. La distribuciónde probabilidad de una v.a., f(X; θ) discreta o continua, depende de un parámetro θ que tomavalores en el espacio paramétrico Θ , θ ∈ Θ tal que, para cada valor que toma θ en Θ la funciónf(X; θ) es distinta. Una hipótesis estadística sobre el parámetro es una conjetura sobre el valorconcreto que tenga en la realidad. Para contrastar dicha hipótesis, o lo que es lo mismo, paraaceptarla o rechazarla, se diseñan pruebas estadísticas es decir, se establece un criterio de contrastepara ver si podemos considerar la hipótesis cierta o no.Un contraste de hipótesis tiene tres etapas: formulación de dos hipótesis opuestas; derivación de unestadístico de contraste y su distribución muestral y determinación de un criterio de decisión paraelegir una de las dos hipótesis planteadas.Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la distribución de una o varias variables aleatorias.En un contraste se trata de decidir cuál, entre dos hipótesis planteadas, es la que mejor se adecúaa los datos 1 . La hipótesis de interés se denomina hipótesis nula, H 0 , y la supondremos ciertamientras no haya evidencia en contra. La hipótesis frente a la que se contrasta la nula se llamahipótesis alternativa, H 1 .Tanto las hipótesis nulas como alternativas pueden ser simples o compuestas. Las hipótesis simplesespecifican un único valor para el parámetro poblacional y por tanto en ellas la distribución deprobabilidad queda perfectamente definida. En general especificaremos hipótesis nulas simples. Enla hipótesis compuesta se especifica un rango de valores para el parámetro poblacional. La hipótesisalternativa puede ser a una cola o a dos colas. La hipótesis alternativa a una cola envuelve todoslos posibles valores del parámetro poblacional a un lado o a otro del valor especificado en la H 0 .La hipótesis alternativa a dos colas envuelve todos los valores posibles del parámetro poblacionalexcepto el especificado por la H 0 .La elección entre las hipótesis se basa en un estadístico de contraste, que es una función de losdatos que mide la discrepancia entre estos y H 0 . Por ejemplo, si consideramos que el salario mediopor hora es una variable aleatoria normal podemos plantearnos si los datos del salario medio porhora es compatible con una distribución con media 5 euros de salario medio por hora. En el contrastesobre la media trataremos de establecer si la diferencia entre la hipotética media poblacional 5 ey la media muestral 7,8547 e se debe únicamente a la naturaleza aleatoria de los datos. Para ellocontrastaremos el supuesto de que la media poblacional es 5 frente a la alternativa de que no lo seacontrastamos:H 0 : µ = 5 frente a H 1 : µ ≠ 5A partir de la distribución muestral de ¯X, ¯X ∼ N(µ, σ 2 /n) podemos definir el siguiente estadísticode contraste:¯X − µ= ¯X − 5σ/ √ nσ ¯X1 El establecimiento de una hipótesis sobre el parámetro desconocido θ divide su espacio paramétrico en dos partes,una integrada por los valores que cumplan la hipótesis, le llamaremos Θ 0 y otra formada por el conjunto de valoresque no la cumplen y que llamaremos Θ 1 . Θ 0 y Θ 1 son disjuntos por definición, Θ 0 ∪ Θ 1 = Θ.63

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEsta discrepancia, que utilizaremos como estadístico de contraste, no depende de las unidades demedida y tiene en cuenta la diferencia entre los datos (resumidos en ¯X) y el valor establecido enH 0 . Además, debe conocerse la distribución de esta variable aleatoria cuando la hipótesis nula escorrecta. En el ejemplo, se demuestra que si los datos X 1 , X 2 , . . . , X n son una muestra aleatoria deun conjunto de variables X i ∼ NID(µ, σ 2 ) ∀i, con µ y σ 2 desconocidas, entonces:¯X − µ∼ t(n − 1)y sustituyendo µ = 5, tenemos la distribución muestral del estadístico bajo H 0 :t = ¯X − 5ˆσ ¯Xˆσ ¯XH ∼0¯X − 5t(n − 1) −→ˆσ/ √ nH 0∼ t(n − 1) (3.1)Este estadístico se aplica mucho en la práctica y se denomina estadístico t de la media. De formageneral podemos escribirlo:√¯X − µn( ¯X − µ)∼ t(n − 1) o lo que es igual∼ t(n − 1)ˆσˆσ ¯XUn contraste o test de hipótesis es una regla de decisión mediante la cual optamos por una uotra hipótesis. La cuestión es por cuál de las dos hipótesis nos inclinamos dada la informaciónproporcionada por una muestra aleatoria simple. Para ello se establece la regla o criterio dedecisión que determina la región crítica, subconjunto para el que se rechaza la H 0 . Para determinarel criterio de decisión del contraste se divide el conjunto de posibles resultados del estadístico decontraste en dos zonas, la región crítica y su complementaria. Se rechaza H 0 cuando el valor delestadístico obtenido con la muestra, t m , pertenece a la región crítica. El punto de partida paraestablecer la región crítica es que se rechaza H 0 si la discrepancia entre datos y H 0 es grande. En elcontraste bilateral, se rechazaría H 0 si ¯X se alejara mucho del valor establecido en H0 , lo que parael estadístico implica que:|t m | =¯X − 5∣ ∣ > c (3.2)S ¯Xdonde c es la discrepancia máxima que estamos dispuestos a asumir y se denomina valor crítico. Encaso contrario, si |t m | ≤ c, no se rechaza la hipótesis nula. El valor de c depende de la distribución delestadístico de contraste cuando H 0 es cierta y del error que estemos dispuestos a aceptar. Por ejemplopara una muestra de tamaño n = 30 y α = 5 % tenemos un valor c = t (n−1)|α = t (30−1)| 0,025 = 2, 045.2En el ejemplo que venimos siguiendo tendremos:7, 8547 − 5t m =4, 8865/ √ = 3, 199 > 2, 04530luego rechazamos la hipótesis nula para un nivel de significación del 5 %.3.2. Tipos de error en el contraste y potencia de un contrasteEl rechazo de la H 0 equivale a la aceptación de H 1 y viceversa. Se entiende la aceptación o rechazode una hipótesis en el sentido de que la muestra ha proporcionado evidencia suficiente, aunque noabsoluta, para que sea razonable aceptar o rechazar la H 0 . Este proceso conlleva cometer errores,las posibilidades son:64

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• La probabilidad de cometer el error Tipo I, rechazar cuando es cierta, se denomina nivel designificación del contraste o tamaño de la región crítica y se denota por α.• La probabilidad de cometer el error tipo II, no rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa,se denota por β y generalmente se utiliza su complementario a la unidad (1 − β) llamadapotencia del contraste (probabilidad de aceptar la hipótesis alternativa cuando es cierta)cuando las hipótesis son simples y función de potencia cuando son compuestas.Deseamos cometer el menor error, pero no es posible eliminar los dos errores simultáneamente, esdecir, que el tamaño sea 0 y la potencia igual a 1. En general, disminuir el error tipo I lleva consigoun aumento del error tipo II. Por ejemplo, no cometemos error tipo I si decidimos no rechazar nuncala hipótesis nula; pero la potencia del contraste sería 0 porque tampoco rechazaremos H 0 cuandosea falsa. Daremos más importancia al error tipo I, por lo que elegiremos el tamaño del contraste;los niveles más habituales son 10 %, 5 % y 1 %. Para el tamaño elegido, trataremos de utilizar elcontraste con mayor potencia.Diseño de pruebas estadísticas. Para diseñar una prueba debemos elegir una muestra, un estadístico,un nivel de significación y una región crítica. Normalmente se comienza eligiendo el nivelde significación α, es decir acotando la probabilidad de cometer error Tipo I y para ello se fija laregión crítica adecuada.• Fijamos la región crítica de forma que α sea pequeño, es decir que el error sea pequeño,queremos que la probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta sea pequeña.• También trataremos de que sea pequeño el error Tipo II es decir que la potencia del contrastesea máxima. En la práctica se acota la probabilidad de cometer error Tipo I, α y después setrata de minimizar la probabilidad de cometer error Tipo II, β. Cuando minimizamos la P (I)aumenta P (II) por tanto cuando aceptamos H 0 debemos tener en cuenta que la potencia delcontraste sea suficiente.3.3. El p-valor y conclusiones del contrasteOtra forma de llevar a cabo el contraste es utilizar el valor-p. Este valor es una probabilidad eindica cuál sería el menor nivel de significación que se tendría que elegir para rechazar la hipótesisnula, dada la realización muestral del estadístico. Si el contraste es a dos colas, el valor-p es dos vecesel área a la derecha de la realización muestral del estadístico en valor absoluto, en la distribuciónde éste bajo la hipótesis nula, esto esvalor-p = 2 P(t j > t m j |H 0 )Si el contraste es a una cola, el valor-p sería el área a la derecha de la realización muestral delestadístico en valor absoluto, en la distribución de éste bajo la hipótesis nula, esto es valor-p =65

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónP(t j > t m j |H 0). A mayor valor-p, mayor sería la probabilidad de error de tipo I si elegimos rechazarla hipótesis nula. Luego a mayor valor-p menor evidencia contra la hipótesis nula y por el contrarioa menor valor-p mayor evidencia contra la hipótesis nula. El cálculo del valor-p es más complicadoque elegir el nivel de significatividad a priori por lo que generalmente se realiza en el ordenador.3.4. Pasos en la realización de un contrasteResumiendo un contraste de hipótesis tiene las siguientes etapas:1) Formulación de dos hipótesis opuestas, hipótesis nula, H 0 e hipótesis alternativa H 1 .2) Derivación del estadístico de contraste correspondiente y su distribución.3) Seleccionar el nivel de significatividad α o probabilidad de cometer error tipo I.4) Cálculo muestral del estadístico y aplicación del criterio de decisión para elegir una de las doshipótesis. El criterio de decisión es: si el valor muestral del estadístico es mayor que el valorc, el valor en tablas de la distribución para el nivel de significatividad elegido, se rechaza lahipótesis nula. En caso contrario se acepta.Si alternativamente utilizamos el valor-p, una vez calculado éste la regla de decisión es sivalor-p < α se rechaza H 0 . Si valor-p > α no se rechaza H 0El contraste de hipótesis también puede realizarse mediante un intervalo de confianza. En ese casolos pasos 1), 2) y 3) no cambian. En el paso 4) se calcula el intervalo de confianza a 100(1 − α) % yse comprueba si el valor del parámetro según la hipótesis nula pertenece al intervalo, en cuyo casose acepta la hipótesis nula. En caso contrario se rechaza. Notar que la región de aceptación es lacomprendida dentro del intervalo de confianza.3.5. Aplicaciones3.5.1. Contrastes de la media de una distribución normalEjemplo: zona crítica en un contraste bilateral sobre la media de una distribución normal.Veamos cómo se determina el valor crítico c en el ejemplo sobre la media del precio. El tamaño αes la probabilidad de rechazar H 0 cuando ésta es cierta. Como (3.2) es la condición para rechazary (3.1) es la distribución del estadístico cuando H 0 es cierta, esto implica que:α = P rob(|t| > c) cuando el estadístico t ∼ t(n − 1)En este caso, rechazaremos H 0 si el valor del estadístico t obtenido con los datos es un valor pocoprobable en la distribución del estadístico bajo H 0 .66

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEste gráfico muestra la distribución del estadísticosi H 0 : µ = 5 es cierta. La región crítica es la zonapunteada en las dos colas de la distribución, demodo que en cada cola se acumula una probabilidadα/2. Así, c es la ordenada de la distribución t(n − 1)que deja en la cola derecha una probabilidad α/2.Por ejemplo, para α = 0, 05 y n = 30, entonces,c = 2, 045 y se rechaza H 0 al nivel de significacióndel 5 % si |t m | > 2, 01.Ejemplo 3.2Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H 0 : µ = 0 frente a H 1 : µ ≠ 0 con elestadístico:t = ¯X − 0ˆσ/ √ H ∼0t(n − 1)nque aplicado a la muestra:t m =7, 85474, 8865/ √ 30 = 8, 804 > 2, 045 = t (30−1)| 0,052luego rechazamos H 0 para α = 5 %.Ejemplo 3.3= t (30−1)| 0,025Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H 0 : µ = 8 frente a H 1 : µ ≠ 8 con elestadístico:t = ¯X − 8ˆσ/ √ H ∼0t(n − 1)nque aplicado a la muestra:t m =7, 8547 − 8∣4, 8865/ √ 30∣ = | − 0, 1628| < 2, 045 = t (30−1)| 0,05 = t (30−1)| 0,0252luego no rechazamos H 0 para α = 5 %.Ejemplo: región crítica en el contraste unilateral sobre la media de una distribución normal. Enlos estudios econométricos a veces se plantean contrastes a una cola. En el estudio sobre el salariomedio por hora supongamos que interesa contrastar si la media es cinco o mayor que cinco, por loque planteamos las hipótesis:H 0 : µ = 5 frente a H 1 : µ > 5Al mantenerse la misma hipótesis nula, el estadístico de contraste es (3.1), que bajo H 0 sigue unadistribución t(n − 1). La hipótesis alternativa determina el criterio de decisión. Rechazaremos H 0cuando la discrepancia tome valores alejados de H 0 y compatibles con H 1 , es decir, cuando t tomevalores positivos grandes. La región crítica está definida por la condición t > c. El valor crítico c sedetermina por:α = P (t > c) cuando el estadístico t ∼ t(n − 1)67

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa región crítica del contraste es la zona punteadaen una cola de la distribución, la derecha.Así, c es la ordenada de la distribución t(n − 1)que acumula en la cola derecha una probabilidadα.Por ejemplo, si α = 0, 05 y n = 30, entonces elnivel crítico es c = 1, 699 y no se rechaza H 0 alnivel de significación del 5 % si t m < 1, 699.En general, se usan las expresiones rechazar o no rechazar H 0 . Esto es así porque en un contrastemantenemos la H 0 mientras no haya suficiente evidencia en contra. Los datos pueden rechazar lahipótesis, pero no pueden probar que H 0 sea correcta, por lo que no se dice que se acepta H 0 . Norechazar H 0 significa que los datos no son capaces de mostrar su falsedad.Ejemplo 3.4Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H 0 : µ = 8 frente a H 1 : µ > 8 con elestadístico:t = ¯X − 8ˆσ/ √ H ∼0t(n − 1)nque aplicado a la muestra:luego no rechazamos H 0 para α = 5 %.t m = | − 0, 1628| < 1, 699 = t (30−1)| 0,05Ejemplo: utilización de los intervalos de confianza para la realización de contrastes. En el Tema2 se construyó, utilizando los datos de la Tabla 2.1, un intervalo de confianza al 95 % para la mediadel salario medio por hora. El intervalo construido es el siguiente:P (6, 070 < µ < 9, 6389) = 0, 95Este intervalo puede utilizarse para realizar contraste de hipótesis, por ejemplo si queremos contrastar:H 0 : µ = 8 frente a H 1 : µ ≠ 8 basta con que comprobemos si el valor 8 está o no dentrodel intervalo; 8 ∈ IC 0,95 (µ) luego no rechazamos la hipótesis nula.Para el contraste: H 0 : µ = 0 frente a H 1 : µ ≠ 0 obtendríamos con el mismo intervalo deconfianza 0 ∉ IC 0,95 (µ) luego rechazamos la hipótesis nula. Lo cual es lógico ya que del propiointervalo de confianza concluimos que con confianza del 95 % la media poblacional estará entre losvalores 6, 070 y 9, 6389.3.5.2. Otros ejemplosEjemplo: contrate de igualdad de medias Este es un contraste muy habitual, por ejemplo, enestudios sociales interesa analizar si hay discriminación salarial, de modo que las mujeres perciben68

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónsalarios más bajos que los hombres. Habitualmente, se contrasta la hipótesis nula de que la mediadel salario que perciben las mujeres es igual al salario medio de los hombres frente a la hipótesisalternativa de que la media del salario es mayor en el grupo de hombres.Para ejemplarizar este contraste vamos a retomar el Ejemplo 2.3 del Tema 2. En este ejemplodisponíamos de dos muestras normales independientes, con varianzas poblacionales iguales perodesconocidas. Una muestra sobre salario medio por hora para 252 mujeres proveniente de unapoblación X ∼ N(µ X , σX 2 ) y una muestra de salario medio por hora para 274 hombres provenientede una población Y ∼ N(µ Y , σY 2 ) tal que:¯X = 4, 5877 ˆσ X = 2, 5294Ȳ = 7, 0995 ˆσ Y = 4, 1609Con estos datos construíamos el siguiente intervalo de confianza al 100(1 − α) % para la diferenciade las medias:(4, 5877 − 7, 0995) ± t (524)α/2√2, 5294 2252+4, 16092274Para contrastar la hipótesis de que la media del salario medio por hora que perciben las mujeres esigual la media del salario medio por hora de los hombres frente a la hipótesis alternativa de que lamedia es mayor en el grupo de hombres, planteamos H 0 : µ Y = µ X frente a H 1 : µ Y > µ X .El procedimiento de contraste se basa en la comparación de las dos medias muestrales, Ȳ y ¯X.Pequeñas diferencias entre ellas apoyan la H 0 . El estadístico de contraste y su distribución bajo H 0son:t =(Ȳ − ¯X)S√1n X+ 1n YH 0∼ t(nX +n Y −2)donde S 2 es el estimador de la varianza común utilizando todos los datos:El valor muestral del estadístico es:t m =S 2 = (n X − 1)ˆσ 2 X + (n Y − 1)ˆσ 2 Yn X + n Y − 27, 0995 − 4, 5877√(252 − 1) 2, 5294 2 + (274 − 1) 4, 1609 2252 + 274 − 2√1252 + 1274= 8, 278523Dada H 1 , rechazamos H 0 si la diferencia (Ȳ − ¯X) es grande. La región crítica, por tanto, está definidapor t > c, siendo c el valor crítico. El contrate es a una cola, 8, 278523 > 1, 64 = t (524)| 0,05 luegorechazamos la hipótesis nula para α = 5 %.Ejemplo: contraste de igualdad de varianzas. En el contraste anterior hemos supuesto que lasvarianzas de ambas distribuciones normales aunque desconocidas, eran iguales. Este supuesto sepuede contrastar. Vamos a contrastar si la varianza es la misma en ambas distribuciones frente a69

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónque sea menor para la muestra que recoge los salarios medios por hora en las mujeres. Por tanto,planteamos el contraste de hipótesis:H 0 : σ 2 Y = σ 2 X frente a H 1 : σ 2 Y > σ 2 XEl procedimiento de contraste consiste en comparar las dos varianzas muestrales, ˆσX 2 y ˆσ2 Y, que sonestimadores insesgados de las respectivas varianzas poblacionales. Valores cercanos de ˆσX 2 y ˆσ2 Y , oratios ˆσY 2 /ˆσ2 X ≃ 1, apoyan H 0. El estadístico de contraste y su distribución bajo H 0 son:F = ˆσ2 Yˆσ 2 XH 0∼ F(nY − 1, n X − 1)Dada H 1 , rechazamos H 0 si el ratio ˆσY 2 /ˆσ2 Xestá muy por encima de 1. La región crítica, portanto, está definida por ˆσY 2 /ˆσ2 X> c, siendo c el valor crítico. El valor muestral del estadístico es:F m = 4,160862 = 2, 7061 > 1 = F2,52936 2 (273, 251)| 0,05 luego rechazamos H 0 para α = 5 %.Ejercicio 3.1Utilizando los datos de la Tabla 2.2:1. Calcular un intervalo de confianza 95 % para la media de la distribución.2. Contrastar H 0 : µ = 16, 5 H 1 : µ > 16, 5.3. Contrastar H 0 : µ = 17 H 1 : µ ≠ 17.70

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión3.6. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editoral AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.71

72Estadística Actuarial: Análisis de Regresión

Tema 4Modelo econométrico: introducciónEn los temas anteriores se ha analizado el comportamiento de una variable, sin relacionarla con otras.En este tema y los dos siguientes vamos a abordar cómo se relacionan las variables entre sí. De ellose ocupa la Econometría. Así, en estos temas aprenderemos a interpretar la información estadísticasobre la realidad económica. La importancia de la Econometría va más allá de la disciplina de laeconomía. La Econometría es un conjunto de instrumentos de investigación empleados en finanzas,marketing, dirección de empresas, negocios, historia, sociología incluso agronomía.La herramienta básica es un modelo econométrico que conjuga los esquemas teóricos sobre el funcionamientode la Economía con las técnicas estadísticas de análisis de datos. Un modelo puede teneruna estructura muy compleja, pero nos centramos en el modelo más sencillo, y que da contenidoa buena parte de la asignatura, el modelo de regresión lineal general. Este modelo explica elcomportamiento de una única variable económica mediante un conjunto de variables. En este temadefiniremos la disciplina de la Econometría e introduciremos conceptos relacionados con un modeloeconométrico: los datos, las variables, los parámetros, entre otros elementos de un modelo.El desarrollo de la Econometría ha sido enormemente facilitado por el avance en la informática. Elcurso, con gran componente aplicado necesita complementarse con el aprendizaje de un softwareeconométrico. El paquete econométrico a utilizar es gretl; se trata de software de libre uso, fácilde manejar y que tiene acceso a las bases de datos que se estudian en muchos libros de análisiseconométrico. El alumno deberá aprender su manejo, en paralelo con los conceptos estadísticos yeconométricos, y a interpretar adecuadamente los resultados obtenidos.Competencias a trabajar en estas sesiones:4. Analizar de forma crítica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprenderla lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variableseconómicas.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Distinguir entre un modelo económico y un modelo econométrico.73

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Conocer las etapas en la realización de un trabajo aplicado.3. Distinguir los diferentes tipos de datos empleados en el análisis econométrico.4. Distinguir las diferentes variables implicadas en un modelo econométrico.5. Distinguir entre parámetros de la relación económica y parámetros de la relación probabilística.6. Distinguir entre estimador y estimación.7. En gretl : Leer datos en gretl , tanto archivos de muestra como archivos propios. Introducirdatos en gretl y realizar un análisis descriptivo básico.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular se os recomienda leerlos capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Introducción.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 1.• Ramanathan, R. (2002). Cap. 1.• Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Introducción.• Wooldridge, J.M. (2006). Cap. 1.74

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión¿Qué es la Econometría?Econometría en sentido estricto significa medida de la economía. La Econometríase ocupa de formular, cuantificar y valorar las relaciones entre variables económicas,para ello necesita de otras materias como son la Teoría Económica, la Estadística y lasMatemáticas.La Econometría se ocupa del estudio de estructuras que permitan analizar característicaso propiedades de una variable económica utilizando como causas explicativas otrasvariables económicas. (Novales, 1993)4.1. Modelo económico y modelo econométricoComo es sabido la Teoría Económica se ocupa del análisis de la economía, como consecuencia delmismo formula las relaciones existentes entre las variables económicas objeto de estudio. Sin embargola teoría Económica no se ocupa de cuantificarlas, éste es un cometido específico de la Econometría,que sí tiene como objetivo cuantificar las relaciones entre variables. Unido a este objetivo aparece unpilar clave para la Econometría que es la disponibilidad de información cuantificada sobre las variablesque son objeto de estudio, en definitiva lo que llamamos datos. Las Matemáticas nos serviránpara escribir en términos de ecuaciones las teorías económicas objeto de estudio y la Estadística nosproporciona instrumentos para el tratamiento de datos que nos permiten cuantificar las relaciones yvalorar los resultados de acuerdo a criterios establecidos. En ocasiones nos encontraremos con problemasespecíficos para los que la estadística no tiene solución y por ello necesitaremos desarrollarlos instrumentos y métodos apropiados para llevar a cabo los objetivos.Resumiendo, podríamos decir que los objetivos de la Econometría son: verificación de una teoría,estudio del pasado, descripción del presente, predicción del futuro y orientación de la acción política.Para tratar de entender las relaciones entre la Econometría y las otras materias mencionadas en elapartado anterior vamos a desarrollar un ejemplo.Supongamos que somos el gerente de una empresa y que estamos interesados en la relación existenteentre las ventas de un producto de la empresa y su precio, las condiciones de la competencia y elciclo económico. Un modelo que tiene en cuenta estos supuestos podría ser el siguiente:V t = f(p t , pc t , c t ) (4.1)Siendo V las ventas de la empresa y p el precio del producto, la variable pc es el precio de lacompetencia y nos sirve para aproximar las condiciones de la competencia. La variable c recoge elmomento del ciclo económico y sirve para aproximar las condiciones de mercado. El subíndice tdenota el tiempo o momento en el que se considera la relación. La ecuación anterior postula quelas ventas son función del precio del producto, el precio de la competencia y del ciclo económico.Además la Teoría Económica nos dice que la relación entre ventas y precio es inversa, es decir, amayor precio menores ventas. Sin embargo será positiva con respecto al precio de la competencia yaque si el precio de la competencia sube y el propio se mantiene es lógico que se espere vender más.De igual manera se venderá más en momentos de auge económico que en momentos de depresiónpor lo que la relación entre las ventas y el ciclo económico también se esperará que sea positiva.75

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEl gerente también dispondrá de información en forma de cifras o datos sobre cuales eran lasventas correspondientes a los diferentes precios que ha podido alcanzar su producto, el precio dela competencia y el momento del ciclo económico, variable que puede aproximarse a una variablecuantitativa que se mueva con el ciclo económico, por ejemplo el Índice de Producción Industrial.Por ahora como gerentes de la empresa disponemos de dos informaciones distintas. Por un ladodisponemos de un modelo económico que nos relaciona un conjunto de variables y por otro disponemosde observaciones o datos sobre las mismas para un periodo de tiempo dado. El gerente tambiéndispone de un objetivo que es saber como responden las ventas de su producto a cambios en suprecio. Para unir ambos conjuntos de información podemos empezar por dar forma a la función.La elección más sencilla sería tomar una relación lineal, que para la ecuación (4.1) determinaría elsiguiente modelo:V t = β 1 + β 2 p t + β 3 pc t + β 4 c t (4.2)Los parámetros o coeficientes de cada variable se representan por β 1 , β 2 y β 3 . El coeficiente β 2le indica al gerente cuanto cambian las ventas si el precio de su producto cambia en una unidad,permaneciendo el resto de variables constantes.Con los datos disponibles, que supongamos son:fecha ventas precio p. competencia IPIt V p pc cenero 80 1725 12,37 11,23 101,7febrero 80 1314 11,25 10,75 97,3podemos relacionar las variables con los valores que han tomado en cada momento siguiendo laecuación (4.2). Así en enero de 1980 la relación entre las ventas y el resto de variables ha sido:Mientras que en febrero de 1980 fue:1725 = β 1 + 12, 37β 2 + 11, 23β 3 + 101, 7β 41314 = β 1 + 11, 25β 2 + 10, 75β 3 + 97, 3β 4Estas relaciones se repetirían para cada mes del que tengamos datos. Como el valor de las variablescambia de un mes a otro, para que las igualdades se cumplan también deben cambiar los valores delos parámetros. Este no es el objetivo del gerente, quién necesita la mejor aproximación posible delvalor de las ventas al precio, que resuma toda la información disponible del periodo considerado.Para ello consideraremos que el modelo debe reflejar el comportamiento medio de la relación entrevariables manteniéndose la relación entre las variables estable. Para que esto se cumpla y podamosrecoger el comportamiento medio incluiremos en el modelo un nuevo elemento al que llamaremosu t . Así el modelo especificado será:V t = β 1 + β 2 p t + β 3 cp t + β 4 c t + u t (4.3)El nuevo elemento deberá ser capaz de mantener la igualdad de la relación para cualquier conjuntode datos, tomando por tanto a veces valores positivos y en otras ocasiones valores negativos; aveces grandes, a veces pequeños. La interpretación del mismo resulta bastante intuitiva: recoge76

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióntodos los efectos que afectan a las ventas en cada período muestral y que no están explícitamenterecogidos en las variables que el modelo contiene. Si el modelo ha recogido todas las influencias“importantes y sistemáticas” que existen sobre las ventas, el nuevo elemento, que en adelantellamaremos perturbación recogerá los efectos no sistemáticos que serán, en general, más erráticos.Por tanto es factible considerar su comportamiento como aleatorio. Así a la perturbación u t se letrata como una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es preciso especificar al mismotiempo que el resto del modelo.Dado que el modelo recogido por la ecuación (4.3) contiene una variable aleatoria para obtenerresultados a partir del mismo necesitaremos de la Estadística. Mediante procedimientos estadísticospodremos cuantificar la relación entre las variables, obteniendo valores numéricos para los coeficientesβ 1 , β 2 , β 3 y β 4 que reflejen la información que contienen los datos. De esta forma el modelogeneral representado por la ecuación (4.3) que en principio puede servir para analizar el comportamientode cualquier empresa servirá para contestar a las preguntas que el gerente se hace sobre supropia empresa convirtiéndose en un modelo específico válido para la toma de decisiones.El ejemplo anterior describe una situación muy concreta pero la Econometría es útil en otras muchassituaciones, por ejemplo:• Para analizar el efecto del impacto de cambios en la política fiscal sobre los indicadoreseconómicos de un país, la demanda interna, los tipos de interés, exportaciones e importaciones,desempleo, grado de morosidad.• Los directivos de la empresa Mercedes pueden estar interesados en los factores que determinanla demanda de automóviles.• Para analizar los efectos de la publicidad en las ventas de una empresa.• Para analizar el impacto en la función de producción de cambios en los factores de producción.• Analizar si la demanda de tabaco se ve afectada por las campañas anti tabaco.• Analizar si las campañas publicitarias contra el consumo de alcohol cuando se conduce reduceel número de siniestros.• Estudiar como afecta el tabaquismo al peso de nacimiento y posterior crecimiento de un bebe.4.2. Etapas en la elaboración de un modelo econométricoUn estudio econométrico consta de las siguientes etapas, Heij , de Boer, Franses, Kloer y Dijk (2004):• Formulación del problema. Se trata de determinar la cuestión de interés. Debemos plantear deforma precisa las preguntas que nos interesa responder. La teoría económica puede ayudarnosa enfocar el problema, a determinar qué variables están involucradas y cuál puede ser larelación entre ellas.77

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Recolección de datos estadísticos relevantes para el análisis. En el caso del gerente los datosestán disponibles en los balances de la propia empresa. Los resultados del análisis van adepender en gran medida de la calidad de los datos. Sin embargo, no siempre es sencilloobtener los datos relevantes para el análisis. Podemos encontrar problemas como la ausenciade algún dato, cambios en la definición de una variable, fallos en el método de recogida, teneruna cantidad insuficiente de datos o no disponer de información relativa a una variable.• Formulación y estimación del modelo. En esta fase hay que dar forma al problema inicialen términos de un modelo. Determinar la variable a explicar, en el ejemplo las ventas, y lasvariables explicativas, en el ejemplo el precio, el precio de la competencia y el ciclo económico;la forma funcional del modelo y la distribución probabilística de la perturbación aleatoria.El siguiente paso es la estimación de los parámetros desconocidos de la distribución y que sonde interés para el análisis. La estimación consiste en utilizar los datos y toda la informaciónrelevante para aprender algo sobre los parámetros desconocidos. En la interpretación de losresultados de estimación es importante tener en cuenta que no conocemos el valor de losparámetros, por lo que únicamente vamos a hacer afirmaciones del tipo “con un 95 % deconfianza, el aumento del impuesto sobre carburantes no afecta al consumo de gasolina”.Existen muchos métodos de estimación. La elección entre uno u otro depende de las propiedadesdel modelo econométrico seleccionado. Es decir, una mala selección del modelo tambiéninfluye en la validez de las estimaciones. Un curso introductorio de Econometría, como este,se suele centrar en el estudio del modelo de regresión lineal y su estimación mediante mínimoscuadrados ordinarios, que son instrumentos sencillos y muy útiles en la práctica.• Análisis del modelo. Se trata de estudiar si el modelo elegido es adecuado para recoger elcomportamiento de los datos. Consiste en una serie de contrastes diagnósticos que valoran siel modelo está correctamente especificado, es decir, si los supuestos realizados son válidos. Sies necesario, se modifica el modelo en base a los resultados obtenidos en los contrastes.• Aplicación del modelo. Una vez obtenido un modelo correcto, se utiliza para responder a lascuestiones de interés y para la predicción. Un modelo correctamente especificado y estimadoha de ser utilizado para predecir. Este concepto implica tanto determinar los valores futurosde la variable endógena como contestar a preguntas del tipo ¿qué pasaría sí...?, en definitivadebe servirnos para dar consejos de política económica.4.3. Tipología de datos y variables en EconometríaEl modelo econométrico genérico completamente especificado tiene la siguiente forma:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + . . . + β K X Kt + u t t = 1, 2, . . . , T (4.4)Donde Y es la variable a explicar o variable endógena, X 2 , X 3 , . . ., X K son las variables explicativas,o regresores, del modelo. El subíndice que las acompaña indica el número de variables explicativasdel modelo, el modelo anterior tiene K-variables explicativas. Los coeficientes β k k = 1, 2, . . . , Kson los parámetros a estimar, que se suponen constantes. Además es de interés notar que el parámetroβ 1 acompaña a la variable explicativa X 1 constante e igual a la unidad en todo momento del78

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióntiempo. El subíndice t hace referencia al tiempo y por tanto T indica el tamaño de la muestra deobservaciones disponible.La diferencia entre un modelo económico y un modelo econométrico es la perturbación aleatoriaque incluimos en el modelo econométrico. A partir de este elemento en el modelo econométricopodemos distinguir dos partes la parte sistemática del modelo y la parte aleatoria. La primeracorresponde al comportamiento medio o estable de la relación y la segunda se corresponde con laperturbación aleatoria, u t .El objetivo sobre el modelo genérico representado por la ecuación (4.4) es conocer los valores de losparámetros desconocidos β k k = 1, 2, . . . , K. Para llevar a cabo este objetivo utilizaremos métodosestadísticos. Para ello al modelo especificado deberemos de añadir hipótesis sobre el comportamientoprobabilístico de la perturbación aleatoria que caractericen su distribución. En general, supondremosque dicha perturbación tiene una distribución centrada en cero, o sea media cero, lo que implicaque el comportamiento medio de la variable a explicar está recogido en su totalidad por la partesistemática del modelo:E(Y t ) = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + . . . + β K X Kt t = 1, 2, . . . , T (4.5)Además de la media debemos caracterizar también la varianza, covarianzas y distribución de laperturbación.4.3.1. Conceptos básicosEn los puntos anteriores han surgido algunos conceptos que deberían quedar claros para poderreferirnos a ellos con propiedad. Revisaremos algunos de ellos.• Población y muestra:Población son todos los posibles valores que toma la variable objeto de estudio. La muestrasería la parte de la población que vamos a utilizar en el estudio para extraer conclusiones.Por tanto la muestra está contenida en la población y nosotros la utilizaremos para establecerconclusiones que puedan extrapolarse a la población.• Datos:Los datos son los valores numéricos que toman tanto la variable a explicar como las variablesexplicativas. Generalmente los obtenemos de series estadísticas cuyas fuentes pueden ser oficialeso privadas. La importancia de los datos está determinada por la unidad de medida. Lospodemos clasificar en:1. Datos de serie temporal: Reflejan la evolución de una variable a lo largo del tiempo,según esto la variable estará ordenada cronológicamente con un orden lógico. Las variablesmedidas en series temporales se denotan con el subíndice t y este puede referirse aobservaciones temporales mensuales, trimestrales, diarias cuatrimestrales, anuales, etc.Ejemplo: el Producto Nacional Bruto (PNB) de 1965-2000. En este caso la poblaciónserían todos los posibles valores del PNB a lo largo del tiempo y la muestra el períodoque vamos a estudiar, de 1965 al 2000.79

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Datos de sección cruzada o corte transversal: Son datos atemporales dado que midenel comportamiento de una variable en diferentes unidades y en el mismo momento deltiempo. Ejemplo: ventas de las empresas metalúrgicas en el País Vasco en el año 1999.Esta sería la muestra a utilizar y la población estaría constituida por todas las unidades.3. Datos de panel: es la unión de datos de serie temporal y datos de sección cruzada. Estánfuera del objetivo del curso.• Variables:Una variable es un ente económico que toma diferentes valores. Podemos distinguir entre variablesexógenas, aquellas que inciden en el modelo desde el exterior y variables endógenas,aquellas que queremos explicar con el modelo. A las variables exógenas también se las denominavariables explicativas o independientes y a la variable endógena también se le puededenominar como variable a explicar o dependiente. Además debemos tener en cuenta quepodemos encontrarnos con relaciones simultáneas como:o comoY t = β 1 + β 2 Y t−1 + u tC t = β 1 + β 2 Y t + u tY t = C t + I tdonde las variables cambian su papel según miremos a una ecuación u otra. Podemos distinguir,entre otros, los siguientes tipos de variables:1. - Fijas: aquellas que toman valores que el investigador puede controlar.- Estocásticas: aquellas cuyo valor cambia según una ley de probabilidad.2. - Cuantitativas: aquellas que podemos valorar numéricamente. Por ejemplo, la rentadisponible de una familia, el precio de un bien, la renta per cápita.- Cualitativas: aquellas que miden cualidades y que por lo tanto no se miden con un valornumérico y será el investigador el que se lo asigne según un criterio. Por ejemplo, si unindividuo está o no casado, si trabaja en turno de noche o no, si tiene estudios superioreso no. En las variables cualitativas es el investigador el que establece el valor de la variablepara cada característica. Por ejemplo:{ 1 si el individuo i es hombreS 1i =0 en caso contrarioS 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrariodefinen dos variables cualitativas S 1i y S 2i que permiten recoger el sexo del individuo yver por ejemplo si existe discriminación salarial por sexo en un estudio sobre la funciónde salario.• Los parámetros:Los parámetros son los valores que permanecen desconocidos del modelo. En un modelo econométricopodemos distinguir dos tipos de parámetros:80

