Tästä - Helsinki.fi

Elektrodynamiikka
Hannu Koskinen ja Ari Viljanen
Luentomoniste, päivittänyt 27.4.2011 Hannu Koskinen

2
Tämä luentomoniste on tuotettu vuosina 2000–2011 Helsingin yliopiston
fysiikan laitoksessa pidettyjen elektrodynamiikan luentojen yhteydessä. Monisteen
kirjoittajien lisäksi kurssia ovat tänä aikana luennoineet Elina Keihänen,
Pekka Janhunen ja Esa Kallio, joille kiitokset monista hyvistä kommenteista
ja parannusehdotuksista. Tästä versiosta on korjattu kevätlukukaudella
2011 löytyneet kömmähdykset ja muutamat suoranaiset virheet. Monisteen
loppuun on nyt myös lisätty hakemisto.
Nykymuotoinen elektrodynamiikan kurssi syntyi 1990-luvun lopulla, kun
aiemmin erilliset teoreettisen fysiikan cum laude-kurssi ja vastaava fysiikan
laudatur-tasoinen kurssi yhdistettiin. Viimeisen tutkinnonuudistuksen
jälkeisissä tutkintovaatimuksissa elektrodynamiikka kuuluu pakollisena kurssina
teoreettisen fysiikan aineopintoihin ja sen laajuus on 10 opintopistettä.
Kurssin sisällyttäminen sivuaineopintoihin on erittäin suositeltavaa myös
yleisen fysiikan, tähtitieteen ja geofysiikan opiskelijoille. Kurssin ydinaines
on ollut sama koko 2000-luvun, mutta esimerkit ja esitellyt elektrodynamiikan
sovellutukset ovat vaihdelleet jonkin verran. Monisteessa on merkitty luvut
ja kappaleet, jotka kyllä kuuluvat pätevän fyysikon “yleissivistykseen”,
mutta joiden ei tällä hetkellä katsota kuuluvan kurssin suoritusvaatimuksiin.
Nämäkin kohdat on pyritty käymään luennoilla läpi ja niistä on ollut
laskuharjoituksia.
Luentomonisteessa on kohtuullisen leveät marginaalit, jotta opiskelijat
voivat tehdä niihin muistiinpanoja luentoa seuratessaan. Laskuharjoitusten
tekeminen on olennainen osa kurssin sisällön omaksumista. Joitain harjoitustehtäviä
on mainittu tekstin sisällä, mutta käytännössä harjoitustehtävien
valikointi on kurssin luennoitsijan tehtävä. Laskuharjoituksista saatavien
pisteiden lisäksi lisäkannustimena välikokeissa on perinteisesti ollut ainakin
yksi tehtävä sellaisenaan tai lähes sellaisenaan koealueen harjoituksista.
Virheetöntä oppikirjaa saati sitten luentomonistetta ei vielä tähän mennessä
ole kirjoitettu. Niinpä tästäkin monisteesta löytyvistä virheistä pyydetään
ilmoittamaan Hannu Koskiselle (Hannu.E.Koskinen@helsinki.fi).

Sisältö
1 Johdanto 9
1.1 Mikä tämä kurssi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Hieman taustaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Kirjallisuutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Staattinen sähkökenttä 17
2.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sähkökenttä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Sähköstaattinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Gaussin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälö . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Gaussin lain soveltamisesta . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Sähköinen dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Sähkökentän multipolikehitelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Poissonin ja Laplacen yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Laplacen yhtälön ratkaiseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.1 Karteesinen koordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.2 Pallokoordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8.3 Sylinterikoordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Kuvalähdemenetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 Greenin funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

4 SISÄLTÖ
3 Sähkökenttä väliaineessa 45
3.1 Sähköinen polarisoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Sähkövuon tiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Sähkökenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Eristepallo sähkökentässä . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Sähköstaattinen energia 57
4.1 Varausjoukon potentiaalienergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia . . . . . . . . . . 58
4.3 Sähköstaattisen kentän energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Sähkökentän voimavaikutukset . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa . . . . . . . . . . . 65
5 Staattinen magneettikenttä 69
5.1 Sähkövirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Jatkuvuusyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.2 Ohmin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.3 Johtavuuden klassinen selitys . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.4 Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut . . . . . . . . . 73
5.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin laki . . . . . . . . . 74
5.3 Ampèren laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Virtasilmukan magneettimomentti . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Magneettikentän potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.1 Vektoripotentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.2 Multipolikehitelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.3 Magneettikentän skalaaripotentiaali . . . . . . . . . . 84
5.6 Lorentzin voima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

SISÄLTÖ 5
6 Magneettikenttä väliaineessa 87
6.1 Magnetoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä . . . . . . . . . . . 89
6.3 Magneettikentän voimakkuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot . . . . . . . . . . 92
6.6 Reuna-arvotehtäviä magneettikentässä . . . . . . . . . . . . . 93
6.7 Kenttien E, D, B ja H merkityksestä . . . . . . . . . . . . . . 96
6.8 Molekulaarinen magneettikenttä . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.9 Para- ja diamagnetismista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.10 Ferromagnetismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Sähkömagneettinen induktio 101
7.1 Faradayn laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Itseinduktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Keskinäisinduktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko . . . . . . . . . . . . . 108
8 Magneettinen energia 109
8.1 Kytkettyjen virtapiirien energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Magneettikentän energiatiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 RLC-piiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Epälineaariset energiahäviöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin . . . . . . . . . 117
8.6 Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa . . . . . . . . . 120
9 Maxwellin yhtälöt 121
9.1 Siirrosvirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 Maxwellin yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . 124
9.4 Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä . . . . . . . . . . . . 126
9.4.1 Poyntingin teoreema: energian säilyminen . . . . . . . 126

6 SISÄLTÖ
9.4.2 Maxwellin jännitystensori . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4.3 Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen . . . . 130
9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjiössä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5.2 Potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.5.3 Viivästyneet potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6 Mittainvarianssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Sähkömagneettiset aallot 139
10.1 Tasoaallot eristeessä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2 Aaltojen polarisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3 Sähkömagneettisen aallon energia . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4 Tasoaallot johteessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.5 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli . . . . . . . . . . . . . 148
10.6 Palloaallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen 155
11.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle . . . . . 155
11.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa . . . . . . . . . . . . 157
11.3 Heijastuminen johteen pinnalta . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit 163
12.1 Sylinteriputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.2 Suorakulmainen aaltoputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.3 Resonanssikaviteetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
13 Liikkuvan varauksen kenttä 171
13.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . 171
13.2 Kenttien laskeminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä . . . . . . 175
13.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä . . . . 178
13.3 Säteilyn spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.4 Jarrutussäteily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.5 Syklotroni- ja synkrotronisäteily . . . . . . . . . . . . . . . . 182

SISÄLTÖ 7
14 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria 187
14.1 Lorentzin muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.2 Tensorilaskentaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
14.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikka . . . . . . . . . . . . . . 194
14.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointi . . . . . . . . . . . 198
14.5 Kenttien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14.6 Potentiaalien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
14.7 Säilymislait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä 207
15.1 Säteilyhäviöiden vaikutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.2 Homogeeninen ja staattinen B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.3 Homogeeniset ja staattiset B ja E . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.4 Magneettiset kulkeutumisilmiöt . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.5 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa . . . . . . . . . . . . . . 213
15.6 Adiabaattiset invariantit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Hakemisto 219

8 SISÄLTÖ

Luku 1
Johdanto
It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic
field than to understand invisible angels.
R. P. Feynman
1.1 Mikä tämä kurssi on
Edessä on lukukauden mittainen 10 opintopisteen paketti elektrodynamiikkaa.
Kurssin tavoitteena on oppia ymmärtämään elektrodynamiikan perusrakenne
ja käyttämään sitä erilaisissa vastaan tulevissa tilanteissa. Elektrodynamiikan
rakenteen ymmärtäminen kuuluu jokaisen fyysikon yleissivistykseen.
Toisaalta sähkömagnetismi on keskeisessä osassa kaikkialla fysiikassa
ja arkipäivässä. Parempaa syytä elektrodynamiikkaan perehtymiselle on
vaikea keksiä.
Kurssi on jaksotettu siten, että sähkö- ja magnetostatiikka ja induktiolaki
tulevat käsitellyiksi ensimmäisen puolen lukukauden aikana. Kurssin
toinen puolikas sisältää pääasiassa dynaamisia ilmiöitä, jolloin samalla
mennään syvemmälle sekä teoriaan että käytäntöön.
Kurssin lähtötasoksi oletetaan ensimmäisenä opiskeluvuonna opetettavien
fysiikan peruskurssien sähkömagnetismi ja sähködynamiikka sekä matemaattisten
apuneuvojen hallinta. Useimmat opiskelijat lienevät myös suorittaneet
kurssin suhteellisuusteorian perusteet, jolla tärkeitä yhtymäkohtia
tähän kurssiin.
Elektrodynamiikka on opiskelijoille käytännössä ensimmäinen fysiikan
teoria, jossa kentän käsitteellä on ratkaiseva osa. Sähkö- ja magneettikentät
ovat vektorikienttiä eli niillä on suunta ja suuruus, jotka riippuvat siitä,
missä avaruuden pisteessä niitä tarkastellaan. Myös avaruuden jokainen piste
voidaan ajatella vektorina. Sen suunta riippuu siitä, missä päin käytetyn
9

10 LUKU 1. JOHDANTO
koordinaatiston origosta se sijaitsee, ja suuruus siitä, kuinka kaukana se
on origosta. Fysiikassa on myös skalaarikenttiä, joiden käsittely on paljon
helpompaa. Elektrodynamiikassa esimerkiksi varausjakautuma on tälläinen.
Sillä on jokaisessa avaruuden pisteessä suuruus muttei suuntaa.
Kentän käsittely johtaa aiempia fysiikan kursseja vaativampien matemaattisten
apuneuvojen tarpeeseen. Viimeistään elektrodynamiikkaa oppiakseen
ja ymmärtääksen onkin opeteltava laskemaan sujuvasti. Tällä kurssilla
opiskelijan oletetaan hallitsevan fysiikan matemaattisia menetelmiä MA-
PU I–II:n ja FYMM I:n tasolla. Koska monet teoreettisen fysiikan opiskelijat
suorittavat elektrodynamiikan kurssin jo toisen vuoden keväällä, FYMM
II:ta ei oleteta suoritetuksi, mutta kurssin opiskelu viimeistään tämän kurssin
rinnalla on suositeltavaa. Sähkö- ja magnetostatiikassa tarvitaan paljon
vektorilaskentaa, johon kuuluu erinäinen kokoelma derivointi- ja integrointitaitoja.
Ne on syytä opetella heti kunnolla, koska niitä tarvitaan ihan oikeasti
(jopa myöhemmin esimerkiksi tutkijan työssä). Muuta perustarvikkeistoa
ovat esimerkiksi FYMM I:ltä tutut Fourier-sarjat ja kompleksiluvut.
Uutta useimmille opiskelijoille lienee suhteellisuusteoriassa tarvittava tensorilaskenta.
Muutamiin sen perustekniikhoihin tutustutaan suppeamman
suhteellisuusteorian yhteydessä luvussa 14. Tässä yhteydessä ei vektori- tai
tensoriavaruuksien matemaattisia perusteita kuitenkaan tarvitse ymmärtää
matemaattisen syvällisesti vaan ennen kaikkea oppia käyttämään niin vektoreita
kuin tensoreitakin fyysikolle tarpeellisina työkaluina.
Laskuharjoitustehtävien ratkaiseminen on olennainen osa oppimista. Vaikeimpien
ongelmien kohdalla aktiivinen ryhmätyö on erittäin hyödyllistä,
kuten myös kirjallisuuden käyttö. Physicumin kirjasto tarjoaa tähän hyvän
ympäristön, mutta myös internetissä on tarjolla alati kasvava määrä opiskelijalle
hyödyllistä sivustoa. Myös tässä monisteessa on merkitty harjoitustehtäviksi
(HT) joitain pohtimisen arvoisia ongelmia.
Välikokeissa ja lopputenteissä on syytä “laskennallisissa” tehtävissä kirjoittaa
lyhyt sanallinen perustelu. Oikein ymmärretystä fysiikasta voi herua
irtopisteitä, vaikka laskenta olisi epäonnistunut. Sanattomat kaavailut eivät
ole välttämättä kovin ansiokkaita.
1.2 Hieman taustaa
Klassinen elektrodynamiikka on yksi fysiikan peruskivistä. Se saavutti nykyisen
muotonsa vuonna 1864, kun James Clerk Maxwell julkaisi ensimmäisen
painoksen kuuluisasta teoksestaan “Treatise on Electricity and Magnetism”.
Vaikka Maxwell olikin yksi fysiikan tutkimuksen jättiläisistä, hänen monumenttinsa
perustui toki aiempien fyysikkopolvien tutkimuksiin. Mainittakoon
tässä 1700-luvulta vaikkapa Cavendish, Coulomb, Franklin, Galvani,

1.2. HIEMAN TAUSTAA 11
Gauss ja Volta sekä 1800-luvun alkupuolelta Ampère, Arago, Biot, Faraday,
Henry, Savart ja Ørsted.
Tärkeimpiä Maxwellin teorian ennustuksia oli valon nopeudella etenevä
sähkömagneettinen aaltoliike, jonka Heinrich Hertz onnistui todentamaan
rakentamallaan värähtelypiirillä vuonna 1888. Pian tämän jälkeen tultiin
yhteen fysiikan historian suureen murroskauteen. Osa ongelmista liittyi suoraan
elektrodynamiikkaan, jonka kummallisuuksia olivat esimerkiksi liikkeen
indusoiman jännitteen ja sähkömotorisen voiman ekvivalenssi sekä valon nopeuden
vakioisuus. Juuri näitä selittämään Albert Einstein kehitti suppeamman
suhteellisuusteoriansa vuonna 1905. Vaikka suhteellisuusteorian perusteet
voi ollakin havainnollisempaa opetella mekaniikan välinein, kyseessä
on nimenomaan elektrodynamiikasta noussut teoria. Jälkiviisaasti ajatellen
Maxwellin elektrodynamiikka osoittautui ensimmäiseksi relativistisesti korrektisti
muotoilluksi teoriaksi.
Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi kvanttifysiikan kehitys.
Siihen liittyi vielä vaikeampia elektrodynamiikan ongelmia. Ensinnäkään ei
ollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettu teoria olisi riittävän
yleinen myös mikromaailmassa. Kaiken lisäksi kvanttimekaniikan alkuperäiset
muotoilut, kuten Schrödingerin yhtälö, olivat epärelativistisia. Kesti aina
1940-luvun lopulle ennen kuin onnistuttiin luomaan kunnollinen relativistinen
kvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaan kvanttielektrodynamiikaksi
(QED) ja ratkaisevat askeleet sen luomisessa ottivat Julian Schwinger, Richard
Feynman, Sin-Itiro Tomonaga ja Freeman Dyson 1 . QED:ssa osataan
laskea tarkkoja tuloksia, mutta sen matemaattinen perusta on jonkin verran
ongelmallinen, koska teoria sisältää äärettömyyksiä, jotka pitää “renormalisoida”
pois erityisen muodollisen reseptin turvin.
Vuonna 1967 Steven Weinberg ja Abdus Salam onnistuivat esittämään
sähkömagneettisen ja heikon vuorovaikutuksen teoriat yleisemmän yhtenäisteorian
matalaenergiarajoina. Kyseinen yhtenäisteoria on elektrodynamiikan
yleistys tapaukseen, jossa varauksia on enemmän kuin yhtä (etumerkillistä)
tyyppiä. Samaan tapaan teoriaa laajentamalla luotiin 1970-luvulla ilmeisen
onnistunut malli myös vahvoille vuorovaikuksille. Siinä “varauksia” on kolmenlaisia.
Tämän vuoksi vahvojen vuorovaikutusten yhteydesä puhutaan
usein “väreistä” ja “värivoimasta”. Vahvojen vuorovaikutusten teoria ja
Weinbergin ja Salamin sähköheikon vuorovaikutuksen teoria elävät nykyään
rauhanomaista rinnakkaineloa niin sanottuna hiukkasfysiikan standardimallina.
Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on todellakin välttämätön
perusta pidemmälle menevän teoreettisen fysiikan tekemiselle, sillä siihen
nojaavat sekä suhteellisuusteoria että kvanttiteoria, ja modernit hiukkasfysiikan
teoriat ovat sen yleistyksiä.
1 Näistä kolme ensin mainittua palkittiin saavutuksesta Nobelin palkinnolla. Palkinnon
säännöstön mukaan tieteen Nobelin palkinnot voidaan jakaa korkeintaan kolmen eri
henkilön kesken. Rauhanpalkinota tämä sääntö ei koske.

12 LUKU 1. JOHDANTO
Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka onkin tullut osaksi kvanttimaailmaa,
se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessa fysiikassa
ja insinööritieteissä ydinvoimaloista kännyköiden rakenteluun. Lähes kaikissa
fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikan soveltamista jossain
vaiheessa. Se on keskeistä materiaalifysiikassa, hiukkassuihkujen fysiikassa,
röntgenfysiikassa, elektroniikassa, optiikassa, plasmafysiikassa jne. Klassisen
elektrodynamiikan ymmärtäminen on aivan olennainen perusta menestyksekkäälle
kokeellisen fysiikan tekemiselle!
Elektrodynamiikan perusasioihin kuuluu mm.:
• Varauksellisten hiukkasten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisen
kentän (sekä staattisen että aaltokentän) määrittäminen.
• Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimien
määrittäminen.
• Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessa
kentässä.
• Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussa
virtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan.
• Tunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisen
aaltoliikkeen ja tämän avulla tapahtuvan energian siirtymisen
ennustaminen.
1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne
Useat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn pala palalta
lähtien sähköstatiikasta ja päätyen Maxwellin yhtälöihin ikäänkuin olettaen,
että opiskelijat eivät olisi koskaan kuulleetkaan asiasta. Tämä ei ole aivan
totta enää opintojen tässä vaiheessa, vaan Maxwellin yhtälöihin on jo tutustuttu
ainakin päällisin puolin eikä sähkömagnetismi tietenkään ole aivan
uusi ja outo asia. Pohditaan jo näin kurssin aluksi hieman, mistä elektrodynamiikassa
on kyse. Kirjoitetaan Maxwellin yhtälöt “tyhjiömuodossaan”
∇ · E = ρ ɛ 0
(1.1)
∇ · B = 0 (1.2)
∇ × E = − ∂B
(1.3)
∂t
∇ × B = µ 0 J + 1 ∂E
c 2 ∂t . (1.4)
Sähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuon tiheyden)
B aiheuttajina ovat sähkövaraukset ρ ja sähkövirrat J. Näin kirjoitet-

1.3. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 13
tuna yhtälöryhmä on täysin yleinen eikä ota minkäänlaista kantaa mahdollisen
väliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessa yhtälöryhmä
kirjoitetaan usein väliaineen rakenteesta riippuvien kenttien D ja H avulla,
mihin palataan myöhemmin.
Yllä ɛ 0 on tyhjiön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 on tyhjiön magneettinen
permeabiliteetti. Näiden ja valon nopeuden 2 c välillä on yhteys c =
(ɛ 0 µ 0 ) −1/2 . Koska valon nopeus tyhjiössä on vakio, sille annetaan nykyään
tarkka arvo
c = 299 792 458 m s −1 .
Sekunti määritellään puolestaan cesium-atomin tietyn siirtymäviivan avulla,
jolloin metristä tulee johdannaissuure, joka on aika tarkkaan saman mittainen
kuin Pariisissa säilytettävä kuuluisa platinatanko. Samoin µ 0 määritellään
tarkasti. Se on SI-yksiköissä
µ 0 = 4π · 10 −7 V s A −1 m −1 ,
joten myös tyhjiön permittiivisyydellä on tarkka arvo ɛ 0 = (c 2 µ 0 ) −1 , jonka
numeerinen likiarvo on
ɛ 0 ≈ 8.854 · 10 −12 A s V −1 m −1 .
Sähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävä
voimavaikutuksen avulla. Sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa nopeudella
v liikkuvaan varaukseen q Lorentzin voiman
F = q (E + v × B) (1.5)
välityksellä. Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki,
jota emme edes yritä johtaa mistään vielä perustavammasta laista. Vaikka
sähkö- ja magneettikenttiä ei voikaan “nähdä”, ne ovat fysikaalisia olioita.
Niillä on energiaa, liikemäärää ja liikemäärämomenttia ja ne kykenevät
siirtämään näitä suureita myös tyhjiössä.
Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisia
suureita. Mikroskooppisessa kuvailussa QED:n tasolla sähkömagneettinen
kenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla. Tähän
ei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissa laboratoriokokeissa,
mikä käy ilmi seuraavista esimerkeistä (HT: tarkasta lukuarvot
peruskursseilla oppimasi avulla):
• Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttä on
suunnilleen 50 V m −1 . Tämä merkitsee 10 15 näkyvän valon fotonin
vuota neliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa.
2 Valon nopeuden oikeinkirjoitus horjuu eli se voidaan kirjoittaa sekä yhdyssanana että
erilleen. Eräs resepti on: ”Valon nopeus tyhjiössä on valonnopeus”. Näissä luentomuistiinpanoissa
sanat on pyritty kirjoittamaan erilleen.

14 LUKU 1. JOHDANTO
• Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa. Vastaavan
fotonin liikemäärä on 2, 2 · 10 −34 N s. Yksittäisten fotonien vaikutusta
ei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa.
• Varausten diskreettisyyttä ei myöskään tarvitse huomioida tavanomaisessa
käyttöelektroniikassa. Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriin
varataan 150 V jännite, siihen tarvitaan 10 15 alkeisvarausta. Toisaalta
yhden mikroampeerin virran kuljetukseen tarvitaan 6, 2·10 12 varausta
sekunnissa.
Yksi elektrodynamiikan peruskivistä on sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus.
Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin päätellä, että riippuvuus
on ainakin likimain tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa
1/r 2+ε , voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna 1772
tarkkuuteen |ε| ≤ 0, 02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemmin ja
saavutti tarkkuuden |ε| ≤ 5 · 10 −5 . Nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyillä
päästy tulokseen |ε| ≤ (2, 7 ± 3, 1) · 10 −16 .
Teoreettisesti voi perustella, että 1/r 2 -etäisyysriippuvuus on yhtäpitävää
fotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmään perustuva
tulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1, 6 · 10 −50 kg. Geomagneettisilla
mittauksilla yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi: 1, 4 · 10 −51 kg. Tietyt
astrofysikaaliset havainnot viittaavat jopa toistakymmentä kertalukua pienempään
massan ylärajaan. Nämä arviot ovat kuitenkin jossain määrin malliriippuvaisia
ja niinpä esimerkiksi kansainvälinen Particle Data Group on
vuonna 2008 tyytynyt ylärajaan 10 −18 eV/c 2 ↔ 1, 8 · 10 −54 kg. Joka tapauksessa
fotonin massattomuus ja sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus
ovat erittäin hyvin todennettuja kokeellisia tosiasioita.
Lopuksi on hyvä muistaa, että elektrodynamiikka tehtiin aluksi makroskooppisille
systeemeille. Vasta paljon myöhemmin opittiin, että elektrodynamiikan
peruslait ovat yleisiä luonnonlakeja, jotka pätevät myös kvanttitasolla.

1.4. KIRJALLISUUTTA 15
1.4 Kirjallisuutta
Vaikka tämä luentomoniste pyrkiikin kattamaan kurssin materiaalin, tulevien
opintojen kannalta on hyödyllistä oppia käyttämään myös muita
lähteitä. Kurssin oppikirjoina voi pitää teoksia:
• Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan,
Limes ry., 2000 (jatkossa viite CL).
• Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic
theory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993 (viite RMC).
Suositeltavaa oheislukemistoa:
• Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman lectures on
physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964 (viite Feynman).
Ehdottomasti tutustumisen arvoinen teos! Kirja sisältää erinomaisia esimerkkejä
ja syvällistä ajattelua ilman hankalaa laskennallista käsittelyä.
• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, 1999.
Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapa
ja paljon opettavaisia esimerkkejä.
• Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley & Sons,
1998 (viite Jackson).
Klassisen elektrodynamiikan piplia. Harjoitustehtävistä löytyy riittävän haastavia
ongelmia parhaillekin oppilaille. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia,
joskin niissä on käytetty cgs-yksiköitä.
• Kurki-Suonio, K. ja R., Vuorovaikutuksista kenttiin – sähkömagnetismin
perusteet ja Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry., useita painoksia.
Erittäin fysikaalista tekstiä selvällä suomen kielellä. Tukee erityisen hyvin
sähkö- ja magnetostatiikkaa ja aaltoliikkeen perusteita.
• Lindell, I., Sähkötekniikan historia, Otatieto, 1994.
Sähkömagnetismin historiaa ammoisista ajoista 1900-luvun alkuun.
• Lindell, I. ja A. Sihvola, Sähkömagneettinen kenttäteoria. 1. Staattiset
kentät, Otatieto, 1999. Sihvola, A. ja I. Lindell, Sähkömagneettinen kenttäteoria.
2. Dynaamiset kentät, Otatieto, 2000. Sihvola, A., Sähkömagneettisen
kenttäteorian harjoituskirja, Otatieto, 2001.
Suunnilleen tätä elektrodynamiikan kurssia vastaava kokonaisuus Aaltoyliopistossa.
Hieman erilainen lähestymistapa, mutta tutustumisen arvoinen.

16 LUKU 1. JOHDANTO

Luku 2
Staattinen sähkökenttä
Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään.
Asia on tuttua peruskursseilta, mutta seuraavassa laskennallinen
käsittely on huomattavasti järeämpää. Nyt kannattaa olla kärsivällinen, sillä
hyvin opittu sähköstatiikka helpottaa jatkossa magnetostatiikan omaksumista.
Tässä luvussa opitaan myös ratkaisemaan potentiaaliongelmia menetelmillä,
joista on hyötyä muillakin fysiikan aloilla. Samoilla yhtälöillä on
samat ratkaisut, esiintyivätpä ne sitten sähköopissa, virtausmekaniikassa,
lämpöopissa tai kvanttifysiikassa!
2.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki
Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.
Nykytietämyksen mukaan niitä ei voida hävittää eikä luoda. Minkään
suljetun systeemin varausten määrä ei siis voi muuttua. Käytännössä
useimmat systeemit ovat neutraaleja, eli niissä on yhtä paljon positiivisia ja
negatiivisia varauksia. Makroskooppisen kokonaisuuden varauksella tarkoitetaan
yleensä sen nettovarausta eli poikkeamaa neutraalisuudesta. Nettovaraus
säilyy, ellei systeemi ole vuorovaikutuksessa ympäristönsä kanssa.
1700-luvun lopulla oli opittu, että varauksia on kahta lajia, joita nykyisin
kutsutaan positiivisiksi ja negatiivisiksi. Charles Augustin de Coulomb
muotoili kokeisiinsa perustuen lain:
Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta on
niitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varausten
välisen etäisyyden neliöön. Voimat ovat verrannollisia varausten
tuloon siten, että samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan
ja erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa.
17

18 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Fyysikkoslangissa puhutaan varauksista, vaikka parempi termi olisi “varauksellinen
hiukkanen”.
Nykyaikaisin merkinnöin kirjoitettuna Coulombin laki kertoo, että varaus
q 2 vaikuttaa varaukseen q 1 sähköstaattisella voimalla
F 1 = k q 1q 2
r 2 12
e 12 = k q 1q 2
r 3 12
r 12 , (2.1)
missä r 12 = r 1 − r 2 on varauksesta q 2 varaukseen q 1 osoittava vektori 1
ja e 12 puolestaan samaan suuntaan osoittava yksikkövektori. Me suosimme
jälkimmäistä kirjoitustapaa, koska se on vektoriderivaattoja laskettaessa
selkeämpi.
Sähköstaattinen vuorovaikutus noudattaa voiman ja vastavoiman lakia.
Jos varaukset liikkuvat, tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi, mutta siihen
palataan myöhemmin.
Jos varauksia on useita, varaukseen q i vaikuttaa voima
F i = k
N∑
j≠i
q i q j
r 3 ij
r ij . (2.2)
Tämä laki ilmaisee myös voimien kokeellisesti oikeaksi todetun yhteenlaskuperiaatteen
eli superpositioperiaatteen.
Coulombin laki edellyttää vuorovaikutuksen välittymistä äärettömän nopeasti
koko avaruuteen. Tämä on approksimaatio, koska mikään tieto ei etene
tyhjiössä valoa nopeammin. Toisaalta valon nopeuden suuren arvon vuoksi
staattisuus on aivan kelvollinen oletus monissa käytännön tilanteissa.
Verrannollisuuskerroin k riippuu käytetystä yksikköjärjestelmästä. Sähköopissa
käytetään yhä usein cgs-yksiköitä (Gaussin yksiköitä), joissa k = 1.
Tällöin varauksen yksikkö määritellään siten, että se aiheuttaa 1 cm etäisyydellä
1 dynen voiman (1 dyn = 10 −5 N) toiseen yksikkövaraukseen. Me käytämme
SI-yksiköitä eli MKSA-järjestelmää, jossa
k = 1
4πɛ 0
, (2.3)
missä ɛ 0 ≈ 8, 854 · 10 −12 F m −1 on tyhjiön permittiivisyys. Täten kertoimen
numeroarvo on k ≈ 8, 9874·10 9 N m 2 C −2 (muistisääntö: 9·10 9 SI-yksikköä).
Näissä yksiköissä sähkövirta on perussuure. Palataan siihen tuonnempana,
mutta todettakoon tässä, että virran SI-yksikkö on ampeeri (A) ja varauksen
yksikkö coulombi (C = A s). ɛ 0 :n yksikkö on faradi/metri (F m −1 =
C 2 N −1 m −2 ).
1 Vektoreita merkitään lihavoiduilla symboleilla. Myös käsin kirjoitettaessa kuuluu fysiikassa
hyviin tapoihin erottaa selvästi vektorit skalaareista vaikka piirtämällä viiva symbolin
yläpuolelle tai mato sen alle. Matemaatikot eivät aina tämmöisistä tavoista piittaa.

2.1. SÄHKÖVARAUS JA COULOMBIN LAKI 19
Coulombin laki perustuu kokeellisiin havaintoihin ja voisi siten olla esimerkiksi
1/r 2 -riippuvuuden osalta vain likimääräinen tulos. Kuten jo aiemmin
todettiin modernin fysiikan teoreettiset perusteet ja erittäin tarkat
mittaukset viittaavat siihen, että 1/r 2 -riippuvuus on täsmällinen luonnonlaki.
Myös painovoima riippuu etäisyydestä kuten 1/r 2 , mutta on olemassa
vain yhdenmerkkistä massaa. Lisäksi se on paljon sähköstaattista voimaa
heikompi.
HT: Vertaa kahden elektronin välistä sähköstaattista ja gravitaatiovoimaa
toisiinsa.
Tarkastellaan sitten varausta itseään. Mitattavissa oleva varaus on kvantittunut
yhden elektronin varauksen suuruisiin kvantteihin. Makroskooppisessa
mielessä alkeisvaraus on erittäin pieni (e ≈ 1, 6019 · 10 −19 C). Kvarkeilla
on ±1/3 ja ±2/3 e:n suuruisia varauksia, mutta ne näyttävät olevan
aina sidottuja toisiinsa siten, että kaikkien alkeishiukkasten varaukset ovat
±e:n monikertoja ja elektronin varaus on siten pienin luonnossa vapaana
esiintyvä varaus.
HT: Kertaa peruskurssilta Millikanin koe.
varaus [C]
elektroni
1, 6019 · 10 −19
pieni kondensaattori
10 −7
1 A virta sekunnissa 1
salamaniskun kuljettama varaus 1–100
auton akusta saatavan virran kuljettama varaus 10 5
maanpinta 10 6
Taulukko 2.1: Sähkövarausten suuruuksia ja suuruusluokkia. HT: Mieti,
mikä ylläpitää maanpinnan varausta.
Yksikkövarauksen pienuudesta johtuen makroskooppinen varausjakautuma
muodostuu yleensä suuresta joukosta alkeisvarauksia (ks. taulukko 2.1).
Näin ollen varaustiheys on hyödyllinen käsite. Kolmiulotteisessa avaruudessa
se määritellään muodollisesti
ja pintavaraustiheys vastaavasti
ρ =
σ =
lim
△V →0
lim
△S→0
△q
△V
(2.4)
△q
△S , (2.5)
missä V on tarkasteltava tilavuus ja S tarkasteltava pinta. Jos tilavuudessa
V on varausjakautuma ρ ja pinnalla 2 S pintavarausjakautuma σ, niin
2 Tilavuutta V rajoittavaa pintaa (tilavuuden reunaa) merkitään usein ∂V . Muista aina,
että tärkeämpää kuin käytetyt merkinnät on yhtälöiden kuvaama fysiikka!

20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
pisteessä r olevaan varaukseen q vaikuttaa voima
F q =
q
4πɛ 0
∫V
r − r ′
|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′ + q r − r
4πɛ 0
∫S
′
|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ . (2.6)
2.2 Sähkökenttä
Sähköstaattinen vuorovaikutus on luontevaa ajatella kaksivaiheiseksi: staattinen
systeemi aiheuttaa kentän E(r), joka vaikuttaa pisteessä r olevaan
varaukselliseen hiukkaseen (varaus q) voimalla
F(r) = q E(r) , (2.7)
joka voidaan mitata. Sähköstatiikalle tyypillinen kokeellinen ongelma on,
että kenttään tuodaan ylimääräinen varattu kappale. Se voi vaikuttaa huomattavasti
siihen varausjakaumaan, joka aiheuttaa kentän. Sanotaan, että
kappaleet polarisoituvat. Tämän vuoksi useat oppikirjat puhuvat pienistä
testivarauksista, jotka eivät vaikuta kentän aiheuttajaan. Sähkökentän voimakkuuden
määritelmä ei kuitenkaan edellytä testivarauksen käsitettä.
HT: Kuinka painovoima eroaa tässä suhteessa sähköstaattisesta voimasta?
Yksittäisten varausten ja varausjakautumien yhteenlaskettu sähkökenttä
on voimien yhteenlaskuperiaatteen nojalla
E(r) =
+
1
4πɛ 0
1
∑
N q i
i=1
4πɛ 0
∫S
r − r i
|r − r i | 3 + 1
4πɛ 0
∫V
r − r ′
|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′
r − r ′
|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ . (2.8)
Tässä vaiheessa on syytä tehdä itselleen kristallin kirkkaaksi lausekkeessa
esiintyvien vektorimuuttujien merkitykset. Vektori r on kentän E(r) havaintopiste.
Vektori r ′ käy läpi kaikki jatkuvan varausjakauman pisteet eli se on
integroimismuuttuja. r i on puolestaan yksittäisen pistevarauksen paikka.
Yksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla tavalla kuin varausjakautumat
ottamalla käyttöön Diracin delta δ(r), jolloin pisteessä r i olevaan
varaukseen q i liittyvä varaustiheys on ρ(r) = q i δ(r − r i ). Deltan tunnetuiksi
oletettuja perusominaisuuksia 3 ovat
∫
δ(r) = 0 , jos r ≠ 0 (2.9)
F (r)δ(r − r 0 ) dV = F (r 0 ) . (2.10)
3 Diracin deltaa kutsutaan usein deltafunktioksi, mikä ei ole ihan totta. Matematiikassa
tällaisesta oliosta käytetään nimitystä distribuutio.

2.3. SÄHKÖSTAATTINEN POTENTIAALI 21
Periaatteessa sähkökenttä voidaan siis määrittää laskemalla kaikkien varausjakautumien
ja yksittäisten hiukkasten aiheuttamat kentät. Käytännössä
tämä on usein täysin ylivoimainen tehtävä. Faraday otti käyttöön kenttäviivan
käsitteen. Vektorikentän kenttäviiva on matemaattinen käyrä, joka
on jokaisessa pisteessä kyseisen vektorin suuntainen. Kenttäviiva on määritelty,
kun sen aloituspiste on valittu, ja se jatkuu äärettömän kauas, ellei sitä
ennen törmätä pistevaraukseen, joka on kenttäviivan päätepiste. Parhaiten
kenttäviiva soveltuu divergenssittömän kentän kuten magneettikentän kuvaamiseen,
koska silloin kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta,
jos kenttäviivojen aloituspisteet valitaan sopivasti. Sähkökentänkin tapauksessa
kenttäviivaesitystä voi käyttää, jos haluaa. On kuitenkin muistettava,
että kenttäviiva ei ole itsenäinen fysikaalinen olio vaan ainoastaan tapa havainnollistaa
vektorikenttää, joka on varsinainen fysikaalinen suure.
2.3 Sähköstaattinen potentiaali
Vektorianalyysin alkeista tiedetään, että
joten staattisen sähkökentän roottori häviää
∇ × r − r′
|r − r ′ | 3 = 0 , (2.11)
∇ × E(r) = 0 . (2.12)
Sähkökenttä voidaan siis esittää sähköstaattisen potentiaalin ϕ avulla
E(r) = −∇ϕ(r) . (2.13)
Pisteessä r 1 sijaitsevan hiukkasen aiheuttama potentiaali on siten
ϕ(r) = 1
4πɛ 0
q 1
|r − r 1 | , (2.14)
kun sovitaan, että potentiaali häviää äärettömyydessä. Vastaavasti mielivaltaiselle
varausjoukolle saadaan
ϕ(r) = 1
4πɛ 0
N ∑
i=1
q i
|r − r i | + 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ + 1
4πɛ 0
∫S
σ(r ′ )
|r − r ′ | dS′ .
(2.15)
Sähköstaattinen kenttä on esimerkki konservatiivisesta voimakentästä.
(HT: Kertaa konservatiivisen voiman käsite klassisen mekaniikan kurssilta.)
Tämä merkitsee, että potentiaalienergia U eli voiman F viivaintegraali
annetusta vertailupisteestä r 0 tarkastelupisteeseen r
U(r) = −
∫ r
r 0
F(r ′ ) · dr ′ (2.16)

22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
on riippumaton integrointitiestä. Koska varsinainen fysikaalinen suure eli
sähkökenttä riippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan
voi valita mieleisekseen. Standardivalinta on, että potentiaali häviää
äärettömyydessä, mutta joskus, kuten ärettömän pitkän langan tapauksessa,
jolloin potentiaali divergoi äärettömyydessä, tätä valintaa ei voi käyttää.
Asettamalla ϕ(r 0 ) = 0 saadaan U(r) = q ϕ(r).
Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissä
ongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän (vektorikenttä)
integroiminen varausjakautumista on monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemman
potentiaalin (skalaarikenttä) laskeminen. Potentiaali on vielä
derivoitava, mutta se on helpompaa kuin integrointi. Merkittävä syy potentiaalin
käyttökelpoisuudelle on myös se, että matematiikan potentiaaliteoria
tarjoaa koko joukon hyödyllisiä työkaluja.
SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen yksikkö
on coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N C −1 . Energian yksikkö on
puolestaan joule (J = N m) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on siten
J C −1 . Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (V = J C −1 ) ja
sähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V m −1 .
2.4 Gaussin laki
Nyt olemme valmiita muotoilemaan ensimmäisen Maxwellin yhtälön. Tutustuessasi
tähän ensimmäistä kertaa on erittäin hyödyllistä, että hahmottelet
itse asiaa havainnollistavat kuvat!
2.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälö
Tarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttää
E(r) =
q r
4πɛ 0 r 3 . (2.17)
Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna. Integroidaan
sähkökentän normaalikomponentti reunan yli
∮ ∮
E · dS = E · n dS =
q r · n
r 3 dS , (2.18)
S
S
4πɛ 0
∮S
missä n on pinnan S yksikköulkonormaali. Nyt (r/r)·n dS on pinta-alkiovektorin
dS = dS n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle. Tämä pintaala
jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dΩ, joka pallokoordinaatistossa
on sin θ dθ dφ. Valitaan V :n sisäpuolelta origokeskinen pallo, jonka reuna on

2.4. GAUSSIN LAKI 23
S ′ . Infinitesimaalinen pinta-alkio dS ′ kattaa yhtä suuren avaruuskulman dΩ
kuin elementti dS, joten
∮
∮
r · n r ′ ∮ · n
S r 3 dS =
S ′ r ′3 dS ′ = dΩ = 4π , (2.19)
S ′
mistä seuraa
∮
S
E · n dS = q/ɛ 0 . (2.20)
Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin.
Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaa
avaruuskulmaelementin dΩ suuruista kartiota. Tämä kartio läpäisee
tilavuuden V sekä sisään- että ulospäin ja pinta-alkioiden integraalit summautuvat
nollaan.
Tulos yleistyy N:n varauksen parvelle
∮
S
E · n dS = 1 ɛ 0
N ∑
i=1
q i . (2.21)
Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρ dV
ajatella alkioksi, joka tuo osuuden ρ dV/ɛ 0 eli integroituna tilavuuden V yli
∮
E · n dS = 1 ∫
ρ dV , (2.22)
ɛ 0
S
mikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa.
Vektorianalyysin divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseen mukaan riittävän
siistille vektorikentälle u pätee
∮
∫
u · n dS = ∇ · u dV , (2.23)
S
missä n on tilavuutta V ympäröivän pinnalta S ulospäin osoittava yksikkönormaalivektori.
Sovelletaan tätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin
∫
∇ · E dV = 1 ∫
ρ dV . (2.24)
ɛ 0
V
Tämän täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eli
V
V
V
∇ · E = ρ/ɛ 0 . (2.25)
Tämä on Gaussin laki differentiaalimuodossa eli Maxwellin ensimmäinen
yhtälö. 4
4 Maxwellin yhtälöitä kutsutaan usein myös Maxwellin laeiksi.

24 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
2.4.2 Gaussin lain soveltamisesta
Gaussin laki on kätevä esimerkiksi tilanteessa, jossa voidaan päätellä kentän
olevan vakio jollain koordinaatiston tasa-arvopinnalla. Lisäksi on tiedettävä
kenttävektorin suunta.
Pallosymmetrinen varausjakautuma
Pallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloin
sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E =
E(r)e r , mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. Tarkastellaan
Gaussin lakia pallokoordinaateissa, kun pinnaksi S valitaan r-säteinen pallo
∮
∫ π ∫ 2π
E · dS = E(r)e r · (r 2 sin θ dθ dφ e r ) = 4πr 2 E(r) . (2.26)
0 0
Toisaalta pallon sisään jää varaus
∫
∫ r ∫ π ∫ 2π
ρdV = ρ(r ′ )(r ′2 sin θdr ′ dθdφ) = 4π
0 0 0
∫ r
0
ρ(r ′ )r ′2 dr ′ , (2.27)
joten pallosymmetrisen varausjakautuman sähkökenttä on
E(r) = 1
ɛ 0 r 2 ∫ r
0
ρ(r ′ )r ′2 dr ′ . (2.28)
Sovelletaan tätä tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällä varaustiheys
on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus on Q = 4πR 3 ρ 0 /3.
Integrointi antaa sähkökentäksi
r ≤ R : E(r) = Q r
4πɛ 0 R 3
r > R : E(r) = Q
4πɛ 0 r 2 . (2.29)
Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevan
pistevarauksen Q kenttä.
Viivavaraus
Esimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisesti
varattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti on λ.

2.4. GAUSSIN LAKI 25
Symmetrian perusteella sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan radiaalisesta
etäisyydestä. Tarkastellaan langan ympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä,
jonka pituus on l. Integroitaessa sähkökentän normaalikomponenttia
sylinterin pinnan yli sylinterin päät eivät tuota mitään. Vaipan pintaala
on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varaus λl, joten Gaussin laki antaa
2πrlE r = λl/ɛ 0 eli
E r =
λ
2πɛ 0 r . (2.30)
Viivavarauksen kenttä pienenee siis kuten r −1 . Kentän potentiaali on
ϕ = −
λ
2πɛ 0
ln(r/r 0 ) , (2.31)
missä r 0 on vakio. Tässä tapauksessa ei siis voi valita potentiaalia nollaksi
äärettömän kaukana.
Johdekappale
Kappaletta, jolla voi olla sisäistä varausta mutta jonka varaukset ovat kiinni
atomeissa tai molekyyleissä, kutsutaan eristeeksi (engl. dielectric). Itse
asiassa kaikilla tavallisilla aineilla on eristeominaisuuksia. Johteissa on
puolestaan “vapaasti” liikkuvia varauksia, jotka jatkavat liikettään, kunnes
sähkökenttä kappaleen sisällä on nolla. Varaukset joutuvat tällöin kappaleen
pinnalle, eli sisällä varaustiheys on nolla ja kappaleen mahdollinen
nettovaraus on pintavarausta. Jotta tilanne olisi staattinen, pinnalla olevan
sähkökentän täytyy olla pinnan normaalin suuntainen: E n = E n n, koska
muuten varaukset liikkuisivat pitkin pintaa.
E
h
σ
E = 0
Kuva 2.1: Pillerirasia johdekappaleen reunalla.
Sovelletaan Gaussin lakia sylinterinmuotoiseen pillerirasiaan (korkeus h),
jonka ulompi pinta yhtyy tarkasteltavan kappaleen pintaan ja jonka tilavuus
on h dS (dS = n dS, dS pohjan pinta-ala) (kuva 2.1). Saadaan

26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
∮
∫
E · dS = E n · n dS − E i · n dS + E · dS , (2.32)
vaippa
missä E i on kenttä pillerirasian sisemmällä pinnalla, siis 0. Rajalla h → 0
integraali vaipan yli menee myös nollaksi ja
E n · n dS = 1 ∫
ρ dV = σ dS . (2.33)
ɛ 0 ɛ 0
Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla pinta-alkioilla, on sähkökenttä
johdekappaleen pinnalla suoraan verrannollinen pintavaraukseen
V
E = σ ɛ 0
n . (2.34)
Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että mielivaltaisen johdekappaleen sisällä
olevassa tyhjässä onkalossa ei ole sähköstaattista kenttää. Samoin jää mietittäväksi,
miksi tämä on merkittävä tulos Coulombin lain kokeellisen testaamisen
kannalta.
HT: Laske tasaisesti varatun äärettömän tason aiheuttama sähkökenttä ja
vertaa ylläolevaan tulokseen.
2.5 Sähköinen dipoli
Olkoon origossa varaus −q ja pisteessä d varaus q (kuva 2.2). Tällöin potentiaali
pisteessä r on
ϕ(r) =
q 1
(
4πɛ 0 |r − d| − 1
|r| ) . (2.35)
Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Sähköisellä
dipolilla tarkoitetaan raja-arvoa d → 0, mikä on sama asia kuin dipolin
katselu kaukaa (|r| ≫ |d|).
r
r–d
–q q
d
Kuva 2.2: Sähködipoli muodostuu kahdesta lähekkäisestä samansuuruisesta
vastakkaismerkkisestä varauksesta.

2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 27
Sovelletaan binomisarjaa potentiaalin lausekkeeseen
|r − d| −1 = [r 2 − 2r · d + d 2 ] −1/2 = 1 r (1 + r · d
r 2 + ...) . (2.36)
Rajalla d → 0 potentiaali häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio,
jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = qd on
äärellinen. Origossa olevan sähködipolin potentiaali on siis
ϕ(r) = 1
4πɛ 0
p · r
r 3 . (2.37)
Ottamalla tästä gradientin vastaluku saadaan sähkökentäksi
E(r) = 1
4πɛ 0
{ 3r · p
r 5 r − p r 3 }
= 1
4πɛ 0
{ 3p cos θ
r 3 e r − p r 3 }
, (2.38)
missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma. Myöhemmin saadaan
magneettiselle dipolille samanmuotoiset lausekkeet. Dipolikentän kenttäviivat
on hahmoteltu kuvaan 2.3.
z
x
Kuva 2.3: Dipolikentän kenttäviivat xz-tasossa. Dipoli sijaitsee origossa ja
on z-akselin suuntainen.
2.6 Sähkökentän multipolikehitelmä
Tarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.
Sen aiheuttama potentiaali pisteessä r on
ϕ(r) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ . (2.39)

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Kehitetään |r − r ′ | −1 binomisarjaksi, kun r > r ′ :
|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2
= 1 {
1 − 1 ]
2r · r′
[−
r 2 r 2 + r′2
r 2 + 3 }
8 [ ]2 + ...
. (2.40)
Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r ′ :n toista potenssia
korkeammat termit pois ja järjestetään termit r ′ :n kasvavien potenssien mukaan.
Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttia
myöten
{ ∫
1 1
ϕ(r) =
ρ(r ′ ) dV ′ + r ∫
4πɛ 0 r V
r 3 · r ′ ρ(r ′ ) dV ′
V
+
3∑
3∑
i=1 j=1
⎫
1 x i x ⎬
j
2 r
∫V
5 (3x ′ ix ′ j − δ ij r ′2 )ρ(r ′ ) dV ′ ⎭ , (2.41)
missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerin
delta
{ 0, i ≠ j
δ ij =
(2.42)
1, i = j .
Multipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautuman
osuutta potentiaaliin. Toinen tekijä vastaa origoon sijoitettua
dipolimomenttien jakautumaa. Kolmas termi on muotoa
3∑
3∑
i=1 j=1
1 x i x j
2 r 5 Q ij ,
missä Q ij :t ovat kvadrupolimomenttitensorin komponentit. Potentiaalin multipolikehitelmä
voidaan siis kirjoittaa sarjana
⎧ ⎫
ϕ(r) = 1 ⎨
Q
4πɛ 0 ⎩ r + r · p 3∑ 3∑ 1 x i x
⎬
j
r 3 +
2 r 5 Q ij + ...
⎭ . (2.43)
i=1 j=1
Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollasta
poikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Atomien ytimissä dipolimomentti
on nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.
2.7 Poissonin ja Laplacen yhtälöt
Sähköstatiikka olisi aika suoraviivaista, jos tietäisimme kaikkien varausjakautumien
paikkariippuvuudet. Näin ei kuitenkaan ole monissa käytännön

2.7. POISSONIN JA LAPLACEN YHTÄLÖT 29
ongelmissa. Koska ∇ · E = ρ/ɛ 0 ja E = −∇ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossa
vastaa matematiikan Poissonin yhtälöä
∇ 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 . (2.44)
Jos varaustiheys on nolla, niin Poissonin yhtälö yksinkertaistuu Laplacen
yhtälöksi
∇ 2 ϕ = 0 . (2.45)
Laplacen yhtälön toteuttavaa funktiota kutsutaan harmoniseksi.
Poissonin yhtälö voidaan ratkaista, jos varausjakautuma ja oikeat reunaehdot
tunnetaan. Tarkastellaan sähköstaattista systeemiä, joka koostuu
N:stä johdekappaleesta. Kunkin johteen pinnalla potentiaali on ϕ i , i =
1, . . . , N. Reunaehtoja on kahta perustyyppiä:
1. Tunnetaan potentiaali ϕ alueen reunalla (Dirichlet’n reunaehto).
2. Tunnetaan potentiaalin derivaatan normaalikomponentti ∂ϕ/∂n alueen
reunalla (Neumannin reunaehto).
Selvitetään, ovatko mahdollisesti löydettävät ratkaisut yksikäsitteisiä.
On selvää, että jos ϕ 1 (r), . . . , ϕ n (r) ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, niin
ϕ(r) = ∑ C i ϕ i (r) ,
missä C i :t ovat mielivaltaisia vakioita, on Laplacen yhtälön ratkaisu. Todistetaan
sitten seuraava yksikäsitteisyyslause:
Kaksi annetut reunaehdot täyttävää Poissonin yhtälön ratkaisua ovat
additiivista vakiota vaille samat.
Tarkastellaan johteiden pinnat S 1 , . . . , S N sisäänsä sulkevaa tilavuutta V 0 ,
joka on pinnan S sisällä (pinta voi olla äärettömyydessä). Olkoot ϕ 1 ja ϕ 2
kaksi Poissonin yhtälön toteuttavaa ratkaisua, jotka täyttävät samat reunaehdot
johteiden pinnalla S I , siis joko ϕ 1 = ϕ 2 tai ∂ϕ 1 /∂n = ∂ϕ 2 /∂n
näillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiota Φ = ϕ 1 − ϕ 2 . Tilavuudessa
V 0 on selvästi ∇ 2 Φ = 0. Reunaehdoista puolestaan seuraa, että
kaikilla reunoilla
joko Φ = 0 tai n · ∇Φ = ∂Φ
∂n = 0 .
Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin: Φ∇Φ
∫
∮
∇ · (Φ∇Φ) dV =
(Φ∇Φ) · n dS = 0 ,
V 0
S+S 1 +...+S N
koska joko Φ tai ∇Φ · n on pinnoilla 0. Toisaalta
∇ · (Φ∇Φ) = Φ∇ 2 Φ + (∇Φ) 2 = (∇Φ) 2

30 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
eli
∫
V 0
(∇Φ) 2 dV = 0 .
Koska (∇Φ) 2 ≥ 0 koko alueessa V 0 , sen on oltava nolla kaikkialla. Tästä
seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause on siten
todistettu.
Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että mahdolliset
ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Tuloksen tärkeys on siinä, että löydettiinpä
annetut reunaehdot täyttävä Poissonin yhtälön ratkaisu millä keinolla tahansa,
se on Dirichlet’n reunaehdolla yksikäsitteinen ja Neumannin reunaehdolla
vakiota eli potentiaalin nollatason valintaa vaille yksikäsitteinen.
2.8 Laplacen yhtälön ratkaiseminen
Laplacen yhtälö on fysiikan keskeisimpiä yhtälöitä. Sähköopin lisäksi se esiintyy
lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa jne. Kovin monimutkaisissa
tilanteissa yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti. Joskus ongelman symmetriasta
on kuitenkin hyötyä ja Laplacen yhtälö, joka on osittaisdifferentiaaliyhtälö,
saadaan separointimenetelmällä muunnetuksi ryhmäksi tavallisia
yhden muuttujan differentiaaliyhtälöitä. Laplacen yhtälö voidaan separoida
kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa, joista tässä esiteltävät kolme tapausta
ovat tavallisimmat ainakin oppikirjatasolla.
2.8.1 Karteesinen koordinaatisto
Kirjoitetaan Laplacen yhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa
ja etsitään sille ratkaisua yritteellä
∂ 2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 = 0 (2.46)
ϕ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) . (2.47)
Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.46) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan
1 d 2 X
X dx 2 + 1 Y
d 2 Y
dy 2 + 1 d 2 Z
Z dz 2 = 0 . (2.48)
Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenään
riippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita
1 d 2 X
X dx 2 = α2 ;
1
Y
d 2 Y
dy 2 = β2 ;
1 d 2 Z
Z dz 2 = γ2 , (2.49)

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 31
missä α 2 + β 2 + γ 2 = 0. Kukin yhtälöistä (2.49) on helppo ratkaista
X(x) = A 1 e αx + A 2 e −αx
Y (y) = B 1 e βy + B 2 e −βy (2.50)
Z(z) = C 1 e γz + C 2 e −γz .
Yleisesti kompleksiarvoiset vakiot A i , B i , C i ja α, β, γ määräytyvät ongelman
reunaehdoista. Koko ratkaisu on muodollisesti summa
ϕ(x, y, z) = ∑ α,β,γ
X(x)Y (y)Z(z) , (2.51)
missä separointivakioille α, β, γ tulee tarkasteltavasta tilanteesta riippuvia
rajoituksia.
Esimerkki. Potentiaali laatikossa
Tarkastellaan laatikkoa 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. Olkoon potentiaali
nolla muilla reunoilla paitsi yläkannella (z = c), jossa se on tunnetuksi
oletettu funktio V (x, y). Ratkaistaan potentiaali laatikon sisällä.
Edellä saatua ratkaisua voitaisiin käyttää suoraan, mutta kirjoitetaankin
nerokkaasti 5 X(x) = A 1 sin(αx) + A 2 cos(αx)
Y (y) = B 1 sin(βy) + B 2 cos(βy) (2.52)
Z(z) = C 1 sinh(γz) + C 2 cosh(γz) ,
missä α 2 + β 2 = γ 2 (HT: totea, että yrite on kelvollinen). Tässä on tarkoituksella
valittu trigonometriset funktiot x- ja y-suunnissa ja hyperboliset
funktiot z-suunnassa. Reunaehtoja soveltamalla nähdään heti, että
A 2 = B 2 = C 2 = 0, kun separointivakiot α ja β toteuttavat seuraavat
ehdot (reunaehdoista sivuilla x = a ja y = b)
α = mπ/a
β = nπ/b , (2.53)
missä m, n ovat kokonaislukuja, ja ne voidaan rajoittaa lisäksi positiivisiksi,
koska vain lineaarisesti riippumattomat ratkaisut tarvitsee ottaa huomioon.
Myös kolmas separointivakio saa silloin vain diskreettejä arvoja
γ = γ mn = π √ (m/a) 2 + (n/b) 2 . (2.54)
5 Yksikäsitteisyyslauseen nojalla, kaikki keinot reunaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi
ovat sallittuja. Ongelmanratkaisussa kokemus ja intuitio ovat tärkeitä.

