Solución - IqTMA-UVa

FENOMENOS DE TRANSPORTE JULIO 2012APELLIDOS ____________________________________ NOMBRE ________________________CRITERIOS DE PUNTUACIÓN:Nota =PuntosMáximo(55.4)1. Por el interior de una tubería que conecta dos edificios circula agua a la temperatura de 20ºC. Debido a la bajatemperatura de un día de invierno (-12ºC), y a que la tubería no tiene aislamiento térmico, se ha llegado a formaruna capa de hielo en su interior, de espesor e H . Dibuje sobre el diagrama el perfil de temperatura, en todo elintervalo del eje, desde el centro de la tubería hasta el ambiente (3 Puntos).T20ºChielo0ºC-12ºC0 R rConsiderando que el agua circula en régimen laminar, simplifique la ecuación de energía que se muestra acontinuación, indicando en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, yanote bajo cada término tachado el número correspondiente. Recuadre finalmente los términos que permanecenen la ecuación. Considere que el flujo de agua es lo suficientemente elevado para que el espesor de la capa hieloen el sentido de avance del fluido sea prácticamente constante. Admita régimen estacionario (6 puntos).⎛∂ ∂ θ ∂ ∂ ⎞ ⎡ ∂ ∂ θ ∂ ⎤ρ ˆ T T v T T 1 1 q qzCv ⎜ + vr + + vz ⎟ = − ⎢ ( rqr)+ +∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎥⎝ t r r z ⎠ ⎣r r r z ⎦1 2 2 3 4⎛ ∂p⎞ ⎛ 1 ∂ 1∂v∂v⎞ ⎧ ∂v1⎛∂v− T ⎜ ⎟ ⎜ ( rv ) + + ⎟− τ + τ ⎜ + v⎝∂T ⎠ρ⎝r ∂r r ∂θ ∂z ⎠ ⎩ ∂r r ⎝ ∂θ5 6θ zrθr ⎨ rr θθr⎧⎪⎡ ∂ ⎛vθ⎞ 1 ∂vr ⎤ ⎛∂vz ∂vr⎞ ⎛1 ∂vz∂vθ⎞⎫⎪−⎨τ rθ⎢r⎜ ⎟+ ⎥ + τ rz + +τ θ + ⎬⎣ ∂r ⎝ r ⎠ r ∂θ⎜⎦ ∂r∂⎟ z ⎜∂θ ∂⎟⎪⎩⎝ z ⎠ ⎝r z ⎠⎪⎭6[1] Régimen estacionario.[2] Análisis de la velocidad: vr= vθ= 0, vz( r)[3] Análisis de la temperatura [*] : T( rz , ) ⇒ q = 0[4] El término de conducción es despreciable frente al de convección.[5] Fluido incompresible.[6] Disipación viscosa despreciable.θ⎞⎟ + τ⎠zz∂vz∂z⎫⎬⎭[*] Si el espesor de hielo es constante, podría admitirse que la temperatura no varía en dirección z.FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 1

Escriba las condiciones límite necesarias para integrar la ecuación resultante. (2 puntos)z = 0 → T = 20º Cr = R −e → T = 0º CHr = 0 → ∂T= 0∂rIndique cómo calcularía el flujo de calor que pierde el agua, a partir del perfil de temperatura obtenido en losapartados anteriores (4 Puntos).Se calcula el flujo de calor que cruza la interfase hielo-agua:L 2π∂TL∂TQ =−∫∫ k ( R −eH) dθ dz = 2 πk( R −eH)dz0 0 ∂r∫ 0 ∂rr= R− e r= R−eHH¿Cómo calcularía el espesor de hielo, haciendo uso de los coeficientes de transmisión de calor? (4 Puntos).En régimen estacionario el espesor de la capa de hielo es constante, y no hay calor de fusión ocongelación en la interfase. Por lo tanto, el flujo de calor que pasa del agua a la interfase hielo-agua esigual al flujo de calor desde dicha interfase al ambiente exterior:hint Aint UA ext(20 − 0) = (0 + 12), donde h int es el coeficiente de transmisión de calor en el agua, A int la superficie de la interfase[ π( D− 2 eh) L], A ext la superficie exterior del tubo [ πDL], y U el coeficiente global de transmisión de calorhielo-ambiente (despreciando la resistencia de la pared):1 eHAext1= +U k A hhielohieloext, donde k hielo es la conductividad calorífica del hielo, A hielo su superficie media, y h exp el coeficiente detransmisión de calor de la tubería al ambiente exterior. Substituyendo se obtiene una ecuación en la quela único incógnita es e H .2. Haciendo uso del balance macroscópico de cantidad de movimiento,calcular la fuerza en dirección z que ejerce el agua que circula a través de lapistola de limpieza con agua a presión que se muestra en la figura(4 Puntos).⎛ 2u ⎞dP( m)CDMz: =−Δ⎜w ⎟− Δ( pS)+ F + F + mTOTgdt ⎜ u ⎟⎝ ⎠Datos: Flujo de agua = 0.12 kg/sDiámetro de la boquilla de salida = 2 mmDiámetro de la conexión de entrada= 20 mmPresión de trabajo = 20 barEntradade aguaz(Nota: las operaciones de cálculo necesarias para obtener el valor de la fuerza deben indicarse, aunque no se realicen)FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 2