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1. Los parámetros de la relación económica: Son las ponderaciones que aplicadas a lasvariables exógenas nos permiten calcular la endógena.En el modelo anterior β 1 , β 2 , β 3 y β 4 .V t = β 1 + β 2 p t + β 3 cp t + β 4 c t + u t (4.6)2. Los parámetros de la estructura probabilística: son los parámetros que determinan laestructura de la parte aleatoria del modelo, media y varianza de la perturbación aleatoriay de la variable endógena.• Modelo:Hemos visto que un modelo no es más que un conjunto de relaciones entre variables económicasy que representamos mediante relaciones matemáticas. Clasificación de los modelos:1. - Modelos exactos: aquellos que determinan exactamente el valor de una variable conocidoel valor de otra-s:Y = β 1 + β 2 X- Modelos estocásticos: aquellos que incluyen alguna variable aleatoria:Y t = β 1 + β 2 X t + u tu ∼ (m(u), V (u))2. - Modelos uniecuacionales: aquellos que se componen de una única ecuación:C t = β 1 + β 2 Y t + u t- Modelos multiecuacionales: aquellos que se componen de más de una ecuación. Porejemplo cuando una variable influye en otra-s y a la vez es influida por éstas:C t = β 1 + β 2 Y t + u tY t = C t + I t3. - Modelos estáticos: Cuando el tiempo no aparece de forma explícita en la ecuación ytodas las variables se miden en el mismo momento.- Modelos dinámicos: Aquellos que tienen variables definidas en diferentes momentos deltiempo o el tiempo aparece como variable explícita en la ecuación. Un ejemplo de losprimeros sería:C t = β 1 + β 2 Y t + β 3 C t−1 + u tmientras que un ejemplo de los segundos sería el siguiente modelo no explícitamentedinámico, generalmente llamado estático históricoC t = β 1 + β 2 Y t + β 3 t + u tdonde el parámetro c recoge la tendencia de la variable endógena a lo largo del tiempo.4. - Modelos basados en series temporales: pueden ser dinámicos u estáticos.- Modelos basado en datos de corte transversal: son siempre estáticos.81

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Parámetro, estimador y estimación:En el modelo:Y t = β 1 + β 2 X t + u tt = 1, 2, . . . , Ttenemos diferentes parámetros desconocidos. En la parte aleatoria aparecerían los que caracterizana la distribución probabilística de la perturbación aleatoria y en la parte sistemáticaaparecen β 1 y β 2 . Todos son parámetros desconocidos. Los llamaremos parámetros poblacionalesya que lo que nosotros hemos especificado es un modelo general que debería recoger elcomportamiento medio de las variables en la población. Para obtener resultados del modeloanterior nosotros lo aplicamos a la muestra, de tamaño T. Nuestro objetivo es determinar elvalor de estos parámetros poblacionales desconocidos de la muestra. Para aproximarnos a esevalor utilizamos técnicas estadísticas, en concreto estimadores. Un estimador no es más queuna fórmula que nos dice como debemos obtener los valores numéricos de β 1 y β 2 mediante lamuestra. Al valor finalmente obtenido en la muestra le llamamos estimación. En concreto lanotación matemática para estos conceptos, aplicada al parámetro β 2 sería:β 2 parámetro poblacionalˆβ 2 estimador0,5 estimacióndonde por ejemplo:ˆβ 2 =∑ Tt=1 (Y t − Ȳ )(X t − ¯X)∑ Tt=1 (X t − ¯X) 2 = 0, 5Los estimadores van a ser variables aleatorias con distribución a determinar ya los que exigiremosciertas propiedades que van a determinar esta distribución.• Estructura:Cuando estudiamos la relación entre las variables económicas especificamos un modelo econométrico.En la especificación elegimos la forma funcional del modelo y las variables explicativasa incluir así como las propiedades de la perturbación. Una vez que el modelo está totalmenteespecificado le estimaremos y tendremos unos valores para los parámetros. A la relaciónresultante le llamamos estructura. Un modelo especificado sería:Y t = β 1 + β 2 X t + u tt = 1, 2, . . . , Tmientras que una estructura para ese modelo dada una muestra de tamaño T podría ser:Ŷ t = 20 + 5X tNotar que un modelo puede tener diferentes estructuras según los valores que las variablesexógena y endógena tomen en la muestra.4.3.2. Fuentes de datosEncontrar y recopilar datos no es siempre sencillo. En ocasiones es muy costoso coleccionar los datosadecuados a la situación y manejarlos. Sin embargo, esta tarea se ha visto favorecida en los últimos82

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónaños por la mejora en la recogida de datos y el hecho de que muchos organismos permiten acceder asus bases de datos en la World Wide Web. Algunos organismos que publican datos macroeconómicosson:• Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT): http://www.eustat.es.• Banco de España: http://www.bde.es → Estadísticas. También publica el Boletín estadísticomensual y el Boletín de coyuntura mensual.• Instituto Nacional de Estadística (INE): http://www.ine.es → Inebase o Banco tempus. Estándisponibles, por ejemplo, los resultados de la encuesta de población activa, la ContabilidadNacional o el boletín estadístico mensual. Además, en enlaces se encuentran otras páginasweb de servicios estadísticos.• EUROSTAT: Es la Oficina Estadística de la Unión Europea, se encarga de verificar y analizarlos datos nacionales recogidos por los Estados Miembros. El papel de Eurostat es consolidar losdatos y asegurarse de que son comparables utilizando una metodología homogénea. La informaciónen términos de tablas estadísticas, boletines estadísticos e informativos, incluso documentosde trabajo papers se puede encontrar en la dirección: http://europa.eu.int/comm/eurostat.• Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE): http://www.oecd.org,Statistical portal, statistics. Están disponibles algunas series de las publicaciones Main EconomicIndicators (mensual) o Comercio internacional.• Fondo Monetario Internacional (FMI): http://www.imf.org. Para obtener datos sobre un amplioconjunto de países también se puede consultar su publicación Estadísticas FinancierasInternacionales (mensual y anual).Muchos manuales de Econometría incluyen una base de datos que se analizan en el texto como ilustracióna la materia. En este curso utilizaremos principalmente los datos incluidos en Ramanathan(2002) y Wooldridge (2006) que están accesibles como archivos de muestra en gretl.83

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión4.4. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08.Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.84

Tema 5Modelo de Regresión Lineal General:especificación, estimación y contraste dehipótesisEste es el tema central de la signatura. En él nos ocuparemos de analizar las relaciones entre variablesy nuestro objetivo fundamental será explicar el comportamiento de una variable, que llamaremosvariable a explicar, mediante un conjunto de variables económicas, que llamaremos explicativas.Modelizaremos la relación entre las variables mediante una ecuación matemática y daremos entradaen la misma a una variable aleatoria que nos permita recoger la aleatoriedad del fenómeno económico.Así, aprenderemos a especificar y estimar el Modelo de Regresión Lineal General. El método deestimación que desarrollaremos son los Mínimos Cuadrados Ordinarios, MCO, que bajo ciertashipótesis de comportamiento sobre los distintos elementos del modelo nos proporcionará estimadorescon buenas propiedades, lineales, insesgados y de mínima varianza. Propiedades que desarrollamosen el Tema 2 y que en este tema buscaremos no solo para el estimador mínimo cuadrático sinotambién para otros estimadores alternativos.Nos ocuparemos en profundidad de que el modelo esté correctamente especificado, es decir de queincluyamos todas las variables necesarias para explicar el comportamiento de la variable objetivoy no incluyamos ninguna innecesaria. Veremos que consecuencias tiene en las propiedades de losestimadores y en la inferencia la omisión de variables relevantes y la inclusión de variables irrelevantes.También analizaremos que problemas nos crea la existencia de combinaciones lineales exactasy/o aproximadas entre las variables a incluir como explicativas en el modelo. Una vez el modeloesté correctamente especificado podremos realizar inferencia.Con los conceptos aprendidos en el Tema 3 desarrollaremos el contraste de restricciones lineales querecojan hipótesis relevantes desde el punto de vista económico dentro del Modelo de Regresión LinealGeneral. Aprenderemos a contrastar si las variables son relevantes individual y conjuntamente paraexplicar el comportamiento de la variable objetivo y a hacer contraste de combinaciones lineales,entre otros contrastes de interés.Para finalizar el tema veremos como realizar análisis de regresión y contraste de hipótesis medianteel software gretl.85

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónCompetencias a trabajar en estas sesiones:1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, así como sus propiedades parapoder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.2. Aplicar la metodología estadística adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para latoma de decisiones en el ámbito profesional.3. Analizar de forma crítica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprenderla lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variableseconómicas.4. Aplicar la metodología econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas enbase a la información estadística disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentosinformáticos apropiados.5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidasen un caso de estudio particular.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Explicar y entender el alcance de las hipótesis básicas sobre el comportamiento del modelo deregresión lineal general.2. Interpretar los parámetros de un modelo.3. Aplicar el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios, MCO.4. Distinguir entre la perturbación y el residuo u error de estimación. Conocer las distribucionesrespectivas.5. Conocer y saber demostrar las propiedades del estimador de MCO.6. Conocer las implicaciones de tener combinaciones lineales exactas entre las variables explicativasdel modelo.7. Conocer las implicaciones de tener combinaciones lineales aproximadas entre las variablesexplicativas del modelo.8. Conocer las consecuencias de una mala especificación del modelo omitiendo variables explicativasrelevantes.9. Conocer las consecuencias de una mala especificación del modelo incluyendo variables explicativasirrelevantes.10. Saber especificar correctamente modelos que incluyan variables cualitativas.86

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión11. Saber derivar la distribución del estimador de MCO.12. Saber contrastar hipótesis relevantes para la relación económica de las variables.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular se os recomienda leerlos capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). En Parte I: Caps. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9. Parte II: Cap. 10.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Caps. 12, 13 y 14.• Ramanathan, R. (2002). Caps. 3, 4, 5 y 7.• Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Caps. 4, 5, 6, y 7.• Wooldridge, J.M. (2006). Caps. 2, 3, 4 y 787

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.1. Especificación del Modelo de Regresión Lineal General (MRLG):supuestos básicosEn Economía, en muchas situaciones, varias variables independientes influyen conjuntamente enuna variable dependiente. El modelo de regresión múltiple permite averiguar el efecto simultáneode varias variables independientes en una variable dependiente. Por ejemplo:• El salario es una función del nivel de estudios, la experiencia, la edad y el puesto de trabajo.• El precio de un piso es función, entre otras características, de su superficie, número de habitacionesy baños, localización y la existencia o no de ascensor.• La cantidad vendida de un bien depende de su precio, del precio de la competencia y del cicloeconómico entre otras variables.• La producción de una empresa depende de los factores de producción, capital y fuerza detrabajo.La especificación de un modelo consiste en seleccionar las variables independientes que explican a lavariable objeto de estudio y determinar la forma funcional del mismo. Vamos a comenzar el análisisde regresión determinando nuestro objetivo y los recursos disponibles para lograrlo.Objetivo: Cuantificar la relación existente entre una variable dependiente a la que denotaremospor Y , y un conjunto de K variables independientes, X 1 , X 2 , . . . , X K mediante la especificación deun modelo lineal.Recursos disponibles: Se dispone de una muestra de observaciones de las variables Y, X 1 , X 2 , . . . , X Kde tamaño N, que es el número de observaciones disponibles sobre todas las variables. Se denota:Y i = observación i-ésima de YX ki = observación i-ésima de X k ∀k = 1, . . . , Kdonde X ki es una observación de las disponibles en la muestra i = 1, 2, . . . , N.Modelo de Regresión lineal General (MRLG). ModelizaciónGeneral se escribe:El Modelo de Regresión LinealY i = β 1 X 1i + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u ii = 1, 2, . . . , Ndonde habitualmente X 1i = 1 ∀i, de forma que β 1 es un término independiente y entonces,Y i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u i i = 1, 2, . . . , N.88

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónElementos del MRLG• Y es la variable a explicar, variable dependiente o endógena.• X k• β kk = 1, . . . , K son las K variables explicativas, variables independientes o exógenas.k = 1, . . . , K son los coeficientes de la regresión o parámetros (desconocidos).• u es la perturbación aleatoria o término de error.• el subíndice i denota la observación correspondiente. El subíndice i se utiliza cuando tenemosobservaciones de sección cruzada y el subíndice t cuando tenemos observaciones de serietemporal.• N es el tamaño muestral, el número de observaciones disponibles de las variables objeto deestudio. Cuando trabajamos con datos de serie temporal el tamaño muestral se denota por T .La perturbación aleatoria u i es una variable aleatoria no observable que pretende recoger:• Variables no incluidas en el modelo.• Comportamiento aleatorio de los agentes económicos.• Errores de medida.Representación del MRLG en forma matricial El modeloY i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u i i = 1, 2, . . . , N (5.1)puede escribirse para todas las observaciones disponibles como el siguiente sistema de N ecuaciones:⎧⎪⎨⎪⎩Y 1 = β 1 + β 2 X 21 + β 3 X 31 + . . . + β K X K1 + u 1 i = 1Y 2 = β 1 + β 2 X 22 + β 3 X 32 + . . . + β K X K2 + u 2 i = 2..Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + . . . + β K X Ki + u i i = i..Y N = β 1 + β 2 X 2N + β 3 X 3N + . . . + β K X KN + u N i = No bien en forma matricial comoY = X(N × 1) (N × K)β(K × 1)+ u(N × 1)dondeY =(N × 1)⎡⎢⎣Y 1Y 2.Y i.Y N⎤⎥⎦X =(N × K)⎡⎢⎣⎤1 X 21 X 31 · · · X K11 X 22 X 32 · · · X K2....1 X 2i X 3i · · · X Ki..⎥..⎦1 X 2N X 3N · · · X KNβ =(K × 1)⎡⎢⎣β 1β 2β 3.β K⎤⎥⎦u =(N × 1)⎡⎢⎣u 1u 2.u i.u N⎤⎥⎦89

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.1.1. Hipótesis básicas.El modelo debe completarse con la especificación de las propiedades estocásticas de la variable deinterés Y . A partir de las propiedades de Y es posible conocer las propiedades de los distintosmétodos de estimación, elegir el mejor estimador en el modelo, realizar contrastes, etc. Las condicionesbajo las cuales vamos a trabajar en un principio se denominan hipótesis básicas. Bajoestas hipótesis estimaremos y analizaremos el modelo para, finalmente, predecir Y . En una segundaetapa, podemos considerar otras situaciones, relajando algunas de estas hipótesis, analizando si losprocedimientos de estimación y contraste anteriores siguen siendo válidos. Las hipótesis básicas serefieren a los distintos elementos de la regresión.1. Hipótesis sobre la perturbación aleatoria• La perturbación u i tiene media cero para todo i, E(u i ) = 0 ∀i. La perturbación midelas diferencias con respecto a un promedio, u i = Y i − E(Y i ) y a priori no tenemos razonespara suponer que todas las desviaciones están por encima o por debajo de ese promedio,por ello parece lógico pensar que en media las desviaciones son cero.Para la perturbación en i lo escribimos como E(u i ) = 0 ∀i, cuando miramos al modeloen forma matricial escribimos esta hipótesis como E(u) = ⃗0:⎡E(u) = E ⎢⎣u 1u 2.u N⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣E(u 1 )E(u 2 ).E(u N )⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣00.0⎤⎥⎦ = ⃗0• E(u 2 i ) = σ2 u ∀i es decir la varianza de la perturbación es desconocida e igual a σ 2para todas las observaciones. Estamos suponiendo igual dispersión o variabilidad. A estahipótesis se le conoce con el nombre de Homocedasticidad:V (u i ) = E(u i − E(u i )) 2 = E(u 2 i ) = σ 2E(u 2 1) = E(u 2 2) = E(u 2 3) = . . . = E(u 2 N) = σ 2El caso contrario, cuando la dispersión varía a lo largo de la muestra se denomina Heterocedasticidad:E(u 2 i ) = σ2 i . La Figura 5.1 ilustra ambas situaciones:Hay que notar que generalmente σ 2 será desconocida y por tanto en el modelo tendremosque estimar (K + 1) incógnitas, los k-coeficientes poblacionales desconocidos más lavarianza poblacional de la perturbación σ 2 .• E(u i u j ) = 0 ∀i, j i ≠ j. La covarianza entre perturbaciones de distintas observacioneses cero.Cov(u i , u j ) = E(u i − E(u i ))(u j − E(u j )) = E(u i u j ) = 0 ∀i, j i ≠ j90

f(u)XYf(u)XYEstadística Actuarial: Análisis de Regresión+βα+βX6Figura 5.1: Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticasX6E(u 1 u 2 ) = E(u 1 u 3 ) = E(u 4 u 20 ) = 0αX6 X6 X1 X2A esta hipótesis también se la llama hipótesis de No Autocorrelación. Uniendo la hipótesisde homocedasticidad y la hipótesis de no autocorrelación podemos describir la matriz devarianzas y covarianzas de la perturbación.X2 X1E(uu ′ ) = σ 2 I N⎡E(uu ′ ) = E ⎢⎣u 1u 2.⎤[ ′⎥ u 1 u ′ 2 . . . u ′ N⎦⎡] = E ⎢⎣u 1 u ′ 1 u 1 u ′ 2 . . . u 1 u ′ Nu 2 u ′ 1 u 2 u ′ 2 . . . u 2 u ′ N.. . .. .⎤⎥⎦ =u Nu N u ′ 1 u N u ′ 2 . . . u N u ′ N⎡= E ⎢⎣u 2 1 u 1 u ′ 2 . . . u 1 u ′ Nu 2 u ′ 1 u 2 2 . . . u 2 u ′ N.. . .. .u N u ′ 1 u N u ′ 2 . . . u 2 N⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣E(u 2 1 ) E(u 1u ′ 2 ) . . . E(u 1u ′ N ) ⎤E(u 2 u ′ 1 ) E(u2 2 ) . . . E(u 2u ′ N ).. . ..⎥. ⎦ =E(u N u ′ 1 ) E(u Nu ′ 2 ) . . . E(u2 N )⎡= ⎢⎣σ 2 ⎤ ⎡0 0 . . . 00 σ 2 0 . . . 0.. . . ..⎥. ⎦ = σ2 ⎢⎣0 0 0 . . . σ 21 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0. . .. .. .0 0 0 . . . 1⎤⎥⎦ = σ2 I NA la hipótesis que reconoce que las varianzas de la perturbación no son constantes enel tiempo o las observaciones se le conoce como hipótesis de Heterocedasticidad. A lahipótesis que reconoce que las covarianzas entre perturbaciones de distinto momento deltiempo, o entre distintas observaciones, son distintas de cero se le conoce con el nombrede Autocorrelación.91

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Las perturbaciones siguen una distribución normal. Si definimos la perturbación aleatoriacomo la suma de errores independientes entre sí, a través del Teorema Central delLímite podremos suponer una distribución normal y escribir esta hipótesis junto con lasanteriores como:u ∼ NID(0, σ 2 I N )donde estamos escribiendo la distribución del vector de perturbaciones u y decimos quelas perturbaciones siguen una distribución normal, idéntica e independientemente distribuidas,de media cero y varianza constante igual a σ 2 . Son independientes dado quesu covarianza es cero y dado que todas tienen igual varianza y covarianza su distribuciónes idéntica, por ello para una perturbación en i escribimos su distribución comou i ∼ N(0, σ 2 ).Estas propiedades pueden también escribirse conjuntamente comou i ∼ NID(0, σ 2 u)∀i = 1, . . . , Nó en forma matricial,u(N × 1)2. Hipótesis sobre las variables exógenas X.∼ N ( 0 N(N × 1), σuI 2 N )(N × N)• Las variables explicativas son variables no aleatorias (no estocásticas o fijas). Esto quieredecir que cuando digamos que cambiamos la muestra los valores de las variables exógenasno cambian y sólo cambian los valores de la variable endógena Y i .Como consecuencia de que las variables exógenas sean fijas tendremos que son incorrelacionadascon las perturbaciones:E(X ′ u) = X ′ E(u) = 0• La matriz X es de rango completo e igual a K con K < N, rg(X) = K, es decir nohay ninguna combinación lineal exacta entre las columnas de X, son todas linealmenteindependientes con lo que el rango de la matriz es igual al número de coeficientes desconocidoya que en X tenemos una columna por parámetro. A esta hipótesis se le conocecon el nombre de No Multicolinealidad. El que además exijamos que K < N es porquenecesitamos tener más observaciones que coeficientes a estimar en el modelo.3. Hipótesis sobre la forma funcional.• Linealidad en los coeficientes.• Modelo correctamente especificado. Todas las variables X 1 , X 2 , . . . , X K explican Y y nohay ninguna otra de fuera del modelo que explique a Y .4. Los coeficientes permanecen constantes a lo largo de toda la muestra.92

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.2. Forma funcional. Interpretación de los coeficientes.Dados los supuestos básicos del MRLG,E(Y i ) = E(β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u i )= β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + E(u i ) =} {{ }=0= β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki .A E(Y i ) se la denomina Función de Regresión Poblacional (FRP) y sus coeficientes, puedeninterpretarse como:• β 1 = E(Y i |X 2i = . . . = X Ki = 0). Valor medio o esperado de Y i cuando las variables explicativasson todas cero.• β k = ∂E(Y i)= ∆E(Y i)∂X ki ∆X∀k = 2, . . . , K. Incremento (o decremento) en el valor esperado dekiY i cuando la variable explicativa X k se incrementa en una unidad, manteniéndose constantes elresto de las variables. Un aumento unitario en la variable explicativa X k conlleva un aumentomedio de β k unidades en la variable endógena, ceteris paribus.Ejemplo 5.1Se propone la siguiente especificación de la función de consumo agregada para estudiarla relación en Estados Unidos en el periodo 1960-2005 entre el consumo personal, GCP,y el ingreso, PIB, ambos en miles de millones de dólares:GCP t = β 1 + β 2 P IB t + u tβ 2 recoge el incremento esperado en el consumo personal por unidad de incrementoen el P IB. Además tiene interpretación económica ya que es la propensión marginal aconsumir que según la teoría keynesiana esta limitada entre 0 y 1. β 1 es el valor esperadodel consumo cuando el valor del P IB es cero.Ejemplo 5.2Se dispone de una base de datos para 51 estados de E.E.U.U. sobre el gasto agregadoen transporte urbano (EXP T RAV ) y la renta disponible agregada (INCOME) correspondientesal año 1993 1 . Las variables que se consideran son:1 Fuente: Statistical Abstract of U.S. (1995), recogida en Ramanthan, Ramu (2002) Introductory econometrics withapplications. Fichero de datos data8-2.gdt.93

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEXPTRAV = Gasto agregado en transporte urbano, en billones de dólares, (Rango0,708 - 42,48).INCOME = Renta disponible agregada, en billones de dólares, (Rango 9,3 - 683,5).Un modelo para analizar si la renta disponible agregada explica el gasto agregado entransporte urbano es el siguiente 2 :EXP T RAV i = β 1 + β 2 INCOME i + u i i = 1, . . . , 51 (5.2)El parámetro β 1 recoge el valor esperado del gasto en transporte cuando la renta es cero,β 1 = E(EXP T RAV |INCOME = 0). La pendiente β 2 recoge el incremento en el valoresperado del gasto en transporte cuando la renta se incrementa en una unidad, es estecaso cuando se incrementa en un billón de dólares, β 2 =signo positivo.∂E(EXP T RAV )∂INCOME. EsperaríamosEjemplo 5.3Estamos interesados en explicar el precio de una vivienda, en miles de dólares (PRICE),mediante las variables explicativas: el tamaño de la casa o el número de pies cuadradosdel área habitable (SQFT), el número de habitaciones (BEDRMS) y el número de baños(BATHS). Formulamos el modelo de regresión lineal múltiple:P RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + β 3 BEDRMS i + β 4 BAT HS i + u i i = 1, 2, . . . , N (5.3)Interpretación de los coeficientes:• El coeficiente β 1 = E(P RICE i |SQF T i = BEDRMS i = BAT HS i = 0) es el valormedio esperado de aquellas viviendas que no tienen ningún pie cuadrado de áreahabitable, ni habitaciones ni baños.• El coeficiente β 2 = ∂E(P RICE i)∂SQF T i, mide el incremento en el valor esperado del precio deuna vivienda cuando su superficie se incrementa en un pie cuadrado, manteniéndoseel resto de variables constante. Luego, considerando dos casas con el mismo númerode habitaciones y de baños, para aquella casa que tenga un pie cuadrado más deárea habitable se espera que cambie en media su precio de venta en β 2 miles dedólares.• El coeficiente β 3 = ∂E(P RICE i)∂BEDRMS i, mide el incremento en el valor esperado del preciode una vivienda cuando el número de habitaciones de la misma se incrementa enuna unidad, manteniéndose el resto de variables constante. Considerando dos casascon el mismo número de pies cuadrados de área habitable y número de baños, paraaquella casa que tenga una habitación más se espera que cambie en media su preciode venta en β 3 miles de dólares.• El coeficiente β 4 = ∂E(P RICE i)∂BAT HS i, mide el incremento en el valor esperado del preciode una vivienda cuando el número de habitaciones de la misma se incrementa en2 Son datos de sección cruzada luego utilizamos el subíndice i = 1, . . . , N.94

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónuna unidad, manteniéndose el resto de variables constante. Considerando dos casascon el mismo número de pies cuadrados de área habitable y número de habitaciones,para aquella casa que tenga un baño más se espera que cambie en media su preciode venta en β 4 miles de dólares.Ejemplo 5.4Se especifica la siguiente función de salarios en el año 2002:W i = β 1 + β 2 S 2i + u ii = 1, 2, . . . Ndonde W i es el salario anual del individuo i y S 2i es una variable ficticia que se define:S 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrarioLa interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:• β 1 = E(W i |S 2i = 0) luego es el salario esperado cuando el individuo es hombre.Esperaríamos signo positivo.• E(W i |S 2i = 1) = β 1 + β 2 es el salario esperado de una mujer. Luego β 2 es elincremento o decremento en el salario esperado para un individuo por el hecho de sermujer. Por tanto β 2 recoge el efecto diferencial en el salario esperado entre hombresy mujeres. Si es cierto que existe discriminación salarial por sexo esperaríamos quetuviera signo negativo. De la misma forma si no existiera discriminación salarialpor sexo, es decir si hombres y mujeres tuvieran el mismo salario, su valor seríacero.Ejemplo 5.5Se especifica la siguiente función de salarios en el año 2002:W i = β 1 + β 2 S 2i + β 3 X i + u ii = 1, 2, . . . Ndonde W i es el salario anual del individuo i, X i son los años de experiencia del individuoi y S 2i es una variable ficticia que se define:S 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrarioLa interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:• β 1 = E(W i |S 2i = X i = 0) luego es el salario esperado cuando el individuo eshombre y no tiene experiencia. Esperaríamos signo positivo.95

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• E(W i |S 2i = 1, X i = 0) = β 1 +β 2 luego β 2 es el incremento o decremento en el salarioesperado para un individuo cuando no tiene experiencia por el hecho de ser mujer.Por tanto β 2 recoge el efecto diferencial en el salario esperado entre hombres ymujeres con igual experiencia laboral. Si es cierto que existe discriminación salarialpor sexo esperaríamos que tuviera signo negativo. De la misma forma, si no existieradiscriminación salarial por sexo su valor sería cero.• β 3 = ∂E(W i)∂X ies el incremento en el salario esperado del individuo i cuando laexperiencia se incrementa en un año. Es independiente del sexo del individuo iluego es el mismo para hombres y mujeres. Esperaríamos signo positivo, a mayorexperiencia mayor remuneración.Ejemplo 5.6Se especifica la siguiente función de ventas de una empresa para el período de Enero de1978 a Diciembre de 2002:V t = β 1 + β 2 D 2t + β 3 D 3t + β 4 D 4t + u tt = 1, 2, . . . Tdonde V t son las ventas de la empresa en el momento t y las variables D jt son variablesficticias que se definen:{ 1 si la observación t pertenece al trimestre j j = 2, 3, 4D jt =0 en caso contrarioLa interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:• E(V t |D 2t = D 3t = D 4t = 0) = β 1 es el valor esperado de las ventas en el primertrimestre.• E(V t |D 2t = 1; D 3t = D 4t = 0) = β 1 + β 2 es el valor esperado de las ventas enel segundo trimestre. Luego β 2 es el diferencial entre las ventas esperadas en elsegundo trimestre y el primer trimestre.• E(V t |D 3t = 1; D 2t = D 4t = 0) = β 1 + β 3 es el valor esperado de las ventas en eltercer trimestre. Luego β 3 es el diferencial entre las ventas esperadas en el tercertrimestre y el primer trimestre.• E(V t |D 2t = D 3t = 0; D 4t = 1) = β 1 + β 4 es el valor esperado de las ventas en elsegundo trimestre. Luego β 4 es el diferencial entre las ventas esperadas en el cuartotrimestre y el primer trimestre.Ejemplo 5.7En este ejemplo vamos a analizar los determinantes de la oferta laboral de las mujerescasadas 3 . Para ello vamos a utilizar el archivo mroz87.gdt incluido en el programa gretl,3 Fichero mrox87.gdt, disponible en gretl pestaña Gretl. Fuente:“The Sensitivity of an Empirical Model of MarriedWomen’s Hours of Work to Economic and Statistical Assumptions”, Econometrica 55, 765-799.96

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónen la carpeta de archivos de muestra “Gretl”. En él se dispone de observaciones de lassiguientes variables, entre otras 4 :• LF P : Variable ficticia que toma valor 1 si la mujer ha trabajado en 1975 y cero enotro caso• HOURS: Número de horas trabajadas por la esposa en 1975, (W HRS).• KL6: Número de hijos menores de seis años, en la familia.• K618: Número de hijos entre seis y dieciocho años, en la familia.• AGE: Edad de la esposa, (W A).• EDUC: Años de educación recibidos por la esposa, (W E).• W AGE: Salario de la esposa en el momento de la encuesta, 1976, (RP W G).• F AMINC: Renta familiar en dólares de 1975.• EXP ER: Años de experiencia en la actualidad, (AX).Se trata de una muestra de sección cruzada con 428 observaciones de mujeres trabajadorasdonde el término trabajadoras implica que tienen un salario monetario.Con la muestra anterior creamos las siguientes variables:l W AGE i = ln(W AGE) i ,sq EXP ER i = EXP ER 2 i ,NW IF EINC i = F AMINC i − (W AGE i × HOURS i )Dado nuestro objetivo de estudiar los determinantes de la oferta laboral de la poblaciónfemenina casada, la variable a estudiar es HOURS. Como determinantes de la mismapodemos pensar en incluir en el modelo el salario en logaritmos, l W AGE, los años deeducación recibidos, EDUC, la edad, AGE, el número de hijos de la familia, KL6 yK618, y la variable NW IF EINC, que de alguna manera mide la importancia de lasrentas familiares que no dependen de los ingresos de la esposa. Así, el modelo a estimarsería:HOURS i = β 1 + β 2 l W AGE i +β 3 EDUC i + β 4 AGE i + β 5 KL6 i + β 6 K618 i + β 7 NW IF EINC i + u i (5.4)A priori esperaríamos que los coeficientes de las variables l W AGE, EDUC y K618 fuesenpositivos, ceteris paribus. Es de esperar que si se tiene un sueldo alto la estimulacióna seguir trabajando sea mayor. También es lógico pensar que cuando la preparación (estudios)es mayor, se tenga un empleo mejor y mejor remunerado, luego es más probableque la mujer trabaje fuera de casa. Familias con mayor número de hijos necesitan de unamayor renta, por lo que es probable que la esposa decida trabajar. Por otro lado, cuandohay niños pequeños podemos pensar que la esposa se retire del mercado de trabajo para4 Algunas de las variables han sido renombradas para que el ejercicio resulte más cómodo. Entre paréntesis apareceel nombre original utilizado en el fichero para que las podáis reconocer fácilmente.97

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióncuidarlos, por lo que esperaríamos un signo negativo en el coeficiente que acompaña aKL6 manteniendo el resto de factores constante. A mayor edad, también es posible queno se quiera trabajar fuera de casa, por lo que, esperamos signo negativo para la variableAGE ceteris paribus. Finalmente, manteniendo el resto de factores constantes tambiénesperaríamos signo negativo para el coeficiente de la variable NW IF EINC ya que, sila renta disponible que no depende de la remuneración de la mujer es alta, es probableque eso desincentive a trabajar fuera de casa a la esposa. Es importante tener en cuentala fecha de la recogida de datos, 1975, cuando todavía la participación en el mercado detrabajo de la mujer no estaba consolidada.Algunas consideraciones sobre la linealidad en parámetros Cuando decimos que el MRLG es unmodelo lineal queremos decir que Y o alguna transformación de Y es lineal en las X o en algunatransformación lineal de las X. Hay dos tipos de linealidad, linealidad en variables y linealidad enparámetros. Nosotros estamos interesados en la linealidad en parámetros: es decir las derivadas conrespecto a los coeficientes desconocidos son una función lineal sólo de las X.β k = ∂E(Y i)∂X kik = 1, 2, . . . , KEl modelo lineal más sencillo es el Modelo de Regresión Lineal Simple donde la variable endógenaY queda explicada por una única variable exógena XY i = β 1 + β 2 X i + u ii = 1, 2, . . . , NDe igual forma es lineal el Modelo de Regresión Lineal General donde la variable endógena Y seexplica con un conjunto de k-variables explicativas (X 1i , X 2i , . . . , X Ki )Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + . . . + β K X Ki + u ii = 1, 2, . . . , NDado que estamos interesados sólo en la linealidad en parámetros también serán considerados linealeslos siguientes modelos:Y i = β 1 + β 21Xi+ u i −→ Y i = β 1 + β 2 Z i + u i con Z i = 1/X iY i = β 1 + β 2 X 2 i + u i −→ Y i = β 1 + β 2 W i + u i con W i = X 2 ique son lineales en parámetros según lo dicho anteriormente aunque no lo sean en variables. Ahorabien, existen otras relaciones que aunque en principio no son lineales pueden transformarse enlineales y por tanto son perfectamente estimables en nuestros términos. Por ejemplo:1. Sea el siguiente modelo:X i = AB Y iu ipodemos transformar el modelo en lineal en parámetros tomado logaritmos y obtener:Y i = β 1 + β 2 LnX i + u i (5.5)donde β 2 = (LnB) −1 y β 1 = ( LnALnB )a esta transformación se le llama semilogarítmica.98

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Sea el modelo:Y i = AX B i u i −→ LnY i = β 1 + β 2 LnX i + u i (5.6)donde β 1 = LnA, a esta transformación se le llama doblemente logarítmica.Ejemplo 5.8Un ejemplo específico de esta última transformación es la función Cobb-Douglas de lateoría de producción. La función de producción Cobb-Douglas, en su forma estocástica,se expresa como:Q t = A L β 2e u tt K β 3tDe la ecuación anterior se deduce que la relación entre la producción y los factorescapital y trabajo es claramente no lineal. Sin embargo, podemos transformar el modelotomando logaritmos y obtener la siguiente relación lineal en los parámetros β 1 , β 2 y β 3 :Q t = AL β 2t K β 3t e ut −→ LnQ t = β 1 + β 2 LnL t + β 3 LnK t + u t (5.7)siendo β 1 = LnA. Una ventaja de este tipo de modelos como el recogido en la ecuación(5.7), en los que todas las variables están medidas en logaritmos, es que los parámetrosde pendiente además de recibir la interpretación habitual pueden interpretarse entérminos de elasticidades:β 2 = ∂E(LnQ t)= ∂E(Q t)∂LnL t ∂L tL tQ tβ 3 = ∂E(LnQ t)= ∂E(Q t) K t∂LnK t ∂K t Q tEs decir β k k = 2, 3, miden el cambio porcentual o elasticidad (parcial) generado en lavariable endógena como consecuencia de un cambio porcentual (un 1 %) en la variableexógena correspondiente, ceteris paribus. En el ejemplo anterior β 2 y β 3 representanlas elasticidades de la función de producción con respecto a los factores de produccióntrabajo y capital respectivamente.Por otro lado la suma (β 2 +β 3 ) da información sobre los rendimientos a escala , es decir,la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los factores de producción.Si la suma es 1 existen rendimientos constantes a escala, al duplicar los factores deproducción se duplica la producción. Si la suma es menor que 1 existen rendimientosdecrecientes a escala, al duplicar los factores de producción ésta crece menos del doble. Sila suma es mayor que 1 existen rendimientos crecientes a escala, al duplicar los factoresde producción ésta crece más del doble.Es importante notar que para la ecuación (5.5) la interpretación de los parámetros comoelasticidades no es posible ya que al no estar la variable Y i en logaritmos:β = ∂E(Y i)= ∂E(Y i)∂LnX i ∂X i99X i

