seleccion del diametro optimo de tuberias para fluidos no newtonianos viscosos (tercera parte)

SELECCIÓN DEL DIÁMETRO ÓPTIMO DE TUBERÍAS PARA
FLUIDOS NO NEWTONIANOS VISCOSOS
(TERCERA PARTE)
MÉTODO GENERALIZADO. RÉGIMEN LAMINAR
Armando A. Díaz García, Teresa L. Hechavarría Gola
Universidad de Oriente
En este trabajo se presenta un método generalizado para el cálculo del diámetro óptimo de tuberías que
conducen fluidos no newtonianos en régimen laminar para sistemas de flujo impulsados por la gravedad
y por bombeo. Se ejemplifica el método mediante la solución de dos problemas ilustrativos.
Palabras claves: optimización, flujo no newtoniano.
_____________________
A generalized method for the determination for pipe optimal diameter when the fluid of the system is a
non newtonian one is presented in this paper. The regime of work is laminar and the flow is provoked
by the gravity or pumps. Two illustrative examples are showed.
Key words: optimization, non newtonian flow.
Introducción
Todos los casos de selección de tuberías tratados
en los artículos anteriores han supuesto modelos de
flujo sencillos para los cuales es posible deducir una
expresión general, en función del flujo volumétrico
y los parámetro del modelo reológico, con la cual es
posible calcular el diámetro óptimo.
En este artículo trataremos el uso de métodos de
busqueda directa para el calculo del diámetro óptimo
de fluidos no newtonianos, cuyo modelo
reológico no permite la aplicación del método clásico
de optimización.
Selección del diámetro óptimo de tubería
para flujo por gravedad
Supondremos un sistema de flujo como el mostrado
en la figura 1, en el cual se cumplen las
siguientes condiciones:
1. El flujo es isotérmico y estacionario.
2. El fluido es viscoso y el régimen de flujo es
laminar.
3. Las pérdidas por energía cinética y contracciones
y expansiones bruscas son despreciables
ante la magnitud de las pérdidas por fricción.
4. La longitud de la tubería para instalar es conocida,
y el diámetro del conducto es único.
El método consiste en evaluar el sistema para
una serie de diámetros supuestamente válidos y
escoger la solución para la cual se obtiene un flujo
igual o mayor con la carga disponible.
Nos basaremos, para la explicación del método,
en la solución de un problema ilustrativo.
Fig. 1 Diagrama de flujo del sistema
Ejemplo ilustrativo 1
Se desea conducir por gravedad una solución de
CMC (de peso molecular medio) al 1,5 % y 1 100
kg/m 3 de densidad, desde un tanque cuyo nivel de
líquido se encuentra a 8 m de altura hasta la descarga,
a traves de una tubería de 500 m de longitud
total.
El flujo volumétrico que se debe conducir es de
30 L/min.
Se conoce que el modelo reológico viene dado
por el modelo de Ellis:
8
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 1999

γ
⎛ 8⋅
v ⎞ 4
⎜ ⎟ =
3
⎝ D ⎠ τ
w
α −1
( ϕ + ϕ ⋅τ
)τ
=
0 1 w
donde:
α=1,185; ϕ 0
=0,421; ϕ 1
=0,272
γs -1 y τ w
dinas/cm 2
Solución
τ w
2
∫
τ
0
⎛ 8⋅ v ⎞ 4 w
⎜ ⎟ =
3
⎝ D ⎠ τ 0
w
⎛
⎜
⎝
v
D ⎠
⋅γ
⋅ dτ
8⋅
⎞
1
⎟ = ϕ ⋅τ
+
0 w
τ
3
2+
a
∫ ( ϕ ⋅τ
+ ϕ ⋅τ
)
0
1
ϕ
⋅τ
3+
a
a
w
F 8⋅vI HG K J = ⋅ + ⋅
w
D
τ
w
0, 421 τ 0,
065 τ
1,185
w
F I
HG K J =
dτ
⋅v
+ 0 154⋅τ
w
− 2 37 8 1,185
, , 0
D
F 8⋅vI HG K J =
D
−
5,
04 s
1
(1)
Para resolver un problema de flujo no
newtoniano, debemos conocer la relación del es-
⎛ 8⋅v
⎞
fuerzo cortante en la pared en función de ⎜ ⎟ con
⎝ D ⎠
vistas a poder determinar la viscosidad efectiva µ a
.
