SUHTEELLISUUSTEORIAN PERUSTEET - Helsinki.fi

SUHTEELLISUUSTEORIAN PERUSTEET
Luennot maanantaisin ja tiistaisin kello 12-14 salissa D101. Ensimmäinen luento on 13.1;
ensimmäiset laskuharjoitukset pidetään viikolla 4.
Suppeaa suhteellisuusteoriaa:
Suppea suhteellisuusteoria (Lorentzin muunnos, kausaliteetti, nopeuksien yhteenlasku, lipputanko- ja kelloparadoksi)
Neliulotteinen avaruusaikamaailma (invariantit, graafinen esitys, nelivektorit)
Relativistinen dynamiikka (peruslait, E=mc 2 , fotoniteoria, Dopplerin ilmiö)
Hiukkaskinematiikka (periaatteet ja esimerkkejä. Comptonin sironta)
Yleistä suhteellisuusteoriaa:
Yleisen suhteellisuusteorian pääperiaatteet (kiihtyvä koordinaatisto, painovoiman paikallinen kumoutuminen)
Laajeneva maailmankaikkeus
Schwarzschildin metriikka ja mustat aukot (gravitaatiopunasiirtymä)
Valon taipuminen ja gravitaatiolinssit
Kurssi perustuu kurssimonisteeseen, jonka voi ladata osoitteesta
http://theory.physics.helsinki.fi/~specrel/
1

NEWTONIN LAIT
JATKAVUUS
Vapaan kappaleen liiketila säilyy:
v
vakio
on olemassa absoluuttinen aika ja avaruus
on olemassa absoluuttinen (”oikea”) nopeus
VOIMA
voima = nimi liiketilan muutokselle ;
dp
F p mv
dt
massa m = F/a mittaa inertiaa
voiman vaikutus (”signaalinopeus”) etenee äärettömällä nopeudella
2

VOIMA JA VASTAVOIMA
jos A vaikuttaa B:hen voimalla F, tästä seuraa että B vaikuttaa A:han voimalla -F
Kappaleen rata määräytyy siihen kohdistuvien voimien summana:
x(t)
vt ()
dx x( t t) x( t)
dt t
t
x
derivaatta = muutos
nopeuden muutos = kiihtyvyys a
kolme ulottuvuutta:
F x =ma x , F y =ma y , F z =ma z
3

KARTEESINEN KOORDINAATISTO
kappaleen ratakäytä
z
r(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z
ortogonaaliset yksikköpituiset
kantavektorit
e i
e j
ij
y
x
4

VEKTORIT JA OPERAATTORIT
VEKTORIMERKINTÖJÄ
x
(
3
x1,
x2,
x ) ( x,
y,
z)
parempi olisi aina kirjoittaa pystyvektori (mutta usein ei viitsi):
x
x
y
z
x
x
x
1
2
3
operaattori O iskee vektoriin vasemmalta: x Ox
esimerkki: differentiaalioperaattori d
dx1
dx2
dx2
dx ( dx1
, dx2,
dx3
) ( , , )
dt dt dt
dx
dt
dt
5

z
y
x
z
y
x
z
y
x
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
d
e
e
e
r
e
e
e
r
v
notaatioita:
)
(
)
,
( 2
2
z
y
x
z
y
x
m
m
dt
d
m
t
e
e
e
r
r
r
F
liikeyhtälö:
kappaleen rata saadaan ratkaisemalla liikeyhtälö
6

esimerkki: olkoon F ( r,
t)
f0e
cos( t)
kuten aina differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa, tarvitaan alkuehdot:
x
r(
t
v(
t
0)
0)
r
v
0
0
( x
0
( v
,
x0
y
0
, v
, z
y0
0
)
, v
z0
)
liikeyhtälöstä
mz my 0
z vzt
z0,
y vyt
y0
missä v z = v z 0 = vakio, v y = v y 0 = vakio
x-suunnassa liikeyhtälö on ei-triviaali, eli integroidaan:
x
f0
f0
cos( t)
x
m
m
f0
x cos( t)
v
2
m
jos v 0 =r 0 =0, saamme
x0
sin( t)
t
r
x
0
x
0
f0 t)
ex cos( t)
m
(
2
C
HT: mikä on C?
7

