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Cónicas 3.- ELIPSE Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos F y F’, es constante. Es decir d P, F + d P, F' = C, C∈ ( ) ( ) B P(x,y) 2b A’ F’ 2c F A B’ 2a 4
Cónicas Antes de deducir la ecuación, se explicarán brevemente los elementos que la definen y que aparecen en la figura anterior. - F y F’ son dos puntos fijos llamados focos, la recta que pasa por ellos recta focal, y, la distancia entre ellos distancia focal, representada por 2c. - Dado un punto P cualquiera, a los segmentos PF y PF ' se les llama radio vector, y verifican PF + PF ' = 2a . - El segmento AA ' es el eje mayor de la elipse y su distancia es 2a. - El segmento BB ' es el eje menor de la elipse y su distancia es 2b. A continuación se deducirá la ecuación de la elipse. Considerando como ejes coordenados los ejes de la elipse, las coordenadas de los focos serán: F c,0 y F' − c,0 respectivamente. ( ) ( ) Teniendo en cuenta que un punto P cualquiera de la elipse verifica: d P, F + d P, F' = 2a, sustituyendo en esta expresión las coordenadas respectivas, ( ) ( ) 2 2 2 2 obtenemos: ( ) ( ) x − c + y + x+ c + y = 2a. Haciendo las operaciones necesarias para eliminar la raíz cuadrada, y teniendo en 2 2 2 cuenta que a = b + c , se obtiene que la expresión reducida de la elipse es: x a 2 2 y + = 1, con ab , > 0 b 2 2 En el caso que la elipse tenga el centro en el punto ( 0, 0) ( x−x ) 2 ( y− y ) 2 es: a 0 0 2 2 + = 1, con ab , > 0 . b x y la ecuación correspondiente 5
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