Impacto de las fluctuaciones temporales del flujo en los coeficientes ...

IMPACTO DE LAS FLUCTUACIONESTEMPORALES DEL FLUJO EN LOSCOEFICIENTES EFECTIVOS DEDISPERSIÓN N EN MEDIOSHETEROGÉNEOS.Vanessa Zavala Sánchez, SMarco Dentz,Xavier Sánchez SVila.

CONTENIDO• Objetivo.• Motivación• Definición n del modelo.• Metodología.• Resultados.• Conclusiones.• ...

OBJETIVO• FUNMIG. Entender los procesos de transportede radionucleidos, con el fin de generarherramientas que permitan su manejo seguro.• Cuantificar la dispersión n y la zona de mezcla deun soluto reactivo sujeto a un proceso deadsorción en términos tde coeficientes efectivosde transporte. El medio es física fy químicamenteheterogéneo. El flujo presenta fluctuacionestemporales.

MOTIVACIÓN N Y DEFINICIÓN N DELMODELOMedio Homogéneo. Transporte Fickiano∂ cm( x,t)R + q⋅∇ cm( x, t) −∇D0∇ cm( x, t) = 0∂tPosición delcentro de masaAncho delpenacho

MOTIVACIÓN N Y DEFINICIÓN N DELMODELOduit m tdt(1)() =j()m 1(1)Dij1d( t) = ⎡κij( t)⎤2 dt⎣ ⎦(1) dm () t = d xx p( x,t)i∫i(κ 11 ) 1/2κ = −(2) (1) (1)ij() t mij() t mi() t mj() t∫(2) dm () t = d xx x p( x,t)ij i jcm( x, t)p( x, t)=d∫ d yc ( y, t)mConcentraciónNormalizada

METODOLOGÍA1. Modelo estocástico stico de los parámetrosfluctuantes.2. Expansión perturbativa de primerorden en las varianzas de los camposaleatorios.3. Derivación n de los coeficientes efectivosde transporte.

METODOLOGÍA1. Modelo estocástico stico de los parámetros fluctuantes.[ x ]R( x) = R 1 −µ( )Factor de Fluctuaciones RetardoPromedio Normalizadasµ ( x) = 0µ µ σ µµ2( x) ( x') = C µµ ( x−x')ux ( , t) = u( t) − u'( x,t)[ e ]u() t = u −ν () t1ν ν σ νν2i() tj(') t = C ννij( t−t')ν () t = u'( x,)t = 0(Dentz and Carrera, 2005)

METODOLOGÍA1. Modelo estocástico stico de los parámetros fluctuantes.∂ cm( x,t)R( x) + q( x, t) ⋅∇ c ( x, t) −∇D ∇ cm( x, t) = ρ( x) δ ( t)∂t• Reescalando∂ g( x,t)+ u( t) ⋅∇ g( x, Dt) 0 −∇D∇ g( x, t)=qx ( , t)g( x, t) = Rcm( x, t) , D= , u( x,t)=∂tRR∂ g( x,t)′ρ( x) δ ( t) + µ ( x) + u ( x, t) ⋅∇ g( x,t)∂t• Función de Green∂ g ( x,t)0∂tm0xg ( , t)0+ u( t) ⋅∇ g ( x, t) −∇D∇ g ( x, t) = 00 0

METODOLOGÍA1. Modelo estocástico stico de los parámetros fluctuantes.Expresión integral en el espacio de Fourier. ′( ) ( 0) ( ) d ′ ′ ′g t g t ρ t g ( t t ) ( t ) g′ ′k, = k, , k + k, , L k, k , ( k− k , t )0 0′k −∞∞∫∫Operador Perturbativo:′( ) ′ ∂t µ ( ) i ′ ′Lkk , , ≡ k − kuk ( , t )∂tFunción de Green en el espacio de Fourier:t⎡⎤′ ′ ′g 0( k, tt , ) = exp ⎢−kDk( t− t) + ik⋅∫d τu( τ) ⎥Θ( t−t)⎢′⎣t ⎥⎦

METODOLOGÍA2. Expansión perturbativa de primer orden en lasvarianzas. ′( ) ( 0) ( ) d ′ ′ ′g t g t ρ t g ( t t ) ( t ) g′ ′k, = k, , k + k, , L k, k , ( k− k , t , 0)0 0 0′k −∞′ ′′d d ′ ′ ′t t g ( t t ) ( t ) g′ ′ ′′+ k, , L k, k , ( k− k , t , t )k∞∫∫′ ′′−∞k∞∫∫−∞0 0′ ′′ ′′( t ) ′ ′′ ′′× Lk− k, k, g ( k−k− k,t , 0) + …0∞∫∫

METODOLOGÍA3. Derivación n de los coeficientes efectivos.eff 1d ∂u () ln it = p( k,t)i dt ∂kik=0eff 1d ∂ ∂D () ln ijt =− p( k,t)2dt∂k∂kijk=0p( k, t)=g( k,t)g(0,t)