Aplicando la ecuación de Rabinowitch-Mooney
según la cual:
(2)
Sustituyendo (1) en (2) y arreglando se obtiene:
Integrando y simplificando queda:
Sustituyendo en (3) los valores conocidos:
la cual es conveniente expresarla de la forma:
(3)
(4)
(5)
Suponiendo que un diámetro de D=100 mm
garantiza el flujo deseado:
A f
=0,007 85 m 2
Q=0,005 m 3 /s
Q
v = = 0,
064 m s
A
f
F 8⋅v
Sustituyendo el valor de
D
b g = + , ⋅ − , =
1,185
f τ
w
τ
w
τ
w
HG
I K J
en la ecuación (5):
(6)
Aplicando el método numérico de Newton-
Raphson para la solución de ecuaciones, según el
cual:
f
fτ
τ
τ
(7)
(8)
Para los lectores poco familiarizados con este
método, recordamos que el mismo consiste en la
utilización de la ecuación recursiva (7), en la cual
suponemos una solución y luego se obtiene un valor
de solución mejorado de forma sucesiva hasta que
se logre la solución con la aproximación deseada.
Suponemos τ ws
=10 dinas/cm 2 y sustituyendo en
(8) se obtiene:
τ wc
= 9,71 dinas/cm 2
Como no se aproximadamente igual a τ wc
tomamos:
τ ws
=9,71 dinas/cm 2
y por una nueva iteración, sustituyendo el nuevo
valor de τ ws
en (8) se obtiene:
τ ws
= τ ws
= 9,67 dinas/cm 2
Por tanto, la solución de la ecuación (5) para el
F 8⋅vI valor de K J
D
= 5,04 s-1 es:
HG
0 154 11 94 0
1,185
bτ wg = τ
w
+ , ⋅τ
w
− , =
wc
wc
'
w
= 1+ 0,
182⋅τ
= τ −
ws
τ
= τ −
ws
0 154 11 94 0
fbτ
wg
'
f τ
c wh
w
1,185
w
1,185
+ 0, 154⋅τ
w
−11,
94
1,185
1+ 0,
182⋅τ
τ w
= 9,67 dinas/cm 2
w
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 1999
9

y la viscosidad efectiva será:
µ
e
=
τ
w
8⋅v
D
9,
67
F I
HG K J = = 1 92
5,
04
⋅
, P = 0,192 Pa s
El número de Reynolds generalizado viene dado
por :
Re
g
D⋅v
⋅ ρ 0, 10⋅0,
064⋅1100
= =
= 36,
7
µ 0,
192
Por un balance de energía mecánica en el sistema
se obtiene:
g ⋅ H = f
h
g
2
L⋅v
2⋅
D
H
f
g
H
h
h
= f
g
2
L⋅
v
2⋅
g ⋅ D
64
= = 1,
74
Re
g
2
500⋅0,
064
= 1,
74 = 180 , m
2⋅9, 81⋅0,
81
La tubería supesta pudiera resultar mayor que la
necesaria, pues solo se precisa de 1,8 m de carga y
se dispone de una carga estática de 8 metros. Se debe
probar, entonces, con un diámetro menor; tomemos
una tubería de 75 mm de diámetro interno. Si ésta
resulta mayor que la necesaria seleccionaríamos
Tabla 1
Valores resultantes de los calculos del diámetro óptimo para el ejemplo ilustrativo
D
D
(mm) (m 2 ) (s -1 τwc
) dinas/cm 2 µe Reg fg Hh
(Pa·s)
(m)
100 7,85 5,04 0,97 0,192 36,7 1,74 1,79
75 4,42 11,73 21,85 0,186 48,80 1,31 5,60
50 1,96 40,00 67,95 0,170 80,88 0,79 25,7
Af ·10 3
F 8⋅v
HG
I K J
una menor hasta obtener la tubería con la cual se
obtienen 8 m de carga o más. Los resultados obtenidos
para otros diámetros, siguiendo la meto-dología
de cálculo expuesta, se dan en la tabla 1.
Como se puede observar en la tabla 1, que
muestra los resultados obtenidos en los cálculos de
la tuberías seleccionadas, la tubería que cumple los
requerimientos es la de 75 mm, ya que necesita de
una carga estática de 5,80 m para dar el flujo
requerido (30 L/min) y la carga disponible es mayor
(8 m), de acuerdo con esto la tubería de 75 mm da un
flujo mayor. Observe que la tubería de 50 mm
requiere de 25,2 m de carga estática para dar el flujo
pedido, por lo que evidentemente resulta muy pequeña.
La tubería de 100 mm, sin embargo, resulta
muy grande.
Selección del diámetro óptimo de tuberías
para sistemas de flujo con bombeo
De igual manera nos basaremos en la solución de
un problema ilustrativo para la explicación del
método.