32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Samaan tulokseen olisi luonnollisesti päädytty, vaikka olisi lähdetty liikkeelle
eksponenttifunktioiden avulla kirjoitetusta ratkaisusta. Tilanteesta riippuu,
mikä muoto on lasku- ja päättelyteknisesti mukavin.
Tähän mennessä on siis saatu ratkaisuksi Fourier-kehitelmä
ϕ(x, y, z) =
∞∑
m,n=1
A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn z) . (2.55)
On järkevää tarkastaa vielä kerran, että tämä toteuttaa Laplacen yhtälön ja
antaa potentiaaliksi nollan vaadituilla reunoilla. Tuntemattomat kertoimet
A mn saadaan asettamalla z = c
ϕ(x, y, c) = V (x, y) =
∞∑
m,n=1
A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn c) .(2.56)
Loppu on Fourier-kertoimien A mn määrittämistä. Jos funktio V (x, y) on
riittävän siisti, kertoimet saadaan lasketuiksi ortogonaalisuusintegraalien
avulla. Tämä lienee tuttua FYMM I:ltä.
Edellä ei mietitty sitä mahdollisuutta, että jotkin separointivakioista olisivat
voineet olla nollia. Huolellinen lukija tutkikoon erikseen tämän tilanteen.
Lyhyemmin voidaan kuitenkin todeta, että löydetty ratkaisu on selvästi
kelvollinen ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan ongelma on sillä selvä.
2.8.2 Pallokoordinaatisto
Koska pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen, pallokoordinaatisto on
usein erittäin käyttökelpoinen. Laplacen yhtälö on tällöin
1 ∂ 2
(
r ∂r 2 (rϕ) + 1 ∂
r 2 sin θ ∂ϕ )
1 ∂ 2 ϕ
+
sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 = 0 . (2.57)
Etsitään tälle ratkaisua muodossa
ϕ(r, θ, φ) = R(r)
r
Θ(θ)Φ(φ) . (2.58)
Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.57), kerrotaan suureella r 2 sin 2 θ ja jaetaan
RΘΦ:llä
( 1
r 2 sin 2 d 2 (
R
θ
R dr 2 + 1 1 d
r 2 sin θ dΘ ))
+ 1 d 2 Φ
sin θ Θ dθ dθ Φ dφ 2 = 0 . (2.59)
Ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jota
merkitään −m 2 :llä
1 d 2 Φ
Φ dφ 2 = −m2 . (2.60)

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 33
Tämän ratkaisut ovat muotoa
Φ(φ) = Ce ±imφ . (2.61)
Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdolliset
arvot: jotta potentiaali olisi jatkuva, kun φ → 0 ja φ → 2π, on oltava
Φ(0) = Φ(2π), joten m = 0, ±1, ±2, . . .. Jatkuvuus on luonnollinen vaatimus,
koska sähköstaattinen potentiaali voidaan tulkita potentiaalienergiaksi
yksikkövarausta kohti.
Jotta koko yhtälö (2.59) toteutuisi, ensimmäisen termin on oltava puolestaan
m 2 , joten
( (
1
R r2 d2 R 1
dr 2 + 1 d
sin θ dΘ ) )
− m2
sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0 . (2.62)
θ
Tämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaan
omasta muuttujastaan ja ovat siten yhtäsuuria vastakkaismerkkisiä vakioita,
joita merkitään mukavuussyistä l(l + 1):llä
1
R r2 d2 R
dr 2 = l(l + 1) (2.63)
(
1 1 d
sin θ dΘ )
− m2
sin θ Θ dθ dθ sin 2 = −l(l + 1) . (2.64)
θ
Yhtälön (2.63) yleinen ratkaisu löydetään yritteellä R(r) = r s , joten
R(r) = Ar l+1 + Br −l , (2.65)
missä A ja B ovat vakioita. Kirjoittamalla ξ = cos θ saadaan Θ:n yhtälöksi
(
d
(1 − ξ 2 ) dΘ )
)
+
(l(l + 1) − m2
dξ dξ
1 − ξ 2 Θ = 0 . (2.66)
Jotta tämän ratkaisut olisivat äärellisiä pisteissä ξ = ±1 eli θ = 0 tai π,
on oltava l = |m|, |m| + 1, . . .. Tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat
Legendren liittofunktiot Pl
m (ξ). Niille on voimassa ehto |m| ≤ l, joten
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l . (2.67)
Erikoistapauksessa m = 0 Laplacen yhtälön ratkaisu ei riipu φ:sta, jolloin
Legendren liittofunktiot palautuvat Legendren polynomi P l
P l (ξ) = 1
2 l l!
d l
dξ l (ξ2 − 1) l . (2.68)
Legendren liittofunktiot saadaan puolestaan Legendren polynomeista
P m
l (ξ) = (1 − ξ 2 )
m/2 dm
dξ m P l(ξ) . (2.69)

34 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Yleisesti Laplacen yhtälöllä on siis pallokoordinaatistossa jokaista l kohti
2l + 1 kulmista θ ja φ riippuvaa ratkaisua. Ne voidaan sopivasti normittaen
lausua palloharmonisten funktioiden
√
Y lm (θ, φ) = (−1) m 2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)! P l m (cos θ)e imφ (2.70)
avulla. Normitus on valittu siten, että pallofunktiot Y lm muodostavat ortonormitetun
täydellisen funktiojärjestelmän pallon pinnalla
∫
Y ∗
lm (θ, φ)Y np(θ, φ) dΩ = δ ln δ mp . (2.71)
Palloharmonisten funktioiden yhteenlaskuteoreema antaa kahden vektorin
välisen etäisyyden käänteisluvun summana
1
∞
|r − r ′ | = ∑
l∑
l=0 m=−l
4π
2l + 1
r<
l
r>
l+1
Y ∗
lm (θ, φ)Y lm(θ ′ , φ ′ ) , (2.72)
missä vektorin r suuntakulmat ovat θ, φ ja vektorin r ′ suuntakulmat θ ′ , φ ′
sekä r < = min(r, r ′ ) ja r > = max(r, r ′ ). Tämän hajoitelman juju on siinä,
että se erottelee pisteiden r ja r ′ koordinaatit (r, θ, φ) ja (r ′ , θ ′ , φ ′ ) eri tekijöihin.
Moni integraali olisi vaikea laskea ilman tätä kaavaa.
Mikä hyvänsä riittävän säännöllinen pallon pinnalla määritelty funktio
voidaan kehittää palloharmonisten funktioiden sarjaksi. Esimerkkinä käy
maapallon magneettikenttä. Sen sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettista
dipolia ja korkeamman kertaluvun termit johtuvat kentän lähteen
poikkeamisesta dipolista, magneettisen maa-aineksen epätasaisesta jakautumasta
ja maapallon yläpuolella ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista
sähkövirroista. Palloharmonisia funktioita tarvitaan paljon myös atomifysiikassa
ja kvanttimekaniikassa mm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita.
Tekijä (−1) m kaavassa (2.70) on vaihetekijä, joka voidaan jättää
pois tai ottaa mukaan jo Pl
m :n määritelmässä (2.69). Sen ottaminen mukaan
on hyödyllistä etenkin kvanttimekaniikan laskuissa (katso esim. Arfkenin ja
Weberin matemaattisten menetelmien oppikirja).
Kootaan lopuksi Laplacen yhtälön separoituva ratkaisu, kun 0 < r < ∞
ϕ(r, θ, φ) = ∑ lm
A lm r l Y lm (θ, φ) + ∑ lm
B lm r −l−1 Y lm (θ, φ) , (2.73)
missä summaus on
∑ ∞∑ l∑
=
lm l=0 m=−l
ja kertoimet A lm , B lm määräytyvät reunaehdoista.

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 35
Esimerkki. Kiertosymmetrinen tilanne
Rajoitutaan sitten tilanteeseen, jossa ∂ϕ/∂φ = 0 eli ϕ = ϕ(r, θ). Tällaisia
ovat esimerkiksi pistevarauksen tai dipolin kentät. Laplacen yhtälö on nyt
(
1 ∂
r 2 r 2 ∂ϕ )
(
1 ∂
+
∂r ∂r r 2 sin θ ∂ϕ )
= 0 . (2.74)
sin θ ∂θ ∂θ
Toistetaan harjoituksen vuoksi muuttujien separointi etsimällä nyt ratkaisua
yritteellä ϕ(r, θ) = Z(r)P (θ), jolloin
(
1 d
r 2 dZ )
= − 1 (
d
sin θ dP )
. (2.75)
Z dr dr P sin θ dθ dθ
Yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin jokin vakio k kaikilla r:n
ja θ:n arvoilla. Näin osittaisdifferentiaaliyhtälö on hajotettu kahdeksi tavalliseksi
differentiaaliyhtälöksi. Kulman θ yhtälöä kirjoitettuna muodossa
1
sin θ
d
dθ
(
sin θ dP
dθ
)
+ kP = 0 (2.76)
kutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvolliset
ratkaisut kaikilla θ ∈ [0, π] edellyttävät, että k = n(n + 1), missä n on
positiivinen kokonaisluku. Ratkaisut ovat Legendren polynomeja P n (cos θ)
Muutama ensimmäinen P n on
Radiaalisen yhtälön
d n
P n (cos θ) = 1
2 n n! d(cos θ) n [cos2 θ − 1] n . (2.77)
P 0 = 1
P 1 = cos θ
P 2 = 1 (
3 cos 2 θ − 1 )
2
P 3 = 1 (
5 cos 3 θ − 3 cos θ ) .
2
(
d
r 2 dZ )
= n(n + 1)Z (2.78)
dr dr
kaksi riippumatonta ratkaisua ovat muotoa r n ja r −(n+1) . Täydellinen ratkaisu
on näiden lineaariyhdistelmä:
Z n (r) = A n r n + B n r −(n+1) (2.79)
ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu kiertosymmetriassa on muotoa
∞∑
(
ϕ(r, θ) = A n r n + B )
n
r n+1 P n (cos θ) . (2.80)
n=0
Integroimisvakiot A n ja B n on määritettävä reunaehdoista.

36 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässä
Tuodaan tasaiseen sähkökenttään E 0 varaamaton a-säteinen johdepallo. Johde
pakottaa alun perin suorat kenttäviivat taipumaan siten, että ne osuvat
pintaan kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten, että origo on pallon
keskipisteessä ja z-akseli on sähkökentän suuntainen. Tällöin ongelma on
kiertosymmetrinen z-akselin ympäri. Johteen pinta on kaikkialla samassa
potentiaalissa ϕ(a, θ) = ϕ 0 . Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy vakioarvoa
E(r, θ) r→∞ = E 0 e z , (2.81)
joten kaukana potentiaali lähestyy lauseketta
ϕ(r, θ) r→∞ = −E 0 z + C = −E 0 r cos θ + C . (2.82)
Kirjoitetaan potentiaalin muutama ensimmäinen termi lausekkeesta (2.80)
ϕ(r, θ) = A 0 + B 0
r + A 1r cos θ + B [
1
1
r 2 cos θ + A 2r 2 2
+ B 2
r 3 [ 1
2
(
3 cos 2 θ − 1 )]
(
3 cos 2 θ − 1 )] + . . . (2.83)
Kun r → ∞, niin ϕ = −E 0 r cos θ+C, joten A n = 0 kaikille n ≥ 2, A 0 = C ja
A 1 = −E 0 . Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/rriippuvuutta,
eli B 0 = 0. Jäljellä olevat cos n θ-termit (n ≥ 2) ovat kaikki
lineaarisesti riippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota
toisiaan pallon pinnalla, missä ei ole θ-riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille
n ≥ 2. Jäljelle jää
ϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.84)
ϕ(r, θ) = C − E 0 r cos θ + B 1
cos θ . (2.85)
r2 Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 .
Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis
( a 3 )
E 0
ϕ(r, θ) = ϕ 0 +
r 2 − E 0 r cos θ . (2.86)
Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit ovat
E r = − ∂ϕ
∂r = E 0
(1 + 2 a3
E θ = − 1 r
Pallon pintavaraustiheys on
∂ϕ
∂θ = −E 0
r 3 )
cos θ (2.87)
(1 − a3
r 3 )
sin θ . (2.88)
σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ . (2.89)

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 37
Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti on
∫
∫
p = rρ(r) dV = (xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ
pallo
r=a
∫ π
= 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z . (2.90)
0
Pallon ulkopuolella tämän osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetun
dipolin, jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z .
2.8.3 Sylinterikoordinaatisto
Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ei ole riippuvuutta yhden akselin (z)
suunnassa ja käytetään sylinterikoordinaatistoa. Nyt ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacen
yhtälö on
1
r
∂
∂r
(
r ∂ϕ )
+ 1 ∂ 2 ϕ
∂r r 2 ∂θ 2 = 0 . (2.91)
Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä ja θ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!
Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle symbolia
ρ ja kiertokulmalle φ.
Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ)
r
Y
(
d
r dY )
= − 1 d 2 S
dr dr S dθ 2 = n2 , (2.92)
missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstä
d 2 S
dθ 2 + n2 S = 0 . (2.93)
Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä
0 ≤ θ ≤ 2π, on oltava ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku,
joka voidaan rajoittaa positiiviseksi, koska negatiiviset n:n arvot eivät
tuo uusia lineaarisesti riippumattomia termejä. Lisäksi tapauksessa n = 0
saadaan ratkaisu S = A 0 θ + C 0 . Ehto ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π) ei silloin toteudu,
mutta pidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi.
Radiaalisesta yhtälöstä tulee nyt
r d dr
(
r dY )
− n 2 Y = r 2 d2 Y
dr
dr 2 + r dY
dr − n2 Y = 0 , (2.94)
joka ratkeaa yritteellä Y = r s . Saadaan s = ±n, joten ratkaisufunktiot ovat
muotoa Y = r n ja Y = r −n . Tapaus n = 0 antaa lisäksi Y = ln(r/r 0 ).

38 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Kokonaisuudessaan ratkaisu on
∞∑ (
ϕ(r, θ) = An r n + B n r −n) (C n sin nθ + D n cos nθ)
n=1
+ (A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.95)
Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista ja
reunaehdoista.
Huom. Jos kulmariippuvuus on rajattu johonkin sektoriin, on pallo- ja
sylinterikoordinaatistossa kulmayhtälöiden separointivakioiden arvot määritettävä
tapauskohtaisesti. Esimerkiksi pallokalotin tapauksessa päädytään
kalottiharmonisiin funktioihin, jotka ovat paljon konstikkaampia kuin palloharmoniset
funktiot.
2.9 Kuvalähdemenetelmä
Laplacen yhtälön ratkaisujen yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden
käyttää mieleisiään kikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti
yksinkertaisissa tapauksissa kuvalähdemenetelmä (tai peilivarausmenetelmä)
on kätevä keino välttää differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Tarkastellaan
tilannetta, jossa on joko annettu tai varausjakautumasta helposti laskettavissa
oleva potentiaali ϕ 1 (r) ja johteita, joiden pintavarausjakautuma
olkoon σ(r). Kokonaispotentiaali on
ϕ(r) = ϕ 1 (r) + 1 σ(r
4πɛ 0
∫S
′ ) dS
|r − r ′ | . (2.96)
Ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varaus
on jakautunut johteen pinnan takana, kunhan pinnalla on voimassa oikeat
reunaehdot. Voidaan siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappale vaan
pinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samat reunaehdot kuin
oikea johdekappaleen pintavaraus. Kuvamenetelmää voidaan käyttää myös
ajasta riippuvissa tilanteissa sekä varausten että virtojen yhteydessä muidenkin
aineiden kuin johteiden tapauksessa.
Esimerkki. Pistevaraus johdetason lähellä
Valitaan johdetasoksi (y, z)-taso ja asetetaan varaus q x-akselille pisteeseen
x = d. Taso oletetaan maadoitetuksi, jolloin sen potentiaali voidaan valita
nollaksi. Toisaalta taso saadaan nollapotentiaaliin asettamalla varaus −q
pisteeseen (−d, 0, 0). Ratkaisujen yksikäsitteisyyden vuoksi näin saadaan oikea
ratkaisu alueessa x ≥ 0. Puoliavaruuteen x < 0 tätä menetelmää ei saa
soveltaa, koska siellä ei ole oikeasti varausta.

2.9. KUVALÄHDEMENETELMÄ 39
Kokonaispotentiaali on
ϕ(r) =
q ( 1
4πɛ 0 |r − d| − 1 )
, (2.97)
|r + d|
missä d = (d, 0, 0). Tästä saa suoraan sähkökentän
E(r) = −∇ϕ(r) =
q ( r − d
4πɛ 0 |r − d| 3 − r + d )
|r + d| 3
(2.98)
ja johteen pintavaraustiheyden
σ(y, z) = ɛ 0 E x | x=0
= −
qd
2π(d 2 + y 2 + z 2 . (2.99)
) 3/2
Varaus vetää pintaa puoleensa samalla voimalla kuin se vetäisi etäisyydellä
2d olevaa vastakkaismerkkistä varausta.
HT: Integroi pintavaraustiheys koko tason yli.
Tässä esimerkissä siis pisteessä (d, 0, 0) olevan pistevarauksen potentiaali
toteuttaa Poissonin yhtälön alueessa x > 0. Tämä ei kuitenkaan riitä
ratkaisuksi, koska reunaehto johdetasolla ei toteudu. Pisteessä (−d, 0, 0) olevan
kuvalähteen potentiaali puolestaan toteuttaa Laplacen yhtälön alueessa
x > 0 ja sen lisäksi varmistaa reunaehdon toteutumisen. Yhteenlaskettu
potentiaali on siis haettu ratkaisu alueessa x > 0.
Esimerkki. Pistevaraus maadoitetun johdepallon lähellä
r
a
θ
q’
q
b
d
Kuva 2.4: Pistevaraus johdepallon lähellä.
Valitaan origoksi pallon keskipiste, olkoon a pallon säde ja d etäisyys origosta
varaukseen q (kuva 2.4). Etsitään potentiaali ϕ(r) (r ≥ a) reunaehdolla
ϕ(a) = 0. Symmetrian perusteella peilivarauksen q ′ täytyy olla suoralla, joka

40 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
kulkee varauksen q ja origon kautta. Varauksen ja peilivarauksen yhteenlaskettu
potentiaali pisteessä r on
ϕ(r) =
=
(
)
1 q
4πɛ 0 |r − d| + q′
(2.100)
|r − b|
[
1
q
4πɛ 0 (r 2 + d 2 − 2rd cos θ) 1/2 + q ′ ]
(r 2 + b 2 − 2rb cos θ) 1/2 .
Pallon pinnalla potentiaali on nolla kaikilla θ, φ. Sijoittamalla r = a ja asettamalla
θ = 0 ja θ = π saadaan peilivarauksen paikka ja suuruus:
ja ongelma on ratkaistu.
b = a2
d , q′ = − a d q (2.101)
Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaa
toinen peilivaraus q ′′ , joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikea
reunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöin Q = q ′ + q ′′ .
2.10 Greenin funktiot 6
Edellä tarkasteltiin tilanteita, joissa oli joko pelkästään johdekappaleita tai
johdekappaleita ja yksittäisiä varauksia. Yleisessä tilanteessa voi olla annettu
varausjakautuma ρ sekä johdekappaleita, joiden pintavarausjakautuma
on tuntematon. Tällöin on ratkaistava Poissonin yhtälö
∇ 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 . (2.102)
Tämä voidaan tehdä integroimalla varausjakautuman yli
ϕ 1 (r) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ (2.103)
ja lisäämällä tähän Laplacen yhtälön sellainen ratkaisu ϕ 2 , että yhteenlaskettu
potentiaali toteuttaa reunaehdot johdekappaleiden pinnalla.
Aiemmat esimerkit ovat perustuneet hyvin yksinkertaiseen geometriaan.
Yleisemmin voidaan osoittaa, että Laplacen ja Poissonin yhtälöt, jotka
toteuttavat joko Dirichlet’n tai Neumannin reunaehdot, voidaan ratkaista
käyttäen Greenin teoreemaa ja Greenin funktioita.
6 Tämä jakso ei ole kurssin varsinaista ydinainesta, mutta sen voi katsoa kuuluvan fyysikon
yleissivistykseen. Sekä elektrodynamiikan sovellutuksissa että pidemmälle menevässä
teoreettisessa fysiikassa Greenin funktioihin törmää usein.

2.10. GREENIN FUNKTIOT 41
On suoraviivainen harjoitustehtävä johtaa divergenssiteoreemasta Greenin
ensimmäinen kaava (GI)
∫
∮
(ϕ∇ 2 ψ + ∇ϕ · ∇ψ) dV = ϕ∇ψ · n dS (2.104)
V
V
ja Greenin toinen kaava (GII)
∫
∮
(ψ∇ 2 ϕ − ϕ∇ 2 ψ) dV = (ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n dS , (2.105)
S
joka tunnetaan myös nimellä Greenin teoreema. Kolmas Greenin kaava (GIII)
saadaan soveltamalla GII:ta tapaukseen
ψ(r, r ′ ) =
1
|r − r ′ | ,
missä r on jokin kiinteä piste alueessa V . Muodollisesti voidaan kirjoittaa
S
∇ 2 ψ(r, r ′ ) = −4πδ(r − r ′ ) . (2.106)
Sijoittamalla nämä GII:een (2.105) saadaan GIII
ϕ(r) = − 1 ∫
dV ′ 1
4π V |r − r ′ | ∇′2 ϕ(r ′ ) (2.107)
+ 1 ∮ [
dS ′ 1 ∂ϕ(r ′ )
4π |r − r ′ | ∂n ′ − ϕ(r ′ ) ∂ ( )] 1
∂n ′ |r − r ′ .
|
S
GIII:a ei voi käyttää suoraan, koska siinä esiintyvät sekä Dirichlet’n
että Neumannin reunaehdot. Oletetaan, että F (r, r ′ ) on jokin alueessa V
määritelty harmoninen funktio eli funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön
∇ ′2 F (r, r ′ ) = 0, missä derivoidaan siis pilkullisen koordinaatin suhteen. Nyt
GII antaa tuloksen
∫
0 = − dV ′ F (r, r ′ )∇ ′2 ϕ(r ′ )
V
∮ (
+ dS ′ F (r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )
∂n ′ − ∂F (r, )
r′ )
∂n ′ ϕ(r ′ ) . (2.108)
Muodostetaan sitten Greenin funktio
S
G(r, r ′ ) =
S
1
|r − r ′ | + F (r, r′ ) . (2.109)
Summaamalla (2.107) ja (2.108) saadaan tulos
ϕ(r) = − 1 ∫
dV ′ G(r, r ′ )∇ ′2 ϕ(r ′ )
4π V
+ 1 ∮ (
dS ′ G(r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )
4π
∂n ′ − ∂G(r, )
r′ )
∂n ′ ϕ(r ′ ) . (2.110)

42 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Valitsemalla F (r, r ′ ) sopivasti saadaan tästä Poissonin yhtälön ratkaisu annetuilla
reunaehdoilla. Greenin funktiolla on selvästi ominaisuus
∇ ′2 G(r, r ′ ) = −4πδ(r − r ′ ) = ∇ 2 G(r, r ′ ) , (2.111)
missä ∇ ′ tarkoittaa derivointia vektorin r ′ suhteen. Greenin funktioiden
käyttö ei rajoitu Poissonin yhtälön ratkomiseen, vaan niillä on keskeinen
osa ratkottaessa erilaisia integraaliyhtälöitä.
Esimerkki. Pallon Greenin funktio
Tarkastellaan esimerkkinä pallon Greenin funktiota Dirichlet’n reunehdolla
olettaen potentiaali pallon pinnalla on tunnetuksi. Tällöin valitaan
G D (r, r ′ ) =
reunaehdolla [
]
1
|r − r ′ | + F D(r, r ′ )
1
|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) (2.112)
r ′ ∈S
= 0 , (2.113)
missä S on pallon pinta. Jo aiemmin on ratkaistu identtinen ongelma yhdelle
pistevaraukselle pallon ulkopuolella ehdolla, että potentiaali pinnalla on
nolla yhtälössä (2.100). Siellä saatu ratkaisu on vakiota q/4πɛ 0 vaille yhtälön
(2.113) ratkaisu, joten
G D (r, r ′ ) =
1
|r − r ′ | − a
r ′ |r − (a/r ′ ) 2 r ′ | , (2.114)
missä a on origokeskisen pallon säde. Havaitaan, että Greenin funktio on
symmetrinen muuttujien r ja r ′ suhteen. Tämä ominaisuus pätee yleisemminkin
(ks. esim. Jackson).
Potentiaali saadaan integroimalla:
ϕ(r) = 1 G D (r, r
4πɛ 0
∫V
′ )ρ(r ′ ) dV ′ − 1
4π
∫
S
∂G D (r, r ′ )
∂n
ϕ(r ′ ) dS ′ , (2.115)
missä on V viittaa pallon sisäosaan ja S pintaan. Normaalivektori n suuntautuu
ulospäin siitä alueesta, jossa potentiaali halutaan laskea. Tarkasteltaessa
aluetta pallon sisällä n = e r . Ulkopuolista aluetta tutkittaessa puolestaan
n = −e r . Ulospäin suuntautuva normaaliderivaatta on
∣
r ′
a · ∇′ G D (r, r ′ )
= − 1 a 2 − r 2 ∣∣∣∣r
∣ a |r − r ′ | 3
r ′ ∈S
′ ∈S
= r2 − a 2
(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) −3/2 (2.116)
a

2.10. GREENIN FUNKTIOT 43
missä γ on r:n ja r ′ :n välinen kulma.
Sovelletaan Greenin funktiota tapaukseen, jossa pallon sisällä ei ole varausta
eli ratkaistaan Laplacen yhtälö reunaehdolla ϕ(a) = f(r), kun r on
pallon pinnalla. Tämä antaa Poissonin kaavana tunnetun tuloksen:
ϕ(r) = a2 − r 2
4πa
∫
S
= a(a2 − r 2 )
4π
f(a, θ ′ , φ ′ )
(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 dS′
) 3/2
∫
f(a, θ ′ , φ ′ )
(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2 dΩ′ (2.117)
S
joka ilmaisee siis potentiaalin alueen sisällä olettaen potentiaali tunnetuksi
pallon pinnalla. Jos puolestaan halutaan tarkastella potentiaalia pallon
ulkopuolella, pintaintegraalissa normaalin suunta määritellään ulospäin ja
ainoa muutos on korvata (a 2 − r 2 ) → (r 2 − a 2 ).

44 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ

Luku 3
Sähkökenttä väliaineessa
Edellä tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettuja
varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskään
kaikki aineet eivät ole johteita. Hyvän johteen vastakohta on ideaalinen
eriste, jossa ei ole lainkaan vapaita varauksia. Jos eriste asetetaan
sähkökenttään, kenttä aiheuttaa voimavaikutuksen eristeen rakenneosasiin.
Vaikutuksen suuruus riippuu aineen molekyylitason ominaisuuksista. Eristeeseen
syntyvää makroskooppista vaikutusta kuvataan eristeen erimerkkisten
varausten siirtymänä toistensa suhteen. Aineen sanotaan tällöin polarisoituneen.
Sisäisen polarisoituman ja ulkoisen kentän vuorovaikutusketju
on usein monimutkainen, sillä polarisoituma muuttaa puolestaan ulkoista
kenttää. Mikäli eristeen lähellä on johdekappaleita, niiden pinnalle indusoituva
varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa
ulkoista kenttää.
3.1 Sähköinen polarisoituma
Palautetaan ensin mieleen, että sähköstatiikka hallitaan yhtälöillä
∇ · E = ρ/ɛ 0 (3.1)
∇ × E = 0 . (3.2)
Erityisesti on huomattava, että ρ sisältää kaikki varaukset eikä mitään jakoa
“vapaisiin” ja “muihin” varauksiin tarvitse tehdä. Periaatteessa polarisoituva
aine voidaan siis käsitellä varausjakaumien avulla.
Tarkastellaan polarisoituneen aineen pientä tilavuusalkiota △V , jonka
dipolimomentti on △p. Sähköinen polarisoituma määritellään dipolimomenttien
tiheytenä
P = △p
△V . (3.3)
45

46 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
Tämä määritelmä edellyttää, että △V on makroskooppisessa mielessä pieni.
Varsinaisesta raja-arvosta △V → 0 ei ole kysymys, koska tilavuusalkiossa
täytyy olla monta molekyyliä, jotta polarisaatiota ylipäänsä syntyisi. Makroskooppiselta
kannalta polarisoitumaa voi kuitenkin tarkastella jatkuvana
paikan funktiona ja korvata käytännön laskuissa △p → dp ja △V → dV .
Polarisoituman SI-yksikkö on C m −2 , joten [P] = [ɛ 0 ][E]. cgs-yksiköissä
tyhjiön permittiivisyys on 1/4π siinä yksikköjärjestelmässä polarisoitumalla
on sama yksikkö kuin sähkökentällä.
3.2 Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä
Tarkastellaan pisteessä r ′ sijaitsevan pienen eristealkion dV ′ dipolimomenttia
dp = P dV ′ . Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaan
jättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r on
niin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaan
laskemalla pelkän dipolimomentin potentiaali
dϕ(r) = dp · (r − r′ )
4πɛ 0 |r − r ′ | 3 = P(r′ ) · (r − r ′ )dV ′
4πɛ 0 |r − r ′ | 3 . (3.4)
Kokonaispotentiaali pisteessä r on tämän integraali
ϕ(r) = 1 ∫
P(r ′ ) · (r − r ′ ) dV ′
4πɛ 0 V 0
|r − r ′ | 3 . (3.5)
Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan.
Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Merkitään
jälleen derivointia r ′ :n suhteen ∇ ′ :lla. Koska
∇ ′ ( 1
|r − r ′ |
)
= r − r′
|r − r ′ | 3 , (3.6)
voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaa muodossa
P(r ′ ) · (r − r ′ ( )
)
1
|r − r ′ | 3 = P(r ′ ) · ∇ ′ |r − r ′ |
. (3.7)
Käyttämällä kaavaa ∇ · (fF) = f∇ · F + F · ∇f saadaan
P(r ′ ) · (r − r ′ (
) P(r
|r − r ′ | 3 = ∇ ′ ′ )
) 1
·
|r − r ′ −
| |r − r ′ | ∇′ · P(r ′ ) . (3.8)
Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaista
∮
1 P(r ′ ) · n ′ dS ′
ϕ(r) =
4πɛ 0 S 0
|r − r ′ + 1 ∫
(−∇ ′ · P(r ′ )) dV ′
| 4πɛ 0 V 0
|r − r ′ |
=
[∮
1
4πɛ 0
σ P (r ′ ) dS ′
S 0
|r − r ′ |
ρ P (r
+
∫V ′ ) dV ′ ]
0
|r − r ′ , (3.9)
|

3.3. SÄHKÖVUON TIHEYS 47
missä S 0 on eristeen pinta.
Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotka muistuttavat edellisessä
luvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheyden integraaleja. Tämä on
käytännön ongelmissa usein näppärin tapa laskea potentiaali. Suureita
σ P ≡ P · n (3.10)
ρ P ≡ −∇ · P (3.11)
kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden laatu on varaus/pinta-ala
(σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ). Polarisaatiovaraukset aiheuttavat potentiaalin
ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = −∇ϕ sekä eristeen sisä- että ulkopuolella.
Nämä varaukset eivät ole samalla lailla “vapaita” kuin johteen varaukset,
sillä ne riippuvat sekä sähkökentästä että eristeen rakenteesta. Tämän vuoksi
polarisaatiovarauksia kutsutaan joskus näennäisiksi varauksiksi, mikä ei
kuitenkaan tee niille täyttä oikeutta, kuten jatkossa tullaan huomaamaan.
Eriste on kokonaisuudessaan neutraali, joten kokonaispolarisaatiovaraus
on
∫
∮
Q P = (−∇ · P) dV ′ + P · n dS = 0 , (3.12)
V 0 S 0
mikä seuraa suoraan divergenssiteoreemasta.
3.3 Sähkövuon tiheys
Edellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näin
ei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään.
Tarkastellaan eristettä, jonka sisällä on mahdollisesti ulkoisia (“vapaita”)
varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnalla S, joka
sulkee sisäänsä niin ulkoiset varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin
∮
E · n dS = 1 (Q + Q P ) , (3.13)
ɛ 0
S
missä Q = ∑ i=1,...,N q i on ulkoisten varausten summa ja
∫
Q P =
on polarisaatiovaraus. Siten
∮
eli vektorin
V
S
∮
(−∇ · P) dV = − P · n dS (3.14)
S
(ɛ 0 E + P) · n dS = Q (3.15)
D ≡ ɛ 0 E + P (3.16)

48 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnan sulkemaan tilavuuteen sijoitettu
ulkoinen varaus. Tätä vektoria kutsutaan sähkövuon tiheydeksi (joskus
myös sähköiseksi siirtymäksi, engl. electric displacement). Käyttämällä taas
divergenssiteoreemaa ja toteamalla, että Q = ∫ V
ρ dV , saadaan Gaussin laki
eristeessä differentiaalimuotoon
∇ · D = ρ , (3.17)
missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys. Kokonaisvaraustiheys on ρ + ρ P .
Sähköstatiikan peruslait on nyt siis puettu muotoon
∇ · D = ρ (3.18)
∇ × E = 0 . (3.19)
Etuna tässä on se, että ulkoinen varaus on helpommin hallittavissa kuin
polarisaatiovaraus. Kuitenkin sähkökenttä E on suure, joka loppujen lopuksi
halutaan määrittää. Siksi on vielä tunnettava rakenneyhtälö P = P(E).
3.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuus
Sähköinen polarisoituma aiheutuu sähkökentästä. Niiden välinen riippuvuus
voidaan usein ilmaista sähköisen suskeptiivisuuden χ(E) avulla
P = χ(E)E . (3.20)
Suskeptiivisuus χ(E) määräytyy väliaineen mikroskooppisesta rakenteesta
ja voi olla myös paikan funktio χ(r, E). Yleisesti χ(E) on tensori, jolloin
polarisoituma ei välttämättä ole samansuuntainen kuin sähkökenttä eli eriste
voi olla epäisotrooppista. Epäisotrooppisia väliaineita ovat esimerkiksi kiderakenteet
tai vapaista varauksista koostuva magnetoitunut plasma Näissä
epäisotropia aiheuttaa kahtaistaittavuutta. Tällöin eri tavoin polarisoituneet
sähkömagneettiset aallot, esim. valo, taittuvat eri tavoin. Väliaineissa, joissa
χ(E) on sähkökentän funktio, P riippuu sähkökentästä epälineaarisesti.
Tämä ilmiö esiintyy yleensä vain hyvin voimakkailla sähkökentillä. Kaikissa
aineissa ei edes ole suoraa relaatiota P:n ja E:n välillä. Ferrosähköisissä
aineissa polarisoitumaa on myös ilman ulkoista sähkökenttää.
Tarkastellaan nyt vain isotrooppisia eristeitä, joille χ(E) on skalaari ja
rajoitutaan lineaarisiin väliaineisiin, joille χ on sähkökentästä riippumaton
suure, mutta saa olla edelleenkin paikan funktio. Tällöin vallitsevat rakenneyhtälöt
P = χE (3.21)
D = ɛE , (3.22)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 49
missä permittiivisyys ɛ = ɛ 0 + χ voi siis olla paikan funktio. Laadutonta
suuretta
ɛ r = ɛ
ɛ 0
= 1 + χ ɛ 0
(3.23)
kutsutaan väliaineen eristevakioksi, dielektrisyysvakioksi tai suhteelliseksi
permittiivisyydeksi., tai .
Riittävän suuri kenttä repii elektroneja ulos molekyyleistä, jolloin aine
alkaa johtaa sähköä. Tätä rajaa kutsutaan aineen dielektriseksi vahvuudeksi
tai läpilyöntikestävyydeksi. Taulukossa 3.1 on joidenkin aineiden eristevakioita
ja dielektrisiä vahvuuksia. Ilma on sähköisesti hyvä eriste. Veden
eristevakio on taas suuri, mikä merkitsee vahvaa polarisoitumista ja siten
kohtuullisen hyvää sähkönjohtokykyä polarisoitumisvarausten kantamana.
aine ɛ r E max [MV m −1 ]
akryyli 3,3 20
eboniitti 2,7 10
kuiva ilma 1,0006 4,7
lasi 5–10 15
kova paperi 5 15
eristyspaperi 5 30
posliini 5,5 35
tislattu vesi 81 30
Taulukko 3.1: Eristeiden ominaisuuksia. Tässä annettu ilman läpilyöntikestävyys
E max koskee kuivaa ilmaa, muissa oloissa arvo on pienempi. Lasin
suhteellinen permittiivisyys vaihtelee kemiallisesta koostumuksesta riippuen.
3.5 Sähkökenttä rajapinnalla
Eristeet ovat usein paljon hankalampia käsiteltäviä kuin johteet. Hyvän johteen
ominaisuus on, että sen sisäinen sähkökenttä on nolla ja kaikki varaus
kertyy pinnalle. Eristeet sen sijaan polarisoituvat eli niiden sisällä E ≠ 0, ja
erilaiset eristeet polarisoituvat eri tavoin. Eristeongelmissa joudutaan usein
tarkastelemaan kenttien ominaisuuksia eri eristeiden tai eristeiden ja johteiden
rajapinnoilla.
Tarkastellaan tilannetta kahden yksinkertaisen (lineaarinen, isotrooppinen,
homogeeninen = LIH) eristeen rajapinnalla ja oletetaan rajapinta
makroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaa myös
epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiolla varustettuina
kerroksina. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoon

50 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
1
2
n D 1
1
∆S 1
α 1
1
σ
D 2
1
2
Kuva 3.1: Pillerirasia kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden
taittumiskulmien määritelmä.
σ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista
pillerirasiaa, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).
Sovelletaan Gaussin lakia
∮
D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +
∮
vaippa
D · n dS = Q . (3.24)
Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipan
yli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottuna
pinta-alalla: Q = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaan
kirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentille:
tai
(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.25)
D 2n − D 1n = σ . (3.26)
Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheyden
normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Koska eristeet polarisoituvat,
on tarkasteltava nimenomaan sähkövuon tiheyttä eikä sähkökenttää.
Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =
−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮
E · dl = 0 (3.27)
pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseen
silmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaiset
sivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan △l. Väliaineesta
toiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin
∮
E · dl = (E 2 − E 1 ) · △l = 0 , (3.28)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 51
joten
E 2t = E 1t (3.29)
eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämä
tulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.
Tutkitaan sitten vektorin D taittumista rajapinnalla tapauksessa σ = 0.
Olkoon α 1 vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2 vektorin D 2 ja n 2 :n
välinen kulma. Koska väliaineet on oletettu yksinkertaisiksi, niin
Tällöin
D 1t = ɛ 1 E 1t ; D 2t = ɛ 2 E 2t . (3.30)
tan α 2
tan α 1
= D 2t
D 2n
D 1n
D 1t
= ɛ 2E 2t
ɛ 1 E 1t
= ɛ 2
ɛ 1
= ɛ r2
ɛ r1
(3.31)
Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessä
suuremman eristevakion suuntaan. Tämä on sukua aaltojen taittumiselle
eri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaan luvussa 11.
Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleen
σ = 0, jolloin D 2n = D 1n ja ɛ r2 ɛ 0 E 2n = ɛ r1 ɛ 0 E 1n . Koska E n = −∂ϕ/∂n,
tulee reunaehdoksi
∂ϕ 2
ɛ r2
∂n = ɛ ∂ϕ 1
r1
∂n . (3.32)
Tämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahta
pistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin
∫ r2
r 1
E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 , (3.33)
kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisella
oletuksella, että sähkökenttä on äärellinen rajapinnalla.
3.5.1 Eristepallo sähkökentässä
Yksinkertaisessa väliaineessa D = ɛE, joten ∇ · E = ρ/ɛ. Ainoa muodollinen
ero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissa käytännön
ongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 koko eristeessä.
Tarkastellaan a-säteistä eristepalloa homogeenisessa sähkökentässä E 0 .
Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallon tapauksessa. Valitaan
z-akseli alkuperäisen sähkökentän suuntaiseksi: E 0 = E 0 e z , jolloin kaukana
pallosta ϕ = −E 0 r cos θ. Asetetaan origo pallon keskipisteeseen ja todetaan
kiertosymmetria z-akselin suhteen: ϕ = ϕ(r, θ). ɛ r on vakio eristeessä
ja ɛ = ɛ 0 muualla. Ilman ulkoisia varauksia ρ = 0 kaikkialla ja

52 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
Laplacen yhtälö on voimassa eristeessä ja sen ulkopuolella. Kirjoitetaan ratkaisu
jälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (2.80)
ϕ(r, θ) =
∞∑
n=0
(
A n r n + B n r −(n+1)) P n (cos θ) . (3.34)
Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r > a) indeksillä 1 ja sisäpuolella
(r < a) indeksillä 2. Etäällä pallosta ratkaisu lähenee alkuperäistä potentiaalia
−E 0 r cos θ, joten pallon ulkopuolella
jolloin
ϕ 1 =
A 1n = 0, kun n ≥ 2 ; A 11 = −E 0 ,
∞∑
B 1n r −(n+1) P n (cos θ) − E 0 r cos θ . (3.35)
n=0
Pallon sisällä potentiaalin on oltava äärellinen origossa, joten kaikki kertoimet
B 2n ovat nollia ja sisäratkaisu on muotoa
∞∑
ϕ 2 = A 2n r n P n (cos θ) . (3.36)
n=0
Käytetään sitten potentiaalin reunaehtoja rajapinnalla. Potentiaalin on
oltava jatkuva eli ϕ 1 (a, θ) = ϕ 2 (a, θ), joten
−E 0 a cos θ + B 10
a + B 11
a 2 cos θ + B 12
a 3 P 2(cos θ) + . . .
= A 20 + A 21 a cos θ + A 22 a 2 P 2 (cos θ) + . . . (3.37)
Toisaalta potentiaalin derivaatan eli sähkövuon tiheyden reunaehdosta
∂ϕ 1 (r, θ)
∂ϕ 2 (r, θ)
= ɛ r ∣
∂r ∣ ∂r
r=a
seuraa
∣
r=a
−E 0 cos θ − B 10
a 2 − 2 B 11
a 3 cos θ − 3 B 12
a 4 P 2 (cos θ) + . . .
= ɛ r A 21 cos θ + 2ɛ r A 22 aP 2 (cos θ) + . . . (3.38)
Koska Legendren polynomit muodostavat ortonormaalin kannan, kunkin P n -
termin täytyy toteuttaa yhtälöt erikseen. Nyt molemmat yhtälöt (3.37) ja
(3.38) toteutuvat vain, jos A 2n = 0 ja B 1n = 0 kaikilla n ≥ 2. Yhtälön (3.38)
ainoa cos θ:sta riippumaton termi on B 10 = 0, joka sijoitettuna yhtälöön
(3.37) antaa A 20 = 0 ja jäljelle jää yhtälöpari
−E 0 a + B 11
a 2 = A 21 a (3.39)
−E 0 − 2 B 11
a 3 = ɛ r A 21 . (3.40)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 53
Yhtälöparin ratkaisu on
A 21 = − 3E 0
ɛ r + 2 ; B 11 = ɛ r − 1
ɛ r + 2 E 0a 3 . (3.41)
Kaiken kaikkiaan ratkaisu pallon ulkopuolella on
(
ϕ 1 (r, θ) = − 1 − ɛ r − 1 a 3 )
ɛ r + 2 r 3 E 0 r cos θ (3.42)
ja pallon sisällä
ϕ 2 (r, θ) = − 3
ɛ r + 2 E 0r cos θ = − 3
ɛ r + 2 E 0z . (3.43)
Pallon sisällä on siis vakiokenttä E 2 = 3 E 0 /(ɛ r + 2). Tässä on siis ero johdepalloon,
jossa pintavaraukset kumoavat sisäkentän. Koska ɛ r ≥ 1, niin
kenttä eristeen sisällä on pienempi kuin ulkopuolella. Eristepallon aiheuttama
häiriö pallon ulkopuolella on dipolikenttä. Sähkövuon tiheydellä ei
ole lähteitä, vaan kaikki kenttäviivat jatkuvat pallon läpi. Sitävastoin polarisoitumisesta
johtuva pintavarauskate aiheuttaa sen, että sähkökentällä
on lähteitä ja nieluja pallon pinnalla eli osa kenttäviivoista päättyy pallon
pinnalle. Siksi kenttäviivat eivät myöskään ole kohtisuorassa pallon pintaa
vastaan. Juuri tämä osoittaa, että polarisaatiovarauksen kutsuminen
näennäiseksi on kyseenalaista.
3.5.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä
Jakakoon xy-taso avaruuden kahteen homogeeniseen eristealueeseen:
(z > 0, ɛ 1 ) ja (z < 0, ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen (0, 0, d) alueessa
1. Oletetaan, ettei rajapinnalla ole ulkoisia varauksia. Tehtävänä on laskea
potentiaali koko avaruudessa. Helpoimmalla päästään kuvalähteiden avulla.
Maadoitetun johdetason tapauksessa ongelma ratkesi peilikuvavarauksella
−q pisteessä (0, 0, −d). Eristeenkin tapauksessa potentiaali alueessa 1 yritetään
esittää varauksen q ja jonkin alueessa 2 sijaitsevan kuvavarauksen
q ′ avulla. Sivistynyt arvaus on sijoittaa kuvavaraus pisteeseen z = −d, jolloin
potentiaali alueessa 1 on sylinterikoordinaateissa 1 lausuttuna Poissonin
yhtälön toteuttava
(
)
ϕ 1 (r, z) = 1
q
√
4πɛ 1 r 2 + (z − d) + q ′
√ . (3.44)
2 r 2 + (z + d) 2
Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä.
Koska alueessa 2 ei ole vapaita varauksia, potentiaali toteuttaa Laplacen
1 Kiertosymmetrian vuoksi kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, mutta tehtävä
ratkeaisi sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.

54 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
yhtälön. Ainakin laskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa
1 sijaitsevan kuvavarauksen q ′′ avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen
z = d. Tällöin potentiaali alueessa 2 on
ϕ 2 (r, z) = 1
4πɛ 2
q ′′
√
r 2 + (z − d) 2 . (3.45)
Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitetuiksi siten, että reunaehdot
toteutuvat, ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuon tiheyden
z-komponentti on jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoin
kuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa,
että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpari
Kuvavaraukset ovat siten
q − q ′ = q ′′
1
(q + q ′ )
ɛ 1
= 1 q ′′ .
ɛ 2
(3.46)
q ′ = − ɛ 2 − ɛ 1
q
ɛ 2 + ɛ 1
q ′′ =
2ɛ 2
q .
ɛ 2 + ɛ 1
(3.47)
HT: Laske polarisoitumaan liittyvä varaustiheys aineiden rajapinnalla. Jos
väliaine 2 on johde, niin ratkaisu saadaan muodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi,
jolloin potentiaali alueessa 2 häviää ja q ′ = −q.
Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteet
kannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = −d ja z = d. Paikkariippuvuudet
supistuvat silloin pois reunaehtoyhtälöistä. Kuvalähteet ovat vain kuvitteellisia
apuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitse missään. Kun ratkaisu on
löydetty, kuvalähteet voidaan unohtaa ja todeta saaduista lausekkeista, että
kaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat.
3.6 Molekulaarinen polarisoituvuus 2
Tarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomentti
p m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m :
p m = αɛ 0 E m . (3.48)
2 Tämä jakso ei ole kurssin ydinainesta, mutta sisältää tietoja, joista voi olla hyötyä
joskus myöhemmin.

3.6. 55
Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (yksikkö m 3 ). Oletetaan, ettei
molekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylin
polarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla. Polarisoiva
sähkökenttä on kenttä, jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet ja
väliaineen polarisoituneet molekyylit lukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliä
itseään. Poistetaan makroskooppisesti pieni, mutta mikroskooppisesti
suuri palanen ainetta molekyylin ympäriltä ja lasketaan kenttä jäljelle
jäävässä onkalossa. Kenttä molekyylin kohdalla on silloin
E m = E + E p + E near . (3.49)
Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnan
polarisaatiovarauksen aiheuttama kenttä ja E near on onkalossa olevien kaikkien
muiden molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylin
kohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen rakenne.
Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä,
jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä. Samoin E near voidaan
olettaa nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovat täysin
satunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissa
se voi kuitenkin poiketa nollasta. Tarkatelun yksinkertaistamiseksi oletetaan
tässä kuitenkin, että E near = 0.
Kenttä E p riippuu onkalon muodosta (kuva 3.2). Jos se on kapean suorakaiteen
muotoinen ja pitkä sivu on kentän E suuntainen (a), niin kenttä on
onkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuuden
perusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossa
E b = E + P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuuden
vuoksi (pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta).
b
a
c
E
Kuva 3.2: Sähkökentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa.
Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Kenttä
onkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttä kentästä
E. Voidaan käyttää hyväksi analogiaa tilanteeseen, jossa tasaisesti polarisoituneen
pallon sisällä on vakiokenttä −P/(3ɛ 0 ), ja onkalossa E m =

56 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainen välimuoto suorakaiteen muotoisten onkaloiden
kentistä.
Jos molekyylien lukumäärätiheys on n, polarisoituma on määritelmän
mukaan P = np m , joten
P = nαɛ 0 (E + P/(3ɛ 0 )) . (3.50)
Toisaalta P = (ɛ r − 1)ɛ 0 E, joten polarisoituvuus saadaan Clausiuksen ja
Mossottin yhtälöstä
α = 3(ɛ r − 1)
n(ɛ r + 2) , (3.51)
jossa ɛ r ja n ovat makroskooppisia suureita. Voidaan esimerkiksi mitata kaasun
ɛ r ja n, jolloin (3.51) antaa suoraan polarisoituvuuden. Jos polarisoitumismekanismi
on samanlainen myös nesteessä, voidaan tunnettujen tiheyksien
avulla ennustaa sen suhteellinen permittiivisyys. Näin saadaan varsin
hyviä tuloksia esimerkiksi aineille CS 2 , O 2 ja CCl 4 . Vedelle tulisi vastaavalla
tavalla ennusteeksi negatiivinen permittiivisyys, joten pysyvästi polarisoituneelle
aineelle esitetty malli ei ole voimassa.
Pysyvän polarisaation P 0 tapauksessa ulkoisen kentän ollessa nolla E m =
P 0 /(3ɛ 0 ), joten on oltava nα = 3. Useimmilla aineilla nα < 3, joten ne
käyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkin kristallirakenteiset kiinteät aineet
kuitenkin toteuttavat ehdon ja niitä kutsutaan ferrosähköisiksi materiaaleiksi.
Esimerkiksi BaTiO 3 on ferrosähköistä alle 120 ◦ C:n lämpötilassa
(Feynman Lectures, osa II, luku 11-7).
Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinen
vastine. Se eroaa kuitenkin magneetista ratkaisevasti, koska elektretin
pinnalle “sataa” vähitellen väliaineesta varauksia, jotka neutralisoivat polarisaatiopintavarauksen.
Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuus
aiheuttaa hystereesi-ilmiön. Kun aine on kerran polarisoitu tasolle
P , niin polarisaatio ei katoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vasta
selvästi nollan alapuolella. Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatio
saavuttaa uudelleen uuden tason −P , josta ei puolestaan päästä eroon
kasvattamalla sähkökenttä nollaan, vaan kenttää on kasvatettava riittävän
paljon nollan yläpuolelle. Polarisaation ja sähkökentän välinen yhteys ei siten
ole yksikäsitteinen. Vastaavaan ilmiöön tutustutaan myöhemmin paljon
yleisemmän ilmiön ferromagnetismin yhteydessä.

Luku 4
Sähköstaattinen energia
Voiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä
mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun hiukkasen liikkeen
suuntainen voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja
hiukkasen energia muuttuu. Kuten mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa
energia voidaan jakaa liike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia
on potentiaalienergiaa. Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B
sähköstaattisessa kentässä, kenttä tekee työn
W =
∫ B
A
∫ B
∫ B
F · dl = q E · dl = −q ∇ϕ · dl = −q(ϕ B − ϕ A ) . (4.1)
A
A
Työn ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti
(W s). Työ on myös varaus kertaa sähköinen potentiaali, jonka yksikkö on
C V tai elektronivoltti (eV). Koska elektronin varaus on 1, 6022 · 10 −19 C, on
1 eV = 1, 6022 · 10 −19 J.
4.1 Varausjoukon potentiaalienergia
Varausjoukon sähköstaattisella energialla tarkoitetaan systeemin potentiaalienergiaa
verrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömän
kaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen työ, joka tehdään,
kun kukin varaus tuodaan yksitellen paikalleen varausjoukkoon. Koska alunperin
tarkasteltavassa systeemissä ei ole varauksia, ensimmäinen varaus q 1
saadaan pisteeseen r 1 ilman työtä, W 1 = 0. Toisen varauksen q 2 tuominen
edellyttää voiman F = q 1 q 2 r 1 /4πɛ 0 |r 1 | 3 tekemää työtä. Varauksen sijoittamiseksi
pisteeseen r 2 on tehtävä työtä
W 2 = q 1q 2
4πɛ 0 r 21
. (4.2)
57

58 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
Tässä on huomattava, että voiman riippuvuus varausten merkeistä johtaa
siihen, että työ ja siten energia voi olla positiivinen tai negatiivinen.
Kolmannelle varaukselle
(
q1
W 3 = q 3 + q )
2
4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32
ja niin edelleen kaikille N:lle varaukselle. Koko systeemin sähköstaattinen
energia U on
(
N∑ N∑ j−1
)
∑ q j q k
U = W j =
. (4.3)
4πɛ
j=1 j=1
0 r jk
k=1
Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoon
(
U = 1 N∑ N
)
∑
′ q j q k
, (4.4)
2 4πɛ 0 r jk
j=1
k=1
missä ∑ ′
merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Energia voidaan siis
ilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalin
avulla
ϕ j =
U = 1 2
N∑
k=1
′ q k
4πɛ 0 r jk
(4.5)
N∑
q j ϕ j . (4.6)
j=1
Sähköstaattinen potentiaali ei siis ole aivan sama asia kuin potentiaalienergia.
Se voidaan kuitenkin tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta
kohti. Jatkossa myös staattiselle magneettikentälle ja dynaamisille sähkömagneettisille
kentille tullaan johtamaan potentiaaliesityksiä ja oppimaan,
että niille tällaista tulkintaa ei ole.
4.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia
Tarkastellaan seuraavassa jatkuvia varausjakautumia. Osa varauksista voi
olla johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, mutta ne
on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillä varaussysteemin
kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin kukin varaus tuodaan
äärettömyydestä tarkastelualueeseen.
Suoraviivaisimmin energian lausekkeen saa yleistämällä diskreettien varausjakautumien
tulokset jatkuville jakautumille eli muuttamalla summa
integraaliksi
U = 1 ∫
ρ(r)ϕ(r) dV . (4.7)
2
V

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 59
Tässä ei ole kirjoitettu erikseen näkyviin mahdollisia pintavarauksia tai diskreettejä
pistevarauksia. Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen,
sillä staattisessa tilanteessa niiden varaukset Q j ovat kokonaan pinnoilla
S j ja kunkin johteen potentiaali ϕ j on vakio
U = 1 2
∫
S j
σϕ dS = 1 2 Q jϕ j . (4.8)
Varausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaan
U = 1 ∫
ρϕ dV + 1 ∑
Q j ϕ j , (4.9)
2
2
V
missä jälkimmäisessä termissä summataan yli kaikkien johdekappaleiden.
Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, ei johdekappaleita
summattaessa kappaleen omaa osuutta, itseisenergiaa, voida jättää
huomiotta, kuten edellä tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa. Pistevarausten
itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissa tarkasteluissa,
mutta aikanaan muotoiltaessa kvanttitason elektrodynamiikkaa tästä
aiheutui varsin visaisia ongelmia.
j
Kondensaattorin energia
Oletamme kondensaattorit tutuiksi peruskurssilta. (HT: Kertaa asia, jos
se on päässyt unohtumaan.) Kondensaattorin varauksen ja potentiaalieron
välistä suhdetta C = Q/△ϕ kutsutaan kondensaattorin kapasitanssiksi.
Kondensaattorin energia voidaan ilmaista muodossa
U = 1 2 Q△ϕ = 1 2 C(△ϕ)2 = 1 2
Q 2
C . (4.10)
4.3 Sähköstaattisen kentän energia
Edellä oleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä.
Usein tunnetaan kuitenkin sähkökenttä ja halutaan määrittää sen avulla
sähköstaattinen energia. Eristeissä ρ = ∇·D ja johteiden pinnalla σ = D·n,
jolloin
U = 1 ∫
ϕ ∇ · D dV + 1 ∫
ϕ D · n dS . (4.11)
2
2
V
Tilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa ∇ · D ≠ 0 ja pintaintegraali on
summa kaikkien johteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia
kirjoittamalla ϕ ∇ · D = ∇ · (ϕ D) − D · ∇ϕ. Tässä oikean puolen
S

60 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
jälkimmäinen termi on +D · E. Ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan
muuttaa Gaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin
U = 1 ∫
ϕ D · n ′ dS + 1 ∫
D · E dV + 1 ∫
ϕ D · n dS . (4.12)
2 S+S ′ 2 V 2 S
Tässä pinta S + S ′ on koko tilavuutta V rajoittava pinta, joka muodostuu
johteiden pinnoista S ja tilavuuden V ulkopinnasta S ′ . Molemmissa tapauksissa
n ′ osoittaa ulospäin tilavuudesta V . Viimeisen integraalin n puolestaan
osoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden V sisään. Integraalit johdekappaleiden
pintojen yli kumoavat siis toisensa.
Tarkastellaan S ′ yli laskettavaa integraali. Pinta voidaan sijoittaa minne
tahansa varausjakautuman ulkopuolelle. Kaukana ϕ ∝ 1/r ja D(r) ∝ 1/r 2
ja pinta-alkiolle puolestaan pätee dS ∝ r 2 . Tällöin |ϕ D · n ′ dS| ∝ 1/r eli
integraali menee nollaan vietäessä pinta kauas. (Huom. Tämä pätee vain
staattisille kentille. Myöhemmin tutustutaan säteilykenttiin, jotka kuljettavat
energiaa mukanaan äärettömyyksiin.)
Energian lauseke on siis
U = 1 2
∫
V
D · E dV . (4.13)
Tässä V on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E = 0.
Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheys
u = 1 2 D · E . (4.14)
Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaa myös
u = 1 2 ɛE2 = 1 2
D 2
ɛ . (4.15)
Huom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia,
niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti.
HT: Laske homogeenisen varauspallon sähköstaattinen energia kolmella eri
tavalla: kokoamistyöllä, energiatiheyttä integroimalla, potentiaalin ja varaustiheyden
tuloa integroimalla.
HT (vaikea): Kuuluuko sähköstaattinen energia hiukkasille vai kentälle?
Toinen tapa johtaa tulos (4.14) on esitetty yksityiskohdittain CL:n luvussa
5.2. Lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja tehdään siihen
pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ
∫
δU = δρ(r)ϕ(r) dV (4.16)

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 61
ja siirtymäkenttä δD, jolle ∇ · (δD) = δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta
(4.16) saadaan
∫
∫
δU = (∇ · δD)ϕ dV = E · δD dV . (4.17)
Tarkastellaan sitten yksinkertaista väliainetta (D = ɛE), jolloin
E · δD = 1 2 ɛδE2 , (4.18)
joten
δU = δ 1 2
∫
ɛE 2 dV = δ 1 2
∫
E · D dV , (4.19)
mistä saadaan
U = 1 2
∫
ɛE 2 dV = 1 2
∫
E · D dV . (4.20)
Tässä on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä, joten
yksinkertaisellekin väliaineelle energiatiheyden lauseke (4.14) on vain
approksimaatio. Epälineaarisille väliaineille energia on laskettava suoraan
lausekkeesta (4.17). Tämä liittyy jälleen hystereesi-ilmiöön.
Esimerkki. Ionikiteen sähköstaattinen energia
Tarkastellaan tavallista ruokasuolaa (NaCl, kuva 4.1). Kokeellisesti tiedetään,
että suolan hajoittaminen Na + - ja Cl − -ioneiksi vaatii energiaa 7,92
eV molekyyliä kohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin
sähköstaattinen potentiaalienergia kaikkien muiden kiteen ionien kentässä.
+
–
+ – +
–
+
+
–
– + –
Na+ Cl– +
a
–
+
– + –
+ – +
–
+
Kuva 4.1: NaCl-kiteen poikkileikkaus.
Yhden Na + -ionin potentiaalienergia on
U 1 = 1 2
N∑
i=1
eq i
4πɛ 0 r i
, (4.21)

62 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon
sijoitetusta Na + -ionista. N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi makroskooppisille
kiteille. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergia
U, on laskettava summa U = 2U 1 .
U =
∞∑
i=1
eq i
4πɛ 0 r i
. (4.22)
Röntgendiffraktiokokeista tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa, jossa
kuution sivun pituus a on noin 2, 82 · 10 −10 m. Koska e 2 /(4πɛ 0 a) ≈ 5, 1 eV,
niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lauseke voidaan
kirjoittaa summana
U =
e2
4πɛ 0 a
∞∑
m,n,p=−∞
(−1) m+n+p
√
m 2 + n 2 + p 2 , (4.23)
missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaan
U ≈ −1, 747 e 2 /(4πɛ 0 a) ≈ −8, 91 eV. Tämä on hieman liian suuri arvo,
koska edellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä
vallitsevaa poistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen
tarvittavaa energiaa. Lisäksi tulee pieni korjaus, kun otetaan huomioon kidevärähtelyistä
johtuva liike-energia. Oikea fysiikka on aina vähän hankalampaa
kuin alkeisesimerkit!
Esimerkki. Eristekappaleen energia
Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakautuman ρ 0 (r)
aiheuttama sähkökenttä E 0 . Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta
muodostuva eristekappale V 1 (permittiivisyys ɛ 1 ) siten, että alkuperäisen
kentän E 0 aiheuttava varausjakautuma ei muutu. Ennen eristekappaleen
tuontia sähköstaattinen energia on
U 0 = 1 ∫
E 0 · D 0 dV , (4.24)
2
missä D 0 = ɛ 0 E 0 . Kappaleen tuonnin jälkeen energia on
U 1 = 1 ∫
E · D dV . (4.25)
2
Energioiden erotus U = U 1 − U 0 voidaan kirjoittaa muotoon
U = 1 ∫
(E · D 0 − D · E 0 ) dV + 1 ∫
(E + E 0 ) · (D − D 0 ) dV . (4.26)
2
2
Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = −∇ϕ. (Tässä ϕ ei
ole fysikaalinen potentiaali vaan jokin skalaarifunktio.) Integrandiksi tulee

4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSET 63
osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ∇·(D−D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen
varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos
on siis
U = 1 ∫
(E · D 0 − D · E 0 ) dV . (4.27)
2
Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan V 1 , sillä sen ulkopuolella
D = ɛ 0 E. Integrandiksi tulee polarisoituman määritelmän perusteella
− 1 2 (ɛ 1 −ɛ 0 )E·E 0 = − 1 2 P·E 0. Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen
energiatiheys on siten
u = − 1 2 P · E 0 (4.28)
Tämän avulla voi päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan.
4.4 Sähkökentän voimavaikutukset
Sähkökenttä määriteltiin alun perin operatiivisesti voimavaikutuksen kautta.
Johdetaan nyt voimavaikutus sähköstaattisesta energiasta. Oletetaan
eristetyn systeemin kaikki energia sähköstaattiseksi energiaksi. Voiman F
tekemä työ systeemin pienessä siirroksessa dr on
dW = F · dr . (4.29)
Koska systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energian
U kustannuksella
dW = −dU . (4.30)
Koska dU = ∂U
∂r
· dr = ∇U · dr, voima on energian gradientin vastaluku
F = −∇U . (4.31)
Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä),
tehty työ on
dW = τ · dθ , (4.32)
missä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttina
kiertymäkulman suhteen
τ = − ∂U
∂θ
∣ . (4.33)
Q
Koska systeemi on eristetty, gradientit lasketaan olettaen varaus Q vakioksi.
Käytännössä sähköstaattiset systeemit eivät useinkaan ole eristettyjä,
vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetään kiinteässä

64 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
potentiaalissa ulkoisen energialähteen (pariston) avulla. Siirtyköön osa systeemistä
jälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. Nyt
dW = dW b − dU , (4.34)
missä dW b on pariston tekemä työ. Johdekappaleille U = (1/2) ∑ j ϕ jQ j .
Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassa potentiaalissa, on
dU = 1 ∑
ϕ j dQ j . (4.35)
2
j
Toisaalta paristosta saatava työ on yhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan
siirtämään varauksen muutos dQ j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliin
dW b = ∑ j
ϕ j dQ j = 2dU (4.36)
eli voima on
F = (∇U) ϕ . (4.37)
Alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleiden
potentiaalit vakioina siirroksen dr keston ajan. Huomaa merkkiero
eristetyn systeemin voiman lausekkeeseen.
Esimerkki. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttava
voima
Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki,
jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.2). Kondensaattorin levyjen
etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin
jännitteen vakiona △ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää
palkkia kondensaattoriin.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
d
E
F
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
L–x
L
x
Kuva 4.2: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä.