MIKÄ ON OPERAATTORI?
d on operaattori, dx tai dt on (pieni) luku, differentiaali:
- differentiaalilla voi kertoa ja jakaa
- dx on pieni vektori, jolla lasketaan kuten vektoreilla
(esim. pistetulo dx dx = (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2 )
- operaattorilla ei kerrota, se operoi
- operaattorilla ei jaeta, mutta voi olla olemassa käänteisoperaattori
(esim. differentiaalioperaattorin d käänteisoperaattori on d -1 )
HT: mieti, mikä on differentiaalioperaattorin käänteisoperaattori
8

x
on siis operaattori ... ja operaattoritkin voivat olla vektoreita:
esim. nabla:
e
x
x
e
y
y
e
z
z
(
x
,
y
,
)
z
nablalla on kaikki vektorin ominaisuudet: pistetulo, ristitulo, mutta
koska se on operaattori, se myös iskee vasemmalta!
Nablaa tarvitsemme vielä!
9

operaattoreilla on esityksiä; esim. vektrorin rotaatio on operaatio, jolla
on matriisiesitys
Rx
r
r
r
11
21
31
r
12
r
r
22
32
r
13
r
r
33
33
x
y
z
x'
y'
z'
x'
R
T
R
1,
*
r ij
r
ij
10

FYYSIKON TÄRKEIN TYÖKALU
... on approksimaatio
Taylorin sarja:
f
( x)
f
1
( x0)
f ( x0)(
x x0)
f ( x0)(
x x
2
0
)
2
...
(yleistyy triviaalisti monen muuttujan tapaukseen)
approksimaatio = katkaistaan Taylorin sarja; approksimaatio hyvä jos x 1
esimerkki (huomaa että ekspansion voi tehdä myös x:n funktion suhteen):
x 0
2
1
x
2
f (0)
1
1
1
2
1
2
x
1
2
f
1
(0) x
x
2
|
x
2
0
1
2
x
2
f
(0) x
O(
x
4
4
)
...
11

NEWTONIN MEKANIIKKA OLETTAA ABSOLUUTTISEN AVARUUDEN
z
z’
K’ liikkuu absoluuttisen
avaruuden suhteen
v
”absoluuttinen liike”
Jerusalem
y’
x’
K = absoluuttinen koordinaatisto
x
y
Newton: on myös olemassa absoluuttinen aika, joka on kaikille sama
12

v
v’
v abs =v+v’
Jos K’ liikkuu vakionopeudella absoluuttisen avaruuden suhteen, K’ on
newtonilainen inertiaalikoordinaatisto voima ja massa koordinaatistosta
riippumattomia:
a
abs
dv
dt
abs
dv
dt
0 jos
v vakio
dv'
dt
a'
eli F=F’
(huom: maapallo ei inertiaalikoordinaatisto; vrt. Foucaltin heiluri)
13

K K’
v
oletetaan: kun t=0, K=K’
inertiaalikoordinaatistoja
Newton pääsee koordinaatistosta K kordinaatistoon K’ Galilein muunnoksella:
r'
t
r
t'
vt
dr'
dt
dr
dt
v;
2
d r'
2
dt
2
d r
2
dt
Einstein (1905): tämä ei ole totta!
14

Einstein: ei ole olemassa absoluuttista nopeutta
ei ole olemassa absoluuttista avaruutta
voimme puhua vain suhteellisista nopeuksista:
K ja K’ ovat inertiaalikoordinaatistoja, jos ne liikkuvat toistensa
suhteen vakionopeudella v
syy Einsteinin päätelmään: sähkömagneettisten aaltojen käyttäytyminen.
Maxwellin yhtälöt riippuvat vain suhteellisista nopeuksista
liikkuva magneetti indusoi johtimeen virran
sama efekti, jos magneetti paikallaan ja johdin liikkuu 15

amplitudi
AALTOYHTÄLÖ
v
säilyttää muotonsa
v
x
x 0 ,t 0
x
t
x0 x vt x0
vt
t
0
0
aaltoa kuvaava amplitudi = (x,t) = f(x±vt) = f(ξ ± )
x
x
f
(
)
x
f
(
)
f
t
t
f
(
)
t
f
(
)
vf
16

toiset derivaatat:
2
x
2
x
x
f
(
)
x
f
'(
)
f
2
t
2
t
t
f
(
)
t
[
vf
(
))]
v
2
f
aaltoyhtälö
2
x
2
1
v
2
2
t
2
0
tyhjiössä sähkö- ja magneettikentät toteuttavat aaltoyhtälön
17