El caso que se trata es el más frecuente: el caudal,
la longitud de la linea y demás circunstancias del
transporte se presentan como dato, debiéndose elegir
el diámetro del conducto y dimensionar los
medios de impulsión del fluido. Siendo así las
cosas, la elección de un diámetro determina la
velocidad media del fluido y se puede plantear la
ecuación de balance de energía mecánica para calcular
el consumo de potencia necesaria para el
transporte. Debe notarse que las pérdidas de carga
dependen sensiblemente del diámetro del conducto
y para fluidos viscosos que fluyen, por lo general, en
régimen laminar son inversamente proporcionales a
la cuarta potencia del diámetro como se muestra en
la ecuación (9):
Para la aplicación del método que a continuación
se expone se hacen las mismas suposisiones que
para el caso anterior.
H
f
128⋅ L⋅Q
⋅ µ
=
4
π ⋅ ρ ⋅ g ⋅ D
e
(9)
10
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 1999

En el caso de los líquidos, las perdidas de carga
suelen ser el factor relevante a los efectos de la
selección del diámetro; en este caso un estudio
somero proporciona dos o tres posibles diámetros
dentro de una serie normalizada de tubería, y el
problema se limita a resolver la estimación técnicoeconómica
entre los costos fijos de la instalación y
los gastos de explotación (mantenimiento y gasto de
energía para el bombeo), debiéndose elegir el diámetro
cuyo costo resulte mínimo.
De cualquier manera, este valor óptimo técnicoeconómico
ha de tomarse como orientativo, y puede
verse modificado por razones estratégicas o de otro
tipo. Un aumento en el costo de la energía desplaza
la selección hacia tamaños superiores de linea. En
este sentido debe preverse un valor de este costo que
sea representativo durante la vida útil de la instalación.
Ejemplo ilustrativo 2
Se desea una solución de CMC (de peso molecular
medio) al 1,5 % y 1 100 kg/m 3 de densidad, desde un
tanque a otro, a través de una línea de tubería de 700
m de longitud total. El punto de descarga se encuentra
10 m más elevado que el de origen.
Se desea estimar el tamaño óptimo de la línea
basado en el siguiente cuadro de datos:
El flujo volumétrico que se debe conducir es de
90 L/min.
Modelo reológico de Ellis.
donde:
a−1
γ = ϕ + ϕ ⋅τ τ
0 1
a=1,185; j 0
=0,421; j 1
=0,272
gs -1 y τdinas/cm 2
c
Horas de funcionamiento anual: 6 000 h.
Vida útil de la instalación: 12 años.
Valor medio de la energía eléctrica durante la vida
útil: 0,90 $/kw-h
Eficiencia de bombeo: 0,5
Tubería de acero cuyo precio y características
son:
h
DN (in) 1 2 3 4 6
D (mm) 26,64 52,50 77,93 102,30 154,10
Precio ($/m) 0,70 1,98 3,64 5,60 10,29
Solución:
Al igual que para el ejemplo tomado para el flujo
por gravedad, es necesario transformar el modelo
reológico con vistas a expresar el esfuerzo cortante
F 8⋅vI en función de K J
D .
HG
Sustituyendo el modelo reológico en la ecuación
de Rabinowitch-Mooney se obtiene la ecuación
(5):
τ
w
F I
HG K J =
⋅v
+ 0 154⋅τ
− 2 37 8 1,185
, , 0
w
D
(10)
Cálculo del costo total para la tubería de 2
pulgadas.
D=0,052 m; A f
=0,002 165 m 2 ; Q=0,001 50 m 3 /s
Q
v = = 0,
69 m s
A
F 8⋅
vI HG
D K J =
f
−
106,
1 s
1
Sustituyendo el valor de (8v/D) en (10) se obtiene:
τ
w
1,185
+ 0, 154⋅τ
− 2515 , = 0
w
Aplicando el método numérico de Newton-
Raphson para solucionar la ecuación, sustituyendo
en la ecuación (7)
τ
wc
τ
= τ −
ws
ws
1,185
+ 0, 154 ⋅τ
− 2515 ,
w
0,185
1+ 0,
182 ⋅τ
ws
(11)
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 1999
11

Suponemos para comenzar la iteración que
τ ws
=180 dinas/cm 2
Sustituyendo en (11) se obtiene:
1,185
180 + 0154 , ⋅180 − 2515 ,
τ wc
= 180 −
= 1794 , dinas cm 2
0,185 1+ 0182 , ⋅180
Como el valor calculado no es lo suficientemente
cercano al supuesto, realizamos una nueva iteración,
esta vez para τ ws
=1,794 dinas/cm 2 que, sustituido
en (11), no da una variación significativa.
