Lab 4

Profesora: Ilka Banfield
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
TEORÍA DE CONTROL
LABORATORIO No.1
LINEALIZACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN SISTEMA
1. Objetivo General: Obtener representación lineal y solución de funciones o
sistemas no lineales y entender el comportamiento de un sistema linealizado al ser
perturbado alrededor de una solución o punto de operación solución y simulando
el sistema con herramientas computacionales.
2. Objetivos específicos:
Luego de realizado esta experiencia el estudiante debe ser capaz de:
Linealizar un sistema no lineal alrededor de un punto de operación.
Resolver y simular utilizando herramientas computacionales.
Analizar la respuesta del sistema lineal y no lineal.
Reconocer el rango de validez de la representación lineal del sistema no
lineal.
3. Conceptos:
Los sistemas reales exhiben usualmente características no lineales, en
consecuencia la solución de ecuaciones de derivadas parciales con coeficientes
variantes en el tiempo, para el análisis y representación de los mismos resulta en
extremo laboriosa, con un alto coste computacional para formular extensos
procedimientos de solución que no siempre están justificados por el propósito del
análisis. Por tanto, la descripción simplificada del comportamiento del sistema es
empleada siempre que sea posible.
En general, una de las siguientes opciones se selecciona para el análisis de un
sistema no lineal:
a) Reemplazar los elementos no lineales por sus equivalentes lineales.
b) Formular y resolver el modelo no lineal.
c) Linealizar el sistema de ecuaciones par para pequeñas pertubaciones
alrededor de un punto de operación, ver figura 1.

Figura 1.
Interpretación gráfica del sistema linealizado alrededor de un punto de
operación.
El término "punto de operación" se refiere a la condición de un sistema en estado
de equilibrio con unas variables de entradas constantes e iguales a su media
promedio en el tiempo. Las variaciones de las entradas deben ser los
suficientemente pequeñas para que el error introducido por la linealización sea
aceptable. [1].
Representación aproximada de una función no lineal
Sea f(x 1 , x 2 ,... x n ,)=0 una función no lineal escalar de n variables de estado x. En
forma general, esta función no lineal se puede expresar como una representación
aproximada lineal alrededor de un punto establecido mediante una expansión en
series de Taylor de la siguiente manera. Suponiendo que la función se quiere
linealizar alrededor del punto x0, su expansión en series de Taylor es:
f x 0 + δx = f x 0 + df
dx δx + 1 d 2 f
2! dx 2 δx2 + ⋯
Algunas funciones no lineales típicas son por ejemplo:
a) cuando una ecuación contiene un término bilineal, el cual se define como aquel
en donde aparecen multiplicándose el vector de la variable de estado y el control
x T Nu.
b) Cuando aparece un término cuadrático, expresado como x T Ax el cual describe
una representación de elevar al cuadrado una variable de estado vectorial, x in R n
y donde la ganancia ésta dada por la matriz A. Asimismo, otras funciones no
lineales pueden ser, términos donde aparezcan funciones trigonométricas,

exponenciales, productos de més de una variable de estado, entre otras
muchas.[2]
Mediante una expansión en series de Taylor se obtendrá un modelo aproximado
lineal del sistema no lineal que se considera. Considere el sistema:
x t = f x t , u t , x t 0 = x 0 2
y t = h x t (3)
en el cual los puntos de equilibrio dados por (X,U,Y) son constantes.
Se formula la serie de Taylor para el sistema de las ecuaciones (2) y (3), y se
obtiene:
t
∂f
δx t = δx 0 +
∂x δx t + ∂f
δu t
∂u dτ
(4)
t 0
δy t = ∂h
∂x
δx(t) (5)
en donde los términos de las derivadas parciales deben ser evaluados en el punto
de equilibrio (X,U,Y) y la serie es truncada en los términos de primer orden con
O(n ≥ 2), (detalles y ejemplos libro de texto Ingeniería de Control Moderna
Ogata)..
4. Estudio
Formular y resolver los siguientes casos.
Caso 1.
La altura de un líquido y del nivel de liquido un tanque se muestra en la siguiente
figura (2). El modelo matemático se representa por la siguiente ecuación
diferencial:
A 0 + ay dy
dt + by = Q i (5)
y
Figura 2. Control de nivel de tanque
donde Q i es el caudal de entrada y a, b y A 0 son parámetros constantes.
(a) Encontrar el punto de operación y 0 para la altura del líquido para un caudal
de entrada constante Q io .
(b)
Linealizar el modelo del sistema en la vecindad del punto de operación.

(c) Resolver el sistema linealizado utilizando Scilab y graficar la respuesta.
(Asuma valores para los parámetros, y una entrada tipo escalón alrededor del
punto de operación que perturbe el sistema).
(d) Resolver el sistema no lineal utilizando Scilab y graficar la respuesta.
Compare con el sistema lineal. ¿ Hasta qué valores de entrada piensa usted que
es válida la salida lineal? Sustente su respuesta.
Caso 2.
Las siguiente ecuaciones diferenciales representan los modelos matemático de
dos sistemas respectivamente:
x dy
dx − 4y = x5 e x (6)
d 2 y dy
+ x
dt2 dx + y2 − x = 0 (7)
(a) Linealizar la ecuación 6 alrededor de x 0 =-4. Utilice el toolbox simbolic de
Matlab para comprobar su lineailzación.
(b) Linealizar la ecuación 7 alrededor de x 0 =4. Utilice el toolbox simbolic de Matlab
para comprobar su lineailzación.
(c) Resolver el sistema lineal y no lineal utilizando Matlab para ambas ecuaciones
(6 y 7) y comparar. Comente sobre el rango de validez de la linealización,
(d) Determinar la Función de Transferencia en cada caso.
5 Bibliografía:
[1] J. Lowen Shearer, Bohdan T. Kulalowsky, John F. Gardner, Dynamic
Modeling and Control of Engineering Systems, Prentice Hall, 1996.
[2] Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Pearson, 2010