dPRégimen estacionario: 0dt =El plano de entrada es perpendicular a la dirección z, por lo que todos los valores en él son cero.( m)No hay transferencia de materia: F = 0No hay componente de la gravedad en dirección z: mTOTg = 0Con estas simplificaciones, el balance de c.d.m.: F = u2w + p2S24 w (4)(0.12)La velocidad media del agua a la salida: u2 = = = 38.2 m/s2 2ρπd(1000)(3.14)(0.002)πd2−La sección del plano de salida: S2 = = 3.14 10 m42 2 2226 2La presión en el plano de salida es la atmosférica (101300 Pa). Substituyendo:6 − 6F = u w + p S = (38.2)(0.12) + (1.013 10 )(3.14 10 ) = 4.9 NEsta es la fuerza que ejerce la pared de la pistola sobre el agua. La que ejerce el agua sobre la pared de lapistola es la inversa: - F = -4.9 N3. Considere una gota de agua, de radio R, arrastrada por una corriente de aire seco a la temperatura T o . Dibujesobre el diagrama los perfiles de concentración de aire y agua, así como el perfil de temperatura, en el entorno dela gota de agua. Admítase régimen estacionario (3 Puntos).x iAIRETAGUA0 R r 0 R rComplete la siguiente tabla indicando si los términos que se muestran son positivos (+), negativos (-), o nulos (0)(Cada pregunta: +0.40/-0.20 Puntos).∂xAIRE AGUA Total AIRE∂r+ ∂T +∂ rN∂xir 0 + +AGUA- DT +∂ rDt*DxJ ir - + 0AGUADt-FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 3

Indique cómo calcularía la velocidad de evaporación de agua (kg/s) en la superficie de la gota, haciendo uso delos coeficientes de transferencia de calor y materia, h y k x . Defina todas las variables empleadas que no hayansido definidas en el enunciado (8 Puntos).La velocidad de evaporación de agua, W A , corresponde a un proceso de capa estancada:2kx4πR*WA = ( x )* A − xA1−xA, donde x A es la fracción molar de agua en la corriente de aire, y x A en la superficie de la gota. Si el aireestá completamente seco:2 *kx4πR xAxA= 0 ⇒ WA=[1]*1−xAEl flujo de calor necesario para evaporar el agua se transfiere desde la corriente de aire:2 *Q = WAΔ Hvap= h4 πR ( T −T)[2], donde ΔH vap es la entalpía de vaporización del agua, T la temperatura de la corriente de aire y T * latemperatura en la superficie de la gota.En la superficie de la gota se cumple el equilibrio entre fases, definido por la ley de Raoult:* ox p = p[3]A T A To, donde p T es la presión total y p A T***la presión de pavor del agua, calculada a la temperatura en lasuperficie de la gota, T * . Resolviendo las ecuaciones 1 a 3 se obtienen las incógnitas W A ,*Ax y T * .4. En el reactor catalítico de la figura tiene lugar la reacción enfase gas A → 2B. En una delgada sección transversal delreactor de espesor Δz la composición del gas es x A y x B .Calcule la velocidad de producción de B (kmol/h) en dichasección, admitiendo que la velocidad de transformación de Aen B sobre la superficie del catalizador es completa einstantánea. (4 Puntos)Datos:Diámetro del reactor = D RSuperficie específica del catalizador = a v (m 2 /m 3 )Coeficiente de transferencia de materia: Sh = 0.91Re ScA0.49 0.33ΔzA+BLa velocidad de producción vendrá dada por la transferencia de materia de B desde la superficie delcatalizador hacia la fase global:WBo = xBo ( WAo + WBo ) + kx A( xBo − xB) ⎫⎪⎪WBoWAo=−2⎪π 2⎬ ⇒ WBo = kxav DRL Δz(1 − xB)xBo= 1 ⎪ 2π 2⎪A = avDRL Δz⎪4⎭El coeficiente, k x , se calcula con la ecuación de correlación:DADP DADkx= c Sh = 0.91Re ScD RT D0.49 0.33FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 4

