MAESTRÍA EN MATEM´ATICAS M´ODULO TEORÍA DE LA MEDIDA ...

� 2π
� 2π
0 dx = 0 pero fn(x) dx =
0
0
1
� 2π
(1−cos(2nx)) dx = π. Por
�
2 0
2π
tanto, lím inf fn(x) dx = π.
0
� 2π
� 2π
Observamos que lím inf fn(x) dx < lím inf fn(x) dx, de-
0
sigualdad que afirma el lema de Fatou.
b) Calcula lím
n→∞
utilizados.
� n
0
�
1 + x2
�n e
n
−2x2
dx justificando la validez de los teoremas
Solución. Consideramos la sucesión fn(x) =
0
�
1 + x2
χ[0,n](x) de funciones medibles no negativas en (0, ∞).
Por una parte, fn(x) ≤ fn+1(x), ∀x > 0:
En efecto,
�
1 + x2
�n �
≤ 1 +
n
x2
�n+1 ⇐⇒
n + 1
(n + x2 ) n
(n + 1 + x2 ≤
) n+1
n
� n
e −2x2
·
nn .
(n + 1) n+1
Si definimos la función f(x) = (n+x2 ) n
(n+1+x 2 ) n+1 , la desigualdad anterior
equivale a f(x) ≤ f(0), ∀x ≥ 0. Esta última desigualdad será cierta
si f es decreciente en (0, ∞). Pero
con lo que f es decreciente.
f ′ (x) = −2x3 (n + x2 ) n−1
(n + 1 + x2 ≤ 0
) n+1
Por otra parte, límn→∞ fn(x) = e −x2
�
lím 1 +
n→∞
x2
�n n
= lím
n→∞
�
1 + x2
� n
x2 ·x2
= e x2
).
si x ≥ 0 (basta calcular
n
Podemos entonces aplicar el teorema de la convergencia monótona:
� ∞
� ∞
lím
n→∞
fn(x) dx = lím fn(x) dx.
Por tanto,
0
� n
lím
n→∞
0
� ∞
fn(x) dx = e −x2
dx =
0
0
√ π
2 .