MAXWELLIN YHTÄLÖT TYHJIÖSSÄ
divergenssi
E
B
E
B
E
0 tyhjiössä sähkökentällä ei ole lähteitä
0
E
x
x
k
0
x
E
E
x
k
B
t
0
E
E
t
y
y
y
E
y
E
z
z
z
E
z
E = E(x,t), B = B(x,t)
”Einsteinin summaussääntö” =
summa yli toistuvien indeksien
roottori
E
e
x
E
x y z
x
e
E
y
y
e
E
z
z
determinantti
18

oottori on vektori, jolla on komponentit
( E) i
E
ijk
j
k
Einsteinin summaussääntö!
täysin antisymmetrinen tensori = äärimmäisen kätevä
ijk
lmk
il
jm
im
1
123 213 231
ei tarvitse muistaa kuin yksi
iij
0
jl
komponentti, loput saadaan
permutoimalla; ε = 0 jos kaksi
tai kolme indeksiä ovat samat
HT: Maxwellin yhtälöihin operoimalla nähdään, että sekä E että B toteuttavat
aaltoyhtälön
(
(
E)
B)
2
2
E
B
0
0
0
0
2
E
2
t
2
B
2
t
0
0
aallon nopeus
c
on valon nopeus!
1
0
0
19
c on teorian ainoa vapaa parametri

MUTTA MINKÄ KOORDINAATISTON SUHTEEN E JA B LIIKKUVAT
VALON NOPEUDELLA c???
eli missä koordinaatistossa Maxwellin yhtälöt ovat voimassa?
1800-luku: E ja B aaltoliikettä, mutta mikä aaltoilee?
- ääniaalto on väliaineen (ilman) aaltoilua
- laineet ovat väliaineen (veden) aaltoilua
valo on väliaineen (eetterin) aaltoilua
- eetteri täyttää koko avaruuden
- eetteri on levossa määrittää absoluuttisen lepokoordinaatiston
- Maxwellin yhtälöissä c on valon nopeus eetterin suhteen?
MUTTA: maapallo liikkuu eetterin suhteen valon nopeuden tulisi
riippua liiketilasta
eetterituuli
20

EETTERITUULEN VAIKUTUS
Maan kulkusuunnassa
peili
v + v -
olet. Aurinko levossa
eetterin suhteen
valo
v c
v
v=30 km/s
MAA
v
c
v
edestakaisin kuluu aika
v + t l / v v -
t l / v
yhteensä
t
l / v
l / v
l
( v
v
v
v
)
2lc
2
c v
2
21

Lähetetään valoa myös kulkusuuntaan nähden kohtisuoraan suuntaan
c
valon nopeus eetterissä
v Maa
u
c
c
u
2
v
u
c
v
2 2
( u v)
( u v)
u v 2u
v
0
u
2
c
2
v
2
edestakaiseen matkaan kuluu aikaa
t
2l
/
u
c
2l
2
v
2
22

näin siis on olemassa aikaero, joka riippuu siitä, ammutaanko valonsäde
Maan kulkusuuntaan vai sitä vastaan kohtisuoraan
t
t
c
2
t
2l
v
2
[
2l
c
2
c
2
v
1
2
v
2
c]
c
2
c
v
2
2lc
2
c v
c
2
(1
2lc
(1
2
c
l
( v
c
2
2lc
2
v
2
/ c
2 2
1 v / c
v
/ c
2
2
1
/ c
)
1
2
2
v
2
[
)
2
/ c
2
1
2
...
...)[
O(
v
v
4
2
/ c
1
/ c
1
2
4
2
v
)
2
...]
/ c
2
...]
Michelson-Morley 1887:
H.A. Lorentzin ehdotus: liikkeen
suunnassa
l
t
t
l
t
0
2 2
1 v / c
... mutta miksi?
23

