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Revista
IC 6° A
2018
Un pasa de gloria un presente de luz.
6to “A”
Preparatoria Instituto Campechano.
01/04/2018

Un Pasado de Gloria un Presente de Luz Revista IC 6°A 2018
Contenido
México en Lectura. ................................................................................................. 3
Niveles de Lectura. ................................................................................................. 4
1º Nivel de Lectura.- Literal. ................................................................................ 4
2º Nivel de Lectura.- Inferencial. ........................................................................ 4
3º Nivel de Lectura.- Crítica. ............................................................................... 5
La rana que quería ser una rana auténtica ......................................................... 5
Las Matemáticas llevadas a otro nivel en Cálculo. ................................................. 7
Calculo Integral.................................................................................................... 7
Función Primitiva. ............................................................................................... 7
Integral Indefinida. .............................................................................................. 8
Propiedades de la integral indefinida. ................................................................ 8
Integración de potencia de x. .............................................................................. 9
Integrales inmediatas. ......................................................................................... 9
Método de integración. ........................................................................................ 10
Método de integración por descomposición. ................................................... 10
Método de Sustitución. ..................................................................................... 11
Método de integración por partes. ................................................................... 11
Integral definida. .................................................................................................. 13
Área bajo la curva. ............................................................................................. 14
Formulario ............................................................................................................ 19
pág. 2

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México en Lectura.
¿Te has preguntado en qué posición se encuentra México en lectura?
Si no te ha dado esa curiosidad en este artículo te diremos y es que es algo
sorprendente que en el 2013 hayamos estado en el penúltimo lugar de 108
países; y es que pueden haber distintos factores las cuales serían la falta de
dinero para comprar libros de interés de las personas y no tengan la
costumbre de leer por falta de interés.
Por desgracia en lugar de aumentar las cifras nos vemos como una balanza
de la cual hay años que se ve en aumento y en otros disminuimos, ya que
hoy en día conforme pasan los años lo único que hacemos es estar
pendiente de las redes sociales y videojuegos; y es que los padres ya no
fomentan la lectura a sus hijos desde temprana edad le dan su teléfono
celular, computadora y tabletas para ponerles videos “educativos”.
La lectura les ayudaría a comprender otros tipos de textos y es que existen
tres niveles de lectura, los cuales nos ayudan a interpretar y entender las
ideas de autores por las que obtendremos nuestro propio criterio e
información del texto.
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Niveles de Lectura.
Estos tres niveles de lectura
son las que se ponen en
práctica para el nivel escolar de
primaria y secundaria, que los
padres ejercen a sus hijos para
que vayan entendiendo textos
literarios.
A continuación en este artículo
se mostrarán los tres niveles
acompañados de un ejemplo.
1º Nivel de Lectura.-
Literal.
Se limita a extraer la
información dada en el texto, sin agregarle ningún valor interpretativo. Los
procesos fundamentales que conducen a este nivel de lectura es: la
observación.
Nos permite captar lo que el texto dice en sus estructuras de manifestación.
En otras palabras, se trata simplemente de reproducir la información que el
texto nos suministra de manera explícita y directa; de identificar frases y
palabras que operan como claves temáticas. En este nivel, todavía no nos
preguntamos por qué el texto dice lo que dice ni cuáles son, por ejemplo,
sus intenciones ideológicas y pragmáticas. Sin embargo, no es conveniente
subestimar este nivel literal básico como un nivel de extrema
superficialidad y mínimos alcances.
2º Nivel de Lectura.- Inferencial.
Este es un nivel de lectura que exige hacer hipótesis y desentrañar
intenciones en los textos, más allá de lo que las palabras expresan. Aquí se
hacen deducciones y se interpreta haciendo uso de varios elementos del
contexto, de la cultura y de los pre saberes.
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3º Nivel de Lectura.- Crítica.
Este es un nivel de valoración que exige tomar posición crítica y poner al
texto en relación con otros textos u otras situaciones y contextos.
Consiste en la evaluación de la realidad o fantasías, de los hechos o las
opiniones, de la adecuación o validez, de la relevancia y propiedad, de la
deseabilidad y aceptabilidad de los textos. Esto ,implica que el lector, sea
capaz de distinguir la realidad de la ficción o la ilusión, la verdad de las
opiniones, el pensamiento mágico-religiosos del científico, la explicación de
lo natural por la voluntad y las explicación de lo natural por lo natural, el
argumento mágico-religioso del científico, la explicación de lo natural por
la voluntad.
En el siguiente texto después de leerlo se harán un cuestionario de ejemplo
de lo que cada nivel de lectura exige.
La rana que quería ser una rana auténtica
Augusto Monterroso.
Había una vez una rana que quería ser una Rana auténtica, y todos los días
se esforzaba en ello. Al principio se compró un espejo en el que se miraba
largamente buscando su ansiada autenticidad.
Unas veces parecía
encontrarla y otras no,
según el humor de ese
día o de la hora, hasta
que se cansó de esto y
guardó el espejo en un
baúl. Por fin pensó que la
única forma de conocer
su propio valor estaba en
la opinión de la gente, y
comenzó a peinarse y a
pág. 5