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.3. Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)• Nuestro objetivo es estimar los parámetros desconocidos β k ,k = 1, . . . , K deY i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u ii = 1, 2, . . . , NY = Xβ + uen forma matricial.A los parámetros estimados los denotamos ˆβ k y la estimación del modelo esŶ t = ˆβ 1 + ˆβ 2 X 2i + . . . + ˆβ K X Kii = 1, 2, . . . , NŶ = X ˆβen forma matricial,a la cual denominamos Función de Regresión Muestral (FRM).• Elementos adicionales• La perturbación del modelo recoge todo aquello que no ha sido explicado por la parte sistemáticadel modelo y se obtiene como la diferencia entre la variable a explicar y la recta deregresión poblacional:u i = Y i − E(Y i ) i = 1, 2, . . . , Nu = Y − Xβen forma matricial.• El residuo mide el error cometido al estimar la variable endógena y se define como la diferenciaentre la variable a explicar y la recta de regresión muestral 5 :û i = Y i − Ŷi = Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Kii = 1, 2, . . . , Nû = Y − Ŷ = Y − X ˆβen forma matricial.Este error proviene de dos fuentes: la primera, por el hecho de no poder obtener los valores dela perturbación (u i ) y la segunda se debe a que la estimación de los coeficientes desconocidosβ k k = 1, . . . , K introduce un error adicional. Es importante, por tanto, diferenciar y noconfundir el residuo con la perturbación.• Representación gráfica: Cuando K = 2 el modelo se escribeY i = β 1 + β 2 X i + u iy se denomina Modelo de Regresión Lineal Simple (MRLS). Entonces, la relación entre la FRM,FRP, residuos y perturbaciones puede visualizarse en la Figura 5.2.En el Gráfico 5.2 la función de regresión poblacional está trazada en color negro así como loscoeficientes poblacionales, la ordenada (β 1 ) y la pendiente (β 2 ). Podemos ver que el valor Y i se5 Los residuos son a la FRM lo que las perturbaciones a la FRP. Sin embargo, no son buenos estimadores de lasmismas (al menos, no si la muestra es pequeña) porque no tienen las mismas propiedades, se puede ver en el Anexo3 incluido en el Apéndice del Tema.100

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónY i✻(Y 1 , X 1 )Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X iY 1X 1E(Y i ) = β 1 + β 2 X iˆβ 1 + ˆβ 2 X 1 = Ŷ1✻û1❄✻❄u 1✻ β 1 + β 2 X 1β 1β 2ˆβ 1ˆβ2❄✲X iFigura 5.2: Función de regresión poblacional y función de regresión muestralobtiene como la suma del valor que toma la parte sistemática β 1 + β 2 X i (situada sobre la FRP) ydel valor que toma la perturbación u i , esto es, Y i = β 1 + β 2 X i + u i .La función de regresión muestral y los coeficientes estimados ( ˆβ 1 y ˆβ 2 ) están representados en colorrojo. La diferencia entre la FRP y la FRM se debe a los errores que se cometen en la estimaciónde los coeficientes de la regresión ( ˆβ 1 ≠ β 1 , ˆβ 2 ≠ β 2 ). Basándonos en la FRM podemos obtener elvalor del punto Y i como la suma del valor estimado de la parte sistemática Ŷi = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i (situadosobre la FRM) y del valor que toma el residuo û i , esto es, Y i = Ŷi + û i .5.3.1. Método de estimación de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)El objetivo es obtener un vector de estimadores de los parámetros ó coeficientes β 1 , . . . , β K , parael cual buscamos K estimadores respectivamente. Un estimador es una fórmula que, aplicada a losdatos, da como resultado un valor numérico. Al valor numérico calculado a partir de un estimadory de una muestra dada, lo denominamos estimación. A ambos los denotamos ˆβ, el cual puede ser,consecuentemente, un vector de estimadores o de estimaciones, según nos estemos refiriendo a lafórmula o a los valores numéricos resultantes. Pero no son lo mismo.Necesitamos un criterio de estimación, que dados el modelo y la muestra nos permita obtener lafunción de regresión muestral. Proponemos el criterio de estimación mínimo cuadrático ordinariopor su sencillez y buenas propiedades, que demostraremos más adelante.El criterio de estimación Mínimo Cuadrático Ordinario (MCO) se expresa:mínˆβN∑i=1û 2 i = mínˆβN∑(Y i − Ŷi) 2A continuación buscaremos la expresión de los estimadores mínimo cuadráticos obtenidos comoresultado de aplicar el criterio MCO al modelo de regresión lineal general.i=1101

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Estimador MCO del MRLGCriterio:mínˆβ 1 ,..., ˆβ Kmínˆβ 1 ,..., ˆβ KN ∑i=1N ∑i=1û 2 i =mínˆβ 1 ,..., ˆβ KN ∑i=1(Y i − Ŷi) 2 =Las K Condiciones de Primer Orden (C.P.O.) de mínimo sonde donde se obtienen las ecuaciones normales:−2−2−2(Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Ki ) 2 (5.8)∂ ∑ Ni=1 û2 i∂ ˆβ 1= 0∂ ∑ Ni=1 û2 i∂ ˆβ 2= 0∂ ∑ Ni=1 û2 i∂ ˆβ 3= 0.∂ ∑ Ni=1 û2 i∂ ˆβ K=.0N∑(Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Ki ) = 0i=1N∑(Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Ki )X 2i = 0i=1..N∑(Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Ki )X Ki = 0i=1que pueden escribirse como:∑Yi =∑X2i Y i =.∑XKi Y i =N ˆβ 1 + ˆβ 2∑X2i + . . . + ˆβ K∑XKiˆβ 1∑X2i + ˆβ 2∑ X22i + . . . + ˆβ K∑X2i X Ki.ˆβ 1∑XKi + ˆβ 2∑XKi X 2i + . . . + ˆβ K∑ X2KiEn forma matricial, ∑ Ni=1 û2 i = û′ û(1 × 1)mínˆβdonde û es un vector N × 1 y el criterio puede escribirseû ′ û = mín(Y − X ˆβ) ′ (Y − X ˆβ).ˆβ102

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLas K Condiciones de Primer Orden (C.P.O.) de mínimo son∂û ′ û∂ ˆβ = 0 ⇒ −2X′ (Y − X ˆβ) = 0.Despejando, obtenemos las ecuaciones normales en forma matricial:de donde el estimador MCO (en forma matricial) es:X ′ Y = X ′ X ˆβ MCO . (5.9)ˆβ MCO = (X ′ X) −1 X ′ Y (5.10)en el que X ′ X es una matriz de orden K × K, X ′ Y un vector de orden K × 1 y ˆβ un vector deorden K × 1, tales queX ′ X =(K × K)⎡⎢⎣∑ ∑ ∑∑N∑ X2i∑ X3i · · ·∑ XKiX2i X2∑ ∑ 2i ∑ X2i X 3i · · ·∑ X2i X KiX3i X3i X 2i X23i · · · X3i X Ki.. .. ..∑ ∑ ∑ ∑.XKi XKi X 2i XKi X 3i · · · X2Ki⎤⎥⎦X ′ Y =(K × 1)⎡⎢⎣∑ ⎤∑Yi∑X2i Y iX3i Y i⎥∑. ⎦XKi Y iˆβ =(K × 1)⎡⎢⎣ˆβ 1ˆβ 2ˆβ 3.ˆβ K⎤.⎥⎦El estimador MCO cumple también las condiciones de segundo orden de mínimo, con lo cual es,efectivamente, la solución al problema de minimización de la suma de los residuos al cuadrado.Ejercicio 5.1Sea el modelo de regresión lineal simple donde se regresa Y t sobre X t , incluyendo untérmino independiente.Y t = β 1 + β 2 X t + u tt = 1, . . . , TSin utilizar notación matricial:1. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente al modelo propuesto.2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO de los parámetrosdesconocidos. Deriva las condiciones de primer orden.103

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión3. Obtén las ecuaciones normales correspondientes al modelo.4. Obtén la expresión de ˆβ 1 y ˆβ 2 .Utilizando notación matricial:1. Escribe la expresión matricial del modelo.2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO de los parámetrosdesconocidos. Deriva las condiciones de primer orden.3. Obtén las ecuaciones normales correspondientes al modelo.4. Obtén la expresión del estimador del vector de parámetros desconocidos ˆβ.Ejercicio 5.2Sea el siguiente modelo de regresión lineal simple donde se regresa Y t sobre X t .Y t = βX t + u tt = 1, . . . , TSin utilizar notación matricial:1. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente al modelo propuesto.2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO del parámetrodesconocido. Deriva la condición de primer orden.3. Obtén la ecuación normal del modelo.4. Obtén la expresión de ˆβ.Utilizando matrices escribe la expresión matricial del modelo y obtén la expresión de ˆβ.Algunas equivalencias de notaciónY i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u i i = 1, 2, . . . , N ⇔ Y = Xβ + uE(Y i ) = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki i = 1, 2, . . . , N ⇔ E(Y ) = XβŶ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X 2i + . . . + ˆβ K X Ki i = 1, 2, . . . , N ⇔ Ŷ = X ˆβY i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X 2i + . . . + ˆβ K X Ki + û i i = 1, 2, . . . , N ⇔ Y = X ˆβ + ûû i = Y i − Ŷi i = 1, 2, . . . , N ⇔ û = Y − Ŷ104

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónInterpretación de los coeficientes estimados por MCO• ˆβ 1 = Ê(Y i|X ki = 0, ∀k = 2, . . . , K). Valor esperado estimado de Y i cuando las variablesexplicativas son todas cero.• ˆβ k = ∂ E(Y ̂ i )∂X ki= ∆ E(Y ̂ i )∆X ki∀k = 2, . . . , K. Incremento esperado estimado (ó decremento esperadoestimado) en Y i cuando la variable X k se incrementa en una unidad, manteniéndoseconstantes el resto de las variables explicativas.Ejemplo 5.9Supongamos que se dispone de datos para estimar la relación en Estados Unidos parael periodo 1960-2005 entre el consumo personal, GCP, y el ingreso, PIB, propuesta enel Ejemplo 5.1 y que la regresión estimada es la siguiente:̂ GCP t = −299, 5913 + 0, 721P IB tLa propensión marginal a consumir es 0, 72 lo que indica que cuando el ingreso realse incrementa en un dólar el consumo personal aumenta en 72 centavos. La ordenadaes −299, 5913 lo que indica que si el ingreso es cero el nivel promedio del consumo esnegativo e igual a 299, 59 dólares. No tiene interpretación económica.Si las unidades de ambas variables fuese billones de $: por cada billón de dólares deincremento en el PIB el consumo se incrementaría en 0,721 billones, Luego por cada100 billones de incremento en PIB el consumo se incrementa en 72,1 billones de dólares.Cuando el PIB es cero el consumo es negativo e igual a 299591,3 billones de dólares.Ejemplo 5.10Vamos a retomar ahora el Ejemplo 5.3 donde se analizaban los determinantes del preciode la vivienda. Se dispone de una base de datos sobre el precio de una vivienda y distintascaracterísticas de la misma para 14 viviendas vendidas en la comunidad universitariade San Diego en 1980. Son datos de sección cruzada y la descripción de las variablesdisponibles es 6 :PRICE = precio de venta de la vivienda en miles de dólares (Rango 199,9 - 505)SQFT = pies cuadrados de área habitable (Rango 1065 - 3000)BEDRMS= número de dormitorios (Rango 3 - 4)BATHS = número de baños (Rango 1,74 - 3)Para analizar si el tamaño, el número de habitaciones y el número de baños son factoresque explican o no el precio de la vivienda se especifica el siguiente modelo:P RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + β 3 BEDRMS i + β 4 BAT HS + u i i = 1, . . . , 14 (5.11)6 Fuente: Ramanathan, Ramu (2002) Introductory econometrics with applications. Conjunto de datos data4-1.gdt105

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónPara estimar el modelo se utilizan las observaciones disponibles en el fichero data4-1.gdty que son las siguientes 7 :Obsv. P RICE SQF T BEDRMS BAT HS1 199,9 1065 3 1,752 228,0 1254 3 2,003 235,0 1300 3 2,004 285,0 1577 4 2,505 239,0 1600 3 2,006 293,0 1750 4 2,007 285,0 1800 4 2,758 365,0 1870 4 2,009 295,0 1935 4 2,5010 290,0 1948 4 2,0011 385,0 2254 4 3,0012 505,0 2600 3 2,5013 425,0 2800 4 3,0014 415,0 3000 4 3,00Tabla 5.1: Datos de características de viviendas. Fichero 4-1.gdt.Las estimaciones obtenidas resultan de aplicar el criterio MCO ˆβ = (X ′ X) −1 X ′ Y :⎡ ⎤ ⎡∑ ∑ ∑ ⎤ˆβ 1 ∑14∑ SQF Ti BEDRMSi BAT HSi⎢ˆβ 2⎥⎣ ˆβ 3⎦ = ⎢ SQF Ti SQF T2∑ ∑i SQF TiBEDRMS i SQF TiBAT HS i∑ ∑ ∑⎣ BEDRMSi BEDRMSi SQF T i BEDRMS2∑ ⎥∑i BEDRMSi BAT HS i⎦∑ ∑ ∑ˆβ 4BAT HSi BAT HSi SQF T i BAT HSi BEDRMS i BAT HS2i⎡⎢⎣∑ P RICEi∑ SQF Ti P RICE i∑ BEDRMSiP RICE i∑ BAT HSi P RICE i⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣14 26753 51 3326753 55462515 99193 65699, 7551 99193 189 121, 7533 65699, 75 121, 75 80, 375⎤⎥⎦−1 ⎡⎢⎣4444, 99095985, 516372, 710821, 075⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣−1129, 0620, 1548−21, 5875−12, 1928⎤×⎥⎦• La función de regresión muestral obtenida es:̂ P RICE i = 129, 062 + 0, 1548 SQF T i − 21, 5875 BEDRMS i − 12, 1928 BAT HS i• Interpretación de los signos obtenidos:Los signos obtenidos son los adecuados. Para la variable SQF T el signo es positivoya que manteniendo el resto de variables constantes lógicamente si aumenta el áreahabitable aumentará el precio del piso. Si manteniendo el resto de variables constantela superficie habitada aumenta en un pie cuadrado el precio medio estimado de unavivienda aumentará en 154,8 dólares. También son adecuados los signos para BEDRMSy BAT HS ya que en ambos casos se mantiene constante la superficie habitable por loque se aumenta el número de habitaciones (o baños) a costa de una menor superficie7 Puedes acceder a estos datos ejecutando gretl → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra → EligeRamanathan, el fichero data4-1.gdt.106

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónde éstas, lo cual es lógico que se valore negativamente por el comprador medio. Así,si se aumenta el número de habitaciones, manteniendo constante el número de bañosy la superficie de la vivienda, el precio medio se estima disminuirá en 21.588 dólares.Manteniéndose constante la superficie habitable y el número de habitaciones el hechode tener un baño más redunda en habitaciones más pequeñas por lo que se estima queel precio medio se reducirá en 12.193 dólares.Mediante las estimaciones obtenidas podemos estimar el incremento medio en el preciode la vivienda ante cambios en las variables explicativas. Por ejemplo, si mantenemosel número de baños, tenemos una habitación más y aumenta el área habitable en 500pies cuadrados, el cambio en el precio medio estimado de una vivienda será de 55,812dólares:̂ △ P RICE i = 0, 1548△ SQF T i − 21, 588△ BEDRMS i − 12, 192△ BAT HS i == (0, 1548 × 500) − 21, 588 × 1 − 12, 192 × 0) = 77, 4000 − 21, 588 = 55, 8125.3.2. Propiedades de la Función de Regresión Muestral, FRM1. Los residuos son ortogonales a las variables explicativas: X ′ û = 0 (û ′ X = 0).por las ecuaciones normales.X ′ û = X ′ (Y − Ŷ ) = X′ (Y − X ˆβ) = 02. Los residuos son ortogonales a las estimaciones de la variable endógena: Ŷ ′ û = 0 (û ′ Ŷ = 0).Ŷ ′ û = (X ˆβ) ′ û = ˆβ ′ }{{} X ′ û = 0=0Si el modelo tiene término independiente, es decir, si X 1i = 1, entonces la primera fila de X ′ û esigual a ∑ û i y tenemos que3. La suma de los residuos es cero: ∑ Ni=1 ûi = 0.⎡X ′ û = 0 ⇔⎢⎣∑ ⎤N1 ûi⎥. ⎦∑ N1 X Kiû i∑ N1 X 2iû i∑ N1 X 3iû i⎡=⎢⎣000.0⎤⇒⎥⎦N∑û i = 0i=14. La media muestral de Y es igual a la media muestral de las estimaciones de Y : Ȳ = ¯Ŷ .û i = Y i − Ŷi ⇐⇒ Y i = Ŷt + û i∑Yi = ∑ Ŷ i + ∑ û i} {{ }1N∑Yi = 1 N107=0∑Ŷi =⇒ Ȳ = ¯Ŷ

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5. La FRM pasa por el vector de medias: Ȳ = ˆβ 1 + ˆβ 2 ¯X2 + . . . + ˆβ K ¯XK .N∑û i = 0 ⇔ ∑ (Y i − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2i − . . . − ˆβ K X Ki ) = 0i=1∑Yi − N ˆβ 1 − ˆβ 2∑X2i − . . . − ˆβ K∑XKi = 0∑Yi = N ˆβ 1 + ˆβ 2∑X2i + . . . + ˆβ K∑XKi1 ∑Yi =Nˆβ 1 + ˆβ 12NȲ = ˆβ 1 + ˆβ 2 ¯X2 + . . . + ˆβ K ¯XK∑X2i + . . . + ˆβ 1 ∑K XKiNNota: Las propiedades 1 y 2 se cumplen siempre, mientras que las 3, 4 y 5 se cumplen sólo si elmodelo tiene un término independiente.5.3.3. Medidas de bondad del ajusteDefinimos la variación de la variable Y como la distancia de los valores observados de la variable asu media muestral. La suma de esas variaciones al cuadrado es la variación que se quiere explicarcon la variación de las variables explicativas. Se le denota como SCT y se lee Suma de CuadradosTotal. Lógicamente, el ajuste realizado será mejor cuanto mayor sea la proporción explicada de esavariación.SCT = ∑ (Y i − Ȳ )2 = ∑ Y 2i − NȲ 2 = Y ′ Y − NȲ 2Cuando el modelo tenga término independiente podremos dividir la variación total en dos partes,variación explicada y variación sin explicar.Dado que Y = Ŷ + û, tenemos:Restando en ambos lados NȲ 2 ,Y ′ Y = (Ŷ + û)′ (Ŷ + û) == Ŷ ′ Ŷ + }{{} Ŷ ′ û + }{{} û ′ Ŷ +û ′ û = Ŷ ′ Ŷ + û ′ û=0 =0Y ′ Y − NȲ 2 = Ŷ ′ Ŷ − NȲ 2 + û ′ ûSi el modelo tiene término independiente, Ȳ = ¯Ŷ de donde,Y ′ Y − NȲ 2 = Ŷ ′ Ŷ − N ¯Ŷ 2 + û ′ û∑ 2 Yi − NȲ 2 = ∑ Ŷi2 − N ¯Ŷ 2 + ∑ û 2 i∑(Yi −} {{ Ȳ )2 = ∑ (Ŷi − ¯Ŷ ) 2 + ∑ û 2 i} } {{ } } {{ }SCTSCE SCR108

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónsiendo 8 :SCT = SCE + SCRSCT: Suma de Cuadrados Total, mide la variación total.SCE: Suma de Cuadrados Explicada, mide la variación explicada.SCR: Suma de Cuadrados Residual, mide la variación sin explicar.SCT = ∑ (Y i − Ȳ )2 = Y ′ Y − NȲ 2SCE = ∑ (Ŷi − ¯Ŷ ) 2 = Ŷ ′ Ŷ − NȲ 2SCR = ∑ û 2 i = Y ′ Y − Ŷ ′ Ŷ = Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ YCoeficiente de determinación, R 2 R 2 = SCESCT = 1 − SCRSCT• Si existe término independiente en el modelo el R 2 estará entre los valores 0 y 1. Por la mismarazón si no existe término independiente el R 2 no tiene sentido.• El coeficiente de determinación mide la bondad del ajuste o lo que es lo mismo la variabilidadde la variable endógena explicada con la variabilidad de las variables exógenas. Es unporcentaje.• A mayor R 2 mejor ajuste. Podemos tener la tentación de mejorar el ajuste incluyendo variablesexógenas y este proceder es un error. El problema que presenta el coeficiente de determinaciónes que aumenta o se mantiene constante con la inclusión de nuevas variables explicativas en elmodelo, aunque éstas no contribuyan a explicar la variable endógena. Debido a este problema,se define otra medida de bondad de ajuste, el coeficiente de determinación corregido, ¯R 2 .Coeficiente de determinación corregido, ¯R 2 .¯R 2 = 1 −SCR(N−K)SCT(N−1)= 1 −= 1 −(N − 1) SCR(N − K) SCT(N − 1)(N − K) (1 − R2 )8 En el Anexo 1 incluido en el Apéndice del tema aparecen distintas expresiones de la SCT, SCE y SCR que puedenresultar útiles.109

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Cualquiera que sea el número de variables incluidas en un modelo la SCT será constante ypor tanto si incluimos una nueva variable la SCR será menor y la SCE será mayor.• Dado que ¯R 2 se define como una ponderación del R 2 por los grados de libertad tendrá encuenta estos últimos.• Este coeficiente, penaliza la inclusión de nuevas variables explicativas. Si la nueva variableincluida explica a la variable endógena compensando la pérdida de grados de libertad, esdecir compensando el hecho de estimar un coeficiente más, el ¯R 2 aumenta. Sin embargo si lanueva variable incluida no explica a la variable endógena compensando la pérdida de gradosde libertad el ¯R 2 disminuye.• Si K = 1, R 2 = ¯R 2 .• Si K > 1, ¯R 2 ≤ R 2 .El R 2 y el ¯R2 son sólo dos estadísticos y no deben ser utilizados para comparar la especificaciónde modelos entre sí, sólo los contrastes de hipótesis que se verán más adelante son la herramientaadecuada.Existen otros criterios de selección de modelos: el criterio de información de Akaike (AIC) o loscriterios Bayesiano de Schwarz (BIC) y de Hannan-Quinn (HQC). Estos criterios se calculan enfunción de la suma de cuadrados residual y de algún factor que penalice por la pérdida de gradosde libertad. Un modelo más complejo, con más variables explicativas, reducirá la suma de cuadradosresidual pero aumentará el factor de penalización. Utilizando estos criterios se escogería aquelmodelo con un menor valor de AIC, BIC o HQC. Normalmente no suelen dar la misma elección,siendo el criterio AIC el que elige un modelo con mayor número de parámetros. El cálculo de estoscriterios es algo complejo sin embargo el programa gretl los muestra automáticamente en el outputde regresión. Únicamente los veremos con dicho programa.Coeficientes de correlación El coeficiente de correlación lineal simple mide el grado de asociaciónlineal entre dos variables. Para X e Y se define∑ (Xi − ¯X)(Y i −Ȳ )∑NXi Yrxy = √ ∑(Xi √ i − N− ¯X) ∑(Yi = √ ¯XȲ2 −Ȳ ∑ )2 X2i− N ¯X√ ∑ 2 Y2i− NȲ 2NNEl coeficiente de correlación simple toma valores entre -1 y 1 y su interpretación podéis recordarlarevisando el Tema 1. En el MRLG tendremos una matriz de coeficientes de correlación habitualmentedenotada por R:⎡⎤r 11 r 12 . . . r 1Kr 21 r 22 . . . r 2KR = ⎢⎣.. . ..⎥. ⎦r K1 r K2 . . . r KKLa matriz de correlación R se define como aquella matriz cuyos elementos son el coeficiente decorrelación simple entre dos variables i y j, tal que:110

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• r 1k representa la correlación entre Y y X kk = 1, 2, . . . K• r kk = 1, los elementos de la diagonal principal son todos unos. Muestran la correlación de unavariable consigo misma.• r kh , muestran la correlación de la variable exógena k con la variable exógena h.• Además es una matriz simétrica.En el modelo lineal general la correlación entre Y y X 2 no está adecuadamente recogida por elcoeficiente de correlación simple ya que parte de la variación de Y será debida al resto de variablesexógenas. Será necesario descontar este efecto tanto de Y como de X 2 . Por ejemplo, en el modeloY i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u ipara estudiar la influencia de X 2 en Y utilizaremos el coeficiente de correlación parcial entre Y yX 2 que mide la correlación que queda entre estas dos variables después de eliminar el efecto de X 3sobre Y y sobre X 2 .r 12·3 =r 12 − r 13 r 23√1 − r213√1 − r223Ejemplo 5.11Con los datos de la Tabla 5.1 y los resultados de la estimación del modelo (5.11) calculamosel coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación corregido:SCT = Y ′ Y − NȲ 2 = 1512980 − 14 × 317, 493 2 = 101754, 7293SCR = Y ′ Y − ˆβX ′ Y = 1512980 − 1496279, 9 = 16700, 1R 2 = 1 − SCRSCT = 1 − 16700, 1 = 0, 835976101754, 7293¯R 2 (N − 1)= 1 −(N − K) (1 − R2 ) = 1 − 14 − 1 (1 − 0, 835976) = 0, 78676914 − 4Luego el 83, 59 % de la variabilidad en el precio de la vivienda queda explicada por lavariabilidad del tamaño de la vivienda, el número de dormitorios y el número de baños.Es un ajuste bastante alto. El ¯R 2 se interpreta de igual manera.También podemos calcular la matriz de correlaciones entre SQF T, BEDRMS y BAT HS:⎡1, 0 0, 4647⎤0, 7873R = ⎣ 1, 0 0, 5323 ⎦1, 0Luego las variables exógenas están correlacionadas positivamente entre sí. El coeficientemás alto es el coeficiente de correlación simple entre SQF T y BAT HS.111

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.4. Propiedades de los estimadores MCOEl método de MCO es sólo uno de los posibles métodos de estimación, la pregunta es ¿cómopodemos elegir entre estimadores? obviamente en base a sus propiedades sobre su comportamientoen muestras repetidas. Estas propiedades son insesgadez, varianza pequeña y error cuadrático medioy ya se trataron en el Tema 2.Insesgadez Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el verdadero valor delparámetro. Sea ˆθ un estimador del parámetro θ, será insesgado si E(ˆθ) = θ.Varianza mínima Desearemos que la varianza de un estimador sea lo más pequeña posible ya quecuanto menor sea la varianza muestral mayor es la precisión del estimador.Si estamos comparando dos estimadores insesgados elegiremos aquel que tenga la menor varianza.Pero si estamos comparando dos estimadores sesgados o un estimador sesgado y uno insesgado estecriterio no nos sirve y debemos introducir uno nuevo, el concepto de error cuadrático medio.Error cuadrático Medio (ECM) ECM(ˆθ) = E(ˆθ − θ) 2 = V (ˆθ) + Sesgo(ˆθ) 2 donde Sesgo(ˆθ) =E(ˆθ) − θ. En base a este criterio elegimos el estimador con menor ECM.5.4.1. Propiedades de los estimadores MCOSea el modelo de regresión lineal generalY = Xβ + u u ∼ NID(0, σ 2 I N )donde se cumplen todas las hipótesis básicas. El estimador MCO de los coeficientestiene las siguientes propiedades:• Es lineal en las perturbaciones.• Es insesgado.ˆβ = (X ′ X) −1 X ′ Y• Tiene varianza mínima entre todos los estimadores lineales e insesgadosDemostración:• Linealidad. Como las variables explicativas son no aleatorias, la única variable aleatoria desu expresión es la perturbación, luego el estimador MCO es una combinación lineal de lasperturbaciones.ˆβ = (X ′ X) −1 X ′ Y == (X ′ X) −1 X ′ (Xβ + u) == β + (X ′ X) −1 X ′ u112

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Insesgadez. Dado que:E(u) = 0y la matriz X es no aleatoria,ˆβ MCO es insesgado, es decir, su valor esperado es igual al vector de coeficientes del modelo.• Varianza mínima. Dado que:E(u) = 0E(uu ′ ) = σ 2 I Ny la matriz X es no aleatoria,E( ˆβ) = E(β + (X ′ X) −1 X ′ u) == E(β) + (X ′ X) −1 X ′ E(u) = β} {{ }=0V ( ˆβ) = E[( ˆβ − E( ˆβ))( ˆβ − E( ˆβ)) ′ ] == E[( ˆβ − β)( ˆβ − β) ′ ] =[ [(X= E ′ X) −1 X ′ u ] [ (X ′ X) −1 X ′ u ] ] ′== E[(X ′ X) −1 X ′ uu ′ X(X ′ X) −1 ] == (X ′ X) −1 X ′ E[uu ′ ] X(X ′ X) −1 == (X ′ X) −1 X ′ σ 2 I N X(X ′ X) −1 == σ 2 (X ′ X) −1 X ′ X(X ′ X) −1 == σ 2 (X ′ X) −1Esta matriz de varianzas y covarianzas es mínima y nos lo garantiza el Teorema de Gauss-Markov.⎡V ( ˆβ 1 ) Cov( ˆβ 1 , ˆβ 2 ) Cov( ˆβ 1 , ˆβ 3 ) · · · Cov( ˆβ 1 , ˆβ ⎤K )Cov(V ( ˆβ)ˆβ 2, ˆβ 1) V ( ˆβ 2) Cov( ˆβ 2, ˆβ 3) · · · Cov( ˆβ 2, ˆβ K)=Cov(⎢ˆβ 3 , ˆβ 1 ) Cov( ˆβ 3 , ˆβ 2 ) V ( ˆβ 3 ) · · · Cov( ˆβ 3 , ˆβ K )(K × K) ⎣.... ... ⎥ .. ⎦ =Cov( ˆβ K , ˆβ 1 ) Cov( ˆβ K , ˆβ 2 ) Cov( ˆβ K , ˆβ 3 ) · · · V ( ˆβ K )⎡= σ 2 ⎢⎣⎤a 11 a 12 a 13 · · · a 1Ka 21 a 22 a 23 · · · a 2Ka 31 a 32 a 33 · · · a 3K.. . . ..⎥. ⎦a K1 a K2 a K3 · · · a KK= σ 2 (X ′ X) −1donde a kk es el elemento (k, k) de (X ′ X) −1 . Como toda matriz de varianzas y covarianzas, essimétrica.113

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónTeorema de Gauss-Markov: Dados los supuestos básicos del modelo de regresión lineal general,“dentro de la clase de estimadores lineales e insesgados, ˆβ es el estimador eficiente, es decir, ˆβ tienemínima varianza”.5.4.2. Estimación de la varianza de las perturbacionesEn la matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO aparece la varianza de las perturbaciones,lo habitual es que sea desconocida y haya de ser estimada. Habitualmente se utiliza el siguienteestimador insesgado 9 de σ 2 :ˆσ 2 =û′ ûN − K =SCRN − K =∑û2 iN − Ky E(ˆσ 2 ) = σ 2Por tanto podremos utilizarlo como el estimador apropiado de la varianza de la perturbación. Paratrabajar con él es útil escribirlo en términos de las variables observables mediante las matrices Y ,X, así:ˆσ 2 =û ′ ûN − K = Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ YN − K= Y ′ Y − ˆβX ′ X ˆβN − KBajo las hipótesis básicas, un estimador insesgado de la matriz de varianzas y covarianzas,de ˆβ MCO eŝV ( ˆβ MCO ) = ˆσ 2 (X ′ X) −1Ejemplo 5.12Con los datos de la Tabla 5.1 y los resultados de la estimación del modelo (5.11) secalcula la siguiente matriz de varianzas y covarianzas estimada:ˆσ 2 = Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ YN − K=1513039, 0100 − 1496338, 941414 − 4= 1670, 0069̂V ( ˆβ MCO ) = 1670, 0069 × ⎢⎣=⎡⎢⎣⎡14 26753 51 3326753 55462515 99193 65699, 7551 99193 189 121, 7533 65699, 75 121, 75 80, 3757797, 47 0, 670891 −1677, 13 −1209, 370, 670891 0, 00102019 −0, 0754606 −0, 995066−1677, 13 −0, 0754606 730, 585 −356, 4−1209, 37 −0, 995066 −356, 4 1870, 56⎤⎥⎦⎤⎥⎦−1=9 En el Anexo 2 incluido en el Apéndice del Tema aparece demostrada la insesgadez de ˆσ 2 .114

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.3Supongamos que en la regresión mínimo cuadrática ordinaria de Y sobre X el coeficienteestimado de X es 1.2. Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando lasrespuestas:1. Tomando distintas muestras para la variable Y pueden obtenerse otras estimaciones.2. La distribución de estas estimaciones debe estar centrada en torno al verdaderovalor 1.2.Ejercicio 5.4Obtener la esperanza matemática y varianza del siguiente estimador del parámetro dependiente en el MLS cuando se cumplen todas las hipótesis básicas:donde c es una constante arbitraria.˜β = ˆβ MCO + c NEjercicio 5.5Se quiere estimar un modelo que explique el ahorro generado, S, en función del tipo deinterés, r, de la forma:S t = α + βr t + u t1. Para estimar con mayor precisión β, si pudieras elegir la muestra en diferentesperíodos, ¿la elegirías durante un período de tiempo en el cual los tipos de interésfueran fluctuantes o durante un período en el cual los tipos de interés fueranrelativamente constantes?2. ¿Qué ocurriría con los estimadores MCO de los coeficientes de la regresión si elahorro ha fluctuado muy poco en torno a un valor constante durante el períodomuestral?Ejercicio 5.6Supongamos que la relación entre las variables X e Y es la siguiente Y t = βX t + u tdonde X es una variable no estocástica y u t ∼ NID(0, σ 2 ). Se definen dos estimadorespara el parámetro desconocido β:β ∗ =∑ Yt ∑ Xtˆβ =∑ Xt Y t ∑ X 2t1. Demuestra que ambos estimadores son insesgados.2. ¿Cuál de los dos estimadores elegirías? ¿Por qué?115

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.7Para el vector de perturbaciones u de orden (T × 1), indica el significado de cada unade las siguientes expresiones y establece su relación con σ 2 :1.1T u′ u2.1T û′ û3. E(û ′ û)4. E(ûû ′ )5.4.3. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: colinealidadA la hora de estimar un modelo económico, los datos disponibles sobre las variables explicativas oregresores pueden presentar un alto grado de correlación, especialmente en un contexto de seriestemporales y con series macroeconómicas.Cuando dos o más variables explicativas de un modelo están altamente correlacionadas en la muestra,es muy difícil separar el efecto parcial de cada una de estas variables sobre la variable dependiente.La información muestral que incorpora una de estas variables es casi la misma que el resto de lascorrelacionadas con ella. En este tema analizaremos las implicaciones que este fenómeno muestraltiene en la estimación por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios.• El problema de multicolinealidad es un problema relacionado con la matriz de variables exógenasX .• Se refiere no tanto a si existe o no relación lineal entre las variables exógenas del modelo deregresión, que existirá, como al grado de correlación lineal entre las variables explicativas delmodelo de regresión lineal.• En todo momento nosotros vamos a suponer que tenemos un modelo correctamente especificadoy que al estimarlo detectamos los problemas en la matriz de datos X. Así, estamosenfocando el problema como un problema muestral.• Podemos distinguir dos casos:• Multicolinealidad exacta: se produce cuando existe una relación lineal exacta.• Alta colinealidad: cuando la correlación entre las variables exógenas es muy alta pero noexacta.Multicolinealidad exactaPara verlo más claramente vamos a seguir un ejemplo. Sea el modelo:Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u i i = 1, . . . , N (5.12)116

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióny supongamos que X 3i = 2X 2i . Las ecuaciones normales que se obtienen del criterio de estimaciónMCO forman un sistema de tres ecuaciones pero solo dos son linealmente independientes:∑Yi = N ˆβ 1 + ˆβ 2∑X2i + ˆβ 3∑X3i∑Yi X 2i = ˆβ 1∑X2i + ˆβ 2∑ X22i + ˆβ 3∑X3i X 2i∑Yi X 3i = ˆβ 1∑X3i + ˆβ 2∑X2i X 3i + ˆβ 3∑ X23iya que si sustituimos en estas ecuaciones la relación lineal exacta X 3i = 2X 2i y reorganizamos,obtenemos:∑Yi = N ˆβ 1 + ( ˆβ 2 + 2 ˆβ 3 ) ∑ X 2i∑Yi X 2i = ˆβ 1∑X2i + ( ˆβ 2 + 2 ˆβ 3 ) ∑ X 2 2i2 ( ∑ Y i X 2i ) = 2(ˆβ1∑X2i + ( ˆβ 2 + 2 ˆβ 3 ) ∑ X 2 2i)Se puede observar que la tercera ecuación es la misma que la segunda excepto por un factor de escalaigual a 2. Por lo tanto, hay tres incógnitas ˆβ 1 , ˆβ 2 y ˆβ 3 pero solamente dos ecuaciones linealmenteindependientes. Dado que X 3i y X 2i son combinación lineal exacta rg(X) = K − 1 = 3 − 1 = 2,luego X no es de rango completo y no se cumple una de las hipótesis básicas, la hipótesis de NoMulticolinealidad. Consecuentemente, no es posible estimar de forma única todos los coeficientes delmodelo. Ahora bien, las dos primeras ecuaciones si podemos resolverlas para ˆβ 1 y la combinaciónlineal ( ˆβ 2 + 2 ˆβ 3 ).Esto mismo se puede comprobar sustituyendo X 3i = 2X 2i en el modelo (5.12).Y i = β 1 + (β 2 + 2β 3 )X 2i + u i i = 1, 2, . . . , N (5.13)donde podemos estimar de forma separada y única el coeficiente β 1 y la combinación lineal ( ˆβ 2 +2 ˆβ 3 )pero no cada uno de sus parámetros de forma individual. Además no importa la solución arbitrariade las ecuaciones normales, esta combinación lineal tiene siempre un único valor y siempre el mismo.• Consecuencias de la multicolinealidad exacta:• Los efectos directos de la correlación exacta entre regresores es que el valor del determinante|X ′ X| = 0, por tanto no podemos encontrar (X ′ X) −1 y por tanto, no podemos estimar elmodelo por MCO ya que el estimador se define como ˆβ MCO = (X ′ X) −1 X ′ Y .• En este caso lo que ocurre es que tenemos combinaciones lineales en las columnas de la matrizX con lo que rg(X) ≠ K por lo que (X ′ X) es una matriz singular.• Relajamos la hipótesis básica:rg(X) ≠ K tal que rg(X) ≠ K ⇒ |X ′ X| = 0 ⇏ ∃(X ′ X) −1117