EINSTEININ EHDOTUS
Maxwellin yhtälöissä esiintyy vain suhteellinen nopeus
kaikki nopeudet ovat suhteellisia
absoluuttista avaruutta ei ole
eetteriä ei ole olemassa
Maxwellin yhtälöt ovat voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa
valon nopeus on vakio liiketilasta riippumatta
Galilein muunnokset täytyy korvata uusilla muunnoksilla, jotka kertovat,
miten koordinaatistosta K päästään sen suhteen nopeudella v liikkuvaan
koordinaatistoon K’
24

Suhteellisuusteoria-sanaa
ei esiintynyt Einsteinin suhteellisuusteoria-artikkelissa;
se käsitteli liikkuvien kappaleiden
elektrodynamiikkaa
It is known that Maxwell's electrodynamics--as usually
understood at the present time--when applied to moving
bodies, leads to asymmetries which do not appear to be
inherent in the phenomena. Take, for example, the
reciprocal electrodynamic action of a magnet and a
conductor. The observable phenomenon here depends
only on the relative motion of the conductor and the
magnet, whereas the customary view draws a sharp
distinction between the two cases in which either the
one or the other of these bodies is in motion. For if the
magnet is in motion and the conductor at rest, there
arises in the neighbourhood of the magnet an electric
field with a certain definite energy, producing a current
at the places where parts of the conductor are situated.
But if the magnet is stationary and the conductor in
motion, no electric field arises in the neighbourhood of
the magnet. In the conductor, however, we find an
electromotive force, to which in itself there is no
corresponding energy, but which gives rise--assuming
equality of relative motion in the two cases discussed
--to electric currents of the same path and intensity as
those produced by the electric forces in the former case.
Examples of this sort, together with the unsuccessful
attempts to discover any motion of the earth relatively
to the ``light medium,'' suggest that the phenomena of
electrodynamics as well as of mechanics possess no
25
properties corresponding to the idea of absolute rest.

Suppea suhteellisuusteoria: tarkastellaan vain toistensa suhteen
vakionopeudella liikkuvia koordinaatistoja eli inertiaalikoordinaatistoja
matematiikka yksinkertaista
Huom! Teoria ei ole ”erikoinen suhteellisuusteoria” - mitäpä erikoista
siinä olisi? ”Erityinen suhteellisuusteoria” on väännös termistä ”special
relativity”, mutta missä mielessä Einsteinin teoria on erityinen? Siinä,
että se on rajoitettu inertiaalikoordinaatistoihin; se ei siis ole yleisin
mahdollinen vaan suppea. Siksi ”suppea suhteellisuusteoria”.
Yleinen suhteellisuusteoria tarkastelee koordinaatistoja, jotka ovat
toistensa suhteen myös kiihtyvässä liikkeessä eli muitakin kuin
inertiaalikoordinaatistoja
matematiikka monimutkaista
26

Millainen tulisi koordinaattimuunnoksen olla, jotta valon nopeus on sama sekä
koordinaatistossa K että sen suhteen vakionopeudella v liikkuvassa koordinaatistossa
K’?
yleinen koordinaatistomuunnos on muotoa (yksiulotteinen tapaus yksinkertaisuuden
vuoksi)
x'
t'
f ( x,
t)
g(
x,
t)
vaaditaan vapaan liikkeen
tasaisuus: jos K:ssa v=vakio,
myös K’:ssa v’=vakio
f f
A,
x t
A,
B,
D,
E
g
B;
x
vakioita
D,
dx'
dt'
g
t
E
f
dx
x
g
dx
x
f
dt
t
g
dt
t
v'
dx'
dt'
f
g
v
f dx
x dt
g dx
x dt
v
f
g
0
0
f
t
g
t
Ax
Dx
vakio
Bt
Et
muunnos lineaarinen
x,
t
jos x=x’=0 kun t=t’=0 g 0 =f 0 =0
27

oletetaan siis K ja K’ sekä lineaarinen koordinaattimuunnos
x ' Ax Bt
t ' Dt Ex
Oletetaan, että kun x = t = 0, koordinaatistot ovat päällekkäin:
0
Tällöin määrättäväksi jää neljä vakiota A, B, D ja E, joten tarvitaan neljä yhtälöä
Sitomaan ne toisiinsa. Nämä saadaan, kun vaaditaan, että valon nopeus on sama
kaikissa koordinaatistoissa, että nopeus on suhteellista, ja että samanaikaiset tapahtumat
näyttävät eri koordinaatistoista katsottuna samanlaisilta.
28