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vestirse y a desvestirse (cuando no le quedaba otro recurso) para saber si
los demás la aprobaban y reconocían que era una Rana auténtica.
Un día observó que lo que más admiraban de ella era su cuerpo,
especialmente sus piernas, de manera que se dedicó a hacer sentadillas y a
saltar para tener unas ancas cada vez mejores, y sentía que todos la
aplaudían. Y así seguía haciendo esfuerzos hasta que, dispuesta a cualquier
cosa para lograr que la consideran una Rana auténtica, se dejaba arrancar
las ancas, y los otros se las comían, y ella todavía alcanzaba a oír con
amargura cuando decían que, qué buena rana, que parecía pollo.
1º Nivel de lectura.
A. ¿Quién es el autor de la fábula?
B. ¿Qué animal es el personaje principal?
C. ¿Qué objeto compró?
2º Nivel de Lectura.
A. ¿Para la rana que es ser Auténtico(a)?
B. ¿Es realmente bueno ser Auténtico? ¿Por qué?
C. ¿Por qué sus ancas eran de admirar?
3º Nivel de lectura.
A. ¿Cuál es tu opinión acerca de ser Auténtico?
B. ¿El ser auténtico significa llamar la atención?
C. ¿Harías lo mismo que la rana hizo?
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Las Matemáticas llevadas a otro
nivel en Cálculo.
En este nivel educativo media superior se hacen presentes las matemáticas
en solo una materia las cuales son Algebra, Geometría analítica, Geometría
y Trigonometría, estas hacen su aparición en las dos ramas de Cálculo
diferencial e integral, pero nos enfocaremos más en la segunda rama ya que
en esta se abordan más temas que pueden llegar ayudar a alumnos al iniciar
sus cursos en esta materia.
Calculo Integral.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy
común en la ingeniería y en la matemática en general, se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos
de revolución.
A continuación se darán algunos temas que se ven esta materia
acompañado de sus conceptos, ejemplos y formulario en el cada fórmula
tendrá un ejemplo de cómo ejercerlas.
Función Primitiva.
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo.
F es la función primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F′ = f. También
se emplea la palabra anti derivada en un contexto más abstracto.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el
caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k,
donde k es cualquier constante real.
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Ejemplo:
f (x 2 )= 2x
F (2x) = x 2
f (cos x) = sen x
F (sen x) = cos x
Integral Indefinida.
Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se le llama
integral indefinida de f(x) dx.
Para presentar la integral indefinida se usa el símbolo ∫ que tiene su origen
en la palabra suma.
De esta manera la integral indefinida f(x) dx se representa por:
∫f(x) dx= F(x) + C
Ejemplo.
∫2x dx= x 2 + C.
∫senx dx= -cosx +c.
Propiedades de la integral indefinida.
Estas propiedades son similares a las propiedades de la derivación. La
integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de
cada una de ellas.
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∫[f(x) + g(x) + h(x) dx= ∫f(x) dx +∫g(x) dx +∫h(x) dx
∫(2x + 3x 2 ) dx= ∫2x dx +∫3x 2 dx= x 2 + x 3 + C
La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
∫k f(x) dx= k ∫f(x) dx.
∫5 cosx dx= 5 senx dx
Integración de potencia de x.
Recordemos que la derivada de (x n ) es igual a nx n-1 dx si tenemos la integral
de x m dx es igual a x m+1 /m + 1 + C.
Ejemplo.
∫ 2xdx = 2 ∫ xdx = 2x1+1 2x2
+ c =
1 + 1 2 + c = x2 +
Integrales inmediatas.
Se le da el nombre de integrales inmediatas a las cuales el integrando se
ajusta perfectamente a una de las fórmulas de integración. Las fórmulas de
integración se deducen de la diferenciación ya conocidos. Las siguientes
fórmulas de integración es necesario memorizarlas. Para utilizarlas
fórmulas de integración, una integral ∫f(x) dx se dice que es inmediata si se
reconoce a la expresión f(x) dx como diferencial de una función F(x).
Entonces por definición se puede escribir f(x) dx= F(x) + c.
Es necesario entender para encontrar la similitud de la integral dada con
una fórmula, parte del integrando se debe sustituir por la letra “u”.
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Ejemplo:
u = 4x+1
∫ 4(4x + 1) 3 (4x + 1)4
dx = + c
4
du = 4dx
Cuando en el integrando se difiere en una constante para poder aplicar la
fórmula, basta con multiplicar el resultado por la inversa de la constante
que le falta integrando para aplicar la fórmula inmediata
u= x 3 -2
∫ 5x2 dx
x 3 − 2 = 5 1 3 ln(x3 − 2) + c = 5 3 ln(x3 − 2) + c = 5 3 ∫ 3x2 dx
x 3 − 2
du= 3x 2 dx
Método de integración.
Entre los métodos más usuales están en descomposición, sustitución y por
partes.
Método de integración por descomposición.
Se utiliza para integrar polinomios que consisten en sustituir el cálculo de
una integral por la suma o diferencia de integrales más sencillas. Se aplica
también para integrar el cociente de dos polinomios cuando el divisor es un
polinomio de primer grado.
Se aplica también para integrar funciones trigonométricas que no tengan
ninguna fórmula inmediata y que al sustituirla por alguna identidad se
integren con más facilidad.
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Ejemplo:
∫ (x 3 + 5 x − 3) dx = ∫ x3 + 5 ∫ dx
x
− 3 ∫ dx =
x4
4
+ 5 ln(x) − 3 + c
Método de Sustitución.
Consiste en utilizar una variable para sustituir el integrando en función de
dicho variable comúnmente se utiliza la letra “u”
∫
5dx
a + bx = ∫ 5du b
u
= 5 b ∫ du
u = 5 b ln (|u|) + c = 5 ln(|a + bx|) + c
b
Método de integración por partes.
Al estudiar las diferenciales observamos que f(x)=u·v, y=u·v, y’=u·v + u·v,
d(u·v)=u·dv + vdu, si hallamos el despeje de u·dv, d(u·v)-udu integrando la
igualdad queda ∫udv=∫d(u·v)-∫vdu que es la fórmula de integración por
partes. Se utiliza al utilizar al integrando en la forma u·dv resulta fácil de
calcular u y la ∫vdu la elección de quien es u y quien es dv del integrando es
arbitrario y es acertado en el caso de que la integral del segundo miembro
resulta más fácil que la dada.
u·v -∫v du
∫ x senx dx = x(−cosx) − ∫ −cosx dx = −x cosx
+ ∫ cosx dx = −x cosx + senx + c
u= x dv= senx dx
du= dx v= -cosx
pág. 11