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Cuando la correlación entre regresores es perfecta el problema de multicolinealidad exactase convierte en un problema de especificación ya que no podemos estimar todos losparámetros del modelo de forma individual. Podremos estimar:• individualmente: aquellos parámetros cuyas variables exógenas no están afectadas decorrelación exacta con otras variables exógenas del modelo y• combinaciones lineales de los parámetros cuyas variables exógenas están implicadas enlas relaciones lineales exactas.• Detección: basta con ver que |X ′ X| = 0.Alta colinealidadEn este caso el valor del |X ′ X| está muy próximo a cero, pero será distinto de cero, por tanto∃(X ′ X) −1 y podremos calcular los estimadores MCO. Además estos estimadores serán lineales,insesgados y de varianza mínima. Sin embargo la existencia de alta colinealidad entre variablesproduce efectos importantes que deben ser tenidos en cuenta y que son los siguientes:• Varianzas y covarianzas cuantitativamente muy grandes:Dado que (X ′ X) es casi singular, el valor de |X ′ X| será muy pequeño, por lo que, (X ′ X) −1tendrá elementos muy grandes. Así, encontraremos varianzas y covarianzas muy grandes,pero estos valores serán los más pequeños que podemos encontrar en estas circunstancias.Cualquier otro estimador tendrá varianza mayor y por tanto el estimador MCO seguirá siendode varianza mínima. Aunque como consecuencia del tamaño de (X ′ X) −1 , las estimaciones seanmuy imprecisas 10 .• Como consecuencia de lo anterior, podremos encontrar R 2 grandes, que indican que las variablesexógenas conjuntamente explican mucho de la variabilidad de la variable endógena,unidos a variables explicativas que aportan poco a explicar esta variabilidad.• Pequeños cambios en los datos producen cambios importantes en las estimaciones de losparámetros.¿Cómo podemos analizar si existe un problema de alta colinealidad?• Una primera aproximación consiste en obtener los coeficientes de correlación muestral simplespara cada par de variables explicativas y ver si el grado de correlación entre estas variables esalto.• El valor del determinante decrece cuando aumenta la colinealidad, tendiendo a cero cuandoesta se hace exacta. Este hecho podemos interpretarlo como un aviso pero no tenemos unamedida que nos permita afirmar cuando es grave o muy grave.10 Como veremos en la sección de Contraste de hipótesis el mayor tamaño de las varianzas hará que aumentela probabilidad de no rechazar la hipótesis nula de significatividad individual, cuando en realidad la variable seasignificativa, sólo que los datos no permiten detectar esta significatividad.118

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Valores altos del R 2 y en (X ′ X) −1 , especialmente en su diagonal.• Otra forma de detectar la multicolinealidad consiste en realizar la regresión de cada unade las variables explicativas sobre el resto 11 y analizar los coeficientes de determinación decada regresión. Si alguno o algunos de estos coeficientes de determinación (Rj 2 ) son altos,estaría señalando la posible existencia de un problema de multicolinealidad.• Belsley, Kuh y Welsch (1980) consideran una serie de indicadores para analizar el grado demulticolinealidad entre los regresores de un modelo, como por ejemplo los llamados Tolerancia(TOL) y Factor de Inflación de la Varianza (VIF) que se definen:V IF j =1( ) T OL j = 11 − Rj2 V IF jsiendo R 2 j el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar de la variable X j sobre elresto de las variables explicativas y 1 ≤ V IF j ≤ ∞.La varianza de cada uno de los coeficientes de la regresión MCO ( ˆβ j ) de un modelo de regresiónlineal general se puede expresar como:var( ˆβ j ) =σ 2 1∑ (Xji − ¯X) 2( ) =j 1 − Rj2σ 2∑ (Xji − ¯X j) 2V IF jdonde β j , es el coeficiente que acompaña a la variable X j y Rj 2 es el coeficiente de determinaciónde la regresión auxiliar de la variable X j en función del resto de las variables explicativas. Comovemos existe una relación inmediata entre el valor V IF j y la varianza del coeficiente estimado.Cuanto más se acerque Rj 2 a la unidad, es decir, cuanto mayor sea la colinealidad de la variableX j con el resto, mayor es el valor de V IF j y mayor es la varianza del coeficiente estimado,porque tal y como hemos dicho, la multicolinealidad “infla” la varianza. Según estos autores,si V IF j > 10, entonces concluiremos que la colinealidad de X j con las demás variables es alta.La utilización de los coeficientes T OL y V IF para detectar la presencia de la multicolinealidadha recibido múltiples críticas, porque la conclusión obtenida con estos valores no siempre recogeadecuadamente la información y problema de los datos. Tal y como hemos visto anteriormente,las varianzas de los estimadores dependen del V IF j , σ 2 y ∑ ( X ji − ¯X j) 2, por lo que un altoV IF j no es condición suficiente ni necesaria para que dichas varianzas sean elevadas ya quees posible que σ 2 sea pequeño o ∑ ( X ji − ¯X j) 2 grande y se compensen.En la literatura se han propuesto muchas soluciones al posible problema de alta colinealidad yninguna de ellas es totalmente satisfactoria, por ello parece sensato aprender a convivir con elproblema y tener cuidado de no omitir aquellas variables que esconden su significatividad bajo unproblema de colinealidad y no incurrir así en un problema de mala especificación. Aunque no esfácil, se pueden considerar las siguientes “soluciones” para intentar resolver el problema:• Si realmente es un problema muestral, una posibilidad es cambiar de muestra porque puedeser que con nuevos datos el problema se resuelva, aunque esto no siempre ocurre. La idea11 En cada regresión se incluye el término constante como regresor pero no como variable dependiente.119

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónconsiste en conseguir datos menos correlacionados que los anteriores, bien cambiando toda lamuestra o simplemente incorporando más datos en la muestra inicial. De todas formas, nosiempre resulta fácil obtener mejores datos por lo que muy probablemente debamos convivircon el problema teniendo cuidado con la inferencia realizada y las conclusiones de la misma.• En ocasiones, si se incorpora información a priori sobre los coeficientes del modelo desapareceel problema. Aún así, sería conveniente tener en cuenta dicha información antes de la deteccióndel problema de multicolinealidad y no posteriormente, ya que así estimaremos el modelo máseficientemente.Ejercicio 5.8Comenta la siguiente afirmación:“Si al estimar un modelo de regresión lineal la matriz de datos presenta un alto gradode multicolinealidad, la varianza de los estimadores MCO será muy grande y, por tanto,serán ineficientes.”Ejercicio 5.9Supón que se formula el siguiente modelo:Y t = β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 (X 1t + X 2t ) + β 4 X 2 1t + u t u t ∼ N(0, σ 2 ) (5.14)1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no.2. Supón que conocemos el valor que toma el parámetro β 3 , por ejemplo β 3 = β 30 .Indica si esta información adicional varía la conclusión anterior.Ejercicio 5.10Supón que se formula el siguiente modelo:Y t = α 0 + α 1 X 1t + α 2 (7X 1t ) + α 3 X1t 2 + u t (5.15)1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no.2. Explica intuitivamente porqué no podemos estimar todos los coeficientes.5.4.4. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: omisión de variablesrelevantes e inclusión de variables irrelevantesDentro de las hipótesis básicas hemos supuesto que el modelo estaba correctamente especificado,esto en ocasiones no es así bien porque faltan variables (omisión de variables relevantes) o porquehay más de las necesarias (inclusión de variables irrelevantes). Estas situaciones influyen en laspropiedades del estimador MCO y es necesario tenerlo en cuenta.120

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónOmisión de variables relevantesSuponemos que el modelo correctamente especificado es:Y = Xβ + u = [ X 1 X 2 ][β1β 2]+ u = X 1 β 1 + X 2 β 2 + u (5.16)donde X 1 es una submatriz de orden (N × K 1 ) y X 2 es una submatriz de orden (N × K 2 ) y portanto β 1 es un subvector de orden (K 1 × 1) y β 2 es un subvector de orden (K 2 × 1). Pero nosotrosestimamos el siguiente modelo incorrectamente especificado:Y = X 1 β 1 + v donde v = X 2 β 2 + u (5.17)El modelo (5.17) incurre en un error de especificación ya que se omiten las variables relevantesrecogidas en X 2 . Esto es lo mismo que imponer la restricción vectorial β 2 = 0 cuando no es cierta.El estimador MCO de β 1 es ˆβ 1 = (X ′ 1 X 1) −1 X ′ 1 Y , y ˆv = Y − X 1 ˆβ 1 . Consecuencias:• En general los estimadores son sesgados:E( ˆβ 1 ) = E((X ′ 1X 1 ) −1 X ′ 1Y ) = β 1 + (X ′ 1X 1 ) −1 X ′ 1X 2 β 2Sesgo( ˆβ 1 ) = (X 1 ′ X 1) −1 X 1 ′ X 2β 2 y se anulara si X 1 ′ X 2 = 0, es decir, si las variables omitidasson ortogonales a las no omitidas. Notar que el sesgo se anula también para β 2 = 0 pero estaes una solución trivial dado que al ser X 2 regresores relevantes necesariamente β 2 ≠ 0.• Las matriz de varianzas y covarianzas es V ( ˆβ 1 ) = σ 2 (X ′ 1 X 1) −1• El estimador de la varianza de la perturbación es sesgado, y lo es siempre incluso cuando losregresores son ortogonales:ˆσ 2 =ˆv′ˆv −→ E(ˆσ 2 ) = E(ˆv′ˆv) ≠ σ 2N − K 1 N − K 1Inclusión de variables irrelevantesEste caso formalmente es justo el inverso del anterior. El modelo correctamente especificado es:y el modelo estimado es:Y = X 1 β 1 + u u ∼ N(0, σ 2 I) (5.18)Y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + v (5.19)donde aparecen las variables irrelevantes en la matriz X 2 de orden (N × K 2 ) con unos coeficientes,β 2 , de orden (K 2 × 1), que son cero, poblacionalmente. Consecuencias:• Los estimadores de los coeficientes son insesgados. Podemos escribir el modelo correcto como:Y = X 1 β 1 + X 2 0 + u (5.20)121

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión[ ] ˆβ1Eˆβ 2( [β1= E0[ ]β1= +0] [ X′+ 1 X 1 X 1 ′ X 2X 2 ′ X 1 X 2 ′ X 2[ X′1 X 1 X ′ 1 X 2X ′ 2 X 1 X ′ 2 X 2] −1 [ X′1 uX ′ 2 u ] ) =] −1 [ ] X′1 E(u)X 2 ′ } {{ E(u) =}0[β10]ya que X es fija y E(u) = 0. Por lo tanto, el estimador de (5.19) sigue siendo insesgadoaunque se incluyan variables irrelevantes.• Las matriz de varianzas y covarianzas es V( ˆβ) = σ 2 (X ′ X) −1• El estimador de la varianza de las perturbaciones del modelo (5.19) es un estimador insesgadode σ 2 ˆσ 2 ˆv ′ˆv=N − (K 1 + K 2 )5.5. Utilización de variables explicativas cualitativasA lo largo del curso se han especificado mayoritariamente modelos con variables de naturalezacuantitativa, es decir, aquéllas que toman valores numéricos. Sin embargo, las variables tambiénpueden ser cualitativas, es decir, pueden tomar valores no numéricos como categorías, clases oatributos. Por ejemplo, son variables cualitativas el género de las personas, el estado civil, la raza,el pertenecer a diferentes zonas geográficas, momentos históricos, estaciones del año, etc. De estaforma, el salario de los trabajadores puede depender del género de los mismos; la tasa de criminalidadpuede venir determinada por la zona geográfica de residencia de los individuos; el PIB de los paísespuede estar influenciado por determinados acontecimientos históricos como las guerras; las ventasde un determinado producto pueden ser significativamente distintas en función de la época del año,etc. En esta sección, aunque seguimos manteniendo que la variable dependiente es cuantitativa,vamos a considerar que ésta puede venir explicada por variables cualitativas y/o cuantitativas yveremos como trabajar con ellas incluyéndolas como regresores en el MRLG.Dado que las categorías de las variables no son directamente cuantificables, las vamos a cuantificarconstruyendo unas variables artificiales llamadas ficticias, binarias o dummies, que son numéricas.Estas variables toman arbitrariamente el valor 1 si la categoría está presente en el individuo y 0 encaso contrario 12 .{ 1 si la categoría está presenteD i =0 en caso contrarioPor ejemplo si queremos estudiar la dependencia del salario (W i ) con respecto al sexo del individuodefiniremos dos variables ficticias:12 Las variables ficticias pueden tomar dos valores cualesquiera, sin embargo, la interpretación de los coeficientes esmás sencilla si se consideran los valores 0 y 1.122

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión{ 1 si el individuo i es hombreS 1i =0 en caso contrarioS 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrariola variable sexo tiene dos categorías o estados de la naturaleza: hombre y mujer, para recogerlosutilizamos dos variables ficticias que dividen la muestra en dos clases hombres y mujeres, y asignamosun valor arbitrario a cada clase 13 .En este tema ya hemos trabajado con ellas, el Ejemplo 5.4 especificamos la función de salario enfunción del regresor cualitativo sexo e interpretamos sus parámetros. En el Ejemplo 5.5 ademásse añadió un regresor cuantitativo, la experiencia y se interpretaron los parámetros. Si se retomandichos ejercicios se puede ver que trabajar con variables cualitativas o con variables cuantitativas ala hora de interpretar los coeficientes de la regresión y estimarlos es indiferente sin embargo hay quetener en cuenta algunas reglas a la hora de especificar el modelo. A conocer éstas vamos a dedicarlas secciones siguientes.5.5.1. Modelo que recoge sólo efectos cualitativos: comparando medias. Sólo un conjuntode variables ficticias.Supongamos que tenemos datos de salarios de hombres y mujeres, W i y creemos que, en media,existen diferencias salariales entre estos dos grupos. Para contrastar que esto es cierto podemosrecoger el efecto cualitativo sexo sobre el salario utilizando las variables ficticias:{ 1 si el individuo i es hombreS 1i =0 en caso contrarioS 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrarioy podemos especificar el siguiente modelo como ya se hizo en el Ejemplo 5.4:W i = β 1 + β 2 S 2i + u i i = 1, . . . , N H + N M u i ∼ NID(0, σ 2 ) (5.21)β 1 es el salario esperado cuando el individuo eshombre, β 1 +β 2 es el salario esperado de una mujery β 2 recoge el efecto diferencial en el salarioesperado entre hombres y mujeres. Si no existieradiscriminación salarial por sexo, es decir sihombres y mujeres tuvieran el mismo salario, suvalor sería cero. En el gráfico podemos observarestos efectos donde se supone que β 2 es positivopor razones didácticas.• Estimación del modelo (5.21):W i = β 1 + β 2 S 2i + u iWβ 1β 1 + β 2i = 1, . . . , N H + N Mi13 Elegir{los valores (0,1) es muy cómodo pero{podríamos elegir otros, por ejemplo:1 si el individuo i es hombre2 si el individuo i es mujerS 1i =S0 en caso contrario2i =0 en caso contrario123

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión[WH]=W M[ ] [ ] [ ]iH 0 β1 uH+ ⇒ Y = Xβ + ui M i M β 2 u MNotación utilizada: N H es el número de individuos varones y N M el número de mujeres. W H , W Mson vectores columna que recogen los salarios de hombres y mujeres, por tanto de orden N H × 1 yN M ×1, respectivamente. i H , i M son vectores de unos de tamaño N H ×1 y N M ×1 respectivamente.ˆβ MCO = (X ′ X) −1 X ′ Y[ ] [[ ˆβ1 i′= Hi ′ Mˆβ 2 0 i ′ M=] [iH 0i M i M]] −1 [ i′Hi ′ M0 i ′ M[NH + N M N MN M N M] −1 [ ∑WH + ∑ W M∑WM]=] [ ]WH=W M[ ¯WH¯W M − ¯W H]que sería el equivalente a estimar cada ecuación por separado, en las dos ecuaciones a las que dalugar el modelo (5.21):W i = β 1 + u i i = 1, . . . , N H para los hombresW i = β 1 + β 2 + u i i = 1, . . . , N M para las mujeres• Alternativa de especificación del modelo (5.21):W i = α 1 S 1i + α 2 S 2i + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.22)de donde suponiendo u i ∼ NID(0, σ 2 )α 1 = E(W i |S 1i = 1; S 2i = 0) es el salario esperado de un hombreα 2 = E(W i |S 1i = 0; S 2i = 1) es el salario esperado de una mujerpor tanto estos coeficientes recogen el salario medio dentro del grupo.• Estimación del modelo (5.22):W i = α 1 S 1i + α 2 S 2i + u ii = 1, . . . , N H + N M[WH]=W M[ ] [ ] [ ]iH 0 α1 uH+ ⇒ Y = Xβ + u0 i M α 2 u Mˆβ MCO = (X ′ X) −1 X ′ Y[ ] [[ ˆα1 i′= H0ˆα 2 0 i ′ M] [iH 0]] −1 [ i′H00 i M 0 i ′ M124] [ ]WH=W M

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión=[ ] −1 [ ∑ ] [ ∑ ] [ ]NH 0 ∑ WH= ∑ WH /N H ¯WH=0 N M WM WM /N M¯W MŴ i = ˆα 1 S 1i + ˆα 2 S 2i = ¯W H S 1i + ¯W M S 2iLos mismos resultados se obtendrían si hubiésemos estimados las ecuaciones por separado en lasdos ecuaciones a que da lugar el modelo (5.22):W i = α 1 + u i i = 1, . . . , N H y W i = α 2 + u i i = 1, . . . , N HAdemás la relación entre los parámetros del modelo (5.21) y los del modelo (5.22) es la siguiente:β 1 = α 1 β 1 + β 2 = α 2 luego β 2 = α 2 − α 1Ejercicio 5.11Interpreta los coeficientes de la siguiente regresión:W i = β 1 S 1i + β 2 + u i i = 1, . . . , N H + N M u i ∼ NID(0, σ 2 )donde W i es el salario del individuo i y{ 1 si el individuo i es hombreS 1i =0 en caso contrarioS 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrario¿Qué diferencia hay entre ésta especificación y la especificación del modelo (5.21)?Ejercicio 5.12Interpreta los coeficientes de la regresión:W i = α 0 + α 1 S 1i + α 2 S 2i + u ii = 1, . . . , N H + N Mdonde W i es el salario del individuo i y{ 1 si el individuo i es hombreS 1i =0 en caso contrarioS 2i ={ 1 si el individuo i es mujer0 en caso contrario¿Puedes estimarlos todos? ¿Qué problema existe en el modelo anterior? ¿Se cumplentodas las hipótesis básicas?125

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.5.2. Dos o más conjuntos de variables ficticiasSupongamos que pensamos que en el nivel de salarios influye además del sexo el nivel de educación.Para recoger estos efectos podemos definir dos conjuntos de variables ficticias, sexo y educación, laprimera con dos categorías o estados de la naturaleza y la segunda con tres, y recoger cada categoríao estado de la naturaleza con un variable ficticia. Así, definimos:{ 1 si el individuo i es hombreS 1i ={0 en caso contrario1 si el individuo i es mujerS 2i =0 en caso contrario{ 1 si i tiene hasta estudios primariosE 1i ={0 en caso contrario1 si i tiene hasta estudios secundariosE 2i ={0 en caso contrario1 si i tiene hasta estudios universitariosE 3i =0 en caso contrariosiendo E ij sucesos excluyentes. La especificación correspondiente es:W i = µ + α 2 S 2i + β 2 E 2i + β 3 E 3i + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.23)donde para evitar problemas de multicolinealidad exacta hemos excluido una categoría de cadafactor cualitativo. Podemos obtener el salario esperado de los diferentes individuos de la muestra:E(W i /S 2i = E 2i = E 3i = 0) = µ, salario esperado de un hombre con estudios primarios.E(W i /E 2i = 1; S 2i = E 3i = 0) = µ + β 2 , salario esperado de un hombre con estudios secundarios.E(W i /E 3i = 1; S 2i = E 2i = 0) = µ + β 3 , salario esperado de un hombre con estudios universitarios.E(W i /S 2i = 1; E 2i = E 3i = 0) = µ + α 2 , salario esperado de una mujer con estudios primariosE(W i /S 2i = E 2i = 1; E 3i = 0) = µ + α 2 + β 2 , salario esperado de una mujer con estudios secundarios.E(W i /S 2i = E 3i = 1; E 2i = 0) = µ + α 2 + β 3 , salario esperado de una mujer con estudios universitarios.Esta información podemos resumirla en la siguiente tabla:E(W i ) E 1i E 2i E 3iS 1i µ µ + β 2 µ + β 3S 2i µ + α 2 µ + α 2 + β 2 µ + α 2 + β 3y podemos interpretar los parámetros como sigue:µ Base de comparación.α 2 Efecto diferencial en el salario medio debido al factor sexo. Por tanto es el diferencial enel salario medio entre hombres y mujeres independientemente de su nivel de educación.β 2 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios.Por tanto es el diferencial en el salario medio, para hombres y mujeres, entre tener unnivel de estudios primarios y tener secundaria.β 3 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios.Por tanto es el diferencial en el salario medio, para hombres y mujeres, entre tener unnivel de estudios primarios y tener estudios universitarios.126

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa matriz de regresores del modelo sería:⎡X =⎢⎣⎤i N1 0 0 0i N2 0 i N2 0i N3 0 0 i N3i N4 i N4 0 0⎥i N5 i N5 i N5 0 ⎦i N6 i N6 i N6 i N6donde i Nj es un vector de unos de tamaño el número de individuos que cumplen las condiciones,por ejemplo i N6 es un vector de unos de tamaño el número de mujeres con estudios universitarios.Cuando existen dos o más conjuntos de variables ficticias lo que no debemos hacer es incluir todaslas variables ficticias y un término independiente. En el caso anterior tenemos dos conjuntos condos y tres estados de la naturaleza respectivamente, si proponemos la especificación:W i = µ ∗ + α ∗ 1S 1i + α ∗ 2S 2i + β ∗ 1E 1i + β ∗ 2E 2i + β ∗ 3E 3i + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.24)existiría multicolinealidad exacta en la matriz de regresores y no podríamos estimar separadamenteninguno de los coeficientes. La matriz de regresores del modelo (5.24) es:⎡X =⎢⎣⎤i N1 i N1 0 i N1 0 0i N2 i N2 0 0 i N2 0i N3 i N3 0 0 0 i N3i N4 0 i N4 i N4 0 0⎥i N5 0 i N5 0 i N5 0 ⎦i N6 0 i N6 0 0 i N6⇒ rg(X) < K5.5.3. Inclusión de variables cuantitativasEn cualquiera de los modelos anteriores puede incluirse una-s variable-s cuantitativas, por ejemplosi creemos que el salario depende no solo de sexo sino también del número de horas trabajadas,variable que denotamos como X i propondremos:W i = α 1 S 1i + α 2 S 2i + βX i + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.25)Donde el coeficiente β se interpreta de la forma habitual, β = E(W i)∂X i. En forma matricial el modelosería:[ ] [ ] ⎡ ⎤αWH iH 0 X 1[ ]=H ⎣ αW M 0 i M X 2⎦ uH+ ⇒ Y = Xβ + uM uβM127

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa especificación alternativa correspondientesería:W i = α ∗ 1 + α ∗ 2S 2i + βX i + u i (5.26)i = 1, . . . , N H + N MDonde el coeficiente β se interpreta de la formahabitual. En forma matricial el modelo sería:[WH]=W M[iH 0 X Hi M i M X M] ⎡ ⎣α ∗ 1α ∗ 2β⎤⎦+[uHu M]Wα ∗ 1 + α ∗ 2α ∗ 1α ∗ 1 + α ∗ 2 + βX Mα ∗ 1 + βX HX⇒ Y = Xβ + u5.5.4. Comportamiento estacionalLas variables ficticias permiten recoger fácilmente comportamientos estacionales, como se hizo enel Ejemplo 5.6. Por ejemplo, que las ventas de una empresa sean sistemáticamente superiores enalguno de los trimestres del año y que ese comportamiento se repita sistemáticamente año tras añoes un clásico patrón de comportamiento sistemático estacional. Este comportamiento se produce endatos de series temporales de periodo inferior al anual y puede ser estudiado fácilmente mediantevariables ficticias.Por ejemplo para recoger el comportamiento estacional de una variable Y t muestreada trimestralmentepodemos proponer el modelo:Y t = β 1 + β 2 D 2t + β 3 D 3t + β 4 D 4t + u tt = 1, 2, . . . Tdonde t es el tiempo y las variables D jt son variables ficticias estacionales que se definen:{ 1 si la observación t pertenece al trimestre j j = 2, 3, 4D jt =0 en caso contrarioLa especificación alternativa sería:Y t = β 1 D 1t + β 2 D 2t + β 3 D 3t + β 4 D 4t + u tt = 1, 2, . . . T5.5.5. Efectos de interacciónEntre factores cualitativos y cuantitativos En las ecuaciones (5.25) y (5.26) se recogen cambiosen ordenada pero no en pendiente, sin embargo podemos pensar que el número de horas trabajadascambia según el sexo del individuo con lo cual debemos recoger cambios en pendiente. Este efectopodemos analizarlo asociando las variables ficticias a la variable cuantitativa. Así proponemos elsiguiente modelo:W i = α 1 S 1i + α 2 S 2i + β 1 (S 1i × X i ) + β 2 (S 2i × X i ) + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.27)128

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónE(W i /S 1i = 1; S 2i = 0) = α 1 + β 1 X iE(W i /S 1i = 0; S 2i = 1) = α 2 + β 2 X idonde β 1 y β 2 recogen el incremento en el salario medio ante un aumento unitario en las horastrabajadas, para los hombres y para las mujeres respectivamente.Una especificación alternativa sería:Wα ∗ 1 + α ∗ 2 + (β ∗ 1 + β ∗ 2)X MW i = α ∗ 1 + α ∗ 2S 2i + β ∗ 1X i + β ∗ 2(S 2i × X i ) + u iα ∗ 1 + β ∗ 1X Hi = 1, . . . , N H + N M (5.28)siendo α2 ∗ el incremento salarial en media por elhecho de ser mujer y β2 ∗ el incremento en el salariomedio de una mujer con respecto a un hombreante un aumento de una hora en el númerode horas trabajado.α ∗ 1 + α ∗ 2α ∗ 1XEntre factores cualitativos En el modelo (5.23) se supone que el efecto de cada factor es constantepara todos los niveles de los demás factores. Sin embargo si suponemos que el efecto diferencial delsexo variase con el nivel de educación existiría un efecto interacción entre las variables ficticias sexoy educación, que podemos recoger así:W i = µ + α 2 S 2i + β 2 E 2i + β 3 E 3i + γ 2 (S 2i × E 2i ) + γ 3 (S 2i × E 3i ) + u i i = 1, . . . , N H + N M (5.29)donde la tabla que resume el comportamiento de la recta de regresión poblacional sería:E(W i ) E 1i E 2i E 3iS 1i µ µ + β 2 µ + β 3S 2i µ + α 2 µ + α 2 + β 2 + γ 2 µ + α 2 + β 3 + γ 3y podemos interpretar los parámetros como sigue:µ base de comparación.β 2 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios,con respecto a tener estudios primarios, para los hombres.β 3 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios,con respecto a tener estudios primarios, para los hombres.α 2 Efecto diferencial en el salario medio entre los hombres y las mujeres para un nivel deeducación primaria.α 2 + γ 2 Efecto diferencial en el salario medio, entre hombres y mujeres, para un nivel de educaciónsecundaria.α 2 + γ 3 Efecto diferencial en el salario medio, entre hombres y mujeres, para un nivel de educaciónuniversitaria.β 2 + γ 2 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios,con respecto a tener estudios primarios, para las mujeres.β 3 + γ 3 Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios,con respecto a tener estudios primarios, para las mujeres.129

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.6. Distribución del estimador MCO. Estimación por intervalo5.6.1. Distribución del estimador de MCO bajo NormalidadSi Y = Xβ +u, donde u ∼ N(0, σ 2 I N ), el estimador MCO, dado que es lineal en las perturbaciones,también seguirá una distribución Normal Multivariante, con vector de medias E( ˆβ) = β y matrizde varianzas y covarianzas V ( ˆβ) = σ 2 (X ′ X) −1 . Es decir,ˆβ ∼ N(β, σ 2 (X ′ X) −1 )Para el k-ésimo coeficiente,ˆβ k ∼ N(β k , σ 2 a kk )donde a kk es el elemento (k, k) de la matriz (X ′ X) −1 .5.6.2. Estimación por intervaloPara el k-ésimo coeficiente,ˆβ k ∼ N(β k , σ 2 a kk )Una vez estimada la varianza de la perturbación con el estimador insesgado ˆσ 2 se puede demostrarque:ˆβ k − β kˆσ √ a kk∼t (N−K)donde t (N−K) denota la distribución t-Student con (N − K) grados de libertad, y ˆσ √ a kk es la desviaciónestimada del coeficiente estimado. (Notación ˆσ √ a kk = ˆσ ˆβk).El intervalo de confianza asociado es 14 :P r[ˆβk − t α2 (N−K)ˆσ ˆβk< β k < ˆβ k + t α2 (N−K)ˆσ ˆβk]= 1 − αCon lo que podemos escribir el intervalo de confianza del (1 − α) por ciento para un coeficientecualquiera β k como:( )IC(β k ) 1−α = ˆβk ± t α2 (N−K) ˆσ ˆβkEste es un estimador por intervalo porque en los extremos inferior y superior del intervalo aparecenˆβ k y ˆσ ˆβk, que son estimadores. Este intervalo es aleatorio, porque para cada muestra se obtiene unvalor numérico distinto de ˆβ k y ˆσ ˆβk. Cuando usamos una muestra para obtener las estimaciones,tendremos [un número ≤ β k ≤ otro número] y se denomina estimación por intervalo de β k ó intervalode confianza (1 − α) para β k . Un intervalo de confianza nos dice que, con probabilidad (1 − α)se estima que el parámetro β k estará dentro de ese rango de valores.14 Ver el Tema 2 para recordar cómo construir intervalos de confianza.130

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLas propiedades de la variable aleatoria IC(β k ) se basan en la noción del muestreo repetido: siobtuviéramos infinitas muestras de tamaño N de una misma población, y para cada una de ellasconstruyésemos el intervalo, entonces (1−α)×100 % de todos los intervalos construidos contendríanel verdadero valor (desconocido) de β k .¿Para qué sirven las estimaciones por intervalo? La respuesta es que nos dan una informaciónmuy valiosa sobre la precisión de las estimaciones por punto, esto es, nos dicen hasta qué puntonos podemos fiar de ellas. Si un intervalo de confianza es ancho (debido a una ̂V ( ˆβ k ) grande) nosestá diciendo que no hay mucha información en la muestra sobre β k . Además, como veremos másadelante, los intervalos sirven para realizar contraste de hipótesis.5.7. Contraste de hipótesis sobre los coeficientes de la regresiónUn problema fundamental de la Econometría es aportar un conocimiento descriptivo de una economíareal, los economistas desarrollan teorías sobre el comportamiento económico y las evalúan.Los contrastes de hipótesis son los procedimientos que se usan para evaluar estas teorías. Para ellovamos a utilizar el modelo Y = Xβ + u donde consideramos que se cumplen las hipótesis básicas yademás la perturbación es normal. La normalidad no es necesaria para estimar por MCO ni paradeterminar las propiedades del estimador pero si lo es para realizar inferencia dado que al ser ˆβ MCOlineal en u tendrá su misma distribución y podremos derivar estadísticos de contraste basándonosen ella.Por ejemplo, dado queu i ∼ N(0, σ 2 ) −→ ˆβ k ∼ N(β k , σ 2 a kk )si conocemos todos los elementos incluido σ 2 podríamos contrastar hipótesis de la forma H 0 : β k = ccon el siguiente estadístico:ˆβ k − cσ √ H ∼0N(0, 1)a kkEn general nosotros lo que queremos es contrastar conjuntos lineales de hipótesis. Podemos realizarcontrastes sobre los coeficientes individuales y sobre conjuntos de coeficientes, incluso sobre todoslos coeficientes a la vez. Los contrastes más importantes en Econometría son los contrastes designificatividad de los regresores individuales y el contraste de significatividad conjunta. En ellostratamos de analizar si cada uno de los regresores del modelo de forma individual o conjuntamenteson útiles para explicar el comportamiento de la variable endógena. Los veremos a continuaciónjunto con otros de interés.5.7.1. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión individualesEn los contrastes sobre los coeficientes individuales se contrasta la hipótesis nula H 0 : β k = c,donde la constante c puede tomar diversos valores. Contrastamos una única restricción. La hipótesisalternativa puede ser a una cola por ejemplo H a : β k > 0 o a dos colas H a : β k ≠ c. Para realizarel contraste hemos de derivar el estadístico de contraste y su distribución bajo la hipótesis nula,131

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónevaluar el estadístico en la muestra y aplicar la regla de decisión 15 . Para contrastar:H 0 : β k = c frente a H a : β k ≠ cBajo las hipótesis básicas y normalidad de las perturbaciones la distribución del estimador ˆβ k es lasiguiente:ˆβ k ∼ N(β k , σ 2 a kk )Si σ 2 es conocida todo es conocido en la distribución de β k y el estadístico de contraste sería:ˆβ k − cσ ˆβkH 0∼ N(0, 1)En el resto de ejemplos consideramos el caso más habitual σ 2 desconocida, para el cual podemosderivar el siguiente estadístico de contraste 16 y distribución asociada cuando σ 2 es estimada con elestimador insesgado ˆσ 2 =û′ ûN−K :ˆβk − cˆσ ˆβkH 0∼ t(N−K)La regla de decisión es rechazar H 0 si ˆβ k −cˆσ ˆβk> t (N−K)|α . En este caso contrario no se rechaza.2Si la alternativa es a una cola, por ejemplo:H 0 : β k = c frente a H a : β k > cLa regla de decisión es rechazar H 0 si ˆβ k −cˆσ ˆβk> t (N−K)| α .Contraste de significatividad individualCuando c = 0 al contraste se le denomina de significatividad individual. En este caso:H 0 : β k = 0H a : β k ≠ 015 Ver Tema 3 para recordar el mecanismo de contraste.16 Si σ 2 es desconocida habría de ser estimada, bajo la normalidad de las perturbacionesu i ∼ N(0, σ 2 ) −→(N − K)ˆσ2σ 2y derivar el correspondiente estadístico de contraste, que sería:∼ χ 2 (N−K)ˆβ k −cσ √ a kk√ ∑ û2i/σ 2N−KH 0∼ t(N−K)si simplificamosˆβ k − cˆσ √ a kkH 0∼ t(N−K)132

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónPodemos derivar el siguiente estadístico de contraste y distribución:ˆβ kˆσ ˆβkH 0∼ t(N−K)Si el estadístico calculado para la muestra es mayor que el estadístico en tablas,ˆσ> t (N−K)|αˆβk2para un α dado, se rechaza la hipótesis nula. En este caso β k ≠ 0 y la variable explicativa asociadaX k es significativa para explicar el comportamiento de la variable endógena. Por tanto este contrastesirve para decidir si la variable X k debe mantenerse en el modelo. Si el estadístico calculado paraˆβla muestra es menor que el estadístico en tablas, kˆσ< t (N−K)|α para un α dado, no se rechazaˆβk2la hipótesis nula. En este caso β k = 0 y la variable explicativa asociada X k no es significativa paraexplicar el comportamiento de la variable endógena.ˆβ kUtilización del intervalo de confianza para hacer contraste de hipótesis En secciones anterioreshablamos de la estimación por intervalo y se mencionó que también podíamos realizar inferenciautilizando intervalos de confianza. Pues bien si recordamos el intervalo de confianza asociado a β k :[P r ˆβk − t α(N−K)ˆσ 2 ˆβk< β k < ˆβ]k + t α(N−K)ˆσ 2 ˆβk= 1 − α( )IC(β k ) 1−α : ˆβk ± t α2 (N−K) ˆσ ˆβky la regla de decisión es que si la constante c (en este caso c = 0) pertenece al intervalo, norechazamos H 0 con un nivel de significación α y si no pertenece al intervalo, rechazamos H 0 con unnivel de significación α. Claramente se obtienen exactamente los mismos resultados utilizando losestadísticos de contraste individuales que utilizando los intervalos de confianza.5.7.2. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresiónEn ocasiones interesa averiguar cuál es el efecto de la combinación de varias variables, por ejemplonos interesará saber si la combinación de todas las variables es un útil predictor de la variabledependiente.Contraste de significatividad conjuntoH 0 : β 2 = β 3 = · · · = β K = 0H a : alguna igualdad no se daEn este caso podemos derivar el siguiente estadístico de contraste y distribución asociada:R 2 /K − 11 − R 2 /N − K133H 0∼ F(K−1,N−K)

