Introducción a la Física del Sólido - CNEA

vecino en la estructura cristalina) y tener en cuenta que los niveles de energía son ocupadossiguiendo el principio de exclusión de Pauli. Nuestro material será aislante si existe un intervalo∆ε >> k B T entre el nivel ocupado más alto y la siguiente banda de niveles. Si el nivel ocupadomás alto está en una banda no totalmente ocupada, ó si existe otra banda que se superpone, setrata de un metal. Esto se debe a que en este caso el cristal tiene numerosos niveles accesibles,incluso para excitaciones muy chicas en energía. Por ejemplo para Cu el diagrama de niveles semuestra en la Fig. II-1b, la superposición de las bandas a la distancia r 0 es característica de unmetal.Fig. II-1b: Estructura de bandas para Cu, en función de la constante de red.(H. M. Krutter, Phys. Rev. 48, 664 (1935)).La función de onda ψ asociada a cualquiera de estos niveles de energía en cualquier banda,es una función que se extiende por toda la red y la probabilidad ψ ∗ ψ tiene la misma simetríaque la red cristalina. En este sentido el electrón que ocupa ese nivel no está asociado con ningúnátomo en particular de la red, son estados colectivos.Para calcular la estructura de bandas electrónicas de un cristal, y las funciones de onda asociadas,deberíamos plantear el hamiltoniano de un conjunto de iones positivos y de los electronesde conducción. Recordemos la aproximación adiabática del Capítulo I, que permite resolver lasfunciones de onda electrónicas tomando las posiciones de los iones como parámetros externos alproblema. Consideramos que los iones están en posiciones fijas y formando una red cristalina, enla posición de equilibrio a T=0K (sin oscilaciones térmicas alrededor de la posición de equilibrio).En este caso, el hamiltoniano del sistema es:N∑i=1[− 22m∂ 2∂r 2 i+ ∑ lV a (r i − l r 0 ) + ∑ je 2|r i − r j | ] ψ(r 1..r N ) = ε ψ(r 1 ..r N ) ,donde r i es la coordenada espacial del electrón i, el primer término describe su energía cinética,el segundo su interacción con un potencial periódico generado por los iones en posiciones lr 0 (lentero, r 0 parámetros de la celda primitiva) y el tercero da cuenta de su interacción con el restode los electrones. Esta ecuación no se puede resolver sin algunas simplificaciones.En este capítulo estudiaremos principalmente las propiedades electrónicas de los metales, endistintas aproximaciones.La aproximación de orden cero para un metal es considerar que los electrones de conducciónno interactúan entre sí ni con los átomos que forman la red. Esta es la teoría de un gas ideal defermiones (Sección II-2).34