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∫ x lnxdx = lnx x2
2
− ∫ x2
2
= x2
2
dx
x = x2
2 lnx − 1 x2
∫ x dx =
2 2 lnx − 1 2
lnx −
x2
4 + c
x 2
2 + c
u = lnx
dv = xdx
du = dx
x
v = x2
2
En ocasiones aplicamos la formula directamente tomando la “x” como “u”.
x cosx dx = x sen − ∫ senx dx = x senx − (−cosx) + c = x senx + cosx + c
u = x
dv = cosxdx
du = dx
v = senx
Si al integral por partes tenemos un polinomio integrado “n” tomamos
como “u” y se repite el proceso “n” veces.
∫ x 3 e x dx = x 3 e x − ∫ e x · 3x 2 dx = x 3 e x − 3 ∫ x 2 e x dx = x 3 e x
− 3 (x 2 e x − ∫ e x − 2x dx)
= x 3 e x − 3(x 2 e x − 2 ∫ xe x dx = x 3 e x − 3x 2 e x
+ 6 ∫ xe x dx = x 3 e x − 3x 2 e x + 6(xex − ∫ e x dx) = x 3 e x
u = x 3 dv = e x
du = 3x 2 dx v = e x
u = x 2 dv = e x
du = 2x dx v = e x
u = x dv = e x
du = dx v = e x
− 3x 2 e x + 6xe x − 6e x + c = e x (x 3 − 3x 2 + 6x − 6) + c
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Si tenemos una integral con solo un logaritmo a un arco integramos por
partes haciendo dv=1.
1
xdx
∫ xarc cotx dx = x arc cotx − ∫ x dx = x arc cotx − ∫
1 + x2 1 + x 2
u = arc cot dv = 1dx
= x arc cotx − 1 2 ln(1 + x2 ) + c
du =
1
dx v = x
1 + x2 u = 1 + x 2 du = 2xdx
Integral definida.
Una integral definida es aquella con valor algebraico, se encuentra con
cualquiera de los métodos de integración antes tratados y luego se aplica
los parámetros o límites de la integral (a, b) con la siguiente formula.
Ejemplo.-
4
a. Límite inferior.
b. Límite superior.
4
∫ √xdx = ∫ x 1 2 dx = [ x3 2
]
3
1
1
2
4
= [ 2√x3
3 ] 1
b
∫ f(x) = F(b) − F(a)
a
4
= [ 2√(x)2 (x)
] = [ 2x√x
4
3
3 ]
1
1
] − [ 2(1)(1)
= [ 2(4)(2)
3
4
1
3
= [ 2(4) √4
3
] − [ 2(1)√1 ]
3
] = 16
3 − 2 3 = 14
3 = 4 2 3 = 4.66u2
pág. 13

