20319054-Calcul-Amb-Radicals-Batxiller-Solucions

.
CÀLCUL AMB RADICALS - SOLUCIONS .
1. Propietats dels radicals
n m
Potència d’exponent racional: x= a / és x= m a n
m n
i això vol dir que x = a
Producte:
Divisió:
n n n
a · b = a·
n
n
a =
b
Arrel d’una arrel:
n
a
b
n m
a
b
=
n·
m
a
2. Extreure factor comú d’un radical
Procediment: 1) factoritzam el radicant, 2) podem extreure els factors que tenguin
exponent major que l’índex de l’arrel.
3
3 5 3 3 3 2 3 3 2
864 = 2 ·3 = 2 ·2 ·3 = 2·3 2 =
6
3. Reduir radicals a índex comú
Procediment: 1) cercam el m.c.m. de tots els índexs, 2) L’índex comú serà el m.c.m., 3)
Elevam cada radicant a la potència que resulta de dividir el m.c.m. per l’índex original.
3 5 4 2
Exemple: 2 · 3 , tenim que m.c.m.(3,4)=12,
3 5 4 2 12 5 4 12 2 3 12 20 12 6 12 20 6
2 · 3 = (2 ) · (3 ) = 2 · 3 = 2 ·3
Ara només queda extreure factors comuns per tal de simplificar el resultat.
4. Comparació de radicals
Per comparar radicals cal reduir-los a índex comú, com es mostra a l’apartat 3.
Exemple: Què és major 3 3 o 2 ?
m.c.m.(3,2)=6,
3 6 2 6
3 = 3 = 9 Aquesta és major
6 3 6
2 = 2 =
8
5. Racionalitzar radicals
Racionalitzar significa eliminar les arrels d’un denominador. Exemples:
a)
3
2
=
3
·
2
2
2
=
3 2
2
1−
2 ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ 2 3 2 6
b) ⎜
−
· ⎜
+ + − −
= ⎟ ⎟ =
= 2 − 2 − 3 + 6
2 − 3
2 3
2 3
⎝ − ⎠ ⎝ + ⎠ 2 − 3
Multiplicam i dividim per l’expressió “conjugada”.
3
4
Activitats:
1. Expressa com un sol radical:
3 5
=
6
5
4
8 = 8 8 x 3 x = 6 8 7
x x = x
2. Simplifica, extraient tots els factors que puguis del radical:
a) 27 = 3 3 b) 60 = 2 15
c) 72 = 6 2
d) 180 = 6 5 e) 540 = 6 15
f) 98 = 7 2
g) 3 54 = 3 3 2 h) 4 144 = 2 4
9
i)
5 8
2 = 2 5 8

3. Redueix el radical a l’índex indicat:
a)
4 3 12 9
16 8
3
2 = 2 b) 7 = 7 c)
4 6
3 6
a = a d) 6 5 12 = 5
4. Expressa com un sol radical ( redueix, primer de tot, els radicals a índex comú i
simplifica si pots):
a) . 3 6 5
3 4 12 3
5 5 = 5 b) 2.
7 = 2 4 · 7 c) 9. 3 =
3 3 6 3
d)
4 8 3 6 5
a. a . a =
24 35 24 11
a = a a e) =
5 4
3
3
10
1
3
3
f) ·
7 2 =
2
14 9
2
4 5
g) . 8 =
8
20 9
4
8 h) 9. 3 =
8 3
8 = 3 i) 3 4 3 5 2
a. a . a =
60 89
a = a
60 29
a
j)
(2
)
3 −2
10
( 2 )
·(3
1/ 2
1/ 2 3 / 2
·3
)
1/ 3
=
12 5 12
3
2
11
243
=
2048
5. Calcula, extraient primer factors fora dels radicals:
a) 20 − 45 + 5 =0 e) 3 8 − 2 + 128 = 13 2
b) 27 + 48 − 75 = 2 3
f) − 2 45 + 6 20 − 4 125 = −14 5
c) 4 72 − 5 18 + 3 8 = 15 2
g) − 7 200 + 5 32 − 9 50 = − 95 2
d) − 5 12 + 4 48 − 2 72 = 6 3 −12
2 h) − 2 98 + 6 144 + 10 40 = 72 −14
2 + 20 10
6. Racionalitza:
6
a) = 6 + 3
2 − 2
2
5
d) 3 =
3
5
2
5
b)
4
2 + 2
= 2 5 + 2 3 e) = 3+ 2
5 − 3
2 − 2
2
c)
5
3 + 2
3 − 2
= 5 − 2
3 + 2
6

7. Racionalitza:
1
a)
x·
( x + 1)
1
=
( x + x )
1
=
( x + x )
( x − x)
=
· ( x − x )
x − x
2
x − x
b)
3 −
1
5 −
7
= diguem 3 − 5 = a ,
1 1
=
a − 7 ( a −
·
7)
( a +
( a +
7) ( a +
=
7) a
2 −
7)
7
a
2
= (
3 −
5)
2
= 3−
2
15 + 5 = 8 − 2
15
( a +
2
a −
(
7)
7
=
3 −
8 − 2
5 +
7
15 − 7
3 − 5 + 7) (1 + 2
·
(1 − 2 15) (1 + 2
=
15)
=
15)
3 − 5 + 7
, tornam a racionalitzar un altre pic
1−
2 15
9 3 − 5 5 − 7 − 2
59
105
c)
2
1
2 −
=
5
(2
1
2 −
(2
·
5) (2
2 +
2 +
5) 2 2 + 5 2 2 +
= =
5) 8 − 5 3
5
d)
2
1 1 x + x
= · = =
x·
x + 1 2
2
x + x x + x
2
x + x
2
x + x