Staattinen sähkökenttä

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄKun r → ∞, niin ϕ = −E 0 r cos θ, joten A n = 0 kaikille n ≥ 2 ja A 1 = −E 0 .Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/r-riippuvuutta,eli B 0 = 0. Jäljellä olevat cos n θ-termit (n ≥ 2) ovat kaikki lineaarisestiriippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota toisiaan pallonpinnalla, missä ei ole θ-riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille n ≥ 2. Jäljelle jääϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.84)ϕ(r, θ) = C − E 0 r cos θ + B 1cos θ . (2.85)r2 Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 .Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis(a 3 )E 0ϕ(r, θ) = ϕ 0 + − E 0 r cos θ . (2.86)Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit ovatr 2E r = − ∂ϕ( )∂r = E 0 1 + 2 a3r 3(E θ = − 1 rPallon pintavaraustiheys on∂ϕ∂θ = −E 0cos θ (2.87)1 − a3r 3 )sin θ . (2.88)σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ . (2.89)Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti onp =∫pallorρ(r) dV =∫r=a(xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ∫ π= 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z . (2.90)0Pallon ulkopuolella tämän osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetundipolin, jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z .2.8.3 SylinterikoordinaatistoTarkastellaan sitten sylinterisymmetristä tilannetta ja oletetaan lisäksi, etteitilanne muutu sylinterin suunnassa. Nyt ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacen yhtälö on1r(∂∂rr ∂ϕ∂r)+ 1 r 2 ∂ 2 ϕ∂θ 2 = 0 . (2.91)