4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 65
Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E =
△ϕ/d, joten sen energiasisältö on
U = 1 ∫
ɛE 2 dV (4.38)
2
V
jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energia
kuvan tilanteessa on
U(x) = ɛ ( ) △ϕ 2
wxd + ɛ ( )
0 △ϕ 2
w(L − x)d . (4.39)
2 d
2 d
Voima
F x = ∂U
∂x = ɛ − ɛ 0
w (△ϕ)2 = ɛ r − 1
ɛ 0 E 2 wd (4.40)
2 d 2
osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä.
HT: Miten tämän voi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla?
4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa
Tutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset käyttäen
Maxwellin jännitystensoria. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa
on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakautuma ρ.
Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan
∫
∫
F = ρ(r)E dV = f(r) dV , (4.41)
V
missä f = ρE = ɛ 0 (∇ · E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti.
Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi.
Tarkastellaan voimaa komponentti komponentilta. Todetaan ensin x-
komponentille, että
f x = ɛ 0
[ 1
2 ∂ x(E 2 x) + ∂ y (E y E x ) + ∂ z (E z E x ) − E y ∂ y E x − E z ∂ z E x
]
. (4.42)
Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli ∇ × E = 0, niin
Näin ollen
V
∂ x E y = ∂ y E x , ∂ y E z = ∂ z E y , ∂ z E x = ∂ x E z . (4.43)
f x = ɛ 0 (∂ x (E 2 x − 1 2 E2 ) + ∂ y (E y E x ) + ∂ z (E z E x )) (4.44)
ja vastaavasti muille komponenteille.

66 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
Vektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos
∫
∫
∇ψ dV = n ψ dS . (4.45)
V
Tämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi
∫
∫
F x = f x (r)dV = ɛ 0
[n x (Ex 2 − 1 ]
2 E2 ) + n y E y E x + n z E z E x dS (4.46)
V
ja koko vektoriksi
S
S
∂V
∫
F = (ɛ 0 (n · E)E − 1 2 ɛ 0nE 2 ) dS . (4.47)
Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen
pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S , jonka pintatiheyden f S i-
komponentti on
3∑
fi S = T ij n j , (4.48)
j=1
missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T . Sen komponentit ovat
T (e)
ij
= ɛ 0 (E i E j − 1 2 δ ijE 2 ) , (4.49)
missä indeksi (e) viittaa sähköstaattiseen kenttään. Luvussa 8 määritellään
vastaava tensori magnetostaattiselle kentälle ja luvussa 9 koko sähkömagneettiselle
kentälle.
Voimatiheys voidaan antaa tämän jännitystensorin divergenssinä
f i =
3∑
∂ j T ij . (4.50)
j=1
Voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden
momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä,
että N = ∫ V r × f dV on sama kuin NS = ∫ S r × f S dS. Laskennallisesti
suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin
käyttöön, mutta jääköön se omakohtaiseksi harjoitustehtäväksi.
Esimerkki. Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voima
Asetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen sähkökenttään
E 0 . Sähkökenttä määritettiin jo luvussa 2. Pallon pinnalla sähkökentällä on
vain radiaalinen komponentti E r (r = a) = 3 E 0 cos θ. Harjoitustehtäväksi
jää osoittaa jännitystensorin avulla tai muulla tavalla päättelemällä, että

4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 67
staattisessa sähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima
on
F = 1 ∫
σ s E dS , (4.51)
2
S
missä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. Symmetrian perusteella pallon
ylempään puoliskoon (0 < θ < π/2) vaikuttava voima on z-akselin suuntainen
(F + e z ) ja alempaan puoliskoon (π/2 < θ < π) vaikuttava voima on
F − = −F + . Koska pallon pinnalla σ s = ɛ 0 E r (a), niin
∫
F + = e z · 1
2 ɛ 0Er 2 (a)e r dS
= 9ɛ 0E 2 0 a2
2
= 9πɛ 0a 2 E 2 0
4
∫ 2π
0
.
dφ
∫ π/2
0
dθ sin θ cos 3 θ (4.52)

68 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA

Luku 5
Staattinen magneettikenttä
Tässä luvussa tutustutaan sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään.
Jos sähköstatiikka tuli opiskelluksi huolellisesti, niin analogioiden
avulla magnetostatiikkaan pitäisi päästä käsiksi varsin helposti. Laskennan
puolella korostuu vektorimatematiikan hyvän hallinnan välttämättömyys.
5.1 Sähkövirta
Nykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessa
varauksia ja virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Kun varaukset
järjestäytyvät johdekappaleen pinnalle, systeemissä kulkee virtaa, ja
sähkövirran avulla paristo pitää edellisen luvun esimerkissä kondensaattorin
jännitteen vakiona. Samoin termit “johde” ja “eriste” viittaavat kappaleiden
kykyyn kuljettaa sähkövirtaa.
Tarkastellaan joukkoa varauksellisia hiukkasia, joiden sähkövaraus on q,
lukumäärätiheys n ja nopeus v. Sähkövirta I määritellään annetun pinnan
läpi aikayksikössä kulkevan sähkövarauksen määränä
I = dQ/dt . (5.1)
Olkoon dS jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta on
nqv dt · n dS
dI = = ρv · n dS = J · dS , (5.2)
dt
missä J on sähkövirran tiheys tai lyhyesti virran tiheys. Se on samankaltainen
vuosuure kuin sähkövuon tiheys D tai magneettivuon tiheys B. Kokonaisvuo
pinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli.
Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C s −1 . Virran tiheys on virta
pinta-alan läpi, joten sen yksikkö on A m −2 . SI-yksiköissä sähkövirran
yksikkö otetaan perussuureeksi ja kaikki muut sähköiset yksiköt voidaan
ilmaista ampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla.
69

70 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
5.1.1 Jatkuvuusyhtälö
Virran tiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Suljetun pinnan S
läpi alueeseen V tuleva virta on (yksikkönormaali n osoittaa ulospäin)
∮
∫
I = − J · n dS = − ∇ · J dV . (5.3)
S
Tämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma sähkövirta
I = dQ/dt = d ∫
ρ dV . (5.4)
dt
Oletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalin
sisään. Koska ρ on sekä ajan että paikan funktio, kokonaisderivaatta
muuttuu osittaisderivaataksi
joten
∫
V
∫
I =
V
V
V
∂ρ
dV , (5.5)
∂t
(∂ρ/∂t + ∇ · J) dV = 0 . (5.6)
Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saadaan virralle
jatkuvuusyhtälö
∂ρ/∂t + ∇ · J = 0 . (5.7)
Jatkuvuusyhtälö seuraa suoraan kokonaisvarauksen säilymislaista eikä edellytä
kiinteän tilavuuden tarkastelua (ks. CL 6.1). Jos varaustiheys on ajasta
riippumaton eli ∇ · J = 0, sähkövirralla ei ole lähteitä tai nieluja ja siten
kaikki virtaviivat sulkeutuvat tai jatkuvat äärettömyyksiin. Tällaista virtaa
kutsutaan stationaariseksi. Sen analogia hydrodynamiikassa on kokoonpuristumaton
virtaus ∇·V = 0, missä V on nesteen makroskooppinen virtausnopeus,
joka on paikan funktio, kuten on J:kin.
5.1.2 Ohmin laki
On kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirta
riippuu lineaarisesti sähkökentästä
J = σE . (5.8)
Tämä on Ohmin laki, jossa verrannollisuuskerroin σ on johtavuus. Johtavuudelle
käytetään yleisen tavan mukaan samaa symbolia kuin aiemmin
pintavaraukselle. Jos joudumme jossain kirjoittamaan molemmat suureet,
eroteltakoon ne vaikkapa kirjoittamalla pintavaraukselle σ S .

5.1. SÄHKÖVIRTA 71
Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttä
ole kovin suuri. Ohmin laki on samantapainen rakenneyhtälö kuin D = ɛE,
jonka yksityiskohtainen muoto ja jopa olemassaolo riippuvat väliaineen ominaisuuksista.
Epälineaarisissa väliaineissa σ on sähkökentän ja mahdollisesti
myös magneettikentän funktio. Jos sähkökenttä on riittävän suuri, väliaine
kuin väliaine alkaa käyttäytyä epälineaarisesti.
Johtavuuden käänteislukua kutsutaan ominaisvastukseksi eli resistiivisyydeksi.
On tärkeää erottaa ominaisvastus (engl. resistivity) ja vastus eli
resistanssi (resistance). Johtavuuden SI-yksikkö on [σ] = (A m −2 )/(V m −1 )
= A V −1 m −1 , joten ominaisvastuksen yksikkö on V m A −1 . Toisaalta V A −1
on vastuksen yksikkö ohmi (Ω). Siis ominaisvastuksen yksikkö on Ω m ja
johtavuuden Ω −1 m −1 = S m −1 . Tässä S on SI-yksikkö siemens. Siemensin
sijasta ohmin käänteislukua merkitään joskus symbolilla “mho”.
aine resistiivisyys aine resistiivisyys
10 −8 Ω m 10 −8 Ω m
alumiini 2,65 kupari 1,67
grafiitti 1375 nikkeli 6,84
hopea 1,59 rauta 9,71
konstantaani 50 sinkki 5,92
kulta 2,35 volframi 5,68
Taulukko 5.1: Aineiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden
käänteisluku. Aiemmin taulukossa 3.1 lueteltujen eristeiden resistiivisyydet
ovat tyypillisesti suurempia kuin 10 8 Ω m. Vesi on poikkeus, sillä sen resistiivisyys
on vain noin 5000 Ω m, joten sitä voi pitää ainakin hyvin johtavana
väliaineena.
Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä yhteyttä ohuessa homogeenisessa
suorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä on potentiaaliero eli
jännite △ϕ ja jonka johtavuus on σ. Johteessa sähkökentällä ei ole komponenttia
kohtisuorassa johtoa vastaan, koska tämä aiheuttaisi jatkuvan
sähkövirran joko johtoon tai siitä pois ja siten johdon pinnan varautumisen.
Koska systeemi on homogeeninen ja suora, sähkökenttä on sama koko
johdossa eli △ϕ = El, missä l on johdon pituus. Ohmin lain mukaan johdossa
kulkee virta, joka mielivaltaisen poikkileikkauspinta-alan A läpi on
∫
I = J · n dS = JA = σA △ϕ . (5.9)
A l
Verrannollisuuskerroin on vastus (resistanssi) R = l/(σA), jonka SI-yksikkö
on siis ohmi. Tästä voidaan johtaa koulufysiikasta tuttuja relaatioita: Työ,
jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron U yli, on
W = QU. Sitä vastaava teho on puolestaan P = UI = RI 2 = U 2 /R. Tämän
tehon sanotaan häviävän materiaalin Joulen lämmityksenä.

72 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
5.1.3 Johtavuuden klassinen selitys 1
Tarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varauksellista hiukkasta (varaus
q, massa m) klassisen mekaniikan mukaisesti. Sähkökentässä E hiukkanen
kiihtyy voiman qE vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen
johde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virran tiheyden J. Oletetaan stationaarinen
tilanne, jossa virran tiheys pysyy vakiona. Hiukkaseen täytyy siis
vaikuttaa sen liikettä jarruttavan voiman, joka kumoaa sähkökentän aiheuttaman
kiihtyvyyden. Jos jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltainen
eli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, liikeyhtälö on
m dv
dt
= qE − Gv , (5.10)
missä G > 0 on vakio. Alkuehdolla v(0) = 0 saadaan ratkaisuksi
v(t) = q G E (1 − e−Gt/m ) . (5.11)
Hiukkasen nopeus lähestyy ajan myötä vakionopeutta v d = qE/G eksponentiaalisesti
aikavakion τ ollessa
τ = m/G . (5.12)
Tätä kutsutaan relaksaatioajaksi. Sijoittamalla tähän v d :n lauseke Ohmin
laki voidaan kirjoittaa
J = nqv d = nq2 τ
m E , (5.13)
joten
σ = nq 2 τ/m , (5.14)
missä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virran kuljettajia on useampaa
hiukkaslajia, niin kokonaisjohtavuus on summa kaikkien hiukkaslajien (i) yli
σ = ∑ i
n i q 2 i τ i
m i
. (5.15)
Kohtuullisen hyvillä johteilla metalleista puolijohteisiin τ voidaan tulkita
johtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonka johtavuuselektroni
kulkee keskimäärin törmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksi
vapaaksi matkaksi l mfp = v t τ, missä v t on elektronien terminen nopeus.
Termisen nopeuden on oltava paljon suurempi kuin v d , sillä muutoin τ tulisi
riippuvaiseksi sähkökentästä eikä väliaineella olisi enää lineaarista Ohmin
lakia. Useimmilla metalleilla v t ≈ 10 6 m s −1 ja v d yleensä alle 10 −2 m s −1 .
Metalleilla l mfp ≈ 10 −8 m huoneenlämmössä, joten τ ≈ 10 −14 s. Puolijohteilla
relaksaatioaika voi olla kertalukua suurempi, mutta joka tapauksessa
sähkövirta reagoi käytännössä välittömästi sähkökentän muutokseen.
1 Kvantitatiivinen selitys edellyttää kvanttimekaniikkaa. Klassinen malli on kohtuullisen
hyvä elektrolyyttiselle sähkönjohtavuudelle.

5.1. SÄHKÖVIRTA 73
5.1.4 Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut
Ohmin laki on siis rakenneyhtälö kuten E:n ja D:n välinen yhteys. Analogia
menee pidemmällekin. Stationaarisen virran jatkuvuusyhtälö ∇ · J = 0 on
samaa muotoa kuin ∇ · D = 0 tai ∇ · E = 0. Stationaarisen sähkövirran
virtaviivat voidaan määrittää ratkaisemalla Laplacen yhtälö tutuilla menetelmillä.
Ensin on vain etsittävä sopivat reunaehdot virrantiheydelle.
Tarkastellaan esimerkkinä johdetta, jossa on toisesta johdeaineesta koostuva
pitkä sylinterinmuotoinen este. Kaukana sylinteristä sähkökenttä on
kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan.
Merkitään sylinteriä (sisäalue) alaindeksillä i ja johdetta (ulkoalue) alaindeksillä
u. Sylinterin akseli on z-akseli ja sylinterin säde a. Kaukana sähkökenttä
on vakio E 0 e x . Koska ∇ · J = 0, reunaehdoksi saadaan J un = J in
(vrt. sähkövuon tiheys) eli
σ u E un = σ i E in , (5.16)
⇒
∂ϕ i
σ i
∂r = σ ∂ϕ u
u
∂r
sylinterin pinnalla r = a. Toisaalta potentiaali on jatkuva
Kaukana sylinteristä virta on häiriintymätön, joten
(5.17)
ϕ u (a, θ) = ϕ i (a, θ) . (5.18)
ϕ = −E 0 r cos θ , kun r → ∞ . (5.19)
Tehdään origossa ja kaukaisuudessa hyvin käyttäytyvät ratkaisuyritteet
(vrt. kappale 2.8.3)
ϕ i = Ar cos θ (5.20)
ϕ u = −E 0 r cos θ + B cos θ . (5.21)
r
Tässä on rohkeasti arvattu, että vain cos θ:aan verrannolliset termit tulevat
kyseeseen, sillä ainoastaan ne kytkeytyvät ulkoiseen kenttään. Nyt reunaehdot
antavat
Aa cos θ = −E 0 a cos θ + B cos θ
(5.22)
(
a
σ i A cos θ = σ u −E 0 cos θ − B cos θ )
a 2 . (5.23)
Ratkaistaan näistä kertoimet A ja B
A = −2σ u
σ i + σ u
E 0 (5.24)
B = σ i − σ u
σ i + σ u
E 0 a 2 (5.25)

74 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
ja ongelma on yksikäsitteisesti ratkaistu.
Jos sylinteri on hyvä eriste (σ i → 0), kaikki virta kiertää sen, jolloin
J u = J 0 − J 0a 2
r 2 (cos θ e r + sin θ e θ ) . (5.26)
Sähkövirran virtaviivat kiertävät esteen siististi. Ongelma on analoginen kokoonpuristumattomassa
nestevirtauksessa (∇·V = 0) olevan sylinterinmuotoisen
virtausesteen kanssa. Laplacen yhtälön ratkominen on varsin tavallista
fysiikassa (Feynman Lectures, osa 2, luku 12-1: The same equations have
the same solutions).
5.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin laki
Magnetismin olemassaolo on tunnettu kauan, mutta sen yhteys sähköön
löytyi vasta vuonna 1820, kun Ørsted havaitsi, että sähkövirta aiheuttaa
magneettikentän. Magneettikenttä määritellään voimavaikutuksen kautta
samaan tapaan kuin sähkökenttä. Pian Ørstedin kerrottua havainnoistaan
Ampère julkaisi mittaustuloksensa, joiden mukaan kahden virtasilmukan,
joissa kulkee virrat I 1 ja I 2 , välillä vaikuttaa voima, joka nykyfysiikan merkinnöin
on muotoa
F 2 = µ 0
4π I 1I 2
∮
C 1
∮
C 2
dl 2 × [dl 1 × (r 2 − r 1 )]
|r 2 − r 1 | 3 . (5.27)
Tämä on siis virtasilmukkaan 2 vaikuttava voima (vrt. Coulombin laki).
Koska SI-yksiköissä määritellään µ 0 /4π = 10 −7 N A −2 , tämän voiman mittaus
varsinaisesti määrittelee ampeerin, josta puolestaan saadaan coulombi
ja muut sähköopin SI-yksiköt.
Virtasilmukoiden välisen voiman lausekkeesta ei välittömästi nähdä, että
voiman ja vastavoiman laki on voimassa. Näin kuitenkin on, minkä voi todistaa
pienellä vektorilaskulla. Tähän palataan energianäkökulmasta luvussa 8.
missä
Voiman lauseke voidaan kirjoittaa muodossa
∮
F 2 = I 2 dl 2 × B(r 2 ) , (5.28)
C2
B(r 2 ) = µ ∮
0
4π I dl 1 × (r 2 − r 1 )
1
C1 |r 2 − r 1 | 3 (5.29)
on silmukan C 1 synnyttämä magneettikenttä (ehkä oikeammin magneettivuon
tiheys) silmukassa C 2 sijaitsevassa pisteessä r 2 . Tätä kutsutaan Biot’n
ja Savartin laiksi, joskus myös Ampèren ja Laplacen laiksi (kunnia kuulunee
kaikille). Se voidaan yleistää jatkuvalle virran tiheydelle korvaamalla

5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’N JA SAVARTIN LAKI 75
I dl → JdV ja korvaamalla lenkki-integraali tilavuusintegraalilla. Integrandi
on nollasta poikkeava vain alueessa, jossa J ≠ 0, joten
B(r) = µ ∫
0 J(r ′ ) × (r − r ′ )
4π |r − r ′ | 3 dV ′ . (5.30)
V
Näin voidaan laskea magneettikenttä mielivaltaisesta virtajakautumasta samaan
tapaan kuin staattinen sähkökenttä annetusta varausjakautumasta.
Huom: Viimeistään nyt on syytä omaksua koulusta tuttu Biot’n ja Savartin
lain sisältämä lyhyen virta-alkion (oikean käden peukalo) magneettikentän
(oikean käden sormet) suuntasääntö.
Kokeellinen tosiasia on, että kaikki magneettikentät voidaan antaa virtajakautumien
avulla. Suoraviivaisella laskulla nähdään, että
∇ · B = 0 , (5.31)
joka on Coulombin lain jälkeen toinen laki Maxwellin yhtälöiden joukossa.
Se kertoo, että ei ole olemassa erillisiä kentän B lähteitä tai nieluja eli magneettisia
varauksia (magneettisia monopoleja). Tämä merkitsee myös sitä,
että magneettikentän kenttäviivoilla ei ole alku- eikä loppupäätä, vaan kaikki
kenttäviivat sulkeutuvat vaikkakin mahdollisesti jossain hyvin kaukana.
Magneettikentäksi kutsuttu suure B on siis täsmällisemmin sanottuna
magneettivuon tiheys, jonka SI-yksikkö tesla (T) vastaa yhden weberin (Wb)
suuruista magneettivuota neliömetrin läpi. Magneettivuo Φ pinnan S läpi on
∫
Φ = B · dS . (5.32)
S
Selvästikin magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla
∮ ∫
Φ = B · dS = ∇ · B dV = 0 . (5.33)
S
Tätä voi havainnollistaa epätäsmällisellä toteamuksella, että jokaisesta avaruuden
alueesta lähtee yhtä paljon magneettikentän kenttäviivoja kuin niitä
sinne tulee.
Magneettivuon tiheyden SI-yksikkö on tesla (T = N A −1 m −1 ) ja magneettivuon
yksikkö weber (Wb = T m 2 ). Koska esimerkiksi maapallon magneettikenttä
Maan pinnalla vaihtelee välillä 30–60 µT, on tesla useissa sovellutuksissa
varsin suuri yksikkö (taulukko 5.2).
Magneettikentän lähteettömyys on puhtaasti kokeellinen laki eikä sille
välttämättä ole syvempää teoreettista perustelua. Modernien yhtenäiskenttäteorioiden
mukaan magneettisten monopolien olemassaolo on mahdollista,
jopa todennäköistä. Monopolit ovat kuitenkin niin massiivisia, ettei niitä
V

76 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
aivotoiminta
1 pT
galaksienvälinen kenttä
1–10 pT
tähtienvälinen kenttä
∼ 0,1 nT
aurinkotuulen kenttä Maan etäisyydellä
5 nT
ionosfäärivirtojen aih. kenttä Maan pinnalla 10–1000 nT
Maan magneettikenttä Helsingissä 50 µT
kenttä Auringon pinnalla (keskimäärin)
0,1 mT
kenttä Auringon pinnalla (suurimmat)
500 mT
voimakas kestomagneetti
1 T
suurimmat ihmisen aikaansaamat kentät
50 T
neutronitähti – magnetaari
10 6 − 10 11 T
Taulukko 5.2: Magneettivuon tiheyksien suuruuksia ja suuruusluokkia.
voi tuottaa esim. hiukkaskiihdyttimillä. Toisaalta niitä on maailmankaikkeudessa
niin harvassa, että myös niiden vaikutuksen epäsuora toteaminen
on vaikeaa. Monopolit voidaan periaatteessa ottaa mukaan myös klassiseen
elektrodynamiikkaan kirjoittamalla ∇ · B = ρ m , missä ρ m on magneettinen
varaustiheys. Tähän ei kuitenkaan ole mitään syytä, koska monopolien
vaikutuksia ei havaita klassisen elektrodynamiikan sovellutussalueessa.
Esimerkki. Pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama kenttä
y
e x x (r 2 –r 1 )
z
a
I
r 2 –r 1
θ
dx
x
Kuva 5.1: Suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskeminen.
Olkoon johdin x-akselilla ja lasketaan magneettikenttä pisteessä r 2 y-
akselilla. Merkitään dl = dx e x ; r 1 = x e x ; r 2 = a e y , jolloin dl×(r 2 −r 1 ) =
a dx e z . Biot’n ja Savartin lain suoraviivainen käyttö antaa
B(r 2 ) = µ 0I
4π
∫
C
dl × (r 2 − r 1 )
|r 2 − r 1 | 3 = µ 0I
4π
∫+∞
−∞
adx
(x 2 + a 2 ) 3/2 e z

5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’N JA SAVARTIN LAKI 77
= µ 0Ia
4π
∣
+∞
−∞
x
a 2 (a 2 + x 2 ) 1/2 e z = µ 0I
2πa e z . (5.34)
Jos virtajohde on äärellisen mittainen, magneettikenttä on kuvassa 5.1 määritellyn
kulman θ funktio
B(r 2 ) = µ 0I
4πa e z
∣
L 2
−L 1
x
(a 2 + x 2 ) 1/2 = µ θ 2
0I
4πa e z
(− cos θ) . (5.35)
∣
θ 1
Tässä käytettiin karteesista koordinaatistoa, missä suunnan e z määrää
tarkastelupisteen paikka. Lukiosta muistetaan, että magneettikenttä kiertää
suoran johtimen ympäri oikean käden kiertosäännön mukaisesti. Käyttämällä
sylinterikoordinaatistoa, missä positiivinen z-akseli on virran suuntainen
ja e θ on atsimutaalikoordinaatin yksikkövektori (siis eri kulma kuin
kuvassa 5.1), magneettikenttä on
B(r 2 ) =
µ 0I
2πa e θ (5.36)
Esimerkki. Ympyränmuotoisen virtasilmukan kenttä ympyrän keskipisteen
läpi kulkevalla akselilla
Olkoon ympyrän säde a ja tarkastellaan kenttää ympyrän tasoa vastaan
kohtisuorassa olevalla keskipisteen kautta kulkevalla z-akselilla. Olkoon e z -
vektorin suunta virtaan nähden oikean käden säännön mukainen. Nyt
B(r 2 ) = µ 0I
4π
= µ 0I
4π
∫
C
∫ 2π
0
dl × (r 2 − r 1 )
|r 2 − r 1 | 3
a 2 dθ
(z 2 + a 2 ) 3/2 e z =
µ 0 Ia 2
2(z 2 + a 2 ) 3/2 e z . (5.37)
Jos silmukoita on useampia, kuten kelassa, on kaikkien silmukoiden tuottamat
kontribuutiot laskettava yhteen.
Esimerkki. Helmholtzin kela
Helmholtzin kela muodostuu kahdesta N-kertaisesta silmukasta, joiden keskipisteet
ovat samalla akselilla, tässä z-akselilla. Olkoon kummankin kelan
säde a ja niiden keskipisteiden välinen etäisyys 2b. Tällöin kenttä z-akselilla
kelojen välissä etäisyydellä z toisesta kelasta on
B z (z) = Nµ 0Ia 2 {
}
1
2 (z 2 + a 2 ) 3/2 + 1
[(2b − z) 2 + a 2 ] 3/2 . (5.38)

78 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Helmholtzin keloja käytetään tuottamaan mahdollisimman homogeeninen
magneettikenttä rajoitettuun alueeseen. Tämän tapainen systeemi on
käytössä esimerkiksi Ilmatieteen laitoksen Nurmijärven geofysiikan observatoriossa,
jonka testilaboratoriossa voidaan esimerkiksi kumota maapallon
magneettikenttä pienessä alueessa ja testata mittalaitteiden magneettista
puhtautta hyvin tarkasti.
Se, että kenttä on hyvin homogeeninen, nähdään tarkastelemalla magneettikentän
derivaattaa z-akselilla. Kun z = b, niin dB z /dz = 0. Myös
toinen derivaatta on nolla tässä pisteessä, jos 2b = a. Asettamalla siis kelat
niiden säteen etäisyydelle toisistaan, on kenttä pisteen z = a/2 ympäristössä
mahdollisimman homogeeninen. Kolmaskin derivaatta häviää ja kentän epähomogeenisuus
ilmenee vasta Taylorin sarjan neljännessä termissä:
B z (z) = B z (a/2) +
≈
B z (a/2)
[
(z − a/2)4
24
1 − 144
125
d 4 B z
dz 4 ∣
∣∣∣∣z=a/2
+ . . .
( ) ]
z − a/2
4
. (5.39)
a
5.3 Ampèren laki
Tarkastellaan stationaarista virtaa, jolle siis ∇ · J = 0. Lasketaan magneettikentän
roottori lähtien Biot’n ja Savartin laista
{ ∫
µ0 J(r ′ ) × (r − r ′ }
)
∇ × B(r) = ∇ ×
4π |r − r ′ | 3 dV ′ . (5.40)
V
Huom. Roottori lasketaan paikkavektorin r suhteen. Kun se viedään integraalin
sisään ja kirjoitetaan ristitulot auki, niin saadaan
∇ × B(r) = µ ∫ [ (
0
J(r ′ r − r ′ )
) ∇ ·
4π
|r − r ′ | 3 − J(r ′ ) · ∇ r − ]
r′
|r − r ′ | 3 dV ′ . (5.41)
V
Vektorilaskennan kalupakista löytyy kaava
∇ ·
r − r ′
|r − r ′ | 3 = −∇2 1
|r − r ′ | = 4πδ(r − r′ ) , (5.42)
joten integraalin ensimmäinen termi on µ 0 J(r).
Jälkimmäisessä termissä voidaan r − r ′ :n antisymmetrisyyden vuoksi
vaihtaa derivointi tapahtuvaksi r ′ :n suhteen vaihtamalla merkki. Koska jälkimmäinen
termi sisältää ∇:n ja (r − r ′ ):n välisen dyaditulon, käsitellään se
(r − r ′ ):n komponentti kerrallaan. Muokataan x-komponenttia kaavalla
J · ∇ ′ x ′ ( )
− x
|r − r ′ | 3 = ∇′ · J x′ − x
|r − r ′ | 3 − x′ − x
|r − r ′ | 3 ∇′ · J . (5.43)

5.3.
AMPÈREN LAKI 79
Oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇ · J = 0 perusteella.
Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi:
∫
V
( ) ∮
∇ ′ · J x′ − x
|r − r ′ | 3 dV ′ = J x′ − x
S |r − r ′ | 3 · dS′ . (5.44)
Tämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaan
siirtää virtajakautuman ulkopuolelle eli integraalin on oltava nolla.
Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren laki
differentiaalimuodossa
∇ × B = µ 0 J . (5.45)
Integraalimuotoon Ampèren laki saadaan käytämällä Stokesin lausetta
∫
∮
∇ × B · n dS = B · dl , (5.46)
joten
∮
C
S
B · dl = µ 0
∫
S
C
J · n dS = µ 0 I . (5.47)
Siis suljettua lenkkiä pitkin integroitu magneettivuon tiheys on µ 0 kertaa
lenkin läpi kulkeva kokonaisvirta. Tätä tulosta kutsutaan Ampèren kiertosäännöksi
(vrt. sähköstatiikan Gaussin laki). Sen avulla voi laskea magneettikentän
suoraan tietyissä riittävän symmetrisissä tapauksissa. Integraaleissa
on muistettava, että pinnan S normaalivektori n määrittelee oikeakätisesti
käyräalkion dl suunnan.
Esimerkki. Kenttä toroidikäämin sisällä
Tarkastellaan toruksen ympärille kierrettyä käämiä (N kierrosta tiiviisti
kierrettynä). Kentän voidaan päätellä olevan sylinterikoordinaateissa ilmaistuna
muotoa B = B(r, z)e φ , missä φ on toruksen keskipistettä kiertävä
kulma ja r etäisyys toruksen keskipisteestä toruksen sisällä olevaan pisteeseen.
Sovelletaan Ampèren kiertosääntöä pitkin r-säteistä ympyrää toruksen
sisällä
∮
B · dl = B(r, z)2πr = µ 0 NI , (5.48)
C
joten kenttä riippuu ainoastaan radiaalisesta etäisyydestä
B = µ 0NI
2πr e φ . (5.49)
Toruksen ulkopuolella magneettikenttä on nolla, sillä geometrian perusteella
B = B(r, z)e φ ja lenkin läpäisevä virta on nolla.

80 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
5.4 Virtasilmukan magneettimomentti
Tarkastellaan virtajohdinta, joka muodostaa suljetun silmukan C. Tällöin
koko silmukkaan vaikuttaa voima (5.28)
∮
F = I dl × B . (5.50)
C
Kokonaisvirta ei riipu paikasta, joten se voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle,
samoin magneettikenttä, mikäli se on vakio
∮
F = −I B × dl = 0 . (5.51)
Siis vakiomagneettikentässä virtasilmukkaan vaikuttava voima on nolla.
Silmukka-alkioon vaikuttava vääntömomentti on
joten koko silmukalle
C
dτ = r × dF = I r × (dl × B) , (5.52)
∮
τ = I
C
r × (dl × B) . (5.53)
Oletetaan jälleen, että magneettikenttä on vakio. Kirjoitetaan ristitulo auki
kaavalla r × (dl × B) = (r · B)dl − (r · dl)B. Tällöin
∮
∮
τ = I (r · B)dl − IB r · dl . (5.54)
C
Jälkimmäinen
∮
integraali voidaan kirjoittaa Stokesin lauseen avulla muotoon
C r · dl = ∫ S
(∇ × r) · dS = 0 , ensimmäinen puolestaan yleistetyn Stokesin
lauseen avulla muotoon
∮
∫
(r · B)dl = dS × ∇(r · B) . (5.55)
C
S
Koska B on vakio, niin ∇(r · B) = B, joten
∫
(∫ )
τ = I dS × B = I dS × B = IS × B , (5.56)
S
missä pinta-alavektori S voidaan kirjoittaa yleistetyn Stokesin lauseen avulla
∫
S = n dS = 1 ∮
r × dl . (5.57)
S 2 C
Tuloa IS kutsutaan silmukan C magneettimomentiksi
m = IS = 1 ∮
2 I r × dl . (5.58)
S
C
C

5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 81
Tämän avulla vääntömomentti on
τ = m × B . (5.59)
Vaikka silmukkaan ei kohdistukaan voimaa, joka kiihdyttäisi silmukkaa kokonaisuutena,
siihen kohdistuu vääntömomentti. Se pyrkii kääntämään silmukan
pintaa kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Tätä käytetään hyväksi
esimerkiksi avaruusalusten asennonsäätöjärjestelmissä.
Magneettimomentti voidaan yleistää mielivaltaiselle virtajakaumalle
(Idl → JdV ) korvaamalla
m = 1 ∮
2 I r × dl → 1 ∫
r × J dV . (5.60)
2
C
5.5 Magneettikentän potentiaaliesitys
Myös magneettikentälle on olemassa hyödyllinen potentiaaliesitys. Se poikkeaa
kuitenkin olennaisesti sähkökentän potentiaalista.
5.5.1 Vektoripotentiaali
Koska magneettikenttä on lähteetön (∇ · B = 0), se voidaan ilmaista vektorikentän
roottorina
B = ∇ × A . (5.61)
Näin löydetty vektoripotentiaali A ei ole yksikäsitteinen, sillä olipa f mikä
riittävän siisti skalaarikenttä hyvänsä, niin ∇ × (A + ∇f) = ∇ × A.
Vektoripotentiaali voidaan ilmaista virran avulla lähtemällä jälleen Biot’n
ja Savartin laista
B(r) = µ ∫
0
4π V
Integrandi voidaan kirjoittaa muotoon
J(r ′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dV ′ . (5.62)
J(r ′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 = −J(r ′ ) × ∇ 1
|r − r ′ | . (5.63)
Sovelletaan tähän kaavaa ∇ × (fG) = f∇ × G − G × ∇f. Koska ∇ ei operoi
muuttujaan r ′ , ∇ × J(r ′ ) = 0 ja integrandiksi tulee
J(r ′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 = −J(r ′ ) × ∇ 1 ( J(r ′ )
|r − r ′ | = ∇ × )
|r − r ′ . (5.64)
|

82 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
∇ voidaan siirtää r ′ :n suhteen laskettavan integraalin ulkopuolelle, joten
eli
{ ∫
µ0
B(r) = ∇ ×
4π V
A(r) = µ ∫
0
4π V
Kirjoittamalla A komponenttimuodossa
A i (r) = µ ∫
0
4π V
J(r ′ }
)
|r − r ′ | dV ′
(5.65)
J(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ . (5.66)
J i (r ′ )
|r − r ′ | dV ′ (5.67)
nähdään, että komponentit A i ovat matemaattisesti samaa muotoa kuin
sähköstaattisen potentiaalin lauseke
ϕ(r) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ , (5.68)
joten jokaiselle komponentille erikseen ja siten koko vektorille on voimassa
Poissonin yhtälö
∇ 2 A = −µ 0 J . (5.69)
Koska toisaalta
µ 0 J = ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A , (5.70)
vektoripotentiaalin on toteutettava ehto
∇(∇ · A) = 0 . (5.71)
Usein vektoripotentiaali valitaan siten, että ∇ · A = 0, mikä itse asiassa
toteutuu edellä, jos J poikkeaa nollasta vain äärellisessä alueessa.
Sähköstatiikassa skalaaripotentiaali helpottaa laskuja olennaisesti. Vektoripotentiaali
on monimutkaisempi, mutta käyttökelpoinen monessa tilanteessa.
Se on erityisen hyödyllinen sähkömagneettisiin aaltoihin ja säteilyyn
liittyvissä ongelmissa ja keskeinen apuväline elektrodynamiikan teoriassa ja
relativistisissa tarkasteluissa. Kvanttielektrodynamiikka formuloidaan nimenomaan
vektoripotentiaalin avulla, vaikkei se sinällään olekaan mitattavissa
oleva lokaali suure eli “observaabeli”.
Harjoitustehtävä elektrodynamiikan perusteista kiinnostuneille:
Etsi kirjallisuudesta tai internetistä tietoa nk. Bohmin ja Aharonovin ilmiöstä
ja selvitä, kuinka ylläoleva väite on perusteltavissa.

5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 83
5.5.2 Multipolikehitelmä
Vektoripotentiaali voidaan esittää multipolikehitelmänä samaan tapaan kuin
sähköinen skalaaripotentiaali. Tarkastellaan divergenssitöntä virtajakaumaa
J, joka poikkeaa nollasta vain äärellisessä tilavuudessa V . Koska vektoripotentiaalin
integraaliesitys on samaa muotoa kuin sähköisen skalaaripotentiaalin,
voidaan komponentille A l kirjoittaa suoraan
A l (r) = µ 0
4π
( 1
r
∫
J l (r ′ ) dV ′ + r ∫
r 3 ·
Integraalien laskemiseksi käytetään aputulosta
)
r ′ J l (r ′ ) dV ′ + ... . (5.72)
∇ · (fgJ) = fJ · ∇g + gJ · ∇f , (5.73)
missä f ja g ovat vapaasti valittavia funktioita ja lauseketta johdettaessa on
käytetty oletusta ∇ · J = 0. Integroimalla tilavuuden V yli saadaan
∫
(fJ · ∇g + gJ · ∇f) dV ′ = 0 . (5.74)
Tässä ∇ · (fgJ):n sisältävä integraali voidaan ulottaa yli koko avaruuden.
Muuntamalla tilavuusintegraali pintaintegraaliksi (Gaussin lause) saadaan
nolla, koska alueen V ulkopuolella virran tiheys on nolla.
Integroitaessa multipolikehitelmän ensimmäistä termiä valitaan yksinkertaisesti
f = 1 ja g = x l , jolloin ∫ J dV = 0 eli monopolitermiä ei magneettikentän
tapauksessa ole.
Seuraava eli dipolitermi käsitellään valitsemalla f = x l , g = x n , jolloin
∫
∫
r · r ′ J l dV ′ = x n x ′ n J l dV ′ = − 1 ∫
2 x n (x ′ l J n − x ′ nJ l ) dV ′ , (5.75)
missä käytettiin kaavaa (5.74) ja summataan kahdesti esiintyvän indeksin
n yli. Integrandi muistuttaa vektoritulon komponenttia. Pienen tarkastelun
jälkeen huomataan, että
∫
r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫
2 ɛ lnpx n (r ′ × J(r ′ )) p dV ′ , (5.76)
missä ɛ lnp on permutaatiosymboli ja lausekkeessa oletetaan summaukset indeksien
n ja p yli. Lauseke sieventyy muotoon
∫
r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫
2 (r × r ′ × J(r ′ ) dV ′ ) l = (m × r) l , (5.77)
missä m on virtajakautuman magneettimomentti.

84 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Vektoripotentiaalin multipolikehitelmän johtava termi on siis
A(r) = µ 0 m × r
4π r 3 . (5.78)
Magneettivuon tiheys saadaan laskemalla tämän roottori, mikä antaa tulokseksi
B(r) = µ [
0 3(m · r)r
4π r 5 − m ]
r 3 . (5.79)
Kaukaa katsottaessa ainoastaan systeemin magneettinen momentti vaikuttaa
magneettikenttään. Tämä on muodoltaan samanlainen kuin sähköisen
dipolin aiheuttama sähkökenttä (2.38). Tämän vuoksi magneettista momenttia
kutsutaan usein magneettiseksi dipolimomentiksi.
5.5.3 Magneettikentän skalaaripotentiaali
Alueissa, joissa J = 0, magneettikenttä on pyörteetön, ∇ × B = 0, joten
näissä alueissa se voidaan ilmaista myös magneettisen skalaaripotentiaalin
ψ avulla
B = −µ 0 ∇ψ . (5.80)
Koska toisaalta aina ∇·B = 0, skalaaripotentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön
∇ 2 ψ = 0 (5.81)
ja voimme soveltaa sähköstatiikasta tuttuja apuneuvoja myös magnetostatiikan
ongelmiin, kunhan ollaan huolellisia erilaisten reunaehtojen kanssa.
Koska etäällä olevan virtasilmukan luoma magneettikenttä on matemaattisesti
samaa muotoa kuin sähködipolin kenttä, voidaan magneettinen skalaaripotentiaali
ilmaista magneettisen dipolimomentin avulla. Koska
( m · r
)
B = −µ 0 ∇
4πr 3 , (5.82)
niin
ψ = 1 m · r
4π r 3 . (5.83)
Erona sähköstatiikkaan magneettinen skalaaripotentiaali on paikan yksiarvoinen
funktio ainoastaan yhdesti yhtenäisissä alueissa, joissa ei kulje
sähkövirtaa. Jos aluessa on virtasilmukka niin moniarvoisuus nähdään seuraamalla
silmukan läpi kulkevaa magneettikentän kenttäviivaa. Tultaessa
takaisin alkupisteeseen ollaan samassa magneettikentässä, mutta ψ on joko
kasvanut tai vähentynyt monotonisesti eli ei ole päätynyt samaan arvoon.
Tarkastelualueesta voidaan tehdä yhdesti yhtenäinen asettamalla tarkastelualueen
rajapinnaksi jokin silmukan reunakäyrän rajoittama pinta.

5.6. LORENTZIN VOIMA 85
Yksinkertainen esimerkki tilanteesta, jossa skalaaripotentiaali ei ole paikan
yksiarvoinen funktio, on äärettömän pitkä suora virtajohdin. Jos johdin
on z-akselilla, niin sylinterikoordinaateissa skalaaripotentiaaliksi kelpaa
ψ = −Iφ/(2π), jolle ψ(φ) ≠ ψ(φ + 2π).
Magneettinen skalaaripotentiaali eroaa sähköisestä sikäli, että jälkimmäisellä
on selvä fysikaalinen tulkinta: se antaa varauksellisen hiukkasen
potentiaalienergian sähköstaattisessa kentässä. Magneettikentässä tällaista
tulkintaa ei ole.
5.6 Lorentzin voima
Palautetaan mieleen origossa olevan varauksen q 1 pisteessä r olevaan varaukseen
q aiheuttama Coulombin voima
F e = 1
4πɛ 0
qq 1
r 2 r
r . (5.84)
Tässä molemmat varaukset ovat levossa. Jos varaukset liikkuvat vakionopeuksilla
v ja v 1 , aiheuttaa varaus q 1 varaukseen q magneettisen voiman
F m = µ 0 qq 1
(v
4π r 2 v × 1 × r )
. (5.85)
r
Tämän voi päätellä soveltamalla formaalisti kahden virtasilmukan välistä
magneettista voimaa (5.27) infinitesimaalisille virta-alkioille. Tulos on luonnollisesti
myös todennettavissa kokeellisesti.
Magneettinen voima voidaan myös lausua muodossa (vrt. virtasilmukat)
missä B on magneettivuon tiheys
F m = qv × B , (5.86)
B = µ 0 q 1
4π r 2 v 1 × r r . (5.87)
Superpositioperiaate pätee myös magneettikentän tapauksessa.
Yhteenlaskettua sähköistä ja magneettista voimaa
F = q(E + v × B) (5.88)
kutsutaan Lorentzin voimaksi. Lauseke on voimassa myös ajasta riippuville
kentille. Magneettinen voima on aina kohtisuorassa hiukkasen nopeutta
vastaan, joten v · F m = 0. Magneettikenttä ei siis tee työtä varattuun hiukkaseen.
Jos halutaan muuttaa varauksellisen hiukkasen liike-energiaa, tarvitaan
aina sähkökenttä, vaikka se luotaisiinkin muuttuvan magneettikentän
avulla.

86 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Tässä on hyvä muistaa, että niin liike-energia kuin sähkökenttäkin ovat
koordinaatistosta riippuvia suureita. Sähkökentän koordinaatistomuunnoksiin
tutustutaan lähemmin tutustuttaessa suhteellisuusteoriaan luvussa 14.
Koska ɛ 0 µ 0 = 1/c 2 , niin
F m = 1 qq 1 v
(
4πɛ 0 r 2 c × v1
c × r )
. (5.89)
r
Magneettisen ja sähköisen voiman suuruusluokkine suhde on
F m
F e
≤ v c
v 1
c . (5.90)
Tavallisilla nopeuksilla liikkuville varauksille sähköiset voimat ovat siis paljon
suurempia kuin magneettiset voimat. Magneettiset voimat eivät kuitenkaan
ole merkityksettömiä, sillä vaikka aine on yleensä sähköisesti neutraalia,
siinä saattaa kulkea hyvin suuria virtoja tai se saattaa olla voimakkaasti
magnetoitunutta.
y
F e
B 1
q 2
v 2
q1
v 1
B 2
F m
F m
x
z
F e
Kuva 5.2: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän säilymislakia?
Lopuksi esitetään ongelma, johon palataan luvussa 9 (kuva 5.2). Kaksi
samanmerkkistä varausta (q 1 ja q 2 ) liikkuu hetkellisesti negatiivisten x- ja
y-akselien suuntaan. Hiukkasten välillä on sähköinen poistovoima F e . Varauksen
q 1 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 2 kohdalla osoittaa sivun
sisään ja magneettinen voima F m oikealle. Vastaavasti varauksen q 2 aiheuttama
magneettikenttä varauksen q 1 kohdalla osoittaa sivulta ulospäin ja
magneettinen voima ylöspäin. Siispä varauksen q 1 varaukseen q 2 kohdistama
sähkömagneettinen kokonaisvoima ei ole vastakkaissuuntainen varauksen
q 2 varaukseen q 1 kohdistamaan voimaan. Onko jouduttu ristiriitaan Newtonin
kolmannen lain kanssa ja sitä tietä ristiriitaan liikemäärän säilymislain
kanssa?

Luku 6
Magneettikenttä väliaineessa
Magnetoituneet väliaineet ovat jonkin verran hankalampia käsitellä kuin luvussa
3 käsitellyt sähköiset väliaineet. Aine voi magnetoitua eri tavoin (diamagnetismi,
paramagentismi, ferromagnetistmi) ja magnetismin syvällisempi
ymmärtäminen edellyttää aineen rakenteen kvanttifysiikan tuntemista.
6.1 Magnetoituma
Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan
tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne
aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin
m i . Lasketaan yhteen kaikkien atomien dipolimomentit tilavuusalkiossa
△V . Aineen magnetoituma voidaan määritellä raja-arvona
M =
lim
△V →0
1
△V
∑
m i , (6.1)
mutta raja-arvoon liittyy sama varaus kuin sähköisen polarisoituman määritelmään
(3.3), sillä aineen rakenne ei ole mikroskooppisella tasolla jatkuvaa.
Magnetoituma on siis väliaineen magneettisten dipolimomenttien tiheys paikan
funktiona. Koska magneettisen momentin SI-yksikkö on A m 2 , on magnetoituman
yksikkö A m −1 .
Jos dipolimomenttien tiheys on homogeeninen, kutakin dipolimomenttia
vastaavat virtasilmukat summautuvat nollaan eivätkä aiheuta nettovirtaa.
Jos jakautuma kuitenkin on epätasainen, on tarkastelupisteen eri puolilla eri
määrä virta-alkioita ja tuloksena on kokonaisvirta J M . Virran laskemiseksi
tarkastellaan kahta pientä tilavuusalkiota. Olkoon kummankin tilavuus
△x△y△z ja sijaitkoot ne rinnakkain y-akselin suuntaan (kuva 6.1).
87
i

88 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
z
∆y
∆y
x
M x
I’ C
I’’ C
M + ∂M /∂y ·∆y
x
x
∆x
∆z
y
Kuva 6.1: Magnetoitumasta aiheutuvan virran laskeminen.
Jos ensimmäisen alkion magnetoituma on M(x, y, z), niin toisen magnetoituma
on
M(x, y, z) + ∂M △y + korkeamman kertaluvun derivaattoja.
∂y
Ensimmäisen elementin magneettisen momentin x-komponentti ilmaistaan
silmukkavirran I ′ C avulla M x △x△y△z = I ′ C△y△z (6.2)
ja vastaavasti toiselle elementille
(
M x + ∂M )
x
∂y △y △x△y△z = I C△y△z ′′ . (6.3)
Elementtien välistä nousee nettovirta z-akselin suuntaan
I C ′ − I C ′′ = − ∂M x
△x△y . (6.4)
∂y
Toistamalla tarkastelu kahdelle rinnakkaiselle alkiolle x-akselilla (tarkkana
merkkien kanssa!), saadaan z-akselin suuntaiseksi virraksi
I C = ∂M y
△x△y . (6.5)
∂x
Nämä ovat ainoat magneettiset momentit, jotka tuottavat virtaa z-akselin
suuntaan. Laskemalla ne yhteen ja jakamalla pinta-alaelementillä saadaan
magnetoitumisvirran tiheyden z-komponentiksi
(J M ) z = ∂M y
∂x
eli vektorimuodossa magnetoitumisvirta on
− ∂M x
∂y
(6.6)
J M = ∇ × M . (6.7)

6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTAMA KENTTÄ 89
6.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä
Lasketaan sitten magneettisen aineen aiheuttama magneettikenttä. Vektoripotentiaali
voidaan kirjoittaa muodossa (vrt. 5.78)
A(r) = µ ∫
0
4π V
M(r ′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dV ′ = µ ∫
0
M(r ′ ) × ∇ ′ 1
4π V
|r − r ′ | dV ′ . (6.8)
Tutuilla vektorikikoilla tämä saadaan muotoon
A(r) = µ ∫
0 ∇ ′ × M(r ′ )
4π |r − r ′ dV ′ + µ ∮
0
| 4π
V
S
M(r ′ ) × n ′
|r − r ′ |
dS ′ , (6.9)
missä S on tilavuuden V pinta. Pinnalla magnetoitumisvirran tiheys on
j M = M × n . (6.10)
Tämä on magnetoitumisvirta yksikköpituutta kohti eli virta on ikään kuin
litistetty kulkemaan yksiulotteisen pinnan (eli viivan) läpi. Vektoripotentiaali
määräytyy siis magnetoitumisvirrasta tilavuudessa V ja tilavuuden
pinnalla S
A(r) = µ ∫
0
4π V
J M (r ′ )
|r − r ′ | dV ′ + µ ∮
0
4π S
j M (r ′ )
|r − r ′ | dS′ . (6.11)
Tulos ei liene yllätys (vrt. sähköstaattinen potentiaali). Tästä ei kuitenkaan
ole aivan helppo laskea magneettikenttää, koska J M = ∇ × M.
Lähdetäänkin liikkeelle derivoimalla suoraan vektoripotentiaalia
B = ∇ × A = µ ∫ [
0
∇ × M(r ′ ) × (r − ]
r′ )
4π V
|r − r ′ | 3 dV ′ , (6.12)
missä roottori kohdistuu vektoriin r. Nyt integrandi saadaan muokatuksi
muotoon
[
∇× M(r ′ ) × (r − ]
[ r′ )
(r − r
|r − r ′ | 3 = M(r ′ ′ ]
)
)∇·
|r − r ′ | 3 −(M(r ′ )·∇) (r − r′ )
|r − r ′ | 3 . (6.13)
Oikean puolen ensimmäinen termi tuo magneettikenttään osuuden
B I (r) = µ ∫
0
M(r ′ ) 4πδ(r − r ′ ) dV ′ = µ 0 M(r) . (6.14)
4π
V
Toinen termi vaatii jälleen vähän vektoriakrobatiaa, joka antaa tuloksen
( ∫ 1
B II (r) = −µ 0 ∇ M(r ′ ) · (r − )
r′ )
4π V |r − r ′ | 3 dV ′ ≡ −µ 0 ∇ψ(r) . (6.15)

90 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
Tässä ψ(r) on magneettisen materiaalin skalaaripotentiaali. Magneettikenttä
on tämän potentiaalin ja paikallisten virtojen aiheuttaman kentän summa
B(r) = −µ 0 ∇ψ(r) + µ 0 M(r) . (6.16)
Aineen ulkopuolella M on nolla, joten siellä kenttä saadaan skalaaripotentiaalista,
joka on siis aineessa olevien dipolimomenttialkioiden integraali.
Tässä on päädytty jokseenkin samanlaiseen kuvailuun kuin eristekappaleiden
kanssa. Magneettista skalaaripotentiaalia voi edelleen manipuloida
muotoon
ψ(r) = 1 ∫
M(r ′ r − r ′
) ·
4π V |r − r ′ | 3 dV ′
= 1 ∮
M(r ′ ) · n ′
4π |r − r ′ dS ′ − 1 ∫
∇ ′ · M(r ′ )
| 4π |r − r ′ dV ′ (6.17)
|
= 1
4π
∮
S
S
σ M (r ′ )
|r − r ′ | dS′ + 1
4π
∫
V
V
ρ M (r ′ )
|r − r ′ | dV ′ .
Tämän lausekkeen määrittelemät magneettisten napojen tiheys ρ M ja magneettisen
napavoimakkuuden pintatiheys σ M ovat samankaltaisia apusuureita
kuin polarisaatiotiheydet ρ P ja σ P sähköstatiikassa.
6.3 Magneettikentän voimakkuus
Magneettisen aineen itsensä lisäksi kokonaiskenttään vaikuttaa vapaiden varausten
aiheuttama virta. Esimerkiksi rauta voi olla magnetoitunutta ja
lisäksi sen johtavuuselektronit kuljettavat “vapaata” virtaa. Niinpä
B(r) = µ 0
4π
∫
V
J × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dV ′ − µ 0 ∇ψ(r) + µ 0 M(r) . (6.18)
Tämä voidaan laskea, mikäli M ja J ovat tiedossa kaikkialla. Usein virta
tunnetaankin, mutta M riippuu B:stä.
Otetaan käyttöön apukenttä H, jota kutsutaan magneettikentän voimakkuudeksi
H = 1 µ 0
B − M . (6.19)
Tällöin
H(r) = 1 ∫
4π V
J × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dV ′ − ∇ψ(r) . (6.20)
Tämä voi näyttää turhalta tempulta, koska H riippuu yhä M:stä ρ M :n ja
σ M :n kautta, mutta toimihan sama menetelmä myös sähköstatiikassa.
Kentän H hyödyllisyys piilee siinä, että sille saadaan virrantiheydestä
riippuva differentiaaliyhtälö. Palautetaan ensiksi mieleen, että ∇ · B = 0

6.4. SUSKEPTIIVISUUS JA PERMEABILITEETTI 91
on kokeellinen laki, jonka mukaan magneettivuon tiheys voidaan aina palauttaa
virtajakautumiin, eikä eristetyistä magneettisista monopoleista ole
havaintoja. Nyt Ampèren laissa on huomioitava kaikki sähkövirrat:
∇ × B = µ 0 (J + J M ) , (6.21)
missä J kuvaa varausten siirrokseen liittyvää vapaata virtaa. Ottamalla huomioon
yhteys J M = ∇ × M saadaan tästä
∇ × H = J . (6.22)
H-kentän pyörteet aiheutuvat ainoastaan vapaiden varausten kuljettamasta
virrasta. Magneettisten ongelmien ratkaisemiseen tarvitaan tämän lisäksi
∇ · B = 0, reunaehdot ja rakenneyhtälö B:n ja H:n välille.
Integraalimuodossa H:lle on voimassa
∫
∫
∮
I = J · n dS = ∇ × H · n dS =
S
S
C
H · dl (6.23)
eli magneettikentän voimakkuuden integraali pitkin suljettua lenkkiä on
yhtä suuri kuin varausten kuljettama kokonaisvirta, siis “vapaa” virta, lenkin
läpi.
6.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti
Kenttien B ja H välinen suhde riippuu väliaineen ominaisuuksista samaan
tapaan kuin kenttien D ja E yhteys. Käytännössä rakenneyhtälö on määritettävä
kokeellisesti. Suurelle joukolle aineita magnetoituman ja magneettikentän
voimakkuuden välinen yhteys on muotoa
M = χ m H , (6.24)
missä kerroin χ m on magneettinen suskeptiivisuus. Epäisotrooppiselle mutta
lineaariselle väliaineelle χ m on tensori, epälineaarisessa väliaineessa se riippuu
lisäksi magneettikentästä. SI-yksiköissä magneettinen suskeptiivisuus
on laaduton suure (toisin kuin sähköinen χ, jonka laatu on sama kuin ɛ 0 :n).
Aineita, joilla on pieni suskeptiivisuus |χ m | ≪ 1, kutsutaan paramagneettisiksi,
jos χ m > 0, ja diamagneettisiksi, jos χ m < 0. Paramagneettinen
väliaine siis vahvistaa ulkoista magneettikenttää, kun taas diamagneettinen
väliaine heikentää sitä.
Kenttien M ja H välinen lineaarinen yhteys merkitsee, että myös kenttien
B ja H välinen rakenneyhtälö on lineaarinen
B = µ 0 (1 + χ m )H ≡ µH , (6.25)
missä µ on väliaineen permeabiliteetti. Aineiden magneettisia ominaisuuksia
tarkastellaan lisää tämän luvun lopussa.