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Área bajo la curva.
La formulación del área bajo la curva es el primer paso para desarrollar el
concepto de integral. El área baja la curva formada por el trazo de la función
x [f(x)] y el eje x se puede obtener aproximadamente dibujando rectángulos
de anchura alta y finita f igual al valor de la función en el centro del
intervalo.
pág. 14

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La integral definida sirve para hallar un área bajo la curva.
Ejemplo.
3
1.- ∫ 4 dx = [4x] 3 0 = [4(3)] − [4(0)] = 12 − 0 = 12u 2
0
Donde y=4 x=3 x=0
5
1° Gráfica.
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
pág. 15

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2.-
∫
−4
−1
(x − 1)dx = [ x2
2 − x] −1
−4
= [ (−4)2
2
− (−4)] − [ (−1)2
2
= ( 16
2 + 4) − (1 24
+ 1) =
2 2 − 3 2 = 21
2 u2
− (−1)]
x
y
Forma de
sacar y
-4 -5 y= -4-1=-5
-1 -2 y= -1-1=-2
2° Gráfica.
0
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
pág. 16

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3.-
∫
3
−1
x dx = [ x2
3
2 ] = [ (3)2
2 ] − [(−1)2 2 ] = 9 2 − 1 2 = 8 2 = 4u2
−1
x
y
-1 -1
0 0
1 1
3 3
4
3° Gráfica
3
2
1
0
-2 -1
-1
0 1 2 3 4
-2
pág. 17

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4.-
∫
3
−1
x 2 dx = [ x3
3
3 ] = [ (3)3
3 ] − [(−1)3 3 ] = 27
3 — 1 3
−1
= 27
3 + 1 3 = 28
3 u2
4° Gráfica.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2 -1 0 1 2 3 4
pág. 18

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Formulario
Formulario del tema de Integrales Inmediatas y no solo para ese tema,
te servirá para los que sigan después de ella.
1.-
1
∫
u√u 2 −a = 1 2 a arc sec u a + c
1
= ∫
u√u 2 − a du = 1 + u2
(√−a ) + c
2 arc tan y
1
= ∫
u√u 2 − a du 2
1
= ∫
2u√−y 2 + u du = 1 2 ∫ 1
u√−y 2 + u du
= 1 2 ∫ 2
w 2 + y 2 dw
= 1 2 2 ∫ 1
w 2 + y 2 dw
= 1 2 2 ∫ 1
y(t 2 + 1) dt
= 1 2 2 1 y ∫ 1
t 2 + 1 dt = 1 2 2 1 y arc tan + u 2
(√−y2 )
y
= 1 y arc tan + u 2
(√−y2 ) = 1 y y arc tan + u 2
(√−y2 ) + c
y
2.-
∫
du
√u 2 ± a = ln (u + 2 √u2 ± a 2 ) + c
1
a sec(u) tan (u)
= ∫ du = ∫
√u 2 ± a2 √a 2 √sec 2 (u) − 1 du
= a sec(u) tan (u)
∫
√u2 √sec 2 (u) − 1 du = a
√u ∫ sec(u) tan (u)
2 √−1 + 1 + tan 2 (u) du
= a sec(u) tan (u)
∫ du =
a ln|tan(u) + sec (u)|
√u2 tan (y) √u2 = a
1
ln |tan [arc sec (
√u2 a u )]| + sec [arc sec (1 a u)]
= ln | √u2 − a 2 + u
| = ln | √u2 − a 2 + u
| + c
a
a
pág. 19