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónRSi2 /K−11−R 2 /N−K > F (q,N−K)|α el estadístico calculado para la muestra es mayor que el estadístico entablas, para un α dado, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que las variables son conjuntamentesignificativas para explicar el comportamiento de la variable endógena.Ejemplo 5.13Vamos a mostrar un ejemplo sobre los contrastes de significatividad individual y conjuntocon los resultados de la estimación del modelo (5.11). Primero vamos a escribir losresultados de la estimación de la forma habitual en que se muestran en la literatura:̂ P RICE(ˆσ ˆβk)= 129, 062 + 0, 154800 SQF T − 21, 5875 BEDRMS − 12, 1928 BAT HS(88,30) (0,03)(27,02)(43,25)N = 14 R 2 = 0, 8359 ¯R2 = 0, 7868Como puede apreciarse en la ecuación anterior, se indica que bajo cada coeficiente estimadoaparece su correspondiente desviación típica estimada 17 .Contrastes de significatividad individual, contrastamos:H 0 : β k = 0H a : β k ≠ 0• Para la variable SQF T obtenemos:}con el estadístico y distribución0, 15480, 0319 = 4, 8465 > 2, 22814 = t (10) |0,025ˆβ kˆσ ˆβkH 0∼ t(14−4)luego rechazamos H 0 para α = 5 % y la variable SQF T es significativa.• Para la variable BEDRMS obtenemos:−21, 587∣ 27, 0293 ∣ = | − 0, 7987| < 2, 22814 = t (10) |0,025luego no rechazamos H 0 para α = 5 % y la variable BEDRMS no es significativa.• Para la variable BAT HS obtenemos:−12, 192∣ 43, 25 ∣ = | − 0, 2819| < 2, 22814 = t (10) |0,025luego no rechazamos H 0 para α = 5 % y la variable BAT HS no es significativa.En el contraste de significatividad conjunta, contrastamos:H 0 : β 2 = β 3 = β 4 = 0H a : alguna igualdad no se da}conR 2 /K − 11 − R 2 /N − KH 0∼ F(K−1,N−K)17 Una alternativa a presentar las desviaciones típicas estimadas de los coeficientes es presentar el valor muestral delestadístico de significatividad individual para el coeficiente de regresión correspondiente o los valores p.134

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEvaluado el estadístico en la muestra obtenemos:0, 8359/3(1 − 0, 8359)/10 = 16, 989 > 3, 70826 = F (3,10) |0,05rechazamos H 0 para α = 5 %. Concluimos que las variables exógenas SQF T, BEDRMSy BAT HS son conjuntamente significativas.Ejemplo 5.14Utilizamos la función de salarios especificada para el año 2002 que se propuso en elEjemplo 5.5:W i = β 1 + β 2 S 2i + β 3 X i + u i i = 1, 2, . . . Ndonde W i es el salario anual del individuo i, X i son los años de experiencia del individuoi y S 2i es una variable ficticia que se define:{ 1 si el individuo i es mujerS 2i =0 en caso contrarioEn este modelo podemos contrastar:• Si la experiencia es determinante del salario: H 0 : β 3 = 0, si esta hipótesis no serechaza para un nivel de significatividad dado el salario no depende de los años deexperiencia del individuo. Contrastamos:H 0 : β 3 = 0H a : β 3 ≠ 0}con el estadístico y distribuciónˆβ 3ˆσ ˆβ3H 0∼ t(N−3)• Si existe discriminación salarial por sexo: H 0 : β 2 = 0, si esta hipótesis no se rechazapara un nivel de significatividad dado no existe discriminación salarial por sexo.Por ejemplo si la experiencia es cero y β 2 = 0, el salario esperado es β 1 ∀i luego elsalario esperado es el mismo para hombres y mujeres.H 0 : β 2 = 0H a : β 2 ≠ 0}con el estadístico y distribuciónˆβ 2ˆσ ˆβ2H 0∼ t(N−3)Contraste de combinaciones linealesPor ejemplo contrastamos la hipótesis:H 0 : β 2 + β 3 = 1H a : β 2 + β 3 ≠ 1Renombrando ŵ = ˆβ 2 + ˆβ 3 y c = 1 se puede expresar la hipótesis nula y alternativa así como elestadístico de contraste y su distribución asociada como:H 0 : w = cH a : w ≠ c135

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónŵ − cˆσŵH 0∼ t(N−K)si H 0 es ciertaLa distribución del estadístico ŵ ∼ N(µ w , σ 2 w) dado que:ŵ = ˆβ 2 + ˆβ 3ˆβ 2 ∼ N(β 2 , σ 2 a 22 )ˆβ 3 ∼ N(β 3 , σ 2 a 33 )esµ w = E(ŵ) = E( ˆβ 2 + ˆβ 3 ) = β 2 + β 3σ 2 w = V (ŵ) = E[ŵ − E(ŵ)] 2 = E[( ˆβ 2 + ˆβ 3 ) − (β 2 + β 3 )] 2 = V ( ˆβ 2 ) + V ( ˆβ 3 ) + 2Cov( ˆβ 2 , ˆβ 3 )= σ 2 (a 22 + a 33 + 2a 23 )Por tantoˆβ 2 + ˆβ 3 ∼ N(β 2 + β 3 , σ 2 (a 22 + a 33 + 2a 23 ))Luego en términos de los coeficientes estimados originales el estadístico de contraste y distribuciónes:ˆβ 2 + ˆβ 3 − 1o lo que es igual:√ˆV ( ˆβ 2 ) + ˆV ( ˆβ 3 ) + 2 ˆ Cov( ˆβ 2 , ˆβ 3 )H 0∼ t(N−K)Con la regla de decisión habitual.ˆβ 2 + ˆβ 3 − 1ˆσ √ a 22 + a 33 + 2a 23H 0∼ t(N−K)Ejemplo 5.15Para contrastar:H 0 : β 2 = β 3 H a : β 2 ≠ β 3es equivalente a escribir:H 0 : β 2 − β 3 = 0 H a : β 2 − β 3 ≠ 0que podemos contrastar con el estadístico y distribución:Con la regla de decisión habitual.ˆβ 2 − ˆβ 3ˆσ √ a 22 + a 33 − 2a 23H 0∼ t(N−K)136

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónContraste de un subconjunto de coeficientesSupongamos el siguiente modelo de regresión:Y i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β k X ki + α 1 Z 1i + α 2 Z 2i + . . . + α r Z ri + u ii = 1, 2, . . . , Ny queremos contrastar si el subconjunto de regresores Z 1i , Z 2i , . . . , Z ri son conjuntamente significativospara explicar el comportamiento de la variable endógena. La hipótesis de contraste es:El estadístico de contraste y distribución son:donde:H 0 : α 1 = α 2 = . . . = α r = 0H a : alguna igualdad no se deû ′ rû r − û ′ û/r H ∼0F(r,N−K)û ′ (5.30)û/(N − K)• û ′ rû r es la suma de cuadrados residual del modelo restringido estimado por MCO, siendo elmodelo restringido aquel que cumple la hipótesis nula. Luego el modelo restringido es:Y i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β k X ki + u rii = 1, 2, . . . , N• û ′ û es la suma de cuadrados residual del modelo no restringido o lo que es igual el modelo deinterés estimado por MCO:Y i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β k X ki + α 1 Z 1i + α 2 Z 2i + . . . + α r Z ri + u ii = 1, 2, . . . , N• r es el número de restricciones que se contrastan, en este caso el número de coeficientes α r .La regla de decisión es la habitual, se rechaza la hipótesis nula si:û ′ rû r − û ′ û/rû ′ û/(N − K) > F (r,N−K)| αen cuyo caso las variables exógenas Z ri contribuyen a explicar el comportamiento de la variableûendógena, en cuyo caso debemos especificar el modelo no restringido. Si′ rû r−û ′ û/rû ′ û/(N−K) < F (r,N−K)| αno rechazamos H 0 en cuyo caso las variables Z ri no contribuyen a explicar a la variable endógenay debemos especificar el modelo restringido.5.7.3. Contrastes basados en sumas de cuadrados de residuosAl estadístico:û ′ rû r − û ′ û/q H ∼0F(q,N−K)û ′ û/(N − K)137

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióngeneralmente se le conoce con el nombre de estadístico de diferencias en las sumas residualesde cuadrados. Puede ser utilizado para contrastar hipótesis lineales con solo especificar correctamentelos modelos restringido y no restringido, q es el número de restricciones que se contrastan.Para su aplicación sólo es necesario obtener la SCR del modelo restringido y no restringido. Vamosa estudiarlo en detalle en el ejemplo siguiente.Estimación del modelo restringido y cálculo de la SCR r El modelo restringido (MR) es aquelque cumple la hipótesis nula mientras que el modelo no restringido (MNR) es el modelo de interés.Por ejemplo sea el MRLG,MNR:Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u idonde queremos contrastar la hipótesis nula H 0 : β 2 + β 3 = 1 sustituyendo la restricción en elmodelo encontramos el modelo restringido:MR:Y i = β 1 + β 2 X 2i + (1 − β 2 )X 3i + u riY i − X} {{ 3i = β}1 r + β2(X r 2i − X 3i ) + u} {{ } ri=Yi⋆=Xi⋆Y ⋆i= β r 1 + β r 2X ⋆ i + u riLa aplicación de MCO en el modelo resultante son los llamados estimadores de Mínimos CuadradosRestringidos, MCR. Los demás ˆβ r se obtienen con las restricciones. En el ejemplo en el modelorestringido se calculan ˆβ r 1 y ˆβ r 2 y finalmente se calcula ˆβ r 3 = 1 − ˆβ r 2 .En este modelo restringido estimado por MCO se calcula la SCR = û ′ rû r . Si escribimos el MR entérminos matricialesY ⋆ = X ⋆ β r + u rentoncesû ′ rû r = Y ⋆′ Y ⋆ − ˆβ r′ X ⋆′ Y ⋆dondeY ⋆ y X ⋆ son las variables que quedan en el modelo restringido y[ ˆβr 1ˆβ r 2] [ ∑ N X⋆= ∑ ∑ iX⋆i X⋆2i] −1 [ ∑ Y⋆i ∑Y⋆i X ⋆ i]=[ ∑ ] −1 [ ∑ N∑ ∑ (X2i − X 3i ) (Yi − X 3i )(X2i − X 3i ) (X2i − X 3i ) 2 ∑ (Yi − X 3i )(X 2i − X 3i )]138

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjemplo 5.16Contraste de significatividad conjunta: H 0 : β 2 = β 3 = . . . = β K = 0. Para esta hipótesisel modelo restringido esY i = β 1 + u isi estimamos el MR por MCO obtenemos:Min ˆβ1∑û2 i = Min ˆβ1∑(Yi − ˆβ 1 ) 2de donde∂ ∑ û 2 i∂ ˆβ 1= −2 ∑ (Y i − ˆβ 1 ) = 0 −→ ˆβ r 1 = Ȳû ′ rû r = ∑ (Y i − Ŷi) 2 == ∑ (Y i − ˆβ r 1) 2 = ∑ (Y i − Ȳ )2 = SCTAsíû ′ rû r − û ′ û/q (SCT − SCR)/qû ′ = û/(N − K) SCR/N − Kdividiendo el numerador y el denominador de entre SCT obtenemos.F = (û′ rû r − û ′ û)/qû ′ û/N − K = R 2 /K − 1(1 − R 2 )/N − KH 0∼ F(K−1,N−K)estadístico que coincide con el obtenido para el contraste de significatividad conjunta.Ejercicio 5.13Sean las variables X t , coste medio de las reclamaciones por siniestros realizados en ty Y t los beneficios de la empresa en t, ambos en miles de millones. Disponemos de lasiguiente muestra:X 2 3 1 5 9Y 4 7 3 9 17Para el modelo: Y t = β 1 + β 2 X t + u t t = 1, . . . , 5 u t ∼ N(0, σ 2 )1. Interpreta los coeficientes β 1 y β 2 .2. Escribe la matriz de regresores y el vector de valores de la variable endógena.3. Calcula la recta de regresión muestral MCO.4. Interpreta las estimaciones de los parámetros.139

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5. Calcular los valores de Ŷt y û t .6. Estima la varianza de la perturbación.7. Calcula el coeficiente de determinación, R 2 e interpreta su significado.8. Calcula el coeficiente de correlación simple, ¿qué relación hay entre r XY y R 2 eneste modelo?9. Contrasta la significatividad de la variable coste medio de las reclamaciones.10. Considérense los siguientes dos estimadores de la pendiente de la regresión:a) Calcular los dos estimadores.ˆβ 2,MCO˜β2 = Y 5 − Y 3X 5 − X 3b) Razonar cuál de los dos estimadores es “mejor”.Ejercicio 5.14Se han calculado las siguientes cantidades en una muestra de tamaño T = 100:∑Xt = 11, 34∑X2t = 12, 16∑Yt = 20, 72∑Y2t = 84, 96Estimar las siguientes regresiones:∑Xt Y t = 22, 131. Y t = β 1 + β 2 X t + u t2. X t = α 1 + α 2 Y t + ɛ t3. ¿Son los estimadores de β 1 y β 2 iguales a los de α 1 y α 2 ? ¿En qué caso coincidirán?Ejercicio 5.15Supongamos que la variable Y se relaciona con las variables X 1 , X 2 , X 3 mediante laecuación:Y t = β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t (5.31)Donde u t ∼ iid(0, σ 2 I T ), los siguientes datos vienen dados por la tabla:X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1X 2 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0X 3 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0Y 3 6 10 5 10 12 5 10 10 81. Interpreta los parámetros del modelo.2. Escribe la matriz de regresores.140

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión3. Estima la función de regresión muestral.4. Estima la varianza de las perturbaciones.5. Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los parámetros estimados.6. Calcula e interpreta el R 2 .7. ¿Se cumple en este modelo la igualdad rXY 2 = R2 ?8. Calcular el intervalo de confianza para el parámetro β 2 y α = 5 %.9. Contrasta la significatividad individual y conjunta de los regresores.Ejercicio 5.16Se ha estimado el siguiente modelo de regresión simple, utilizando el criterio de MCO:ˆV t = 1767,61 + 7,48W t R 2 = 0,80 (5.32)Los estadísticos t para el contraste de que el parámetro correspondiente es igual a ceroresultan ser iguales a 1,4 para el término constante y 18,5 para la variable W . Dado queel valor del estadístico para el contraste de significación del término constante nos llevaa no rechazar la hipótesis nula, se formula y estima el siguiente modelo:ˆV t = 11,71W t R 2 = 0,91 (5.33)Como el mayor coeficiente de determinación corresponde a la segunda regresión, se optapor elegir el modelo (5.33). ¿Te parece adecuada esta decisión?Ejercicio 5.17Para un conjunto de 21 individuos se quiere estudiar la relación entre el precio mensualde la póliza de un bien asegurado Y i y el valor asegurado del bien, X 2i ambas expresadasen unidades monetarias. Para ello se propone el siguiente modelo de regresión lineal:Y i = β 1 + β 2 X 2i + u i i = 1, 2, . . . , 21 (5.34)1. Estima los coeficientes de la regresión y sus varianzas respectivas a partir de lossiguientes datos:∑ ∑ ∑ ∑X2i Y i = 35, 98 X22i = 641, 5 Y2i = 2, 02 X2i = 110, 1∑Yi = 6, 16∑(X2i − ¯X 2 ) 2 = 64, 26∑(Yi − Ȳ )2 = 0, 2132. Contrasta la significación de la regresión (5.34) para un α = 5 %.3. A continuación el investigador introduce una nueva variable en el modelo que recogeel coste medio mensual de las reclamaciones presentadas, X 3i . Estimamos denuevo el modelo (5.34), introduciendo una variable explicativa X 3 . Los resultadosobtenidos han sido los siguientes:Y i = −0, 017 + 0, 05X 2i + 0, 07X 3i + û i R 2 = 0, 9985Contrasta la significación de la variable explicativa X 3 para un α = 5 %.141

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.18La función de producción Cobb-Douglas tiene la forma Y = AK β 1L β 2. Dada una muestrade tamaño N,1. ¿Es el modelo lineal? ¿Qué método se podría usar para estimar los parámetros?2. Interpreta los coeficientes del modelo.3. ¿Cómo contrastarías si la empresa tiene rendimientos constantes a escala?4. Si H 0 es cierta, ¿qué método mejora la estimación de los parámetros? ¿por qué?Ejercicio 5.19Supón que el verdadero modelo de regresión es:Y t = β 1 + β 2 X 2t + u t (5.35)pero nosotros añadimos la variable X 3 y estimamos el siguiente modelo:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t (5.36)Discute si el coeficiente de determinación R 2 y el corregido ¯R 2 serán mayores en elmodelo (5.35) que en el (5.36).Ejercicio 5.20Se han estimado, mediante MCO, los siguientes modelos para la inversión para unamuestra de 1968 a 1980:Î t = 0,6656 + 0,0424 X t + 0,0610 K t−1 R 2 = 0,9383( des( ˆ i ))(0.0125) (0.0049)Î t = 0,7199 + 0,0290 X t + 0,0012 X t−1 + 0,0258 X t−2 + 0,0631 K t−1 R 2 = 0,9468( des( ˆ i))(0.0136) (0.012) (0.0136) (0.0051)1. Contrasta la significatividad individual de los parámetros de ambos modelos e interpretalos resultados.2. ¿Alguna de las variables es más importante que el resto para la determinación dela inversión?3. ¿Cuál de los dos modelos elegirías? Razona tu respuesta.142

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.21Comenta con claridad las siguientes afirmaciones:1. El estimador insesgado ˆβ con varianza V 1 proporciona siempre mejores estimacionesque el estimador sesgado β ∗ con varianza V 2 donde V 1 > V 2 .2. En el modelo de regresión lineal general la matriz de covarianzas estimada delestimador MCO de ˆβ es la misma para cualquier muestra que tomemos.3. Las ecuaciones normales del modelo de regresión lineal general implican que elvector de residuos MCO es ortogonal al vector de valores estimados Ŷ .4. Si Y t y X 2t son variables que no están correlacionadas, es decir, ∑ (Y t − Ȳ )(X 2t −¯X 2 ) = 0, entonces la estimación MCO del coeficiente β 2 en el modelo:Y t = β 1 + β 2 X 2t + · · · + β k X kt + u tt = 1, 2, . . . , Tes cero.5. En el MRLG, el supuesto de normalidad de las perturbaciones es necesario parapoder estimar los parámetros del modelo.6. Bajo los supuestos clásicos del modelo de regresión lineal general, el estimadorMCO de β sigue una distribución normal multivariante centrada en el verdaderovalor de los parámetros β.7. Dada una muestra de N observaciones, la ecuación de regresión poblacional pasapor el punto de medias (Ȳ , ¯X 1 , . . . , ¯X k ).8. En un modelo de regresión lineal simple donde u t ∼ iid(0, σ 2 ), si se pudiera elegirentre dos muestras de valores para la variable X, una de ellas con ∑ (X t − ¯X) 2 = 100y la otra con ∑ (X t − ¯X) 2 = 1000, se elegiría la segunda muestra porque la precisiónal estimar los parámetros sería mayor.9. Los residuos mínimo-cuadrático ordinarios de una regresión de Y sobre la variableexplicativa X son ortogonales a X, pero no lo son a Y.10. En un modelo de regresión lineal simple no existe ninguna relación entre el estimadorMCO de la pendiente de la regresión ˆβ y el coeficiente de correlación simpleentre la variable dependiente Y y la variable independiente X, r XY .11. Si existe la siguiente relación entre las variables X, Y, Z:r 2 XY = 0,8 r2 XZ = 0,001 r2 Y Z = 0,001podemos concluir que el coeficiente rXY 2 es una mala medida de la correlación entrelas variables X e Y y se debería utilizar rXY.Z 2 .12. La inexistencia de normalidad en las perturbaciones aleatorias no afecta a los contrastesde hipótesis.143

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.22Un economista estima el siguiente modelo:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t t = 1, . . . , 36 u t ∼ N(0, σ 2 ) (5.37)Obteniendo los siguientes resultados:Ŷ t = 0, 98 + 1, 33 X 2t + 0, 78 X 3t R 2 = 0, 989(estadístico t)(0,27) (0,98)1. ¿Te parece que el modelo puede tener algún problema? ¿Cuál? ¿En qué basas tusrespuestas?2. ¿Cómo cambiarían tus conclusiones si en la estimación anterior el coeficiente dedeterminación hubiera sido R 2 = 0, 12?Ejercicio 5.23Sea el modelo:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t u t ∼ NID(0, 1) (5.38)de la regresión auxiliar de X 2 sobre X 3 se obtiene:ˆX 2t = 0, 5 + 1, 1875X 3t (5.39)y además sabemos que ∑ (X 2t − ¯X 2 ) 2 = 25, ∑ (X 3t − ¯X 3 ) 2 = 16.1. Expresa la varianza del estimador MCO de β 2 en función del coeficiente de correlaciónmuestral entre las variables X 2 y X 3 .2. Calcula el coeficiente de correlación muestral entre X 2 y X 3 .3. ¿Puede surgir algún problema en la estimación por mínimos cuadrados ordinariosde los parámetros β 1 , β 2 y β 3 ? Razona tu respuesta.4. ¿Cómo cambia tu respuesta al apartado 3) si de la regresión auxiliar se obtuvieraˆX 2t = 0, 5 + 0, 125X 3t ?Ejercicio 5.24En el modelo:Y t = α + βX t + γZ t + u t u t ∼ N(0, σ 2 ) (5.40)surgen los mismos problemas si X t + Z t = 5 que si β + γ = 5, ¿cierto o falso? ¿Por qué?144

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.25Sea Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t con X 1t = X 2t − 1.1. Propón un modelo estimable si además se conoce que β 1 = 1.2. ¿Y si se conoce que X 1t = 1 ∀t?Ejercicio 5.26Sea el modelo correcto de regresión lineal:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t u t ∼ N(0, σ 2 ) (5.41)mientras que se estima el modelo:Y t = β1 ⋆ + β2X ⋆ 2t + v t (5.42)1. ¿es ˆβ⋆2 insesgado?2. ¿es ˆσ v 2 insesgado?3. ¿es válido el estadístico t para contrastar la hipótesis H 0 : β2 ⋆ = 0?Ejercicio 5.27Si el verdadero modelo es:Y t = β 1 + β 2 X 2t + u t u t ∼ N(0, σ 2 ) (5.43)y se estima:Y t = β1 ⋆ + β2X ⋆ 2t + β3X ⋆ 3t + v t v t ∼ N(0, σ 2 ) (5.44)1. Comenta la siguiente afirmación: “ ˆβ 3 ⋆ es siempre cero independientemente de lamuestra utilizada”.2. ¿es ˆβ⋆3 insesgado?3. ¿es ˆσ v 2 insesgado?4. ¿es válido el estadístico t para contrastar la hipótesis H 0 : β3 ⋆ = 0?145

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.28En un estudio sobre el número de siniestros automovilísticos declarados se han obtenidolos siguientes resultados estimando por MCO:Y ahora proponemos el modelo alternativo:dondeŶ i = 40, 5 + 10, 5D 1i + 0, 4X i (5.45)Y i = αD 2i + α ⋆ D 1i + βX i + u i (5.46){ 1 si usa el automóvil para trabajarD 1i ={0 en caso contrario1 si no usa el automóvil para trabajarD 2i =0 en caso contrarioExplica y halla los valores numéricos de α, α ⋆ y β en (5.46) con la información facilitadapor (5.45).Ejercicio 5.29Supongamos que queremos analizar los salarios de una famosa empresa auditora y paraello hemos tomado una muestra de 500 empleados, de los cuales 300 son licenciados enCiencias Actuariales. Se postula el siguiente modelo:W i = α + βD i + u i i = 1, 2, . . . , 500donde W i es el salario del empleado i-ésimo y D i es una variable ficticia que toma elvalor 1 si el empleado es licenciado y 0 en el caso contrario.Si el salario medio muestral de los licenciados es de 250.000 pts. al mes, y el salariomedio muestral de los que no son licenciados es 150.000 pts.:1. Calcula ˆα MCO y ˆβ MCO .2. ¿Cómo contrastarías si existe diferencia salarial entre los licenciados y los que nolo son?3. Si además en esta muestra dispones de información sobre el sexo del empleado i-ésimo¿cómo contrastarías la hipótesis de que no existe en esta empresa discriminaciónsalarial por razones de sexo?146

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEuropaResto del MundoPrima pagada Renta Prima pagada Renta150 8.000 130 5.000180 11.000 100 3.000120 9.000 110 6.000160 12.000 140 10.000Tabla 5.2: observaciones muestrales de la prima pagada y rentaEjercicio 5.30En una muestra de 8 observaciones se quiere estudiar la dependencia del precio de unaprima de seguro obligatorio de automóvil respecto de la renta del propietario y su paísde matriculación, distinguiendo entre vehículos matriculados en Europa o el resto delmundo. Las observaciones se muestran en la Tabla 5.2.1. Estima el modelo que exprese dicha dependencia. Interpreta los coeficientes delmodelo.2. Contrasta las siguientes hipótesis:a) La renta no es una variable significativa.b) El país de matriculación no es una variable significativa.Ejercicio 5.31Un investigador quiere analizar la inversión (I i ) realizada en planes de pensiones en laComunidad Autónoma Vasca en función del salario percibido (W i ) y el sector, privado opúblico, en el que se trabaja. Con una muestra de 500 individuos, de los cuales la mitadtrabaja en el sector público, se ha estimado por MCO el siguiente modelo:Î i(t − est)= 2, 7 + 0, 31P U i + 0, 47W i R 2 = 0, 71 (5.47)(0, 22)(3, 7)donde P U i toma valor 1 si el individuo i-ésimo trabaja en el sector público y cero encaso contrario.1. Deriva los estimadores utilizados en la estimación del modelo (5.47).2. Interpreta los coeficientes del modelo.3. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas.4. Dados los resultados de los contrastes, ¿qué propiedades tienen los estimadores delos coeficientes del modelo (5.47)? ¿por qué?147

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónMás tarde, el investigador sospecha que la variable sexo puede afectar al incremento dela inversión media ante aumentos unitarios en el salario. Con este objetivo estima lossiguientes modelos:Î i(t − est)= 3, 87 + 2, 28P U i + 0, 63W i + 0, 21W i S i R 2 = 0, 82 (5.48)(13, 8)(7, 26)(17, 4)Î i(t − est)= 4, 7 + 0, 32W i + 0, 15W i S i R 2 = 0, 75 (5.49)(5, 82)(1, 87)donde S i toma valor 1 si el individuo i-ésimo es hombre y cero en caso contrario.5. Dadas las regresiones (5.47), (5.48) y (5.49), selecciona la especificación más adecuadapara analizar la inversión en los planes de pensiones. Razona detalladamentetu proceso de selección.6. ¿Qué sucedería en la estimación de los modelos (5.48) y (5.49) si la muestra estuvieracompuesta sólo por hombres?7. Suponiendo que eliges el modelo (5.49) ¿qué propiedades tienen los estimadores?Ejercicio 5.32Para analizar la relación entre los gastos de consumo, C, el ingreso disponible, Y, y elsexo del cabeza de familia se han estimado, con T=12, cuatro modelos cuyos resultadoshan sido:a) Ĉ t = 1663, 6 + 0, 75 Y t R 2 = 0, 978(21,12)b) Ĉ t = 186, 12 + 0, 82 Y t + 832, 09D t R 2 = 0, 984(16,56) (1,82)c) Ĉ t = 709, 18 + 0, 79 Y t + 0, 05 Y t D t R 2 = 0, 983(18,11) (1,51)d) Ĉ t = −184, 7 + 0, 83 Y t + 1757, 99D t − 0, 06 Y t D t R 2 = 0, 985(13,65) (1,03) (-0,57)donde D t es una variable ficticia que toma el valor 1 si el cabeza de familia es mujer y0 en caso contrario. Entre paréntesis aparecen los estadísticos t muestrales:1. Interpreta los coeficientes del modelo d).2. Contrasta si el término constante es diferente según sea el sexo del cabeza de familia.3. Contrasta si el coeficiente asociado a Y es diferente según sea el sexo del cabeza defamilia.4. Contrasta si tanto el coeficiente asociado a Y como el término constante son diferentessegún sea el sexo del cabeza de familia.5. ¿Cuál es el modelo que mejor se ajusta a los datos?148

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.33Se quiere estudiar cómo influye el nivel de educación en los salarios (Y ) percibidos porlos trabajadores de una empresa. En la empresa hay 100 empleados, de los cuales 6 notienen estudios, 38 tienen únicamente estudios primarios, 15 tienen estudios universitariosy el resto se incorporó a la empresa tras finalizar sus estudios secundarios. Paraintroducir el nivel de estudios en el modelo se definen las siguientes variables ficticias:{ 1 si i tiene al menos estudios primariosP i =0 en caso contrario{ 1 si i tiene al menos estudios secundariosS i =0 en caso contrario{ 1 si i tiene al menos estudios universitariosU i =0 en caso contrarioDe modo que para un empleado que, por ejemplo, no haya realizado estudios primariosP i = 0,S i = 0 y U i = 0 y para un universitario P i = 1, S i = 1 y U i = 1.1. ¿Es estimable el modelo Y i = β 1 + β 2 P i + β 3 S i + β 4 U i + V i , con V i ∼ NID(0, σ 2 )?Razona la respuesta. En caso de que no sea estimable, propón uno similar que sí losea.2. Interpreta los parámetros β 1 y β 4 en el modelo anterior, o en el modelo estimablepropuesto.3. Plantea un contraste para la hipótesis de que tener estudios primarios no afecta alsalario que se cobra. Escribe la hipótesis nula, el estadístico de contraste y la reglade decisión.Ejercicio 5.34Plantea el modelo de determinación del salario del trabajador de la empresa A en funciónde sus años de experiencia, categoría profesional (empleado, técnico, directivo) y sexo(masculino, femenino).1. Escribe la función de salarios de una técnica.2. Interpreta los coeficientes del modelo.3. Suponiendo que la empresa tiene 40 trabajadores, los cuales tienen la siguientedistribución por categorías 5 técnicas y 2 directivas, 4 directivos, 2 técnicos y elresto son empleados. Escribe la matriz de regresores.149

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 5.35Un empleado de BBK Peña opina que los pisos de Avenida Mazarredo alcanzan en lassubastas un precio considerablemente superior al de cualquier otra zona de Bilbao. Uncolega suyo de Lagunaro no está de acuerdo con esta afirmación, por lo que analizanlas ventas de pisos de dicha calle realizadas por sus empresas en los últimos años. Elnúmero total de pisos subastados fue de 10, de los que 4 estaban enclavados en la calleMazarredo. Ambos creen que el tamaño del piso y el precio inicial fijado en la subastason también variables determinantes del precio finalmente alcanzado en la venta.1. Especifica un modelo que exprese el precio final de venta de los pisos en función delos factores citados y que permita contrastar la hipótesis del empleado de BBK.2. Escribe la matriz de regresores del modelo que has propuesto.3. ¿Cómo llevarías a cabo el contraste? Escribe la hipótesis nula, la hipótesis alternativa,el estadístico de contraste, su distribución y la regla de decisión.Ejercicio 5.36Se quiere estudiar la relación entre el número de incendios forestales y la temperaturaen una comarca catalana. Para ello se utilizan datos diarios de ambas variables para elaño 1999 y se estiman los siguientes modelos:(1) Y t = 105 + 400D t + 4, 7X t + 8, 3D t X t + û 1t ˆσ 1 2 = 14, 71(2) Y t = 205 + 43, 5X t + 9, 0D t X t + û 2t ˆσ 2 2 = 20, 15(3) Y t = 124 + 557D t + 7, 3X t + û 3t ˆσ 3 2 = 15, 14(4) Y t = 350 + 7, 7X t + û 4t ˆσ 4 2 = 27, 05{ 1 si t∈ Julio, Agosto o Septiembresiendo D t =0 en caso contrario1. Interpreta los coeficientes del modelo (1).2. El contraste del modelo (3) contra el (4) nos ha llevado a rechazar el modelo (4).Efectúa los contrastes necesarios para decidir cuál es el modelo al que mejor seajustan los datos.Ejercicio 5.37Se han utilizado datos trimestrales para estimar la función:C t = α + β 1 D 1t + β 2 D 2t + β 3 D 3t + β 4 D 4t + u t (5.50){ 1 si t pertenece al i-ésimo trimestredonde: D it =0 en caso contrario150

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no, razonando la respuesta. ¿Y si seimpone la restricción ∑ β i = 0?2. Un investigador impone la restricción α = 0 y otro impone la restricción β 4 = 0.¿Serán las estimaciones de β i diferentes en ambos casos? ¿por qué?Ejercicio 5.38Para estudiar las ventas de un determinado modelo de moto se especifica el siguientemodelo de regresión lineal:Y t = β 0 + β 1 S 1t + β 2 S 2t + β 3 S 3t + β 4 X t + u t (5.51){ 1 si t ∈ trimestre i-ésimodonde S it =0 en caso contrario1. Explica qué tipo de comportamiento refleja esta regresión e interpreta cada uno delos coeficientes del modelo.2. ¿Existe alguna forma alternativa de especificar el comportamiento reflejado por elmodelo anterior? Escribe la ecuación correspondiente e interpreta sus parámetros.3. Encuentra la relación entre los parámetros de la ecuación (5.51) y los de la ecuaciónpropuesta en el apartado anterior.4. Los resultados obtenidos de estimar el modelo (5.51) con 16 observaciones trimestraleshan sido:Ŷ t = 0, 07 + 0, 43 S 1t + 6, 55 S 2t − 2, 83 S 3t − 0, 9 X t R 2 = 0, 68 (5.52)(3,7) (3,37) (3,4) (-3,37) (-0,27)A la vista de los resultados ¿se puede concluir que la variable Y t presenta un comportamientoestacional?Ejercicio 5.39El dueño de una cadena de cines en una ciudad costera pretende saber cómo influyenen el número de espectadores de sus salas , N (miles), dos factores: el empleo existenteen la ciudad, E (cientos de miles), y el número de otros espectáculos que se programen,O (miles). Propone el siguiente modeloN t = α 0 + α 1 E t + α 2 O t + u t u t ∼ NID(0, σ 2 ) (5.53)Dispone de información trimestral relativa a las tres variables que va desde el primertrimestre de 1985 hasta el primer trimestre de 2002, ambos inclusive. El resumen dedicha información aparece a continuación:⎡(X ′ X) −1 = ⎣1,5334 −0,2122 0,007340,0320 −0,003790,00329⎤⎦∑Nt = 2279, 4∑Nt E t = 16838,6∑Nt O t = 14193,8∑ (Nt − ¯N) 2 = 2435151

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióna) Estima el modelo propuesto por el método de mínimos cuadrados ordinarios.b) Calcula una medida de la bondad del ajuste e interprétala.c) Estima la matriz de varianzas y covarianzas del estimador de los coeficientes.d) ¿Son las variables explicativas conjuntamente significativas?e) Contrasta al nivel de significación del 5 % que la programación de otros espectáculostiene influencia sobre el número de espectadores en las salas de cine.f) Para poder planificar la próxima campaña, el dueño hace el supuesto de que va atener 34.500 espectadores, dado que el número de empleos será de 754.000 y queestán previstos otros 8.800 espectáculos. Compruébalo.Analizando los resultados con un amigo suyo, observan una pauta de comportamientodiferente en los distintos trimestres. Por ello, piensan que no ha tenido en cuenta quela época del año marca también la asistencia al cine, debido a que se va menos cuandohace mejor tiempo. Nuestro hombre decide incluir este factor.g) Define las variables que creas necesarias para tener en cuenta este factor y propónun modelo que incluya el posible efecto de la época del año.h) Interpreta los coeficientes de tu modelo. ¿Cuántas de las variables que has definidoincluyes en el mismo? ¿Por qué?A los pocos días, su amigo le plantea la siguiente duda: a su ciudad acuden muchosturistas en verano, lo que aumenta el empleo temporal que suele cubrirse con gentejoven, en general más aficionada al cine. Si esto es cierto, la composición del empleo enverano puede tener influencia sobre la asistencia al cine.i) ¿Cómo definirías una variable para tener en cuenta esta interrelación? ¿Cómo laincluirías en el modelo?En línea con lo planteado, el empresario escoge y estima tres modelos diferentes de entretodos los posibles, con los siguientes resultados:ˆN t(ˆσ ˆβi)=ˆβ 1{ }} {23,78(2,92)ˆβ 2{ }} { { }} { { }} {+ 1,371E t − 0,317O t + 4,571D3t,(0,421)ˆβ 3(0,135)ˆβ 4(0, 658)∑69t=1û 2 t = 359,89 (5.54)ˆN t(ˆσ ˆβi)=ˆδ 0{}}{25,0(2,895)ˆδ 1{ }} { { }} { { }} {+ 1,204E t − 0,316O t + 0,624EM3 t ,(0,418)ˆδ 2(0,134)ˆδ 4(0, 088)∑69i=1û 2 t = 355,23 (5.55)ˆN t(ˆσ ˆβi)=ˆµ 0{ }} {25,43(3,404)ˆµ 1{ }} { { }} { { }} { { }} {+ 1,146E t − 0,316O t − 1,613D3 t + 0, 841EM3 t ,(0,483)ˆµ 2(0,135)ˆµ 3(6,552)ˆµ 4(0, 887)69∑i=1û 2 t = 354,90 (5.56)donde152

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• D3 t es una variable ficticia que toma el valor 1 en el tercer trimestre (verano) ycero en los demás casos.• EM3 t es una variable que incorpora el efecto estacional del empleo que se hadiscutido en el apartado anterior (y tendrá la interpretación que le hayas atribuidoanteriormente).j) Dados los resultados anteriores, ¿hay evidencia de que existe efecto estacional? Siel efecto estacional existe ¿qué forma toma?, ¿cuál de los modelos propuestos teparece óptimo para recogerlo?, ¿por qué? Lleva a cabo los contrastes precisos.k) A la vista de los resultados obtenidos hasta el momento ¿es correcto utilizar losvalores de los coeficientes que has obtenido en (5.53)?, ¿por qué?, ¿qué propiedadestienen?l) ¿Cómo explicas los resultados del modelo (5.56) a la vista del (5.54) y el (5.55)?¿Te parece lógico obtener este resultado?, ¿cuál puede ser su causa?153