92 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
6.5 Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot
Tarkastellaan kuvan 6.2 mukaista kahden väliaineen rajapintaa. Magneettivuon
tiheyden B reunaehto on analoginen sähkövuon tiheyden D reunaehdon
kanssa. Kuvan pillerirasian pinnan yli laskettu B:n integraali on
∮
∫
B · n dS = ∇ · B dV = 0 . (6.26)
S
V
∆S
1
2
B 1
n 1
B 2
n 2
n 2
H 1
l 0
x n
l
H 2
Kuva 6.2: Magneettikenttävektoreiden rajapintaehtojen määrittäminen.
Litistämällä pillerirasian vaippa infinitesimaaliseksi saadaan
∮
B · n dS = B 2 · n 2 △S + B 1 · n 1 △S = 0 , (6.27)
S
missä △S on rasian kannen pinta-ala. Koska n 1 = −n 2 ,
B 2n − B 1n = 0 (6.28)
eli magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan
läpi.
Magneettikentän voimakkuudelle saadaan reunaehto Stokesin lauseen
avulla tarkastelemalla H:n lenkki-integraalia kuvan suorakaidetta pitkin
∮ ∫
∫
H · dl = (∇ × H) · n dS = J · n dS , (6.29)
S
missä n on normaalikomponentti integroimislenkin läpi (n = n 2 × l 0 ). Litistettäessä
integroimislaatikko jälleen infinitesimaaliseksi silmukan läpi voi
kulkea ainoastaan pintavirtaa K, joten
S
J · n△S = △l K · (n 2 × l 0 ) , (6.30)

6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 93
jonka avulla saadaan
∮
H · dl = (H 2 − H 1 ) · l 0 △l = △l K · (n 2 × l 0 ) = △l (K × n 2 ) · l 0 . (6.31)
Tästä seuraa reunaehto
(H 2 − H 1 ) t = (K × n 2 ) t (6.32)
eli magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan
yli, ellei pinnalla ole pintavirtaa. Mikäli H-kenttä tunnetaan pinnan
molemmin puolin, saadaan pintavirran tiheys lausekkeesta
K = n 2 × (H 2 − H 1 ) . (6.33)
Useissa magnetismiin liittyvissä ongelmissa on näppärää tarkastella vuoputkia.
Tarkastellaan magneettikentän kenttäviivoja, jotka ovat jokaisessa
pisteessä kentän B tangentin suuntaisia. Vuoputki on ikäänkuin kimppu
kenttäviivoja tai täsmällisemmin alue, jonka vaipan läpi ei kulje yhtään
kenttäviivaa. Olkoot S 1 ja S 2 vuoputken päät. Tällöin vuoputken tilavuuden
yli laskettu integraali on
∫
∫
∫
∇ · B dV = B · n dS 2 − B · n ′ dS 1 = Φ(S 2 ) − Φ(S 1 ) = 0 , (6.34)
V
S 2 S 1
missä n ja n ′ ovat magneettikentän suuntaisia putken päiden normaalivektoreita.
Magneettivuo pitkin vuoputkea on siis vakio. Tämä koskee vain B-
kenttää eikä välttämättä päde H-kentälle:
∫
∫
∫
∇ · H dV = (−∇ · M) dV = ρ M dV . (6.35)
V
V
Vuoputkeen voi siis tulla magneettikentän voimakkuutta, mikäli aineella on
nollasta poikkeava napavoimakkuus.
V
6.6 Reuna-arvotehtäviä magneettikentässä
Magneettiset reuna-arvotehtävät ovat yleensä hankalampia kuin sähköstatiikan
vastaavat. Sähkövirrat, epätasainen magnetoituminen tai epälineaarinen
rakenneyhtälö edellyttävät Laplacen yhtälöä monimutkaisempien yhtälöiden
ratkomista ja hankaloittavat reunaehtoja. Rajoitutaan tässä kuitenkin yksinkertaisiin
tilanteisiin.
Virrattomuus (∇×H = 0) tekee mahdolliseksi magneettikentän esittämisen
skalaaripotentiaalin gradienttina H = −∇ψ. Jos lisäksi aine on magneettisesti
ainakin likimain lineaarista eli B = µH ja tasaisesti magnetoitunutta
(∇ · M = 0), niin ∇ · H = 0 ja päästään ratkaisemaan Laplacen yhtälöä
∇ 2 ψ = 0 . (6.36)

94 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
Esimerkki. Magnetoituva pallo tasaisessa magneettikentässä
Tämä ongelma on sama kuin kappaleen 3.5.1 eristepallo tasaisessa ulkoisessa
sähkökentässä. Lausumalla ψ vyöhykeharmonisten funktioiden avulla ja
käyttämällä reunaehtoja saadaan pallon sisällä magneettikentäksi
ja ulkopuolella
B 1 = B 0 e z +
B 2 =
3B 0
1 + 2(µ 0 /µ) e z = vakio (6.37)
[ (µ/µ0 ) − 1 (a ) 3
B0 (2e r cos θ + e θ sin θ) , (6.38)
(µ/µ 0 ) + 2]
r
missä e z on ulkoisen magneettikentän suuntainen, koordinaatiston origo on
pallon keskipisteessä ja kulma θ on poikkeama z-akselilta. Laiskempi laskija
huomaa, että B-kenttä vastaa sähköstatiikan D-kenttää, ja kirjoittaa
tulokset suoraan symboleja vaihtamalla.
Esimerkki. Tasaisesti magnetoituneen pallon kenttä tyhjiössä
Olkoon pallon säde a ja vakiomagnetoituma M = Me z . Tilanne on jälleen
aksiaalisymmetrinen, joten magneettinen skalaaripotentiaali pallon ulkopuolella
(1) ja sisällä (2) voidaan kirjoittaa (ks. kappale 2.8.2)
ψ 1 (r, θ) =
ψ 2 (r, θ) =
∞∑
C 1n r −(n+1) P n (cos θ) (6.39)
n=0
∞∑
A 2n r n P n (cos θ) . (6.40)
n=0
Nyt ei ole taustan kenttää, joten ulkokentässä kaikki r:n positiiviset potenssit
on jätettävä pois. Sisäkentässä ei puolestaan saa olla negatiivisia potensseja,
jotta ratkaisu olisi äärellinen pallon keskipisteessä. Reunalla r = a
H:n reunaehdosta seuraa yksinkertaisesti
B-kentässä on mukana myös magnetoituma
H 1θ = H 2θ (6.41)
B 1r = B 2r . (6.42)
1 ∂ψ 1
a ∂θ = 1 ∂ψ 2
a ∂θ . (6.43)
B(r) = −µ 0 ∇ψ(r) + µ 0 M(r) . (6.44)

6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 95
Magneettikentän normaalikomponentin jatkuvuus reunalla edellyttää, että
∂ψ 1
−µ 0
∂r = −µ ∂ψ 2
0
∂r + µ 0M cos θ . (6.45)
Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt
∞∑
(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)
n=0
∑
∞
µ 0 C 10 a −2 + µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n + 1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)
n=1
−µ 0 M cos θ = 0 .
Muistetaan, että Legendren polynomit ovat lineaarisesti riippumattomia
funktioita. Kun n = 0, saadaan ehdot
C 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)
µ 0 C 10 a −2 = 0 . (6.49)
Siis C 10 = 0 ja myös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutusta
kenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassa
C 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)
2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 , (6.51)
jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3 ; A 21 = M/3.
Kun n ≥ 2, yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n = 0.
Ongelma on ratkaistu 1 . Potentiaalit ovat
ja H-kentät saadaan näiden gradientteina
ψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)
ψ 2 (r, θ) = 1 Mr cos θ (6.53)
3
H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)
H 2 = − 1 3 Me z . (6.55)
Ulkoinen B-kenttä on µ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma on M = Me z , jää
pallon sisäiseksi B-kentäksi
B 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M , (6.56)
joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myös
suoraan integroimalla magnetoitumaa (yhtälö 6.17). Tasaisesti magnetoitunut
pallo on analoginen tasaisesti polarisoituneen pallon kanssa.
1 Olisi voitu myös päätellä suoraan, että sisäkentät ovat vakioita ja z-akselin suuntaisia.
Tällöin potentiaalin kehitelmässä kyseeseen tulevat vain cos θ-termit.

96 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
6.7 Kenttien E, D, B ja H merkityksestä
Olemme kutsuneet kenttiä D ja H apukentiksi. Kentät E ja B ovatkin siinä
mielessä enemmän peruskenttiä, että juuri ne vaikuttavat varausten liikkeeseen
Lorentzin voiman kautta. Toisaalta edellä olleessa esimerkissä todettiin
magnetoituvan pallon tapauksessa B:n käyttäytyvän samalla tavoin kuin
D eristepallon tapauksessa (huomaa myös nimitysanalogia: magneettivuon
tiheys – sähkövuon tiheys).
Myös nimityskäytännöissä on eroja. Vahvasti yleistäen voi sanoa, että
fyysikot kutsuvat B:tä magneettikentäksi kun taas insinöörit käyttävät sitä
nimitystä H-kentästä. Varsinkin radioaaltojen yhteydessä käytetään usein
nimenomaan E- ja H-kenttiä, sillä niiden avulla aaltoliikkeen keskeisimmät
yhtälöt näyttävät symmetrisemmiltä sähkö- ja magneettikenttien suhteen.
Niissä ongelmissa magnetoituma on usein merkityksetön eli B = µ 0 H, jolloin
B- ja H-kentät ovat fysikaalisesti aivan samat.
6.8 Molekulaarinen magneettikenttä
Tarkasteltaessa aineen magnetismia molekyylitasolla kenttien B ja H välinen
ero katoaa, sillä molekyylien ajatellaan sijaitsevan tyhjiössä ja mikroskooppinen
magneettikenttä B m tarkasteltavan molekyylin kohdalla voidaan korvata
mikroskooppisella kentällä H m , jolle B m = µ 0 H m . Molekulaarisen
magneettikentän muodostavat kaikki ulkoiset sähkövirrat ja kaikki molekulaariset
dipolit lukuunottamatta molekyyliä, jonka kohdalla kenttä lasketaan.
Tehdään tarkasteltavan pisteen ympärille onkalo, jonka ulkopuolinen
väliaine käsitellään jatkumona samalla tavalla kuin luvussa 3.6 molekulaarista
polarisoitumista määritettäessä. Molekulaarinen kenttä on siis
H m = H + H s + H near , (6.57)
missä H on makroskooppinen kenttä, H s onkalon reunoilla olevien pintadipolien
aiheuttama kenttä ja H near onkalon sisällä olevien dipolien tuottama
kenttä. Samanlaisella laskulla, jolla määritettiin E m aiemmin, saadaan (vrt.
tasaisesti magnetoitunut pallo)
H s = 1 3 M . (6.58)
Suurelle joukolle aineita H near on merkityksettömän pieni, jolloin
H m = H + 1 3 M . (6.59)

6.9. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA 97
6.9 Para- ja diamagnetismista
Tarkastellaan hieman yksityiskohtaisemmin väliaineen vaikutusta magneettikenttään
rajoittuen kvalitatiiviseen käsittelyyn. Hyviä kuvauksia voi löytää
lukion oppikirjoistakin (esim. Kurki-Suonio et al., Kvantti 2, jota tässä on
käytetty yhtenä lähdeteoksena).
Aine magnetoituu ulkoisessa magneettikentässä. Väliaine ja kenttään
tuodut kappaleet synnyttävät oman kenttänsä. Tilanne on kuitenkin selvästi
erilainen kuin sähkökentän tapauksessa. Kaikkien aineiden polarisoituminen
sähkökentässä havaitaan siitä, että varattu kappale vetää puoleensa neutraalejakin
kappaleita. Sen sijaan magneeteilla on selvästi näkyvä vaikutus vain
harvoihin aineisiin. Lähellä olevat kappaleet ja väliaineet eivät siksi yleensä
häiritse merkittävästi magneettisia tutkimuksia.
Väliaineen vaikutusta magneettikenttään on yksinkertaista tutkia toroidikäämin
avulla, koska käämin kenttä on kokonaan toroidin sisällä (vrt. eristeiden
tutkimus kondensaattorin avulla). Kentän muoto ei muutu, jos toroidi
täytetään väliaineella, vaan ainoastaan magneettivuon tiheys muuttuu.
Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti µ r voidaan silloin mitata vertaamalla
magneettivuon tiheyttä käämissä väliaineen kanssa ja ilman sitä.
Koska suurimmalla osalla aineista suhteellinen permeabiliteetti on lähellä
ykköstä, käytetään useammin magneettista suskeptiivisuutta:
χ m = µ r − 1 (6.60)
ja monille aineille pätee yksinkertainen rakenneyhtälö
B = µ 0 (1 + χ m )H . (6.61)
Ainetta kutsutaan diamagneettiseksi, jos χ m < 0 ja paramagneettiseksi, jos
χ m > 0. Näille aineille on tyypillisesti |χ m | < 10 −3 , joten monissa käytännön
ongelmissa voidaan aineen permeabiliteetti olettaa samaksi kuin tyhjiön permeabiliteetti
(taulukko 6.1). Poikkeuksena ovat seuraavassa kappaleessa tarkasteltavat
ferromagneettiset aineet, jotka eivät noudata yksinkertaista magnetoitumislakia.
Aineen magneettisten ominaisuuksien mikroskooppinen selitys perustuu
useisiin eri tekijöihin. Alkeishiukkaset ovat pieniä alkeismagneetteja, joiden
magneettimomentti liittyy hiukkasten spiniin. Elektronin kiertoliike atomissa
vastaa virtasilmukkaa ja siitä aiheutuva magneettimomentti on samaa
suuruusluokkaa kuin spinin aiheuttama.
Rataliikkeestä johtuva magneettimomentti voidaan ymmärtää klassisella
mallilla, jossa elektroni kiertää r-säteistä ympyrärataa kulmataajuudella
ω = 2π/T . Malli vastaa virtasilmukkaa, jonka pinta-ala on A = πr 2 ja jossa

98 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
aine
alumiini
elohopea
happi
hopea
kulta
kupari
magnesium
timantti
titaani
typpi
vety
suskeptiivisuus
2, 1 · 10 −5
−2, 8 · 10 −5
193, 5 · 10 −8
−2, 4 · 10 −5
−3, 5 · 10 −5
−0, 98 · 10 −5
1, 2 · 10 −5
−2, 2 · 10 −5
18 · 10 −5
−0, 67 · 10 −8
−0, 22 · 10 −8
Taulukko 6.1: Joitain diamagneettisia (χ m < 0) ja paramagneettisia (χ m >
0) aineita. Suskeptiivisuudet on annettu huoneenlämpötilassa. Kaasujen tapauksessa
on lisäksi oletettu normaali ilmanpaine.
kulkee virta I = q/T = qv/2πr. Merkitään magneettimomenttia tässä selvyyden
vuoksi µ:lla eli µ = IA = qvr/2. Elektronin liikemäärämomentti radan
keskipisteen suhteen on L = m e vr. Ottaen huomioon, että kyse on vektorisuureista,
voidaan suuntasäännöt muistaen kirjoittaa µ = −e/(2m e )L,
joka vastaa myös havaintoja. Samaan tulokseen päädytään, jos tarkastellaan
pyörivän hiukkasen magneettimomentin ja liikemäärämomentin suhdetta.
Elektronin spinistä johtuva magneettimomentti on kuitenkin tähän
verrattuna kaksinkertainen, joten klassinen kuva ei tässä anna oikeaa ennustetta.
Kvanttimekaniikassa osoitetaan, että elektronin magneettinen momentti
on Bohrin magnetonin µ B ≡ e/2m e = 9, 27 · 10 −24 A m 2 suuruusluokkaa.
Täsmällisemmin
µ e = 1 2 g eµ B , (6.62)
missä g e = 2.002319 on nk. Landen g-tekijä. Ottamalla käyttöön puolestaan
ydinmagnetoni µ N ≡ e/2m p voidaan protonin ja neutronin magneettiset
momentit lausua muodossa
µ p = 1 2 g pµ p (6.63)
ja
µ n = 1 2 g nµ p , (6.64)
missä Landen tekijät ovat g p = 5, 5856912 ja g n = −3, 8260839. Elektronin
magneettimomentti on siis noin 660 kertaa suurempi kuin protonin ja
noin 1000 kertaa suurempi kuin neutronin magneettimomentti, joten elekt-

6.10. FERROMAGNETISMI 99
ronit määräävät aineen magneettiset ominaisuudet. Huomaa kuitenkin, että
neutronikaan ei magneettisessa mielessä ole täysin neutraali.
Atomin magneettimomentti muodostuu elektronien spinien ja rataliikkeen
magneettimomenteista, jotka yleensä pyrkivät kumoamaan toisensa pareittain.
Jos atomilla tai molekyylillä on parillinen määrä elektroneja, sillä ei
yleensä ole magneettimomenttia. Muuten atomien magneettimomentit ovat
samaa suuruusluokkaa kuin elektroneilla.
Ulkoinen magneettikenttä suuntaa atomien ja metallien vapaiden elektronien
magneettimomentteja siten, että niiden kenttä vahvistaa ulkoista
kenttää aineessa. Tämä selittää paramagnetismin. Lämpötilan noustessa
lämpöliike häiritsee atomien järjestäytymistä, jolloin suskeptiivisuus pienenee.
Vastaavasti lämpötilan nousu heikentää pysyvien sähködipolien suuntautumisesta
aiheutuvaa polarisoitumista.
Ulkoinen magneettikenttä vaikuttaa myös elektronien rataliikkeeseen.
Vapaan elektronin liikerata magneettikenttää vastaan kohtisuorassa tasossa
on ympyrä ja liikkeen suunta sellainen, että rataliikkeeseen liittyvä magneettimomentti
suuntautuu ulkoista kenttää vastaan. Myös atomeihin sidotut
elektronit tuntevat saman efektin, joten atomiin indusoituu heikko ulkoista
kenttää pienentävä magneettimomentti. Tämä selittää diamagnetismin. Itse
asiassa kaikki aineet ovat diamagneettisia, mutta paramagneettisissa aineissa
diamagneettinen efekti peittyy molekyylien magneettimomenttien alle,
jos molekyyleillä on magneettimomenttia (vrt. pysyvä ja indusoituva polarisaatio
sähkökentän vaikutuksesta). Diamagneettinen suskeptiivisuus ei riipu
merkittävästi lämpötilasta, koska atomien lämpöliike ei pysty häiritsemään
nopeasti ulkoiseen kenttään sopeutuvia elektroneja.
6.10 Ferromagnetismi
Joissain kiinteissä aineissa atomien välinen vuorovaikutus pyrkii suuntaamaan
magneettimomentit samansuuntaisiksi, jolloin muodostuu atomin kokoon
nähden suuria magneettisia alkeisalueita. Ulkoinen kenttä puolestaan
kasvattaa alkeisalueita ja pyrkii kääntämään kaikkien alueiden magneettimomentit
samansuuntaiseksi. Tämä on ferromagnetismin perusmekanismi. Ferromagneettisia
aineita ovat esimerkiksi rauta, koboltti ja nikkeli sekä näiden
monet yhdisteet. Riittävän korkeassa lämpötilassa, nk. Curie-pisteessä, ferromagneettinen
aine muuttuu paramagneettiseksi. Raudan Curie-piste on
770 ◦ C ja nikkelin 358 ◦ C.
Myös ferromagneettisille aineille on tapana kirjoittaa rakenneyhtälö permeabiliteetin
avulla, mutta nyt µ = µ(H) ei välttämättä ole yksikäsitteinen
funktio. Hystereesi-ilmiössä magnetoivan kentän H ja aineen magneettivuon
tiheyden B välinen yhteys on erilainen riippuen siitä, ollaanko magnetoivaa

100 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
b
magneettivuon tiheys B
b
a
c
c
magnetoiva kenttä H
Kuva 6.3: Magneettivuon tiheys ferromagneettisessa aineessa ei ole magnetoivan
kentän yksikäsitteinen funktio. Kuvaan on piirretty myös magnetoitumiskäyrä
(a).
kenttää kasvattamassa vaiko pienentämässä (kuva 6.3). Suskeptiivisuus χ m
on siis kentän H funktio ja yleisesti ottaen iso.
Kun kentän H voimakkuutta kasvatetaan, aineen magnetoituminen voimistuu.
Tätä voi jatkua kuitenkin vain tiettyyn kyllästysarvoon M s asti.
Tämän jälkeenkin B-kenttä jatkaa kasvamistaan lineaarisesti termin µ 0 H
myötä. Olkoon ferromagneetti nyt magnetoitu tällä tavoin ja annetaan H:n
alkaa pienetä. Nyt B-kenttä ei pienene saman käyrän mukaisesti vaan tapahtuu
hystereesi-ilmiö.
Ferromagnetismin vastakohta on tilanne, jossa järjestyneen vastakkaissuuntaisista
spineistä muodostuvan rakenteen magneettinen momentti on
nolla. Tällaista ainetta kutsutaan antiferromagneetiksi. Antiferromagneetit
eivät ole kovin yleisiä. Esimerkkejä niistä ovat kromi (Cr), NiO, FeMn ja
raskasfermionisuprajohde URu 2 Si 2 .
Paljon yleisempi järjestynyt rakenne on sellainen, jossa on vastakkaisia
spinejä, mutta kuitenkin nollasta poikkeava kokonaismagneettimomentti.
Tällaisia aineita kutsutaan ferriiteiksi. Niitä ovat esimerkiksi tietyt rautaoksidit
(MOFe 2 O 3 , missä M on jokin kaksivalenssinen metalli-ioni). Tutuin
ferriitti lienee magnetiitti (Fe 3 O 4 ). Ferriittien teknologinen merkitys on niiden
korkeissa magnetoituman kyllästymisarvoissa ja huonossa sähkönjohtavuudessa.
Ferriittien tyypilliset resistiivisyydet ovat luokkaa 1–10 4 Ω m, kun
raudan resistiivisyys on vain 10 −7 Ω m. Ferriittejä käytetään etenkin korkeataajuuslaitteissa,
joissa pyörrevirtoihin liittyvä energianhäviö on ongelma.

Luku 7
Sähkömagneettinen induktio
Toistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti
kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään,
mikä puolustaisi Feynmanilta kurssin alussa lainattua toteamusta sähkömagneettisen
kentän kuvittelemisen vaikeudesta. Tässä luvussa alamme tutustua
ajasta riippuviin kenttiin ja siirrymme alueelle, jossa mielikuvitus
joutuu paljon kovemmalle koetukselle.
7.1 Faradayn laki
Sähköstaattiselle kentälle pätee ∮ C
E · dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinen
ja siten integraali ei ole nolla, silmukkaan C sanotaan indusoituvan
sähkömotorisen voiman (smv)
∮
E = E ′ · dl . (7.1)
C
Tässä E ′ (r) on kenttä silmukka-alkion dl(r) kohdalla. Havaintojen mukaan
smv vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutosta:
E = − dΦ
dt = − d ∫
B · n dS . (7.2)
dt
Tämä on Faradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuon
tiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipu
fysikaalisen silmukan, esim. virtapiirin, olemassaolosta, vaan pätee annettua
reittiä C pitkin lasketulle integraalille. Faradayn laki on kokeellinen luonnonlaki,
jota ei voi johtaa muista luonnonlaeista.
Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti.
Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinen
jännite, koska se lasketaan aina suljetun silmukan yli!
101
S

102 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
Jos tarkastellaan liikkuvia silmukoita ja mahdollisesti liikkeen mukana
muuttuvia silmukoita, on oltava huolellinen. Faradayn lain integraalimuodossa
olevassa kokonaisaikaderivaatassa on otettava huomioon nämä muutokset.
On tärkeää huomata, että E ′ (r) on sähkökenttä alkion dl(r) kohdalla
koordinaatistossa, jossa dl on levossa. Jos nimittäin silmukka on todellinen
virtapiiri, niin kenttä E ′ aiheuttaa siinä induktiovirran.
Oletetaan seuraavassa aluksi, että Faradayn laissa olisi kokeellisesti määritettävä
verrannollisuuskerroin k siten, että
∮
E ′ · dl = −k d ∫
B · n dS . (7.3)
C dt S
Vedotaan lisäksi klassiseen Galilei-invarianssiin eli siihen, että toistensa suhteen
vakionopeudella v liikkuvissa koordinaatistoissa K ja K ′ fysiikan lait
ovat samat muunnoksessa r ′ = r + vt; t ′ = t .
Vuon muutos silmukan läpi voi johtua eksplisiittisestä aikariippuvuudesta
(∂/∂t) tai muutoksesta liikkeen vuoksi (v · ∇) eli d/dt = ∂/∂t + v · ∇.
Nyt on helppo harjoitustehtävä osoittaa, että
∫
∫
d
∂B
B · n dS =
dt S
S ∂t
∮C
· n dS + B × v · dl . (7.4)
Tällöin Faradayn laki saa muodon
∮
∫
(E ′ ∂B
− k(v × B)) · dl = −k · n dS . (7.5)
C
S ∂t
Tämä voidaan tulkita toisinkin. Tilannetta sivusta tarkastelevan levossa olevan
havaitsijan voi ajatella katsovan paikallaan olevaa silmukkaa C. Faradayn
laki sovellettuna tällaiseen kiinteään silmukkaan on
∮
∫
∂B
E · dl = −k · n dS , (7.6)
C
S ∂t
missä E on kyseisen havaitsijan näkemä kenttä. Galilei-invarianssin perusteella
on oltava E ′ = E + k(v × B).
Tarkastellaan sitten todellisessa johtimessa liikkuvaa virtaa kuljettavaa
elektronia. Silmukan C mukana liikkuvan koordinaatiston suhteen johdinelektronit
ovat käytännössä levossa (tässä kannattaa ajatella tavanomaista
metallijohdinta ja siinä kulkevaa sähkövirtaa). Elektroneihin vaikuttavassa
Lorentzin voimassa on siis vain sähköinen osuus qE ′ . Ulkopuolisen havaitsijan
mielestä Lorentzin voima on q(E + v × B), joten on oltava k = 1.
Nyt Faradayn laki saadaan helposti differentiaalimuotoon. Oletetaan,
että silmukka C on levossa valitussa koordinaatistossa. Tällöin myös kentät

7.1. FARADAYN LAKI 103
B ja E on määritelty samassa koordinaatistossa. Stokesin kaavan avulla
saadaan
∫
∫
∂B
∇ × E · n dS = − · n dS . (7.7)
∂t
S
Koska silmukka on muuten mielivaltainen, on oltava
S
∇ × E = − ∂B
∂t . (7.8)
Tämä on kolmas Maxwellin yhtälöistä. Juuri tätä muotoa tarkoitetaan useimmiten
puhuttaessa Faradayn laista.
Huom. Tarkasteltaessa liikkuvaa silmukkaa oletettiin implisiittisesti, että
B ′ = B. Tämä on totta kertalukuun (v/c) 2 asti. Kenttien relativistisiin
muunnoskaavoihin perehdytään luvussa 14. Faradayn laki ei kuitenkaan ole
approksimaatio, vaan yhtälö on saman muotoinen kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa,
jotka saadaan toisistaan Lorentzin muunnoksella.
Faradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: “Induktiovirta
vastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa”. Induktiovirta kuluttaa energiaa.
Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämä merkitsee,
että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksen
voittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvan
virran suunta, mikä saattaa olla vaikeaa tehdä suoraan aikaderivaatan
ja roottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista.
Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta.
Vain sähkökenttä voi tehdä työtä varaukselliseen hiukkaseen. Betatronissa
muuttuva magneettikenttä indusoi hiukkasia kiihdyttävän sähkökentän.
Esimerkki. Liikkuva johdin magneettikentässä
Tarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinä
magneettikentässä liikkuvaa johdetankoa (kuva 7.1). Oletetaan,
että johdetanko ab (pituus l) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja
ja saapuu alueeseen x > x 0 , jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa
silmukan tasoa vastaan. Asetetaan välille cd suuriresistanssinen
jännitemittari, joten silmukan abcda ollessa kokonaan magneettikentän ulkopuolella
siinä ei kulje virtaa.
Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa Lorentzin
voima
F = q(E + v × B) . (7.9)
Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangon
eri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiota
ja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuu pisteestä
a kohti pistettä b ja kentän suuruus on E = vB. Tangon päiden a ja

104 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
c
V
d
n
b
v B
a
x
x
0
Kuva 7.1: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdintanko. Huomaa
positiivisten suuntien valinnat.
b välillä on jännite
V ab = ϕ a − ϕ b =
∫ b
a
E · dl = El = Blv . (7.10)
Tämä on siis liikkeen indusoima potentiaaliero. Sitä kutsutaan joskus myös
liikkeen indusoimaksi smv:ksi, mitä se ei itse asiassa ole, koska smv määritellään
integraalina suljettua lenkkiä pitkin.
Potentiaalieron laskemiseksi ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan
mikrofysikaalinen tarkastelu riitti. Toisaalta voidaan laskea magneettivuo
silmukan abcda läpi, kun johdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla
integroimispinnan eli silmukan tason normaalivektori magneettikentän
suuntaiseksi saadaan vuon muutosnopeudeksi
dΦ
dt = B dA dx
= Bl = Blv , (7.11)
dt dt
joten Faradayn lain mukaan silmukkaan indusoituu smv
− dΦ
dt
= −Blv . (7.12)
Merkki kertoo, että sähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan merkittyä positiivista
kiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarin
kohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siis
pienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi.
Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu l) saapuu magneettikenttään
nopeudella v. Oikosuljetaan piiri, jolloin siinä voi kulkea virta. Silmukan
tullessa magneettikenttään vuon muutos on vakio (−Blv), ja piiriin syntyvän
myötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on Blv/R (R on piirin
resistanssi). Kun silmukka on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo ei

7.2. ITSEINDUKTIO 105
enää muutu ja virta lakkaa kulkemasta (itseinduktion takia virran kulku ei
käytännössä lopu aivan heti). Kannattaa huomata, että induktioilmiö voitaisiin
tässäkin tapauksessa selittää Lorentzin voiman avulla.
Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainen
voima F suuruudeltaan BlI, joten silmukan kiskomiseen tarvittava
teho on F v = BlIv. Tämä on yhtä suuri kuin virtasilmukan ohmiset
tehohäviöt.
Oletetaan nyt, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x > x 0 eikä liiku.
Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) =
Bvt/l. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) = Bvlt. Vuon muutos on
siis sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevana erona on
se, ettei induktioilmiötä voida tässä tapauksessa selittää Lorentzin voiman
avulla.
Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastella
myös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hän ei havaitse magneettista
voimaa (v × B = 0, koska hänen koordinaatistossaan v = 0), joten
taas tarvitaan induktiolakia selittämään sähkömotorisen voiman syntyminen.
Se, että tarkasteltaessa induktiolakia eri koordinaatistoissa sama lopputulos
näyttää selittyvän erilaisella fysiikalla eli joko käyttäen Lorentzin voimaa
tai sähkömotorista voimaa, vaikuttaa ikävän epäsymmetriseltä. Tämän
epäsymmetrian selvittäminen oli avainasemassa, kun Einstein kehitti suppeamman
suhteellisuusteorian vuonna 1905. Koska Maxwellin yhtälöt lopulta
osoittautuivat Lorentz-invarianteiksi, Faradayn laki differentiaalimuodossa
on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, mutta koordinaatiston
muunnos on tehtävä käyttäen Lorentzin muunnosta, johon palataan luvussa
14.
7.2 Itseinduktio
Tarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensä
aiheuttama. Biot’n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuu
lineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassa
silmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, joten
dΦ
dt = dΦ dI
dI dt . (7.13)
Virran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointa
L = dΦ
dI
(7.14)

106 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
kutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinen
virtaan, niin L = Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voiman
E = −L dI
dt . (7.15)
Koska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, niin induktanssin SIyksikkö
on V s A −1 ≡ H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten,
että virtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti.
Itseinduktio korostuu, jos piirissä on käämi, koska silloin piirin induktanssi
on käytännössä sama kuin käämin induktanssi.
Esimerkki. Toroidaalisen kelan itseinduktanssi
Kierretään johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri (poikkileikkauksen
pinta-ala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaan virtaa
syöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osa on koaksiaalikaapeli,
joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèren kiertosääntö
antaa magneettikentäksi toruksen sisällä
B = µ 0 NI/l , (7.16)
missä l on toruksen keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisen
yksittäisen kierroksen läpi on
Φ 1 = µ 0 NIA/l (7.17)
ja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo on Φ = NΦ 1 , josta saadaan induktanssi
L = dΦ
dI = µ 0N 2 A/l . (7.18)
7.3 Keskinäisinduktio
Tarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkien
silmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossa
Φ i =
Tähän silmukkaan indusoituu smv
E i = −
n∑
Φ ij . (7.19)
j=1
n∑
j=1
dΦ ij
dt
. (7.20)

7.3. KESKINÄISINDUKTIO 107
Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vain
siinä kulkevan virran I j muutoksesta, joten
dΦ ij
dt
= dΦ ij
dI j
dI j
dt . (7.21)
Kertoimia
M ij = dΦ ij
dI j
, i ≠ j . (7.22)
kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi. Näistä M ii =
L i on silmukan i itseinduktanssi. Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen,
M ij :t ovat vakioita. Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen
riippuen virtojen kulkusuunnista silmukoissa.
Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessa väliaineessa (yksinkertaisuuden
vuoksi µ = µ 0 ). Tällöin
M 21 = Φ 21
I 1
. (7.23)
Lasketaan magneettikenttä Biot’n ja Savartin lailla ja integroidaan siitä
magneettivuo
Φ 21 = µ [∮
]
0
4π I dl 1 × (r 2 − r 1 )
1
∫S 2 C 1
|r 2 − r 1 | 3 · n dS 2 . (7.24)
Käyttämällä vektorityökalupakista saatavaa kaavaa
∮
∮
dl 1 × (r 2 − r 1 )
dl 1
C 1
|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 2 ×
C 1
|r 2 − r 1 |
saadaan
M 21 = µ ∫
0
∇ 2 ×
4π S 2
= µ 0
4π
∮C 2
∮
[∮
]
dl 1
· n dS 2
C 1
|r 2 − r 1 |
(7.25)
dl 1 · dl 2
., (7.26)
C 1
|r 2 − r 1 |
Tätä kutsutaan Neumannin kaavaksi. Se ei ole kovin käytännöllinen, mutta
osoittaa, että keskinäisinduktanssi on puhtaasti silmukoiden geometriasta
johtuva suure ja siten silmukoiden itsensä ominaisuus. Silmukoissa kulkeva
sähkövirta ei vaikuta lineaarisessa tapauksessa induktanssiin. Lisäksi keskinäisinduktanssi
on symmetrinen silmukoiden vaihtamisen suhteen (M 12 =
M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältä hieman yllättävältä.
Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen varsin
yksinkertaista: Syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoima
smv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisen vaihtovirran
avulla.

108 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
7.4 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko
Palataan lopuksi perusongelmien pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaan
levyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.2). Keskellä
on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainen
varausjakauma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan,
että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissä
katkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?
I
Kuva 7.2: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunalla
on tasaisin välein varattuja palloja.
Vastaus 1: Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän.
Geometrian perusteella sähkökentän kenttäviivat ovat ympyröitä,
joiden keskipiste on levyn akselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa
silloin vääntömomentin, jonka takia levy alkaa pyöriä.
Vastaus 2: Laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla.
Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin 1 säilymislain
perusteella levy ei ala pyöriä.
Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain?
Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, niin sovellettiinko induktiolakia
väärin? Kysymykseen palataan luvussa 9.
1 Liikemäärämomenttia kutsutaan usein myös impulssimomentiksi tai pyörimismääräksi.
Tällaisessa tilanteessa jälkimmäinen onkin kaikkein havainnoillisin nimitys. Liikemäärämomenttia
ja liikemäärää ei missään tapauksessa saa sekoittaa toisiinsa!

Luku 8
Magneettinen energia
Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin
on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän
muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän
luominen edellyttää työtä.
8.1 Kytkettyjen virtapiirien energia
Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jonka vastus on R. Oletetaan,
että aluksi virta I = 0 ja liitetään virtapiiriin hetkellä t = 0 jännitelähde V .
Tällöin
V + E = IR , (8.1)
missä E on virtasilmukkaan indusoituva smv. Jännite tekee työtä siirtämällä
varauksia silmukassa. Differentiaalisen varauksen dq = I dt osalta työ on
V dq = V I dt = −EI dt + I 2 R dt = I dΦ + I 2 R dt . (8.2)
Termi I 2 R dt antaa resistiivisen energian hävikin (Joulen lämmitys). Termi
I dΦ on indusoitunutta sähkömotorista voimaa vastaan tehty työ, joka
tarvitaan magneettikentän muuttamiseen
dW b = I dΦ , (8.3)
missä alaindeksi b viittaa ulkoisen jännitelähteen (battery) tekemään työhön.
Tarkastellaan sitten systeemiä, joka koostuu n:stä virtapiiristä, jolloin
dW b =
n∑
I i dΦ i . (8.4)
i=1
109

110 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
Jos kaikki vuon muutokset ovat peräisin systeemin silmukoissa tapahtuvista
muutoksista, niin
n∑ dΦ ij
n∑
dΦ i = dI j = M ij dI j . (8.5)
dI j
j=1
Oletetaan lisäksi, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energian
muutoksiin ei liity mekaanista työtä. Tällöin dW b on yhtä suuri kuin magneettisen
energian muutos dU 1 .
Rajoitutaan yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuon ja virran
välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan systeemin energia lähtien tilasta,
jossa virtoja ei ole. Lineaarisuudesta johtuen lopullinen energia ei riipu
tavasta, jolla tila on saavutettu. Näin ollen virtoja voidaan kasvattaa nollasta
lopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I i ′ = αI i, missä α kasvaa
0 → 1. Tällöin dΦ i = Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on
∫ ∫ 1 n∑
n∑
∫ 1
U = dW b = I iΦ ′ i dα = I i Φ i α dα = 1 n∑
I i Φ i . (8.6)
2
0
i=1
i=1
Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yli
U = 1 n∑ n∑
M ij I i I j , (8.7)
2
i=1 j=1
josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi)
U = 1 2 IΦ = 1 2 LI2 = 1 Φ 2
2 L . (8.8)
Tämä virtasilmukan magneettikenttään varastoitunut energia on analoginen
kondensaattorin sähkökenttään varatoituneelle energialle Q 2 /(2C). Kahdelle
silmukalle saadaan
j=1
0
i=1
U = 1 2 L 1I 2 1 + 1 2 L 2I 2 2 + MI 1 I 2 , (8.9)
missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksi
jää osoittaa, että L 1 L 2 ≥ M 2 .
8.2 Magneettikentän energiatiheys
Oletetaan väliaine edelleen lineaariseksi ja virtapiirit yksinkertaisiksi silmukoiksi.
Tällöin magneettivuoksi saadaan Stokesin lauseen avulla
∫
∫
∮
Φ i = B · n dS = ∇ × A · n dS = A · dl i , (8.10)
S i S i C i 1 Virrat oletetaan tässä riittävän hitaasti muuttuviksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon
säteilyhäviöitä.

8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 111
joten magneettinen energia on
U = 1 2
∑
∮
i
C i
I i A · dl i . (8.11)
Siirrytään sitten tilanteeseen, missä sähkövirta on tilavuusvirtaa J ja C i
on suljettu lenkki johtavassa väliaineessa. Tilannetta voi ajatella suurena
joukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i → J dV ja
∑
i
∮
C i
→ ∫ V eli U = 1 2
∫
V
J · A dV . (8.12)
Sähköstatiikassa energia lausuttiin vastaavasti varaustiheyden ja sähköstaattisen
potentiaalin tulon integraalina (luku 4.2).
Koska ∇ × H = J ja ∇ · (A × H) = H · ∇ × A − A · ∇ × H, niin
divergenssiteoreemaa käyttämällä saadaan
U = 1 2
∫
V
H · ∇ × A dV − 1 2
∫
S
A × H · n dS . (8.13)
Järkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen, joten pinta
S voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. r:n kasvaessa staattinen H-
kenttä heikkenee vähintään kuten 1/r 3 ja vektoripotentiaali A vähintään
kuten 1/r 2 . Pinta puolestaan kasvaa kuten r 2 . Pintaintegraali pienenee kuten
1/r 3 tai nopeammin r:n kasvaessa, siis vielä paljon nopeammin kuin
pintatermi sähkökentän tapauksessa luvussa 4.2. Tilavuusintegraali voidaan
laskea koko avaruuden yli, jolloin
U = 1 2
∫
B · H dV . (8.14)
Samoin kuin sähköstaattisen energian tapauksessa voidaan määritellä magneettinen
energiatiheys
u = 1 2 B · H . (8.15)
Tulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine on
lisäksi isotrooppista, saadaan
u = 1 2 µH2 = 1 B 2
2 µ . (8.16)
Huom. Tässä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Kentän energia yleisessä
ajasta riippuvassa tilanteessa käsitellään luvussa 9. Säteilykenttien tapauksessa
pintaintegraalit eivät automaattisesti häviä suurillakaan etäisyyksillä.

112 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
Esimerkki. Koaksiaalikaapelin energiatiheys
Tarkastellaan koaksiaalikaapelia, jonka keskellä on a-säteinen johdin, sen ulkopuolella
sylinterisymmetrisesti eristekerros välillä a ≤ r ≤ b, jonka ulkopuolella
on jälleen johtava sylinterisymmetrinen kerros b ≤ r ≤ c. Oletetaan,
että kaikkialla µ = µ 0 . Kulkekoon sisäjohtimessa tasaisesti jakautunut virta
I ja ulkojohtimessa virta −I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttä
on Ampèren kiertosäännön perusteella
B = B θ (r) e θ = µ 0I(r)
2πr
e θ . (8.17)
Tarkastellaan sisempää johdinta (0 ≤ r ≤ a). Tällöin I(r)/I = (πr 2 )/(πa 2 ),
joten
B θa = µ 0Ir
2πa 2 (8.18)
ja magneettinen energiatiheys on
u a = B2
2µ 0
= µ 0I 2 r 2
8π 2 a 4 . (8.19)
Sisemmän johteen yli integroitu energia l:n pituisella matkalla on
U a =
∫ l ∫ 2π ∫ a
0
0
0
µ 0 I 2 r 2
8π 2 a 4 r dr dθ dz = µ 0lI 2
16π . (8.20)
Johtimien välissä kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrasta
B θb = µ 0I
2πr
u b = µ 0I 2
8π 2 r 2 (8.21)
U b = µ 0lI 2
4π ln b a ,
missä siis kokonaisenergia tarkoittaa johtimien välisessä alueessa olevaa kokonaisenergiaa.
Uloimmassa johtimessa vastaavat lausekkeet ovat
( )
µ 0 I c
2
B θc =
2π(c 2 − b 2 ) r − r
µ 0 I 2 ( )
c
4
u c =
8π 2 (c 2 − b 2 ) 2 r 2 − 2c2 + r 2 (8.22)
µ 0 lI 2 [
U c =
4π(c 2 − b 2 ) 2 c 4 ln c b − 1 ]
4 (c2 − b 2 )(3c 2 − b 2 ) .
Koaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin on siellä
nolla.

8.3. RLC-PIIRI 113
8.3 RLC-piiri
Kerrataan fysiikan peruskursseilta tuttujen RLC-piirien perusasioita induktion
ja sähkömagneettisen energian havainnollistamiseksi. Tarkastellaan yksinkertaista
virtapiiriä, jossa on sarjaan kytkettynä vastus (resistanssi R),
käämi (induktanssi L) ja kondensaattori (kapasitanssi C) (kuva 8.1). Lisäksi
piirissä on jännitelähde V (t).
R
L
–q
C
q
I
V
Kuva 8.1: Yksinkertainen RLC-piiri. Kondensaattorilevyn, johon positiivinen
virta tuo varausta, varaus olkoon +q, jolloin I = dq/dt.
Valitaan kondensaattorin varauksen merkki ja virran positiivinen suunta
kuvan 8.1 mukaisesti. Kirchhoffin säännön mukaan 2
V − L dI
dt
= RI + q/C (8.23)
eli piirin smv on yhtä suuri kuin sen jännitehäviöt. Derivoimalla ajan suhteen
ja käyttämällä yhteyttä dq/dt = I saadaan virralle toisen kertaluvun
differentiaaliyhtälö
d 2 I
dt 2 + R dI
L dt + 1
LC I = 1 dV
L dt . (8.24)
Ideaalisessa tapauksessa piirin vastus on häviävän pieni (LC-piiri). Oletetaan,
ettei piirissä myöskään ole jännitelähdettä. Tällöin yhtälö (8.24)
redusoituu harmonisen värähtelijän liikeyhtälöksi kulmataajuudella ω =
1/ √ LC. Kondensaattorin varaus alkaa aluksi purkautua käämin kautta.
Itseinduktion takia tämä ei tapahdu silmänräpäyksessä, sillä induktiovirta
kulkee myös sen hetken jälkeen, jolloin kondensaattorin varaus on nolla.
Virta kulkee samaan suuntaan kunnes levyjen varaukset ovat alkutilaan
nähden vastakkaismerkkiset. Sen jälkeen kondensaattorin varaus alkaa taas
purkautua jne. Jos kondensaattorin varaus on aluksi Q, niin ajan funktiona
se muuttuu sinimuotoisesti: q(t) = Q cos ωt ja I(t) = −ωQ sin ωt.
2 Jos Kirchhof on päässyt unohtumaan, kannattaa vilkaista peruskurssin oppikirjaa!

114 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
Systeemin sähkömagneettinen energia on U(t) = LI 2 /2 + q 2 /(2C) =
Q 2 /(2C) eli koko ajan sama kuin kondensaattorin sähköstaattinen energia
aluksi. Kokonaisenergia siis säilyy, mutta vaihtelee edestakaisin sähkö- ja
magneettikentän energioiden välillä. Mahdollisia äteilyhäviöitä ei tässäkään
tapauksessa ole huomioitu.
Todellisessa piirissä on aina jonkin verran resistanssia. Laskenta on suoraviivaista
differentiaaliyhtälöiden käsittelyä. Tässä on hyödyllistä kerrata
klassisen mekaniikan kurssilla käsitellyt vapaat, pakotetut ja vaimennetut
oskillaattorit. Jälleen samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut. Tähän yhteyteen
sopii esimerkkinä tilanne, jossa piiriin kytketään tasajännite V hetkellä
t = 0 ja kondensaattori on alkuhetkellä varaamaton. Piirin virta on
I(t) = (V 0 /ωL)e −Rt/(2L) sin ωt , (8.25)
missä ω = √ 1/LC − (R/(2L)) 2 . Kulmataajuus ω voi tässä tapauksessa
olla imaginaarinen, jolloin kyseessä on ylivaimentunut oskillaattori. Joka
tapauksessa piirin virta vaimenee ajan myötä eksponentiaalisesti. Kuvassa
8.2 on esitetty tilanne, jossa ω on reaalinen. Tässä vaiheessa kannattaa myös
miettiä, mitä virralle tapahtuu kondensaattorissa.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
virta
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 100 200 300 400 500 600 700
aika
Kuva 8.2: Vaimeneva värähtely RCL-piirissä. Katkoviivoilla on piirretty vaimennusfunktion
± exp(−Rt/2L) kuvaaja.
8.4 Epälineaariset energiahäviöt
Palataan ferromagnetismiin energianäkökulmasta. Todellinen makroskooppinen
ferromagneetti järjestäytyy huomattavasti molekyylitasoa rakeisemmin.
Aine koostuu ferromagneettisista alueista, jotka ovat magnetoituneet

8.4. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 115
eri suuntiin ja joiden välillä on suuruusluokkaa 100 atomin paksuisia seiniä.
Kun nämä alueet järjestyvät uudelleen ulkoisen kentän muuttuessa, syntyy
energiaa kuluttavaa kitkaa.
Tarkasteltaessa aiemmin sähkö- ja magneettikenttien energiaa väliaineet
oletettiin lineaarisiksi. Ferromagneettinen aine on kuitenkin epälineaarista
ja eteen tulee kysymys, mitä tapahtuu, kun hystereesisilmukkaa kierretään
ympäri. Tarkastellaan virtapiiriä, jonka muodostaa ferromagneettisen aineen
ympärille kierretty kela (N kierrosta), johon ulkoinen energialähde syöttää
virtaa.
Jos magneettivuo kelan läpi muuttuu tekijällä δΦ, niin ulkoinen energianlähde
tekee sähkömotorista voimaa vastaan työn
δW b = NIδΦ . (8.26)
Ajatellaan ferromagneetti pätkäksi magneettista vuoputkea, jossa siis magneettikenttä
poikkeaa nollasta. Tällöin kelan kohdalla Ampèren kiertosäännön
mukaan NI = ∮ H · dl. Merkitsemällä vuoputken pinta-alaa dl:n kohdalla
A:lla saadaan
∮
∮
∫
δW b = δΦ H · dl = A δB · H dl = δB · H dV . (8.27)
Mikäli ferromagneetti käyttäytyy palautuvasti, saadaan systeemin magneettinen
energia integroimalla magneettivuon tiheys arvosta B = 0 lopulliseen
arvoonsa. Lineaariselle aineelle tulos on tuttu
U = 1 ∫
H · B dV . (8.28)
2
V
Lauseke (8.27) on kuitenkin yleisempi ja soveltuu myös hystereesitilanteeseen.
Magneettikentän muutosta vastaava työ yksikkötilavuudessa on
V
dw b = H · dB . (8.29)
Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoon
H max , pienenee arvoon −H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan
(kuva 8.3). Työ pisteestä a pisteeseen b
(w b ) ab =
∫ b
a
H dB (8.30)
on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala ja se on positiivinen,
koska sekä H että dB ovat positiivisia. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselin
ja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koska

116 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
c
b
magneettivuon tiheys B
dB
a
d
magnetoiva kenttä H
Kuva 8.3: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä.
dB < 0. Samoin lasketaan työ negatiivisilla H ja lopputuloksena yhden hystereesisyklin
myötä tehty työ on silmukan sisään BH-tasossa jäävä pinta-ala
∮
w b = H dB . (8.31)
Täyden kierroksen jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, joten
sen magneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähde
on kuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden
uudelleen järjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton sähkömagneettisen
energian häviö lämmöksi. Tämän vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee.
Yleensäkin hystereesihäviöt on huomioitava rakennettaessa vaihtovirtalaitteita.
Ylläoleva lasku tehtiin yhdelle syklille, joten mitä korkeammalla taajuudella
laite toimii, sitä nopeammin hystereesi kuluttaa energiaa.
Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellä
magneettikentän voimakkuuden ja magnetoituman avulla. Tämä onnistuu
soveltamalla rakenneyhtälöä B = µ 0 (H + M)), joten
dw b = H · dB = µ 0 H dH + µ 0 H · dM . (8.32)
µ 0 H dH on tyhjiössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisen syklin.
µ 0 H · dM on materiaalille ominainen työ. Kierrettäessä koko sykli on tehty
työ
∮
∮
w b = µ 0 H dM = −µ 0 M dH , (8.33)
missä on käytetty hyväksi lauseketta d(MH) = H dM + M dH. Kokonaisdifferentiaalin
d(MH) integraali on nolla eikä siten voi riippua aineen ominaisuuksista.

