Tema 5 Exercicis resolts

Tema 5Exercicis resolts05.1. Calculeu el terme n-èsim de la successió ( an)tal que si An= a1 + a2+ L + aaleshores:a) 1A n=nb) n2 −1A n=n2c)A n1=2n + nn05.2. Es considera la sèrie numèrica definida per6∑ .2n≥ 2 4n + 8n+ 3Raoneu que es tracta d’una sèrie numèrica telescòpica i calculeu la seva suma.05.3. Estudieu la convergència i, quan sigui possible, calculeu la suma de les sèriesnumèriques següents:a)∑n≥1n( − 2) + 4n(7.25)nb) 2.32c)∑ 2n≥ 1 2.43n + 2.43 n)∑3.25n( 1)!n≥ 1 n +05.4. Estudieu la convergència i, si s’escau, calculeu la suma de la sèrie numèricadefinida per2( n + 1)∑ logn ( n + 2)n≥105.5. Estudieu la convergència de les sèries numèriques següents, en funció del nombrereal x:a) ( 2 n2n+ 1)x b)2n3n + 3n + x∑∑ (x > 0)nn+14n≥13xn( n + 1)n≥0

05.6. Calculeu el límit⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞sin ( π ) + sin ⎜ ⎟ + L+sin ⎜ ⎟2nlim⎝ ⎠ ⎝ ⎠n→∞log( n)Tenint en compte el límit anterior, estudieu la convergència de la sèrie numèrica∑ ⎛ π ⎞sin ⎜ ⎟n≥1⎝ n ⎠.05.7. Es considera la sèrie numèrica:∑n≥01⋅ 2⋅3Ln3⋅5⋅ 7 L(2n+ 1)n+1n( −1) 2Definiu-la amb wxMaxima i calculeu les 10 primeres sumes parcials. Determineu uninterval on es trobi la suma de la sèrie. Nota: feu servir la comanda “product” (vegeu-laa l’ajut del programa).05.8. Estudieu la convergència i, si s’escau, calculeu la suma de la sèrie numèricadefinida per∑1!( 2)n≥ 0 n n +05.9. Es consideren les sèries alternades:a)∑n≥11 12.3 n + 1.45n( − )2b)∑n≥1n+( −1) 1n(2.1) − 3.24n!Raoneu que es tracta de sèries convergents i determineu un interval d’amplitud inferiora 1 centèsima en el qual es trobi la suma de la sèrie.05.10. Calculeu el radi de convergència i determineu el domini de convergència de lessèries de potències:a)∑n≥1⎛ 1 ⎞⎜ n ⎟⎝ e ⎠( x − )1 nb)∑n≥1⎛ 2 ⎞⎜ n ⎟⎝ 3 ⎠( x − 2)nEn el cas b), calculeu la suma de la sèrie en el punt x 0 = 4.2 Tema 5: Exercicis resolts