1. Valon nopeus on sama K:ssa ja K’:ssa
Objektin nopeus K:ssa on dx/dt, ja vastaavasti K’:ssa dx’/dt’. Tällöin
dx
A B
dx ' Adx Bdt dt
dt ' Ddt Edx dx
D E dt
Jos dx/dt=c, vaadimme siis että myös dx’/dt’=c. Näin saamme
Ac
D
B
Ec
2
c Ec ( A D)
c B
29

2. Liike on suhteellista
K’ liikkuu K:n suhteen nopeudella v; toisin sanoen, koordinaatti x’ = 0 on K:ssa
x(x’=0) = vt. Mutta K’:sta katsoen K liikkuu vastakkaiseen suuntaan nopeudella
v, joten koordinaatti x = 0 on K’:ssa x’(x=0) = -vt’. Näin saamme kaksi ehtoa:
x( x ' 0) vt Avt Bt 0
B
Av
x ' Ax Bt
t ' Dt Ex
x '( x 0) vt ' Bt vt '( x 0) vDt
D B / v A
Koska A=D, kohdasta 1 luemme nyt, että
2
Ec B Av
30

Näin saamme yleisimmäksi mahdolliseksi muunnokseksi
x'
A(
x
vt)
x ' Ax Bt
t ' Dt Ex
t'
A(1
vx/
2
c
)
3. Samanaikaisuus
Tarkastellaan mittatikkua, joka on levossa K’:n suhteen. K:ssa pituutta mitatessamme
mittaamme samanaikaisesti mittatikun päät, ts. t = 0. K:ssa sen pituus x on siis
x' x' x' A( x v t)
x
1 2
Toisaalta K’:sta katsottuna K:ssa levossa olevan mittatikun pituus on
x'
A(
x
v
t)
A
x
v
2
t'
A
xv
2
/
x'
A
c
2
31

joten K’:ssa tehty päiden samanaikainen ( t’=0) mittaus antaa
x'
A
x(1
v
2
/
c
2
)
Kun puhe kerran on samasta mittatikusta, saamme
x
A
A
x(1
v
2
/
c
2
)
A
2
1
1
2
v
/
c
2
2
ja suhteellisuusteorian edellyttämiksi koordinaattimuunnoksiksi
x'
( x vt)
t'
( t
vx
)
2
c
1/
1
v
2
/
c
2
32

kolmessa ulottuvuudessa
K(x,y,z,t)
K’(x’,y’,z’,t’)
v=ve x
x'
t'
( x
( t
vt),
vx
)
2
c
1
y'
y,
z'
z
voimme aina valita koordinaatistot siten,
että K’ liikkuu K:n x-akselin suuntaan
HUOM: v voi olla myös < 0:
K’ voi liikkua negatiivisen
x-akselin suuntaan
1
v
2
/
c
2
jos v = 0, K on K’:n lepokoordinaatisto
= Lorentz-muunnos
33

0
1
2
2
2
2
2
t
c
x
Miten aaltoyhtälö käyttäytyy Lorentz-muunnoksissa?
K:ssa
hypätään K’:n koordinaatteihin
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
t
x
v
t
t
t
x
t
x
t
t
c
v
x
t
x
t
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
'
1
'
'
1
'
1
1
'
'
2
'
'
'
'
2
'
'
t
c
x
t
c
v
c
x
c
v
t
c
x
t
x
v
t
x
v
t
t
x
c
v
t
c
v
x
x
lasketaan aalto-operaattori
aaltoyhtälön
muoto sama
myös K’:ssa
Maxwell OK
34

Maxwellin yhtälöt säilyvät muuttumattomina
siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen
yleisesti suppeassa suhteellisuusteoriassa vaaditaan, että kaikki fysiikan
lait pysyvät muuttumattomina siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen
muutoksia Newtonin lakeihin (palataan tähän myöhemmin)
35

Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina
t'
x'
L(
v)
t
x
t
x
xv/
c
vt
2
kolmessa ulottuvuudessa
1
v / c
2
0 0
1
v
v / c
1
2
t
x
L(
v)
v
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
matriisit L(v) muodostavat ryhmän: kaksi peräkkäistä Lorentz-muunnosta
on myös Lorentz-muunnos, ja on olemassa myös käänteinen Lorentzmuunnos
L(
v
L
1
1
( v
) L(
v
1
2
)
) L(
v
1
)
L(
v
1
3
)
vrt. rotaatioryhmä: operaatio R kieputtaa vektoria x
3-avaruudessa sen pituuden säilyttäen. Operaatio
L(v) on eräänlainen rotaatio ajan ja avaruuden
muodostamassa 4-ulotteisessa monistossa (tästä
lisää myöhemmin)
ryhmän matemaattinen
määritelmä
36

Kahden tapahtuman koordinaatit
K:ssa tapahtuu jotakin hetkellä t 1 paikassa x 1 , sitten jotakin
muuta hetkellä t 2 paikassa x 2 (esim kappale kulkee tietyn matkan)
K:ssa tapahtumien välinen aikaero on Δt = t 2 -t 1 ja avaruudellinen etäisyys
Δx = x 2 -x 1
K’:ssa koordinaatit ovat
t
1
x
1
t
1
x
'
1
'
,
t
2
x
2
t
2
x
'
2
'
ja
x'
t'
(
(
x
t
v
t)
v x
2
c
)
aika- ja paikkaintervallit näyttävät K’:ssa
erilaisilta verrattuna K:hon
esim. jos Δt=0, siitä ei välttämättä seuraa että
myös Δt’=0
37

NOPEUKSIEN YHTEENLASKU
Kappaleen liike K’:ssa näyttää myös erilaiselta verrattuna K:hon
dx
dt
v 1
dx'
dt'
K K’
dx(
t)
dx'(
t')
kappaleen nopeus
dt dt'
K K'
Lorentz-muunnokset
dx'
dt'
d[
d
( v
1
)( x
v1x
( t )
2
c
v t)]
1
( v
( v
1
)
1
)[ dx
1
v1dx
dt
2
c
v dt]
38

dx'
dt'
( v )[ dx
1
1
( v )
dt
v1dt]
v1dx
2
c
dx
dt
v
1
c
1
2
v
1
dx
dt
v'
1
v
v
1
v v
1
2
c
dx'
v '( t')
, v(
t)
dt'
dx
dt
Jos v(t)=vakio, kappale on inertiaalikoordinaatisto K” nopeuksien yhteenlasku
v'(
K
)
v(
K ) v
vv(
K )
1
2
c
v’(K”) on K”:n nopeus K’:ssa
v(K”) on K”:n nopeus K:ssa
v on K:n ja K”:n välinen nopeus
Huom! Kaikki yo. nopeudet voivat olla negatiivisia tai positiivisia riippuen siihen,
39
mihin suuntaan eri koordinaatistot kulkevat toistensa suhteen

ESIMERKKI
Koordinaatisto K” liikkuu K’:n suhteen nopeudella -3c/5, ja K’ liikkuu K:n suhteen
nopeudella 4c/5. Mikä on K”:n nopeus K:ssa?
v
K K’
v (K”)
K”
v'(
K
)
v(
K ) v
vv(
K )
1
2
c
v(
K
v(
K
)
)
1
1
v'(
K
vv'(
K
2
c
3
5
4
5
3 4
25
c
)
)
5
13
1
v'(
K
c
vv(
K
2
c
)
)
v
v(
K
)
v
- pitäkää huolta etumerkeistä
- jos saatte tulokseksi >c, olette laskeneet väärin
40

ENTÄ JOS KAPPALE (= INERTIAALIKOORDINAATISTO K”)
LIIKKUU VALON NOPEUDALLA K:SSA?
c'
1
c
v
vc
2
c
c
jos valo painelee pitkin x-akselia
negatiiviseen suuntaan
c'
c v
vc
1
2
c
c
OK
eli valon nopeus on vakio, kuten olla pitääkin
Suhteellisuusteoria on konstruoitu siten, että valon nopeus on
vakio kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämä on matemaattinen
tosiseikka, jota mikään päättely tai argumentti ei pysty muuttamaan.
41

