ratkaisut

S‐114.1327 Fysiikka III Kevät 2008Jukka Tulkki8. Laskuharjoitus (ratkaisut)Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessäAssistentit: Jaakko TimonenVille PalePyry KivisaariLauri Salmia(jaakko.timonen@tkk.fi)(ville.pale@tkk.fi)(pyry.kivisaari@tkk.fi)(lsalmia@cc.hut.fi)1. (Kirjan tehtävä 8.34) Näytä, että sekä symmetrinen aaltofunktio S = n x 1 n ' x 2 n ' x 1 n x 2 , että antisymmetrinen aaltofunktio A = n x 1 n ' x 2 − n ' x 1 n x 2 ovat ratkaisuja 2-hiukkasiselle Schrödingerinyhtälölle − ħ 2∂ 22m ∂ x − ħ2 ∂ 2212m ∂ x x x U x x x x =E x x 2 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 , jonka2energia on sama kuin siinä tapauksessa,että sen aaltofunktio olisi epäsymmetrinen tulox 1, x 2 = n x 1 n ' x 2 .RATKAISU:Ratkaistaan sekä symmetrisen että antisymmetrisen aaltofunktioiden tapaukset samallakertaa käyttämällä ± merkintää, missä + vastaa symmetristä tapausta ja - antisymmetristätapausta. Sijoitetaan sekä symmetrinen että antisymmetrinen aaltofunktio Schödingerinyhtälön vasemmelle puolelle:− ħ2 ∂ 22m ∂ x − ħ2 ∂ 2212m ∂ x [ x ' x ± x ' x ] 2 n 1 n 2 n 2 n 1 +2U x 1, x 2 [ n x 1 n ' x 2 ± n x 2 n ' x 1 ]= − ħ 22m±− ħ 22m∂ 2∂ x 12 − ħ22m∂ 2∂ x − ħ 2212m∂ 2∂ x 22 n x 1 n ' x 2 U x 1, x 2 n x 1 n ' x 2 ∂ 2∂ x 22 n x 2 n ' x 1 ±U x 1, x 2 n x 2 n ' x 1 Jos tehtävänannossa annettu epäsymmetrinen tulo aaltofunktio on käypä ratkaisu niintällöin edellisen yhtälön kaksi ensimmäistä termiä on oltava yhtäsuuri kuinE n x 1 n ' x 2 , eli− ħ22m∂ 2∂ x 12 − ħ22m∂ 2∂ x 22 n x 1 n ' x 2 U x 1, x 2 n x 1 n ' x 2 =E n x 1 n ' x 2 ja jälkimmäiset kaksi termiä on oltava yhtäsuuri kuin±E n x 2 n ' x 1 , eli− ħ 22m∂ 2∂ x 12 − ħ22m∂ 2∂ x 22 n x 2 n ' x 1 ±U x 1, x 2 n x 2 n ' x 1 =±E n x 2 n ' x 1 ,missä molemmissa symmetrian vuoksi E on sama. Täten Schödingerin yhtälönvasemmaksi puoleksi saadan:E [ n x 1 n ' x 2 ± n x 2 n ' x 1 ] , eli siis sekä symmetrinen että antisymmetrinenaaltofunktio ovat kyseisen E energiaisen yhtälön ratkaisuja.

