KIINTEÄN AINEEN RAKENNE JA FYSIKAALISET OMINAISUUDET ...

318 7.7 Elektronien liike periodisessa potentiaalirakenteessaEsimerkki 7.5. Seuraavassa osoitamme oikeaksi Blochin teoreeman, jonkamukaan hilaperiodisen potentiaalin omaavan Hamiltonin ratkaisussa 7.33u x+ a = u x .amplitudin u ( x ) täytyy toteuttaa periodisuusehto ( ) ( )Ratkaisu: Tarkastellaan kidehilaa jossa atomien välimatka on a. Elektroniennäkemä potentiaali toteuttaa tällöin periodisuusehdonE x = E x+ a . Koska hilassa elektronirakenteen täytyy toistua muuttu-p( ) ( )pmattomana siirryttäessä hilakopista toiseen, on elektroniin aaltofunktioonliittyvän todennäköisyystiheyden toteutettava sama periodisuusehto, kuinelektronin näkemän potentiaalienergian, toisin sanoenψ2 2( x) ψ ( x a)= + . (7.40)Yhtälöstä 7.40 seuraa että ψ ( x a) Cψ( x)toteuttaa ehdon+ = , missä C on suure, joka2ikaC = 1. Näin ollen voimme kirjoittaa C = e , missä k onmielivaltainen parametri. Ratkaisemalla nyt edellä olevasta yhtälöstäaaltofunktio pisteessä x saammeψ−ika( x) e ψ ( x a)= + .Kertomalla molemmat puolet vaihetekijälläikxe − , saamme−ikx− ik( x+ae ψ x = e)ψ x+ a .( )( )−Tästä seuraa, että u ( x) e ikx ψ ( x)k= on periodinen funktio muuttujan xsuhteen ja periodi on a. Kirjoittamalla nyt ( x) e ikx u ( x)todistaneet Blochin teoreeman.ψ = , olemmekEsimerkki 7.4. Aaltofunktion laskeminen tiukkasidos-approksimaatiossa.Ratkaisu: Tiukkasidos-approksimaation lähtökohtana on kirjoittaa hilaperiodisenHamiltonin ominaisfunktiolle yrite painotettuna summana hilaankuuluvista yksittäisten atomien aaltofunktioista muodossaikna∑ e φ( x na). (7.41)ψ = −nTässä funktio φ on yksittäiseen atomiin liittyvän stationäärisen tilan aaltofunktioja indeksi n kertoo mihin hilan atomeista kyseinen stationäärinenφ x − na on aaltofunktio jonka itseisarvontila keskittyy. Näin esimerkiksi ( )neliö on oleellisesti nollasta poikkeava vain atomin n läheisyydessä ja yri-