Por tanto:
µ
e
=
τ
w
8⋅v
D
179,
4
F I
HG K J = = 1, 69 P
106 1
= 0,
169
,
⋅
∆P g ∆ h F W
ρ + ⋅ = − ∑ −
− W = g ⋅ h + f
Re
f
f
g
g
g
1
g
2
L ⋅v
2⋅
D
D⋅v
⋅ ρ 0, 059⋅0,
69⋅1100
= =
µ 0,
169
64
=
Re
g
= 0,
274
0, 274⋅700⋅0,
69
− W = 9,
81⋅ 10 +
2⋅0,
052
e
2
Pa s
Por un balance de energía mecánica entre los dos
puntos extremos del sistema de flujo:
P 1
=P 2
=1 atm; h 2
=0; h 1
=10 m
Sustituyendo los valores conocidos en (13):
= 976, 1 J kg
(12)
(13)
La potencia de bombeo puede calcularse por la
ecuación:
b W Q
Pot = − g⋅
⋅ ρ
(14)
η
−3
976,
1⋅10 ⋅1100
Pot =
= 3 221 W = 3,22 Kw
0,
5
El costo de bombeo viene dado por:
C = c ⋅t ⋅ Pot
B
C B
= 0, 09⋅6 000⋅ 3, 22 = 1739 $ año
Cálculo de los costos fijos:
C = K ⋅ L
K
F
f
(15)
(16)
(17)
Suponiendo el costo de mantenimiento igual al
40 % del costo de la tubería instalada:
Sustituyendo en (16)
e
ct
+ c
=
V
f
K
U
f
C
mant
1,
4⋅c
⋅ L
t
=
V
F
(18)
(19)
(20)
o sea, que si se selecciona una tubería de 2 pulgadas,
se produce un costo anual de $ 1 900,70.
Procediendo de igual forma para los otros diámetros
seleccionados, se obtienen los valores mostrados
en la tabla 2.
U
1,
4⋅c
⋅ L
t
=
V
1, 4⋅1,
98⋅700
C F
=
= 161, 7 $ año
12
C = C + C
T F B
C T
= 1739 + 161, 7 = 1900, 7 $ año
U
Tabla 2
Valores resultantes de los cálculos del diámetro óptimo para el ejemplo ilustrativo 2
DN (in) 2 3 4 6
CB ($/año) 1 739,0 469,8 291,6 45,9
CF ($/año) 161,7 297,3 457,3 840,2
CT ($/año) 1 900,7 767,1 748,9 886,1
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Evidentemente, de acuerdo con los valores mostrados
en la tabla 2, la tubería de 4 pulgadas de
diámetro nominal resulta la más económica según
los cálculos.
Análisis de los resultados
El método mostrado es general y puede ser
aplicado a cualquier tipo de fluifo, newtoniano o nonewtoniano,
cualquiera que sea el modelo reológico.
Observe que una vez determinada la viscosidad
efectiva, el método es identico al empleado con un
fluido newtoniano de viscosidad constante. La diferencia
estriba en que cada diámetro seleccionado
genera un gradiente de velocidad particular, originado
por la velocidad media adquirida por el fluido
al mantenerse constante el flujo volumétrico.
Otro asunto que reviste interés analizar es la
similitud de los costos anuales en los límites del
diámetro óptimo (para 3 y 5 pulgadas), lo que hace
posible tomar decisiones técnicas sin mayores problemas
desde el punto de vista económico.
Nomenclatura
A f
C t
C B
C F
C T
D
D N
área de flujo, m2
costo de la tubería instalada, $/año
costo de bombeo, $/año
costos fijos, $/año
costos totales, $/año
diámetro interno de tuberias, m
diametro nominal, in
F pérdidas por fricción, J/kg
f coeficiente de fricción.
f g
viscosidad newtoniana, Pa.s
g aceleración de la gravedad, m/s2
H f
carga de fricción, m
H h
carga estática, m
K f
costos fijos y de mantenimiento anuales por
unidad de longitud de tubería
L longitud de tubería, m
n' pendiente logarítmica de la gráfica de t vs ?
Pot potencia de bombeo, kW
Q flujo volumétrico, m3/s
Re g
número de Reynolds generalizado
V util
vida útil de la instalación, años
v velocidad media del fluido en el conducto, m/
s
W trabajo de bombeo, J/kg
t esfuerzo cortante, Pa
τ w
esfuerzo cortante en la pared, Pa
µ e
viscosidad efectiva, Pa.s
Bibliografia
Díaz García, A.; García Abreu, D., Manual aplicado
de Hidráulica, Santiago de Cuba, Ediciones ISPJAM,
1989.
Colectivo de autores, Técnicas de conservación energética
industrial, t. I, La Habana, Edición Revolucionaria,
1982.
Skelland, A. H. P., Non Newtonian Flow and Heat
Transfer, La Habana, Edición Revolucionaria, 1970.
Danilina, N.I. y otros, Matemática de cálculo, Moscú,
Editorial MIR, 1985.
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