ESIMERKKI: AMMUTAAN KAKSI VALONSÄDETTÄ VASTAKKAISIIN
SUUNTIIN
K’
K K”
v’(K) = -c
v’(K”) = c
mikä on K”:n nopeus K:ssa? EI ainakaan 2c!!!
Sovelletaan yhteenlaskukaavaa. Siellä esiintyy v, K’:n nopeus
K:ssa, joka nopeuden suhteellisuuden perusteella on - v’(K) = c
v(
K
)
v'(
K ) v
vv'(
K )
1
c
v(
K )
2
1
c
c
c c
2
c
c
K siis näkee toisen valonsäteen etääntyvän valon nopeudella, kuten pitääkin 42

ESIMERKKI: JUNAT OHITTAVAT ASEMAN
v -v
K’ K”
K
asema
•K” liikkuu nopeudella v 2 K’:ssa
•K” liikkuu nopeudella -v K:ssa
•K’ liikkuu nopeudella +v K:ssa
v
2
v
2
2v
1
2
1
v v
v v
2
c
1
2v
v
c
kun
c
v
c
2
2
v v 2 Suht.nopeus x c
0.1 -0.198 99% x 2v
0.5 -0.8 80%
0.9 -0.994 55%
0.95 -0.999 53%
43

sovelletaan nopeuksien yhteenlaskua etäisyyksien mittaamisessa
-v
v
K”
K K’
K’ ja K” etenevät vastakkaisiin suuntiin nopeudella, joka on sama K:ssa;
hetkellä t = 0 (K:n aikaa) kaikki koordinaatistot ovat päällekkäin eli
K = K’ = K” kun t=0, myös t’=0
1) K”:n nopeus K:ssa
2) K”:n nopeus K’:ssa
dx
dt
dx'
dt'
v
dx
dt
1
K ': n nopeus
K:
ssa
v
c
2
v
dx
dt
1
2v
2
v
2
c
v(
K")
Mikä on K:n ja K”:n välinen etäisyys Δ’ koordinaatistossa K’? Eli mitkä ovat
K:n ja K”:n origojen koordinaatit K’:ssa
44

kello käy K’:ssa
x'
x'
origo
origo
( K")
( K)
v(
K")
t'
v(
K)
t
vt'
'
x'(
K")
x'(
K)
[ v(
K")
v(
K)]
t '
1
2
v
1
2v
2
v t ' c vt '
2 2
v
v
1
2
2
c
c
Huomaa että kun vc, K”:n nopeus K’:ssa c, jolloin Δ’ 0
Tarkistetaan tulos alkaen Lorentz-muunnoksesta:
x'
(
x
v
t)
etäisyys riippuu Δt:stä
t'
K'
( t
K
v x
)
2
c
mikä on Δt’?
K:n ja K”:n etäisyydellä tarkoitamme samanaikaista mittausta
K’:ssa Δt’ = 0 45

SAMANAIKAISUUS RIIPPUU KOORDINAATISTOSTA
•K:ssa samanaikaisille tapahtumille Δt = 0
•K’:ssa samanaikaisille tapahtumille Δt’ = 0
•yleisesti Δt Δt’
edelliseltä sivulta:
v
t'
0 t
2
c
x
eli
2
2
v
v
x ' ( x x)
(1 )
2
c
c
2
eli K:ssa etäisyys K”:een on
x
x
x'
1
v
(1
c
)
1
v
(1
c
1
2
v
t
2 2 2
2
2
) 1
v
c
v
c
2
2
'
OK kuten
aiemmin
Mutta mikä on t’?
K:ssa K”:n koordinaatit ovat (t,x) = (t,-vt) jonka Lorentz-muunnos on
t’ = (t-vx/c 2 ) = t(1+v 2 /c 2 )
opetus: pituusmittaus
vt'
x
vt
edellyttää päätepisteiden
samanaikaista
2 kuten pitääkin
v
(1 )
2
mittausta riippuu
c
koordinaatistosta 46