2. (Kirjan tehtävä 8.35) Kaksi hiukkasta L:n pituisessa laatikossa miehittävät yksilölliset2hiukkastilat n=1 ja n'=2. Kun normalisointivakio on , niin laske sekä symmetrisen ettäLantisymmetrisen tilan todennäköisyydet sille, että molemmat hiukkaset löytyvät laatikonLvasemmasta puolitasosta, eli toisin sanoen 0 ja2 väliltä.RATKAISU:Ratkaistaan sekä symmetrisen että antisymmetrisen aaltofunktioiden tapaukset samallakertaa käyttämällä ± merkintää, missä + vastaa symmetristä tapausta ja - antisymmetristätapausta. Tällöin saadaan todennäköisyydeksi P:P =L/2∫ [0L/ 22L sin 1 x 1L sin 2 x 2L ±sin 2 x 1L sin 1 x 2dxL]21dx 2= 2 ∫ sin 1 x 2 1L 2 L0L/ 2± 2 2 L 2 ∫0L/ 2dx 1∫ sin 2 x 2 20sin 1 x 1L sin 2 x 1LL dx 2+L/ 22∫ sin 2 x 2 1L 2 0LL/2dx 1 ∫ sin 2 x 20L sin 1 x 2L dx 2Näistä ensimmäiset neljä integraalia ovat kukin L 42L3P =, eli todennäköisyydeksi saadaan tällöin:22[ 1 2L 4 L 1 24 ±2 3L 2L2] = 14±L/ 2dx 1 ∫ sin 1 x 2 20L dx 2ja kaksi viimeistä integraalia ovat169 2 = 0,25 ± 0,18.Klassinen todennäköisyys löytää molemmat hiukkaset samasta puolitasosta olisi12 ⋅1 2 = 1 . Symmetrisellä tilalla hiukkasilla on taipumus lähestyä toisiaan, joten4symmetrisessä tapauksessa on oltava klassista todennäköisyyttä suurempi todennäköisyyslöytää molemmat hiukkaset samasta puolitasosta. Eli P symmetrinen = 0,25 + 0,18 = 0,43.Antisymmetrisellä tilalla hiukkasilla on puolestaan taipumus erkaantua kauemmaksitoisistaan, joten silloin on oltava klassista todennäköisyyttä pienempi todennäköisyys löytäämolemmat hiukkaset samasta puolitasosta. Eli P antisymmetrinen = 0,25 - 0,18 = 0,07.3. (Kirjan tehtävä 8.39) Yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin perustilan aaltofunktio onAe −bx 2 / 2ja ensimmäisen viritetyn tilan aaltofunktio on Bxe −bx2 /2. Oleta että kaksihiukkasta miehittävät näitä tiloja.a) Jos hiukkaset ovat toisistaan erotettavissa niin tällöin hyväksyttävä aaltofunktio onAe −bx 2 1/ 2 Bx 2e −bx 2 2/ 2. Laske todennäköisyys sille, että molemmat hiukkaset löytyvät origonpositiiviselta puolelta ja jaa tämä tulos sillä kokonaistodennäköisyydellä, jolla molemmathiukkaset löytyvät koko lukualueen yli integroituina. (Tämänkaltainen normalisointivirtaviivaistaa asiota tässä tapauksessa.)b) Oleta nyt, että hiukkasia ei voida erottaa toisistaan. Laske sama todennäköisyyssuhdekuin a) kohdassa, mutta oleta nyt että tämä monen hiukkasen aaltofunktio on jokosymmetrinen tai antisymmetrinen. Käytä ± merkintää vähentääksesi työmäärääsi.Kommentoi lopuksi tulosta.

RATKAISU:a) Kokonaistodennäköisyys saadaan integroimalla koko lukualueen yli:∞∞∞P kok = ∫ Ae −b x 2 1 / 2 Bx 2e −b x 2 2 / 2 2 dx 1dx 2 = A 2 ∫ e −b x 21dx 1B 2 ∫ x 2 2e −bx 22dx 2 .−∞−∞−∞Tehtävässä kysytty rajattu integraali saadaan integroimalla nollasta (positiiviseen)äärettömyyteen:P raj =∞∞A 2 ∫e −b x 21dx 1B 2 ∫00x 2 2e −b x 22dx 2.Koska integrandit ovat origon suhteen symmetrisiä, niin kummankin rajatuista integraaleistaon oltava täsmälleen puolet täydestä integraalista eli osamääräksi saadaan:P rajP kok= 0,5⋅0,51⋅1 =0,25 .b) Symmetrinen ja antisymmetrinen aaltofunktio ovat tässä tapauksessa:Ae −b x 2 1 / 2 Bx 2e −b x 2 /2 2±Ae −bx 2 2 / 2 Bx 1e −b x 2 1 / 2.Kokonaistodennäköisyydeksi saadaan:P kok =∞∫−∞ Ae −b x 2 1 / 2 Bx 2e −b x 2 2 / 2 ± Ae −b x 2 2 / 2 Bx 1e −bx 2 1 /2 2 dx 1dx 2∞= A 2 ∫ e −b x 21−∞∞± 2 A 2 B 2 ∫−∞∞dx 1B 2 ∫ x 2 2e −bx 22−∞x 1e −b x 21∞dx 1 ∫−∞∞dx 2 + A 2 ∫ e −b x 22−∞x 2e −b x 22dx 2.∞dx 2B 2 ∫ x 2 1e −bx 21dx 1−∞Näistä kaksi viimeistä integraalia ovat nollia, koska parittoman funktion integraali kokolukualueen yli on nolla. Ensimmäisiin neljään integraaliin voidaan soveltaa Gaussinintegaalin integroimiskaavaa:∞∫−∞x 2n e − x2 / a 2 dx=2 2n!n ! a 2n12 eli kokonaistodennäköisyydeksi saadaan:P kok= A 2 b B 2 1 A22 b3 1 b B2 2 b 0 = A 2 B 2.3 b 2Rajattu todennäköisyys on:P raj =∞A 2 ∫0∞± 2 A 2 B 2 ∫0e −b x 21x 1e −b x 21∞dx 1B 2 ∫0∞dx 1 ∫0x 2 2e −bx 22x 2e −b x 22dx 2.,∞dx 2 + A 2 ∫e −b x 220∞dx 2B 2 ∫ x 2 1e −b x 21dx 10