8.5. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 117
8.5 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin
Annetaan virtapiirijärjestelmän yhden silmukkan siirtyä matkan dr. Oletetaan,
että silmukoissa kulkevat virrat säilyvät ennallaan. Tällöin magneettisen
voiman siirroksessa tekemä työ on dW = F · dr, joka koostuu kahdesta
osasta
dW = dW b − dU , (8.34)
missä dU on magneettisen energian muutos ja dW b on ulkoisten lähteiden
tekemä työ, jotta virrat pysyvät vakioina.
Eliminoidaan dW b olettamalla silmukat jälleen jäykiksi ja väliaine lineaariseksi.
Magneettisen energian muutos on
dU = 1 ∑
I i dΦ i . (8.35)
2
Toisaalta
dW b = ∑ I i dΦ i , (8.36)
i
joten dW b = 2 dU ja dU = F · dr eli oletettaessa virrat vakioiksi voima
saadaan energian positiivisena gradienttina
i
F = ∇U | I
. (8.37)
Usein sähkömagnetiikan laitteissa virtapiirin liike rajoittuu kiertymiseen
jonkin akselin ympäri. Tällöin dW = τ · dθ, missä τ on magneettinen
vääntömomentti ja dθ on kiertymän kulmaelementti. Vääntömomentti akselin
i suhteen on siten
( ∂U
τ i = . (8.38)
∂θ i
)I
Tarkasteltu tilanne on siis samantapainen kuin luvussa 4.4, jossa johdesysteemi
pidettiin vakiopotentiaalissa ulkoisen jännitelähteen avulla.
Joissain tapauksissa virtapiirien läpi kulkeva magneettivuo voidaan olettaa
vakioksi. Tällaisiin tilanteisiin joudutaan tarkasteltaessa hyvin johtavia
väliaineita kuten suprajohteita tai täysin ionisoitunutta harvaa plasmaa.
Tällöin mikään ulkoinen lähde ei tee työtä eli dW b = 0 ja
F · dr = dW = −dU . (8.39)
Nyt voiman ja vääntömomentin komponentit saadaan derivoimalla −U:ta
pitäen Φ vakiona, mikä vastaa sähköstatiikassa vapaiden johteiden systeemiä.
Sovellusesimerkki on avaruusaluksen asennonsäätö. Maapallon magneettikentän
vaikutuksen alaisena olevaan satellittiin rakennetaan kelajärjestelmä.
Kun satelliittia halutaan kääntää, ajetaan keloihin sellaiset virrat, että

118 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
satelliitti kääntyy haluttuun kulmaan magneettikenttään nähden. Menetelmän
etuna on se, että operaatio voidaan tehdä aurinkoenergian avulla;
haittana taas kentän pienuudesta johtuva vääntömomentin heikkous ja siten
operaation hitaus.
Esimerkki. Kahden virtasilmukan välinen voima
Palataan magnetostatiikan alkuun, missä puhuttiin Ampèren empiirisestä
lausekkeesta voimalle kahden virtasilmukan välillä (5.27). Lasketaan sama
tulos tämän luvun keinoin. Nyt on oltava tarkkana, sillä energian lauseketta
( 1 2 L 1I1 2 + 1 2 L 2I2 2 + MI 1I 2 ) on derivoitava silmukoiden välisen keskinäisen
etäisyyden suhteen. Selvintä on määritellä r 1 = R 1 + x 1 ja r 2 = R 2 + x 2 ,
jolloin R = R 2 − R 1 on silmukoiden keskipisteiden välinen etäisyys, josta
systeemin magneettinen energia riippuu (silmukoiden oletetaan säilyttävän
muotonsa ja suuntautumisensa). Koska vain keskinäisinduktanssi riippuu
R:stä, silmukoiden välinen magneettinen voima on
F(R) = I 1 I 2 ∇ R M(R) = µ 0I 1 I 2
4π
∇ R
∮C 1
∮
dl 1 · dl 2
C 2
|r 2 − r 1 |
= µ ∮
0I 1 I 2
4π
∇ dl 1 · dl 2
R
∮C 1 C 2
|R + x 2 − x 1 | . (8.40)
Tässä siis ∇ R viittaa derivointiin R:n suhteen. Derivointi voidaan viedä
integrointien ohitse:
F = − µ 0I 1 I 2
4π
= − µ 0I 1 I 2
4π
∮C 1
∮
∮C 1
∮
R + x 2 − x 1
dl 1 · dl 2
C 2
|R + x 2 − x 1 | 3
C 2
dl 1 · dl 2
r 2 − r 1
|r 2 − r 1 | 3 . (8.41)
Ensi silmäyksellä näyttää kuin olisi saatu eri tulos kuin aiemmin. Näin ei ole,
minkä osoittaminen jää harjoitustehtäväksi. Voiman lausekkeesta nähdään
välittömästi, että voiman ja vastavoiman laki pätee suljetuille virtasilmukoille.
Esimerkki. Tanko solenoidin sisällä
Luvussa 4 arvioitiin levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin kohdistuva
voima. Tutkitaan nyt solenoidin sisällä olevaa tankoa, jonka poikkipinta-ala
on A ja permeabiliteetti µ. Olkoon solenoidin pituus l ja muodostukoon
se N-kertaa kierretystä johtimesta, jossa kulkee vakiovirta I. Vedetään
tankoa ulos solenoidista, kunnes siitä on enää puolet sisällä, ja lasketaan tankoon
vaikuttava voima (kuva 8.4).

8.5. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 119
.......................................................................................
µ 0
F
µ a)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x0
0
∆x
.......................................................................................
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
∆x
x0
0
b)
Kuva 8.4: Solenoidiin työnnettyyn tankoon vaikuttava voima.
Ongelma olisi aika vaikea, jos kysyttäisiin alkuperäisen tai lopullisen tilanteen
todellista magneettista energiaa, koska silloin olisi huomioitava solenoidin
pään reunaefektit. Koska voima on energian gradientti, sen määrittämiseksi
riittää tarkastella kahden eri tilan eroa. Tarkastellaan oheisen kuvan
mukaista lyhyttä siirrosta. Kuvien a) ja b) välinen ero on, että pituusalkio
△x on siirretty kentän ulkopuolisesta osasta solenoidin sisään, kun taas hankalan
reunan kohdalla kaikki näyttää samalta molemmissa tilanteissa. Koska
H-kenttä on lähes pitkittäinen alueessa △x ja koska H-kentän tangentiaalikomponentti
on jatkuva sauvan sylinterinmuotoisen reunan yli, voidaan
magneettinen energia laskea lausekkeesta
U = 1 ∫
µH 2 dV , (8.42)
2
missä H on vakio sauvan sisä- ja ulkopuolella, koska I on vakio. Siirroksen
jälkeen energia on
U(x 0 + △x) ≈ U(x 0 ) + 1 ∫
(µ − µ 0 )H 2 dV
2
Voimalle saadaan arvio
A△x
= U(x 0 ) + 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2
l 2 A△x . (8.43)
F x = ∂U
∂x ≈ 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2 A
l 2 = 1 2 χ mµ 0 H 2 A . (8.44)
Voima osoittaa x:n positiiviseen suuntaan eli vetää sauvaa solenoidiin, jos
χ m > 0. Tässä tilanteessa systeemin magneettinen energia kasvaa ja tarpeellinen
energia saadaan virtalähteestä samaan tapaan kuin vakiojännitteessä
pidettävän kondensaattorin tapauksessa. Solenoidia ja tangon ulkopintaa
voi ajatella kahtena samansuuntaisena virtalevynä, jotka vetävät toisiaan
puoleensa.

120 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
8.6 Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa
Tarkastellaan aluetta V , jossa on stationaarinen virran tiheys J = ρv. Oletetaan
lisäksi, että alueessa on riittävän yksinkertaista ainetta, jolle B = µ 0 H.
Tilavuusalkioon dV kohdistuva magneettinen voima on dF = (ρdV )v×B =
J×B dV , joten voimatiheys on f = J×B = µ 0 J×H. Ampèren lain mukaan
f = µ 0 (∇ × H) × H. Tarkastellaan tätä yksittäisen karteesisen koordinaatin
(i) suuntaan
3∑
f i = µ 0 H j ∂ j H i − 1 2 µ 0∂ i H 2 . (8.45)
j=1
Otetaan mallia sähköstatiikasta ja määritellään magnetostaattinen Maxwellin
jännitystensori, jonka komponentit ovat
T (m)
ij
= B i H j − 1 2 δ ijB · H , (8.46)
jolloin
f i =
3∑
j=1
∂ j T (m)
ij
. (8.47)
Edelleen sähköstatiikan analogian perusteella saadaan kokonaisvoima
∫
F = ((n · H)B − 1 2 n(B · H)) dS = FS . (8.48)
∂V
Pintavoima F S voidaan osoittaa ekvivalentiksi voiman F kanssa samalla
tavalla kuin sähköstatiikassa. Seuraavassa luvussa opitaan, että staattisille
kentille määritelty jännitystensori sopii myös ajasta riippuvaan tilanteeseen
muodoltaan saman näköisenä.

Luku 9
Maxwellin yhtälöt
Nyt meillä on pystyssä elektrodynamiikan peruspilarit sellaisina, joina ne
tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen
ongelman: Mitä tapahtuu, jos varaustiheys ja siten sähkökenttä muuttuvat
ajallisesti? Ampèren laki pätee vain staattiselle systeemille ja ottamalla
siitä divergenssi nähdään, että ∇ · J = 0. Varaustiheyden mahdollisesti
muuttuessa pitäisi kuitenkin jatkuvuusyhtälön ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0 olla voimassa.
9.1 Siirrosvirta
Tarkastellaan kuvan 9.1 mukaista ajatuskoetta, jossa varataan kondensaattoria
sähkövirralla I.
C
kondensaattorilevyt
S 2
I(t) S 1
Kuva 9.1: Ampèren laki varattaessa kondensaattoria. Pinta S 1 on kondensaattorin
ulkopuolella, kun taas pinta S 2 kulkee levyjen välistä. Pinnoilla on
yhteinen reunakäyrä C.
121

122 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
Ampèren lain mukaan
∮
C
∫
H · dl = J · n dS = I ,
S 1
(9.1)
missä S 1 on pinta, jonka läpi virta I kulkee. Nyt kuitenkaan mikään ei
määrää, missä silmukan C rajoittaman yhdesti yhtenäisen pinnan tulisi olla.
Pinnaksi voidaan valita myös kondensaattorin levyjen välisen alueen kautta
piirretty pinta S 2 , joka ei leikkaa virtaa missään. Siinä tapauksessa
∮
H · dl =
C
∫
J · n dS = 0 .
S 2
(9.2)
Molemmat integraalit ovat matemaattisesti oikein, joten näennäisen ristiriidan
täytyy johtua puutteellisesti ymmärretystä fysiikasta. Ratkaisu on
siinä, että virta I tuo varausta kondensaattorin levylle eikä varaus poistu
systeemistä samaan tahtiin. Virralla on siis divergenssiä pintojen S 1 ja S 2
rajaamassa tilavuudessa.
Muotoillaan tämä huomio jatkuvuusyhtälönä
∇ · J + ∂ρ
∂t = 0 , (9.3)
jonka mukaan siis virran divergenssi kompensoituu varaustiheyden muutoksena
pintojen S 1 ja S 2 rajaamassa tilavuudessa. Varaustiheys voidaan ilmaista
Gaussin lain avulla
∇ · D = ρ , (9.4)
joten jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
(
∇ · J + ∂D )
= 0 . (9.5)
∂t
Maxwellin oivallus oli korvata virran tiheys Ampèren laissa ylläolevalla
sulkulausekkeella ja tuloksena oli neljäs Maxwellin laeista
∇ × H = J + ∂D
∂t , (9.6)
jota voi hyvällä syyllä kutsua Ampèren ja Maxwellin laiksi.. Termiä ∂D/∂t
kutsutaan kentänmuutosvirraksi, kenttävirraksi tai siirrosvirraksi.
Maxwellin idea siirrosvirrasta oli puhtaasti teoreettinen, sillä sen vaikutus
oli tuon aikaisissa lähes tasavirtakokeissa niin pieni, että mikään mittaus
ei ollut ristiriidassa Ampèren lain kanssa. Siirrosvirta alkaa olla verrattavissa
johtavuusvirtaan vasta, kun ωɛ/σ > 0.01 eli johteiden tapauksessa
taajuuksien on oltava erittäin korkeita. Eristeissä tilanne on toinen. Jo tavallisessa
50 Hz vaihtovirtapiirissä olevan kondensaattorin läpi kulkeva virta

9.2. MAXWELLIN YHTÄLÖT 123
on siirrosvirtaa. Kondensaattorin sisäistä virtaa ei tosin useinkaan tarvitse
tarkastella virtapiirianalyysissä kuten RLC-piiriä koskeneessa esimerkissä.
Koska siirrosvirta tulee tyypillisesti näkyviin vasta suurilla taajuuksilla, se
liittyy sähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen luonnollisella tavalla. Hertz todensi
vuonna 1888 siirrosvirran olemassaolon juuri tutkiessaan sähkömagneettisia
aaltoja. Tällöin myös Maxwellin alunperin teoreettinen oivallus sai
kokeellisen vahvistuksen.
Sähkövirran jatkuvuusyhtälö seuraa nyt Ampèren ja Maxwellin laista yhdessä
Gaussin lain kanssa, joten sitä ei tarvitse ottaa mukaan erillisenä lakina.
Toisaalta varauksen säilymislaki on kokeellisesti todettu luonnonlaki,
jonka kanssa Maxwellin yhtälöt ovat sopusoinnussa. Jatkuvuusyhtälö kertoo
sen tosiasian, että annetussa tilavuudessa varauksen ajallinen muutos
kompensoituu alueeseen tulevalla tai siitä poistuvalla sähkövirralla, koska
kokonaisvaraus säilyy.
9.2 Maxwellin yhtälöt
Nyt meillä on koossa koko Maxwellin yhtälöiden ryhmä
∇ · D = ρ
∇ · B = 0
∇ × E = − ∂B
∂t
∇ × H = J + ∂D
∂t .
(9.7)
Tässä lähdetermeinä ovat ulkoiset (“vapaat”) varaukset ρ ja ulkoiset (“vapaat”)
virrat J. Sidotut varaukset ja virrat on kätketty kenttiin D ja H.
Mikäli kyseessä on tyhjiötä monimutkaisempi väliaine, tarvitaan lisäksi rakenneyhtälöt
D = D(E, B), H = H(E, B) ja J = J(E, B).
Yhtälöryhmä (9.7) ei ole sen yleisempi tai rajoitetumpi kuin “tyhjiömuodossa”
kirjoitettu yhtälöryhmä
∇ · E = ρ/ɛ 0
∇ · B = 0
∇ × E = − ∂B
∂t
∇ × B =
∂E
µ 0 J + µ 0 ɛ 0
∂t ,
(9.8)
missä ρ ja J kuvaavat kaikkia varauksia ja virtoja. Esitysmuoto (9.7) muistuttaa
enemmän esitystapaa, jota Maxwell itse käytti. Tuolloin ei vektorinotaatio
tosin ollut vielä käytössä vaan Maxwell kirjoitti yhtälöt komponentti

124 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
komponentilta, mikä tekee tekstistä hyvin raskaslukuista. Muotoa (9.8) voi
tosin jossain mielessä pitää perustavampana esitystapana. Sen lisäksi, että
E- ja B-kentät määräävät Lorentzin voiman, tyhjiömuotoiset yhtälöt eivät
erottele aineen rakenteeseen kuuluvia varauksia tai virtoja kenttien lähteenä
vaan varaukset ovat varauksia ja virrat virtoja.
Vaikka usein puhutaan neljästä Maxwellin yhtälöstä, yhtälöryhmässä
(9.8) on itse asiassa 8 yhtälöä (2 skalaariyhtälöä ja 6 vektoriyhtälöiden komponenttia).
Annetuille ρ ja J yhtälöryhmä on lineaarinen, joten ratkaisuille
pätee yhteenlaskuperiaate. Tässä tapauksessa yhtälöissä on 6 tuntematonta
eli E:n ja B:n komponentit, joten 8 yhtälön yhtälöryhmä riittää niiden
määrittämiseen. Differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa tietenkin oikeiden
reuna- ja alkuehtojen tunteminen on ratkaisevaa.
Jos etsitään itsekonsistentteja ajassa kehittyviä ratkaisuja, joissa J ja ρ)
muuttuvat vasteena sähkö- ja magneettikenttiin, tuntemattomia on 10 kpl,
joten tarvitaan lisätietoa. Sellaiseksi kelpaa esimerkiksi Ohmin laki (J =
σE). Tällaiset ongelmat ovat usein epälineaarisia ja vaativat käytännössä
järeitä tietokonesimulaatioita.
9.3 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla
Luvuissa 3 ja 6 käsiteltiin staattisten sähkö- ja magneettikenttien reunaehtoja
kahden aineen rajapinnalla. Magneettivuon tiheydelle saatiin yhtälöstä
∇ · B = 0 normaalikomponentin jatkuvuusehto, joka pätee edelleen
B 1n = B 2n . (9.9)
Sähköstatiikan yhtälön ∇ × E = 0 sijasta on käytettävä Faradayn lakia
∇ × E = − ∂B
∂t . (9.10)
Tehdään samanlainen suorakulmainen silmukka kuin luvussa 3 ja integroidaan
silmukan sulkeman pinnan yli
∫
S
∫
∇ × E · n dS = −
S
∂B
∂t
· n dS . (9.11)
Sovelletaan Stokesin lausetta lausekkeen vasemmalle puolelle ja lasketaan
viivaintegraalit
∫
lE 1t − lE 2t + h 1 E 1n + h 2 E 2n − h 1 E 1n ′ − h 2 E 2n ′ ∂B
= − · n dS , (9.12)
∂t
missä l on silmukan pituus rajapinnan suunnassa, h 1 ja h 2 ovat silmukan
etäisyydet rajapinnasta kummankin väliaineen puolella ja E in ja E ′ in ottavat
huomioon, että normaalikomponentit saattavat poiketa toisistaan silmukan
eri päissä. Kun silmukan korkeus litistetään mitättömäksi, häviävät
S

9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 125
sähkökentän normaalikomponentteja sisältävät termit. Samoin käy yhtälön
oikealle puolelle, jos ∂B/∂t pysyy äärellisenä. Jäljelle jää sama jatkuvuusehto
kuin sähköstatiikassa
E 1t = E 2t . (9.13)
Sähkövuon tiheyden normaalikomponentin reunaehto on monimutkaisempi,
koska nyt pintavaraustiheys voi muuttua. Sekaannusten välttämiseksi
merkitään johtavuutta σ:lla ja pintavaraustiheyttä σ s :llä. Yhtälöstä ∇·D =
ρ saadaan pillerirasialla samannäköinen tulos kuin sähköstatiikassa
D 2n − D 1n = σ s , (9.14)
missä D n = D · n ja pinnan normaalivektori n osoittaa aineesta 1 aineeseen
2. Toisaalta varaustiheyden muutosta kontrolloi jatkuvuusyhtälö
josta seuraa samalla pillerirasiatempulla
∇ · J = − ∂ρ
∂t , (9.15)
J 2n − J 1n = − ∂σ s
∂t . (9.16)
Sovelletaan tätä yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentän
olevan muotoa E(t) = E 0 e −iωt . Tällöin voidaan korvata ∂/∂t → −iω.
Olettamalla lineaarinen väliaine ja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛE ja
J = σE voidaan D n :n ja J n :n reunaehdot kirjoittaa yhtälöparina
ɛ 2 E 2n − ɛ 1 E 1n = σ s
σ 2 E 2n − σ 1 E 1n = iωσ s . (9.17)
Jos pintavaraustiheys häviää, on oltava ɛ 1 /σ 1 = ɛ 2 /σ 2 , mikä voidaan
saada aikaan valitsemalla sopivat väliaineet. Yleisesti σ s ei häviä, joten se
voidaan eliminoida yhtälöparista ja sähkökentän normaalikomponentille saadaan
reunaehto (
ɛ 1 + i σ 1
ω
)
E 1n =
(
ɛ 2 + i σ 2
ω
)
E 2n . (9.18)
Tarkasteltaessa H-vektorin tangentiaalikomponenttia täytyy huomioida
siirrosvirta
∇ × H = J + ∂D
∂t . (9.19)
Tangentiaalikomponentin reunehto löytyy jälleen suorakulmaisesta silmukasta.
Silmukkaa kutistettaessa oletetaan ∂D/∂t:n pysyvän äärellisenä, jolloin
jäljelle jää magnetostatiikasta tuttu reunaehto
n × (H 2 − H 1 ) = K , (9.20)

126 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
missä K on pintavirran tiheys ja pinnan normaalivektori n osoittaa alueesta
1 alueeseen 2. Pintavirran tiheys on nolla, jos väliaineen johtavuus
on äärellinen. Siis ellei väliaineen johtavuus ole ääretön, magneettikentän
tangentiaalikomponentti on jatkuva.
Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa väliaineen 2 johtavuus on ääretön.
Ampèren ja Maxwellin laki väliaineelle 2 on
∇ × H 2 = J 2 + ∂D 2
∂t
. (9.21)
Olettamalla harmoninen aikariippuvuus e −iωt ja käyttämällä rakenneyhtälöitä
saadaan
1
E 2 = ∇ × H 2 . (9.22)
σ 2 − iωɛ 2
Jos ∇ × H 2 on rajoitettu, niin ehto σ 2 → ∞ edellyttää, että E 2 = 0. Olettaen
myös H 2 :n aikariippuvuus harmoniseksi Faradayn laki ja lineaarinen
rakenneyhtälö B = µH antavat
H 2 = 1
iωµ 2
∇ × E 2 (9.23)
ja siten myös H 2 häviää. Tämä kaikki tarkoittaa sitä, että sähkömagneettinen
aalto ei etene äärettömän hyvään johteeseen. Koska hyvienkin johteiden
johtavuudet ovat äärellisiä, tulemme tarkastelemaan luvussa 10, kuinka aalto
vaimenee johteeseen edetessään.
9.4 Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä
Periaatteessa koko elektrodynamiikka on nyt hallinnassa. Edellä on kuitenkin
tullut eteen ongelmia liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymislakien
kanssa (kuvat 5.2 ja 7.2). Samoin on varmaankin jäänyt epäselväksi, mille
oliolle esimerkiksi sähköstaattinen energia oikein kuuluu.
9.4.1 Poyntingin teoreema: energian säilyminen
Sähkömagneettisessa kentässä liikkuvaan yksittäiseen varaukselliseen hiukkaseen
vaikuttaa Lorentzin voima F = q(E+v×B). Mekaniikassa on opittu,
että voima tekee työtä teholla F · v ja siten vain sähkökenttä tekee työtä
hiukkaseen ja määrää hiukkasen mekaanisen energian muutosnopeuden
dW mek
dt
= qv · E . (9.24)

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 127
Muita kuin sähkömagneettisia voimia ei tässä yhteydessä oteta huomioon.
Yleistys jatkuvalle virran tiheydelle alueessa V antaa hiukkassysteemin mekaanisen
energian muutosnopeudeksi
dW mek
dt
∫
=
V
J · E dV . (9.25)
Aletaan muokata pistetuloa J · E käyttäen Maxwellin yhtälöitä väliainemuodossa.
Ampèren ja Maxwellin laki antaa
J · E = E · ∇ × H − E · ∂D
∂t . (9.26)
Oikean puolen ensimmäinen termi houkuttelee käyttämään tulon derivoimiskaavaa
∇ · (E × H) = H · ∇ × E − E · ∇ × H, josta Faradayn lakia
käyttäen tulee
Tähän mennessä on siis saatu
∇ · (E × H) = −H · ∂B
∂t − E · ∇ × H . (9.27)
J · E = −∇ · (E × H) − (E · ∂D
∂t + H · ∂B
∂t ) . (9.28)
Oletetaan väliaine lineaariseksi ja permittiivisyystensori symmetriseksi (näin
on esimerkiksi isotrooppisen väliaineen tapauksessa). Tällöin
J · E = −∇ · (E × H) − ∂ ∂t (1 2 D · E + 1 B · H) . (9.29)
2
Statiikassa opitun perusteella on luonnollista tulkita, että jälkimmäisen sulkulausekkeen
sisällä on sähkömagneettisen kentän energiatiheys
Kun vielä määritellään Poyntingin vektori
w em = 1 2 D · E + 1 2 B · H . (9.30)
S = E × H , (9.31)
saadaan Poyntingin teoreema differentiaalimuodossa jatkuvuusyhtälönä
∂w em
∂t
+ ∇ · S = −J · E . (9.32)
Poyntingin teoreemaa voi verrata varauksen jatkuvuusyhtälöön
∂ρ/∂t + ∇ · J = 0 ,

128 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
joka ilmaisee varauksen säilymislain. Poyntingin teoreema on siis hiukkasten
ja kentän muodostaman systeemin energian säilymislaki. Sähkömagneettista
kenttää voidaan siis pitää itsenäisenä fysikaalisena oliona. Tämä tulkinta
vahvistuu muiden säilymislakien yhteydessä. Termi J · E liittyy tarkasteltavan
systeemin hiukkasten mekaanisen energian muutokseen ja ilmaisee sen,
että kenttä ja hiukkaset voivat vaihtaa energiaa keskenään.
Integroimalla jatkuvuusyhtälö alueen V yli ja käyttämällä divergenssiteoreemaa
saadaan Poyntingin teoreema jonkin verran havainnollisempaan
integraalimuotoon (merkitään tässä luvussa pintaelementtiä da, ettei tule
sekaannuksia Poyntigin vektorin kanssa)
d
dt
∫
V
∮
w em +
∂V
∫
S · n da = −
V
J · E dV (9.33)
eli
∮
d
dt (W mek + W em ) = − S · n da . (9.34)
∂V
Tämän perusteella voidaan kvalitatiivisesti ajatella, että Poyntingin vektori
“kuljettaa energiaa” (SI-yksikkö on J m −2 s −1 eli energiavuon yksikkö).
Tällainen tulkinta johtaa kuitenkin erikoiselta vaikuttaviin tilanteisiin yksinkertaisissakin
esimerkeissä, kuten tasavirtajohtimessa. Varattaessa puolestaan
levykondensaattoria siihen yhdistetyllä johtimella, varaukset tulevat
kondensaattoriin johdinta pitkin, mutta Poyntingin vektori osoittaa kondensaattorin
sisään sivusuunnasta, joten energia kondensaattoriin näyttää
tulevan jostakin systeemin ulkopuolelta.
Ei ole itsestään selvää, että Poyntingin vektorin “oikea” lauseke on (9.31).
Poyntingin teoreeman differentiaalimuodon perusteella vektoriin S voitaisiin
lisätä roottorikenttä ilman, että mikään mitattavissa oleva suure muuttuu.
Monimutkaisempiakin muunnelmia on olemassa, mutta silloin myös energiatiheyden
lauseketta on muokattava. Oleellista on, että energian säilymislain
muoto ei muutu. Pohjimmiltaan näissä pohdinnoissa on kyse siitä, ettei
sähkömagneettisen kentän energiaa voi paikallistaa eli ajatella jonkinlaisena
avaruudellisesti rajoitettuna energiapallukkana, jota voi siirrellä mielin
määrin.
9.4.2 Maxwellin jännitystensori
Palataan kuvan 5.2 tilanteeseen: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän
säilymislakia? Vastaus on toki kielteinen. Ratkaisu on siinä, että sähkömagneettisella
kentällä on energian lisäksi liikemäärää. Säilyvä suure on hiukkasten
ja kentän yhteenlaskettu liikemäärä.
Oletetaan väliaine jälleen tyhjiön kaltaiseksi (ɛ 0 , µ 0 ). Kaikkien tilavuudessa
V olevien hiukkasten liikemäärien summa p mek noudattaa Newtonin

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 129
toista lakia
joten voimatiheys on
F = dp mek
dt
∫
=
V
(ρE + J × B) dV , (9.35)
f = ρE + J × B . (9.36)
Tämä lauseke on voimassa myös tilavuudessa, jossa ρ = 0 eli positiivisia ja
negatiivisia varauksia on jokaisessa tilavuuselementissä yhtä monta, mutta
tilavuudessa kulkee sähkövirtaa eli J ≠ 0. Eliminoidaan ρ ja J Maxwellin
yhtälöiden avulla, jolloin
( )
1 ∂E
f = ɛ 0 (∇ · E)E + ∇ × B − ɛ 0 × B . (9.37)
µ 0 ∂t
Nyt
∂E
∂t × B = ∂ (E × B) + E × (∇ × E) , (9.38)
∂t
missä viimeisessä termissä on käytetty Faradayn lakia. Voimatiheys on siten
f = ɛ 0 [(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 ∂
[B × (∇ × B)] − ɛ 0 (E × B) . (9.39)
µ 0 ∂t
Lauseke saadaan symmetrisemmäksi lisäämällä termi (∇ · B)B/µ 0 , joka on
aina nolla. Kenttien roottorilausekkeet voi kirjoittaa auki kaavalla
E × (∇ × E) = 1 2 ∇(E2 ) − (E · ∇)E (9.40)
ja samoin B:lle. Näin voimatiheys saadaan muotoon
f = ɛ 0 [(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ 0
[(∇ · B)B + (B · ∇)B]
− 1 (
2 ∇ ɛ 0 E 2 + 1 )
B 2 ∂
− ɛ 0 (E × B) . (9.41)
µ 0 ∂t
Tämä siistiytyy määrittelemällä Maxwellin jännitystensori T , jonka komponentit
ovat
(
T ij = ɛ 0 E i E j − 1 )
2 δ ijE 2 + 1 (
B i B j − 1 )
µ 0 2 δ ijB 2 , (9.42)
eli laskemalla yhteen aiemmin erikseen määritellyt staattisten sähkö- ja
magneettikenttien jännitystensorit. Tensorin T divergenssi on vektori, jonka
komponentit ovat
[
(∇ · T ) j = ɛ 0 (∇ · E)E j + (E · ∇)E j − 1 ]
2 ∇ jE 2
+ 1 µ 0
[
(∇ · B)B j + (B · ∇)B j − 1 2 ∇ jB 2 ]
. (9.43)

130 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
Nämä ovat Poyntingin vektorin aikaderivaattaa vaille voimatiheyden komponentit,
joten
∂S
f = ∇ · T − ɛ 0 µ 0
∂t . (9.44)
Integroidaan tämä tilavuuden V yli ja kirjoitetaan jännitystensorista riippuva
osa pintaintegraaliksi. Tällöin kokonaisvoima on
∮
F =
∂V
T · n da − ɛ 0 µ 0
d
dt
∫
V
S dV . (9.45)
Staattisessa tilanteessa sähkömagneettinen kokonaisvoima määräytyy jännitystensorista
pelkästään tarkasteltavan alueen reunalla. Siis T laskettuna
alueen reunalla jotenkin sisältää voimien kannalta olennaisen tiedon kentistä
koko alueessa. Voimien laskeminen käyttäen hyväksi tensoreita ei rajoitu
elektrodynamiikkaan. Klassisesta mekaniikasta muistetaan pyöriviin kappaleisiin
vaikuttavien voimien käsittely hitaustensorin avulla, yleinen suhteellisuusteoria
formuloidaan Einsteinin tensorin avulla jne.
9.4.3 Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen
Palataan sitten liikemäärän säilymiseen. Newtonin toisen lain mukaan hiukkaseen
vaikuttava voima on yhtä suuri kuin sen liikemäärän aikaderivaatta:
Toisaalta
dp mek
dt
∮
=
∂V
F = dp mek
dt
. (9.46)
∫
d
T · n da − ɛ 0 µ 0 S dV . (9.47)
dt V
Tämän voi tulkita samaan tapaan kuin Poyntingin teoreeman. Oikean puolen
ensimmäinen termi kertoo liikemäärän virtauksen aikayksikössä pinnan
∂V läpi ja jälkimmäinen termi puolestaan kenttiin kertyneen liikemäärän
muutoksen. Siis sähkömagneettisen kentän liikemäärä on
∫
p em = ɛ 0 µ 0 S dV . (9.48)
Yhteenlasketun sähkömagneettisen ja mekaanisen liikemäärän muutos vastaa
tarkastelualueeseen kenttien mukanaan tuomaa liikemäärää.
Olkoon ˆp mek mekaaninen liikemäärätiheys. Määritellään vastaavasti sähkömagneettisen
kentän liikemäärätiheys
V
ˆp em = ɛ 0 µ 0 S . (9.49)
Tällöin liikemäärän säilyminen voidaan ilmaista differentiaalimuodossa
∂
∂t (ˆp mek + ˆp em ) = ∇ · T . (9.50)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 131
Todetaan vielä lopuksi, että sähkömagneettisella kentällä on myös liikemäärämomenttia
eli impulssimomenttia. Sen tiheys määritellään
ˆL em = r × ˆp em = ɛ 0 µ 0 r × S . (9.51)
Myös kokonaisliikemäärämomentin tiheys on säilyvä suure. Tässä piileekin
ratkaisu aiemmin kuvassa 7.2 esitettyyn ongelmaan. Levy todellakin alkaa
pyöriä sähkömagneettisen liikemäärämomentin muuntuessa mekaaniseksi liikemäärämomentiksi.
9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet
Kuten jo aiemmin todettiin, Hertz osoitti siirrosvirran olemassaolon tutkimalla
sähkömagneettisen aaltoliikkeen ominaisuuksia. Juuri siirrosvirta mahdollistaa
aaltojen etenemisen tyhjiössä, joskaan 1800-luvun lopulla sitä ei
vielä oikein ymmärretty. Maxwell itse oli viehättynyt mekaanisiin analogioihin
ja aina suhteellisuusteorian alkuvuosiin asti sähkömagneettista säteilyä
pyritiin tulkitsemaan aaltoliikkeenä hypoteettisessa väliaineessa, jota kutsuttiin
eetteriksi.
9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjiössä
Tarkastellaan tilannetta ensiksi tyhjiössä (ρ = 0, J = 0). Ottamalla roottori
Ampèren ja Maxwellin laista saadaan
∇ × ∇ × B = ɛ 0 µ 0
∂(∇ × E)
∂t
= −ɛ 0 µ 0
∂ 2 B
∂t 2 . (9.52)
Kirjoittamalla vasemman puolen roottorit auki ja käyttämällä magneettikentän
lähteettömyyttä saadaan aaltoyhtälö
∇ 2 B − ɛ 0 µ 0
∂ 2 B
∂t 2 = 0 . (9.53)
Ottamalla puolestaan roottori Faradayn laista ja huomioimalla, että sähkökentälläkään
ei ole tyhjiössä lähteitä, saadaan sähkökentälle sama yhtälö
∇ 2 E − ɛ 0 µ 0
∂ 2 E
∂t 2 = 0 . (9.54)
Tällainen aalto etenee nopeudella c = 1/ √ ɛ 0 µ 0 eli valon nopeudella.

132 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
9.5.2 Potentiaaliesitys
Lähdetään sitten etsimään ratkaisua Maxwellin yhtälöille, kun kenttien lähteet
ρ ja J oletetaan tunnetuiksi. Rajoitutaan tyhjiönkaltaiseen väliaineeseen
(ɛ 0 , µ 0 ), josta siirtyminen lineaariseen väliaineeseen on suoraviivaista.
Tehokkainta on käyttää skalaari- ja vektoripotentiaaleja ϕ ja A. Yhtälöstä
∇ · B = 0 seuraa, että magneettivuon tiheys voidaan esittää muodossa B =
∇ × A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin saadaan
∇ × E + ∂ ∂t ∇ × A = 0 . (9.55)
Fysikaalisen siisteille kentille aika- ja paikkaderivaattojen järjestyksen voi
vaihtaa, joten
(
∇ × E + ∂A )
= 0 (9.56)
∂t
eli voidaan kirjoittaa E + ∂A/∂t = −∇ϕ. Sähkökenttä on siis muotoa
E = −∇ϕ − ∂A
∂t
(9.57)
eli sähköstaattisen potentiaalin lisäksi Faradayn laki tuo sähkökenttään vektoripotentiaalin
aikamuutoksesta johtuvan osuuden.
Näin kenttien kuusi komponenttia on ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A)
avulla. Tähän on tarvittu neljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista,
joten jäljellä on neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen.
Coulombin sekä Ampèren ja Maxwellin lait saadaan muotoon
∇ 2 ϕ +
∂(∇ · A)
∂t
= −ρ/ɛ 0 (9.58)
∇ 2 A − 1 ∂ 2 (
A
c 2 ∂t 2 − ∇ ∇ · A + 1 )
∂ϕ
c 2 = −µ 0 J . (9.59)
∂t
Päällisin puolin yhtälöryhmä näyttää pahemmalta kuin alkuperäiset Maxwellin
yhtälöt, mutta sille löytyy käteviä ratkaisumenetelmiä.
Koska kentät B ja E muodostuvat potentiaalien derivaatoista, voidaan
potentiaaleihin lisätä sellaisia tekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. On
helppo nähdä, että seuraava muunnos ei vaikuta kenttiin
A → A ′ = A + ∇Ψ (9.60)
ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t . (9.61)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 133
Näitä mittamuunnoksia käsitellään tarkemmin kappaleessa 9.6. Yksi tapa
säilyttää alkuperäiset kentät on käyttää Lorenzin mittaehtoa 1
∇ · A + 1 c 2 ∂ϕ
∂t = 0 . (9.62)
Jäljellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat epähomogeenisiksi aaltoyhtälöiksi
(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
ϕ = −ρ/ɛ 0 (9.63)
(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
A = −µ 0 J . (9.64)
9.5.3 Viivästyneet potentiaalit
Edellä löydettiin siis neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaan riippumatonta
matemaattisesti samanmuotoista skalaariyhtälöä, joten riittää tarkastella
yhtälöä ϕ:lle. Staattisessa tapauksessa kyseessä olisi Poissonin yhtälö,
jonka ratkaisuja ovat Laplacen yhtälön yleiset ratkaisut sekä reunaehdoista
riippuva Poissonin yhtälön erikoisratkaisu.
Ratkaistaan aaltoyhtälö ensin yhdelle varaukselle, joka on sijoitettu origoon.
Tällöin homogeeninen aaltoyhtälö
(∇ 2 − 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 ϕ = 0 (9.65)
pätee kaikkialla muualla kuin origossa. Pallosymmetrian vuoksi ϕ = ϕ(r) ja
homogeeninen aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa pallokoordinaatistossa
∂ 2 (rϕ)
∂r 2
Tällä on tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisut
− 1 c 2 ∂ 2 (rϕ)
∂t 2 = 0 . (9.66)
rϕ = f(r − ct) + g(r + ct) . (9.67)
Näistä f(r − ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r + ct) kohti varausta.
Koska halutaan ymmärtää varauksen vaikutus ympäristöönsä, tarkastellaan
ratkaisua f.
1 Voidaan väittää, että kyseessä on todellakin Lorenzin mitta eikä Lorentzin mitta.
Ludvig V. Lorenz (1829–1891) oli tanskalainen ja Hendrik A. Lorentz (1853–1928) hollantilainen
fyysikko. Lorenz käytti mittaehtoa aaltoyhtälön ratkaisemiseen jo vuonna 1867.
Kirjoitusmuoto “Lorentzin mitta” esiintyy lähes kaikissa elektrodynamiikan oppikirjoissa
eikä suurin osa fyysikoista ole edes kuullut koko sekaannuksesta. Kuriositeettina mainittakoon,
että fysiikassa tunnetaan myös Lorenzin ja Lorentzin yhtälö. Se on itse asiassa
luvussa 3 esitetyn Clausiuksen ja Mossottin yhtälön (3.51) toinen nimi.

134 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
On siis löydetty homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisu
ϕ =
f(r − ct)
r
(9.68)
ja nyt on määritettävä funktio f. Staattisessa tapauksessa potentiaali on
ϕ =
q
4πɛ 0 r
(9.69)
ja nyt ilmeisesti q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t − r/c), missä
vakio −c sisältyy määrättävään funktioon itseensä. Hetkellä t − r/c pätee
f(t − r/c) =
q(t − r/c)
4πɛ 0
(9.70)
ja yksittäisen varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisu
ϕ(r, t) =
q(t − r/c)
4πɛ 0 r
Integroimalla kaikkien varausten yli saadaan
ϕ(r, t) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ , t ′ )
|r − r ′ | dV ′ = 1
4πɛ 0
∫V
missä on siis otettu käyttöön viivästynyt aika
. (9.71)
ρ(r ′ , t − |r − r ′ |/c)
|r − r ′ |
dV ′ , (9.72)
t ′ = t − |r − r ′ |/c . (9.73)
Potentiaalia ϕ kutsutaan viivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi, koska se huomioi
ajan, joka kuluu kustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c
etenevältä signaalilta.
HT: Tarkka lukija lienee ihmetellyt ajasta riippuvaa pistevarausta, koska
varauksenhan pitäisi säilyä. Millä tavalla tästä näennäisestä ristiriidasta selvitään
helpoimmin?
Koska jälleen samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut, osataan välittömästi
kirjoittaa myös viivästynyt vektoripotentiaali
A(r, t) = µ ∫
0 J(r ′ , t ′ )
4π |r − r ′ | dV ′ = µ ∫
0 J(r ′ , t − |r − r ′ |/c)
4π |r − r ′ dV ′ . (9.74)
|
V
Sähkö- ja magneettikentät saadaan näistä derivoimalla. Olemme siis ratkaisseet
Maxwellin yhtälöt annetuille varaus- ja virtajakautumille. Käytännössä
derivaattojen laskeminen on usein työlästä. Sitä kannattaa kokeilla sijoittamalla
potentiaalien integraalilausekkeet takaisin aaltoyhtälöön.
Suppeammassa suhteellisuusteoriassa vektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt
kootaan nelipotentiaalin A α = (ϕ/c, A) aaltoyhtälöksi
(∇ 2 − 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 A α = −µ 0 j α , (9.75)
V

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 135
missä nelivirran j α komponentit ovat (cρ, J). Osoittautuu, että Maxwellin
yhtälöt ovat Lorentz-kovariantteja 2 eli valmiiksi yhteensopivia suhteellisuusteorian
kanssa.
9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 3
Ratkaistaan aaltoyhtälö vielä malliksi käyttämällä kappaleessa 2.10 esitettyjä
Greenin funktioita. Sekä A:n että ϕ:n aaltoyhtälöt ovat muotoa
∇ 2 ψ − 1 ∂ 2 ψ
c 2 = −4πf(r, t) , (9.76)
∂t2 missä f(r, t) on tunnettu lähdetermi. Tehdään sekä ψ:lle että f:lle Fouriermuunnokset
ajan suhteen
ψ(r, t) = 1
2π
∫ ∞
−∞
ψ(r, ω)e −iωt dω ; f(r, t) = 1
2π
∫ ∞
−∞
f(r, ω)e −iωt dω . (9.77)
Sijoittamalla nämä aaltoyhtälöön ja merkitsemällä k = ω/c saadaan Fourierkomponenteille
epähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö
(∇ 2 + k 2 ) ψ(r, ω) = −4πf(r, ω) . (9.78)
Tapauksessa k = 0 tämä palautuu Poissonin yhtälöksi. Helmholtzin yhtälön
Greenin funktion täytyy toteuttaa yhtälö
(∇ 2 + k 2 )G k (r; r ′ ) = −4π δ(r − r ′ ) . (9.79)
Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin
∫
ψ(r, ω) = G k (r, r ′ , ω)f(r ′ , ω) dV ′ , (9.80)
johon voidaan lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja.
Koska aaltoyhtälöä ratkotaan käytännössä heijastavien reunojen, aaltoputkien
jne. yhteydessä, Greenin funktion muoto riippuu ongelman reunaehdoista
(vrt. pallo kappaleessa 2.10). Reunattomassa avaruudessa G k on
pallosymmetrinen ja riippuu ainoastaan tarkastelupisteen ja lähdepisteen
etäisyydestä R = |r − r ′ |, joten pallokoordinaateissa
∇ 2 G k = 1 R 2
∂
∂R
(
R 2 ∂G k
∂R
)
= 1 ∂ 2
R ∂R 2 (R G k) . (9.81)
2 Mitta on siis Lorenzin, mutta suhteellisuusteorian koordinaatistomuunnokset ovat
peräisin Lorentzilta.
3 Tämä luku kuuluu kurssivaatimukset ylittävään yleissivistykseen. Perusidea on kuitenkin
syytä ymmärtää, koska menetelmää käytetään myöhemmin laskettaessa liikkuvan
varauksen kenttiä.

136 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
Koska R on ainoa muuttuja, voidaan käyttää kokonaisderivaattaa
1
R dR 2 (R G k) + k 2 G k = −4πδ(r − r ′ ) . (9.82)
d 2
Muualla kuin pisteessä R = 0 tämä yksinkertaistuu yhtälöksi
jonka ratkaisut ovat
d 2
dR 2 (R G k) + k 2 (R G k ) = 0 , (9.83)
R G k = A e ikR + B e −ikR . (9.84)
Rajalla R → 0 pätee kR ≪ 1 ja (9.82) palautuu Poissonin yhtälöksi, jonka
ratkaisu käyttäytyy kuten 1/R. Tämä antaa sidosehdon A + B = 1 ja
Greenin funktio on muotoa
G k (R) = A G + k (R) + B G− k
(R) (9.85)
missä G ± k = e±ikR /R. Näistä G + k
kuvaa origosta poispäin etenevää palloaaltoa
ja G − k
origoon tulevaa palloaaltoa. A ja B määräytyvät reunaehdoista
ajan suhteen. Jos lähde on hiljaa hetkeen t = 0 asti ja alkaa sitten vaikuttaa,
ulospäin etenevä ratkaisu A G + k
on fysikaalisesti mielekäs valinta.
HT: Mieti, milloin puolestaan B G − k
Koska
on parempi valinta.
Ajasta riippuva Greenin funktio toteuttaa yhtälön
(∇ 2 − 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 G ± (r, t; r ′ , t ′ ) = −4πδ(r − r ′ )δ(t − t ′ ) . (9.86)
δ(t − t ′ ) = 1
2π
∫ ∞
−∞
dω e iwt′ e −iwt , (9.87)
voidaan lähdetermi yhtälössä (9.79) kirjoittaa muodossa −4πδ(r−r ′ )e iωt′ ja
G ± (R, τ) = 1
2π
∫ ∞
e ±ikR
−∞
R e−iωτ dω , (9.88)
missä τ = t − t ′ . Äärettömän avaruuden Greenin funktio riippuu siis vain
lähteen ja havaitsijan välisestä etäisyydestä R ja aikaerosta t − t ′ . Koska
k = ω/c, voidaan ω-integraali laskea ja lopputulos on
G ± (r, t; r ′ , t ′ ) =
1
|r − r ′ | δ(t′ − [t ∓ |r − r ′ |/c]) . (9.89)
Nyt G + on viivästynyt ja G − edistynyt Greenin funktio.

9.6. MITTAINVARIANSSI 137
Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on siis
∫ ∫
ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r ′ , t ′ )f(r ′ , t ′ ) dV ′ dt ′ , (9.90)
johon voi lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja. Viivästyneelle Greenin
funktiolle ratkaisu on tietenkin sama kuin edellä suoremmalla laskulla
löytynyt ratkaisu. Tässä esitetty menetelmä on kuitenkin yleisempi ja
käyttökelpoisempi tarkasteltaessa monimutkaisempia olosuhteita kuin yksinkertaista
lähdettä reunattomassa avaruudessa.
9.6 Mittainvarianssi
Aaltoyhtälön ratkaisu helpottui valitsemalla sopiva mitta. Tämän teki mahdolliseksi
Maxwellin yhtälöiden tärkeä ominaisuus: mittainvarianssi. Kenttien
potentiaaleja voidaan muuttaa tietyllä yleisellä tavalla ilman, että kentät
itse muuttuvat. Elektrodynamiikan mittamuunnokset ovat muotoa
A → A ′ = A + ∇Ψ (9.91)
ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t . (9.92)
Funktiota Ψ kutsutaan mittafunktioksi ja se voidaan valita usealla eri
tavalla. Yksi näistä on edellä käytetty Lorenzin mittaehto
∇ · A ′ + 1 c 2 ∂ϕ ′
Tällöin mittafunktion Ψ on toteutettava aaltoyhtälö
∇ 2 Ψ − 1 c 2 ∂ 2 Ψ
∂t 2
∂t = 0 . (9.93)
= −∇ · A − 1 c 2 ∂ϕ
∂t . (9.94)
Jos siis potentiaalit A ja ϕ eivät toteuttaisi Lorenzin mittaehtoa, niin uudet
potentiaalit A ′ ja ϕ ′ toteuttavat sen, jos Ψ voidaan ratkaista aaltoyhtälöstä.
Lorenzin mittaehdon toteuttava funktio Ψ on aina olemassa, mutta se ei
ole yksikäsitteinen. Mitan etu on, että yhtälöiden Lorentz-kovarianssi näkyy
eksplisiittisesti ja tulokset on suoraviivaista siirtää koordinaatistosta toiseen.
Käytännön laskut voivat kuitenkin olla hyvin monimutkaisia.
Useissa tapauksissa laskennallisesti yksinkertaisempi vaihtoehto on Coulombin
mitta, jonka mittaehto on
Vektoripotentiaali saadaan muunnoksella
∇ · A ′ = 0 . (9.95)
∇ 2 Ψ = −∇ · A , (9.96)

138 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
joka määrittää mittafunktion additiivista vakiota vaille yksikäsitteisesti, jos
A → 0 ja ϕ → 0, kun r → ∞. Coulombin mitassa skalaaripotentiaali ratkaistaan
yhtälöstä (9.58)
ϕ(r, t) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ , t)
|r − r ′ | dV ′ . (9.97)
Aika ei ole viivästetty, vaan skalaaripotentiaali määräytyy samanaikaisesta
varausjakautumasta kaikkialla, joten Coulombin mitta ei ole Lorentzkovariantti.
Tämän mitan avulla annetut potentiaalit antavat kuitenkin oikeat
Maxwellin yhtälöt, joten tästä ei seuraa ristiriitaa kenttien E ja B
osalta. Koordinaatistomuunnosten kanssa on kuitenkin oltava tarkkana.
Coulombin mitassa vektoripotentiaali toteuttaa aaltoyhtälön
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A
∂t 2
= 1 c 2 ∇∂ϕ ∂t − µ 0J . (9.98)
Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön eli sen roottori on nolla.
Helmholtzin teoreeman mukaan vektorikenttä F voidaan jakaa pyörteettömään
ja lähteettömään (divergenssittömään) osaan:
F = F l + F t ; ∇ × F l = 0 ; ∇ · F t = 0 ,
missä l viittaa pitkittäiseen (longitudinaaliseen, pyörteettömään) ja t poikittaiseen
(transversaaliseen, lähteettömään) osuuteen. Virran jatkuvuusyhtälön
perusteella µ 0 J l kumoaa termin (1/c 2 )∇(∂ϕ/∂t), joten
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A
∂t 2 = −µ 0J t . (9.99)
Koska vektoripotentiaali määräytyy vain virran poikittaisesta komponentista,
Coulombin mittaa kutsutaan usein poikittaismitaksi. Se tunnetaan myös
nimellä säteilymitta, koska sähkömagneettiset säteilykentät saadaan lasketuksi
viivästyneestä vektoripotentiaalista
A(r, t) = µ 0
4π
∫
Jt (r ′ , t − |r − r ′ |/c)
|r − r ′ dV ′ , (9.100)
|
mikä on olennaisesti helpompaa kuin säteilykenttien laskeminen Lorenzin
mitassa. Coulombin mitta erottelee annetussa koordinaatistossa sähkökentän
staattiseen (s) ja induktiiviseen (i) osaan
E s = −∇ϕ ; E i = −∂A/∂t . (9.101)
Klassinen elektrodynamiikka on ensimmäinen esimerkki mittainvarianteista
fysiikan perusteorioista. Mittakentän käsitteestä on tullut erittäin
keskeinen fysiikan perusteorioissa kuten kvanttielektrodynamiikassa, sähköheikon
vuorovaikutuksen teoriassa, kvanttikromodynamiikassa ja näitä yhdistävissä
yhtenäiskenttäteorioissa.

Luku 10
Sähkömagneettiset aallot
Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy
hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat
suuruusluokkaa 10 20 − 10 22 Hz. Aaltoliikkeen merkityksen ymmärtänee vilkaisemalla
ympärilleen (HT: Vilkaise).
10.1 Tasoaallot eristeessä
Eristeellä tarkoitetaan tässä yhteydessä niin huonosti johtavaa väliainetta,
ettei sähkönjohtavuutta σ tarvitse huomioida. Tämä merkitsee sitä, että
Ampèren ja Maxwellin laissa kentänmuutosvirta on paljon suurempi kuin
johtavuusvirta. Olettaen muotoa e −iωt oleva aikariippuvuus, tämä ehto voidaan
ilmaista epäyhtälönä ωɛ ≫ σ. Siis riittävän suurilla taajuuksilla kaikki
väliaineet näyttävät eristeiltä.
Tutkitaan tässä monokromaattisia aaltoja, jolla on nimensä mukaisesti
vain yksi taajuus. Tämä tarkoittaa olennaisesti samaa kuin tarkastella aallon
Fourier-komponentteja erikseen. Tällöin on hyödyllistä käyttää kompleksilukuesitystä
ja kirjoittaa aikariippuvuus muodossa e −iωt , esimerkiksi
E(r, t) = E(r)e −iωt . (10.1)
Näin aikaderivaatta korvautuu tekijällä −iω. Kirjallisuudessa on yleisesti
käytössä myös aikariippuvuus e +iωt , joten merkkien kanssa täytyy olla huolellinen
ja pitäytyä koko laskun ajan alussa tehtyyn valintaan. Esitykseen
liittyy lisäksi sopimus, että fysikaalinen suure on kompleksisuureen reaaliosa
(periaatteessa voitaisiin myös valita imaginääriosa).
Aaltoyhtälö
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 = 0 (10.2)
139

140 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
kirjoitettuna monokromaattiselle aallolle on
(∇ 2 + ω2
)E(r) = 0 . (10.3)
c2 Tämä matemaattiselta muodoltaan Helmholtzin yhtälö kuvaa aallon muutosta
paikan funktiona. Oletetaan, että kenttä on riippumaton x- ja y-
koordinaateista. Tällöin
d 2 E(z)
dz 2
+ ω2
E(z) = 0 . (10.4)
c2 Tämä on harmonisen värähtelijän yhtälö, jolla on ratkaisuna
E(z) = E 0 e ±ikz , (10.5)
missä E 0 on vakio ja k = ω/c on aaltoluku. Aaltoyhtälöllä on siis ratkaisuna
jonka reaaliosa on
E(r, t) = E 0 e −i(ωt∓kz) , (10.6)
E(r, t) = E 0 cos(ωt ∓ kz) = E 0 cos ω(t ∓ z/c) . (10.7)
Kyseessä on joko +z- tai −z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ √ ɛ 0 µ 0
etenevä siniaalto. Aaltoluku esitetään yleisemmin vektorina k, jolloin aallon
paikkariippuvuus on e ik·r . Aaltoyhtälön ratkaisu ei välttämättä toteuta
Maxwellin yhtälöitä, vaan niistä seuraa lisäehtoja, joihin palataan kohta.
Kulmataajuuden ω yksikkö on radiaania sekunnissa. Vastaava värähtelytaajuus
on f = ω/2π, jonka yksikkö on puolestaan hertsi (Hz). Aaltoluvun
yksikkö on m −1 ja vastaava aallonpituus on λ = 2π/k. Aallon vaihenopeus
on v p = ω/k, joka tyhjiössä on sama kuin valon nopeus.
Mikäli väliaineen µ ja ɛ poikkeavat tyhjiön suureista, vaihenopeus on
v = 1/ √ ɛµ . (10.8)
Tällöin taajuuden ja aaltoluvun välinen relaatio eli dispersioyhtälö on
k = ω v = n c ω , (10.9)
missä on määritelty väliaineen taitekerroin
√ ɛµ
n = = √ ɛ r µ r . (10.10)
ɛ 0 µ 0
Taitekerroin on tärkeä parametri tarkasteltaessa aaltojen heijastumista ja
taittumista väliaineiden rajapinnoilla.