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.8. Estimación del MRLG con gretl: principales resultados, contrastede hipótesis• Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios, MCO:Una vez abierto el fichero de datos con el que vamos a trabajar, vamos aModelo → Mínimos Cuadrados OrdinariosAparecerá una ventana para especificar la parte sistemática del modelo donde debemos:Seleccionar la variable dependiente pinchando a la izquierda sobre ella y a continuación pinchar enla derecha → la flecha azulSeleccionar las variables independientes pinchando a la izquierda sobre ella-s y a continuación pincharen la derecha → la flecha verdePara obtener los resultados de la estimación MCO pinchar en Aceptar. No pinchar en la indicaciónDesviaciones Típicas Robustas.En esta ventana aparecerán los resultados básicos de la estimación del modelo. Los podemos guardarcomo texto plano de la manera habitual o como icono con Archivo → Guardar como icono.Los resultados que gretl nos devuelve muestran entre otros estadísticos la estimación de los parámetrosde la recta de ajuste, sus desviaciones típicas y estadísticos de significatividad individual.Ejemplo 5.17Vamos a utilizar como ejemplo la estimación realizada en el Ejemplo 5.10 sobre el preciode la vivienda y los contrastes desarrollados en el Ejemplo 5.13:P RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + β 3 BEDRMS i + β 4 BAT HS + u i i = 1, . . . , 14Los resultados de la estimación MCO mostrados por gretl son los siguientes:Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1–14Variable dependiente: priceCoeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor pconst 129,062 88,3033 1,4616 0,1746sqft 0,154800 0,0319404 4,8465 0,0007bedrms −21,5875 27,0293 −0,7987 0,4430baths −12,1928 43,2500 −0,2819 0,7838Media de la vble. dep. 317,4929 D.T. de la vble. dep. 88,49816Suma de cuad. residuos 16700,07 D.T. de la regresión 40,86572R 2 0,835976 R 2 corregido 0,786769F (3, 10) 16,98894 Valor p (de F ) 0,000299Log-verosimilitud −69,45391 Criterio de Akaike 146,9078Criterio de Schwarz 149,4641 Hannan–Quinn 146,6712154

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEn la columna con encabezamiento Coeficiente aparece la estimación del coeficientre queacompaña a la correspondiente variable. A continuación aparece su Desviación Típica yel estadístico t de significatividad individual para el contraste H 0 : β k = 0 así como sucorrespondiente valor p.A continuación aparecen estadísticos de interés como pueden ser la media de la variabledependiente, R 2 o ¯R 2 entre otros. La fila: F (3, 10) = 16,98894; Valor p (de F ) = 0,000299se corresponde con el valor muestral del estadístico F para el contraste de significatividadconjunto y su correspondiente valor-p. A continuación aparecen los estadísticos deAkaike, Schwarz y Hannan-Quinn para la selección de modelos.En la pestaña Contrastes que aparece en la pantalla de resultados de la regresión podemos Omitir uañadir variables, sumar los coeficientes y contrastar combinaciones lineales o restricciones linealesademás podremos realizar contrastes sobre los residuos, de los cuales nos ocuparemos en el últimotema del curso.Ejemplo 5.18Por ejemplo para contrastar:H 0 : β 3 = β 4 versus H a : β 3 ≠ β 4cuyo estadístico de contraste y distribución asociada son:ˆβ 3 −√ˆβ 4ˆσ 2ˆβ3 + ˆσ 2ˆβ4 − 2 × Ĉov( ˆβ 3 , ˆβ∼ t N−44 )en la pestaña Contrastes seleccionamos Restricciones lineales y escribimos b3-b4=0 ygretl nos devuelve el siguiente resultado:Restricción:b[bedrms] - b[baths] = 0Estadístico de contraste: F(1, 10) = 0,0266334, con valor p = 0,873614 luego no serechaza la hipótesis nula para α %.Además nos proporciona las estimaciones restringidas:Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor pconst 127,736 83,9482 1,522 0,1563sqft 0,157407 0,0264067 5,961 9,44e-05 ***bedrms -18,5060 18,4649 -1,002 0,3378baths -18,5060 18,4649 -1,002 0,3378Desviación típica de la regresión = 39,0158155

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEl modelo restringido es:y su FRM esP RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + β 3 (BEDRMS i + BAT HS) + u i i = 1, . . . , 14̂ P RICEi = 127, 736 + 0, 1574 SQF T i − 18, 5060 (BEDRMS i + BAT HS i )En la pantalla de resultados de la estimación aparecen en la barra de menú otros estadísticos oresultados que pueden ser de interés, por ejemplo:• Podemos hacer gráficos de interés: En la opción Gráficos podemos hacer gráficos que nosayudan a interpretar los resultados de la estimación, por ejemploGráficos → Gráfico de la variable estimada y observadaGráficos → Gráfico de residuos → contra alguna de las variables explicativas del modelo• En la pestaña Guardar podemos guardar variables como los residuos, los residuos al cuadrado,la suma de cuadrados residual y el coeficiente de determinación entre otros.• En la pestaña Análisis nos muestra las estimaciones de la variable endógena, los intervalosde confianza de los coeficientes y la matriz de varianzas y covarianzas entre otros resultados.Para ver y guardar los valores de Ŷ , û y otros resultados de utilidad:- Ver los valores: Pinchar en Análisis → Mostrar variable y seleccionar observada, estimadao residuos según nuestro interés.- Guardar los valores: Pinchar en Guardar → seleccionar la variable de interés.Gretl utiliza por defecto la denominación yhat, uhat para designar a la variable endógenaestimada y a los residuos, respectivamente y en la descripción de la variable indicará porejemplo para uhat: residuos del modelo 1, donde el valor 1 indica que corresponde con el primermodelo estimado, esto resulta muy útil pues en general trabajaremos con varios modelos a lavez y hay que distinguir claramente las variables de cada uno.Ejemplo 5.19La matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes estimados es:Matriz de covarianzas de los coeficientesconst sqft bedrms baths7797,5 0,67089 −1677,1 −1209,4 const0,0010202 −0,075461 −0,99507 sqft730,58 −356,40 bedrms1870,6 bathsLos intervalos de confianza de los coeficientes son:t(10, 0, 025) = 2, 228156

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónVariable Coeficiente Intervalo de confianza 95 %const 129,062 −67,6903 325,814sqft 0,154800 0,0836321 0,225968bedrms −21,5875 −81,8126 38,6376baths −12,1928 −108,560 84,17425.8.1. Tratamiento de las variables ficticias en gretl.Gretl permite trabajar tanto con variables ficticias cuantitativas como cualitativas y su tratamientono difiere, solo debemos de ocuparnos de especificar correctamente el modelo. En el caso de que lavariable ficticia no esté construida gretl permite hacerlo. En la pantalla inicial en Añadir podemosañadir Variables ficticias periódicas que se ajustarán lógicamente a la periodicidad muestral delconjunto de datos, Variables ficticias para las variables discretas seleccionadas donde por ejemplo sitenemos una variable que toma valores 1, 2 y 3 podremos construir tres variables ficticias tal como{ 1 si la variable toma valor 1D 1 =0 en caso contrario{ 1 si la variable toma valor 2D 2 =0 en caso contrario{ 1 si la variable toma valor 3D 3 =0 en caso contrarioPor supuesto también podremos introducirlas con el editor tal y como se aprendió en el Tema 4.Veamos un ejemplo aplicado. Abrimos el fichero de datos data7-3 de Ramanathan, que contienedatos para 14 viviendas sobre el precio de venta de la vivienda (PRICE), pies cuadrados habitables(SQFT), número de habitaciones (BEDRMS) y número de baños (BATHS), y una variable ficticiaque toma el valor 1 si la vivienda tiene piscina y 0 en caso contrario (POOL), una variable ficticiaque toma el valor 1 si la vivienda tiene sala de estar y 0 en caso contrario (FAMROOM) y unavariable ficticia que toma el valor 1 si la vivienda tiene chimenea y 0 en caso contrario (FIREPL).Seleccionamos las variables PRICE y POOL y observamos los valores de estas dos variables:Obs price pool1 199,9 12 228,0 03 235,0 14 285,0 05 239,0 06 293,0 07 285,0 08 365,0 19 295,0 010 290,0 011 385,0 1157

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión12 505,0 113 425,0 014 415,0 0Por ejemplo, la primera vivienda de la muestra tiene un precio de 199.900 dólares y tiene piscina(ya que la variable POOL toma el valor 1), mientras que la segunda no tiene piscina (la variablePOOL toma el valor 0) y su precio de venta es de 228.000 dólares, etc.Con los datos anteriores podemos obtener fácilmente que el precio medio de la vivienda es 317.493dólares:Estadísticos principales, usando las observaciones 1 - 14para la variable price (14 observaciones válidas)Media Mediana Mínimo Máximo317, 49 291, 50 199, 90 505, 00Desv. Típ. C.V. Asimetría Exc. de curtosis88, 498 0, 27874 0, 65346 −0, 52983Sin embargo, también es posible obtener el precio medio para las viviendas que tienen piscina, porun lado, y para las que no la tienen, por otro. Para ello, en primer, lugar se selecciona el precio paraaquellas viviendas con piscina. Seleccionamos la variable PRICE, pinchamos en Muestra → Definira partir de v. ficticia..., seleccionamos la variable POOL y aceptamos.De esta forma hemos seleccionado el precio para aquellas viviendas que tienen piscina 18 . A continuación,se obtienen los estadísticos principales:Estadísticos principales, usando las observaciones 1 - 5para la variable price (5 observaciones válidas)Media Mediana Mínimo Máximo337, 98 365, 00 199, 90 505, 00Desv. Típ. C.V. Asimetría Exc. de curtosis122, 99 0, 36390 0, 15896 −1, 2798Para seleccionar el precio de las viviendas que no tienen piscina, pinchamos en Muestra → Restringira partir de criterio, introducimos la condición P OOL = 0 y aceptamos. Los estadísticos principalesson los siguientes:Estadísticos principales, usando las observaciones 1 - 9para la variable price (9 observaciones válidas)18 Para restablecer el tamaño muestral inicial pinchar en Muestra → Recuperar el rango completo.158

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónMedia Mediana Mínimo Máximo306, 11 290, 00 228, 00 425, 00Desv. Típ. C.V. Asimetría Exc. de curtosis68, 959 0, 225275 0, 87575 −0, 52255Por tanto, el precio medio de las viviendas con piscina es de 337.980 dólares frente a los 306.111 delas viviendas sin piscina. Dado el modelo una vivienda con piscina es en promedio 31.869 dólares máscara que la que no tiene piscina. Notar que no se están teniendo en cuenta otros factores que puedenafectar al precio de la vivienda (número de pies cuadrados habitables, número de habitaciones, etc.).El sencillo análisis anterior podemos realizarlo mediante un análisis de regresión. Podemos especificarun modelo econométrico utilizando la variable ficticia POOL como regresor, estimarlo, hacerinferencia e ir incorporando otras características que pueden afectar a los precios de las viviendas.Para comenzar, consideramos el siguiente modelo:P RICE i = α 1 + α 2 P OOL i + u i i = 1, . . . , 14 (5.57)donde• α 1 : precio medio de una vivienda sin piscina.• α 1 + α 2 : precio medio de una vivienda con piscina.• α 2 : diferencia en el precio medio de una vivienda con piscina con respecto a una que no latiene.Los resultados de estimar el modelo por Mínimos Cuadrados Ordinarios utilizando gretl obtenemosque las estimaciones de los coeficientes son las siguientes:Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14Variable dependiente: priceVariable Coeficiente Desv. típica Estadístico t valor pconst 306,111 30,2077 10,1335 0,0000pool 31,8689 50,5471 0,6305 0,5402Media de la var. dependiente 317,493D.T. de la variable dependiente 88,4982Suma de cuadrados de los residuos 98550,5Desviación típica de los residuos (ˆσ) 90,6231R 2 0,0320632¯R 2 corregido −0,0485982Grados de libertad 12Log-verosimilitud −81,880Criterio de información de Akaike 167,760Criterio de información Bayesiano de Schwarz 169,038159

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión̂ P RICE i = 306, 111(10,13)+ 31, 869P OOL i i = 1, . . . , 14(0,63)Para contrastar en el modelo (5.57) si hay diferencias significativas en el precio medio de la viviendaentre aquéllas que tienen piscina y las que no, la hipótesis de contraste es H 0 : α 2 = 0. Estecontraste se puede realizar utilizando el estadístico t habitual cuyo p-valor es 0,5405, por lo que nose rechaza la hipótesis nula para un nivel de significación del 5 %, es decir, el precio medio de lavivienda no es significativamente diferente por el hecho de tener piscina. Alternativamente, se puederealizar el contraste utilizando el estadístico F basado en las sumas de cuadrados de los residuossiendo en este caso el modelo (5.57) el modelo no restringido mientras que el modelo restringido esP RICE i = α 1 + u i i = 1, . . . , 14.Supongamos que ampliamos el modelo (5.57) incorporando regresores que podrían explicar el preciode la vivienda como: el hecho de que la vivienda tenga sala de estar o no, el hecho que tengachimenea o no, su superficie, el número de habitaciones y el número de baños. Las dos primeras sonvariables ficticias que pueden definirse así:{ 1 si la vivienda i-ésima tiene chimeneaF IREP L i ={0 en caso contrario1 si la vivienda i-ésima tiene sala de estarF AMROOM i =0 en caso contrarioMientras que la superficie, el número de baños y el número de habitaciones se definen como en lostemas anteriores:SQF T i tamaño de la vivienda i-ésima en pies cuadradosBEDRMS número de habitaciones de la vivienda i-ésimaBAT HS número de cuartos de baño de la vivienda i-ésimaCon todas ellas podemos especificar el siguiente modelo para explicar el precio de la vivienda:P RICE i = γ 1 + γ 2 P OOL i + γ 3 F AMROOM i + γ 4 F IREP L i+β 1 SQF T i + β 2 BEDRMS i + β 3 BAT HS i + u i i = 1, . . . , 14 (5.58)Donde lo primero a notar es que en el modelo (5.58), afectando a la ordenada, conviven tres conjuntosde variables ficticias con dos categorías cada una, el hecho de tener o no piscina, el hecho de tenero no chimenea y el hecho de tener o no sala de estar, de las cuales sólo se incluye una de cadaconjunto y se mantiene el término independiente. Esta forma de definir el modelo es muy cómodaya que sigue manteniendo los resultados de los modelos con término independiente y permite unafácil interpretación de los coeficientes que acompañan a las variables ficticias. Así, γ i i = 2, 3, 4recogen el diferencial en el valor esperado de una vivienda por el hecho de poseer la característicacorrespondiente manteniéndose constante el resto de variables. El resultado de la estimación es:160

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónModelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14Variable dependiente: priceVariable Coeficiente Desv. típica Estadístico t valor pconst 39,0571 89,5397 0,4362 0,6758pool 53,1958 22,0635 2,4110 0,0467famroom −21,344 42,8734 −0,4979 0,6338firepl 26,1880 53,8454 0,4864 0,6416sqft 0,146551 0,0301014 4,8686 0,0018bedrms −7,0455 28,7363 −0,2452 0,8134baths −0,263691 41,4547 −0,0064 0,9951Media de la var. dependiente 317,493D.T. de la variable dependiente 88,4982Suma de cuadrados de los residuos 9010,24Desviación típica de los residuos (ˆσ) 35,8773R 2 0,911504¯R 2 corregido 0,835650F (6, 7) 12,0166valor p para F () 0,00221290Log-verosimilitud −65,134Criterio de información de Akaike 144,269Criterio de información Bayesiano de Schwarz 148,743La interpretación de los coeficientes estimados es la siguiente:• ˆγ 1 = 39, 057: el precio medio estimado de las viviendas sin piscina, baños, habitaciones, salade estar ni chimenea y con 0 pies cuadrados habitables es de 39.057 dólares.• ˆγ 2 = 53, 1958: la diferencia estimada en el precio medio de las viviendas con piscina conrespecto a las que no la tienen, siendo iguales en el resto de características (pies cuadradoshabitables, habitaciones, baños, sala de estar y chimenea) es de 53.196 dólares.• ˆγ 3 = −21, 34: el precio medio estimado de una vivienda con sala de estar es 21.340 dólaresinferior al de una sin sala de estar, siendo idénticas en el resto de características. Esto sedebe a que, al mantener constante el número de pies cuadrados de la vivienda y el número dehabitaciones y baños, incluir una sala de estar hará que el resto de habitaciones o baños seande menor tamaño.• ˆγ 4 = 26, 188: el precio medio estimado de una vivienda con chimenea es 26.188 dólares máscaro que el de una sin chimenea, siendo idénticas en el resto de características.• ˆβ 1 = 0, 147: el precio medio estimado de una vivienda se incrementa en 147.000 dólares alaumentar en 1 pie cuadrado habitable su superficie, permaneciendo constantes el número debaños y habitaciones.161

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• ˆβ 2 = −7, 046: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 7.046 dólares al aumentaren 1 el número de habitaciones, permaneciendo constantes el número de baños y los piescuadrados habitaciones. Esto se debe a que las habitaciones serán de menor tamaño.• ˆβ 3 = −0, 264: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 264 dólares al aumentaren 1 el número de baños, permaneciendo constantes el número de habitaciones y los piescuadrados habitables. De nuevo, las habitaciones serán de menor tamaño.Contraste de hipótesisPara contrastar, por ejemplo, que no existen diferencias significativas en el precio medio de lavivienda por el hecho de tener chimenea, se realiza un contraste de significatividad individual dela variable FIREPL. En este caso, observando el p-valor correspondiente, 0,6416, se puede concluirque a un nivel de significación del 5 %, no existen diferencias significativas en el precio medio deuna vivienda por el hecho de tener chimenea.Si comparamos los modelos (5.57) y (5.58), ninguna de las variables añadidas en el último essignificativa individualmente 19 . Además, el ¯R 2 es inferior. El contraste de significatividad conjuntapara las variables añadidas se puede realizar con el estadístico F basado en las sumas de cuadradosresiduales de los modelos restringido (modelo (5.57)) y no restringido (modelo (5.58)). En este caso,el resultado es:Contraste de omisión de variables –Hipótesis nula: los parámetros son cero para las variablesbedrmsbathsfamroomfireplEstadístico de contraste: F (4, 7) = 0,0864517con valor p = P (F (4, 7) > 0,0864517) = 0,983881por lo que no se rechaza la hipótesis nula de que las variables añadidas al modelo (5.58) son conjuntamenteno significativas. Al omitir dichas variables el modelo mejora en cuanto a la significaciónde sus coeficientes y el ¯R2 . Por tanto, manteniendo las variables POOL y SQFT, la inclusión delresto (FIREPL, FAMROOM, BATHS, BEDRMS) no añade capacidad explicativa al modelo.19 Un problema añadido es que tenemos un bajo tamaño muestral, T=14, y hemos aumentado significativamente elnúmero de parámetros a estimar, K=7, por lo que tenemos muy pocos grados de libertad.162

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.9. Apéndice5.9.1. Anexo 1. Distintas expresiones de SCT, SCE y SCRSCT = ∑ (Y i − Ȳ )2 == ∑ Y 2i − NȲ 2 = Y ′ Y − NȲ 2SCE = ∑ (Ŷi − ¯Ŷ ) 2 == ∑ Ŷ 2i − N ¯Ŷ 2 == Ŷ ′ Ŷ − N ¯Ŷ 2 == (X ˆβ) ′ (X ˆβ) − N ¯Ŷ 2 == ˆβ ′ X ′ X} {{ ˆβ −NȲ 2 =}=X ′ Y= ˆβ ′ X ′ Y − N ¯Ŷ 2SCR = ∑ û 2 i = û ′ û == (Y − Ŷ )′ (Y − Ŷ ) = (Y − X ˆβ) ′ (Y − X ˆβ) == Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ Y − Y ′ X ˆβ + ˆβ ′ X ′ X ˆβ == Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ X ˆβ == Y ′ Y − ˆβ ′ X ′ Y5.9.2. Anexo 2. Demostración de la insesgadez de ˆσ 21. Propiedades de los residuos MCOLos residuos MCO se pueden escribir en función de las perturbaciones:û = Y − Ŷ == Y − X ˆβ == Y − X(X ′ X) −1 X ′ Y == [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ]Y =Las características de la matriz M son:= [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ](Xβ + u) == Xβ − X(X ′ X) −1 X ′ Xβ + [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ]u == [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ] u = Mu} {{ }=M163

• Es simétrica: M = M ′ M ′ = [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ] ′Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Es idempotente: MM = M• rg(M)= tr(M)= N − K• M es ortogonal a X: MX = 02. Demostración: E(ˆσ 2 ) = σ 2= I ′ N − (X(X ′ X) −1 X ′ ) ′= I N − (X ′ ) ′ [(X ′ X) −1 ] ′ X ′= I N − X(X ′ X) −1 X ′= MMM = [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ][I N − X(X ′ X) −1 X ′ ] == I N − X(X ′ X) −1 X ′ − X(X ′ X) −1 X ′ +X (X ′ X) −1 X ′ X} {{ }=I K(X ′ X) −1 X ′ == I N − X(X ′ X) −1 X ′ = Mtr(M) = tr[I N − X(X ′ X) −1 X ′ ]= tr(I N ) − tr[X(X ′ X) −1 X ′ ]= tr(I N ) − tr[(X ′ X) −1 X ′ X]= tr(I N ) − tr(I K )= N − KMX = [I N − X(X ′ X) −1 X ′ ]X= X − X(X ′ X) −1 X ′ X = 0ComoE(û ′ û) = E(u ′ Mu) == E(tr(u ′ Mu)) = E(tr(Muu ′ )) == tr(E(Muu ′ )) = tr(ME(uu ′ )) == tr(Mσ 2 I N ) == σ 2 tr(M) = σ 2 (N − K)se puede demostrar fácilmente que ˆσ 2 es un estimador insesgado:( ) û′ûE(ˆσ 2 ) = E= E(û′ û)N − K N − K = σ2 (N − K)N − K= σ2Y por tanto podremos utilizarlo como el estimador apropiado de la varianza de la perturbación.164

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.9.3. Anexo 3. Distribuciones que nos interesan• Distribución de la variable endógena o regresando:Y = Xβ + uE(Y ) = XβV (Y ) = E[(Y − E(Y ))(Y − E(Y )) ′ ] = E(uu ′ ) = σ 2 I NDadou ∼ N(0, σ 2 I N ) −→ Y ∼ N(Xβ, σ 2 I N )• Distribución del vector de estimadores MCO:ˆβ = (X ′ X) −1 X ′ Y = β + (X ′ X) −1 X ′ uE( ˆβ) = βV ( ˆβ) = σ 2 (X ′ X) −1Dadou ∼ N(0, σ 2 I N ) −→ ˆβ ∼ N(β, σ 2 (X ′ X) −1 )• Distribución de los residuos:û = MuE(û) = E(Mu) = ME(u) = 0V (û) = E[ûû ′ ] = E(Muu ′ M ′ ] = ME(uu ′ )M = σ 2 MDado• Distribución de la SCR:SCR = û ′ û = u ′ MuUtilizando el resultado 3 del Anexo 4 dado−→ ˆβ k ∼ N(β k , σ 2 a kk )u ∼ N(0, σ 2 I N ) −→ û ∼ N(0, σ 2 M)u ∼ N(0, σ 2 I N ) −→ u′ Muσ 2∼ χ 2 (N−K) −→ û′ ûσ 2∼ χ2 (N−K)ya que: û ∼ N(0, σ 2 M)tenemosû ′ M −1 ûσ 2= u′ MM −1 Muσ 2= u′ Muσ 2∼ χ 2 (N−k)165

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5.10. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.166

Tema 6ValidaciónEn este tema vamos a ocuparnos de validar el modelo. Una vez especificado y estimado el modelode regresión lineal general y realizados los contrastes de interés el modelo puede ser utilizado parala predicción. Esta será más fiable cuanto mejor especificado y estimado esté el modelo. En elTema 5 nos hemos ocupado de ver las consecuencias de omitir variables relevante e incluir variablesirrelevantes y para evitarlo utilizamos los contrastes de significatividad individual y conjunto. Eneste tema nos ocuparemos de analizar si los coeficientes del modelo son constantes durante todo elperiodo muestral.Por otro lado cuando especificamos las hipótesis básicas de comportamiento, sobre la perturbaciónsupusimos que es homocedástica y no autocorrelada, en este tema estudiaremos como contrastarque efectivamente la perturbación tiene varianza constante y covarianzas cero.Para finalizar el tema veremos cómo realizar la predicción por punto y por intervalo del verdaderovalor de la variable endógena.Competencias a trabajar en estas sesiones:1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, así como sus propiedades parapoder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.2. Aplicar la metodología estadística adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para latoma de decisiones en el ámbito profesional.3. Analizar de forma crítica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprenderla lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variableseconómicas.4. Aplicar la metodología econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas enbase a la información estadística disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentosinformáticos apropiados.5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadístico de datos económicos haciendouso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.167

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidasen un caso de estudio particular.Al final de este tema deberíais ser capaces de:1. Conocer cuando un modelo es lineal en parámetros y/o en variables.2. Transformar un modelo no lineal en parámetros en un modelo estimable por MCO.3. Aplicar el contraste de Ramsey en el contexto adecuado.4. Explicar que se entiende por un cambio estructural en un modelo econométrico.5. Contrastar la constancia de los coeficientes de un modelo de regresión lineal general.6. Explicar que se entiende por un modelo de regresión lineal con heterocedasticidad, cómomodelizar esta característica en el término de perturbación del modelo y sus implicaciones ensu matriz de varianzas y covarianzas.7. Analizar gráficamente la posible existencia de heterocedasticidad y saber contrastarla utilizandoel estadístico de White.8. Describir las propiedades del estimador MCO bajo heterocedasticidad.9. Explicar que se entiende por un modelo de regresión lineal con autocorrelación, cómo modelizaresta característica en el término de perturbación del modelo y sus implicaciones en su matrizde varianzas y covarianzas.10. Analizar gráficamente la posible existencia de autocorrelación y saber contrastarla utilizandoel estadístico de Durbin Watson.11. Describir las propiedades del estimador MCO bajo autocorrelación.12. Predecir por punto y por intervalo el valor de la variable endógena dados los valores de lasvariables exógenas en el periodo de predicción.Bibliografía Recomendada:Al final del tema tenéis recogida la bibliografía correspondiente. En particular se os recomienda leerlos capítulos correspondientes a la bibliografía básica detallados a continuación:• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Parte I : cap. 6;Parte II: Caps 11 y 12.• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 14.• Ramanathan, R. (2002). Caps. 6, 8 y 9.• Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Cap. 8.• Wooldridge, J.M. (2006). Cap. 6.168

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6.1. Forma funcionalLa elección de la forma funcional que recoge la relación existente entre la variable dependiente y lasvariables explicativas es un aspecto de la especificación de un modelo muy importante en el análisiseconómico. De hecho, la teoría económica no siempre propone relaciones lineales entre variables deinterés. Es el caso, por ejemplo, de la función de consumo de un bien que aumenta con la rentapero no de forma indefinida ni a ritmo constante sino, en general, a una tasa decreciente, o de lasfunciones de costes marginales que suelen tener forma de U, veáse la Figura 6.1.ConsumoCostesFigura 6.1: Relaciones económicas no linealesEn el Tema 5 se hizo enfásis en el hecho de que el supuesto de linealidad del modelo de regresiónno implica una relación lineal entre las variables sino un modelo en el que los parámetros entrande forma lineal. Por “lineal en los parámetros” se entiende que los parámetros no se multiplicanentre sí, no están elevados a potencias, etc. Sin embargo, como se vió en dicho tema las variables,tanto regresando como regresores, sí se pueden transformar para obtener al final un modelo deregresión lineal que satisfaga los supuestos clásicos. Este hecho hace que el modelo de regresiónlineal sea bastante flexible y se pueda utilizar para modelar relaciones entre variables económicasno lineales. Así, tanto la función de consumo como la función de costes marginales de la Figura 6.1se pueden modelizar utilizando formas funcionales sencillas no lineales en las variables. En el casode la función de consumo, el supuesto de rendimientos decrecientes se puede representar mediantemodelos logarítmicos o semilogarítmicos del tipo:ln C = α + β ln R + u (6.1)C = α + β ln R + u (6.2)y las funciones de costes totales se pueden representar mediantes funciones polinómicas:CM = β 1 + β 2 Q + β 3 Q 2 + u (6.3)Los modelos (6.1), (6.2) y (6.3) cumplen el supuesto de linealidad porque son lineales en los parámetrosy se pueden analizar dentro del marco del MRLG. Ahora bien, como no son modelos lineales enlas variables, el efecto marginal del regresor sobre la variable dependiente no va a ser constante. Por169

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónejemplo, en el modelo (6.3), el efecto marginal de un incremento unitario de la producción sobre loscostes marginales viene dado por:∂E(CT )∂Q= β 2 + 2 β 3 QEste resultado implica que la pendiente de la función de costes marginales no es constante sino quees una función lineal de Q que involucra a los parámetros β 2 y β 3 .Otra forma de modelar relaciones no lineales entre las variables explicativas y el regresando es incluirtérminos de interacción, es decir, el producto de varios regresores del modelo. Consideremos, porejemplo, el siguiente modelo:Y = β 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 4 (X 2 × X 3 ) + uEste modelo es lineal en los parámetros, por lo que cumple el supuesto de linealidad. El efectomarginal de X 2 sobre Y es:∂E(Y )∂X 2= β 2 + β 4 X 3de forma que el incremento esperado en Y ante un incremento unitario en X 2 no es constante sinoque depende del valor de X 3 .Los modelos que no cumplen el supuesto de linealidad se pueden clasificar en dos grupos. En elprimer grupo se encuentran los modelos que no son lineales en los parámetros pero que se puedenlinealizar mediante alguna transformación. En este grupo entra por ejemplo la función de producciónCobb-Douglas que no es lineal ni en las variables ni en los parámetros, pero tomando logaritmos seobtiene una función que no es lineal en las variables pero sí es lineal en los parámetros. El segundogrupo lo forman los modelos que no son lineales en los parámetros y que no se pueden linealizarmediante ninguna transformación, por ejemplo,Y = β 1 + X β 2β 31 + X β 22 + uEste tipo de modelos se estima por mínimos cuadrados no lineales.Contraste de RamseyEl contraste de Ramsey (1969) está diseñado para detectar si la forma funcional está correctamenteespecificada o no. Una forma sencilla de detectar que la forma funcional de este modelo está malespecificada y la relación no es lineal entre las variables, sería incluir términos no lineales en elmodelo anterior y contrastar su significatividad. Ramsey propone añadir términos no lineales delt , ... , donde Ŷt son los valores ajustados por la recta de regresión muestral MCO. Detipo Ŷ 2t , Ŷ 3forma que los términos Ŷ 2t , Ŷ 3t , ... , son funciones no lineales de todos los regresores. La lógica delcontraste se basa en que, si el modelo no está bien especificado, la introducción de estos términosno lineales mejoraría el ajuste del modelo.Los pasos para implementar el contraste de Ramsey son los siguientes. En primer lugar, se estimael modelo que incluye tantos términos no lineales como se desee, habitualmente, dos:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + γ 1 Ŷ 2t + γ 2 Ŷ 3t + u t (6.4)170

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónLa hipótesis nula de correcta especificación del modelo se expresaría en función de los parámetrosdel modelo (6.4) comoH 0 : γ 1 = γ 2 = 0γ 1 ≠ 0 y/o γ 2 ≠ 0Si no se rechaza la hipótesis nula, significa que no se ha detectado mala especificación del modelo.Si, por el contrario, se rechaza, el modelo no es adecuado y se puede mejorar. Ahora bien, unade las limitaciones de este contraste es que no da indicaciones sobre cuál sería la forma funcionalapropiada para el modelo. Gretl permite obtener el contraste de Ramsey automáticamente.6.2. Sobre constancia de los coeficientes: contraste de cambio estructuralEn ocasiones puede ocurrir que la relación entre la variable dependiente y los regresores cambie a lolargo del periodo muestral, es decir, puede que exista un cambio estructural. Por ejemplo, si estamosanalizando el consumo de tabaco y durante el período muestral se ha producido una campaña desalud pública informando sobre los peligros que conlleva el consumo de tabaco, podemos pensarque tras dicha campaña el comportamiento de la demanda de tabaco haya cambiado, reduciéndosesignificativamente. Si esto ocurre no podemos especificar una única función de demanda para todo elperíodo muestral si no que deberíamos especificar dos funciones, una hasta la campaña antitabacoy otra para el período siguiente. Por tanto ante sospechas de que exista un cambio estructuraldebemos de contrastar la estabilidad de los parámetros de nuestra relación.El contraste de cambio estructural, llamado habitualmente contraste de Chow puede realizarse demanera sencilla mediante el estadístico de sumas de cuadrados de los residuos sin más que especificaradecuadamente el modelo restringido y el no restringido. También podemos llevarlo a cabo utilizandovariables ficticias. Hay cambio estructural cuando el modeloy el modelose verifica sólo desde el momento t 1 hasta T.Y t = α 1 + β 1 X t + u t t = 1, 2, . . . , t 1 < T (6.5)Y t = α 2 + β 2 X t + u t t = t 1 , t 2 , . . . , T (6.6)En este caso no podemos escribir una única ecuación del tipo:Y t = α + βX t + u t t = 1, 2, . . . , T (6.7)ya que no se verifica durante todo el periodo muestral y nuestro modelo estaría formado por las ecuaciones(6.5) y (6.6). Si existe cambio estructural rechazaríamos H 0 : α 1 = α 2 , β 1 = β 2 donde q = 2.Este contraste podemos llevarlo a cabo utilizando el estadístico F basado en las sumas de cuadradosde los residuos siendo en este caso el modelo restringido el recogido en la ecuación (6.7) mientras171

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónque el modelo no restringido está constituido por las ecuaciones (6.5) y (6.6). Matricialmente:Modelo no restringido ⇔⎡] [ ]i1 X=1 0 0⎢Y 2 0 0 i 2 X 2⎣[Y1α 1β 1α 2β 2⎤[ ]⎥⎦ + u1⇒ û ′ û = û ′u 1û 1 + û ′ 2û 22Modelo restringido ⇔[Y1] [ ] [i1 X=1 αY 2 X 2 βi 2] [ ]u1+ ⇒ û ′u rû r2bajo el supuesto u 1 ∼ N(0, σ1 2), u 2 ∼ N(0, σ2 2 ) el estadístico de contraste y distribución es:û ′ rû r − û ′ û/2 H ∼0û ′ F(2,T1 +T û/T 1 + T 2 − 42 −4)Notar que para la validez del contraste además de suponer normalidad en las perturbaciones sesupone también que σ 2 1 = σ2 2 .6.3. Sobre las perturbaciones: contrastes de heterocedasticidad y ausenciade correlación6.3.1. Contraste de heterocedasticidadHasta el momento uno de los supuestos básicos del modelo de regresión lineal es que la varianzade cada término de perturbación u i condicionada a los valores de las variables explicativas, esconstante e igual a σ 2 . Llamábamos a este supuesto homocedasticidad y lo denotábamos: V (u i ) =σ 2 ó lo que es igual E(u 2 i ) = σ2 ∀i. La varianza σ 2 es una medida de dispersión de u i alrededorde su media , E(u i ) = 0, o equivalentemente, una medida de dispersión de la variable dependienteY i alrededor de su media β 1 + β 2 X 2i + . . . + β k X ki . Así, homocedasticidad significa que la dispersiónes la misma a través de todas las observaciones.Supongamos que disponemos de observaciones sobre consumo y renta para un conjunto de familias,en un año determinado. Las familias con rentas bajas no tienen mucha flexibilidad en sus gastos, engeneral el grueso de la misma se gastará en cosas básicas, por ello la forma de consumo entre familiasde renta baja no variará demasiado. Sin embargo, las familias de rentas altas tienen más posibilidadesde consumo, ser grandes consumidores o ahorradores o llevar un gasto equilibrado. En cualquier casosu consumo puede ser muy distinto entre sí por lo que pueden tener una gran dispersión alrededorde su consumo medio mientras que las familias con rentas bajas no. En esta situación suponer queexiste homocedasticidad no es sensato, deberíamos suponer que existe heterocedasticidad.Llamamos heterocedasticidad al caso en que la varianza del término de error varía a través deltiempo si miramos a series temporales, V (u t ) = σt 2 , o cambia de una observación a otra si miramosdatos de sección cruzada, (familias, países, etc.), V ar(u i ) = σi 2 . Seguimos suponiendo que no existeautocorrelación entre perturbaciones por lo que sólo consideramos la existencia de heterocedasticidad.La existencia de heterocedasticidad es más habitual en datos de sección cruzada.172

f(u)XYf(u)XYEstadística Actuarial: Análisis de RegresiónEn la Figura 5.1 se puede apreciar la diferencia entre el comportamiento de las perturbacioneshomocedásticas, a la izquierda y heterocedásticas, a la derecha. En la figura de la izquierda sepuede observar que la varianza condicional de Y i a las X i permanece igual sin importar los valoresque tome la variable X. Recordar que la varianza condicional de Y i es la misma que la de u i , portanto, en el gráfico estamos observando cómo la varianza de la perturbación permanece constanteindependientemente del valor que tome el regresor. En la figura de la derecha se puede observar quela varianza de Y i aumenta a medida que X i aumenta y por tanto hay heterocedasticidad:E(u 2 i ) = σ 2 i+βαX6 X6 X1 X2 X6α+βX6Figura 6.2: Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticasX2 X1La existencia de heterocedasticidad puede aparecer en numerosas aplicaciones económicas sin embargo,es más habitual en datos de sección cruzada. A continuación veremos algunas situaciones enlas cuales las varianzas de u i pueden no ser constantes.• En datos de sección cruzada.Ejemplo 6.1 Supongamos que tenemos datos para diferentes comunidades autónomas españolasen el año 2005 sobre gasto sanitario agregado, GS, renta personal disponible, R, elporcentaje de población que supera los 65 años, SEN y población, P OP , con los que estimarel siguiente modelo:GS i = β 1 + β 2 R i + β 3 SEN i + β 4 P OP i + u i i = 1, . . . , N (6.8)Las comunidades con más población y/o mayor porcentaje de población con edad superiora 65 años tendrán mayor gasto sanitario que aquellas con menor población o más joven.En esta situación suponer que la dispersión de los gastos sanitarios es la misma para todaslas comunidades con distinto nivel de población y composición de la misma no es realista,y se debería proponer que la varianza de la perturbación sea heterocedástica V ar(u i ) =σ 2 i , permitiendo por ejemplo que varíe en función creciente con la población, es decir, σ2 i =σ 2 P OP i . Incluso podemos pensar que varíe en función creciente con el porcentaje de poblaciónmayor de 65 años, en cuyo caso propondríamos V ar(u i ) = σ 2 SEN i o con ambas variables,por lo que la forma funcional pudiera ser V ar(u i ) = σ 2 (a P OP i + b SEN i ).173