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3.-
∫
du
√a 2 − u = arc sen u 2 a + c
= ∫ 1
a 2 − u 2 du
a cos(u)
= ∫
√u 2 √−sen 2 (u) + 1 = a
√u ∫ cos(u)
2 √−sen 2 (u) + 1
= a
√u ∫ cos(u)
2 √cos 2 (u) du = a u 2 ∫ cos(u)
cos(u) du
= a u 2 ∫ 1 du = a u 2 1 u = a u 2 1 arc sen (1 a u) = arc sen (u a )
= arc sen ( u a ) + c
4.-
∫ cos 2 cos (2x)
x dx = 1 + dx = 1 ∫ 1 + cos(2x) dx
2 2
= 1 5m(2x)
[x ± ] + c = 1 2 2
2 x − 1 5m(2x) + c
4
5.-
∫ x 2 sec 2 x 3 dx = ∫ sec 2 x 3 x 2 dx = 1 3 ∫ sec2 x 3 3x 2 dx = 1 3 ∫ sec2 udu
= 1 3 tan u = 1 3 tan x3 + c
u = x 3 du = 3x 2 dx
pág. 20

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6.-
∫ sen 3x 3 9x 2 dx = − cos x 3 + c
7.-
∫ e sen x cos x dx = ∫ e sen x cos x dx = ∫ e u du = e u + c = e sen x + c
u = sen x
du = cos x dx
8.- ∫ sec u tan u du = sec u + c
sen(u)
cos 2 (u) du = ∫ − 1 u 2 du = − ∫ u2 du = − u−2+1
−2 + 1 = − cos−2+1 (u)
−2 + 1
= − cos−2+1 (u)
sec(u) = sec(u) = sec(u) + c
−2 + 1
9.-
∫
du
u 2 + a 2 = ∫ du
a dv
= ∫
u 2 ( u2
a 2 + 1) a 2 (v 2 + 1) = 1 a ∫ dv
v 2 + 1 = 1 arc tan v
a
+ c = 1 a arc tan (u a ) + c
v = u a
dv = 1 du du = a dv
a
pág. 21

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10.- ∫ du
u 2 −a 2 = ∫
1
u 2 −a 2 =
A
u − a +
du
(u−a)(u+a)
B A(u + a) + B(u − a)
=
u + a u 2 −a 2
(A + B)u + a(A − B)
=
u 2 −a 2 = 1 1
1
u 2 −a 2 = 2a
u − a + (− 2a
u + a )
=
1 1
2a
u − a − 2a
u + a
11.-
∫ du
u 2 a 2 = 1
2a ∫ du
u − a − 1
2a ∫ du
u + a
= 1
1
1 + a
(log u − a) − log(u + a) + c = log (u
2a 2a 2a a + u ) + c
12.-
∫
du
a 2 − u 2 = − ∫ du
u 2 a 2 = − 1
2a
− a
ln (u
u + a ) + c = 1 + a
ln (u
2a a − u ) + c
13.- ∫ cos u du = sen u + c
∫ cos 10x 10 dx = sen 10x + c
14.- ∫ secu du = ln(sec u + tan u) + c
∫ sec 5x 2 10x dx = ln(sec 5x 2 + tan 5x 2 ) + c
pág. 22

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15.- ∫ u n du = un+1
n+1
+ c (n ≠ 1)
∫ 3x 2 + 5 dx = ∫ 3x dx + ∫ 5 dx
= 3 ∫ x 2 dx + 5 ∫ dx = 3 ( x3
3 ) + 5 + c
16.- ∫(du + dv − dw) dx = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw = u + v − w + c
∫(7x 3 + 4x − 3) dx
= ∫ 7x 3 dx + ∫ 4x dx − ∫ 3 dx = 7 x4
4 + 4 x2
− 3x + c
2
17.-Escriba aquí la ecuación.
dx
∫
√25−9x = ∫ 1
2 √25 − 9x dx 2
cos(u)
= ∫
√−sen 2 (u) + 1 dx = 1 3 ∫ cos (u)
√−sen 2 (u) + 1 dx
= 1 3 ∫ cos(u)
√cos 2 (u) dx = 1 cos (u)
∫
3 cos(u) dx = 1 3 ∫ du
= 1 3
1 arc sen (3x
5 ) = 1 arc sen (3x
3 5 ) + c
pág. 23

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18.-∫ sen u du = − cos u + c
∫ x 2 sen x 4 dx
= ∫ 4x 3 sen x 4 dx
= 1 4 ∫ x3 senx 4 dx = 1 4
− cos u + c = −
cos x4
4
+ c
u = x 4
du = 4x 3 dx
19.- ∫ tan u du = ln sec u + c
∫ tan 3 x dx = ∫ tan 2 x tanx dx
= ∫(sec 2 x − 1) tan x dx = ∫ sec 2 x tanx dx − ∫ tanx dx
pág. 24