KAUSAALISUHDE
Koska samanaikaisuus on suhteellista, meidän tulee olla huolestuneita syyseuraus
–suhteesta. Voisiko seuraus olla ennen syytä jossakin inertiaalikoordinaatistossa?
Tämä kuulostaisi järjettömältä!
esim. Berliinin muuri sortuu ennen kuin se on rakennettu
A on B:n syy A:n aikakoordinaatti on pienempi kuin B:n aikakoordinaatti
t
A
t
B
t
t
b
t
A
0
Jotta A on B:n syy myös K’:ssa
t
'
(
t
v
c
2
x)
0
t
v
c
2
x
0
47

valitaan x-akseli siten että Δx > 0
t
v
c
2
x
0
c
v
2
x
t
0
epäyhtälöiden tulee olla voimassa riippumatta v:n arvosta: minimoidaan
vasen puoli valitsemalla v = c:
c
x
t
x
t
dx
dt
= fysikaalinen eli signaalinopeus v sig
kausaliteetti ei rikkoudu
v sig
c
valon nopeus on suurin mahdollinen fysikaalinen nopeus jos vaaditaan, että
syy-seuraus –suhde ei käänny päälaelleen missään inertiaalikoordinaatistossa 48

VALOA NOPEAMMIN?
eikö nyt sitten kuitenkin ...
liikutetaan taskulamppua nopeasti
valovuosien päässä olevalla
sermillä valotäplä näyttää liikkuvan
paljon valoa nopeammin
ω
mikään fysikaalinen ei oikeasti kulje
välillä A, B
vrt. valon sijasta kanuuna, jota käännetään 180 astetta
A
triviaalisti väärin
A
ammus ei kulje maata pitkin A:sta B:hen
B
49

B
kärjen pituus monta valovuotta
>> käsiosa
väärin mielenkiintoisella tavalla
A
voima etenee A:sta B:hen nopeudella v < c
kärjet jäävät jälkeen; kun yksittäisen metalliatomin
nopeus lähestyy valon nopeutta, sen kineettinen energia
kasvaa niin suureksi, että metallihilan sidosenergia ei
enää pysty pitämään saksien rakennetta koossa
sakset murtuvat paljon ennen kuin valon nopeus saavutetaan
luonnossa ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita
50

TSERENKOV-VALO
valon nopeus on määritelmän mukaan 299 792 458 m/s tyhjiössä
aineessa c c/n < c
refraktiivinen indeksi
fotoni
ilma n = 1.0003
vesi n = 1.4
on mahdollista, että v elektroni > c/n
mutta aineessa kulkeva valonsäde ei enää
ole sama valonsäde kuin tyhjiössä
kvanttifysiikkaa!
käsitteellisesti väärin monimutkaisella tavalla
51

TAKYONI
hypoteettinen hiukkanen, jonka v > c
VAROITUS:
kenttäteorioissa takyoni = merkki tyhjiön epästabiilisuudesta
”väärä tyhjiö”
oikea tyhjiö: ei takyoneja
sikäli kuin tiedämme, kaikki hiukkasfysiikan teoriat ovat kenttäteorioita
takyonien olemassaolo äärimmäisen epätodennäköistä
(eikä yhtäkään ole havaittu)
52

eräs (hatusta vedetty) ehdotus takyoneille:
x'
t'
t
t
( x
( t
vt)
vx
)
2
c
t
v
c
1
2
2
1
1
näin siis takyoni kulkee aina valoa
nopeammin ja t kun v c
nopeuksien yhteenlasku tapahtuu kuten normaalissa
tapauksessa; tarkastellaa siis takyoni kahdesta toistensa
suhteen valoa hitaammin liikkuvasta inertiaalikoordinaatistosta
K ja K’:
v
t
'
takyonin
nopeus K ': ssa
dx'
dt'
1
dx
dt
v
c
2
K
K
: ':
ssa
n nopeus
v c)
(
v
dx
dt
takyonin nopeus
K ': ssa
v t
53

0
v t ’
v
t
'
1
v
t
v
vvt
2
c
0
2
c
kun v t
v
(olet. tässä v > 0)
c
takyonin tulosuunta muuttuu
kun K’:n ja K:n välinen suhtteellinen
nopeus v kasvaa!
c 2 /v
v t
-c
-c 2 /v
tätä ei kannata
ottaa vakavasti 54