MATLAB-tehtävät PDF-muodossa - Aalto-yliopisto

27. Eulerin menetelmä on klassinen menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.
Menetelmän lähtökohtana on yhtälö
y ′ (t) = f(t, y(t)); y(t0) = y0,
josta koetetaan ratkaista y(t) kun t = [t0, tn]. Menetelmä perustuu t:n diskretoinnille:
t muunnetaan joksikin vektoriksi T = (t0, t0 + h, . . . , tn), jonka jälkeen koetetaa
etsiä vastaavia arvoja y(t0 + ih). Merkintöjen selvyyden vuoksi kirjoitetaan
t0 + jh = tj. Eulerin menetelmässä approksimoidaan arvoa y(ti) seuraavasti:
y(ti) = y(ti−1) + h ∗ f(ti−1, y(ti−1)).
Ratkaise Eulerin menetelmällä differentiaaliyhtälö
y ′ (t) = y(t) sin(t).
Käytä eri h:n arvoja, ja vertaa oikeaan ratkaisuun e 1−cos(t) .
Vihje: Eulerin menetelmä MATLABissa on helpointa toteuttaa yksinkertaisena silmukkana. Olettaen,
että yhtälön oikea puoli on kirjoitettu funktioon f(t,y), Euler-iteraatio voidaan tehdä seuraavasti:
for n = 2:length(t)
y(n) = y(n-1)+h*f(t(n-1),y(n-1));
end
missä t on vektori joka on ratkaisuvälin diskretointi, ja h on t:n pisteiden välinen etäisyys.