RESULTADOSD () t = D + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () teff uu eff u ν eff µµ eff u µ eff µν effij ij ij ij ij ij ijDispersiónHeterogeneidadHeterogeneidadHeterogeneidad Croscorrelacionfísica yLocal FísicaQuímica heterogeneidadfluctuacionestemporales.física y químicaDentz et al, 2000. Attinger et al, 1999Dentz and Carrera, Dentz et al, 20002003, 2005(Flujoestacionario)

D () t = D + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () t .eff µµ eff uu eff uµ eff µν effij ij ij ij ij ijRESULTADOSδuuDeff ij() tFig. 2. Dispersión longitudinal, medio físicamenteheterogéneo, flujo estacionario. (M., Dentz, 2000)Fig. 3. Dispersión transversal, medio físicamenteheterogéneo, flujo estacionario. (M., Dentz, 2000)t −1/2

D () t = D + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () t .eff µµ eff uu eff uµ eff µν effij ij ij ij ij ijRESULTADOSδuνDeff ij() tFig. 4. Dispersión longitudinal, medio físicamenteheterogéneo, fluctuaciones temporales de flujo.(Dentz and Carrera 2003)Fig. 5. Dispersión transversal, medio físicamenteheterogéneo, fluctuaciones temporales de flujo.(Dentz and Carrera 2003)

D () t = D + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () t .eff µµ eff uu eff uµ eff µν effij ij ij ij ij ijRESULTADOSδµµDeff ij() tt −1/2Fig. 5. Dispersión longitudinal y transversal, medioquímicamente heterogéneo, flujo estacionario.(Attinger et al, 1999)

D () t = D + δ D () t + δ D () t + δ D () t + δ D () t .eff µµ eff uu eff uµ eff µν effij ij ij ij ij ijRESULTADOSδµνDeff () tijInteracción entre fluctuacionestemporales del flujo yheterogeneidad químicaδµµ+ δµνeffijeffijD () t D () tContribución para un soluto en uncampo de flujo fluctuante en eltiempo en un medio físicamentehomogéneo y químicamenteheterogéneo.

RESULTADOSFunción de correlación:d1µµ⎡2 ⎤C ( k) = (2 π ) l exp − ( kl )i i i⎢i = 1 ⎣ 2 ⎥⎦2tνν ⎡ ⎤C () t = exp −⎢ 2⎣ 2τ⎥⎦Fluctuaciones temporales transversales:d2∏ (Attinger et al., 1999)C t t t C tνν2 2νν() ≡σ ν () ν () ≡σδ δ ()lm νν l m νν l 2 m 2Expresiones analíticas en d=n dimensiones:(Dentz and Carrera., 2005)

• Escalas característicassticas.RESULTADOSτ =uτ =Dil1ul2iDii

• Escalas característicassticas.RESULTADOSκ = τ/τ uτ τ uτ τ uτ κ= (1 + κτ ) D1

RESULTADOS• Comportamiento asintóticotico.Fig. 6. Asymptotic behavior of the contributions to the effective dispersion coefficients due tothe interaction between chemical heterogeneities and temporally flow fluctuations.

RESULTADOS• Comportamiento asintóticotico.Attinger et al, 1999Steady state flowconditionsFig. 7 Asymptotic behavior of the sum of the contributions to the effective dispersioncoefficients due of chemical heterogeneity and the interaction betweenflow temporal fluctuations and chemical heterogeneity

RESULTADOS• Comportamiento asintóticotico..δDµµ ∞ µνL+ δ D

RESULTADOS• Comportamiento temporal. Dispersión local isótropatropa. τ D= τ D1 = τ D2τ κ= (1 + κτ ) Dτ ≤ τDκτ tτ →uDtτD t τ κ→ t−1/2τ κt→t−1

RESULTADOS• Comportamiento temporal. Dispersión local isótropatropa. τ D= τ D1 = τ D2τ κ= (1 + κτ ) Dτ ≤ τDκτ tτ →uDtτD t τ κ→ t−1/2τ κt→t−1

RESULTADOS• Comportamiento temporal. Anisotropic local dispersion. τ D1 ≠ τ D2τ κD21= (1 + κτ ) Dτ τD2 D1τκ τD2ττutκτκtτD2τD2tεi = τ τu/Di

RESULTADOS• Comportamiento temporal. Dispersión local anisótropatropa. . . τ D1 ≠ τ D2τ κτD21= (1 + κτ ) Dτ τD2 D1τκ τD2τutκτ tτ →κD2t1/2εi = τ τu/DiτD2t

CONCLUSIONES• Hemos encontrado que al contrario de lo observado encondiciones de flujo estacionario, el coeficiente dedispersión n en el sentido transversal a la dirección n mediadel flujo, evoluciona a un valor macroscópico.• El coeficiente de dispersión longitudinal puede decrecercomo resultado de la presencia de fluctuacionestemporales del flujo.• Comportamiento superdifusivo del coeficiente dedispersión longitudinal, en el caso de dispersión localanisotropas.

…• Impacto de las fluctuaciones temporales en loscoeficientes de dispersión en mediosestratificados, , (dimensiones(infinitas).• Impacto de los bordes en medios estratificadosconfinados en el sentido transversal.• ¿¿Comportamientosuperdifusivo??