MAESTRÍA EN MATEM´ATICAS M´ODULO TEORÍA DE LA MEDIDA ...

entonces µ({x : (f − g) > 0} ∩ E) = µ({x : (f − g) · χE > 0}) = 0.
Además, para cualquier n ∈ N,
�
�
µ({x : f · χE ≥ 1/n}) ≤ n f · χE dµ = n f dµ = 0.
E
d) Prueba que todo conjunto con medida exterior cero es medible Lebesgue.
Solución. Por hipótesis, m ∗ (E) = 0. Debemos probar que, dado
cualquier conjunto A, m ∗ (A) = m ∗ (A ∩ E) + m ∗ (A ∩ E c ).
Por una parte, como A = (A∩E)∪(A∩E c ), por la subaditividad de
la medida exterior sabemos que m ∗ (A) ≤ m ∗ (A ∩ E) + m ∗ (A ∩ E c ).
Por otra parte, como A∩E ⊂ E, entonces m ∗ (A∩E) ≤ m ∗ (E) = 0.
Además, como A∩E c ⊂ A, entonces m ∗ (A∩E c ) ≤ m ∗ (A). Así pues,
m ∗ (A ∩ E) + m ∗ (A ∩ E c ) ≤ 0 + m ∗ (A).
De ambas desigualdades se deduce que E es medible.
e) Sea f una función integrable Lebesgue y no negativa. Si α > 0 y Eα = {x :
f(x) > α}, prueba que m(Eα) ≤ 1
�
f.
α
Solución. Es evidente que
�
α · m(E) =
�
α · χE ≤
E
�
f ≤
f ) Sea ν una medida con signo en un espacio (X, Ω). Define un par de medidas
ν + y ν − mutuamente singulares tales que ν = ν + − ν − y prueba que,
efectivamente, son mutuamente singulares.
Solución. Sea {A, B} una descomposición de Hahn de ν, es decir A
positivo y B negativo tales que X = A ∪ B y ∅ = A ∩ B. Definimos
ν + (E) = ν(E ∩ A), ν − (E) = −ν(E ∩ B)
las cuales verifican que ν = ν + − ν − porque E = (E ∩ A) ∪ (E ∩ B)
(unión disjunta).
Las medidas ν + y ν − son mutuamente singulares debido a que
ν + (B) = ν(A ∩ B) = 0 y ν − (A) = −ν(A ∩ B) = 0.
X
f.