10.1. TASOAALLOT ERISTEESSÄ 141
Muotoa e −i(ωt−k·r) olevia Maxwellin yhtälöiden ratkaisuja kutsutaan tasoaalloiksi.
Mikäli yhtälöillä voidaan olettaa olevan tasoaaltoratkaisuja, voidaan
myös paikkaderivaatat korvata seuraavasti:
∇ → ik
∇· → ik ·
∇× → ik×
Tasoaallolle löytyy suunta, jota vastaan kohtisuoralla mutta muuten mielivaltaisella
tasolla aallon vaihe on annetulla hetkellä sama kaikissa tason
pisteissä. Kyseisillä tasoilla sähkö- ja magneettikentät ovat vakioita. Vaihenopeus
tarkoittaa vakiovaiheen (k · r − ωt = vakio) etenemisnopeutta.
Oletetaan, ettei väliaineessa ole vapaita varauksia eikä virtoja. Tasoaalloille
saadaan Maxwellin yhtälöistä yhtälöryhmä
k · D = 0
k · B = 0
k × E = ωB (10.11)
k × H = −ωD .
Tasoaallon kenttävektoreita merkitään joskus lisäämällä niiden päälle hattu
(Ê), mutta tässä ei ole sekaannuksen vaaraa, kun muistetaan, että nyt aikaja
paikkariippuvuudet ovat eksponenttifunktiossa. Jos on tarpeen erotella
tasoaallon (k, ω)-avaruuden vektori vektorista E(r, t), kirjoitetaan edellinen
mieluummin E(k, ω) tai E k,ω . Myös E(k, ω) on yleisesti kompleksivektori.
Oletetaan väliaine lineaariseksi ja kirjoitetaan ɛ = ɛ r ɛ 0 . Käytännössä
kaikilla lineaarisilla väliaineilla µ = µ 0 on tässä yhteydessä riittävän hyvä
oletus. Nyt
k · E = 0
k · B = 0
k × E = ωB (10.12)
k × B = − ω c 2 ɛ r E .
Vektorit k, E ja B ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan ja aaltoa kutsutaan
poikittaiseksi (transversaaliseksi) (kuva 10.1).
Sähkö- ja magneettikentän välinen suhde saadaan sijoittamalla tasoaalto
Faradayn lakiin eli B = (k/ω)E. Aaltoluvun itseisarvo saadaan laskemalla
k × (k × E) = ωk × B = −ɛ r
ω 2
c 2 E . (10.13)

142 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
E
k
B
Kuva 10.1: Sähkömagneettisen tasoaallon sähkökenttä E ja magneettikenttä
B ovat toisiaan ja etenemissuunnan ilmaisevaa aaltolukuvektoria k vastaan
kohtisuorassa ja muodostavat oikeakätisen kolmikon (E, B, k).
Toisaalta k × (k × E) = (k · E)k − k 2 E = −k 2 E, joten
eli dispersioyhtälö saa muodon
−ɛ r
ω 2
c 2 E = −k2 E (10.14)
k = √ ɛ r
ω
c = n ω c . (10.15)
Oikea aalto ei välttämättä ole monokromaattinen. Jos aalto koostuu joukosta
diskreettejä taajuuksia ω m , Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden vuoksi
kokonaissähkökenttä voidaan esittää summana (kertaa FYMM I:stä)
E(r, t) = ∑ m
E(k m , ω m ) exp[−i(ω m t − k m · r)] . (10.16)
Vektoreita E(k m , ω m ) kutsutaan aallon Fourier-komponenteiksi. Jos k ja ω
käsitellään jatkuvina, funktio E(k, ω) on E(r, t):n Fourier-muunnos.
10.2 Aaltojen polarisaatio
Peruskurssilta tuttu lineaarinen polarisaatio on helppo mieltää, mutta ympyräpolarisaatio
kannattaa miettiä huolellisesti läpi. Asiaa ei lainkaan helpota,
että vasen- ja oikeakätisyys määritellään eri yhteyksissä eri tavoin.
Vektorit E(k, ω) ja B(k, ω) ovat kompleksivektoreita. Kirjoitetaan E oikeakätisessä
reaalisessa kannassa, jonka yksikkövektorit ovat (p, s, u)
E(k, ω) = Êpp + Êss + Êuu , (10.17)
missä hattu viittaa kompleksilukuun. Valitaan u tasoaallon etenemissuunnaksi,
jolloin poikittaisen aallon sähkökenttä on joka hetki ps-tasossa
E(k, ω) = Êpp + Êss . (10.18)

10.2. AALTOJEN POLARISAATIO 143
Ilmaistaan vielä komponentit kompleksitason vaihekulman φ avulla
Ê p = E p e iφp ; Ê s = E s e iφs , (10.19)
missä E p ja E s ovat reaalilukuja. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan φ s asettaa
nollaksi ja merkitä φ p = φ. Niinpä (k, ω)-avaruuden sähkökenttä on
E(k, ω) = E p e iφ p + E s s (10.20)
ja sitä vastaava (r, t)-avaruuden kenttä puolestaan
E(r, t) = E p p e −i(ωt−k·r−φ) + E s s e −i(ωt−k·r) . (10.21)
Fysikaalinen sähkökenttä on tämän reaaliosa
E(r, t) = E p p cos(ωt − k · r − φ) + E s s cos(ωt − k · r) . (10.22)
Aallon sähkökentällä on kaksi komponenttia, joiden reaaliset amplitudit
E p ja E s voivat olla eri suuria. Lisäksi komponentit voivat värähdellä
eri vaiheessa vaihe-eron ollessa φ. Tarkastellaan muutamaa erikoistapausta
pisteessä r = 0. (Näistä kaikista kannattaa piirtää kuvat itse!)
1. Komponentit samassa vaiheessa (φ = 0). Tällöin
E(0, t) = (E p p + E s s) cos ωt . (10.23)
√
√
Sähkökenttä värähtelee Ep 2 + Es 2 :sta − Ep 2 + Es 2 :een osoittaen koko ajan
suuntaan E p p+E s s. Tämä on lineaarinen polarisaatio. Myös 180 ◦ vaihe-ero
antaa lineaarisen polarisaation (E p → −E p ).
2. Vaihe-ero φ = ±π/2. Tällöin
E(0, t) = ±E p p sin ωt + E s s cos ωt . (10.24)
Sähkökenttävektori pyörii ps-tasossa piirtäen ellipsin joko myötä- tai vastapäivään
riippuen katselusuunnasta. Tämä on elliptinen polarisaatio.
3. Vaihe-ero φ = ±π/2 ja E p = E s . Tällöin ellipsi palautuu ympyräksi ja
kyseessä ympyräpolarisaatio.
Jos vaihe-ero on jotain muuta kuin φ = ±π/2, kyseessä on aina elliptinen
polarisaatio (mahdollisesti surkastunut lineaariseksi).
Tarkastellaan sähkökentän pyörimissuuntaa ympyräpolarisaatiossa. Jos
yllä φ = +π/2, pyörii aallon sähkökenttä myötäpäivään, kun katsotaan kohti
saapuvaa aaltoa. Optiikassa tätä kutsutaan oikeakätisesti polarisoituneeksi

144 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
aalloksi. Jos pyörimistä tarkastellaan aallon etenemissuuntaan, se kuitenkin
näyttää toteuttavan vasemman(!) käden kiertosäännön. Tarkasteltaessa
sähkömagneettisten aaltojen ominaisuuksia magnetoituneessa johtavassa
väliaineessa (kuten plasmassa) tällaista aaltoa kutsutaankin vasenkätisesti
polarisoituneeksi. Nimitys on sikäli johdonmukainen, että näin polarisoitunut
aalto muodostaa avaruudessa vasenkätisen ruuvin. Tällaisella aallolla sanotaan
olevan negatiivinen helisiteetti ja joissain yhteyksissä puhutaan myös
negatiivisesti polarisoituneesta aallosta. Vastaavasti (optiikan) vasenkätinen
polarisaatio φ = −π/2 muodostaa avaruudessa oikeakätisen ruuvin. Polarisaatiota
voi pohtia tarkastelemalla kotoa löytyvää tavallista oikeakätistä
ruuvia.
Tällä kurssilla ei tarvitse murehtia oikea- tai vasenkätisyyksien sekamelskasta,
mutta asia on hyvä tietää vastaisen varalta.
Mielivaltainen elliptinen polarisaatio voidaan hajoittaa eri vaiheissa värähtelevien
oikea- ja vasenkätisesti polarisoituneiden aaltojen summaksi.
Esimerkiksi lineaarinen polarisaatio voidaan esittää summana kahdesta eri
suuntiin pyörivästä ympyräpolarisoituneesta aallosta, joilla on sama amplitudi.
10.3 Sähkömagneettisen aallon energia
Kompleksisen kentän reaaliosa on fysikaalinen mitattava kenttä. Maxwellin
yhtälöt ovat lineaariset kenttien suhteen ja toteutuvat erikseen kenttien
reaali- ja imaginaariosille. Kenttien energiat ja Poyntingin vektori ovat kuitenkin
vektoreiden tuloja, jolloin reaali- ja imaginaariosat sekoittuvat toisiinsa.
Koska Re (A·B) ≠ Re A·Re B, on syytä ottaa ensin suureiden reaaliosat
ja kertoa ne vasta sitten keskenään.
Pisteessä r = 0 tasoaallon sähkökenttä on E(0, t) = E p p cos(ωt − φ) +
E s s cos(ωt), joten sähkö- ja magneettikenttien neliöt ovat
E 2 = E 2 p cos 2 (ωt − φ) + E 2 s cos 2 (ωt) (10.25)
B 2 = (n/c) 2 E 2 = ɛµ 0 E 2 . (10.26)
Koska D = ɛE ja B = µ 0 H, on B · H = D · E ja tasoaallon energiatiheys on
u w = ɛE 2 = 1 µ 0
( n
c
) 2
E 2 . (10.27)
Toisaalta E×H = EH u, joten Poyntingin vektori osoittaa aallon etenemissuuntaan
ja on suuruudeltaan
S = 1 µ 0
n
c E2 . (10.28)

10.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 145
Tasoaaltojen energiatiheys ja energiavuo saavat siis hyvin yksinkertaiset
lausekkeet ja lisäksi
S = c n u w . (10.29)
Jos vaihenopeutta käsitellään aallon etenemissuuntaisena vektorina v p , voidaan
kirjoittaa
S = u w v p . (10.30)
Tasoaallon Poyntingin vuo voidaan siis tulkita energiatiheyden etenemisenä
vaihenopeuden mukana. Kentällä on energian lisäksi liikemäärää ja
liikemäärämomenttia. Aallot kuljettavat myös näitä suureita mukanaan.
Tasoaallon energiatiheys u w ja energiavuo S ovat verrannollisia suureeseen
E 2 . Ympyräpolarisoituneelle aallolle (φ = ±π/2)
E 2 = E 2 p sin 2 ωt + E 2 p cos 2 ωt = E 2 p , (10.31)
joka on vakio. Lineaarisesti polarisoituneella aallolla puolestaan
E 2 = (E 2 p + E 2 s ) cos 2 ωt (10.32)
vaihtelee nollan ja maksiminsa välillä kaksi kertaa aallon taajuudella.
Korkeataajuisten aaltojen tapauksessa E 2 :n aikakeskiarvo on usein mielenkiintoisempi
suure kuin sen ajallinen vaihtelu. Koska cos 2 (ωt − φ):n keskiarvo
yhden jakson aikana on 1/2, kaikilla polarisaatioilla
〈E 2 〉 = 1 2 (E2 p + E 2 s ) . (10.33)
Tämän voi kirjoittaa myös kompleksisen E-vektorin avulla:
〈E 2 〉 = 1 2 Re(E∗ · E) , (10.34)
missä ∗ viittaa kompleksikonjugaattiin. Tasoaallon energiatiheyttä voi siis
tarkastella käsittelemällä sähkökenttää alusta loppuun kompleksisena, mutta
silloin mitattavat suureet on käsiteltävä jakson yli otettuina keskiarvoina.
10.4 Tasoaallot johteessa
Yksinkertaisessa väliaineessa (µ, ɛ ja σ vakioita), jossa ei ole vapaita varauksia,
Maxwellin yhtälöt yhdessä rakenneyhtälöiden ja Ohmin lain kanssa
johtavat aaltoyhtälöihin
∇ 2 H − ɛµ ∂2 H
∂t 2
∇ 2 E − ɛµ ∂2 E
∂t 2
− σµ∂H ∂t
− σµ∂E ∂t
= 0 (10.35)
= 0 . (10.36)

146 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Näillä yhtälöillä on kuitenkin myös sellaisia ratkaisuja, jotka eivät toteuta
Maxwellin yhtälöitä, joten käytännön ongelmissa ratkaisujen fysikaalisuus
on tarkastettava erikseen.
Sähkökentän aaltoyhtälö tunnetaan lennätinyhtälönä. Se on perusesimerkki
osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fourier-muunnosten
avulla. Oikaistaan tässä kuitenkin olettamalla suoraan tasoaaltoratkaisu ja
lähtemällä liikkeelle Maxwellin yhtälöistä, jolloin
k · E = 0
k · H = 0
k × E = ωµH (10.37)
ik × H = (σ − iωɛ)E .
Koska k ⊥ E, k ⊥ H ja E ⊥ H, niin aalto on jälleen poikittainen.
Valitaan koordinaatisto siten, että k ‖ e z , E ‖ e x ja H ‖ e y . Tällöin
kE x = ωµH y
ikH y = −(σ − iωɛ)E x . (10.38)
Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω)
k 2 = ω 2 ɛµ + iωσµ . (10.39)
Aaltoluku k on nyt kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k =
|k|e iα ja dispersioyhtälöstä voidaan ratkaista
√
|k| = µω √ ω 2 ɛ 2 + σ 2
α = 1 2 arctan( σ
ɛω ) . (10.40)
Numeerisia laskentaohjelmistoja käytettäessä ei useinkaan tarvitse kirjoittaa
erikseen aaltoluvun reaali- ja imaginaariosia, vaan voi käyttää kompleksilukua
k = √ ω 2 ɛµ + iωσµ . Ratkaisun vaihekulman α oikea valinnan kanssa
on kuitenkin syytä olla huolellinen.
Lennätinyhtälön ratkaisu harmonisille aalloille on siis
E = E 0 e x e i(Re(k)z−ωt) e −Im(k)z
= E 0 e x exp[i(|k|z cos α − ωt)] exp[−|k|z sin α] . (10.41)
Tässä valitaan α:n vaihe siten, että Im(k) > 0 eli sin α > 0 (HT: piirrä kuva
kompleksitasossa). Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen kuten
e −|k|z sin α , mikä on fysikaalisesti mielekäs ratkaisu. Matka, jolla aallon amplitudi
vaimenee tekijällä e, on väliaineen tunkeutumissyvyys (skin depth)
δ = 1
Im(k) = 1
|k| sin α . (10.42)

10.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 147
Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritellään
Z = E x
= µω √ µω
H y k = √
ω 2 ɛ 2 + σ exp[− i 2 2 arctan( σ )] . (10.43)
ωɛ
Impedanssilla on sama SI-yksikkö kuin resistanssilla [Z] = Ω.
Esimerkkejä
Hyvä johde
Siirrosvirtatermi on merkityksetön eli
σ >> ωɛ ⇒ α = 45 ◦ ; δ = √ 2/(ωµσ), v p = δω tan α = δω .
{ f = 50 Hz δ ≈ 1 cm vp ≈ 3 m s
Kuparille:
−1
f = 50 MHz δ ≈ 10 µm v p ≈ 3 × 10 3 m s −1
√ ωµ
Z =
σ e−iπ/4 ⇒ 45 ◦ vaihe-ero E:n ja H:n välillä.
Eriste
σ = 0, ɛ > 0, µ = µ 0 ⇒ α = 0
eli aalto ei vaimene tunkeutuessaan eristeeseen.
Z = √ µ 0 /ɛ ≡ Z 0
√
ɛ0 /ɛ,
missä Z 0 on tyhjiön impedanssi Z 0 = √ µ 0 /ɛ 0 ≈ 376,73 Ω ≈ 120π Ω.
Fourier-komponenttien yhtälöryhmästä saadaan aaltoluvun ja kenttien välille
yhteydet
k · E = 0
k · B = 0
k × E = ωB (10.44)
k × B = − ω c 2 ˆɛ r E ,
missä ˆɛ r on kompleksinen suhteellinen dielektrisyysvakio ja µ = µ 0
ˆɛ r = ɛ r + i
σ
ωɛ 0
. (10.45)
Nyt myös taitekerroin kannattaa määritellä kompleksilukuna
jolloin aaltoluku k toteuttaa yhtälön k 2 = ˆn 2 ω 2 /c 2 .
ˆn 2 = ˆɛ r , (10.46)

148 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
10.5 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli
Dispersiivisessä väliaineessa dispersioyhtälö on yksinkertaista lineaarista relaatiota
ω = (c/n)k monimutkaisempi. Aineen eristeominaisuudet voivat
riippua taajuudesta ja aaltoluvusta: ɛ = ɛ(ω, k). Tarkastellaan väliainetta,
jossa ei ole vahvoja sisäisiä voimia, ja jätetään aineen magneettiset ominaisuudet
huomiotta (µ = µ 0 ). Kuvataan klassisen fysiikan mukaisesti yhtä
elektronia, joka on sidottu atomiin harmonisella voimalla
F h = −mω 2 0r , (10.47)
missä r on poikkeama tasapainoasemasta. Oletetaan lisäksi, että elektronin
liikettä vastustaa voima
F d = −mγ dr
dt , (10.48)
missä alaindeksi d (damping) viittaa siihen, että voima vaimentaa harmoniseen
voimaan liittyvää värähtelyä.
Ulkoisessa sähkökentässä E(r, t) liikeyhtälöksi tulee
( d 2 r
m
dt 2 + γ dr )
dt + ω2 0r = −eE(r, t) . (10.49)
Oletetaan harmoninen aikariippuvuus (∝ exp(−iωt)), jolloin liikeyhtälön
ratkaisu on
−eE
r =
m(ω0 2 − ω2 − iωγ) . (10.50)
Elektronin poikkeama tasapainoasemasta aiheuttaa dipolimomentin
p = −er =
e 2 E
m(ω 2 0 − ω2 − iωγ) . (10.51)
Olkoon yksikkötilavuudessa n molekyyliä ja jokaista molekyyliä kohti Z
elektronia. Oletetaan, että f j kappaleella jokaisen molekyylin elektroneista
on ominaistaajuus ω 0j ja vaimennustekijä γ j . Tekijöitä f j kutsutaan oskillaattorivoimakkuuksiksi
ja ne normitetaan elektronien lukumäärään: ∑ j f j =
Z. Nyt sähköinen polarisoituma (dipolimomenttien tiheys) on
P = ne2 E
m
∑
j
f j
ω 2 0j − ω2 − iωγ j
. (10.52)
Sähkövuon tiheys on D = ɛE = ɛ 0 E + P, joten taajuudesta riippuva
kompleksinen permittiivisyys voidaan kirjoittaa muodossa
⎛
⎞
ɛ(ω) = ɛ 0 (1 + χ(ω)) = ɛ 0
⎝1 + ne2 ∑ f j
mɛ 0 ω0j 2 − ⎠ . (10.53)
ω2 − iωγ j
j

10.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 149
Oletetaan sitten, että aineessa on jonkin verran vapaita elektroneja (f 0
kappaletta molekyyliä kohti), mutta muuten väliaine on samanlainen kuin
edellä. Vapaille elektroneille ω 00 = 0, jolloin
ɛ(ω) = ɛ 0
⎛
⎝1 + ne2
mɛ 0
∑
j≠0
⎞
f j
ω0j 2 − ⎠ − ne2
ω2 − iωγ j mω
f 0
ω + iγ 0
. (10.54)
Merkitään oikean puolen ensimmäistä termiä ɛ b ja käytetään Ohmin lakia
(J = σE). Tällöin Ampèren ja Maxwellin laista tulee
∇ × H = (σ − iωɛ b )E ≡ −iωɛE , (10.55)
joten
ɛ = ɛ b + iσ/ω . (10.56)
Vertaamalla tätä lausekkeeseen (10.54) saadaan
σ =
f 0 ne 2
m(γ 0 − iω) . (10.57)
Johtavuus σ on nyt taajuuden kompleksiarvoinen funktio. Jos γ 0 ≫ |ω| ja
f 0 = 1, tästä tulee luvusta 5 tuttu staattisen johtavuuden lauseke
missä γ 0 on törmäysajan τ käänteisluku.
σ = ne2
mγ 0
, (10.58)
Esimerkiksi kuparilla huoneen lämpötilassa σ = 5, 6 · 10 7 (Ω m) −1 , n =
8·10 28 m −3 ja f 0 = 1 ⇒ γ 0 = 4·10 13 s −1 . Oletus staattisesta johtavuudesta
on siis hyvä taajuuksilla |ω| ≪ 4 · 10 13 s −1 . Tavallisten FM-radioasemien
taajuudet ω ≈ 100 MHz·2π ≈ 6×10 8 s −1 toteuttavat tämän ehdon suurella
marginaalilla, mikä on hyvä asia antennien toimintaa ajatellen.
Taajuuksia ω 0j kutsutaan resonanssitaajuuksiksi. Monissa käytännön
ongelmissa γ j ≪ ω 0j , joten ɛ(ω) on melkein reaalinen paitsi resonanssitaajuuksien
lähellä eli
⎛
⎞
ɛ(ω) ≈ ɛ 0
⎝1 + Ne2 ∑ f j
mɛ 0 ω0j 2 − ⎠ . (10.59)
ω2
Dispersiota kutsutaan normaaliksi, jos d(Re ɛ(ω))/dω > 0 ja anomaaliseksi,
jos d(Re ɛ(ω))/dω < 0. Normaalin dispersion alueella permittiivisyys kasvaa
taajuuden myötä. Anomaalista dispersiota ilmenee ainoastaan lähellä
resonanssikohtaa, missä Im ɛ poikkeaa nollasta (HT: piirrä kuva).
j≠0

150 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Tarkastellaan energiabudjettia resonanssikohdan lähellä. Sähkövirta on
nyt polarisaatiokentän aikaderivaatasta aiheutuvaa polarisaatiovirtaa J P =
∂P/∂t ja sähkökentän tekemän työn tehotiheys on
Yhden jakson keskimääräinen tehotiheys on
E · J P = E · ∂P/∂t . (10.60)
〈E · J P 〉 = 1 2 Re(E · (−iωP)∗ ) = 1 2 Re(iω(ɛ∗ − ɛ 0 )E · E ∗ ) = ω 2 |E|2 Im ɛ(ω) .
(10.61)
Jos Im ɛ > 0, energia siirtyy sähkökentältä elektroneille eli aalto vaimenee.
Tätä kutsutaan resonanssiabsorptioksi. Tässä mallissa Im ɛ > 0, kun
ω > 0. On olemassa tärkeitä fysikaalisia prosesseja, joissa aalto saa energiaa
hiukkasilta, mutta niiden käsittelyyn tämä malli ei sovellu. Tässä yhteydessä
on opettavaista todeta merkinvalinnan vaikutus. Jos aikariippuvuudeksi olisi
valittu exp(+iωt), olisi Im ɛ:n merkki päinvastainen. Tilanteen fysiikka on
tietenkin riippumatonta merkkisopimuksista.
Tämän väliaineen taitekerroin ja aallon aaltoluku ovat
n(ω) =
√
√
ɛµ ɛ(ω)
≈
ɛ 0 µ 0 ɛ 0
√
(10.62)
k(ω) =
ɛ(ω) ω
ɛ 0 c . (10.63)
Tästä saadaan vaihenopeus
v p = ω/k = c/n(ω) . (10.64)
Energian etenemisnopeuden dispersiivisessä väliaineessa antaa ryhmänopeus,
joka määritellään v g = dω/dk ja on siten
v g = dω
dk = 1
dk/dw = c
n(ω) + ω dn . (10.65)
dω
Samaan aikaan lähtevät eritaajuiset aallot saavuttavat vastaanottajan eri
aikaan, mikäli ne etenevät dispersiivisessä väliaineessa.

10.6. PALLOAALLOT 151
10.6 Palloaallot 1
Tasoaalto on erittäin käyttökelpoinen matemaattinen idealisaatio. Todellisuudessa
sähkömagneettinen aalto kuitenkin synnytetään esimerkiksi äärellisen
kokoisella antennilla. Antennin lähellä kenttien rakenne on monimutkainen
ja riippuu antennin geometriasta ja toimintaperiaatteesta. Kun aalto
etenee avaruuteen, se laajenee ja tarkasteltaessa aaltorintamaa riittävän pienellä
alueella se näyttää tasoaaltorintamalta. Joskus on kuitenkin otettava
huomioon aaltorintaman globaali muoto. Tarkastellaan esimerkkinä origosta
joka suuntaan eteneviä pallonmuotoisia aaltorintamia. Periaatteessa ongelma
ratkaistiin luvussa 9, jossa johdettiin viivästyneet potentiaalit ja palloaallon
Greenin funktio. Kenttiä ei laskettu, sillä derivointi viivästyneistä
potentiaaleista on aika työlästä.
Tyhjiössä etenevän aallon sähkökentän aaltoyhtälö on
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 = 0 , (10.66)
josta monokromaattiselle aallolle tulee vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö
( ω
) 2
∇ 2 E(r) + E(r) = 0 . (10.67)
c
Ongelmana on termin ∇ 2 E = −∇ × ∇ × E + ∇∇ · E kirjoittaminen pallokoordinaateissa.
Termin −∇×∇×E radiaali- ja kulmakomponenteissa ovat
mukana kaikki pallokoordinaatiston muuttujat, mikä mutkistaa yhtälön separointia.
Vektorimuotoinen Laplacen yhtälö separoituu kunkin muuttujan
erillisiksi differentiaaliyhtälöiksi vain karteesisissa koordinaateissa.
Tarkastellaankin sen vuoksi ensin skalaarimuotoista Helmholtzin yhtälöä
( ω
) 2
∇ 2 ψ + ψ = 0 . (10.68)
c
Suoraviivainen harjoitustehtävä on osoittaa, että
on (10.67):n ratkaisu ja ∇ · E = 0. Faradayn laista
saadaan magneettikenttä
E = r × ∇ψ (10.69)
∇ × E = iωB (10.70)
B = − i ∇ × (r × ∇ψ) . (10.71)
ω
1 Tämä luku ei ole kurssin ydinainesta, mutta palloaaltojen tunteminen kuuluu fyysikon
yleissivistykseen

152 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Tämän jälkeen on helppo työ tarkastaa, että myös loput Maxwellin yhtälöt
toteutuvat tyhjiössä.
Voitaisiin myös lähteä liikkeelle B-kentän aaltoyhtälöstä, jolloin
B ′ = 1 r × ∇ψ (10.72)
c
E ′ = ic ω
∇ × (r × ∇ψ) . (10.73)
Nämä ratkaisuparit ovat esimerkkejä sähkömagneettisista palloaalloista
Ratkaisuparissa (E, B) sähkökenttä on jokaisessa pisteessä tangentiaalinen
origokeskisen pallon pinnan kanssa. Tätä aaltoa kutsutaan joskus transversaaliseksi
sähköiseksi (TE) moodiksi. Ratkaisuparissa (E ′ , B ′ ) magneettikentällä
on puolestaan sama ominaisuus ja aaltoa kutsutaan transversaaliseksi
magneettiseksi (TM) moodiksi (HT: Piirrä kuvat!).
Vielä on löydettävä ψ Helmholtzin skalaariyhtälön ratkaisuna. Käytetään
Laplacen yhtälön ratkaisemisesta tuttua muuttujien separointia pallokoordinaatistossa.
Ratkaistava yhtälö on pallokoordinaateissa
1 ∂
r 2 ∂r
(
r 2 ∂ψ
∂r
)
+ 1
r 2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂ψ
∂θ
)
+
Erona Laplacen yhtälöön on siis termi k 2 ψ.
1 ∂ 2 ψ
r 2 sin 2 θ ∂φ 2 + k2 ψ = 0 . (10.74)
Sijoitetaan separointiyrite ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ) ylläolevaan yhtälöön. Jaetaan
tulos ψ:llä ja kerrotaan tekijällä r 2 sin 2 θ, jolloin
1
R sin2 θ d dR
r2
dr dr + 1 Θ sin θ d (
sin θ dΘ )
+ 1 d 2 Φ
dθ dθ Φ dφ 2 + k2 r 2 sin 2 θ = 0 .
(10.75)
φ-riippuvuuden osalta separointi antaa tutun yhtälön
d 2 Φ m
dφ 2 + m 2 Φ m = 0 . (10.76)
θ- ja r-riippuvat yhtälöt ovat puolestaan
1 d
sin θ dθ sin θ dΘ ]
lm
+
[l(l + 1) − m2
dθ
sin 2 Θ lm
θ
= 0 (10.77)
d dr r2 l
dr − [l(l + 1) − k2 r 2 ]R l = 0 . (10.78)
Yhtälön (10.76) ratkaisut ovat muotoa Φ m = e ±imφ ja yhtälön (10.77) ratkaisut
ovat tutut Legendren liittofunktiot (luku 2). Termi k 2 ψ muuttaa siis
ainoastaan radiaalista yhtälöä (10.78), josta muuttujanvaihdolla ξ = kr ja
sijoituksella R l = ξ −1/2 Z l saadaan Besselin yhtälö
ξ 2 d2 Z l
dξ 2
+ ξ dZ l
dξ − [(l + 1/2)2 − ξ 2 ]Z l = 0 . (10.79)

10.6. PALLOAALLOT 153
Ratkaisuina ovat Besselin ja Neumannin funktiot J l+1/2 (kr) ja N l+1/2 (kr).
Pallokoordinaatistossa näistä muodostetaan pallobesseleitä
j l (kr) = √ π/2kr J l+1/2 (kr) (10.80)
n l (kr) = √ π/2kr N l+1/2 (kr) . (10.81)
Pallobesselit voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden sarjakehitelminä,
joten niitä ei tarvitse arastella sen enempää, esimerkiksi j 0 (r) = sin r/r, n 0 (r) =
− cos r/r (FYMM II).
Nyt meillä on koossa yleinen ratkaisu skalaarimuotoiselle Helmholtzin
yhtälölle muodossa
ψ lm = √ π/2kr Z l (kr) P m
l (cos θ) e ±imφ . (10.82)
Yksinkertaisin fysikaalisesti mielenkiintoinen valinta on
ψ 10 = 1 [
kr eikr 1 + i ]
cos θ , (10.83)
kr
josta saadaan TE-moodille
ja
[ 1
E = r × ∇ψ 10 = −E 0 e ikr kr + i ]
k 2 r 2 sin θ e φ (10.84)
B = −i 1 ω ∇ × E (10.85)
= i {[ 1
ω E 0e ikr kr 2 + i ]
[ i
k 2 r 3 2 cos θ e r −
r − 1
kr 2 − i ] }
k 2 r 3 sin θ e θ .
Tämä on magneettisen dipoliantennin säteilemä aaltokenttä.

154 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT

Luku 11
Aaltojen heijastuminen ja
taittuminen
Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista
väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin
ja oletetaan väliaineet lineaarisiksi ja magnetoitumattomiksi (µ = µ 0 ).
11.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle
Tarkastellaan ensin heijastumista kahden eristeen rajapinnalla (xy-taso),
kun aalto saapuu kohtisuoraan pintaa vastaan (kuva 11.1). (E 1 , B 1 ) kuvaa
+z-akselin suuntaan etenevää saapuvaa aaltoa, (E ′ 1 , B′ 1 ) −z-akselin suuntaan
etenevää heijastunutta aaltoa ja (E 2 , B 2 ) rajapinnan läpäissyttä aaltoa.
x
E 1
B 2
B 1
E 2
B 1´ E 1´
y
z
Kuva 11.1: Heijastuminen ja läpäisy kohtisuoraan xy-tasolle saapuvalle aallolle.
155

156 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
Oletetaan, että aallon sähkökenttä on lineaarisesti polarisoitunut x-akselin
suuntaan, jolloin
E 1 = e x E 1x e i(k 1z−ωt)
E ′ 1 = −e x E ′ 1xe −i(k 1z+ωt)
E 2 = e x E 2x e i(k 2z−ωt) ,
(11.1)
missä k 1 = n 1 ω/c, k 2 = n 2 ω/c. Magneettikenttä saadaan Faradayn laista
seuraavasta relaatiosta B = (n/c) u×E, missä u = e z tulevalle ja läpäisseelle
aallolle ja u = −e z heijastuneelle aallolle. Kenttä on y-akselin suuntainen
cB 1 = e y n 1 E 1x e i(k 1z−ωt)
cB ′ 1 = e y n 1 E ′ 1xe −i(k 1z+ωt)
cB 2 = e y n 2 E 2x e i(k 2z−ωt) .
(11.2)
Kaikilla aalloilla on oltava sama ω, jotta reunaehdot rajapinnalla toteutuisivat
kaikilla ajanhetkillä t. Sähkökentän tangentiaalikomponentti on
jatkuva, joten
E 1x − E ′ 1x = E 2x . (11.3)
Koska µ = µ 0 , myös magneettikentän tangentiaalikomponentti on jatkuva,
josta seuraa
n 1 (E 1x + E ′ 1x) = n 2 E 2x . (11.4)
Oletetaan saapuvan aallon amplitudi E 1x tunnetuksi ja ratkaistaan näistä
yhtälöistä heijastuneen ja läpäisseen aallon amplitudit
E ′ 1x = n 2 − n 1
n 2 + n 1
E 1x ; E 2x = 2n 1
n 2 + n 1
E 1x . (11.5)
Määritellään Fresnelin kertoimet kohtisuoraan tulevalle aallolle
r 12 = E′ 1x
E 1x
= n 2 − n 1
n 2 + n 1
; t 12 = E 2x
E 1x
= 2n 1
n 2 + n 1
. (11.6)
Symboli r viittaa heijastumiseen (reflection) ja t läpäisyyn (transmission).
Aallon intensiteetti eli Poyntingin vektorin aikakeskiarvo on
〈S〉 =
n
2µ 0 c (E2 p + E 2 s ) . (11.7)
Tässä tapauksessa E p = E x ja E s = 0. Heijastussuhde R n ja läpäisysuhde
T n määritellään määritellään osa-aaltojen intensiteettien suhteina
R n = 〈S′ 1 〉
〈S 1 〉 = r2 12 = ( n 2 − n 1
n 2 + n 1
) 2 (11.8)
T n = 〈S 2〉
〈S 1 〉 = n 2
n 1
t 2 12 = 4n 2n 1
(n 2 + n 1 ) 2 . (11.9)

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 157
Mille hyvänsä eristeparille R n + T n = 1, mikä ilmaisee energian säilymisen.
Elliptiselle polarisaatiolle on tarkasteltava erikseen x- ja y-komponentteja.
x-komponenteille pätee yllä oleva tarkastelu sellaisenaan ja y-komponenteille
saadaan samat Fresnelin kertoimet. Myös y-komponentit pysyvät samassa
vaiheessa keskenään, vaikka ne ovatkin eri vaiheessa kuin x-komponentit.
Heijastus- ja läpäisysuhteet pysyvät ennallaan, sillä intensiteetti 〈S〉 on eri
polarisaatiokomponenttien intensiteettien summa.
Esimerkkejä
1. Ilman (n 1 = 1) ja lasin (n 2 = 1, 5) rajapinnalla R n = 0, 04 ja T n =
0, 96.
2. Makean veden taitekerroin näkyvälle valolle on n 2 = 1, 33, joten R n =
0, 02. Kun ω on alle 10 11 s −1 , veden suhteellinen permittiivisyys on
kuitenkin suuri (ɛ r ≈ 81), joten n 2 = 9 ja R n = 0, 64. Vesi siis heijastaa
huomattavasti tehokkaammin radioaaltoja kuin valoa.
11.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa
Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa rajapinta on xy-tasossa ja saapuvan
aallon aaltovektori xz-tasossa (saapumistasossa, kuva 11.2).
x
k’ 1
k 2
E’1
E 2
θ’ 1
θ 1
n = e z
θ 2
z
Kuva 11.2: Heijastuminen ja taittuminen p-polarisaatiolle.
Valitaan jokaiselle osa-aallolle jälleen {p, s, u}-kanta, jolloin kuvan tilanteessa
kullakin aallolla on vain sähkökentän p-komponentti
E 1 = p 1 Ê 1p e i(k 1·r−ωt)
E ′ 1 = p ′ 1Ê′ 1pe i(k′ 1·r−ωt) (11.10)
E 2 = p 2 Ê 2p e i(k 2·r−ωt) .

158 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
Koska kunkin osa-aallon magneettikenttä on kohtisuorassa sekä k- että p-
vektoreihin nähden, magneettikentällä on vain s-komponentti ja se on tässä
geometriassa kaikilla osa-aalloilla y-akselin suuntainen.
Olkoon n = e z rajapinnan yksikkönormaali. Jotta aaltokenttä olisi jatkuva
rajapinnalla, täytyy aaltojen taajuuksien lisäksi myös vaiheiden olla
samat missä hyvänsä rajapinnan pisteessä r 0 , joten
Tästä on helppo näyttää, että
k 1 · r 0 = k ′ 1 · r 0 = k 2 · r 0 . (11.11)
n × k 1 = n × k ′ 1 = n × k 2 . (11.12)
Siis kaikki k-vektorit ja n ovat kohtisuorassa vektoria (n×k 1 )/|n×k 1 | = e y
kohtaan, joten kaikkien osa-aaltojen aaltovektorit ovat samassa tasossa.
Muistisääntönä p-komponentti viittaa saapumistasossa olevaan sähkökentän
komponenttiin (parallel). Tällaisesta polarisaatiosta käytetään nimitystä
p-polarisaatio. Radioaaltojen yhteydessä tätä kutsutaan myös vertikaaliseksi
polarisaatioksi, sillä tarkasteltaessa radioaallon heijastumista ionosfääristä
näin polarisoituneen aallon sähkökentällä on pystykomponentti.
Toinen peruspolarisaatio on s-polarisaatio tai horisontaalinen polarisaatio,
jossa sähkökentällä on vain s-komponentti. s viittaa saksankielen sanaan
senkrecht (kohtisuora). Tällöin puolestaan osa-aaltojen magneettikentillä on
erisuuntaiset p-komponentit. Koska kaikki muut polarisaatiotilat voidaan ilmaista
eri vaiheissa värähtelevien s- ja p-polarisoituneiden aaltojen superpositiona,
riittää tarkastella näitä kahta perustapausta
joten
Kuvasta (11.2) nähdään kaksi muutakin tärkeää tulosta. Ensinnäkin
Niinpä tuloksen (11.12) perusteella
k 1 · n = k 1 cos θ 1
k ′ 1 · n = −k 1 ′ cos θ 1 ′ (11.13)
k 2 · n = k 2 cos θ 2 ,
|k 1 × n| = k 1 sin θ 1
|k ′ 1 × n| = k 1 ′ sin θ 1 ′ (11.14)
|k 2 × n| = k 2 sin θ 2 .
k 1 sin θ 1 = k ′ 1 sin θ ′ 1 = k 2 sin θ 2 . (11.15)
Koska saapuva ja heijastunut aalto etenevät samalla taajuudella samassa
väliaineessa, k 1 = k 1 ′ ja saadaan tuttu heijastuslaki
sin θ 1 = sin θ ′ 1 eli θ 1 = θ ′ 1 . (11.16)

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 159
Aaltolukuja eri väliaineissa puolestaan sitoo dispersioyhtälö k = nω/c, mistä
seuraa Snellin laki
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 . (11.17)
Kulmaa θ 1 kutsutaan saapumiskulmaksi, θ ′ 1 heijastuskulmaksi ja θ 2 taittumiskulmaksi
Heijastuslain ja Snellin lain johtamisessa ei käytetty Maxwellin yhtälöistä
seuraavia ehtoja kentille rajapinnalla, vaan ne riippuvat aaltoliikkeen yleisistä
geometrisista ominaisuuksista ja Snellin lain osalta väliaineen taitekertoimesta.
Fresnelin kertoimia määritettäessä tarvitaan myös kenttien tangentiaalikomponenttien
jatkuvuusehtoja. Jaetaan vektorikenttä normaali- ja
tangentiaalikomponentteihinsa E = (n · E)n − n × (n × E). Normaalikomponenttien
jatkuvuusehdot toteutuvat automaattisesti. Tangentiaalikomponentin
jatkuvuus tarkoittaa, että
Magneettikentälle puolestaan (kun µ = µ 0 )
n × (E 1 + E ′ 1) = n × E 2 . (11.18)
n × (B 1 + B ′ 1) = n × B 2 . (11.19)
Aaltovektorin suuntainen yksikkövektori on u, joten Faradayn lain B =
(n/c)u × E perusteella ehto tulee muotoon
n 1 n × (u 1 × E 1 + u ′ 1 × E ′ 1) = n 2 n × (u 2 × E 2 ) . (11.20)
Kirjoittamalla vektorikolmitulot auki ja tarkastelemalla s-komponenttia saadaan
osa-aallolle E 1 yhtälö
n × (u 1 × E 1s ) = − cos θ 1 E 1s (11.21)
ja vastaavasti muille osa-aalloille. Näin (11.20) tulee muotoon
n 1 (cos θ 1 E 1s − cos θ ′ 1E ′ 1s) = n 2 cos θ 2 E 2s . (11.22)
Koska θ 1 = θ 1 ′ , tämä sievenee muotoon
n 1 cos θ 1 (E 1s − E ′ 1s) = n 2 cos θ 2 E 2s . (11.23)
Sähkökentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudesta saadaan suoraan s-
komponenteille ehto
E 1s + E ′ 1s = E 2s . (11.24)
Näistä yhtälöistä löytyvät Fresnelin kertoimet s-polarisaatiolle
E ′ 1s = r 12s E 1s , E 2s = t 12s E 1s , (11.25)

160 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
missä
r 12s = n 1 cos θ 1 − n 2 cos θ 2
(11.26)
n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2
2n 1 cos θ 1
t 12s =
. (11.27)
n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2
p-polarisaatio näyttää geometrialtaan hankalammalta, koska sähkökenttä
ei ole rajapinnan tasossa. Nyt kannattaakin tarkastella magneettikenttää,
sillä se on rajapinnan tasossa. Näin saadaan yhtälöpari
1
n 1
cos θ 1 (B 1s − B ′ 1s) = 1 n 2
cos θ 2 B 2s (11.28)
ja Fresnelin kertoimet tulevat ehdosta
missä
B 1s + B ′ 1s = B 2s (11.29)
B ′ 1s = r 12p B 1s , B 2s = n 2
n 1
t 12p B 1s , (11.30)
r 12p = n 2 cos θ 1 − n 1 cos θ 2
(11.31)
n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2
2n 1 cos θ 1
t 12p =
. (11.32)
n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2
Koska Snellin laki sitoo taitekertoimet ja saapumis- ja taittumiskulmat
√
cos θ 2 = 1 − (n 1 /n 2 ) 2 sin 2 θ 1 , (11.33)
joten taittumiskulma voidaan eliminoida Fresnelin kertoimista.
Intensiteettien väliset relaatiot saadaan keskimääräisten Poyntingin vektoreiden
avulla, mutta nyt täytyy käsitellä s- ja p-polarisaatiot erikseen:
R s = n · 〈S′ 1s 〉
n · 〈S 1s 〉
R p = n · 〈S′ 1p 〉
n · 〈S 1p 〉
T s = n · 〈S 2s〉
n · 〈S 1s 〉
(11.34)
T p = n · 〈S 2p〉
n · 〈S 1p 〉 , (11.35)
jotka Fresnelin kertoimien avulla saavat muodon
R s = r 2 12s T s = n 2 cos θ 2
n 1 cos θ 1
t 2 12s (11.36)
R p = r 2 12p T p = n 2 cos θ 2
n 1 cos θ 1
t 2 12p (11.37)

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 161
ja lisäksi R s + T s = 1 ja R p + T p = 1.
Käyttämällä hyväksi Snellin lakia pieni trigonometristen funktioiden
harjoitustehtävä muokkaa Fresnelin kertoimet muotoon
Brewsterin kulma
r 12s = sin(θ 2 − θ 1 )
sin(θ 2 + θ 1 )
(11.38)
t 12s = 2 cos θ 1 sin θ 2
sin(θ 2 + θ 1 )
(11.39)
r 12p = tan(θ 1 − θ 2 )
tan(θ 1 + θ 2 )
(11.40)
t 12p =
2 cos θ 1 sin θ 2
sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 − θ 2 ) . (11.41)
Onko olemassa kulmia, joilla aalto ei lainkaan heijastu rajapinnalta? Molemmilla
polarisaatioilla tämä tapahtuu, kun θ 1 = θ 2 , mutta tämä ei ole
mielenkiintoinen tapaus, koska silloin molemmilla väliaineilla on oltava sama
taitekerroin. p-polarisaation tapauksessa myös ehto θ 1 + θ 2 = π/2 tekee
heijastuskertoimesta nollan. Merkitään sisääntulokulmaa θ B ja kirjoitetaan
θ 2 = π/2 − θ B , jolloin Snellin laista saadaan ratkaistuksi Brewsterin kulma
tan θ B = n 2 /n 1 . (11.42)
Koska tämä ehto on voimassa vain p-polarisaatiolle (vertikaaliselle polarisaatiolle),
sen avulla voidaan tuottaa polarisoitunutta valoa. Esimerkiksi ilman
(n = 1) ja lasin (n = 1.5) rajapinnalla θ B = 56 ◦ ja tässä kulmassa rajapinnalle
tulevasta polarisoitumattomasta (tai mielivaltaisesti polarisoituneesta)
valosta heijastuu vain s-polarisoitunut komponentti.
Kokonaisheijastus
Aalto heijastuu kokonaan, jos θ 2 = π/2. Sitä vastaava sisääntulokulma saadaan
jälleen Snellin laista
sin θ c = n 2 /n 1 . (11.43)
Tätä kutsutaan kriittiseksi kulmaksi. Se on reaalinen vain, jos n 2 < n 1 .
Tarkastellaan jälleen lasin ja ilman rajapintaa, mutta nyt lasin suunnasta,
jolloin θ c = 42 ◦ . Jos kulma on tätä suurempi, Snellin laki antaa ehdon
sin θ 2 > 1 , (11.44)
jolla ei ole reaalisia ratkaisuja. Tarkastelemalla kompleksisia Fresnelin kertoimia
voidaan näyttää, että R s = R p = 1 kaikille θ 1 ≥ θ c . Kriittistä kulmaa
suuremmilla saapumiskulmilla kaikki aallon energia heijastuu. Tästä
on hyötyä käytännön optiikassa kuten prismakiikareissa ja valokaapeleissa.

162 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
11.3 Heijastuminen johteen pinnalta
Edellisessä esimerkissä jouduimme tilanteeseen, jossa Fresnelin kertoimet
tulevat kompleksiksi. Näin käy myös, jos toinen väliaine on johtava, koska
silloin taitekerroin on kompleksinen. Snellin laki on yhä voimassa, joten
n 1 sin θ 1 = ˆn 2 sin ˆθ 2 , (11.45)
missä hattu viittaa kompleksilukuun. Kompleksisuureiden avulla kirjoitettuna
esimerkiksi heijastuneen s-polarisoituneen aallon sähkökenttä on
Ê ′ 1s = |ˆr 12s |e iαsÊ 1s . (11.46)
Heijastuneella osa-aallolla on nyt vaihe-ero α s saapuneeseen aaltoon nähden.
Taittuneen aallon osalta tilanne on olennaisesti edellisiä monimutkaisempi,
koska johteessa aalto vaimenee eli sen energiaa siirtyy väliaineelle.
Mikäli johtava väliaine on niin paksu, että se absorboi kaiken rajapinnan
läpi tulleen energian, voidaan määritellä vaimennussuhde (absorptanssi):
A = 1 − R . (11.47)
Tarkastellaan tilannetta, jossa aalto tulee ilmasta (n 1 = 1) johteeseen ja kirjoitetaan
johteen taitekerroin ˆn 2 = n r +in i . Tällöin kohtisuoraan saapuvalle
aallolle saadaan vaimennussuhteeksi
4n r
A n =
(n r + 1) 2 + n 2 . (11.48)
i
Jos n r ja n i ovat molemmat suuria ja suurinpiirtein yhtä suuria, kyseessä
on luvussa 10 käsitelty hyvän johteen tapaus, jolloin Im k = √ µ 0 σω/2.
Olettaen taajuus reaaliseksi, taitekertoimen imaginaariosa on
joten vaimennusuhde on
n i = c ω
√
µ0 σω
2
√
=
σ
2ɛ 0 ω , (11.49)
A n ≈ 2 √ 2ɛ 0 ω/σ ≪ 1 . (11.50)
Pieni vaimennussuhde merkitsee hyvää heijastussuhdetta.
Esimerkkejä
1. Mikroaaltotekniikassa käytetään usein hopeapintaa heijastamaan aaltoja.
Tyypillisen 3 cm aallon taajuus on f = 10 GHz, jolloin
A n = 3, 9 · 10 −4 ; R n = 0, 9996 .
2. Sukellusveneiden kanssa kommunikoidaan esim. 60 kHz:n taajuisilla
radioaalloilla. Meriveden johtavuus on σ = 4, 3 S m −1 , joten
A n = 2, 5 · 10 −3 ; R n = 0, 9975 .

Luku 12
Aaltoputket ja
resonanssikaviteetit
Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta
riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja
sen pinnalla.
• Äärettömän hyvän johteen sisällä ei ole sähkökenttää, koska vapaasti
liikkuvat varaukset luovat pinnalle sellaisen varauskatteen σ S , että
kokonaiskenttä johteen sisällä on nolla.
• Samoin ajasta riippuva magneettikenttä häviää ideaalijohteen sisällä.
Varaukset liikkuvat pinnalla luoden sellaisen pintavirran K, että kokonaiskenttä
on nolla johteessa.
• Muut reunaehdot ovat B:n normaalikomponentin ja E:n tangentiaalikomponentin
jatkuvuus. Koska B ja E ovat nollia ideaalijohteessa,
niin aivan johteen ulkopuolella sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa
vastaan ja magneettikenttä pinnan suuntainen.
Todellisuudessa ideaalijohteita ei ole, mutta malli ideaalijohteen rajaamasta
alueesta antaa hyvän peruskäsityksen aaltoputkista. Aalto heijastuu (lähes)
häviöttömästi putken reunoilta, joten putken avulla sähkömagneettista aaltokenttää
voidaan siirtää lähettimestä haluttuun paikkaan. Yksi käytännön
esimerkki aaltoputkesta on optinen kuitu. Rakentamalla johtavista seinistä
muodostuva sopivansuuruinen laatikko aalto voidaan vangita haluttuun tilaan
ja syntyy resonanssikaviteetti tuttuna esimerkkinä mikroaaltouuni.
163

164 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT
12.1 Sylinteriputki
Tarkastellaan onttoa poikkileikkaukseltaan mielivaltaista metallisylinteriä,
jonka seinämät oletetaan ideaalijohteiksi. Sylinterin sisällä aine oletetaan
johtamattomaksi (permittiivisyys ɛ 0 , permeabiliteetti µ 0 ). Kenttien aikariippuvuus
olkoon harmoninen (e −iωt ). Maxwellin yhtälöt sylinterin sisällä
ovat
∇ · E = 0 (12.1)
ja kenttien Helmholtzin yhtälöiksi saadaan
∇ · B = 0 (12.2)
∇ × E − iωB = 0 (12.3)
∇ × B + iωɛ 0 µ 0 E = 0 . (12.4)
(∇ 2 + ω2
)E = 0 (12.5)
c2 (∇ 2 + ω2
)B = 0 . (12.6)
c2 Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan.
Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteet
E(x, y, z) = E(x, y)e i(kz−ωt) , B(x, y, z) = B(x, y)e i(kz−ωt) . (12.7)
z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e −ikz käsitellään vastaavalla
tavalla. On huomattava, että nyt ei ole yleisesti k = ω/c. Sijoittamalla
yritteet aaltoyhtälöihin saadaan
missä
(∇ 2 t + ω2
c 2 − k2 )E = 0 (12.8)
(∇ 2 t + ω2
c 2 − k2 )B = 0 , (12.9)
∇ t = ∇ − e z
∂
∂z , ∇2 t = ∇ 2 − ∂2
∂z 2 . (12.10)
Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan
E = E z + E t , (12.11)
missä
E z = (E · e z ) e z ; E t = (e z × E) × e z (12.12)
ja vastavaasti magneettikentälle.

12.1. SYLINTERIPUTKI 165
Maxwellin yhtälöt saadaan pienellä manipulaatiolla muotoon
∇ t · E t = − ∂E z
∂z = −ikE z (12.13)
∇ t · B t = − ∂B z
∂z = −ikB z (12.14)
e z · (∇ t × E t ) = iωB z (12.15)
∇ t E z − ∂E t
∂z = ∇ tE z − ikE t = iωe z × B t (12.16)
e z · (∇ t × B t ) = − iω
c 2 E z (12.17)
∇ t B z − ∂B t
∂z = ∇ tB z − ikB t = −i ω c 2 e z × E t . (12.18)
Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista. Yhtälöitä
(12.13-12.18) ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettävä käsittelyn perusideat.
TEM-moodit
TEM-moodit (transverse electromagnetic modes) ovat sähkömagneettisia
aaltoja, joiden kentät ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden (siis B z =
0, E z = 0). Tällöin yhtälöistä (12.13-12.18) seuraa ∇ t · E t = 0, ∇ t · B t =
0, ∇ t × E t = 0, ∇ t × B t = 0 ja kenttien laskeminen palautuu muodollisesti
kaksiulotteiseksi statiikan ongelmaksi:
TEM-moodeilla on seuraavia ominaisuuksia
1. Aaltoluku k on
∇ 2 t E t = 0 , ∇ 2 t B t = 0 . (12.19)
k = ω/c = ω √ µ 0 ɛ 0 . (12.20)
2. Kentillä on (12.18):n mukaan samanlainen yhteys kuin tyhjiön tasoaalloissa
B t = 1 c e z × E t . (12.21)
3. TEM-moodi ei voi edetä, jos sylinteri on ontto. Tällöin koko sylinterin
sisäseinä on samassa potentiaalissa (voidaan valita ϕ = 0) ja
sähkökenttä sisällä on täsmälleen nolla. Jos sylinteripintoja on useampia
kuten koaksiaalikaapelissa, TEM-moodit voivat edetä, jos pintojen
välillä on potentiaaliero.
4. TEM-moodilla ei ole katkaisutaajuutta (cut-off frequency) eli taajuutta,
jonka alapuolella aaltoluku häviäisi. Näin ollen ω = k/c voi olla
mitä tahansa.

166 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT
TM- ja TE-moodit
Tarkastellaan sitten millaisia aaltoja voi edetä ontossa johdesylinterissä. Oletetaan
nyt, että kentillä on etenemissuuntaiset (z-)komponentit. Kentät voidaan
jakaa sylinterin pinnalla toteutuvien reunaehtojen mukaisesti kahteen
toisistaan riippumattomaan moodiin
1. TM-moodit (transverse magnetic), joille
B z = 0 kaikkialla
E z = 0 sylinterin pinnalla .
2. TE-moodit (transverse electric), joille
E z = 0 kaikkialla
∂B z /∂n = n · ∇ t B z = 0 sylinterin pinnalla.
Tarkastellaan ensin TM-moodeja ja oletetaan z- ja t-riippuvuudet harmonisiksi
(e i(kz−ωt) ). Lausutaan B t ja E t E z :n avulla (vrt. 12.13, 12.16,
12.18)
B t =
ω
kc 2 e z × E t (12.22)
missä on merkitty
E t = ik
γ 2 ∇ tE z , (12.23)
γ 2 = ω2
c 2 − k2 . (12.24)
E z ratkaistaan yhtälöstä (12.8)
Samalla tavalla käsitellään TE-moodeja, ja saadaan
missä B z toteuttaa yhtälön (12.9)
(∇ 2 t + γ 2 )E z = 0 . (12.25)
E t = ω k B t × e z (12.26)
B t = ik
γ 2 ∇ tB z , (12.27)
(∇ 2 t + γ 2 )B z = 0 . (12.28)
Suureen γ 2 :n on oltava positiivinen, jotta E z ja B z ovat värähteleviä ja
reunaehdot voivat toteutua. Yhtälöiden ratkaisuja vastaa joukko ominaisarvoja
γ p , joita puolestaan vastaavat aaltoluvut k p . Katkaisutaajuus saadaan
määritelmän mukaan asettamalla k 2 nollaksi, jolloin
ω p = cγ p = γ p / √ µ 0 ɛ 0 . (12.29)

12.2. SUORAKULMAINEN AALTOPUTKI 167
Aaltoluku on tällöin
k p =
√
ω 2 − ω 2 p
c
. (12.30)
Kun ω lähenee (ylhäältäpäin) katkaisutaajuutta, k pienenee eli aallopituus
kasvaa suureksi. Jos taajuus on alle katkaisutaajuuden, aaltomoodi on eksponentiaalisesti
vaimeneva, eikä siis etene.
12.2 Suorakulmainen aaltoputki
Erikoistapauksena tutkitaan suorakulmaisessa aaltoputkessa eteneviä TEmoodeja
(kuva 12.1). Ratkaistaan ensin B z :n Helmholtzin yhtälö
( )
∂
2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + γ2 B z = 0 (12.31)
reunaehdoin ∂B z /∂n = 0, kun x = 0, x = a, y = 0, y = b.
y
b
ideaalijohde
x
a
Kuva 12.1: Aaltoputki, jonka poikkileikkaus on suorakaide.
Sähköstatiikan menetelmiä muistellen tehdään separointiyrite B z (x, y) =
X(x)Y (y), jolloin saadaan
X ′′ + p 2 X = 0 ; Y ′′ + q 2 Y = 0 , (12.32)
missä p 2 on separointivakio ja q 2 = γ 2 − p 2 . Näiden ratkaisut ovat tietenkin
funktioiden exp(±ipx) ja exp(±iqy) lineaarikombinaatioita. Magneettikenttä
on siten muotoa
B z (x, y) = B 0 (e ipx + Ce −ipx )(e iqy + De −iqy ) , (12.33)
missä B 0 , C ja D ovat vakioita. Reunaehdot toteutuvat, jos C = D = 1 , jolloin
kyseessä on x- ja y-riippuvuudeltaan kosinimuotoinen aalto. Tällöinhän

168 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT
B z :n derivaatan normaalikomponentit ovat putken reunoilla nollia eli
Yhtälön ominaisarvot ovat siis
joita vastaavat ratkaisut ovat
Katkaisutaajuudet ovat
sin(p a) = 0 ⇒ p = mπ/a ; m = 0, 1, 2, ... (12.34)
sin(q b) = 0 ⇒ q = nπ/b ; n = 0, 1, 2, ...
γ 2 mn = p 2 + q 2 = π 2 (m 2 /a 2 + n 2 /b 2 ) , (12.35)
B z,mn (x, y) = B mn cos mπx
a
nπy
cos . (12.36)
b
ω mn = cγ mn = πc √ m 2 /a 2 + n 2 /b 2 . (12.37)
Jos a > b, niin matalin katkaisutaajuus on ω 10 = πc/a. Tällaista moodia
merkitään T E 10 . Sen B z -komponentti on
B z = B 0 cos πx
a ei(kz−ωt) (12.38)
ja muut komponentit saadaan yhtälöistä (12.26) ja (12.27)
B t = − ika
π B 0 sin πx
a ei(kz−ωt) e x (12.39)
E t = iωa
π B 0 sin πx
a ei(kz−ωt) e y (12.40)
k = √ ω 2 /c 2 − π 2 /a 2 =
√
ω 2 − ω 2 10
c
. (12.41)
Vastaavalla tavalla käsitellään z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto
(e −ikz ).
12.3 Resonanssikaviteetit
Tarkastellaan äärellisen pituisia sylinterimäisiä aaltoputkia (kaviteetteja, onkaloita),
joiden päissä on täydellisesti johtavat seinät. Sisällä oleva aine on
johtamatonta sähkömagneettisin ja µ = µ 0 , ɛ = ɛ 0 . Resonanssikaviteetti on
onkalo, jonka pituus on jonkin aaltoputken moodin aallonpituuden monikerta.
Kenttien z-riippuvuus on muotoa A sin kz + B cos kz (seisovat aallot
eli e +ikz ja e −ikz -aaltojen summa). Jos päädyt ovat tasoilla z = 0 ja

12.3. RESONANSSIKAVITEETIT 169
z = d, niin reunaehdot voivat sekä TM- että TE-moodeille toteutua vain,
jos k = πp/d, p = 0, 1, 2, ... . Silloin
γ 2 = ω2
c 2 − π2 p 2
d 2 (12.42)
eli jokaisella p ominaisarvoa γ q vastaa ominaistaajuus ω qp
ω 2 qp = c 2 (γ 2 q + π2 p 2
d 2 ) . (12.43)
Ominaisarvot määräytyvät systeemin geometriasta. Aaltoputkien ja resonanssikaviteettien
välillä on siis tärkeä ero: Aaltoputkissa taajuus ω voi saada
minkä tahansa katkaisutaajuutta suuremman arvon. Kaviteetissa taajuus
saa vain diskreettejä arvoja.
TM- ja TE-moodit voidaan käsitellä käyttämällä suoraan aaltoputkille
saatuja tuloksia laskemalla sopivasti yhteen e +ikz - ja e −ikz -aaltoja. Esimerkiksi
TM-moodilla sähkökentän tangentiaalikomponentin häviäminen pinnoilla
z = 0 ja z = d vaatii, että
koska silloin
Funktio ψ toteuttaa Helmholtzin yhtälön
Magneettikenttä saadaan lausekkeesta
E z = ψ(x, y) cos πpz
d , (12.44)
E t = − πp πpz
γ 2 sin
d d ∇ tψ(x, y) . (12.45)
B t =
(∇ 2 t + γ 2 )ψ(x, y) = 0 . (12.46)
iω πpz
γ 2 cos
c2 d e z × ∇ t ψ(x, y) . (12.47)
On hyödyllinen harjoitustehtävä osoittaa, että nämä lausekkeet toteuttavat
kaikki Maxwellin yhtälöt. Reunaehdoista seuraa puolestaan lisäehtoja ψ:lle.
Tarkastellaan esimerkkinä ympyräsylinteriä (säde R). TM-moodissa E z :n
on hävittävä sylinterin pystyreunoilla eli sylinterikoordinaateissa ψ(R, φ) =
0. Separointimenetelmällä saadaan fysikaalisesti kelvolliseksi ratkaisuksi
ψ(r, φ) = ψ mn (r, φ) = AJ m (γ mn r)e ±imφ , m = 0, 1, 2, ... , (12.48)
missä J m on Besselin funktio ja γ mn = x mn /R ja x mn on yhtälön J m (x) = 0
n:s juuri. Ominaistaajuudet ovat nyt
ω 2 mnp = c 2 ( x2 mn
R 2 + π2 p 2
d 2 ) . (12.49)
Alin TM-moodi on T M 010 , jossa ω 010 ≈ 2, 405c/R. Tämä on riippumaton
sylinterin korkeudesta. Vastaavalla tavalla käsitellään TE-moodit.

