Fourier-sarja - Tietoliikennelaboratorio

Ratkaistaan integraaliEsimerkki 1Jotensin(π l)⎧ A⎪exp( iφ) k = 12⎪ A= ⎨ exp( − iφ) k =−1⎪ 2⎪⎪⎩0 otherwiseAmplitudispektri: |v k | Vaihespektri: arg{v k }S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 17Viivaspektri• Reaalinen jaksollinen signaali voidaan esittää summanakosinisignaaleja• ViivaspektriAmplitudispektri: |v k | Vaihespektri: arg{v k }v 2v 0v1v1v 2− arg{ v 2 }arg{ v 1 }− f 0−2 f 00 f02 f0− arg{ v 1 }− f 0−2 f 00 f02 f0arg{ v 2 }S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 189

Parsevalin teoreemaSignaalin keskimääräinen tehoT0/21P= v()t dt = ∑ vT∫0−T0/2∞2 2kk =−∞--S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 19Viivaspektri• Tehospektriv 022v 1v 22Tehospektrin kertoimet määrittävätmiten signaalin teho on jakautunuteri taajuuksille.S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 2010

Esimerkki 2• Signaali, jossa on DC-komponentti– Keksimääräinen tehoHuomaa, ettäJoten tehon lauseke voidaan viedä muotoonOsoittautuu, ettäS-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 21• Vakion viivaspektriEsimerkki 2Huomaa, että⎧0 k =± 1, ± 2, ± ,3,…sinc( k)= ⎨⎩1 k = 0S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 2211

• Sinisignaalin viivaspektriEsimerkki 2johdettiin aiemmin• Signaalin v(t) viivaspektri saadaan summanaAmplitudispektri: |v k | Vaihespektri: arg{v k }⎧ V1⎪exp( iφ) k = 12⎪V⎨ exp( iφ) k 1⎪ 2⎪ 0 muutoin⎪⎩1= − =−S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 23Esimerkki 2• Ratkaistaan signaalin teho– Parsevalin teoreeman mukaanT /2∞12 2P= v()t dt vkT∫ = ∑−T/2k =−∞–joten, nyt∞2 2 2 1 1 1P= ∑ vk= v2, −1 + v1,0 + v2,1 = V1 + V0 + V1 = V0 + V1k =−∞4 4 2Tulos on sama kuin suoraan tehon määritelmästäjohdettu.2 2 2 2 2 2S-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 2412

Esimerkki 3• Tehospektri4/π 2v1v3v5k• Vaihespektriπ/2-π/2kS-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 27Esimerkki 4• PulssijonoΑτT 0τ

Esimerkki 5• PulssijonoΑττ

http://www.jhu.edu/%7Esignals/fourier2/index.htmlS-.72.1110 Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikennelaboratorio 3518