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjemplo 6.2 Un ejemplo recurrente para mostrar la heterocedasticidad es el estudio de larelación entre consumo y renta. Supongamos que tenemos datos sobre renta, R, y gasto enconsumo, C, para N familias, con los que estimar el modelo:C i = β 1 + β 2 R i + u i i = 1, . . . , N (6.9)Las familias con mayor renta, una vez satisfechas sus necesidades primordiales tienen mayoresposibilidades de decidir cuánto ahorrar y cuánto consumir, por lo que es habitual encontraruna mayor variabilidad en el gasto realizado por familias de renta alta que por familias derenta baja. En esta situación suponer que la dispersión de los gastos de consumo es la mismapara todas las familias con distinto nivel de renta no es realista y se debería proponer que lavarianza de la perturbación sea heterocedástica V ar(u i ) = σi 2 , permitiendo por ejemplo quevaríe en función creciente con la renta de las familias, es decir, σi 2 = σ2 R i .Ejemplo 6.3 Un fenómeno parecido ocurre con las empresas que deben decidir qué porcentajede sus beneficios, B, deben repartir como dividendos, D. Las empresas con mayoresbeneficios tienen un margen de decisión muy superior al fijar su política de dividendos. Alestimar el modelo:D i = β 1 + β 2 B i + u i i = 1, . . . , N (6.10)cabría esperar que la varianza de u i dependa del nivel de beneficios de la empresa i-ésima ypodríamos proponer que por ejemplo, E(u 2 i ) = σ2 i = σ2 B i .• La heterocedasticidad también puede aparecer como consecuencia de la agregación dedatos. En este caso la varianza puede depender del número de observaciones del grupo.Ejemplo 6.4modelo:Supongamos un investigador que desea estimar los coeficientes del siguienteY j = β 1 + β 2 X j + u j j = 1, . . . , N (6.11)donde u j ∼ N(0, σ 2 ), es decir, la varianza de la perturbación es homocedástica. Supongamosque el número de observaciones N es tal que aconseja agrupar las observaciones en m-gruposde n i observaciones cada uno. Supongamos que como observación del grupo i-ésimo se tomala media aritmética dentro del grupo. El modelo a estimar sería:Ȳ i = β 1 + β 2 ¯Xi + ū i i = 1, . . . , m (6.12)y la nueva perturbación ū i seguirá teniendo media cero, pero su varianza no será constanteya que dependerá del número de observaciones dentro del grupo,V ar(ū i ) = σ2n ii = 1, . . . , m.Si el número de observaciones dentro del grupo es el mismo en todos los grupos la varianzade la perturbación ū i es homocedástica.• Otro caso sería la existencia de un cambio estructural en varianza recogido por unavariable ficticia en la varianza de la perturbación.174

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjemplo 6.5 Supongamos que se desea estudiar la relación entre producción, Y , y mano deobra, X, para un conjunto de 20 trabajadores de los cuales 10 son mujeres y el resto hombres.Si suponemos que la variabilidad de la producción es distinta para los hombres que para lasmujeres nuestro modelo a estimar sería:Y i = β 1 + β 2 X i + u i i = 1, . . . , 20 (6.13)donde u i ∼ (0, α 1 + α 2 D i ) siendo D i una variable ficticia que toma valor la unidad si laobservación corresponde a una mujer y cero en el caso contrario. En este caso:V ar(u i ) = α 1 + α 2V ar(u i ) = α 1para las observaciones correspondientes a las mujerespara las observaciones correspondientes a los hombresSuponiendo que las primeras diez observaciones corresponden a mujeres, la matriz de varianzasy covarianzas del vector de perturbaciones sería la siguiente:[ ]E(uu ′ (α1 + α) =2 )I 10 00 α 1 I 10Consecuencias de ignorar la heterocedasticidadVamos a analizar las consecuencias de utilizar el estimador MCO en presencia de heterocedasticidad:• En las propiedades del estimador MCO: El estimador MCO bajo heterocedasticidadsigue siendo una combinación lineal de las perturbaciones. También sigue siendo insesgado yaque la media de la perturbación es cero. Sin embargo, no va a ser de varianza mínima ya quela matriz de varianzas y covarianzas σ 2 (X ′ X) −1 obtenida en el Tema 5 es mínima bajo lashipótesis básicas. Ahora, sin embargo, éstas no se cumplen: estamos considerando el supuestode heterocedasticidad por tanto E(u 2 i ) ≠ σ2 , el Teorema de Gauss-Markov no se cumple yel estimador no es de varianza mínima. Ahora la matriz de varianzas y covarianzas de loscoeficientes obtenida bajo este supuesto no vendrá dada por la expresión σ 2 (X ′ X) −1 y portanto no será mínima. El estimador no es eficiente.• En los contrastes de hipótesis: Una forma sencilla de pensar en las consecuencias sobrelos contrastes de hipótesis es pensar que dado que el estimador no es el mejor de los posiblesla inferencia realizada con el mismo no será fiable.Formalmente lo que está ocurriendo es que el estimador de σ 2 propuesto en el Tema 5 ahorano es insesgado por lo que los estadísticos de contraste habituales no tendrán las distribucionest y F habituales. Por tanto, los contrastes no son válidos.La existencia de heterocedasticidad en u i tiene consecuencias en los estimadores MCO, en concretoya no son los estimadores de menor varianza entre los estimadores lineales e insesgados. Existe otroestimador, el estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados que es el de menor varianza entrelos lineales e insesgados y para el cual la inferencia es válida. Las consecuencias y soluciones del175

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónproblema no forman parte del contenido de este curso. Sin embargo, en la siguiente sección vamosa aprender a detectar la existencia de heterocedasticidad con un estadístico de contraste sencillo yque aparece por defecto en los resultados de estimación MCO de gretl. En cursos más avanzadosaprenderéis a solucionar el problema.Detección de la heterocedasticidadSabemos que en presencia de heterocedasticidad el estimador MCO es ineficiente, y los contrastes dehipótesis no son válidos por ello es importante detectar la posible existencia de heterocedasticidad.La determinación de la existencia de heterocedasticidad sólo podremos conseguirla aplicando untest de contraste para heterocedasticidad, sin embargo podemos aproximarnos gráficamente al problemarealizando un estudio visual de los residuos del modelo. Los residuos MCO son un estimadorinsesgado de u i aún en presencia de heterocedasticidad. Usaremos el residuo al cuadrado como aproximaciónal comportamiento de la varianza de la perturbación. Para ver si puede existir un problemade heterocedasticidad podemos empezar por dibujar el cuadrado de los residuos MCO contra la variablede la cual sospechamos que depende σ 2 , es decir, que sospechamos causa la heterocedasticidadNuestro objetivo es claro: Detectar la existencia de heterocedasticidad en las perturbacionesde un modelo. La primera aproximación al objetivo es el estudio de los gráficos de residuosy de las variables del modelo.6.3.2. Detección gráfica.La aplicación del estimador de MCG y algunos contrastes de heterocedasticidad requieren conocerla forma funcional de la varianza de la perturbación. Si suponemos que la varianza de la perturbacióndepende de uno o más regresores, u otras variables conocidas, un instrumento adecuado paraaproximarnos a la misma sería llevar a cabo un análisis de los residuos MCO donde no hemos tenidoen cuenta la existencia de heterocedasticidad. Aunque û MCO,i no es lo mismo que u i la detecciónde patrones sistemáticos en la variabilidad de los residuos MCO nos indicará la posible existenciade heterocedasticidad en las perturbaciones. Además, puede indicarnos una posible forma funcionalde la misma.Consideramos el modelo (6.8) recogido en el Ejemplo 6.1:GS i = β 1 + β 2 R i + β 3 SEN i + β 4 P OP i + u ii = 1, . . . , Ndonde suponemos E(u i ) = 0 ∀i y E(u i u j ) = 0 ∀i, j i ≠ j. Si sospechamos que u i es heterocedásticadebido a la variable P OP , podemos intentar detectar la existencia de heterocedasticidaden las perturbaciones del modelo ayudándonos del gráfico de los residuos MCO, (û MCO,i ), frente ala variable P OP i .Si el gráfico es como el recogido en la Figura 6.3 pensaremos que la variabilidad de los residuosû MCO,i se incrementan con P OP i y que el incremento es directamente proporcional. Así, podríamos176

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5Residuos de la regresión (= GS observada − estimada)432residuos MCO10−1−2−3−40 5 10 15 20 25 30POPFigura 6.3: Residuos MCO versus P OPproponer, por ejemplo:E(u 2 i ) = σ 2 P OP ii = 1, 2, . . . , NSi el gráfico de los residuos MCO frente a P OP hubiera sido como el recogido en la Figura 6.4supondríamos que el aumento en la varianza de u i es inversamente proporcional a P OP i y propondríamos:E(u 2 i ) = σ 2 P OPi−1 i = 1, 2, . . . , N5432residuos MCO10-1-2-3-40 0.5 1 1.5 2POPFigura 6.4: Residuos MCO versus P OPTambién podemos optar por dibujar la serie de los residuos al cuadrados MCO frente a la variableque creemos causa la heterocedasticidad como se muestra en la Figura 6.5. En el gráfico de laizquierda se muestran los pares (SEN i , û MCO,i ), en el gráfico de la derecha se muestran los pares(SEN i , û 2 MCO,i). Ambos gráficos muestran la misma información, muestran que la variabilidad de losresiduos se incrementa con SEN y podríamos proponer, por ejemplo V ar(u i ) = E(u 2 i ) = σ2 SEN i .177

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión54Residuos de la regresión (= GS observada − estimada)201816residuos MCO3210−1Cuadrado de los Residuos MCO14121086−24−32−46 8 10 12 14 16 18SEN06 8 10 12 14 16 18SENFigura 6.5: Residuos MCO y sus cuadrados versus SENEn general a priori no se conocerá cuál de las variables exógenas genera la heterocedasticidad porlo que resulta aconsejable estudiar los gráficos de los residuos de MCO, contraponiéndolos a cadauna de las variables exógenas del modelo, como estamos haciendo al estudiar los residuos frente aP OP i y frente a SEN i . Notar que ambas variables parecen afectar a la varianza de la perturbación,por ello estaría justificado proponer V ar(u i ) = (a P OP i + b SEN i ), donde a y b son desconocidos yel factor de escala es la unidad, σ 2 = 1.21.510.5Residuos MCO0-0.5-1-1.5-2-2.50 5 10 15 20 25 30POPFigura 6.6: Perturbaciones homocedásticasSi la gráfica entre û MCO,i y P OP i hubiera resultado como la de la Figura 6.6, concluiríamos quela varianza de la perturbación no depende de P OP i ya que no se aprecia ningún patrón de comportamientoy parece que hay una distribución aleatoria de los pares (P OP i , û i ). En esta situaciónprocede analizar los residuos frente al resto de regresores del modelo.Las formas anteriores no son las únicas. Si recordamos, en el Ejemplo 3.6 se suponía una situacióndonde hombres y mujeres en una empresa tenían diferente productividad y se suponía que V ar(u i ) =α 1 + α 2 D i siendo D i una variable ficticia que toma valor uno si la observación corresponde a unamujer y cero en caso contrario. En esta situación esperaríamos un gráfico como el recogido en la178

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónFigura 6.7 donde claramente la dispersión de los residuos para las mujeres es mucho mayor que paralos hombres.800600400Residuos MCO2000-200-400-600-8000 1D_iFigura 6.7: Residuos MCO frente a una variable ficticiaComo conclusión diremos que al analizar los gráficos de la relación residuos MCO, o sus cuadrados,con cada uno de los regresores lo que intentaremos detectar visualmente es un crecimiento odecrecimiento en la variabilidad de los residuos con respecto a la variable en cuestión.Sin embargo el estudio gráfico de los residuos no es determinativo. Para determinar si existe o noheterocedasticidad tendremos que realizar un contraste de existencia de heterocedasticidad con unestadístico adecuado. Estadísticos de contraste de existencia de heterocedasticidad hay muchos yunos se adecúan más a unas situaciones que otros y en general necesitan suponer una forma funcionalpara σi 2. El análisis gráfico no es una pérdida de tiempo ya que la relación entre X ki y û MCO,i nosindicará una posible forma funcional (de heterocedasticidad) para la varianza de la perturbación ypuede indicarnos cuál es el test de contraste más adecuado. En este tema vamos a estudiar un únicotest de heterocedasticidad que tiene carácter general y no exige supuestos sobre el comportamientode σi 2 . Además gretl lo proporciona directamente.6.3.3. Contraste de WhiteEl contraste de heterocedasticidad propuesto por White en 1980 es un contraste paramétrico, decarácter general, que no precisa especificar la forma que puede adoptar la heterocedasticidad. Eneste sentido puede calificarse de robusto. Antes de aplicar el contraste con gretl vamos a desarrollarpaso a paso el contraste para entender su mecanismo. Para la ilustración vamos a suponer quequeremos contrastar la existencia de heterocedasticidad en el modelo:Se procede de la forma siguiente:Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u i (6.14)1. Estimamos por MCO el modelo original y calculamos los residuos de MCO, û MCO,i .179

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Estimamos la regresión auxiliar: el cuadrado de los residuos mínimo-cuadráticos de la regresiónanterior, sobre una constante, los regresores del modelo original, sus cuadrados y productoscruzados de segundo orden, evitando los redundantes:û 2 i = α 1 + α 2 X 2i + α 3 X 3i + α 4 X 2 2i + α 5 X 2 3i + α 6 X 2t X 3i + ω i (6.15)Contrastar la hipótesis nula de homocedasticidad es equivalente a contrastar que todos loscoeficientes de esta regresión, exceptuando el término independiente son cero. Es decir:H 0 : α 2 = α 3 = . . . = α 6 = 03. El estadístico de contraste es λ = NR 2 donde R 2 es el coeficiente de determinación de laregresión auxiliar (6.15). Rechazamos H 0 si NR 2 > χ (p)|α siendo p el número de coeficientesen la regresión auxiliar sin incluir el término independiente, en el ejemplo p = 5.Observaciones:1. Este contraste es muy flexible ya que no especifica la forma funcional de heterocedasticidad,pero por otro lado, si se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad no indica cuál puedeser la dirección a seguir.2. A la hora de incluir los regresores de la regresión auxiliar debemos ser muy cuidadosos parano incurrir en multicolinealidad exacta, por ejemplo en el caso de las variables ficticias convalores 0 y 1, en este caso el cuadrado de la variable coincide con ella misma.3. También pueden surgir problemas en modelos con un alto número de regresores que puedeconllevar que en la regresión auxiliar el número de variables sea tal que no supere al númerode observaciones y nos quedemos sin grados de libertad. Si éste es el caso podemos optar porregresar el cuadrado de los residuos MCO sobre Ŷi y Ŷ i2 ya que Ŷi es el ajuste de Y i usandoel estimador MCO con todos los regresores originales.4. El contraste de White puede recoger otro tipo de problemas de mala especificación de laparte sistemática, omisión de variables relevantes, mala forma funcional etc. Esto es positivosi se identifica cuál es el problema, en caso contrario, la solución que se tome puede estarequivocada. Si la detección de heterocedasticidad se debe a un problema de mala especificaciónla solución pasa por especificar correctamente el modelo.6.3.4. Contraste de ausencia de correlación temporalEn el modelo de regresión, el término de perturbación engloba aquellos factores que determinando lavariable endógena, no están recogidos en la parte sistemática del modelo. Estos factores pueden serinnovaciones, errores de medida en la variable endógena, variables omitidas, etc. Hasta el momentouno de los supuestos básicos del modelo de regresión lineal es que la covarianza entre perturbacionesde distintos periodos es cero. Sin embargo, si estos factores están correlacionados en el tiempo oen el espacio, entonces no se satisface la hipótesis de NO autocorrelación que escribíamos como180

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónE(u t u s ) = 0 ∀t, s t ≠ s. Este fenómeno se conoce con el nombre de autocorrelación: correlaciónserial, en el caso de series temporales y correlación espacial en el caso de datos de seccióncruzada. En general es más habitual en datos de serie temporal.Concepto de autocorrelación:Existe autocorrelación cuando el término de error de un modelo econométrico está correlacionadoconsigo mismo. Es decir, la covarianza entre las perturbaciones es distinta de cero para diferentesmomentos del tiempo (o entre distintos individuos) 1 :E(u t u s ) ≠ 0 ∀t, s t ≠ sEsta dinámica, aunque no sea relevante en media, refleja un patrón sistemático que tenemos queconsiderar a la hora de estimar el modelo.La existencia de autocorrelación supone el incumplimiento de una de las hipótesis básicas sobrela perturbación de forma similar a la existencia de heterocedasticidad. Esta afecta a las varianzasmientras que la autocorrelación afecta a las covarianzas. En cualquier caso, las consecuencias sobreel estimador MCO son las mismas: el estimador no es de varianza mínima, aunque sigue siendo lineale insesgado. Los contrastes de hipótesis no son válidos por las mismas razones que en el supuesto deheterocedasticidad. Si sospechamos que en un modelo la perturbación está autocorrelada, primerodeberíamos cerciorarnos realizando un contraste y en el caso de que ésta exista es importanteestimar el modelo bajo estos nuevos supuestos con un estimador alternativo a MCO que sea devarianza mínima y válido para hacer inferencia. Este estimador queda fuera del contenido de estetema, sin embargo, aprenderemos a detectar el problema mediante un contraste y estudiaremos unproceso sencillo para recoger el comportamiento de la perturbación bajo autocorrelación: el procesoautorregresivo de primer orden.Causas de autocorrelaciónComo decíamos al iniciar este capítulo el término de perturbación de un modelo engloba aquellosfactores que, determinando la variable endógena, no están recogidos en la parte sistemática delmodelo. Factores como variables omitidas, mala especificación de la forma funcional o errores demedida, entre otros, son causa de autocorrelación. Repasaremos algunos de ellos:• Shocks aleatorios prolongadosSea el modelo:R t = β 1 + β 2 RM t + u tt = 1, 2, . . . , Tdonde R t es la rentabilidad de un activo en el periodo t y RM t es la rentabilidad del mercadoen dicho periodo t. Si en un momento dado se produce una caída del mercado, la rentabilidad1 No es preciso que u t esté correlacionada consigo misma en cada dos instantes distintos del tiempo, sino que bastaque la correlación se extienda a algunos periodos.181

Estadística Actuarial: Análisis de Regresióndel activo se verá afectada a la baja y como consecuencia la rentabilidad obtenida será menorque la esperada. Este efecto se prolongará en el tiempo hasta que poco a poco los inversoresrecuperen la confianza y el mercado vuelva a estabilizarse. El shock se recogerá en el términode perturbación. Si por ejemplo, la caída se produce en (t − 1), lo que estamos diciendo es quela perturbación en t dependerá de lo ocurrido en (t − 1) vía u t−1 .• Existencia de ciclos y tendenciasSi estamos analizando un modelo econométrico cuya variable endógena presenta ciclos y/otendencias que no se explican a través de las variables exógenas, la perturbación recoge dichasestructuras, presentando un comportamiento de autocorrelación. En este caso, los residuospresentan agrupaciones de desviaciones por encima del promedio (en la parte alta del ciclo) yagrupaciones de desviaciones por debajo del promedio (parte baja del ciclo).• Relaciones no linealesSupongamos que la verdadera relación entre los tipos de interés, r t , y el stock de DeudaPública, D t , es cuadrática:r t = β 1 + β 2 D t + β 3 D 2 t + u t t = 1, 2, . . . , T β 2 > 0, β 3 < 0Este modelo implica que los tipos de interés aumentan al crecer el stock de deuda pública,aunque menos que proporcionalmente, puesto que se tiene:∂r t∂D t= β 2 + 2β 3 D t < β 2tanto menor cuanto mayor es D t . Pero sin embargo se especifica y se estima un modelo lineal:r t = β 1 + β 2 D t + u tt = 1, 2, . . . , TEn este caso la curvatura de la parte sistemática pasa a ser recogida por la perturbación.Los residuos presentarán una racha de residuos negativos seguida de otra racha de residuospositivos para seguir con otra negativa.• Variables omitidas relevantes correlacionadasSi el modelo realmente se especifica como:Pero estimamos:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t t = 1, 2, . . . , Tu t = Y t − β 1 − β 2 X 2t − β 3 X 3tû t = Y t − ˆβ 1 − ˆβ 2 X 2t − ˆβ 3 X 3tY t = β 1 + β 2 X 2t + v t t = 1, 2, . . . , Tv t = Y t − β 1 − β 2 X 2t = u t + β 3 X 3tˆv t = Y t − ˜β 1 − ˜β 2 X 2t = û t − ( ˜β 1 − ˆβ 1 ) − ( ˜β 2 − ˆβ 2 )X 2t + ˆβ 3 X 3tEn este contexto de omisión recordemos que los estimadores MCO son sesgados en general.En consecuencia, tras un análisis de los residuos ˆv t tanto gráfico como mediante tests, esmuy probable que si la variable omitida está correlacionada o presenta ciclos o tendencias elinvestigador llegue a la conclusión de que: Cov(v t , v s ) ≠ 0. De todas formas hay que tener encuenta que no siempre que se omite una variable relevante se causa autocorrelación.182

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónProceso autorregresivo de primer orden, AR(1)Existen numerosos procesos capaces de reproducir estructuras de autocorrelación en la perturbación,sin embargo el proceso autorregresivo de primer orden es el proceso de autocorrelación más sencilloy uno de los que mejor se suele ajustar a datos económicos 2 . Se especifica como:u t = ρu t−1 + ɛ tt = 1, 2, . . . , Tde forma que la perturbación en el periodo t depende de la perturbación del periodo anterior (t − 1)más un término aleatorio (o innovación) ɛ t cuyas características son:E(ɛ t ) = 0 ∀tE(ɛ 2 t ) = σɛ2 ∀tE(ɛ t ɛ s ) = 0 ∀t, s t ≠ sɛ t ∼ iid(0, σ 2 ɛ )y que habitualmente se le llama ruido blanco 3 . La especificación completa del MRLG cuando laperturbaciones presentan autocorrelación es:Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + . . . + β K X Kt + u tt = 1, 2, . . . , Tu t = ρu t−1 + ɛ t ɛ t ∼ iid(0, σ 2 ɛ ) |ρ| < 1El coeficiente ρ mide la correlación entre u t y u t−1 y debe cumplir que |ρ| < 1 para que el procesono sea explosivo. Se le denomina coeficiente de autocorrelación de orden uno (o primer orden) yaque uno es el número de periodos entre u t y u t−1 :ρ =Cov(u t , u t−1 )√V ar(ut ) √ V ar(u t−1 )− 1 < ρ < 1Si la covarianza es positiva se le denomina correlación positiva y si es negativa, correlación negativa.Dado que u t = Y t − E(Y t |{X it } K i=1 ) la perturbación representa la diferencia entre el comportamientoobservado y el comportamiento promedio. Dados los posibles valores de ρ tenemos que:i) Si ρ > 0 entonces un valor elevado de u t genera un valor de Y t por encima del promedio ytendrá mayor probabilidad de ir seguido por un valor elevado de u t+1 y así sucesivamente.ii) Si ρ < 0 un valor alto de u t irá seguido por un valor bajo de u t+1 y éste por uno alto de u t+2y así sucesivamente.La relación entre la perturbación u t y la innovación ɛ t se recoge en el diagrama siguiente:u t−2 −→ u t−1 −→ u t −→ u t+1↑ ↑ ↑ ↑ɛ t−2 ɛ t−1 ɛ t ɛ t+12 El proceso autorregresivo de orden uno no es el único proceso que recoge dinámica en la perturbación. El procesoautorregresivo más general de todos es el proceso autorregresivo de orden p, AR(p):u t = ρ 1 u t−1 + ρ 2 u t−2 + . . . + ρ p u t−p + ɛ tAdemás existen otros procesos alternativos a los autorregresivos.3 Si nos fijamos, ɛ t cumple las hipótesis básicas sobre la perturbación, es por tanto homocedástica y no autocorrelada.183

uttuttEstadística Actuarial: Análisis de Regresiónpor lo que cada innovación influye sobre la perturbación en el mismo periodo o períodos posteriores,pero nunca sobre los valores anteriores, es decir: E(ɛ t u t−s ) = 0 s > 0. Además en el diagrama sepuede observar que u t no depende directamente de u t−2 pero sí lo hace a través de u t−1 , por tantou t está correlado con todos las perturbaciones pasadas.Figura 6.8: Proceso autorregresivo de orden unoEn la izquierda de la Figura 6.8 se observa un proceso autorregresivo de primer orden con parámetroρ positivo. En ella podemos observar una racha de residuos positivos seguidos de una racha deresiduos negativos y así sucesivamente. En cambio, cuando el parámetro del proceso autorregresivoes negativo, los signos de los residuos se alternan como podemos ver en la figura de la derecha delmismo gráfico.Detección de la autocorrelaciónEn la práctica no se conoce a priori si existe autocorrelación ni cuál es el proceso más adecuadopara modelarla. Para determinar su existencia es necesario contrastar dicha hipótesis mediante unestadístico de contraste.Si embargo, ningún contraste de autocorrelación debe excluir un examen riguroso de los residuosgenerados en la estimación del modelo. El gráfico de los mismos puede indicarnos la existencia deautocorrelación. Dado que los residuos son una aproximación a la perturbación, la existencia depatrones o comportamientos sistemáticos en los mismos indicaría la posible existencia de autocorrelaciónen u t . Por ejemplo, podemos esperar que el gráfico de la evolución temporal de û t,MCO secomporte de forma similar a lo mostrado por la Figura 6.8. Sin embargo, también podemos dibujarla evolución temporal de û t,MCO contra la de û s,MCO para s = t − 1. Si encontramos que la mayoríade los puntos en dicho gráfico se hallan en el primer o tercer cuadrante, izquierda de la Figura 6.9,ello es un indicio de autocorrelación positiva. Si se hallan en el segundo y cuarto cuadrante, derechade la Figura 6.9, indicará autocorrelación negativa.Tras el análisis gráfico, si sospechamos que existe autocorrelación debemos contrastarla con unestadístico de contraste. Existen varios estadísticos de contraste pero en este tema vamos a estudiarsólo uno, el estadístico de Durbin Watson, específico para contrastar la existencia de un procesoautorregresivo de primer orden.184

utusutusEstadística Actuarial: Análisis de RegresiónContraste de Durbin WatsonFigura 6.9: Perturbaciones AR(1) positivo versus AR(1) negativoDurbin y Watson propusieron en 1951 un estadístico para contrastar la existencia de un procesoAR(1) en el término de perturbación. La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación:frente a la alternativay se contrasta mediante el estadístico:H 0 : ρ = 0H a : ρ ≠ 0 en u t = ρu t−1 + ɛ t ɛ t ∼ (0, σ 2 ɛ )DW =∑ Tt=2 (û t − û t−1 ) 2∑ Tt=1 û2 tdonde û t son los residuos mínimo-cuadráticos ordinarios de estimar el modelo original sin tener encuenta la existencia de autocorrelación en las perturbaciones. Gretl proporciona el valor de esteestadístico entre los resultados de la estimación MCO. Sin embargo antes de utilizarlo vamos aestudiar su interpretación y manejo sin recurrir a gretl.• Interpretación del estadístico DW:Si el tamaño muestral es suficientemente grande 4 podemos emplear la relación DW ≃ 2(1 − ˆρ) enbase a la cual podemos establecer el siguiente comportamiento en los residuos:• Si existe autocorrelación positiva de primer orden, valores positivos del término de error u ttiendan a ir seguidos de valores positivos y asimismo, valores negativos tiendan a ir seguidos4 Teniendo en cuenta las aproximaciones:con lo queT∑û 2 t ≃t=2DW ≃ 2 ∑ Tt=2 û2 t − 2 ∑ T∑ Tt=1 û2 tT∑û 2 t−1 ≃t=2t=2 ûtût−1T∑t=1û 2 t∑ Tt=2≃ 2 − 2 ∑ ûtût−1T≃ 2(1 − ˆρ)t=2 û2 t−1donde ˆρ es el estimador de ρ por MCO∑en el modelo u t = ρu t−1 + ɛ t , empleando como aproximación de u t el residuoût ûMCO, es decir, û t = ρû t−1 + ɛ t y ˆρ = t−1∑ û2 t−1.185

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónde valores negativos. Dado que la aproximación a la perturbación es el residuo, los patronesen la perturbación serán detectados en el residuo. Así, observaremos agrupaciones de residuospositivos seguidas de agrupaciones de residuos negativos. En estas circunstancias, generalmente|û t − û t−1 | < |û t | ⇒ (û t − û t−1 ) 2 < û 2 t y el numerador del estadístico “será pequeño” enrelación al denominador, con lo que el estadístico “será pequeño”. En consecuencia cuantomás cercano esté el parámetro ρ a la unidad más próximo a cero estará el DW. En el extremopositivo tenemos que ρ −→ 1 ⇒ DW −→ 0.• Si existe autocorrelación negativa de primer orden, valores positivos de û t tienden a ir seguidosde valores negativos, en este caso |û t −û t−1 | > |û t | ⇒ (û t −û t−1 ) 2 > û 2 t con lo que el estadísticoDW tenderá a tomar valores grandes. En el extremo negativo tenemos que ρ −→ −1 ⇒DW −→ 4.A partir de la relación DW ≃ 2(1 − ˆρ) se puede establecer el rango de valores que puede tomar elestadístico DW.0 < ˆρ < 1 DW ∈ (0, 2)ˆρ = 0 DW ≃ 2−1 < ˆρ < 0 DW ∈ (2, 4)La distribución del estadístico DW bajo H 0 depende de la matriz de regresores X por lo quelos valores críticos del contraste también serán diferentes para cada posible X. Durbin y Watsontabularon los valores máximo (d U ) y mínimo (d L ) que puede tomar el estadístico independientementede cuál sea X, y tal que d L < DW < d U . La distribución de d L y d U depende del tamaño de lamuestra, T, y de K ′ que denota el número de variables explicativas del modelo exceptuando eltérmino independiente.• Contraste de existencia de autocorrelación positiva:H 0 : ρ = 0H a : ρ > 0 en u t = ρu t−1 + ɛ t |ρ| < 1 ɛ t ∼ iid(0, σ 2 ɛ )1. Si DW < d L se rechaza la H 0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto existeautocorrelación positiva.2. Si DW > d U no se rechaza la H 0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto no existeautocorrelación positiva.3. Si d L < DW < d U estamos en una zona de incertidumbre y no podemos concluir si existe ono autocorrelación positiva de primer orden.• Contraste de existencia de autocorrelación negativa:H 0 : ρ = 0H a : ρ < 0 en u t = ρu t−1 + ɛ t |ρ| < 1 ɛ t ∼ iid(0, σ 2 ɛ )1. Si DW < 4 − d U no se rechaza la H 0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto noexiste autocorrelación negativa.186

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión2. Si DW > 4 − d L se rechaza la H 0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto existeautocorrelación negativa.3. Si 4 − d U < DW < 4 − d L estamos en una zona de incertidumbre y como en el caso anterior,no podemos concluir si existe o no autocorrelación negativa de primer orden.Gráficamente:H 0 : ρ = 0Autocorrelación positivaAutocorrelación negativa←− − − − − H a : ρ > 0 − − − −− −→ ←− − − − − − − −H a : ρ < 0 − − − −− −→| | | | |Rechazar | | Aceptar ρ = 0 | | Rechazarρ = 0 | Duda | | | Duda | ρ = 0| | | | |0 d L d U 2 4 − d U 4 − d L 4Si el resultado del contraste es que existe autocorrelación y ésta no es debida a una mala especificacióndel modelo, éste no debe ser estimado por MCO ya que este estimador es ineficiente. Si laautocorrelación es originada por una mala especificación del modelo primero se ha de corregir estaespecificación y una vez el modelo esté correctamente especificado analizar las propiedades de laperturbación y actuar en consecuencia.• Observaciones sobre el contraste de Durbin Watson:1. El contraste de Durbin Watson también se puede considerar un contraste de mala especificacióndel modelo. La omisión de variables relevantes correlacionadas, una forma funcionalinadecuada, cambios estructurales no incluidos en el modelo, etc., pueden originar un estadísticoDW significativo. Esto nos puede llevar a errores si consideramos que hay evidenciade autocorrelación y se modela un proceso AR(1). Por otro lado, si u t sigue un proceso distintode un AR(1), es probable que el estadístico DW lo detecte. Por lo tanto, el estadísticode Durbin Watson es útil porque nos indica la existencia de problemas en el modelo, pero aveces no nos ayuda a establecer cuál es la estructura real. En caso de no rechazar la H 0 , podemosafirmar que no tenemos un AR(1), pero no sabemos si tenemos alguna otra estructuraalternativa.2. Por otro lado el estadístico DW sólo debe aplicarse cuando los regresores son no estocásticos,en presencia de regresores aleatorios como la variable endógena retardada no tiene validez.3. Cuando el estadístico DW cae en zona de duda, y si no podemos llevar a cabo un contrastealternativo, no debemos concluir que no existe autocorrelación. El procedimiento conservadoraconseja rechazar la hipótesis nula y estimar por un estimador alternativo a MCO ya que lasconsecuencias de ignorar su existencia cuando sí la hay son más graves que las correspondientesal caso contrario.187

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6.4. PredicciónAunque pueda considerarse que la obtención de un buen conjunto de estimaciones es el objetivoprincipal de la Econometría, a menudo también tiene gran importancia el logro de unas prediccionesprecisas. Supongamos que con N observaciones se ha estimado el modelo:Y i = β 1 + β 2 X 2i + . . . + β K X Ki + u i .Dada una nueva observación de las variables explicativas,X ′ p = [ 1 X 2p · · · X Kp]p ∉ {1, 2, . . . , N}se puede utilizar el modelo estimado por MCO para predecir el valor que tendrá la variable endógena(desconocido en ese momento). Dado el modelo de regresión, la ecuación para Y p es:Y p = β 1 + β 2 X 2p + . . . + β K X Kp + u pPara abreviar, utilizaremos la expresión vectorial:Y p = X ′ pβ + u pDada la información muestral disponible (no conocemos β ni u p ) la predicción por punto de Y pes:Ŷ p = X ′ p ˆβ MCOO lo que es lo mismo:Ŷ p = ˆβ 1 + ˆβ 2 X 2p + . . . + ˆβ K X Kp .Hay cuatro fuentes potenciales de error al realizar una predicción:1. El error de especificación. El modelo de regresión en que nos basamos puede ser incorrecto:pueden faltar variables explicativas que afectan de manera clave a Y , puede que la formafuncional propuesta no sea correcta, puede que se no se cumpla alguna hipótesis básica, etc.2. Error en los valores de X p . La predicción se hace para unos valores dados de X p , pero estospueden ser desconocidos en el momento en que se hace la predicción.3. El error muestral. No hay más remedio que usar ˆβ en vez de los valores verdaderos β parahacer la predicción.4. El error aleatorio. Y p dependerá de u p , la perturbación aleatoria (desconocida) correspondientea esa observación. Cuanto más diferente sea de cero, mayor será este error.Dadas todas estas fuentes de incertidumbre a la hora de predecir Y , es muy recomendable que lapredicción puntual de Y se acompañe con una medida de lo precisa que esperamos que sea esapredicción. En esto consiste la predicción por intervalo.188