Näistä neljään ensimmäiseen integraaliin voidaan soveltaa Gaussin integraalia:∞∫ x 2n e −x 2 / a 2n !2dx=0n! a 2n12,ja kaksi viimeistä integraalia voidaan suoraan integroida käyttämällä tavallistaeksponenttifunktion integroimiskaavaa. Tällöin rajatuksi todennäköisyydeksi saadaan:P raj = A 2 1 2 b B2 1 21 2 b 3 1 1 1 A2 2 b B2 2 2 b ± 2A2 B 2=32b 2A 2 B 2b 2 4 ± 1 2 .Eli osamääräksi saadaan:P rajP kok=A 2 B 2 4 ± 1 2 b 2 A 2 B 2b 2 = 1 4 ± 1 2 = 1 4 ± 12,eli symmetrisen tapauksen todennäköisyys 0,409 ja antisymmetrisen tapauksentodennäköisyys on 0,091. Eli symmetrisen aaltofunktion tapauksessa saadaan suurempitodennäköisyys löytää molemmat hiukkaset origon positiiviselta puolelta kuin a) kohdanepäsymmetrisessä aaltofunktio tapauksessa. Antisymmetrisen aaltofunktion tapauksessatodennäköisyys on pienempi kuin a) kohdan tapauksessa.4. (Kirjan tehtävä 8.42) Slaterin determinantti: kätevä ja kompakti tapa esittää useanantisymmetriset ominaisuudet omaavan fermionin monihiukkastilat on Slaterindeterminantti:∣ n1 x 1 m s1 n2x 1 m s2 n3 x 1 m s3 ⋯ nNx 1 m sN n1 x 2m s1 n2x 2m s2 n3 x 2m s3⋯ nNx 2 m n1 x 3m s1 n2x 3m s2 n3 x 3 m s3⋯ nNx 3 m ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n1 x Nm s1 n2x Nm s2 n3 x N m s3⋯ nN x Nm sN∣Slaterin deteminantti perustuu siihen tosiseikkaan, että N kappaleelle fermioneja täytyy ollaN kappaletta erilaisia yksilöllisiä hiukkastiloja tai kvanttinumero joukkoja. Esimerkiksi tilalla ion avaruudellista tilaa koskevat kvanttiluvut (n i, l i ja m li), joita voidaan kuvatapääkvanttiluvulla n i ja spinkvanttiluvulla m si. Jos sitä miehittää j:s hiukkanen niin tila ontällöin ni x j m si . Determinantin sarake vastaa tiettyä tilaa ja rivi vastaa tiettyähiukkasta. Esimerkiksi 1. sarake vastaa yksilöllistä hiukkastilaa n1x j m s1 , missä j käyrivit läpi hiukkasesta 1 hiukkaseen N. Ensimmäinen rivi vastaa hiukkasta 1, joka miehittääperäkkäin kaikki yksilölliset hiukkastilat (eli käy läpi 1. rivin sarakkeet).a) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen, että monihiukkastila on 0, jos mitkätahansa kaksi yksilöllistä hiukkastilaa ovat identtisesti samat?b) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen, että jos vaihdetaan minkä tahansakahden hiukkasen alaindeksit keskenään, niin myös monihiukkastilan merkki vaihtuu.RATKAISU:a) Jos kaksi tilaa , m s ovat identtisesti samoja, niin kaksi saraketta on samoja. Jajos kaksi matriisin saraketta on samoja niin determinantti on tällöin 0.

) Kahden hiukkasen alaindeksien vaihtaminen keskenään tarkoittaa käytännössä matriisinkahden rivin vaihtamista keskenään. Ja kun kaksi matriisin riviä vaihdetaan keskenään, niintällöin myös determinantin merkki vaihtuu.5. (Kirjan tehtävä 8.43) Slaterin determinantti on määritelty edellisessä tehtävässä (8.42).Näytä että, jos äärettömän potentiaalikaivon tilat n ja n' ovat miehitetty ja molempien tilojenspin on ylös, niin Slaterin determinantti tuottaa antisymmetrisen monihiukkastilan: n x 1 n ' x 2 − n ' x 1 n x 2 .RATKAISU:∣ n x 1 n' x 1 n x 2 n' x 2∣ = n x 1 n ' x 2 − n ' x 1 n x 2