Fourier-muunnos
Fourier-muunnos
Fourier-muunnos
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Digitaalinen signaalinkäsittely<br />
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi<br />
Lähteet:<br />
Ifeachor, Jervis, ”Digital Signal Processing: A Practical Approach”<br />
H.Huttunen, ”Signaalinkäsittelyn menetelmät”, Opintomoniste, TTKK
Sisältö<br />
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
• Taajuusesitys<br />
• Jatkuva-aikaisen signaalin <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
• Diskreettiaikaisen signaalin <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
FFT<br />
Sovelluksia
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
Vastaa kysymykseen: ”kuinka paljon signaalissa on<br />
kutakin taajuutta”<br />
Eli kuvaa signaalin taajuusjakaumaa<br />
Voidaan tehdä jatkuva- tai diskreettiaikaiselle signaalille<br />
Tuloksena on – lähtösignaalin tyypistä riippuen – vektori,<br />
diskreetti signaali tai jatkuva signaali
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
Esitetään signaali kompleksisten eksponenttifunktioiden<br />
(…,e -3it ,e -2it ,e -it ,e 0 ,e it ,e 2it ,e 3it ,…) avulla<br />
Eulerin kaava: e ikt =cos(kt) + i∙sin(kt)<br />
Eli kompleksinen eksponenttifunktio koostuu sini- ja<br />
kosinikomponentista (taajuus riippuu k:sta)<br />
Eksponenttifunktioita käytetään, koska niiden käsittely on<br />
helpompaa kuin sini- ja kosinifunktioiden:<br />
e ix e iy =e (x+y)i<br />
(cos(x)+i∙sin(x))(cos(y)+i∙sin(y))=
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong><br />
<strong>Fourier</strong>-analyysissä selvitetään, voidaanko signaali esittää<br />
em. eksponenttifunktioiden painotettuna summana<br />
Painokertoimista voidaan päätellä eri taajuuksien<br />
voimakkuudet<br />
DSP:ssä käytetään lähinnä diskreettiä <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong>ta<br />
helpottaa laskentaa<br />
Muut muunnokset ovat lähinnä teoreettista työtä varten<br />
Sovellusten kannalta tärkein algoritmi on Fast <strong>Fourier</strong><br />
Transform eli FFT<br />
Merkintätapa: jonon x <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> on X
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong>:<br />
ei-jaksollinen, jatkuva-aikainen signaali<br />
Tässä tapauksessa myös <strong>muunnos</strong> on ”jatkuva-aikainen”<br />
Määritelmän mukaan x(t):n <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> on integraali<br />
X(e<br />
iω<br />
)<br />
<br />
<br />
x(t)e<br />
it<br />
dt<br />
Tuloksena on muuttujan ω funktio, joka nyt kuvaa<br />
signaalia taajuustasossa<br />
Käänteisellä <strong>Fourier</strong>-muunnoksella saadaan taajuustasossa<br />
oleva signaali X(e iω ) palautettua takaisin aikatasoon<br />
Katso esimerkki monisteesta (kappale 3.1, sivu 35)
<strong>Fourier</strong>-sarja:<br />
jaksollinen, jatkuva-aikainen signaali<br />
Yksi jakso määrää signaalin täysin<br />
Muunnoksen tuloksena saadaan <strong>Fourier</strong>-sarja<br />
Jaksollisen signaalin esittämiseen riittää diskreetti määrä<br />
taajuuksia<br />
Olkoon x(t) jaksollinen, jakson pituus 2<br />
<strong>Fourier</strong>-sarja on tällöin<br />
1 <br />
int<br />
<br />
<br />
X(n) x(t)e<br />
2<br />
<br />
dt,<br />
n <br />
Katso esimerkki monisteesta (kappale 3.2, sivut 36-37)
Diskreettiaikainen <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong>:<br />
ei-jaksollinen, diskreettiaikainen signaali<br />
Ei-jaksollinen lukujono esitetään kompleksisten<br />
eksponenttifunktioiden painotettuna integraalina<br />
<strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> signaalista x(n) on tällöin<br />
X(e<br />
i<br />
)<br />
<br />
n<br />
in<br />
Tuloksena on jälleen muuttujan ω funktio<br />
<br />
x(n)e<br />
Katso esimerkki monisteesta (kappale 3.3, s. 38)
Diskreetti <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong>:<br />
jaksollinen, diskreettiaikainen signaali<br />
Tärkein sovellusten kannalta<br />
Lopputulos sisältää tiedon signaalin taajuuksista, joita on<br />
äärellinen määrä<br />
Kun jakson pituutta kasvatetaan kohti ääretöntä,<br />
taajuusakseli muuttuu jatkuvaksi<br />
Jaksollisesta signaalista riittää yksi jakso<br />
käytetään vektoreita<br />
<strong>muunnos</strong> saadaan matriisikertolaskulla
Diskreetti <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong>:<br />
jaksollinen, diskreettiaikainen signaali<br />
Muunnoksen määritelmässä kertoimena on luku w N<br />
2i<br />
/ N<br />
w N<br />
e<br />
Signaalin x(n) (jakso N) <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> määritellään<br />
kaavalla<br />
N 1<br />
<br />
kn<br />
X(n) x(k)w N<br />
k0<br />
Sekä diskreetti <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> (DFT) että sen<br />
käänteis<strong>muunnos</strong> (IDFT) voidaan esittää matriisimuodossa<br />
Katso esimerkki monisteesta (kappale 3.4, sivut 40-45)
Nopea <strong>Fourier</strong>-<strong>muunnos</strong> (FFT)<br />
DFT:n laskeminen suoraan määritelmän perusteella on<br />
O(n 2 )-kertaluokan ongelma<br />
Mikäli jakson pituus valitaan 2:n potenssiksi, voidaan<br />
ongelma redusoida hajota-ja-hallitse periaatteella<br />
suoritusajaksi saadaan O(n log n)
Change language