170 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT
Mikroaaltouuneista 1
Mikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä aallonpituuksilla 1 mm – 0,3 m
(taajuus 10 9 −3·10 11 Hz). Mikroaaltouunin käyttö ruuanvalmistuksessa perustuu
siihen, että mikroaallot saavat ruoka-aineiden polaariset molekyylit
pyörähtelemään. Kitkan takia osa pyörähdysenergiasta muuttuu lämmöksi.
Mikroaaltouuneissa käytetään tyypillisesti aallonpituutta 12,2 cm (taajuus
2450 MHz), jolloin saavutetaan hyvä absorptio erityisesti vesimolekyylille.
Oleellista on, että ruoka-aineiden pitää sisältää polaarisia molekyylejä.
Polaarittomat aineet läpäisevät mikroaaltoja ja metallit taas heijastavat
niitä. Tyypillinen tunkeutumissyvyys ruoka-aineissa on muutaman senttimetrin
luokkaa. Pienen ruoka-annoksen kypsennys tapahtuu siis suoraan
ruuan sisällä. Jos annos paksu, tapahtuu kuumennus sisäosissa johtumalla
pintakerroksista, kuten tietenkin on laita tavallisissa korkeaan lämpötilaan
perustuvissa uuneissa.
Mikroaaltouunin tärkein osa on luonnollisesti uunitila, jossa ruoka kuumennetaan
ja joka on siis resonanssikaviteetti. Mikroaaltokenttä synnytetään
magnetronissa, josta kenttä johdetaan aaltoputkea pitkin uuniin. Magnetroni
koostuu useasta resonanssiontelosta (sähköisestä värähtelypiiristä). Erillinen
uunitila on tarpeen, koska ruoka ei mahdu näihin onteloihin.
Pohdittavaksi: Monissa uunimalleissa on ovessa verkko, jonka läpi näkee
uunin sisälle. Näkyvä valo selvästikin kulkee oviverkon läpi, mutta kuinka
selität säteilyä hysteerisesti pelkväälle sukulaisellesi, että mikroaaltouuni ei
ole vaarallinen ympäristölleen?
1 Arkipäivän elektrodynamiikkaa

Luku 13
Liikkuvan varauksen kenttä
Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan sähkömagneettiseen
kenttään. Jokaisen itseään kunnioittavan sähködynaamikon on laskettava
ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit ja niistä
saatavat sähkö- ja magneettikentät. Laskutehtävä on luultavasti tämän kurssin
vaativin.
13.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalit
Tarkastellaan yksittäistä pistemäistä varauksellista hiukkasta, jonka rata on
r = r q (t). Varaus q on siis ajanhetkellä t pisteessä r q ja sen nopeus on ṙ q .
Varaus- ja virrantiheys ovat tällöin
ρ(r, t) = qδ(r − r q (t)) (13.1)
J(r, t) = qṙ q (t)δ(r − r q (t)) . (13.2)
δ-funktiot lausekkeissa merkitsevät sitä, että varaus- ja virrantiheys ovat
nollia kaikkialla muualla kuin varauksen kulloisessakin paikassa. Integroitaessa
koko avaruuden yli saadaan varaukseksi q ja sähkövirraksi ˙q.
Käyttökelpoisten potentiaalien laskeminen ei ole aivan helppo tehtävä.
RMC:n luvussa 21 on esitetty eräs suoraviivainen laskumenetelmä, tosin
hypäten itse laskun yli. Hahmotellaan tässä puolestaan Greenin funktioiden
käyttöön perustuva menetelmä (yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi).
Tehtävänä on ratkaista epähomogeeniset aaltoyhtälöt
(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
ϕ = −ρ/ɛ 0 (13.3)
(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
A = −µ 0 J , (13.4)
171

172 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
joissa lähdetermit ovat edellä annettujen lausekkeiden mukaiset. Kuten luvussa
9 todettiin, ratkaisut ovat Greenin funktion avulla lausuttuina
∫ ∫
ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r ′ , t ′ )f(r ′ , t ′ ) dV ′ dt ′ , (13.5)
missä ψ ± (r, t) ovat viivästyneet (+) ja edistyneet (–) skalaaripotentiaalit
tai vektoripotentiaalin karteesiset komponentit. Funktio f(r ′ , t ′ ) vastaa
lähdetermejä (ρ/ɛ 0 , µ 0 J). Pilkullinen paikkakoordinaatti r’ on lähdetermin
paikkamuuttuja ja pilkullinen aika viivästetty aika t ′ = t − |r − r ′ |/c. Nyt
riittää käyttää viivästyneen potentiaalin Greenin funktiota
G(r, t; r ′ , t ′ ) = 1 δ(t ′ − (t − |r − r ′ |/c))
4π |r − r ′ . (13.6)
|
Tekijä 1/4π on tässä otettu Greenin funktion määritelmään, kun se luvussa
9 oli G:n aaltoyhtälössä.
Ensin integroidaan paikkaintegraalit, jolloin lähdetermien δ-funktiot δ(r ′ −
r q (t ′ )) ovat suureksi avuksi. Sen jälkeen aikaintegraalia laskettaessa käytetään
hyväksi matemaattista apuneuvoa
∫
f(x)δ(g(x))dx = ∑ f(x i )
|g ′ (x
i i )| , (13.7)
missä g(x i ) = 0. Tässä summataan siis deltafunktion argumentin nollakohtien
yli. Lopputuloksena saadaan Liénardin ja Wiechertin potentiaalit:
ϕ(r, t) =
q [
]
1
= q [ ]
1
(13.8)
4πɛ 0 (1 − n · β)R
ret
4πɛ 0 R − R · β
ret
A(r, t) =
q [
]
β
= q [ ]
β
, (13.9)
4πɛ 0 c (1 − n · β)R 4πɛ 0 c R − R · β
ret
missä R = r − r q , n = R/R ja β = v/c = ṙ q /c. Alaindeksi ret viittaa
lausekkeen laskemiseen viivästyneellä ajalla t ′ eli
[β] ret = ṙ q (t ′ )/c ; [R] ret = r − r q (t ′ ) .
Viivästynyt aika on puolestaan ratkaistava ehdosta
Havaitsija siis mittaa kentän pisteessä r hetkellä t.
t ′ + |r − r q (t ′ )|/c = t . (13.10)
Ehkä kaikkein eleganteinta, joskaan ei sen helpompaa, on tehdä ylläoleva
lasku relativistisessa formalismissa, missä ϕ ja A ovat nelipotentiaalin A α
komponentit ja
∫
A α (x) = G(x − x ′ )J α (x ′ ) d 4 x ′ (13.11)
(ks. Jackson tai CL:n luku 13.3).
ret

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 173
13.2 Kenttien laskeminen
Kun potentiaalit tunnetaan, kentät saadaan derivoimalla, mikä on suoraviivaista,
mutta vaatii vähän kärsivällisyyttä. Hankaluutta aiheuttaa viivästyneen
ajan implisiittisesti määrittelevä yhtälö (13.10). Aluksi on syytä selvittää
itselleen varauksen liike suhteessa koordinaatiston origoon ja havaintopisteeseen
(kuva 13.1).
r (t’) q
r (t) q
R(t’) = r–r (t’) q
r (t’) q
r
Kuva 13.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t ′ määrää kentän
myöhempänä hetkenä t. Kenttä etenee pisteestä r q (t ′ ) havaintopisteeseen
r ajassa R(t ′ )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r q (t).
Sähkökenttä saadaan lausekkeesta
E = −∇ϕ − ∂A
∂t
=
[
q ∇(R − β · R)
4πɛ 0 (R − β · R)
]ret
2 −
q [ ∂
4πɛ 0 c ∂t
β
R − β · R
]
ret
,
(13.12)
missä gradientti on viety hakasulkulausekkeen (13.8) sisään. Seuraavan laskutoimituksen
ajaksi jätetään sulut pois merkintöjen yksinkertaistamiseksi.
Aloitetaan R(t ′ ):n gradientin laskemisesta. Viivästyneen ajan määrittelyyhtälön
(13.10) perusteella R(t ′ ) = |r − r q (t ′ )| = c(t − t ′ ), joten ∇R(t ′ ) =
−c∇t ′ , koska ∇t on tietenkin nolla. Gradientit kannattaa laskea komponentti
komponentilta. Itseisarvolauseketta derivoitaessa itseisarvo on kannattaa
kirjoittaa muodossa |f(x)| = √ f 2 (x). Derivoitaessa termiä r q (t ′ ) on lisäksi
käytettävä ketjusääntöä ∂/∂x = (∂t ′ /∂x)(∂/∂t ′ ). Siis
−c ∂t′
∂x = ∂
∂x |r − r q(t ′ )|
√
(r − r q (t ′ )) 2 (13.13)
= 1 ( )
1
∂r
2 |r − r q (t ′ )| 2(r − r q(t ′ )) ·
∂x − ∂t′ ∂
∂x ∂t ′ r q(t ′ ) .
= ∂
∂x

174 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
Nyt ∂r/∂x = (1, 0, 0) ja ∂r q (t ′ )/∂t ′ = v = cβ, joten
Tästä seuraa
∂t ′
∂x = −x − x q − cβ · (r − r q )(∂t ′ /∂x)
. (13.14)
c|r − r q |
∂t ′
∂x = −(x − x q)
c(R − β · R) . (13.15)
Samoin lasketaan derivaatat y:n ja z:n suhteen ja gradientiksi tulee
Näin ollen
∇t ′ R
= −
c(R − β · R) . (13.16)
∇R =
R
R − β · R . (13.17)
Seuraavaksi lasketaan ∇(β · R). Lasketaan jällen ensin x-komponentti ja
ollaan huolellisia sisäkkäisten funktioiden kanssa kuten edellä
(∇(β · R)) x = β x + ∂t′
∂x ( ˙β · R − β · ṙ q ) . (13.18)
Lasketaan vastaavasti gradientin y- ja z-komponentit, joten
∇(β · R) = β + ( ˙β · R − β · ṙ q )∇t ′
= (R − β · R)β + (β2 − ˙β · R/c)R
R − β · R
. (13.19)
Kokoamalla tulokset saadaan skalaaripotentiaalin gradientiksi
[
∇ϕ = −
q R − (R − β · R)β − (β 2 − ˙β
]
· R/c)R
4πɛ 0 (R − β · R) 3 . (13.20)
Vektoripotentiaalin aikaderivaatassa on laskettava ∂R/∂t. Lausekkeen
(13.10) mukaan R = c(t − t ′ ), joten ∂R/∂t = c(1 − ∂t ′ /∂t). Derivoidaan
jälleen (13.10):tä puolittain. Nyt ∂R/∂t ′ = −cβ · R/R. Näiden avulla saadaan
∂t ′
∂t = 1 + β · R ∂t ′
R ∂t , (13.21)
josta ratkaistaan
∂t ′
∂t =
ret
R
R − β · R . (13.22)
Käyttämällä tätä saadaan myös vektorin R aikaderivaatta
∂R
∂t = ∂t′ ∂R
∂t ∂t ′ = − cRβ
R − β · R . (13.23)

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 175
Sähkökentän vektoripotentiaaliosan lausekkeessa esiintyvä aikaderivaatta on
siis
[ ] [
∂ β
R(R − β · R)
=
˙β + (R ˙β
]
· R + cβ · R − cRβ 2 )β
∂t R − β · R
(R − β · R) 3 .
ret
Sähkökenttä on kaiken kaikkiaan
E(r, t) =
[
q (1 − β 2 )(R − Rβ) + R × ((R − Rβ) × ˙β)/c
]
4πɛ 0 (R − β · R) 3
ret
ret
(13.24)
. (13.25)
Kuten aiemminkin shkömagneettisen aallon magneettikenttä saadaan
suoraan Faradayn laista, nyt vain on käytettävä viivästettyä yksikkövektoria
B(r, t) = 1 [ ] R
× E(r, t) . (13.26)
c R
Välittömästi todetaan, että staattisen varauksen (β = 0) sähkökenttä
on Coulombin kenttä. Silloin sähkökenttä on yhdensuuntainen vektorin R
kanssa, joten staattinen varaus ei odotetusti aiheuta magneettikenttää. Vakionopeudella
liikkuvan varauksen kenttä on selvästi tekemisissä luvussa 14
tarkasteltavan Lorentzin muunnoksen kanssa.
Säteilykentäksi kutsutaan kiihtyvyyteen ˙β verrannollista termiä, joka
pienenee kaukana varauksesta kuten 1/R eli yhtä etäisyyden kertalukua hitaammin
kuin Coulombin kenttä. Koska myös kiihtyvän varauksen magneettikentällä
on sama R-riippuvuus, säteilykentän Poyntingin vektorin integraali
säteilylähteen sisäänsä sulkevan pinnan yli integroituna ei mene nollaan
äärettömyydessäkään.
∮
S · da =
∮ 1
µ 0
E × B · da ∝ 1 R 2 · R2 → 0 kun R → ∞ (13.27)
ret
Tarkastellaan sekä vakionopeudella että kiihtyvässä liikkeessä olevia varauksia
seuraavassa yksityiskohtaisemmin.
13.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä
Tarkastellaan x-akselia pitkin vakionopeudella v liikkuvan varauksen kenttää
(kuva 13.2). Oletetaan, että varaus on ohittanut origon hetkellä t =
0. Kenttä pisteessä (x, y, z) lasketaan hetkellä t, jolloin varaus on ehtinyt
pisteeseen (vt, 0, 0)
Koska R = √ (x − vt ′ ) 2 + y 2 + z 2 = c(t − t ′ ), viivästyneelle ajalle saadaan
ratkaisu (huom. t ′ on myös neliöjuuren sisässä)
(1 − β 2 )t ′ = t − βx/c − (1/c) √ (x − vt) 2 + (1 − β 2 )(y 2 + z 2 ) . (13.28)

176 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
y
(x,y,z)
z
r
q(t’) = r
q(t-R/c)
= (vt’,0,0)
R = r–r (t’) q
x
Kuva 13.2: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen kentän laskeminen.
Potentiaalien (13.8 ja 13.9) nimittäjissä olevat tekijä [R − R · β] ret
tulee nyt
muotoon
[R − R · β] ret
= √ (x − vt) 2 + (1 − β 2 )(y 2 + z 2 ) (13.29)
ja skalaaripotentiaali (13.8) voidaan esittää muodossa
ϕ(x, y, z, t) =
q
γ
√
4πɛ 0 γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z , (13.30)
2
missä γ = 1/ √ 1 − β 2 . Vektoripotentiaalilla (13.9) on vain x-komponentti,
koska β = (β, 0, 0)
A x (x, y, z, t) = βϕ(x, y, z, t)/c . (13.31)
Varauksen lepokoordinaatistossa potentiaalilla on tuttu lauseke
ϕ(x, y, z, t) =
q 1
√
4πɛ 0 x 2 + y 2 + z . (13.32)
2
Liikkuvan varauksen potentiaali saadaan siis (melkein) koordinaattimuunnoksella,
jossa y ja z pysyvät ennallaan ja x:stä tulee γ(x − vt). Vielä jää
mietittäväksi, mistä tekijä γ ilmestyy kertomaan potentiaalia. Lisäksi täytyy
selvittää, mistä vektoripotentiaali saadaan, kun se on nolla lepokoordinaatistossa.
Tähän palataan suhteellisuusteoriassa luvussa 14.
Kentät saadaan derivoimalla (tällä kertaa helposti). Sähkökentän komponentit
saadaan lausekkeen (13.30) gradientista

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 177
E x (x, y, z, t) =
q
4πɛ 0
E y (x, y, z, t) =
q
4πɛ 0
E z (x, y, z, t) =
q
4πɛ 0
γ(x − vt)
(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.33)
γy
(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.34)
γz
(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 . (13.35)
) 3/2
Koska vektoripotentiaalilla on vain x-komponentti, myös magneettikentän
laskeminen on helppoa:
B = ∇ × A = ∇ × (Ae x ) = −e x × ∇A
= −(e x × ∇ϕ) β c = β c × E (13.36)
= v × E
c 2 .
Nämä lausekkeet pätevät kaikilla nopeuksilla. Kaukana varauksesta sähköja
magneettikentät pinenevät kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön.
Suurellakaan vakionopeudella liikkuva hiukkanen ei siis säteile, koska Poyntingin
vektorin integraali menee kaukana nollaan.
Kenttää on mukavinta tarkastella varauksen kulloisenkin paikan suhteen.
Kohtisuorassa suunnassa (x − vt = 0) sähkökentän voimakkuus on
√
E = Ey 2 + Ez 2 =
q γ
4πɛ 0 y 2 + z 2 . (13.37)
Tämä on Coulombin kenttä tekijällä γ suurennettuna (γ ≥ 1 aina). Varauksen
edessä ja takana y = z = 0 ja
E = E x =
q 1
4πɛ 0 γ 2 (x − vt) 2 . (13.38)
Tämä on puolestaan Coulombin kenttä tekijällä 1/γ 2 pienennettynä.
Kenttäviivat saadaan piirtämällä ensin staattisen varauksen kenttäviivat
ja sitten liikuttamalla kuviota suurella nopeudella silmien ohi (ei onnistu
kotioloissa kovin helposti). Vaihtoehtoisesti puristetaan x-akselia kasaan tekijän
γ verran (kuva 13.3). Kannattaa kuitenkin muistaa, että kenttäviivat
eivät ole todellisia fysikaalisia olioita. Magneettikentän hahmottaminen jää
lukijan mietittäväksi samoin kuin hitaasti liikkuvan varauksen magneettikentän
osoittaminen samaksi kuin luvussa 5.
Tässä vaiheessa on jouduttu tekemisiin suppeassa suhteellisuusteoriassa
niin tärkeän Lorentzin tekijän γ = 1/ √ 1 − β 2 kanssa. On syytä huomata,
että tähän mennessä ei ole tehty mitään suhteellisuusteorian oletuksia, esimerkiksi
asetettu valonnopeutta hiukkasten nopeuden ylärajaksi, vaan kaikki
on suoraa seurausta pyrkimyksestä laskea tasaisella nopeudella liikkuvan

178 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
v
Kuva 13.3: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentän
kenttäviivat. Vasemmalla staattinen varaus, oikealla liikkuva varaus.
varauksen kentät, jotka toteuttavat Maxwellin yhtälöt. Nyt kuitenkin alkaa
näyttää siltä, että yli valon nopeudella liikkuva varaus johtaa Maxwellin
yhtälöiden kanssa vähintäänkin omituisiin tilanteisiin, koska γ on imaginaarinen,
jos v > c eli β > 1. Tämän kaltaisiin lausekkeisiin päätyivät George
FitzGerald (v. 1889) ja H. A. Lorentz (v. 1892) elektroniteorioissaan. Heillä
oli itse asiassa kultainen tilaisuus keksiä suppea suhteellisuusteoria, mutta
asian oivalsi kuitenkin vasta Albert Einstein vuonna 1905.
13.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä
Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen osalta aloitetaan tarkastelemalla
epärelativistista rajaa (β ≪ 1), jolloin 1/R-säteilykentiksi tulee
E rad (r, t) =
B rad (r, t) = 1 c
q n × (n × ˙v)/R (13.39)
4πɛ 0 c2 R
R × E =
missä n = R/R. Näistä saadaan Poyntingin vektoriksi
S = 1 µ 0
E rad × B rad =
q ˙v × n/R , (13.40)
4πɛ 0 c3 q 2 |R × ˙v| 2
16π 2 ɛ 0 c 3 R 5 R . (13.41)
Poyntingin vektori pienenee etäisyyden funktiona kuten 1/R 2 , joten sen
pintaintegraali ei 1/R-säteilykentillä mene nollaksi kaukanakaan varauksesta.
Integraalia kutsutaan säteilytehoksi P = ∫ SR 2 dΩ, missä dΩ = sin θdθdφ

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 179
on avaruuskulma-alkio. Säteilyteho avaruuskulma-alkioon dΩ on siten
dP
dΩ = q2 ˙v 2
16π 2 ɛ 0 c 3 sin2 θ . (13.42)
missä θ on ˙v:n ja n:n välinen kulma. Laskemalla kulmaintegraalit (8π/3)
saadaan Larmorin kaava
P = q2 ˙v 2
6πɛ 0 c 3 . (13.43)
On oleellista ymmärtää, mistä verrannollisuus tekijään (q ˙v) 2 on peräisin.
Relativistisille hiukkasille t:n ja t ′ :n välinen ero on tärkeä. Aikavälillä
t 1 = t ′ 1 + R(t′ 1 )/c · · · t 2 = t ′ 2 + R(t′ 2 )/c avaruuskulmaan dΩ säteilty energia
pinta-alayksikköä kohti on
∫ t2
t 1
[S · n] ret
dt =
∫ t ′
2
t ′ 1
S · n dt
dt ′ dt′ . (13.44)
On siis mielekästä määritellä hiukkasen säteilyn intensiteetti S · n dt/dt ′ =
S · n (1 − n · β) sen omassa ajassa ja omassa paikassa, jolloin
dP (t ′ )
dΩ
= R2 (S · n) dt
dt ′ =
q 2
16π 2 ɛ 0 c
∣
∣n × ((n − β) × ˙β)
∣ 2
(1 − n · β) 5 . (13.45)
Kun β → 1 eli hiukkasen nopeus lähenee valon nopeutta, niin dP/dΩ:n
nimittäjän merkitys kasvaa ja säteilykeila alkaa venyä hiukkasen liikkeen
suuntaan. Maksimi-intensiteetti saavutetaan, kun θ max → 1/(2γ) ja keilan
leveys on ≈ 1/γ. Koska laskuissa ei ole tehty oletuksia kiihtyvyyden
suunnasta, saadut kaavat kuvaavat sekä jarrutussäteilyä että syklotroni- ja
synkrotronisäteilyä. Säteilyn kokonaisteho saadaan integroimalla kulmien yli
(mikä ei ole aivan helppo lasku) tai tekemällä Larmorin kaavalle Lorentzin
muunnos (jos osataan suhteellisuusteoriaa). Lopputulos on
P =
q2
6πɛ 0 c γ6 ( ˙β 2 − (β × ˙β) 2 ) . (13.46)
Pienillä nopeuksilla tämä palautuu odotetusti epärelativistiseen Larmorin
kaavaan.

180 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
13.3 Säteilyn spektri 1
Säteilytehon lisäksi usein halutaan tietää säteilyn tehon tai energian spektri
taajuusavaruudessa. Spektriä on järkevää tarkastella havaitsijan näkökulmasta.
Merkitään
dP (t)
dΩ = |G(t)|2 . (13.47)
Avaruuskulmaan dΩ säteilty kokonaisenergia on
G:n Fourier-muunnos on
dW
dΩ =
Ĝ(ω) = 1 √
2π
∫∞
−∞
∫∞
−∞
ja FYMM I:stä tuttu Parsevalin kaava antaa
dW
dΩ =
∫∞
−∞
|G(t)| 2 dt . (13.48)
G(t) exp(iωt)dt (13.49)
|Ĝ(ω)|2 dω , (13.50)
kun t ja G(t) ovat reaalisia. Negatiiviset taajuudet voidaan eliminoida, koska
reaalisille taajuuksille Ĝ(−ω) = Ĝ∗ (ω).
Määritellään energiaspektri avaruuskulma-alkiota kohti d 2 W/(dΩdω). Tämä
kertoo, kuinka paljon energiaa säteilee kulma-alkioon dΩ taajuusvälillä
dω. Niinpä
∫∞
dW
dΩ = d 2 W
dω (13.51)
dΩdω
⇒
0
d 2 W
dΩdω = |Ĝ(ω)|2 + |Ĝ(−ω)|2 = 2|Ĝ(ω)|2 . (13.52)
Työläs mutta suoraviivainen lasku antaa (ks. Jackson)
d 2 W
dΩdω = q 2
16π 3 ɛ 0 c
∣
∫ ∞
−∞
∣
n × ((n − β) × ˙β) [ (
(1 − n · β) 2 exp iω t ′ − n · r 0(t ′ )] ∣∣∣∣∣
2
)
dt ′
c
,
(13.53)
1 Luvun loppu tästä eteenpäin ei ole kurssin ydinmateriaalia. Esitettävät peruskäsitteet
ovat kuitenkin hyödyllisiä myöhemmin säteilyasioiden kanssa tekemisiin joutuville fyysikoille

13.4. JARRUTUSSÄTEILY 181
mikä voidaan osittaisintegroida muotoon
d 2 W
dΩdω = q2 ω 2
16π 3 ɛ 0 c
∣
∫ ∞
−∞
∣
[ (
n × (n × β) exp iω t ′ − n · r 0(t ′ )] ∣∣∣∣∣
2
)
dt ′
c
. (13.54)
Epärelativistisella rajalla
∣ ∣∣∣∣∣
d 2 W
dΩdω = q2 ω 2 ∫∞
16π 3 ɛ 0 c 3
−∞
n × (n × v) exp(iωt)dt
∣
2
. (13.55)
Integroimalla kaikkien kulmien yli saadaan
dW
dω =
∣ ∣∣∣∣∣ ∫∞
q2
6π 2 ɛ 0 c 3
−∞
˙v exp(iωt)dt
∣
2
. (13.56)
Tämä antaa siis varatun hiukkasen säteilemän energian spektrin, kun hiukkasen
rata tunnetaan.
13.4 Jarrutussäteily
Nimestään huolimatta jarrutyssäteilyssä voi olla kyse yhtä hyvin varauksen
liikkeen hidastumisesta kuin kiihtymisestä. Arkipäiväisin esimerkki lienee
röntgenputki, jossa korkeaenergiaisia elektroneja jarrutetaan törmäyttämällä
niitä pysäytyslevylle (anodille).
Tarkastellaan tässä esimerkkinä jarrutussäteilystä elektronin tunkeutumista
vapaista elektroneista ja positiivisista ioneista koostuvaan ionisoituneeseen
kaasuun eli plasmaan. Jätetään mahdollinen taustan magneettikenttä
huomiotta, mikä on hyvä approksimaatio muilla kuin varausten magneettikentässä
tapahtuvan pyörähdysliikkeen taajuuksilla. Oletetaan, että
plasma on niin harvaa, että elektronin liike voidaan olettaa tapahtuvaksi
yhden paikallaan olevan ionin (varausluku Z) Coulombin kentässä, jolloin
elektronin kiihtyvyys on
| ˙v| = Ze2
4πɛ 0 mr 2 . (13.57)
Larmorin kaava antaa suoraan yhden elektronin säteilemän tehon
P e =
e2
6πɛ 0 c 3 ( Ze
2
4πɛ 0 mr 2 ) 2
. (13.58)

182 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
Todellisessa tilanteessa elektronit tulevat plasmaan jonkinlaisena suihkuna,
jonka tiheys olkoon n − . Lasketaan ensin tämän elektronikaasun säteilyteho
yhden ionin kentässä
P = 2 3 Z2 ( e
2
4πɛ 0
) 3
n −
m 2 c 3
∫∞
4πr 2
r 4
r min
= 8π ( ) e
2 3
n −
3 Z2 4πɛ 0 m 2 c 3 . (13.59)
r min
Klassinen elektrodynamiikka ei kerro, kuinka integraalin alaraja pitäisi määrätä.
Kvanttimekaniikka on opettanut, että hyvä oletus on käyttää elektronin
de Broglien aallonpituutta
r min
∼ =
h
〈p〉 =
dr
h
√ mkB T . (13.60)
Ottamalla käyttöön kvanttimekaniikassa tärkeä parametri hienorakennevakio
α = e 2 /(4πɛ 0 c) ≈ 1/137 sekä elektronin klassinen säde, joka määritellään
lausekkeella r 0 = e 2 /(4πɛ 0 mc 2 ) ≈ 2, 82 × 10 −15 m, voidaan säteilytehon
lauseke kirjoittaa muodossa
P = 8π 3 Z2 αr 2 0mc 2 √
kB T
m n− . (13.61)
Huomioidaan lopuksi jarrutusta aiheuttavien ionien tiheys n + , jolloin teho
tilavuusyksikössä (tehon tiheys) saa muodon
P vol = 8π 3 Z2 αr 2 0mc 2 √
kB T
m n− n + . (13.62)
Vaikka olemmekin tehneet väkivaltaa suorittamalla klassisen tarkastelun
kvanttitason ilmiölle, lopputulos on aika hyvä. Täsmällisempi kvanttimekaaninen
lasku tuottaa korjaustekijän, joka on suuruusluokkaa 1,1.
13.5 Syklotroni- ja synkrotronisäteily
Jos magneettikentässä liikkuvalla varauksella on magneettikentän suunnasta
poikkeava nopeuskomponentti, Lorentzin voiman magneettinen osa pakottaa
varauksen kieppumaan magneettikentän voimaviivan ympäri. Tällaiseen
liikkeeseen tutustuaan lähemmin luvussa 15. Kieppuva varaus on kiihtyvässä
liikkeessä, vaikkei siihen liitykään varatun hiukkasen kokonaisenergian muutosta.
Näin ollen varaus säteilee sähkömagneettista säteilyä. Esimerkkinä

13.5. SYKLOTRONI- JA SYNKROTRONISÄTEILY 183
säteilyspektrin laskemisesta tarkastellaan tällaista syklotronisäteilyä, jota
ultrarelativistisella rajalla kutsutaan synkrotronisäteilyksi.
Aloitetaan epärelativistisen elektronin liikkeestä. Olkoon z-akseli B:n
suuntainen, n varauksesta havaitsijan suuntaan osoittava yksikkövektori ja
θ B:n ja n:n välinen kulma. Merkitään pyörähdysliikkeen kulmataajuutta
ω 0 :lla. Tällöin
n = e x sin θ + e z cos θ
r = r L (e x sin ω 0 t + e y cos ω 0 t)
v = v ⊥ (e x cos ω 0 t − e y sin ω 0 t)
v ‖ = 0 .
Epärelativistiselle hiukkaselle energian menetys säteilyn myötä yhden pyörähdysperiodin
aikana on häviävän pieni, joten sitä ei tarvitse huomioida.
Tähän palataan luvussa 15.
ja
Käyttämällä hyväksi matemaattisia apuneuvoja
n × (n × v) = v ⊥ (−e x cos ω 0 t cos 2 θ + e y sin ω 0 t + e z cos ω 0 t sin θ cos θ)
∫ ∞
−∞
( sin ω0 t
cos ω 0 t
)
{ −iδ(ω − ω0 ) + iδ(ω + ω
exp(−iωt)dt = π ×
0 )
δ(ω − ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )
saadaan kulmaan dΩ säteillyksi energiaksi
d 2 W
dΩdω = e2 ω 2 0 v2 ⊥
16πɛ 0 c 3 |e x cos 2 θ + e y i + e z sin θ cos θ| 2 [δ(ω − ω 0 )] 2
= e2 ω 2 0 v2 ⊥
16πɛ 0 c 3 (1 + cos2 θ)[δ(ω − ω 0 )] 2 . (13.63)
Tässä tekijä δ 2 aiheuttaa hankalan singulariteetin. Se on tullut tavaksi lakaista
maton alle ottamalla huomioon, että todellinen säteilytapahtuma
kestää äärellisen ajan T , ja kirjoittamalla
[δ(ω − ω 0 )] 2 = δ(ω − ω 0 ) 1
2π lim
T →∞
∫T/2
−T/2
exp(−i(ω − ω 0 )t)dt
T
= lim
T →∞ 2π δ(ω − ω 0) . (13.64)
Näin saatu energiaspektri jaetaan sitten säteilyajalla T , jolloin avaruuskulmaalkioon
dΩ säteilty tehospektri on
d 2 P
dΩdω = e2 ω 2 0 v2 ⊥
32π 2 ɛ 0 c 3 (1 + cos2 θ)δ(ω − ω 0 ) . (13.65)

184 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
Jäljellä oleva deltafunktio on tärkeä, koska se kertoo, että säteilyllä on
spektriviiva juuri pyörähdystaajuudella. Kokonaistehoa laskettaessa tämä
helpottaa integrointia ja lopputulos on
P = e2 ω 2 0 v2 ⊥
6πɛ 0 c 3 . (13.66)
Olemme siis jälleen löytäneet Larmorin kaavan, kun korvataan ω 0 v ⊥ →
dv/dt. Nyt säteilyteho on kääntäen verrannollinen säteilevän hiukkasen massan
neliöön: P ∝ ω0 2 ∝ 1/m2 . Elektronit säteilevät siis huomattavasti tehokkaammin
kuin samalla nopeudella liikkuvat positiiviset varaukset.
Otetaan sitten mukaan relativistiset korjaukset ja varauksen liike pitkin
magneettikenttää v ‖ mutta jättämällä yhä energianhävikki yhden pyörähdyksen
aikana huomiotta päädytään tehospektriin
d 2 P
dΩdω = e2 ω 2 ( )
8π 2 ɛ 0 c δ lω0
γ − ω(1 − β ‖ cos θ) × (13.67)
[
∞∑ (cos θ − β‖
l=1
sin θ
) 2
J 2 l
( ) ωβ⊥
ω 0 /γ sin θ + β⊥ 2 2
J′ l
( ωβ⊥
ω 0 /γ sin θ ) ] ,
missä J l :t ovat Besselin funktioita. Tämä spektri koostuu taajuuksilla
ω l = lω √
0 1 − β 2
; l = 1, 2, ... (13.68)
1 − β ‖ cos θ
olevista piikeistä (kuva 13.4). Ne ovat siirtyneet ω 0 :n monikerroista relativistisen
ajan venymisen (ω 0 → ω 0 /γ) ja Dopplerin siirtymän (1 − β ‖ cos θ)
vuoksi. Integroimalla taajuuksien ja kulmien yli ja summaamalla l:n yli kokonaistehoksi
tulee
∞∑
P l = P tot = e2 ω0
2 ( β
2
)
⊥
6πɛ 0 c 1 − β 2 . (13.69)
l=1
d W
dΩ dω
2 ω 0 ω 0 ω 0
2 3
ω
Kuva 13.4: Syklotronisäteilyn spektriviivat ovat elektronin pyörähdystaajuuden
monikertojen kohdalla.

13.5. SYKLOTRONI- JA SYNKROTRONISÄTEILY 185
Epärelativistisella rajalla (β ≪ 1), mutta olettaen v ‖ ≠ 0 voidaan osoittaa,
että P l+1 /P l ∼ β 2 suurilla l, joten riittää tarkastella muutamaa ensimmäistä
piikkiä. Suurin osa säteilystä tapahtuu perustaajuudella ω 0 . Tämän
syklotroniemissioviivan teho on
dP
dΩ ≈ e2 ω 2 0
32π 2 ɛ 0 c β2 ⊥ (1 + cos2 θ) . (13.70)
Lasku on tehty yhdelle elektronille. Todellinen syklotronisäteilijä koostuu
suuresta joukosta elektroneja. Kertomalla teho säteilylähteen elektronien
tiheydellä ja määrittelemällä lämpötila T (siis tässä T ei tarkoita aikaa!)
lausekkeella v 2 ⊥ = k BT/m nähdään, että syklotroniviivan intensiteetti on
verrannollinen elektronien paineeseen.
Tähtitieteessä relativistista syklotronisäteilyä kutsutaan usein gyrosynkrotronisäteilyksi
tilanteissa, joissa γ on suuruusluokkaa 2–3, jolloin spektrin
piikit ovat vielä erotettavissa toisistaan. Rajalla β → 1 viivojen väli
ω 0 (1−β 2 ) → 0, joten ultrarelativistiset elektronit säteilevät jatkuvaa spektriä.
Tätä kutsutaan synkrotronisäteilyksi.
dP UR
dω
10 -1 ω
10 -2
1 ωc
Kuva 13.5: Synkrtoronisäteilyn spektri on jatkuva.
Pitkään uskottiin, että kosminen radiosäteily olisi leveäkaistaista elektronien
jarrutussäteilyä. 1950-luvullaä Ginzburg osoitti, että Ravun tähtisumusta
tuleva voimakas radiosäteily on juuri synkrotronisäteilyä. Tästä seuraa,
että tähtisumun synnyttäneen supernovan jälkeensä jättämällä neutronitähdellä
täytyy olla vahva magneettikenttä. Neutronitähtien magneettikentät
ovat yleensä alle 10 10 T suuruusluokkaa. Lisäksi on löytynyt tusinan
verran kohteita, joiden kentät ovat välillä 10 10 − 10 11 T. Näitä kutsutaan
magnetaareiksi. Magnetaarien pieni määrä selittyy ainakin osaksi sillä, että
suuri magneettikenttä hidastaa niiden pyörimistä. Näin kohteet ovat havaittavissa
pulsareina ainoastaan 10 4 vuoden ajan, kun tavanomaiset neutronitähdet
“näkyvät” pulsareina noin 1000 kertaa pidemmän ajan.
Synkrotronisäteilyllä on runsaasti käyttöä myös materiaalitutkimuksessa.
Koska säteilykeila taipuu elektronin liikkeen suuntaan, suuressa syklotronissa
liikkuvat relativistiset elektronit säteilevät lähes syklotronin tangentin
suuntaan. Tätäen syklotronin ulkokehälle voidaan sijoittaa runsaasti koelaitteita
ja yhdellä ajolla tehdä useita fysikaalisia kokeita. Esimerkki tällaisesta

186 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ
laitteesta on European Synchrotorn Radiation Facility (ESRF) Grenoblessa
Ranskassa (http://www.esrf.eu/).

Luku 14
Elektrodynamiikka ja
suhteellisuusteoria
Tämän luvun esitiedoksi oletetaan fysiikan peruskursseilta tutut Lorentzin
muunnokset, pituuskontraktio ja ajan venyminen. Tarvitsemme lisäksi joitain
tensorilaskennan perustaitoja, jotka esitellään lyhyesti mutta tähän tarkoitukseen
riittävästi. Tässä oleva esitys seuraa CL:ää. Tensorilaskennan
alkeisesityksiä löytyy myös kirjoista Honkonen, Pitkänen, Perko: Fysiikan
matemaattiset apuneuvot (Limes, 1994) tai Arfken & Weber: Mathematical
Methods for Physicists (Academic Press, 1995) ja perusteellisemmin asiaa
käsitellään useissa suhteellisuusteorian oppikirjoissa.
14.1 Lorentzin muunnos
Kuten edellisessä luvussa kävi ilmi, suhteellisuusteoria ja elektrodynamiikka
liittyvät läheisesti toisiinsa. Koordinaatistomuunnosten merkitys elektrodynamiikassa
ilmenee esimerkiksi tilanteessa, jossa on varauksia levossa
tarkastelijan suhteen. Hän näkee niistä aiheutuvan sähkökentän, mutta ne
eivät aiheuta hänen koordinaatistossaan magneettikenttää. Jos tarkastelija
kuitenkin liikkuu varauksiin nähden, varaukset kuljettavat tarkastelijan
näkökulmasta sähkövirtaa ja aiheuttavat magneettikentän. Niinpä sähköja
magneettikentät muuntuvat jollain tavoin toisikseen liikkeen seurauksena
kaikilla nopeuksilla.
Ehkä vieläkin tärkeämpi esimerkki liittyy lukuun 7, jossa kuljetettiin
johdetankoa magneettikentässä ja saatiin aikaan sähkökenttä. Siirrettiinpä
tankoa magneettikentässä, kestomagneettia tangon suhteen tai muutettiin
magneettikenttää ajan suhteen, kaikissa tapauksissa pätee sama Faradayn
laki: ∇×E = −∂B/∂t. Tähän liittyy Einsteinin ihmettelemä epäsymmetria:
Magneetin liikkuessa syntyy sähkökenttä, joka ajaa johteessa virtaa, mutta
187

188LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
johteen liikkuessa ei synny sähkökenttää vaan johteeseen sähkömotorinen
voima, joka ajaa samansuuruista virtaa.
Sähkömagneettisen aallon olemassaolo oli 1800-luvun lopulla kokeellinen
tosiasia. Kysymys, missä koordinaatistossa sen nopeus on tasan c, oli
ongelmallinen. Tähän liittyi kysymys eetteristä, johon mm. Maxwell oli itse
uskonut ja joka oli hänelle ilmeisesti varsinainen syy kentänmuutosvirran
käyttöönottoon. Kentänmuutosvirta pelasti jatkuvuusyhtälön, mikä oli tietenkin
hyvä asia sinänsä, mutta ei onnistunut lopulta pelastamaan eetteriä.
Vuosisadan loppupuolen havainnot tähden näennäisen paikan pienestä siirtymisestä
Maan rataliikkeen suuntaan sekä kuuluisa Michelsonin ja Morleyn
koe, jolla pyrittiin määrittämään Maan liikenopeus eetterin koordinaatistossa,
kuitenkin viittasivat siihen, että valo etenee tyhjiössä vakionopeudella
havaitsijan koordinaatistosta riippumatta.
Liikkukoon koordinaatisto K ′ koordinaatiston K suhteen x-suuntaan vakionopeudella
v siten, että koordinaatistojen akselit ovat samansuuntaisia ja
origot yhtyvät nollahetkellä. Tällöin koordinaattien klassinen Galilein muunnos
K → K ′ on x ′ = x−vt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = t. Newtonin lait ovat samat
molemmissa systeemeissä. Sijottamalla tämä muunnos sähkömagneettisen
aallon aaltoyhtälöön tyhjiössä, on helppo nähdä, että aaltoyhtälö ei ole sama
molemissa koordinaatistoissa.
Vuonna 1904 Lorentz huomasi, että varsin erikoinen koordinaatistomuunnos
jätti Maxwellin yhtälöt ja niistä johdetun aaltoyhtälön samoiksi. Asian
yksinkertaistamiseksi tarkastellaan homogeenista skalaarimuotoista aaltoyhtälöä,
joka kuvaa valonnopeudella (x, y, z)-koordinaatistossa K etenevää
aaltoa
∂ 2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 = 1 ∂ 2 ϕ
c 2 ∂t 2 . (14.1)
Olkoon K ′ toinen koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella v x-
akselin suuntaan. Lorentzin muunnos on 1
x ′ =
y ′ = y
1
√ (x − vt)
1 − v 2 /c2 z ′ = z (14.2)
t ′ =
1
(
√ t − v )
1 − v 2 /c 2 c 2 x .
1 Suhteellisuusteoreetikot käyttävät yleensä yksikköjärjestelmää, jossa c = 1. Me emme
tee niin, mutta toisaalta käyttämämme β on juuri c:llä skaalattu nopeus.

14.1. LORENTZIN MUUNNOS 189
Osittaisderivaatat muuntuvat muotoon
∂
∂x = ∂x′ ∂
∂x ∂x ′ + ∂t′ ∂
∂x ∂t ′
∂
= ∂y′ ∂
∂y ∂y ∂y ′
∂
= ∂z′ ∂
∂z ∂z ∂z ′ (14.3)
∂
= ∂x′ ∂
∂t ∂t ∂x ′ + ∂t′ ∂
∂t ∂t ′ .
Sijoitetaan nämä aaltoyhtälöön, jolloin saadaan koordinaatistossa K ′
∂ 2 ϕ
∂x ′ 2 + ∂2 ϕ
∂y ′ 2 + ∂2 ϕ
∂z ′ 2 = 1 ∂ 2 ϕ
c 2 ∂t ′ 2
(14.4)
eli aalto etenee samalla nopeudella c myös koordinaatistossa K ′ .
Tässä Lorentzilla oli jälleen tilaisuus keksiä suhteellisuusteoria. Hän ei
kuitenkaan ollut valmis ottamaan ratkaisevaa askelta. Ehkä se soti vastoin
hänen käsitystään eetterin olemassaolosta. Suhteellisuusteorian merkityksen
oivalsivat ensimmäisinä Poincaré ja Einstein. Poincaré oli jo vuonna 1899
esittänyt suhteellisuusperiaatteen, jonka mukaan fysiikan lakien pitää olla samat
toistensa suhteen tasaisessa liikkeessä olevissa koordinaatistoissa. Vuonna
1905 Einstein lisäsi tähän postulaatin, että valon nopeus tyhjiössä on
sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa ja riippumaton valoa lähettävän
kappaleen liikkeestä. Suppeampi suhteellisuusteoria oli syntynyt.
Tarkastellaan Lorentzin muunnosta neliulotteisessa avaruudessa, jonka
paikkavektori on X = (ct, x, y, z). Tämän nelivektorin koordinaatteja merkitään
x α , missä α = 0, 1, 2, 3. Jatkossa käytetään kreikkalaisia indeksejä
osoittamaan neliavaruuden komponentteja ja latinalaisia indeksejä tavallisen
kolmiulotteisen kotiavaruuden komponenteille (1,2,3 tai x, y, z). Otetaan
lisäksi käyttöön merkinnät β = v/c sekä γ −1 = √ 1 − β 2 = √ 1 − (v/c) 2 .
Kaikilla vektoreilla (nelinopeus, nelivoima, neliliikemäärä jne.) on nyt neljä
komponenttia. Esimerkiksi nelinopeus u on
u = dX
dτ , (14.5)
missä dτ = dt √ 1 − β 2 on liikkeessä olevan olion itseisaika eli aika mitattuna
sen omassa lepokoordinaatistossa.
Sellaiset muunnokset, jotka jättävät neliömuodon
I = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 (14.6)
invariantiksi (I = I ′ ) koordinaatistomuunnoksessa K → K ′ , ovat Lorentzin
muunnoksia. Tämän voi todeta esimerkiksi sähkömagneettiselle aallolle tilanteessa,
jossa koordinaatistojen origot ovat samat hetkellä t = 0 ja t ′ = 0.

190LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Jos origosta lähtee tuolla hetkellä aalto, I = 0 aaltorintaman mukana kummassakin
koordinaatistossa.
Lorentzin muunnoksen johtaminen
Esitetään tässä peruskurssilta tuttu hyvin yleisiin periaatteisiin perustuva
tapa johtaa Lorentzin muunnoskaavat (ks. K. ja R. Kurki-Suonio, Vuorovaikuttavat
kappaleet). Liikkukoon koordinaatisto K ′ koordinaatiston K suhteen
vakionopeudella v. Havaitsijat O ja O ′ havaitsevat saman tapahtuman
ja määrittävät sen paikan ja hetken: (x, y, z, t) ja (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ). Lisäksi oletetaan,
että heillä on yhteinen standardi, jonka perusteella he käyttävät
samoja mittayksiköitä. Etsitään havaintojen välinen yhteys käyttäen neljää
yleistä ehtoa.
Ehto 1. Aika ja avaruus ovat homogeenisia ja isotrooppisia. Kahden infinitesimaalisen
lähekkäisen tapahtuman siirtymien ja aikavälien välinen muunnos
(dr, dt) ↔ (dr ′ , dt ′ ) on silloin sama aina ja kaikkialla eli niiden välillä on
lineaarinen yhteys. Tällöin myös koordinaattien välinen yhteys on lineaarinen:
missä a i , b i , c i , d i , e i ovat vakioita.
x ′ = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 t + e 1
y ′ = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 t + e 2
z ′ = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t + e 3
t ′ = a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 t + e 4 ,
Yleisyyttä rajoittamatta voidaan sopia, että koordinaatistojen origot yhtyvät
kummankin nollahetkellä, koordinaattiakselit ovat samansuuntaisia ja
K ′ liikkuu K:n x-akselia pitkin positiiviseen suuntaan. Tällöin yhtälöryhmä
yksinkertaistuu muotoon
x ′ = ax + bt
y ′ = y ; z ′ = z
t ′ = hx + kt .
Ehto 2. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus v on kummankin havaitsijan
mielestä sama ainoastaan suunta on päinvastainen. Tällöin K ′ :n origossa
hetkellä t ′ sattuva tapahtuma havaitaan K:ssa hetkellä t pisteessä x = vt
tapahtuvaksi: (vt, t) ↔ (0, t ′ ). Tämän ehdon mukaan siis (0, t) ↔ (−vt ′ , t ′ ).
Sijoittamalla muunnoskaavoihin saadaan
0 = avt + bt
t ′ = hvt + kt
−vt ′ = bt
t ′ = kt .

14.2. TENSORILASKENTAA 191
Muunnos pelkistyy muotoon
x ′ = k(x − vt)
y ′ = y ; z ′ = z
t ′ = k(t − αx) ; α = h/k .
Ehto 3. Valon nopeus c on absoluuttinen. Tämä on ratkaiseva ero klassiseen
Galilein muunnokseen verrattuna. Ajatellaan, että yhteisellä nollahetkellä
yhteisessä origossa tapahtuu valonvälähdys. Valon saapuminen mielivaltaisessa
pisteessä olevaan ilmaisimeen havaitaan hetkillä t ja t ′ . Tapahtumien
vastaavuus on (x = ct, t) ↔ (x ′ = ct ′ , t ′ ), koska c on sama kummankin
havaitsijan mielestä. Tästä seuraa, että
josta voidaan ratkaista α = v/c 2 .
ct ′ = k(ct − vt)
t ′ = k(t − αct) ,
Ehto 4. Käänteismuunnos saadaan symmetrisesti vaihtamalla nopeuden
etumerkki eli molempien inertiaalikoordinaatistojen on oltava samassa asemassa
(vrt. ehto 2). Tällöin
x = k(x ′ + vt ′ )
t = k(t ′ + vx ′ /c 2 ) .
Näin voidaan ratkaista k = 1/ √ 1 − (v/c) 2 .
Lorentzin muunnoskaavat ovat siis (14.2):
x ′ =
y ′ = y
x − vt
√
1 − (v/c) 2
= γ(x − vt)
z ′ = z
t ′ =
t − vx/c 2
√
1 − (v/c) 2 = γ(t − vx/c2 ) .
14.2 Tensorilaskentaa
Edellä ollut x-akselin suuntainen Lorentzin muunnos voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä
⎛
x ′0 ⎞ ⎛
⎞ ⎛
γ −γβ 0 0 x 0 ⎞
⎜ x ′1
⎟
⎝ x ′2 ⎠ = ⎜ −γβ γ 0 0
⎟ ⎜ x 1
⎟
⎝ 0 0 1 0 ⎠ ⎝ x 2 ⎠ . (14.7)
x ′3 0 0 0 1 x 3

192LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Merkitsemällä kerroinmatriisia Λ:lla tämä voidaan x-akselin suuntainen “pusku”
voidaan kirjoittaa tensorimuodossa
x ′µ = Λ µ νx ν , (14.8)
missä on käytetty Einsteinin summaussääntöä eli toistetun indeksin yli summataan
x ′µ = ∑ Λ µ νx ν = Λ µ νx ν . (14.9)
ν
Tässä luvussa käytettävässä tensoriformalismissa indeksien paikka ja järjestys
ovat tärkeitä. Toisen kertaluvun tensoreilla indeksien järjestys kertoo,
onko kyseessä tensorin matriisiesityksen vaakarivi vai pystyrivi. Vektoria,
jolla on yläindeksi, kutsutaan kontravariantiksi vektoriksi ja alaindeksillä
varustettua vektoria puolestaan kovariantiksi vektoriksi. Summaus tapahtuu
aina ylä- ja alaindeksin välillä. 2
Kahdesta kontravariantista vektorista u µ ja v ν muodostetaan toisen kertaluvun
tensori T µν suorana tulona, jonka komponentit muodostavat matriisin
u µ v ν . Tensori T µν muuntuu siis seuraavasti:
T ′µν = Λ µ αΛ ν βT αβ . (14.10)
Muotoillaan määritelmä yleisemmin: Jokaista suuretta T αβ , joka muuntuu
tällä tavalla Lorentz-muunnoksessa, sanotaan 2. kertaluvun (kontravariantiksi)
tensoriksi.
missä
Kahden kontravariantin nelivektorin pistetulo määritellään puolestaan
g αβ =
A · B = g αβ A α B β , (14.11)
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
⎞
⎟
⎠ (14.12)
on metrinen perustensori. 3 Se on symmetrinen (g αβ = g βα ) ja sillä on
käänteismatriisi g αβ eli g αβ g βγ = δ α γ, missä δ α γ on yksikkötensori eli Kroneckerin
deltan neliulotteinen vastine, jolle δ α γ = 1, kun α = γ ja muulloin
δ α γ = 0.
2 Vektorien ko- ja kontravarianttisuus ja siten ylä- ja alaindeksien erottelu ovat varsinaisesti
tarpeen vasta yleisessä suhteellisuusteoriassa. Tässä yhteydessä se tekee laskemisesta
hieman yksinkertaisempaa. Esimerkki formalismista ilman ylä- ja alaindeksejä löytyy
kirjasta RMC.
3 Metrisen perustensorin komponenttien ±-merkit määritellään joko näin tai päinvastoin.
Valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä, mutta laskettaessa on pidettävä kiinni
tehdystä valinnasta. Lisäksi indeksit on syytä kirjoittaa selvästi peräkkäin, etteivät
vaaka- ja pystyrivit mene sekaisin.

14.2. TENSORILASKENTAA 193
Näin määriteltyä metristä perustensoria kutsutaan Minkowskin tensoriksi
ja sen määrittämien ominaisuuksien mukaista neliavaruutta Minkowskin
avaruudeksi. Minkowskin avaruus on laakea, isotrooppinen ja homogeeninen.
Yleisen suhteellisuusteorian kaareutuvien avaruuksien metriset tensorit
eivät ole näin yksinkertaisia.
Metrisellä perustensorilla on tärkeä laskutekninen rooli. Koska summaus
tapahtuu aina ylä- ja alaindeksin välillä, täytyy esimerkiksi kahden kontravariantin
vektorin pistetuloa laskettaessa toinen muuntaa kovariantiksi eli
laskea sen indeksi alas. Indkeksien nosto- ja laskuoperaatiot tapahtuvat metrisen
perustensorin avulla
v β = g αβ v α ; v β = g αβ v α , (14.13)
missä summaus on kummassakin tapauksessa siis indeksin α yli. Edellä oleva
pistetulo (14.11) on siten
A · B = g αβ A α B β = A β B β = A α B α . (14.14)
Samalla tavalla nostetaan ja lasketaan toisen tai korkeamman kertaluvun
tensoreiden indeksejä
T α β = g αω T ωβ . (14.15)
Invariantti neliömuoto I ennen Lorentzin muunnosta on
I = g αβ x α x β (14.16)
ja Lorentzin muunnoksen jälkeen (x µ → x ′µ = Λ µ αx α )
Vaatimus I = I ′ antaa ehdon
tai
I ′ = g µν Λ µ αΛ ν βx α x β . (14.17)
g µν Λ µ αΛ ν β = g αβ (14.18)
g µν Λ α µΛ β ν = g αβ . (14.19)
Vain sellaiset muunnokset, jotka toteuttavat nämä yhtälöt eli säilyttävät
metrisen perustensorin komponentit, ovat Lorentzin muunnoksia. Yleisessä
lineaarisessa muunnoksessa on 16 vapaata parametria ja ehdossa (14.19) on
10 eri yhtälöä, joten Lorentzin muunnoksessa on kuusi vapaata parametria:
pusku jokaisen (kolmiavaruuden) koordinaattiakselin suuntaan ja koordinaatiston
kierto jokaisen akselin ympäri.
Määritetään vielä Lorentzin muunnoksen käänteismuunnos (Λ −1 ) α γ . Merkitään
M α γ = g αβ Λ ν βg νγ ja kerrotaan puolittain Λ µ α:lla:
joten
Λ µ αM α γ = g αβ Λ µ αΛ ν βg νγ = g µν g νγ = δ µ γ ,
(Λ −1 ) α γ = gαβ Λ ν βg νγ = Λ γ α . (14.20)
HT: Laske Λ −1 x-akselin suuntaisen Lorentzin muunnoksen tapauksessa.

194LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
14.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikka
Vaikka suhteellisuusteorian fysikaalinen perusta onkin elektrodynamiikassa
– valon nopeushan on nimenomaan sähkömagneettisen aallon nopeus, Lorentzin
muunnokset, ajan venyminen jne. ovat useille tutumpia mekaaniseen
liikkeeseen liittyvissä esimerkeissä kuten toisensa ohittavat tosinopeat junat,
liian pieneen talliin työnnettävä seiväs jne.
Valon nopeus on rajanopeus, jolla vain massaton hiukkanen voi edetä.
Sitä ei voi saavuttaa laskemalla yhteen nopeuksia, jotka ovat alle valon nopeuden.
Yhtälöt (14.2) kuvaavat muunnosta koordinaatistoon K ′ , joka liikkuu
nopeudella v koordinaatiston K suhteen. Liikkukoon sitten koordinaatisto
K ′′ nopeudella v ′ koordinaatiston K ′ suhteen, jolloin
x ′′ =
1
√
1 − v ′2 /c 2 (x′ − v ′ t ′ )
y ′′ = y ′
z ′′ = z ′ (14.21)
( )
t ′′ 1
= √ t ′ − v′
1 − v ′2 /c 2 c 2 x′ .
Sijoittamalla tähän systeemin K ′ (yhdellä pilkulla merkityt) koordinaatit
muunnoksen (14.2) mukaisesti saadaan yhdistetty muunnos
x ′′ =
y ′′ = y
1
√ (x − wt)
1 − w 2 /c2 z ′′ = z (14.22)
t ′′ =
1
(
√ t − w )
1 − w 2 /c 2 c 2 x ,
missä
w = v + v′
1 + vv ′ /c 2 . (14.23)
Tämä on nopeuksien yhteenlaskukaava. Olivatpa v ja v ′ kuinka lähellä valonnopeutta
tahansa, niiden summa jää alle valonnopeuden. Matemaattisesti
tämä johtuu siitä, että Lorentzin muunnokset muodostavat ryhmän.
Yhdistämällä kaksi muunnosta saadaan uusi Lorentzin muunnos, tässä tapauksessa
koordinaatistosta K koordinaatistoon K ′′ , joiden suhteellinen nopeus
on w. Laskukaavaa sovellettaessa täytyy olla tarkkana suhteellisten
nopeuksien suuntien (eli etumerkkien) kanssa.
Suppea suhteellisuusperiaate voidaan ilmaista sanomalla, että kaikki Lorentzin
muunnosten yhdistämät inertiaalijärjestelmät ovat samanarvoisia

14.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 195
kaikkien fysikaalisten tapahtumien kuvailussa. Tämä jättää kiihtyvät koordinaatistot,
mutta ei suinkaan kiihtyvää liikettä, tarkastelun ulkopuolelle.
Suhteellisuusperiaatteen yleistäminen kiihtyviin koordinaatistoihin johtaa
yleiseen suhteellisuusteoriaan, mutta se on jo toinen tarina.
Tarkastellaan sitten lyhyesti tavallista massapistemekaniikkaa suhteellisuusperiaatteen
valossa. Kutsutaan massapisteen (hiukkasen) liikerataa neliavaruudessa
sen maailmanviivaksi ja merkitään sen koordinaatteja x µ .
Differentiaalit dx µ määrittävät hiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin
maailmanviivaa. Muodostetaan Lorentz-invariantti skalaarisuure
ds 2 = g µν dx µ dx ν , (14.24)
joka on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Kyseessä on neliavaruuden
viivaelementin pituuden neliö. Nimensä mukaisesti metrinen perustensori
siis kertoo, kuinka neliavaruudessa mitataan etäisyyksiä.
Tarkastellaan hiukkasta koordinaatistossa, jossa se on hetkellisesti levossa.
Tällöin
dx ′ = (dx ′ 0 , 0, 0, 0) (14.25)
eli tässä koordinaatistossa vain aika kuluu. Nyt
ds 2 = g 00 (dx ′ 0 ) 2 = c 2 (dt ′ ) 2 . (14.26)
Ajanlaatuinen suure ds/c on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossa
eli se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaama
aikaväli. Määritellään kiinteästä maailmanpisteestä s A (siis neliulotteisesta
pisteestä, nelipaikasta) lähtien laskettu hiukkasen itseisaika integraalina
τ = 1 ∫ s ∫ { [
t
(dx
ds = dt 1 − 1 )
1 2 ( ) dx
2 2 ( ) dx
3 2
]} 1/2
c s A t A
c 2 + + .
dt dt dt
(14.27)
Tässä esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K
( )
dx
1
v =
dt , dx2
dt , dx3 . (14.28)
dt
Itseisajan differentiaalinen muoto
dτ
√ = dt (14.29)
1 − v 2 /c2 esiintyi jo kappaleessa 14.1. Tämä kuvaa ajan venymistä liikkeessä olevassa
koordinaatistossa.
Hiukkasen nelinopeus u määritellään sen nelipaikan derivaattana itseisajan
suhteen. Nelinopeuden komponentit ovat
u µ = dxµ
dτ . (14.30)

196LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Kolminopeuden avulla ilmaistuna tämä on u = (γc, γv). Suoralla laskulla
nähdään, että nelinopeuden neliö on invariantti
Vastaavasti määritellään nelikiihtyvyys
u 2 = g µν u µ u ν = c 2 . (14.31)
a µ = duµ
dτ = d2 x µ
dτ 2 . (14.32)
Nelinopeus on nelivektori, koska x µ on nelivektori ja d/dτ on invariantti.
Siten myös nelikiihtyvyys on nelivektori.
Tarkastellaan sitten Newtonin liikeyhtälöä
dp
dt = F , (14.33)
missä p = mv on liikemäärä. Tämä on kuitenkin Galilei-invariantti yhtälö,
missä mikään ei rajoita nopeutta alle valonnopeuden. Muodostetaan nelivektoriyhtälö
m 0
d
dτ uµ = K µ , (14.34)
missä m 0 on massanlaatuinen invariantti vakiosuure ja K µ nelivoima. Jotta
tämä olisi kelvollinen liikeyhtälö pienen nopeuden rajalla, sen avaruusosasta
on saatava Newtonin liikeyhtälö. Käyttäen koordinaattiaikaa t kirjoitetaan
yhtälön avaruuskomponentit muodossa
d m 0 v i
√
dt
= Ki√ 1 − β 2 , (14.35)
1 − β 2
missä yksi γ-tekijä tulee siitä, että nelinopeuden avaruuskomponentit ovat
γv i ja toinen siirtymisestä itseisajasta koordinaattiaikaan.
Jos ulkoinen voima on nolla, liikemäärä on vakio, joten liikemäärän avaruuskomponentit
ovat
p i =
m 0v i
√ . (14.36)
1 − β 2
Rajalla β → 0 tämä vastaa Newtonin mekaniikan liikemäärää. Näin kolmivoiman
ja nelivoiman välinen yhteys on
F i = K i√ 1 − β 2 . (14.37)
Liikeyhtälön (14.34) nollannen komponentin määrittämiseksi kirjoitetaan se
nelikiihtyvyyden a µ avulla
m 0 a µ = K µ . (14.38)

14.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 197
Nelikiihtyvyyden ja nelinopeuden pistetulo on
g µν a µ u ν = 1 d
2 dτ (g µνu µ u ν ) = 1 d
2 dτ c2 = 0 (14.39)
eli nelikiihtyvyys ja nelinopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten
myös
g µν K µ u ν = 0 . (14.40)
Sijoittamalla tähän nelinopeuden komponentit (u = (γc, γv)) ja nelivoiman
avaruusosa jää jäljelle
eli
c
√
1 − β 2 K0 =
3∑
i=1
K 0 = 1 c
v i F i
√ √
1 − β 2 1 − β 2
(14.41)
F · v
√
1 − β 2 . (14.42)
Liikeyhtälön nollas komponentti on siis
d m 0 c 2
√
dt
= F · v . (14.43)
1 − β 2
Hiukkasen liike-energia määritellään Newtonin mekaniikassa siten, että
sen aikaderivaatta (teho) on F · v. Tarkastellaan sitten energianlaatuista
suuretta
W = m 0c 2
√ . (14.44)
1 − β 2
Kirjoitetaan neliöjuuri binomisarjan avulla, jolloin
W = m 0 c 2 [
1 + v2
2c 2 + O ( v
4
c 4 )]
. (14.45)
Epärelativistisella rajalla (β → 0) tästä tulee
W = m 0 c 2 + 1 2 m 0v 2 (14.46)
eli Newtonin mekaniikan mukainen m 0 -massaisen hiukkasen liike-energia ja
suure m 0 c 2 , jota kutsutaan m 0 -massaisen hiukkasen lepoenergiaksi.
Nyt neliliikemäärä voidaan kirjoittaa muodossa
(
)
W
p =
c , m 0 v i
√
1 − β 2
(14.47)
eli
p µ = m 0 u µ . (14.48)

198LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Relativistiset liikeyhtälöt voi tiivistää muotoon
Neliliikemäärän invariantti neliö on
d
dτ pµ = K µ . (14.49)
g µν p µ p ν = (m 0 c) 2 = W 2 /c 2 − p 2 . (14.50)
Tämä on erittäin tärkeä yhtälö tarkasteltaessa relativisten hiukkasten törmäyksiä
alkeishiukkasfysiikassa.
Huom. Hiukkasen massa on m 0 . Sitä kutsutaan joskus lepomassaksi, mutta
siihen ei ole mitään syytä, sillä m 0 on itse asiassa Lorentz-invariantti suure,
joka määrittelee lepoenergian kaavalla
W 0 = lim
v→0
W = m 0 c 2 . (14.51)
14.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointi
Tarkastellaan seuraavaksi Lorentzin voiman lauseketta muodossa
F i = q(E i + ɛ i jk v j B k ) , (14.52)
missä ɛ ijk on permutaatiosymboli ja summataan toistettujen indeksien yli.
Permutaatiosymbolia voi tässä käsitellä kuten tensoria, vaikka se ei sellainen
tarkkaan ottaen olekaan. Varaus q oletetaan invariantiksi säilymislain
perusteella. Edellä saatiin hiukkasen liikeyhtälö muotoon dp µ /dτ = K µ ,
missä nelivoiman komponentit ovat
K 0 = γ c F · v ; Ki = γF i . (14.53)
Oletetaan nyt, että kyseisen voiman avaruusosa on juuri Lorentzin voima.
Kirjoitetaan liikeyhtälö komponenteittain. Aikakomponentista tulee
dp 0
dτ = K0 = γ c F · v = γ c q E · v (14.54)
eli kentän tekemä työ. Paikkakomponenteista saadaan
dp 1
dτ = γq ( E 1 + (v 2 B 3 − v 3 B 2 ) ) ( )
E
1
= q
c u0 + u 2 B 3 − u 3 B 2
dp 2
dτ = γq ( E 2 + (v 3 B 1 − v 1 B 3 ) ) ( )
E
2
= q
c u0 + u 3 B 1 − u 1 B 3
dp 3
dτ = γq ( E 3 + (v 1 B 2 − v 2 B 1 ) ) ( )
E
3
= q
c u0 + u 1 B 2 − u 2 B 1
(14.55)

14.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI FORMULOINTI 199
Aika- ja paikkakomponentit voidaan koota yhtälöiksi
dp µ
dτ = qu βF βµ . (14.56)
(F µν ):tä kutsutaan sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi . Sen komponentit
ovat
⎛
0 E 1 /c E 2 /c E 3 ⎞
/c
(F µν ) = ⎜ −E 1 /c 0 B 3 −B 2
⎟
⎝ −E 2 /c −B 3 0 B 1 ⎠ . (14.57)
−E 3 /c B 2 −B 1 0
Kenttätensori on antisymmetrinen F µν = −F νµ , joten seuraavissa laskuissa
on syytä erityiseen tarkkuuteen merkkien kanssa.
Kenttätensorin elementit ovat siis sähkö- ja magneettikenttien komponentit
(F 01 , F 02 , F 03 ) = (1/c)(E 1 , E 2 , E 3 ) ja (F 23 , F 31 , F 12 ) = (B 1 , B 2 , B 3 ) .
Yhtälöstä (14.56) saa suoralla laskulla Lorentzin voiman (14.52) komponentit.
Osoitetaan harjoituksen vuoksi, että (F µν ) on kelvollinen toisen kertaluvun
tensori eli että se muuntuu oikein Lorentzin muunnoksissa. Todetaan
aluksi, että kovariantin vektorin muunnos on u ′ β = Λ β α u α = (Λ −1 ) α β u α,
minkä voi päätellä suoraan muunnoskaavojen avulla. Sen näkee teknisemminkin
nostamalla ja laskemalla indeksejä perustensorin avulla
u ′ β = g µβu ′µ = g µβ Λ µ νu ν = g µβ Λ µ νg να u α = (Λ −1 ) α β u α ,
missä käytettiin lopuksi tulosta (14.20). Muunnettu liikeyhtälö on siis
dp ′ µ
dτ = qu′ β F ′ βµ
Toisaalta
joten
⇔ Λ µ dp ν
ν
dτ = qΛ β α u α F ′ βµ .
Λ µ dp ν
ν
dτ = qΛµ νu α F αν ,
Λ β α F ′ βµ = Λ µ νF αν
⇔ (Λ −1 ) α β F ′ βµ = Λ µ νF αν
⇔ Λ γ α(Λ −1 ) α β F ′ βµ = Λ γ αΛ µ νF αν .

200LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Sähkömagneettinen kenttätensori muuntuu siis kuten
⇔ F ′ γµ = Λ γ αΛ µ νF αν (14.58)
joten se on oikein muuntuva toisen kertaluvun tensori.
Kirjoitetaan sitten Maxwellin yhtälöt kenttätensorin komponenttien avulla.
Määritellään ensin operaattori ∂ α = ∂/∂x α = (∂/∂x 0 , ∇). Vastaavasti
∂ α = ∂/∂x α = (∂/∂x 0 , −∇). Indeksien sijoittelu on loogista: ∂ α muuntuu
kuten kovariantti vektori, koska ∂/∂x ′α = (∂x β /∂x ′α )∂/∂x β .
Nyt ∇ · E = ρ/ɛ 0 ≡ µ 0 c 2 ρ tulee muotoon
∂ 1 F 01 + ∂ 2 F 02 + ∂ 3 F 03 = µ 0 cρ . (14.59)
Ampèren ja Maxwellin lain kolme komponenttia
ovat puolestaan
− 1 c 2 ∂E
∂t + ∇ × B = µ 0J
∂ 0 F 10 + ∂ 2 F 12 + ∂ 3 F 13 = µ 0 j 1
∂ 0 F 20 + ∂ 1 F 21 + ∂ 3 F 23 = µ 0 j 2 (14.60)
∂ 0 F 30 + ∂ 1 F 31 + ∂ 2 F 32 = µ 0 j 3 .
Ottamalla käyttöön nelivirta J = (j µ ) = (cρ, J) voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa
muodossa
∂ ν F µν = µ 0 j µ . (14.61)
Nelivirta on nelivektori, joten varaustiheys ρ ja virran tiheys J muuntuvat
samalla tavalla kuin aika t ja paikka r. Suoraviivainen harjoitustehtävä
saattaa homogeeniset yhtälöt (∇ · B = 0, ∇ × E + ∂ t B = 0) muotoon
∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 . (14.62)
Koska Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa tensoriyhtälöinä (14.61, 14.62),
ne säilyttävät muotonsa Lorentzin muunnoksissa. On hyvä muistaa, että
yhtälöt (14.61, 14.62) eivät ole yhtään sen yleisemmät, rajoitetummat tai
fundamentaalisemmat kuin luvussa (9) esitetyt yhtälöt Maxwellin yhtälöt.
Olennaista tässä on, että Maxwellin 1860-luvulla kehittämä teoria on osoittautunut
ensimmäiseksi suppean suhteellisuusteorian kanssa sopusoinnussa
olevaksi fysiikan kuvailuksi.
HT: Totea toisen kertaluvun tensoreiden muunnoskaavojen avulla, että suure
F αβ F αβ on invariantti Lorentzin muunnoksessa. Lausu sitten tämä suure
kenttien avulla.

14.5. KENTTIEN MUUNNOKSET 201
14.5 Kenttien muunnokset
Elektrodynamiikan Lorentz-kovarianssi tarkoittaa siis sitä, että Maxwellin
yhtälöt ovat samat inertiaalikoordinaatistosta riippumatta. Tämän voi sanoa
sitenkin, että tekemällä elektrodynamiikan alan kokeita, ei saa selville
omaa liiketilaansa. Sitävastoin sähkö- ja magneettikentät riippuvat havaitsijan
liiketilasta. Muunnosten täytyy olla sellaiset, että sijoitettaessa muunnetut
kentät Maxwellin yhtälöihin tuloksena ovat alkuperäiset yhtälöt. Kaikki
tämä on jo edellä esitetyn formalismin sisällä, mutta johdetaan tässä vielä
kenttien muunnoskaavat.
Valitaan koordinaattiakselit siten, että koordinaatistojen välinen suhteellinen
nopeus v on x-akselin suuntainen. Muunnosmatriisi on tällöin
⎛
⎞
γ −γβ 0 0
(Λ µ ν) = ⎜ −γβ γ 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0 ⎠ . (14.63)
0 0 0 1
= E 1 /c. Tämän Lo-
Muuntumaton sähkökentän 1-komponentti on F 01
rentzin muunnos saadaan laskemalla F ′ 01
F ′ 01 = Λ 0 µΛ 1 νF µν
= Λ 0 0Λ 1 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 0 1Λ 1 0F 10 + Λ 0 1Λ 1 1F 11
= γ 2 1 c E1 + β 2 γ 2 (− 1 c E1 ) = E 1 /c , (14.64)
joten E ′1 = E 1 eli puskun suuntainen sähkökenttä säilyy ennallaan. Lasketaan
seuraavaksi F 02 = E 2 /c:n muunnos.
F ′ 02 = Λ 0 µΛ 2 νF µν = Λ 0 0Λ 2 0F 02 + Λ 0 0Λ 2 2F 02 + Λ 0 1Λ 2 2F 12
= γ 1 c E2 − βγB 3 ⇒ E ′ 2 = γE 2 − γvB 3 . (14.65)
Komponentin E 3 muunnos on puolestaan
E ′3 = γE 3 + γvB 2 . (14.66)
Tekemällä vastaavat laskut magneettikentän komponenteille saadaan muunnoskaavat
eli lausekkeet muunnetuille kentille muunnetussa neliavaruuden
pisteessä
E ′ ‖ (r′ , t ′ ) = E ‖ (r, t) ; E ′ ⊥ (r′ , t ′ ) = γ(E ⊥ (r, t) + v × B(r, t))
(14.67)
B ′ ‖ (r′ , t ′ ) = B ‖ (r, t) ; B ′ ⊥ (r′ , t ′ ) = γ(B ⊥ (r, t) − 1 v × E(r, t)) ,
c2 missä ‖ ja ⊥ viittaavat v:n suuntaisiin ja sitä vastaan kohtisuoriin komponentteihin.

202LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Esimerkki. Liikkuvan varauksen kenttä
Käsitellään kappaleen 13.2.1 esimerkki suhteellisuusteorian keinoin. Pistevaraus
liikkuu nopeudella v x-akselia pitkin pilkuttomassa tarkkailijan koordinaatistossa,
jossa kentät halutaan määrittää. Olkoon pilkullinen koordinaatisto
sellainen, että se liikkuu varauksen mukana ja sen origo olkoon
varauksen kohdalla. Tällöin
B ′ = 0
E ′ =
qr ′
4πɛ 0 (r ′ ) 3 . (14.68)
Käytetään edellä johdettuja muunnoskaavoja (käänteisesti!)
Vektorin r ′ komponentit ovat
Otetaan käyttöön merkintä
E x = E ‖ = E ′ x =
jolloin sähkökentän komponentit ovat
eli koottuna vektoriksi
qx ′
4πɛ 0 (r ′ ) 3
E ⊥ = γE ′ ⊥ = γqr ′ ⊥
4πɛ 0 (r ′ ) 3 . (14.69)
r ′ = (γ(x − vt), y, z) . (14.70)
γR ∗ = (γ(x − vt), y, z) , (14.71)
E x =
E y =
E z =
q γ(x − vt)
4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3
q γy
4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3 (14.72)
q γz
4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3
E =
q R
4πɛ 0 (R ∗ ) 3 (1 − β2 ) , (14.73)
missä R = (x − vt, y, z). Tämä on kappaleesta 13.2.1 tuttu tulos.
Magneettikentäksi tulee puolestaan
B x = B ‖ = 0
B ⊥ = γ 1 c 2 v × E′ = γ 1 c 2 v × E′ ⊥ = 1 c 2 v × E ⊥ (14.74)
eli
Tuttua tämäkin.
B = 1 c 2 v × E . (14.75)

14.6. POTENTIAALIEN MUUNNOKSET 203
14.6 Potentiaalien muunnokset
Homogeeniset Maxwellin yhtälöt ovat kappaleessa 14.4 opitun mukaan
∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 . (14.76)
Nämä yhtälöt ovat välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että on olemassa
nelipotentiaali A µ , jolle
F µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν . (14.77)
Suoralla laskulla nähdään, että näin esitetty F µν toteuttaa homogeeniset
Maxwellin yhtälöt eli välttämättömyysehto on voimassa. Riittävyysehdon
todistaminen sivuutetaan (ks. CL).
Nostamalla indeksit saadaan
F µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν . (14.78)
Muistamalla kenttätensorin määritelmä ja kenttien esitys potentiaalien avulla
voidaan nelipotentiaalin komponentit
Nelipotentiaali toteuttaa aaltoyhtälön
(A µ ) = (ϕ/c, A) . (14.79)
∂ γ ∂ γ A ν − ∂ ν (∂ α A α ) = µ 0 j ν . (14.80)
Tässä ∂ γ ∂ γ on neliavaruuden Laplacen operaattori, jota merkitään usein
joko □ tai □ 2 (valitettavasti kumpaakin merkintää näkee). Valitsemalla Lorenzin
mittaehto (∂ α A α = 0) 4 (14.80) palautuu tutuksi epähomogeeniseksi
aaltoyhtälöksi.
Todetaan vielä, että nelipotentiaali yleensä ajatellaan nelivektoriksi. Tämä
on oikeutettua, vaikkakaan ei välttämätöntä. Voidaan osoittaa, että nelipotentiaali
muuntuu mittamuunnosta vaille nelivektorina (ks. CL).
4 Neliavaruuden Lorenzin mittaehto näyttää kolmiavaruuden Coulombin mitan yleistykseltä.
Lorentz-kovariantissa formalismissa Coulombin mitta ei ole hyvin määritelty käsite.

204LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
14.7 Säilymislait
Luvussa 9 esitettiin energian, liikemäärän ja impulssimomentin säilymislait
kolmiavaruuden Maxwellin jännitystensorin avulla. Esitetään nämä säilymislait
nyt kovariantissa muodossa.
Lorentzin voimatiheys on
f = ρE + J × B . (14.81)
Olkoon f = (f 1 , f 2 , f 3 ). Poimitaan sähkö- ja mangeettikentän komponentit
sähkömagneettisesta kenttätensorista ja muisteaan, että (j µ ) = (cρ, J).
Tällöin
f 1 = ρE 1 + j 2 B 3 − j 3 B 2
= cρF 01 + j 2 F 12 − j 3 F 31
= j 0 F 01 − j 2 F 12 + j 3 F 31 (14.82)
= j 0 F 01 + j 2 F 21 + j 3 F 31 ,
sillä indeksien laskuoperaattori metrisen perustensorin avulla merkitsee avaruuskomponettien
merkkien vaihtamista: (j 0 , j 1 , j 2 , j 3 ) = (j 0 , −j 1 , −j 2 , −j 3 ).
Koska F αα = 0, niin
f i = j α F αi . (14.83)
Lorentzin voimatiheys on siis nelivektorin f µ = j α F αµ avaruusosa. 0-komponentti
on puolestaan
eli tehohäviö tilavuusyksikössä.
f 0 = j α F α0 = −F 0α j α = 1 c E · J (14.84)
Koska
j α = g αβ j β = 1 µ 0
g αβ ∂ ν F βν = 1 µ 0
∂ ν F α ν , (14.85)
voidaan nelivoima kirjoittaa muodossa
f µ = 1 µ 0
(∂ ν F α ν )F αµ . (14.86)
Tämän avaruusosa on arvatenkin luvusta 9 tuttu
f = ɛ 0 [(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 [(∇ · B)B + (B · ∇)B]
µ 0
− 1 (
2 ∇ ɛ 0 E 2 + 1 )
B 2 ∂
− ɛ 0 (E × B) .
µ 0 ∂t

14.7. SÄILYMISLAIT 205
Samoin kuin luvussa 9 etsitään tensori, tällä kertaa neliavaruudessa, jonka
divergenssinä sadaan nelivoima. Määritellään (jälkiviisaasti) symmetrinen
tensori (T νµ )
T νµ = 1 µ 0
[F α ν F αµ − 1 4 gνµ F αβ F αβ ] = T µν . (14.87)
Nyt pieni indeksijumppa antaa tensorin nelidivergenssiksi
∂ ν T νµ = 1 µ 0
(∂ ν F α ν )F αµ = f µ . (14.88)
(T µν ) on siis sellainen tensori, jonka divergenssi antaa Lorentzin nelivoimatiheyden.
Tensori on Maxwellin jännitystensorin yleistys neliavaruudessa.
Tämän toteamiseksi lasketaan tensorin komponentit. Tensorin määritelmässä
on mukana kenttätensorin neliö −(1/4)F αβ F αβ = (1/2)((E/c) 2 −B 2 ),
joka tulee mukaan diagonaalisiin termeihin. Nyt
T 00 = 1 µ 0
[
F α 0 F α 0
+ 1 2
( )] ( 1
c 2 E2 − B 2 ɛ0 E 2
= −
2
+ B2
2µ 0
)
eli kentän energiatiheys w em = −T 00 . Tensorin ylärivin komponentit
T 0i = 1 µ 0
F α 0 F αi = 1 µ 0
(g 0β F αβ F αi )
= 1 µ 0
F α0 F αi = 1 µ 0
F 0k F ik = 1 µ 0
(
− Ek
c ɛi jk Bj )
(14.89)
= − 1
µ 0 c (E × B)i = − 1 c Si (14.90)
ovat puolestaan Poyntingin vektorin komponentit. Pelkästään avaruusosia
sisältävät komponentit ovat
T kl = 1 [
F k α F α l
+ g kl 1 ( )]
1
µ 0 2 c 2 E2 − B 2
= ɛ 0 E k E l + g kl ɛ 0E 2
= T kl
e
+ T kl
m
2
+ 1 B k B l kl B2
+ g (14.91)
µ 0 2µ 0
eli luvussa 9 johdetun Maxwellin jännitystensorin T sähköiset ja magneettiset
komponentit. Tensori (T αβ ) on Maxwellin jännistystensorin laajennus,
koska sen 0α-komponentit antavat suoraan sekä sähkömagneettisen energiatiheyden
että Poyntingin vektorin.
Tuloksista f µ = j α F αµ ja f µ = ∂ β T βµ saadaan yhtälö
∂ β T βµ = j α F αµ . (14.92)

206LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Tämän nollas komponentti ∂ β T β0 = j α F α0 antaa
∂w em
∂t
+ ∇ · S = −J · E (14.93)
eli differentiaalisen energian säilymislain (Poyntingin teoreeman). Avaruuskomponentit
∂ β T βi = j α F αi puolestaan antavat liikemäärän säilymislain
− ∂ ∂t (ɛ 0E × B) l + ∂ k (T kl
e
+ T kl
m ) = ρE l + (J × B) l . (14.94)
Olemme siis onnistuneet kirjoittamaan olennaisesti koko klassisen elektrodynamiikan
kovariantissa muodossa.
Luvussa 13 käsitelty liikkuvan varauksen säteily voidaan esittää hieman
tyylikkäämmin tässä luvussa käsitellyssä formalismissa. Asiasta kiinnostuneita
kehotetaan tutustumaan CL:n lukuun 13 tai Jacksonin säteilyteoriaa
käsitteleviin lukuihin.

Luku 15
Varatun hiukkasen liike
SM-kentässä
Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä.
Tehtävänä on siis ratkaista relativistinen liikeyhtälö
dp/dt = q(E + v × B) , (15.1)
missä p = mv/ √ 1 − (v/c) 2 . Liikeyhtälö on hankala integroitava yleisille
ajasta ja paikasta riippuville kentille, joten se on yleensä ratkaistava numeerisesti.
Jos aika- ja paikkariippuvuuksien voi olettaa olevan riittävän hitaita
ja laakeita, on mahdollista käyttää häiriöteoriaa lähtien vakiokentistä ja
tehdä niihin pieniä korjauksia.
15.1 Säteilyhäviöiden vaikutus
Liikeyhtälön käsittelyyn sisältyy periaatteellinen ongelma. Jos hiukkasella
on kiihtyvyyttä, se säteilee ja säteily kuljettaa mukanaan energiaa, liikemäärää
ja liikemäärämomenttia. Varatun hiukkasen säteilyä kuitenkin
tarkastellaan tyypillisesti kaksivaiheisesti. Ensin ratkaistaan liikeyhtälöstä
hiukkasen rata annetussa ulkoisessa kentässä. Sen jälkeen lasketaan säteilyhäviöt
olettaen, että hiukkanen pysyy ratkaistulla radallaan. Käytännössä
monessa tilanteessa säteilyn vaikutus voidaan jättää huomiotta.
Säteilyn merkitystä voidaan arvioida tutkimalla tilannetta, jossa hiukkasen
(varaus q) kiihtyvyys on suuruusluokkaa a ajan T verran. Jos nopeus on
paljon valon nopeutta pienempi, niin Larmorin kaavan perusteella hiukkasen
säteilemä energia on
W rad ∼ q2 a 2 T
6πɛ 0 c 3 . (15.2)
207

208 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ
Jos kyseessä on levosta lähtenyt hiukkanen, sen liike-energia on luokkaa
W kin ∼ m(aT ) 2 . Siten
W rad
W kin
∼
q 2
6πɛ 0 mc 3 T = τ T , (15.3)
missä τ = q 2 /(6πɛ 0 mc 3 ) on säteilylle luonteenomainen aika. Varauksellisista
hiukkasista se on suurin elektroneille (∼ 10 −23 s), missä ajassa valo etenee
matkan cτ ∼ 10 −15 m. Jos taas kyseessä on jaksollinen liike amplitudilla d
ja kulmataajuudella ω, niin W kin ∼ mω 2 d 2 , a ∼ ω 2 d ja T ∼ 1/ω. Silloin
W rad /W kin ∼ ωτ . (15.4)
Säteilyhäviöt ovat lyhytkestoisessa liikkeessä merkittäviä vain, jos hiukkasen
liike muuttuu ulkoisten voimien takia merkittävästi aikaskaalassa τ tai
pituusskaalassa cτ. Pitkäkestoisessa liikkeessä kumuloituvat säteilyhäviöt on
aina otettava huomioon, esim. astrofysiikassa elektronien jäähtyminen synkrotronisäteilyn
seurauksena.
15.2 Homogeeninen ja staattinen B
Oletetaan aluksi, että E = 0 ja B = vakio. Rajoitutaan lisäksi epärelativistiseen
tapaukseen v ≪ c, jolloin
m dv
dt
= q(v × B) . (15.5)
Ottamalla tästä pistetulo v:n kanssa saadaan
m dv
dt · v = d ( ) mv
2
= 0 . (15.6)
dt 2
Hiukkasen liike-energia ja nopeuden itseisarvo ovat siis vakioita. Valitaan
koordinaatisto siten, että B = Be z . Tällöin
m ˙v x = qBv y
m ˙v y = −qBv x (15.7)
m ˙v z = 0 .
Magneettikentän suuntainen nopeus on siis vakio (v ‖ ).
Ratkaistaan liikeyhtälö alkuehdoilla r(0) = 0 ja v(0) = (v 0 , 0, v ‖ ). Otetaan
käyttöön käyttöön käsite pyörähdystaajuus (sitä kutsutaan myös syklotronitaajuudeksi
tai Larmorin taajuudeksi)
ω c = qB/m . (15.8)

15.2. HOMOGEENINEN JA STAATTINEN B 209
Koska ÿ = −ω c ẋ, integroimalla ja annetuilla alkuehdoilla saadaan v y =
−ω c x. Tällöin yhtälöstä ẍ = ω c ẏ seuraa
ẍ + ω 2 c x = 0 . (15.9)
Yhtälö kuvaa harmonista värähtelyä, jonka kulmataajuus on ω c . Ratkaisemalla
hiukkasen rata nähdään, että ratakäyrän projektio xy−tasossa on
ympyrä, jonka säde on
Tässä v ⊥ =
r L = v ⊥
|ω c | = mv ⊥
|q|B . (15.10)
√
v 2 x + v 2 y on hiukkasen nopeus kohtisuoraan magneettikenttää
vastaan. Sädettä r L kutsutaan pyörähdyssäteeksi (Larmorin säteeksi) ja
pyörimisliikkeen keskipistettä johtokeskukseksi. Yhteen kierrokseen kuluva
aika, pyörähdysperiodi, on
τ L = 2π/|ω c | . (15.11)
Näin hiukkasen liike on jaettu kahteen komponenttiin: vakionopeus v ‖
kentän suuntaan ja pyörimisliike v ⊥ kenttää vastaan kohtisuoraan. Näiden
summa on ruuviviiva. Ruuviviivan nousukulma lasketaan magneettikentän
suunnasta
tan α = v ⊥ /v ‖ . (15.12)
Koordinaatistoa, jossa v ‖ = 0, kutsutaan johtokeskuskoordinaatistoksi ja
liikkeen jakamista johtokeskuksen liikkeeseen ja poikittaiseen liikkeeseen sen
ympäri kutsutaan johtokeskusapproksimaatioksi
Johtokeskuskoordinaatistossa varaus aiheuttaa sähkövirran I = q/τ L ,
johon liittyvä magneettinen momentti on
µ = IπrL 2 = 1 q 2 rL 2 B
2 m = 1 mv⊥
2
2 B
= W ⊥
B , (15.13)
missä W ⊥ :llä merkitään poikittaisen nopeuden mukaan laskettua liike-energiaa.
Vektorimuodossa magneettinen momentti on
µ = 1 2 q r L × v ⊥ . (15.14)
Koska pyörähdyssädevektorissa on mukana varauksen merkki, µ:n suunta on
varauksesta riippumatta vastakkainen taustan magneettikentälle eli vapaat
varatut hiukkaset muodostavat tässä mielessä diamagneettisen systeemin.
Myös relativistinen liikeyhtälö on tässä tapauksessa helppo ratkaista.
Koska liike-energia on vakio (p · dp/dt = 0), on γ vakio. Liikeyhtälön komponentit
ovat
γm ˙v x = qBv y
γm ˙v y = −qBv x (15.15)
γm ˙v z = 0

210 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ
eli vakiotekijää γ lukuunottamatta samat kuin edellä. Pyörähdystaajuus on
nyt ω c = qB/(γm), minkä luvun 14 sisäistänyt lukija varmaan arvasikin.
15.3 Homogeeniset ja staattiset B ja E
Oletetaan nyt, että vakiomagneettikentän lisäksi hiukkasiin vaikuttaa myös
vakiosähkökenttä E. Magneettikentän suuntaiseksi epärelativistiseksi liikeyhtälöksi
tulee
m ˙v ‖ = qE ‖ . (15.16)
Tämä kuvaa kiihdytystä magneettikentän suuntaan. Tarkastellaan sitten
poikittaista sähkökenttää ja asetetaan x-akseli sen suuntaiseksi. Nyt
˙v x = ω c v y + q m E x
Ottamalla tästä toinen aikaderivaatta saadaan
˙v y = −ω c v x . (15.17)
¨v x = −ωc 2 v x
(
¨v y = −ωc
2 v y + E )
x
. (15.18)
B
Hiukkanen kieppuu jälleen johtokeskuksen ympäri, mutta johtokeskus kulkeutuu
y-akselin suuntaan nopeudella E x /B. Vektorimuodossa kulkeutumisnopeus
on
v E = E × B
B 2 . (15.19)
Tätä kutsutaan sähköiseksi kulkeutumiseksi (E×B-kulkeutumiseksi, kuva
15.1). Kulkeutumisnopeus ei riipu hiukkasen varauksesta eikä massasta.
E
B
ioni
elektroni
Kuva 15.1: Sähköinen kulkeutuminen.
Edellä olevassa laskussa tehtiin itse asiassa sähkökentän Lorentzin muunnos
rajalla β ≪ 1 hiukkasen mukana liikkuvaan koordinaatistoon
E ′ = E + v × B . (15.20)

15.4. MAGNEETTISET KULKEUTUMISILMIÖT 211
Koska tässä koordinaatistossa E’ = 0, E = −v × B. Ratkaisemalla tästä
v saadaan (15.19). Tämä koordinaatiston muunnos voidaan tehdä kaikille
riittävän heikoille ei-magneettisille voimille F ⊥ (siis ei Lorentzin voiman
magneettiselle osalle qv × B). Vektorimuodossa
dv ⊥
dt
= q m (v ⊥ × B) + F ⊥
m . (15.21)
Olettamalla, että F ⊥ aiheuttaa kulkeutumisen v D , tehdään muunnos v ⊥ =
v ′ ⊥ + v D
dv ′ ⊥
dt
= q m (v′ ⊥ × B) + q m (v D × B) + F ⊥
m . (15.22)
Johtokeskuksen koordinaatistossa kahden viimeisen termin on kumottava
toisensa, joten
v D = F ⊥ × B
qB 2 . (15.23)
Tämä temppu edellyttää, että F/qB ≪ c.
Sijoittamalla ylläolevaan F ⊥ = qE saadaan tietenkin E×B-kulkeutuminen.
Gravitaatiokenttä puolestaan johtaa kulkeutumiseen
v g = mg × B
qB 2 ∝ m q . (15.24)
Gravitaatiokenttä separoi siis hiukkaset niiden m/q:n mukaan, muttei gravitaation
suuntaan vaan kohtisuoraan sitä ja magneettikenttää vastaan.
15.4 Magneettiset kulkeutumisilmiöt 1
Tarkastellaan heikosti epähomogeenista magneettikenttää olettaen, että magneettikentän
paikalliset muutokset ovat pieniä yhden pyörähdyksen matkalla
|∇B| ⊥ ≪ B/r L ; |∇B| ‖ ≪ (ω c /v ‖ )B .
Näiden ehtojen voimassaolo riippuu kentän geometrian lisäksi myös hiukkasen
energiasta ja massasta, koska ne määräävät pyörähdyssäteen. Sama
gradientti voi olla laakea elektronille mutta jyrkkä protonille.
Olettamalla kenttä heikosti epähomogeeniseksi se voidaan kehittää Taylorin
sarjaksi johtokeskuksen ympäristössä. Olkoon B 0 kenttä johtokeskuksen
kohdalla ja r hiukkasen etäisyys johtokeskuksesta. Tällöin
B(r) ≃ B 0 + r · (∇B) 0 + ... (15.25)
1 Luvun loppu tästä eteenpäin ei ole kurssin ydinainesta, mutta monille hyödyllistä
yleissivistystä.

212 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ
∇B on toisen kertaluvun tensori, jonka komponentit ovat ∂ i B j . Suoraviivainen
mutta hieman työläs lasku antaa tuloksen, jonka mukaan epähomogeenisuus
aiheuttaa voiman
F = −µ∇B . (15.26)
Magneettikentän suuntaan tästä aiheutuu kiihtyvyys
dv ‖
dt
= − µ m ∇ ‖B . (15.27)
Kohtisuoraan magneettikenttää lauseke (15.23) antaa kulkeutumisnopeuden
v G = µ
qB 2 B × (∇B) = W ⊥
B × (∇B) . (15.28)
qB3 Tätä kutsutaan gradienttikulkeutumiseksi (kuva 15.2). Se riippuu sekä hiukkasen
energiasta että varauksesta. Eri varaukset kulkeutuvat eri suuntiin ja
tästä aiheutuu sähkövirtaa.
∇B
ioni
B
elektroni
Kuva 15.2: Gradienttikulkeutuminen. Kuvassa ionin varaus on oletettu positiiviseksi.
Gradientin lisäksi epähomogeeninen magneettikenttä on yleensä myös
kaareva. Varattu hiukkanen kokee keskipakovoimaksi kutsutun hitausefektin
F C = −mw‖
2 R C
RC
2
(15.29)
missä R C on magneettikentän kaarevuussäde (positiivinen sisäänpäin). w ‖
on johtokeskuksen nopeus B:n suuntaan, mikä poikkeaa hieman hiukkasen
vastaavasta nopeuskomponentista v ‖ . Käytännössä w ‖ ≃ v ‖ on usein riittävän
hyvä tarkkuus. Sijoittamalla tämä kaavaan (15.23) saadaan kaarevuuskulkeutumiselle
lauseke
v C = − mv2 ‖
q
Pieni differentiaaligeometrinen tarkastelu osoittaa, että
R C × B
RC 2 . (15.30)
B2
v C = mv2 ‖
B × (B · ∇)B . (15.31)
qB4

15.5. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 213
Tietyillä symmetriaoletuksilla, esim. ∇ × B = 0, tämä yksinkertaistuu muotoon
v C = mv2 ‖
B × ∇B . (15.32)
qB3 Tässä tapauksessa v G ja v C voidaan yhdistää
v GC = W ⊥ + 2W ‖
qB 3 B × ∇B , (15.33)
missä W ‖ = 1 2 mv2 ‖
on pitkittäinen kineettinen energia.
Häiröteoriaa voidaan jatkaa samalla reseptillä myös korkeampiin kertalukuihin
määrittämällä alemmassa kertaluvussa johtokeskukseen vaikuttava
voima ja sijoittamalla se kaavaan (15.23).
15.5 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa
Hiukkasliikettä voidaan käsitellä käyttäen klassisesta mekaniikasta tuttua
kanonista formalismia. Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman
lausekkeeseen skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla
F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇ × A)) . (15.34)
Muunnetaan tämän voiman aiheuttama liikeyhtälö kanoniseen muotoon kirjoittamalla
se ensin Lagrangen yhtälöinä
∂L
∂r i
− d dt
∂L
∂ṙ i
= 0 , (15.35)
missä riippumattomat muuttujat ovat siis r ja ṙ = v. Käytetään seuraavassa
merkintöjä ∂ i = ∂/∂r i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli.
Koska kyseessä on kolmiavaruudessa tehtävä lasku, ei indeksien sijoittelulla
ole merkitystä.
Lasketaan lausekkeen (15.34) viimeinen termi komponentti kerrallaan
[ṙ × (∇ × A)] i = ɛ ijk ṙ j (∇ × A) k
= ɛ ijk ɛ klm ṙ j ∂ l A m
= (δ il δ jm − δ im δ jl ) ṙ j ∂ l A m
= ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i
= ∂ i (ṙ · A) − (ṙ · ∇)A i ,
missä on käytetty tulosta ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A), koska nabla operoi ainoastaan
muuttujaan r, ei nopeuteen. Kokonaisaikaderivaatan ja osittaisaikaderivaatan
välinen relaatio on dA/dt = ∂ t A + (ṙ · ∇)A , joten voima voidaan
kirjoittaa muodossa
F = q
[−∇ϕ + ∇(ṙ · A) − d ]
dt A . (15.36)

214 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ
Koska ϕ ja A eivät riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaa
d
dt A i = d ( ) ∂
(ṙ · A) = d ( )
∂
(−ϕ + ṙ · A) ,
dt ∂ṙ i dt ∂ṙ i
minkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoon
F i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A) + d ( )
∂
(qϕ − q ṙ · A)
∂r i dt ∂ṙ i
(15.37)
Lorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyksi potentiaaliksi
kutsutun suureen
avulla.
U = q(ϕ − ṙ · A) (15.38)
Newtonilainen liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
ja Lagrangen funktio on L = m ṙ 2 /2 − U.
m¨r i = − ∂U + d ∂U
. (15.39)
∂r i dt ∂ṙ i
Lagrangen liikeyhtälöt (15.35) ovat toista kertalukua. Niistä voidaan
muodostaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiin
r i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninen
liikemäärä). Lagrangen funktiosta muodostetaan Hamiltonin funktio H tekemällä
Legendren muunnos
H(π, r, t) = ṙ i π i − L(r, ṙ, t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A
= 1
2m (π − qA)2 + qϕ . (15.40)
Hamiltonin funktio toteuttaa kanoniset liikeyhtälöt
ṙ i = ∂H
∂π i
= 1 m (π i − qA i ) (15.41)
˙π i = − ∂H
∂r i
= − q ∂ϕ
∂r i
+ q m π · ∂A
∂r i
− q2
m A · ∂A
∂r i
, (15.42)
joista alkuperäisen liikeyhtälön johtaminen on suoraviivainen tehtävä.
Konservatiivisessa systeemissä Hamiltonin funktio on kappaleen liikeenergian
ja potentiaalienerigan summa eli kokonaisenergia. Kvanttimekaniikan
Schrödingerin yhtälö voidaan ilmaista Hamiltonin funktion yleistyksen
Hamiltonin operaattorin Ĥ avulla muodossa
i ∂ψ
∂t = Ĥψ ,

15.6. ADIABAATTISET INVARIANTIT 215
missä ψ on systeemin aaltofunktio. Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö
on puolestaan Ĥψ = Eψ, missä E energia. Hamiltonin operaattorin ominaisarvot
ovat siis systeemin energiatilat.
Kun elektrodynamikkaa viedään kvanttitasolle, se tehdään juuri tässä
formalismissa. Olennaista on, että Hamiltonin operaattorissa kappaleen mekaaninen
liikemäärän p = mv korvataan sen sähkömagneettisella liikemäärällä
p + qA.
15.6 Adiabaattiset invariantit
Tutustutaan vielä lyhyesti käsitteeseen adiabaattinen invariantti. Yleisesti
adiabaattisilla invarianteilla tarkoitetaan suureita, jotka säilyvät edellyttäen,
että liikettä määrittelevät parametrit muuttuvat liikkeeseen nähden
hitaasti. Ne liittyvät läheisesti fysiikan yleisiin symmetriaperiaatteisiin:
täydellinen periodisuus ↔ säilyvä suure
symmetria ↔ säilymislaki
Jos liike on kuitenkin ainoastaan melkein periodista, kuten pöyrähdysliike
johtokeskusapproksimaatiossa, liikkeeseen liittyy säilyvää suuretta heikompi
adiabaattinen invariantti.
Hamiltonin mekaniikassa voidaan todistaa yleinen tulos: Olkoot p ja q
kanoninen liikemäärä ja sitä vastaava koordinaatti (huom. tässä q on siis
koordinaatti, ei varaus). Jos liike q:n suhteen on likiperiodista, niin
∮
I = p dq (15.43)
on vakio eli adiabaattinen invariantti. Emme todista tulosta tässä.
Hiukkasen liikemäärä SM kentässä on p = mv +qA ja magneettikenttää
vastaan poikittaisen liikkeen kanoniset liikemäärä ja koordinaatti ovat p ⊥
ja r L . Niinpä
∮
∮
∫
I = p ⊥ · dr L = mv ⊥ · dr L + q (∇ × A) · dS
∫ 2πrL ∫
= mv ⊥ dl + q B · dS (15.44)
0
S
= 2πmv ⊥ r L − |q|BπrL 2 = 2πm µ
|q|
joten hiukkasen magneettinen momentti on adiabaattinen invariantti. Sitä
kutsutaan ensimmäiseksi adiabaattiseksi invariantiksi.
S

216 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ
Esimerkki: Magneettinen peili ja pullo
Johtokeskusapproksimaatiossa säilyvät hiukkasen kokonaisenergia W ja magneettinen
momentti µ = W ⊥ /B. Jos B muuttuu hitaasti, niin myös W ⊥
muuttuu hitaasti ja silloin myös W ‖ :n täytyy muuttua. Jos B kasvaa, W ⊥
kasvaa kunnes W ‖ → 0. Mutta mitä tapahtuu tilanteessa W ‖ = 0 ?
Tarkastellaan hiukkasen nousukulmaa α. Koska v ⊥ = v sin α, voidaan
kirjoittaa
µ = mv2 sin 2 α
. (15.45)
2B
Toisaalta v 2 ∝ W on myös vakio, joten ainoat muuttuvat suureet ovat α ja
B. Niiden välinen relaatio on
sin 2 α 1
sin 2 α 2
= B 1
B 2
. (15.46)
Siis jos α tunnetaan jollain magneettikentän arvolla, se voidaan laskea muilla
magneettikentän arvoilla.
Kun hiukkasen johtokeskus kulkee kohti kasvavaa magneettikenttää, α
kasvaa kunnes α = 90 ◦ , jolloin pitkittäinen energia on nolla. Johtokeskukseen
vaikuttava voima F = −µ∇ ‖ B kääntää hiukkasen liikkeen. Kenttä
toimii siis magneettisena peilinä ja voimaa F = −µ∇ ‖ B kutsutaan peilivoimaksi.
Peilikentän B m voimakkuus riippuu hiukkasen nousukulmasta jossain
referenssikentässä B 0 . Kaavasta (15.47) seuraa peilikentälle
sin 2 α 0 = B 0 /B m . (15.47)
Koska B m < ∞, on aina olemassa α 0 , jota pienemmällä nousukulmalla
kentässä B 0 varustetut hiukkaset pääsevät peilin läpi.
peilipiste
Kuva 15.3: Varatun hiukkasen rata sen lähestyessä magneettista peiliä.
Magneettinen peili liittyy kentän voimakkuuden muutokseen kentän itsensä
suuntaan. Johtokeskuksen kulkeutumiseen kentän poikki liittyy toinen
tärkeä µ:n säilymisestä johtuva efekti. Oletetaan, että hiukkanen kulkeutuu

15.6. ADIABAATTISET INVARIANTIT 217
esim. E×B-kulkeutumisen seurauksena kohti suurempaa kenttää (B 2 > B 1 ),
jolloin µ:n säilymisestä seuraa
W ⊥2
W ⊥1
= B 2
B 1
(15.48)
joten W ⊥2 > W ⊥1 . Tätä kutsutaan adiabaattiseksi kuumennukseksi. Se on
esimerkki betatronikiihdytyksestä.
Magneettinen pullo muodostuu kahdesta magneettisesta peilistä, joiden
ei tarvitse olla yhtä vahvat. Hiukkanen on vangittu magneettiseen pulloon,
jos sen nousukulma pullon heikoimmassa kentässä B 0 on välillä
√ √
B0
B0
arcsin ≤ α 0 ≤ 180 − arcsin , (15.49)
B m B m
missä B m on pullon peilikentistä heikompi. Jos hiukkanen vuotaa pullon
(tai peilin) läpi, sen sanotaan olevan vuotokartiossa. Maan lähiavaruuden
magneettikenttä on esimerkki suuresta magneettisesta pullosta (kuva 15.4).
N
peilipiste
vangittujen hiukkasten rata
ionit
S
elektronit
magneettikenttäviiva
Kuva 15.4: Maapallon (lähes) dipolikenttä on suuri magneettinen pullo.
Mikäli magneettisen pullon kenttä muuttuu riitävän hitaasti, hiukkasen
liike peilikenttien välillä on myös likiperiodista. Mikäli näin on, systeemillä
on toinen adiabaattinen invariantti
∮
J = p ‖ ds , (15.50)
missä epärelativistiselle hiukkaselle p ‖ = mv ‖ . Jos vielä kulkeutumisliike
symmetria-akselin (esimerkiksi maapallon dipolikentän) ympäri on likiperiodista,
löytyy vielä kolmaskin adiabaattinen invariantti, joka osoittautuu
kulkeutuvan hiukkasen johtokeskuksen piirtämän kuoren sisäänsä sulkemaksi
magneettivuoksi.

218 LUKU 15. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ

Hakemisto
aallon polarisaatio
elliptinen, 143
horisontaalinen (s), 158
lineaarinen, 143
vertikaalinen (p), 158
ympyrä, 143
aallonpituus, 140
aaltoluku, 140
aaltoputki, 163
aaltoyhtälö
epähomogeeninen, 133
Helmholtzin, 135, 140, 151
neliavaruudessa, 203
tyhjiössä, 131
adiabaattinen invariantti, 215
alkeisvaraus, 19
ampeeri, 18
Ampèren
kiertosääntö, 79
laki, 79
Ampèren ja Maxwellin laki, 122
ampeeri, 69
avaruuskulma-alkio, 22
betatroni, 103
Biot’n ja Savartin laki, 74
Brewsterin kulma, 161
Clausiuksen ja Mossottin yhtälö, 56
coulombi, 18
Coulombin laki, 18
Curie-piste, 99
de Broglien aallonpituus, 182
delta
Diracin, 20
Kroneckerin, 28
diamagneettisuus, 91
dielektrisyysvakio, 49
dipolimomentti
magneettinen, 84
sähköinen, 27
Diracin delta, 20
dispersioyhtälö, 140
johteessa, 146
divergenssiteoreema, 23
Einsteinin summaussääntö, 192
elektretti, 56
elektronin klassinen säde, 182
elektronivoltti, 57
energia
kondensaattorin, 59
magneettinen, 110
sähköstaattinen, 57
virtasilmukan, 110
energiatiheys
magneettinen, 111
sähkömagneettinen, 127
sähköstaattinen, 60
tasoaallon, 144
eriste, 25
eristevakio, 49
Faradayn laki, 101, 103
faradi, 18
ferromagnetismi, 99, 114
ferrosähköisyys, 48, 56
Fresnelin kertoimet, 156
Gaussin
laki, 23
lause, 23
Greenin funktio, 41
219

220 HAKEMISTO
Helmholzin yhtälön, 135
pallolle, 42
Greenin teoreema, 41
Hamiltonin funktio, 214
heijastuslaki, 158
heijastussuhde, 156
Helmholtzin
aaltoyhtälö, 135, 151
kela, 77
teoreema, 138
henry, 106
hienorakennevakio, 182
hystereesi, 56, 99, 115
impedanssi, 147
induktanssi
itseinduktanssi, 106
induktiovirta, 102
itseisaika, 189, 195
itseisenergia, 59
jarrutussäteily, 181
jatkuvuusyhtälö, 70, 121
johde, 25
johtavuus, 70
johtokeskusapproksimaatio, 209
joule, 57
Joulen lämmitys, 71
kahtaistaittavuus, 48
kapasitanssi, 59
katkaisutaajuus, 165
kenttäviiva, 21
kenttävirta, 122
kentänmuutosvirta, 122
keskinäisinduktanssi, 107
kokonaisheijastus, 161
kontravariantti vektori, 192
kovariantti vektori, 192
Kroneckerin delta, 28
kulkeutuminen
gradientti, 212
gravitaatio, 211
kaarevuus, 212
sähköinen, 210
kulmataajuus, 140
kuvalähde, 38
kvadrupolimomentti, 28
Lagrangen funktio, 214
Laplacen yhtälö, 29
Larmorin
kaava, 179
säde, 209
taajuus, 208
Legendren
liittofunktio, 33
polynomit, 33
lennätinyhtälö, 146
Lenzin laki, 103
lepoenergia, 197
Liénardin ja Wiechertin potentiaalit,
172
LIH, 49
liikemäärä
neliliikemäärä, 197
sähkömagn. kentän, 130
Lorentzin
muunnos, 188
tekijä, 177
voima, 13, 85
Lorenzin mitta, 133
läpilyöntikestävyys, 49
läpäisysuhde, 156
maailmanviiva, 195
magneettikenttä, 12, 74
magneettikentän voimakkuus, 90
magneettimomentti
elektronin, 98
neutronin, 98
protonin, 98
varauksen, 209
virtajakautuman, 83
virtasilmukan, 80
magneettinen
energia, 110
energiatiheys, 111

HAKEMISTO 221
napavoimakkuus, 90
peili, 216
pullo, 216
skalaaripotentiaali, 84
suskeptiivisuus, 91
voima, 85
vuoputki, 93
magneettivuo, 75
magneettivuon tiheys, 74
magnetoituma, 87
antiferromagnetismi, 100
diamagnetismi, 91
ferriitit, 100
ferromagnetismi, 99
paramagnetismi, 91
magnetoitumisvirta, 88
magnetoni
Bohrin, 98
ydinmagnetoni, 98
Maxwellin jännitystensori
magnetostaattinen, 120
neliavaruudessa, 205
sähkömagneettinen, 129
sähköstaattinen, 66
Maxwellin yhtälöt, 12, 123
mitta
Coulombin, 137
Lorenzin, 133
mittafunktio, 137
mittainvarianssi, 137
mittamuunnokset, 133
muuttujien separointi
Helmholtzin yhtälölle, 152
karteesinen koordinaatisto, 30
kiertosymmetria, 35
pallokoordinaatisto, 32
sylinterikoordinaatisto, 37
neliavaruus,
189
kiihtyvyys, 196
liikemäärä, 197
nopeus, 189, 195
potentiaali, 203
vektori, 189
virta, 200
voima, 196
neliömuoto, 189
nousukulma, 209
ohmi, 71
Ohmin laki, 70
ominaisvastus, 71
palloaalto, 152
palloharmoninen funktio, 34
paramagneettisuus, 91
peilivaraus, 38
permeabiliteetti, 13, 91
suhteellinen, 97
permittiivisyys, 13, 18, 49
suhteellinen, 49
Poissonin yhtälö, 29
vektoripotentiaalille, 82
polarisaatiovaraustiheys, 47
polarisaatiovirta, 150
polarisoituvuus, 55
potentiaali
nelipotentiaali, 203
sähköstaattinen, 21
vektoripotentiaali, 81
Poyntingin teoreema, 127
Poyntingin vektori, 127
tasoaallon, 144
pyörähdysperiodi, 209
pyörähdyssäde, 209
pyörähdystaajuus, 208
rakenneyhtälöt
magneettikentälle, 91
sähkökentälle, 48
relaksaatioaika, 72
resistanssi, 71
resistiivisyys, 71
resonanssikaviteetti, 168
reunaehdot
ajasta riippuville kentille, 124
Dirichlet’n, 29
eristeiden rajapinnalla, 50

222 HAKEMISTO
magneettisella rajapinnalla, 92
Neumannin, 29
ryhmänopeus, 150
siemens, 71
siirrosvirta, 122
skalaaripotentiaali, 132
viivästynyt, 134
Snellin laki, 159
spektri, 180
energia, 180
teho, 183
stationaarinen virta, 70
suhteellisuusperiaate, 194
suskeptiivisuus
magneettinen, 91, 98
sähköinen, 48
syklotronisäteily, 183
syklotronitaajuus, 208
synkrotronisäteily, 185
sähköinen
polarisoituma, 45
siirtymä, 48
suskeptiivisuus, 48
sähkökenttä, 12
induktiivinen, 138
staattinen, 20, 138
sähkömagneettinen
aalto, 131
aalto, poikittainen, 141
kenttätensori, 199
palloaalto, 152
tasoaalto, 141
sähkömotorinen voima (smv), 101
sähköstaattinen
energia, 57
energiatiheys, 60
potentiaali, 21
voima, 18
sähkövaraus, 17
sähkövirran tiheys, 69
sähkövirta, 69
sähkövuon tiheys, 48
säteilykenttä, 175, 178
säteilyteho, 178
törmäysaika, 72
taitekerroin, 140
tasoaalto, 141
tensori, 192
metrinen perustensori, 192
Minkowskin, 193
sähkömagn. kenttätensori, 199
tesla, 75
tunkeutumissyvyys, 146
vaihenopeus, 140, 150
vaimennussuhde, 162
valon nopeus, 13
vapaa matka, 72
varaustiheys, 19
pintavaraustiheys, 19
vastus, 71
vektoripotentiaali, 81, 132
viivästynyt, 134
viivästynyt
vektoripotentiaali, 134
aika, 134, 172
skalaaripotentiaali, 134
viivaelementti, 195
virran tiheys, 69
voima
Lorentzin, 13, 85
magneettinen, 85
sähköstaattinen, 18
voltti, 22
vuoputki, 93
vuotokartio, 216
wattisekunti, 57
weber, 75
yksikäsitteisyyslause, 29