Indique si los términos que se indican a continuación, en el entorno de las partículas de catalizador, son positivos(+), negativos (-) o nulos (0). (Cada pregunta: +0.20/-0.10 Puntos)+/-/0 A B Total +/-/0 A B Total v 0N ir - + +DN irDt0 0 0*v +*J ir - + 0Dx iDt0 0 0n ir - + 0j ir - + 05. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuales falsas (F). (Cada respuesta:+0,5/-0,5).V/FLas unidades de la viscosidad cinemática son cm 2 s -1 .La conductividad térmica de un gas a 3 bar es aproximadamente igual que a 1 bar.La difusividad de una mezcla gaseosa a 1 bar es aproximadamente el triple que a 3 bar.V En los fluidos incompresibles se puede afirmar que ∇ . v = 0. VEn los procesos de compresión/expansión de fluidos compresibles el término de conversión de energíacinética en interna puede ser negativo.Las unidades del coeficiente de transmisión de calor son cal/m 2 .s.ºCLa fuerza impulsora en el efecto Soret es un gradiente de temperatura.La velocidad media en masa (v) de un sistema puede ser de signo contrario a la velocidad media en moles(v * )VVVVVV6. Una esfera gira en el seno de un líquido con velocidad angular constante, Ω, en torno a un ejevertical. Realice un análisis de las componentes de la velocidad en el líquido, y diga cuales soncero, y de qué variables dependen las que no se anulan (2 Puntos)v r = 0vθ= 0v ( r, θ)φθΩφIndique como calcularía el par de fuerzas que debe ejercerse sobre la esfera, a partir del perfil de velocidad(3 Puntos).2ππ0 0rφ r = R∫ ∫3 2T = τ R sen θ d θ d φFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 5

APÉNDICEComponentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas⎡ ∂v2 r ⎤τ rr = −μ⎢2 − ( ∇. v)r 3⎥⎣ ∂⎦⎡ ⎛ 1 ∂vθvr⎞ 2 ⎤τ θθ = −μ ⎢2 ⎜ + ⎟ − ( ∇. v)⎥⎣ ⎝r∂θ r ⎠ 3 ⎦⎡ ∂vz2 ⎤τ zz = −μ⎢2 − ( ∇. v)∂z3⎥⎣⎦τ rθ= τ θr⎡ ∂ ⎛vθ⎞ 1 ∂vr⎤= −μ ⎢r⎜ ⎟ + ⎥⎣ ∂r ⎝ r ⎠ r ∂θ⎦τ zθ= τ θz⎡∂vθ1 ∂vz⎤= −μ ⎢ +z r⎥⎣ ∂ ∂θ ⎦τ zr = τ rz⎡∂vz∂vr⎤= −μ ⎢ +∂r∂z⎥⎣ ⎦ 1 1 ∂vθ∂vz∇ = + +r ∂r r ∂θ ∂z∂( . v) ( rvr)Balances macroscópicosdmATOT, ( m)MATERIA A :=− Δw A + wA+ rdtATOT ,⎛ 2u ⎞dP( m)CDMz: =−Δ⎜w ⎟− Δ( pS)+ F + F + mTOT gdt ⎜ u ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞dE. MECANICA : ( K A ) w ( w) ( Gw)B W Edt⎜2u ⎟⎝ ⎠31 uˆ ˆ ( m)TOT + ΦTOT + TOT = −Δ⎜⎟−Δ Φ − Δ + − − v⎛ 31 u ⎞dETOTˆ ˆ ˆ ( m)ENERGIA : =−Δ( Uw) −Δ( pVw) −Δ⎜w ⎟− Δ( Φw)+ Q + Q −Wdt⎜2u ⎟⎝ ⎠Ecuaciones de variación multicomponentes en función de las densidades de flujoCoordenadas rectangulares:∂cNA⎛ ∂N∂⎜Ax+t+∂ ⎝ ∂x∂yAy∂N+∂zAz⎞⎟= R⎠ACoordenadas cilíndricas:∂cA⎛ 1 ∂+ ⎜ rN∂t⎝ r ∂rCoordenadas esféricas:∂cA⎛ ∂+ ⎜ rt2∂ ⎝ r ∂rAθAz( ) + + ⎟ = RA1 2Ar1 ∂Nr ∂θ∂N∂z⎞⎠1 ∂1 ∂NAφ⎞( NAr) +( NAsenθ) +⎟θ= RAr senθ∂θr senθ∂φ⎟⎠FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2012 p. 6