ratkaisut

Näistä neljään ensimmäiseen integraaliin voidaan soveltaa Gaussin integraalia:∞∫ x 2n e −x 2 / a 2n !2dx=0n! a 2n12,ja kaksi viimeistä integraalia voidaan suoraan integroida käyttämällä tavallistaeksponenttifunktion integroimiskaavaa. Tällöin rajatuksi todennäköisyydeksi saadaan:P raj = A 2 1 2 b B2 1 21 2 b 3 1 1 1 A2 2 b B2 2 2 b ± 2A2 B 2=32b 2A 2 B 2b 2 4 ± 1 2 .Eli osamääräksi saadaan:P rajP kok=A 2 B 2 4 ± 1 2 b 2 A 2 B 2b 2 = 1 4 ± 1 2 = 1 4 ± 12,eli symmetrisen tapauksen todennäköisyys 0,409 ja antisymmetrisen tapauksentodennäköisyys on 0,091. Eli symmetrisen aaltofunktion tapauksessa saadaan suurempitodennäköisyys löytää molemmat hiukkaset origon positiiviselta puolelta kuin a) kohdanepäsymmetrisessä aaltofunktio tapauksessa. Antisymmetrisen aaltofunktion tapauksessatodennäköisyys on pienempi kuin a) kohdan tapauksessa.4. (Kirjan tehtävä 8.42) Slaterin determinantti: kätevä ja kompakti tapa esittää useanantisymmetriset ominaisuudet omaavan fermionin monihiukkastilat on Slaterindeterminantti:∣ n1 x 1 m s1 n2x 1 m s2 n3 x 1 m s3 ⋯ nNx 1 m sN n1 x 2m s1 n2x 2m s2 n3 x 2m s3⋯ nNx 2 m n1 x 3m s1 n2x 3m s2 n3 x 3 m s3⋯ nNx 3 m ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n1 x Nm s1 n2x Nm s2 n3 x N m s3⋯ nN x Nm sN∣Slaterin deteminantti perustuu siihen tosiseikkaan, että N kappaleelle fermioneja täytyy ollaN kappaletta erilaisia yksilöllisiä hiukkastiloja tai kvanttinumero joukkoja. Esimerkiksi tilalla ion avaruudellista tilaa koskevat kvanttiluvut (n i, l i ja m li), joita voidaan kuvatapääkvanttiluvulla n i ja spinkvanttiluvulla m si. Jos sitä miehittää j:s hiukkanen niin tila ontällöin ni x j m si . Determinantin sarake vastaa tiettyä tilaa ja rivi vastaa tiettyähiukkasta. Esimerkiksi 1. sarake vastaa yksilöllistä hiukkastilaa n1x j m s1 , missä j käyrivit läpi hiukkasesta 1 hiukkaseen N. Ensimmäinen rivi vastaa hiukkasta 1, joka miehittääperäkkäin kaikki yksilölliset hiukkastilat (eli käy läpi 1. rivin sarakkeet).a) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen, että monihiukkastila on 0, jos mitkätahansa kaksi yksilöllistä hiukkastilaa ovat identtisesti samat?b) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen, että jos vaihdetaan minkä tahansakahden hiukkasen alaindeksit keskenään, niin myös monihiukkastilan merkki vaihtuu.RATKAISU:a) Jos kaksi tilaa , m s ovat identtisesti samoja, niin kaksi saraketta on samoja. Jajos kaksi matriisin saraketta on samoja niin determinantti on tällöin 0.