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• Predicción por intervalo del valor de la variable endógenaEs muy difícil que el valor predicho para Y p , Ŷp coincida con el valor real. Si la predicción por puntose hace para el mes siguiente, o para el año siguiente, llegará un momento en que conoceremos elerror cometido. Este error se denomina error de predicción y es igual ae p = Y p − ŶpEn el momento en que hacemos la predicción, tenemos cierta información sobre e p , ya que es unavariable aleatoria con una distribución conocida. En concreto,e p ∼ N(0, σ 2 ( 1 + X ′ p(X ′ X ) −1 Xp ))Demostración:e p = Y p − Ŷp = X ′ p β + u p − X ′ p ˆβ == u p − X ′ p ( ˆβ−β) (6.16)Buscamos su distribución. Si u p es normal el estimador MCO dado que es lineal en la perturbacióntambién lo será y por tanto el error de predicción también lo es. En cuanto a su media y varianza:[E(e p ) = E u p − X p ′ ( ˆβ−β)]= 0 − X p ′ (β − β) = 0V (e p ) = E [e p − E(e p )] [e p − E(e p )] ′ == E ( e p e ′ p)=[ (= E u p − X p ′ ( ˆβ−β)) (u p − X p ′ ( ˆβ−β)) ] ′== E [ u p u ′ ]p + E[X p ′ ( ˆβ−β) ( ˆβ−β)] [′ X p − 2X p ′ E ( ˆβ−β)]u ′ p == E ( [u 2 p)+ X′p E ( ˆβ−β) ( ˆβ−β) ′] [ (X p − 2X p ′ E X ′ X ) ]−1 X ′ u u p= σ 2 + σ 2 X p ′ (X ′ X ) −1 Xp ( − 0 == σ 2 1 + X p′ (X ′ X ) )−1 Xp=Por tanto:( e p ∼ N(0, σ 2 1 + X p′ (X ′ X ) )−1 Xp )Tipificando el error de predicción queda:e p − 0√ ∼ N(0, 1)σ 1 + X p ′ ( X ′ X ) −1 X pEl problema es que σ 2 es desconocida. Utilizando que e p y ˆσ 2 obtenemose p√ ∼ t (N−K)ˆσ 1 + X p ′ ( X ′ X ) −1 X p189

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónDe hecho el denominador final es ˆσ ep (la desviación estimada del error de predicción). Tras sustituire p = Y p − Ŷp , se puede utilizar dicha distribución para obtener el siguiente intervalo de predicciónpara la variable endógena:[]P r − t α2 (N−K) ≤ Y p − Ŷp ≤ t αˆσ 2 (N−K) = 1 − αepP r[Ŷp − t α2 (N−K) · ˆσ ep ≤ Y p ≤ Ŷp + t α2 (N−K) · ˆσ ep]= 1 − αIC 1−α (Y p ) =(Ŷp − t α2 (N−K) ˆσ ep , Ŷ p + t α2 (N−K) ˆσ ep)Ejercicio 6.1Una gestoría comercializa 100 pólizas de seguro. Para tener información acerca del tipode póliza más solicitada utiliza el siguiente modelo:dondeN i = β 1 H i + β 2 V i + β 3 M i + β 4 A i + u i i = 1, . . . , 100• N i es el número de pólizas suscritas del producto i-ésimo.{ 1 si la póliza pertenece a seguros del hogar• H i =0 en caso caso contrario{ 1 si la póliza pertenece al ramo de seguros de vida• V i =0 en caso caso contrario{ 1 si la póliza pertenece al ramo de seguros médicos• M i =0 en caso caso contrario{ 1 si la póliza pertenece a seguros automovilísticos• A i =0 en caso caso contrarioLas ventas para el año 1994 se resumen en:∑∑N i = 380 N i = 150i∈Hogari=100∑i=1i∈V idaN 2 i = 20000∑i∈MédicosN i = 70∑i∈Automóviles∑100∑100∑100∑100H i = V i = M i = A i = 25i=1i=11. Interpreta los parámetros del modelo propuesto.2. Estima los parámetros por MCO.i=1i=1N i = 5003. Contrasta si hay diferencias significativas en el número de suscripciones según elramo de seguros al que pertenecen.4. Halla un intervalo de confianza del 95 % para el número de suscripciones de pólizasmédicas.190

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEjercicio 6.2Supón que se quieren explicar los rendimientos de los índices bursátiles, R t , de variospaíses a través de su localización geográfica y de los tipos de interés reales, I t , considerandopara estos últimos que es suficiente con especificar si los tipos son positivos onegativos. Los datos aparecen en la Tabla 6.1.1. Especifica un modelo para el comportamiento de R t con la información que se da.2. Supón ahora que sólo se considera importante en cuanto a la localización si el paísestá o no en Europa (i.e. Europa v.s. Resto del Mundo) y reespecifica el modelo.3. Estima el modelo que has propuesto en el apartado anterior.4. Supón que, para Portugal, el tipo de interés es positivo y el rendimiento de su índicebursátil del 35 %. ¿Consideras que el mercado bursátil en Portugal tiene el mismocomportamiento que en los otros países europeos?RendimientoR tt/iEuropaAlemania 10 % positivoFrancia 20 % positivoReino Unido 15 % positivoItalia 40 % positivoAméricaEEUU 20 % negativoCanadá 22 % negativoSudeste AsiáticoJapón -5 % positivoHong Kong 30 % positivoSingapur 35 % negativoTaiwán 22 % negativoI tTabla 6.1: Observaciones sobre rendimiento y t/i por país6.5. Validación en gretl6.5.1. Contraste de Ramsey con gretlEl contraste de Ramsey es uno de los contrastes que pueden realiarse una vez estimado en gretl unmodelo. En la pantalla de resultados de la estimación Mínimo Cuadrática Ordinaria pincharContrastes −→ Contraste RESET de Ramseyy elegir las variables que queremos introducir en la especificación para el contraste:191

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión• cuadrados y cubos• solo cuadrados• solo cubos• todas las variantesPara mostrar cómo contrastar la ausencia de correlación utilizaremos el archivo de datos Ramanathandata3-3.gdt. En este archivo de datos se dispone de 34 observaciones para el periodo 1960-1993(serie temporal por tanto) sobre el número de resultados de patentes en miles, P AT ENT ES, ysobre el gasto en I + D, en billones de dólares. La relación a estudiar es:P AT ENT ES t = α + β(I + D) t + u t (6.17)Los resultados de la estimación MCO son los siguientes:Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1960–1993 (T = 34)Variable dependiente: PATENTSCoeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor pconst 34,5711 6,35787 5,4375 0,0000I+D 0,791935 0,0567036 13,9662 0,0000Media de la vble. dep. 119,2382 D.T. de la vble. dep. 29,30583Suma de cuad. residuos 3994,300 D.T. de la regresión 11,17237R 2 0,859065 R 2 corregido 0,854661F (1, 32) 195,0551 Valor p (de F ) 3,64e–15Log-verosimilitud −129,2704 Criterio de Akaike 262,5408Criterio de Schwarz 265,5935 Hannan–Quinn 263,5818ˆρ 0,945182 Durbin–Watson 0,233951Contraste de especificación RESET (cuadrados y cubos) Estadístico de contraste: F = 47, 161051,con valor-p= P (F (2, 30) > 47, 1611) = 5, 48e − 010.Contraste de especificación RESET (cuadrados sólo) Estadístico de contraste: F = 14, 824629, convalor-p= P (F (1, 31) > 14, 8246) = 0, 000553.Contraste de especificación RESET (cubos sólo) Estadístico de contraste: F = 18, 475400, con valorp=P (F (1, 31) > 18, 4754) = 0, 000158. En cualquiera de las posibilidades se rechaza la hipótesisnula luego la especicificación lineal no es adecuada, comopuede apreciarse en la Figura 6.15 dondese muestra la nube de puntos correspondiente.192

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónPATENTS con respecto a R D (con ajuste mínimo−cuadrático)200Y = 34,6 + 0,792X180160PATENTS140120100806060 80 100 120 140 160R DFigura 6.10: Variable endógena versus exógena6.5.2. Contraste de cambio estructural o Chow con gretlUtilizando gretl una vez abierto el fichero de datos y estimado el modelo correspondiente por MCO,en la ventana de resultados de la estimación haríamos:Contrastes −→ Contraste de ChowA la pregunta Observación en la cual dividir la muestra contestaríamos fecha correspondiente a T 1y automáticamente gretl realiza el contraste y nos muestra el resultado.Por ejemplo el fichero data7-19 del libro de Ramanathan contiene datos para 1960-1988 sobre lademanda de tabaco y sus determinantes en Turquía. Las variables de interés para el ejemplo sonlas siguientes:Q: consumo de tabaco por adulto (en kg).Y : PNB real per cápita en liras turcas de 1968.P : precio real del kilogramo de tabaco, en liras turcas.D82: variable ficticia que toma valor 1 a partir de 1982.A mediados de 1981 el gobierno turco lanza una campaña de salud pública advirtiendo de los peligrosde salud que conlleva el consumo de tabaco. Nuestro objetivo es determinar si existen cambios enla demanda de tabaco tras la campaña institucional en cuyo caso la especificación:LnQ t = α + βLnY t + γLnP t + u t t = 1960, . . . , 1988 (6.18)no es correcta para todo el período muestral y deberíamos especificar dos ecuaciones:LnQ t = α 1 + β 1 LnY t + γ 1 LnP t + u 1t t = 1960, . . . , 1981 (6.19)LnQ t = α 2 + β 2 LnY t + γ 2 LnP t + u 2t t = 1982, . . . , 1988 (6.20)Si existe cambio estructural rechazaríamos H 0 : α 1 = α 2 , β 1 = β 2 y γ 1 = γ 2En este caso la contestación a la pregunta Observación en la cual dividir la muestra contestaríamos1982 y el output de gretl muestra lo siguiente:193

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónModelo 1: estimaciones MCO utilizando las 29 observaciones 1960-1988Variable dependiente: lnQVariable Coeficiente Desv. típica Estadístico t valor pconst −4,58987 0,724913 −6,332 0,00001∗∗∗lnY 0,688498 0,0947276 7,268 0,00001∗∗∗lnP 0,485683 0,101394 −4,790 0,00006∗∗∗Media de la var. dependiente = 0,784827Desviación típica de la var. dependiente. = 0,108499Suma de cuadrados de los residuos = 0,0949108Desviación típica de los residuos = 0,0604187R-cuadrado = 0,712058R-cuadrado corregido = 0,689908Estadístico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)Estadístico de Durbin-Watson = 1,00057Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867Log-verosimilitud = 41,8214Criterio de información de Akaike (AIC) = -77,6429Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582Contraste de Chow de cambio estructural en la observación 1982 -Hipótesis nula: no hay cambio estructuralEstadístico de contraste: F(3, 23) = 20,1355con valor p = P(F(3, 23) > 20,1355) = 1,25619e-006El estadístico calculado es F = 20, 135 > F 0,05 (3, 23) por lo que rechazamos H 0 para un nivel designificatividad del 5 %, es decir existe cambio estructural, la campaña institucional ha tenido efectoy la demanda de tabaco en Turquía de 1960 a 1988 queda especificada por las ecuaciones (6.19) y(6.20). Los resultados de la estimación mínimo cuadrática de estas ecuaciones son los siguientes:LnQ ̂ t = −5, 024(-10,614)+ 0, 735 LnY t − 0, 381 LnP t t = 1960, . . . , 1981 SCR 1 = 0, 01654(11,587) (-4,227)LnQ ̂ t = 8, 837 + −0, 953 LnY t + 0, 108 LnP t t = 1982, . . . , 1988 SCR 2 = 0, 00965(2,170) (-1,941) (0,654)Cambio estructural utilizando variables ficticiasAlternativamente, el contraste anterior podríamos haberlo realizado mediante la variable ficticiaD82 especificando el modelo:LnQ t = β 1 + β 2 LnY t + β 3 LnP t + β ⋆ 1D82 t + β ⋆ 2D82 t · LnY t + β ⋆ 3D82 t · LnP t + u t t = 60, . . . , 88(6.21)194

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónEn el cual, si existe cambio estructural rechazaríamos H 0 : β1 ⋆ = β⋆ 2 = β⋆ 3 = 0. De nuevo el contrastepuede realizarse con el estadístico F habitual de sumas residuales donde el modelo no restringidoes el (6.21) y el modelo restringido esLnQ t = β 1 + β 2 LnY t + β 3 LnP t + u t (6.22)Utilizando gretl el proceso después de abierto el fichero de datos, tomado logaritmos y construidolas variables D82 · LnY y D82 · LnP sería: estimaríamos el modelo (6.21) por MCO y en la ventanade resultados de la estimación haríamosContrastes −→ Omitir variableselegiríamos D82, D82 · LnY y D82 · LnP y obtendríamos el siguiente resultado:Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 29 observaciones 1960-1988Variable dependiente: lnQVariable Coeficiente Desv. típica Estadístico t valor pconst −4,58987 0,724913 −6,332 0,00001∗∗∗lnY 0,688498 0,0947276 7,268 0,00001∗∗∗lnP 0,485683 0,101394 −4,790 0,00006∗∗∗Media de la var. dependiente = 0,784827Desviación típica de la var. dependiente. = 0,108499Suma de cuadrados de los residuos = 0,0949108Desviación típica de los residuos = 0,0604187R-cuadrado = 0,712058R-cuadrado corregido = 0,689908Estadístico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)Estadístico de Durbin-Watson = 1,00057Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867Log-verosimilitud = 41,8214Criterio de información de Akaike (AIC) = -77,6429Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582Comparación entre el modelo 10 y el modelo 11:Hipótesis nula: los parámetros de regresión son cero para las variablesD82D82YD82PEstadístico de contraste: F(3, 23) = 20,1355, con valor p = 1,25619e-006De los 3 estadísticos de selección de modelos, 0 han mejorado.Dado el p-value rechazamos la hipótesis nula para un nivel de significatividad del 5 % y existe cambioestructural. La demanda de tabaco en Turquía de 1960 a 1988 queda especificada por las ecuaciones(6.19) y (6.20).195

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6.5.3. Contraste de heterocedasticidad con gretlPara ilustrar esta sección y lo que queda del tema vamos a utilizar el conjunto de datos Data 3.2del Ramanathan. En este conjunto de datos se dispone de 51 observaciones sobre renta personal,INCOME, y gasto sanitarios, EXP LT H ambos en billones de dólares para el estado de WashingtonD.C. en 1993. Se trata por tanto de una muestra de sección cruzada. Queremos analizar la evolucióndel gasto en función de la renta, así especificamos el modelo:EXP LT H i = α + βINCOME i + u i i = 1, . . . , 51 (6.23)suponemos que se cumplen las hipótesis básicas y estimamos el modelo por MCO con los resultadossiguientes 5 :Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 51 observaciones 1-51Variable dependiente: exphlthVARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)0) const 0,325608 0,319742 1,018 0,3135152) income 0,142099 0,00196623 72,270 < 0,00001 ***Media de la var. dependiente = 15,2649D.T. de la var. dependiente = 17,8877Suma de cuadrados de los residuos = 148,699Desviación típica de los residuos = 1,74203R-cuadrado = 0,990705R-cuadrado corregido = 0,990516Grados de libertad = 49Criterio de información de Akaike (AIC) = 203,307Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = 207,17Para un nivel de significatividad del 5 % la variable INCOME es significativa, pero el términoindependiente no es significativamente distinto de cero. El ajuste es muy alto, 99,07 %. Gráficamentepodemos ver si la forma funcional lineal elegida resulta adecuada para la relación gasto sanitariorenta.Para ello vamos a dibujar la relación gasto sanitario real y ajustado y además el ajuste MCO.Para ello dentro de la venta gretl: Modelo1 pinchamos la secuencia:Gráficos −→ Gráfico de ajustada-obervada −→ por número de observaciónGráficos −→ Gráfico de ajustada-observada −→ contra incomeLas figuras obtenidas aparecen a la izquierda y derecha, respectivamente, en la Figura 6.11.5 Recordatorio de la secuencia de órdenes para obtener la estimación:Archivo −→ Abrir datos −→ Archivo de muestra −→ Data3.2Modelo −→ Mínimos Cuadrados −→ seleccionar la variable endógena y exógenasLos resultados se muestran en una ventana llamada gretl: modelo1196

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión10090ajustadoactualexphlth observada y ajustada100exphlth con respecto a income (con ajuste m nimo-cuadrÆtico)8080706060exphlth50exphlth404030202001000 10 20 30 40 50index-200 100 200 300 400 500 600 700incomeFigura 6.11: Gasto sanitario real y ajustadoAparentemente el modelo está correctamente especificado y la forma lineal especificada es adecuada.Antes de seguir vamos a guardar los valores ajustados del gasto sanitario los residuos y suscuadrados añadiéndolos al conjunto de datos para luego poder trabajar con ellos si es necesario. Lasecuencia de órdenes a realizar en la ventana gretl: Modelo1 es:Datos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ valores ajustadosDatos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuosDatos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuos al cuadradogretl los va a añadir al conjunto de datos con el que trabajamos y los denota respectivamente poryhat1, uhat1 e usq1 respectivamente. Además añade una leyenda explicativa de la variable. Unavez hecho esto seguimos con el ejercicio.A pesar del buen ajuste encontrado, no resulta descabellado pensar que la varianza del gasto sanitario,EXP HLT H, probablemente dependerá de la renta INCOME. Hemos visto que estudiarel gráfico de residuos frente a INCOME es un instrumento válido para ver indicios del problema.Para obtener el gráfico en la ventana gretl: Modelo 1 pinchamos:Gráficos −→ Gráfico de residuos −→ contra incomeLa figura obtenida se recoge en la Figura 6.12:En el se aprecia que la dispersión de los residuos aumenta a medida que aumenta INCOME. Pareceque la varianza de EXP HLT H aumenta con INCOMEPara confirmarlo realizamos el contraste de White y los resultados del mismo son:197

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión5Residuos verus income4321residuo0-1-2-3-4-50 100 200 300 400 500 600 700incomeFigura 6.12: Residuos MCO versus RENTAContraste de heterocedasticidad de White estimaciones MCOutilizando las 51 observaciones 1-51 Variable dependiente: uhat^2VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)0) const -1,40227 0,986956 -1,421 0,1618392) income 0,0558410 0,0121349 4,602 0,000031 ***4) sq_incom -5,87208E-05 2,10114E-05 -2,795 0,007445 ***R-cuadrado = 0,421177Estadístico de contraste: TR^2 = 21,480039, con valor p =P(Chi-cuadrado(2) > 21,480039) = 0,000022Los resultados confirman que efectivamente existe heterocedasticidad en la perturbaciones del modelo(6.23). El estimador MCO obtenido no es de varianza mínima y la inferencia realizada deacuerdo a él no es válida.Esta introducción al problema de heterocedasticidad pretende que hayáis aprendido que nunca se dauna especificación por correcta sin un análisis de residuos. Que a pesar de que durante todo el cursohemos trabajado suponiendo que se cumplen unas hipótesis básicas lo habitual es que no sea así yque estas situaciones hay que saber reconocerlas. Ampliaciones sobre este tema podéis encontrar enel Capítulo 8 del Ramanathan del que nosotros solo hemos hecho un esbozo de su introducción.6.5.4. Contraste de ausencia de correlación con gretlPara mostrar cómo contrastar la ausencia de correlación utilizaremos el archivo de datos RamanathanData3-3. En este archivo de datos se dispone de 34 observaciones para el periodo 1960-1993(serie temporal por tanto) sobre el número de resultados de patentes en miles, P AT ENT ES, ysobre el gasto en I + D, en billones de dólares. La relación a estudiar es:198

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónP AT ENT ES t = α + β(I + D) t + u t (6.24)Los resultados de la estimación MCO son los siguientes:Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1960–1993 (T = 34)Variable dependiente: PATENTSCoeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor pconst 34,5711 6,35787 5,4375 0,0000I+D 0,791935 0,0567036 13,9662 0,0000Media de la vble. dep. 119,2382 D.T. de la vble. dep. 29,30583Suma de cuad. residuos 3994,300 D.T. de la regresión 11,17237R 2 0,859065 R 2 corregido 0,854661F (1, 32) 195,0551 Valor p (de F ) 3,64e–15Log-verosimilitud −129,2704 Criterio de Akaike 262,5408Criterio de Schwarz 265,5935 Hannan–Quinn 263,5818ˆρ 0,945182 Durbin–Watson 0,233951Los resultados muestran que para un nivel de significatividad del 5 % el término independiente essignificativamente distinto de cero y el gasto en I+D es una variable significativa para explicar lasaplicaciones de las patentes. Además existe un buen ajuste en términos del R 2 (85, 9 %). Si analizamoslos residuos MCO dibujándolos contra el tiempo obtenemos la Figura 6.13. En él podemosver un primer grupo de residuos positivos que va seguido de un grupo de residuos negativos, otrorapositivos y a continuación negativos. Este comportamiento puede indicar la posible existencia deun proceso autorregresivo de primer orden y signo positivo.25Residuos de la regresi n (= PATENTES observada - ajustada)2015105residuo0-5-10-15-20-251960 1965 1970 1975 1980 1985 1990Figura 6.13: Residuos versus tiempo199

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónTambién podíamos haber dibujado los pares (u t−1 , u t ), ver Figura 6.14, en este caso los puntos losencontramos en el primer y tercer cuadrante indicando autocorrelación de primer orden de signopositivo 6 .252015105uhat10-5-10-15-20-25-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20uhat1_1Figura 6.14: Residuos en t versus residuos en t-1Una vez analizados los gráficos debemos realizar un contraste para cerciorarnos de la existencia delproblema. Entre los resultados de la regresión se nos muestra:Estadístico de Durbin-Watson = 0,233951que utilizaremos para contrastar la existencia de un proceso autocorregresivo de primer orden ysigno positivo en la perturbación, ya que DW ∈ (0, 2).H 0 : ρ = 0H a : ρ > 0 en u t = ρu t−1 + ɛ t ɛ t ∼ (0, σ 2 ɛ )Para ello sólo necesitamos comparar el valor del estadístico con d L y d U obtenidos en las tablascorrespondientes. Gretl nos proporciona estas tablas en la opción Herramientas que aparece en laprimera pantalla una vez se abre el programa. La secuencia a pinchar es:Herramientas −→ tablas estadísticas −→ señalar la tabla deseadaGretl proporciona las tablas estadísticas de la normal, t ( t-student), chi-cuadrado, F (F-snedercor)y DW (Durbin-Watson). En nuestro caso pinchamos en esta última y se nos despliega una ventanaque nos solicita el tamaño de muestra y número de regresores. Se lo damos y pinchamos Aceptar.Como resultado gretl nos devuelve una ventana con el valor de d L y d U para el tamaño de muestradado y diferentes valores de K ′ . Para nuestro ejemplo obtenemos:6 Para guardar los residuos en la ventana de resultados de la estimación pinchamosDatos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuosy para obtener su retardo u t−1 seleccionamos la variable residuos y pinchamos la secuenciaDatos −→ Añadir al conjunto de datos −→ retardos de las variables seleccionadas.200

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónValores críticos al 5% del estadístico de Durbin-Watson, n = 134, k = 1dL = 1,7028dU = 1,7329Por tanto para nuestro ejemplo d L (T = 34, K ′ = 1) = 1, 39 y d U (T = 34, K ′ = 1) = 1, 51. ComoDW = 0, 233 < d L se rechaza la H 0 y por tanto existe autocorrelación positiva de primer orden obien puede deberse a una mala especificación del modelo. Antes de buscar un estimador alternativoa MCO debemos explorar esta posibilidad e intentar especificar bien el modelo y volver a realizar unestudio de existencia de autocorrelación para el modelo correctamente especificado. Si analizamosla relación entre las variables exógena y endógena, Figura 6.15 vemos que esta no parece ser linealsi no cuadrática al menos en los dos últimos tercios de la muestra, por lo que vamos a proponer lasiguiente relación cuadrática:P AT ENT ES t = α + β(I + D) t + γ(I + D) 2 t + u t (6.25)200180ajustadoactualPATENTES con respecto a I+D, observada y ajustada160Patentes1401201008060 80 100 120 140 160I+DFigura 6.15: Variable endógena versus exógenaLos resultados de su estimación MCO son:̂ P AT ENT ES t(t-estad)= 121, 57 − 0, 85 (I + D) t + 0, 007 (I + D) 2 t R 2 = 0, 90 DW = 0, 28 (6.26)(5,23) (-1,98)(3,85)Las variables son significativas para un nivel de significatividad del 5 % y el ajuste es bueno, 90 %.Sin embargo, para el modelo (6.26) sigue existiendo autocorrelación positiva de primer orden ya queDW = 0, 28 < d L (T = 34, K ′ = 2) = 1, 33. Si miramos el gráfico de residuos de esta relación, Figura6.16, encontramos las misma evolución cíclica de grupos de residuos positivos-negativos-positivos.Por tanto una vez especificado correctamente el modelo se sigue manteniendo la autocorrelación enlas perturbaciones. El modelo (6.25) debe ser estimado por un estimador alternativo a MCO quesea de varianza mínima y permita realizar inferencia válida.201

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión20Residuos de la regresi n (= PATENTS observada - ajustada)15105residuo0-5-10-15-201960 1965 1970 1975 1980 1985 1990Figura 6.16: Residuos modelo (6.20) versus tiempo6.5.5. Predicción en gretlPara hacer predicción con gretl debemos incorporar los nuevos datos (X p ) a la base de datos medianteA continuación, pincharemos la opciónDatos → Seleccionar todosDatos → Añadir Observacionesindicando el número de observaciones que queremos añadir, en este caso 1. En la fila correspondienteincluimos los valores de las variables explicativas en el periodo de predicción, en este caso laobservación N + 1, incorporando cada observación en la casilla correspondiente. Si no incorporamosel valor para la variable Y i que es la que vamos a predecir, gretl nos mostrará un aviso (Atención:había observaciones perdidas). Podemos simplemente ignorarlo y darle a aceptar.Posteriormente, estimaremos el modelo sin considerar esta nueva observación. Para ello, tenemosque especificar el rango muestral, es decir, en la opciónMuestra → Establecer rangoespecificaremos del rango de observaciones de la muestra para estimar el modelo, en nuestro casode la 1 a la N y elegimos Aceptar.Estimaremos el modelo por MCO y en la ventana de los resultados elegimosAnálisis → PrediccionesEn la nueva ventana podemos determinar el dominio de predicción, es decir el Inicio y Fin que eneste caso es en ambos la observación número N + 1, y también cuantas observaciones se quierenrepresentar antes de la prediccion.Utilizando los resultados obtenidos en el Ejemplo 5.10 se va a predecir la variable P RICE. Losresultados que muestra Gretl son los siguientes:202

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónPara intervalos de confianza 95 %, t(10, ,0, 025) = 2, 228Observaciones price predicción Desv. Típica Intervalo de 95 %15 500,00 479,91 55,390 356,49 603,32Estadísticos de evaluación de la predicciónError medio 20,095Error cuadrático medio 403,79Raíz del Error cuadrático medio 20,095Error absoluto medio 20,095Porcentaje de error medio 4,0189Porcentaje de error absoluto medio 4,0189U de Theil 0650600pricepredicciónIntervalo de confianza 95 por ciento5505004504003503002502001501 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15El gráfico que se obtiene junto a los resultados muestra la serie de precios (P) observada en colorrojo y estimada con el modelo para las 14 observaciones anteriores a la predicción y la predicciónen color azul, junto con su intervalo de confianza en color verde.La predicción por punto del precio de una vivienda con estas características es de 479, 905 miles deeuros, mientras que la predicción por intervalo con un nivel de confianza del 95 % es (356, 5; 603, 3)en miles de euros, por lo que el precio que nos piden, que era de 500 miles de euros por la vivienda,está dentro del intervalo. Este precio para una vivienda de esas características se aceptaría comorazonable dado nuestro modelo y la información muestral utilizada para su estimación, con un nivelde confianza del 95 %.203

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6.6. Bibliografía del temaReferencias bibliográficas básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editorial AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[3] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.[4] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicaciónon-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.204

Tema 7Guía para el desarrollo de un proyectoempírico7.1. Características básicas del proyectoEsta sección desarrolla una guía básica para estructurar la realización de un proyecto. Es del todorecomendable la lectura del Capítulo 19 del libro Introdución a la Econometría, de Wooldridge, J. M.(2003), que aparece en las referencias bibliográficas. Los seminarios y tutorías personalizadas de losequipos individuales servirán para marcar el ritmo en la evolución del proyecto y para que el profesortutorice tanto al equipo como individualmente a cada uno de los integrantes en su aprendizaje. Nohay que perder de vista que el proyecto debe de contribuir a obtener las competencias específicasde la asignatura en su totalidad aunque se incida en la cuarta en cuanto a su evaluación.• Estructura básica del trabajo:1. Portada: Título del trabajo y nombres y apellidos del autor/autores.2. Introducción: Presenta la motivación principal del trabajo, el problema a analizar yposibles referentes en la literatura económica. Por ejemplo, puede ayudar plantearse unapregunta, muy concreta, sobre un fenómeno económico. Por ejemplo, ¿como afecta a laoferta laboral femenina y casada el nivel salarial, la educación y/o el número de hijos?3. Revisión de la bibliografía: En muchas ocasiones existe literatura en el tema elegido.Si es así debe de ser incluida, en un resumen breve.4. Datos: Se describen los datos que componen la muestra a utilizar y las fuentes dedonde han sido obtenidos. Se describen las variables a utilizar en el modelo junto con lasunidades de medida. Finalmente se realiza un análisis descriptivo básico.5. Modelo: Se introduce el modelo de partida propuesto, las variables que entran en elmodelo, el signo esperado de los coeficientes. También si hay diferentes alternativas a laespecificación propuesta que se quieran contrastar o analizar.Es claro que el modelo inicial evolucionará a lo largo del trabajo. Por lo tanto en eltrabajo y la exposición se debe mostrar los puntos más importantes de esta evolución,sin ser exhaustivos en la repetición de interpretación de signos y coeficientes.205

Estadística Actuarial: Análisis de Regresión6. Resultados empíricos: Se muestran y explican razonadamente los resultados obtenidosaplicando las técnicas vistas en clase que se crean oportunas: análisis de residuos,contrastes sobre las hipótesis básicas, elección de métodos alternativos de estimación yrealización de contrastes sobre los parámetros de interés del modelo. Al final del trabajose crea un apéndice en el que incluyen todos los outputs de gretl y gráficos que se hayanobtenido a lo largo de todo el trabajo.7. Conclusiones: Por último, al final del trabajo, se redactan las conclusiones del trabajo,teniendo en cuenta su objetivo y la especificación y estimación del modelo después delanálisis econométrico. En esta sección se explica lo realizado en conjunto y se razona sies el caso sobre la especificación final elegida. Este apartado es imprescindible.8. Bibliografía: Recoge las referencias completas citadas a lo largo del texto. Fuentes deconsultas bibliográficas y de datos, así como referencias a páginas web si es que se utilizan.• Cronología: El proyecto debe evolucionar a lo largo del curso, no debe ser un trabajo realizadoen los últimos diez días antes de su exposición pública por ello es importante que los equipos semarquen una cronología de acuerdo a las directrices marcadas en lo seminarios que se lleven acabo en el aula. Como ya se ha indicado los seminarios y tutorías personalizadas de los equiposservirán para marcar el ritmo en la evolución del proyecto y para que el profesor tutorice tantoal equipo como individualmente a cada uno de los integrantes en su aprendizaje. No hay queperder de vista que el proyecto debe de contribuir a obtener las competencias específicas dela asignatura en su totalidad aunque se incida en la cuarta en cuanto a su evaluación.• Exposición: En general el formato de la exposición puede ser elegido libremente, transparencias,power point etc. Habrá de tenerse en cuenta que todos los alumnos intervienen enla exposición y que el profesor realizará preguntas a los miembros del grupo sobre el trabajorealizado.• Datos a utilizar: Los que se quieran, siempre y cuando se refiera la referencia en el trabajode la fuente utilizada.1. Se pueden utilizar datos de los ficheros disponibles en Gretl siempre y cuando el trabajono sea replicar un ejercicio que ya esté en estos libros.2. Bases de datos disponibles en Gretl sobre servidorArchivo ⇒ Bases de datos ⇒ sobre servidor3. Bases de datos disponibles en Biblioteca.4. Otras direcciones de interés y bases de datos:Eurostat: http://epp.eurostat.cec.eu.int/Banco Mundial: http://devdata.worldbank.org/Fondo Monetario Internacional: http://www.imf.org/OCDE: http://www.oecd.org/Banco Central Europeo: http://www.ecb.int/Economic and Social Data Services: Guía a Recursos internacionales de datos de libreacceso, http://www.esds.ac.uk/international/access/access.asp206

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónBanco de España: http://www.bde.es/Instituto Nacional de Estadística: http://www.ine.es/Eustat: http://www.eustat.es/• Algunos consejos para la preparación del trabajo:1. Primero es importante pensar en el modelo o relación básica que se quiere analizar juntocon los datos a emplear. Es aconsejable estudiar previamente los datos de las variablesque entran en el modelo, sus estadísticos descriptivos, gráficos etc.2. También es importante la forma de presentar los resultados. Una vez realizados los diversosanálisis, estimaciones etc., se pone en común todos los resultados y se seleccionalo importante. Una vez elegido lo más relevante de todo lo realizado esta información sepresenta de forma que sea fácil comparar y valorar los resultados obtenidos.3. No mezclar diferentes fuentes y tipos de letra en el texto.4. No utilizar abreviaciones coloquiales, tipo SMS.5. Todas las figuras y tablas deben estar numeradas. Añadir una pequeña leyenda tanto alos gráficos como a las tablas explicando que recogen (por ejemplo, Figura 2: Gráfico delos residuos contra el tiempo). Se puede poner arriba o abajo de la figura pero siemprehacerlo de la misma forma.6. Las figuras y tablas también pueden ir en un apéndice y hacer referencia en el texto conla numeración utilizada.7. Numerar todas las páginas.8. Es recomendable que se revisen las distintas versiones del trabajo antes de su presentación,cuidando que no haya errores gramaticales.• Cómo presentar y comparar resultados:A continuación se va a mostrar la presentación de resultados de tres especificaciones alternativasy tres métodos de estimación como guía de presentación de resultados.Vamos a estimar las siguientes especificaciones o modelos alternativos para explicar el preciode la vivienda:Modelo AModelo BModelo CP RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + u iP RICE i = β 1 + β 2 SQF T i + β 3 BEDRMS i + u iP RICE i = β 1 + β 3 BEDRMS i + β 4 BAT HS i + u iEstos tres modelos difieren en las variables explicativas incluidas.La Tabla 7.1 muestra los coeficientes estimados por MCO y distintos estadísticos asociadosa la cuatro especificaciones o modelos alternativos anteriores. Esta forma de presentar losresultados puede estar más indicada cuando, como ahora, se presentan distintas especificacionescon la misma variable dependiente. En la parte de abajo de la tabla, también para cadauna de las especificaciones, podéis incluir los valores muestrales de los estadísticos de diversos207

Estadística Actuarial: Análisis de RegresiónTabla 7.1: Modelos estimados para el precio de la vivienda P RICEVariable dependiente: P RICEVariable Modelo A Modelo B Modelo CCONSTANT 52,351 121,179 27,2633(1,404) (1,511) (0,182)SQFT 0,13875 0,14831(7,407) (6,993)BEDRMS -23,911 -10,1374(-0,970) (-0,216)BATHS 138,795(2,652)Suma de cuadrados residual 18273,6 16832,8 55926,4R 2 0,821 0,835 0,450706¯R 2 0,806 0,805 0,350834F de significación conjunta 54,861 27,767 4,51285Grados de libertad 12 11 11Los valores entre paréntesis son los correspondientes estadísticos t de significatividad individual sin tener en cuentala posible heterocedasticidad y o autocorrelación.contrastes bien de heterocedasticidad, autocorrelación, selección de modelos etc. si los habéisrealizado para cada modelo estimado.Si se considera estimar por distintos métodos la misma especificación, puede ayudar presentarlos resultados como en la Tabla 7.2:Tabla 7.2: Función de SalariosVariable dependiente: Salarios Privados W pExplicativas MCO Cochrane-Orcutt Hildreth-Luconst 1, 497 1, 5 1, 53 ∗(1, 27) (1, 27) (1, 32)X t 0, 439 ∗ 0, 439 ∗ 0, 434 ∗(0, 032) (0, 039) (0, 075)X t−1 0, 146 ∗ 0, 147 ∗ 0, 151 ∗(0, 037) (0, 043) (0, 074)A t 0, 13 ∗ 0, 13 ∗ 0, 132 ∗(0, 032) (0, 032) (0, 035)Entre paréntesis se muestran las desviaciones típicas estimadas. En el caso de MCO son robustas a autocorrelación.El símbolo ∗ denota que es significativo al 5 %. El tamaño muestral es T = 80 datos trimestrales.De esta forma es más fácil comparar los resultados a la vez que mostrarlos en una transparenciaa la hora de la presentación.208

BibliografíaReferencias Bibliográficas Básicas:• Teórica:[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometría. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5 a edición.[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía.Prentice Hall. Madrid.[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometría. Ed. Thomson Learning, 2 a edición.[4] Ruiz Maya, L. y Martín Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadística, 3 a edición,Editoral AC, Madrid.• Ejercicios con gretl:[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometricswith applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: Amodern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.Referencias Bibliográficas Complementarias:[1] Alonso, A., Fernández, J. y Gallastegui, I. (2005), Econometría, ed. Pearson: Prentice Hall.[2] Dougherty, Ch. (2006), Introduction to Econometrics, 3rd. Ed., Oxford University Press.[3] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis deregresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Course l isting).[4] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). EconometríaBásica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación onlinede la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.[5] Esteban, M.V. (2007). Estadística Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.Web de la asignatura.[6] Esteban, MV (2008). Estadística Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publica-209

Estadística Actuarial: Análisis de Regresiónción on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.[7] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.Web de la asignatura.[8] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometría.Editorial McGraw-Hill.[9] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3 a edición.[10] Gujarati, D. (2004), Econometría, ed. McGraw-Hill, 4 a edición.[11] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.edition.[12] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.210