Staattinen sähkökenttä

18 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.5 Sähköinen dipolirr–d–q qdKuva 2.2: Sähködipoli muodostuu kahdesta lähekkäisestä samansuuruisestavastakkaismerkkisestä varauksesta.Olkoon origossa varaus −q ja pisteessä d varaus q (kuvapotentiaali pisteessä r on2.2). Tällöinϕ(r) =q 1(4πɛ 0 |r − d| − 1|r| ) . (2.35)Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Sähköisellädipolilla tarkoitetaan raja-arvoa d → 0, mikä on sama asia kuin dipolinkatselu kaukaa (|r| ≫ |d|). Binomisarjan avulla saadaan|r − d| −1 = [r 2 − 2r · d + d 2 ] −1/2 = 1 r (1 + r · dr 2 + ...) . (2.36)Rajalla d → 0 potentiaali häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio,jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = qd onäärellinen. Origossa olevan sähködipolin potentiaali on siisϕ(r) = 14πɛ 0p · rr 3 . (2.37)Ottamalla tästä gradientin vastaluku saadaan sähkökentäksi (HT)E(r) = 1 { 3r · p4πɛ 0 r 5 r − p }r 3 = 1 { 3p cos θ4πɛ 0 r 3 e r − p }r 3 , (2.38)missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma. Myöhemmin saadaanmagneettiselle dipolille samanmuotoiset lausekkeet. Dipolikentän kenttäviivaton hahmoteltu kuvaan 2.3.2.6 Sähkökentän multipolikehitelmäTarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.Sen aiheuttama potentiaali pisteessä r onϕ(r) = 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ . (2.39)