Kiinteän aineen ja nesteen tilanyhtälöt

KIINTEÄN AINEEN JA NESTEEN TILANYHTÄLÖTLämpölaajeneminen• Pituuden lämpölaajeneminen: ∆ = ∆lo∆ll = + ∆ = + ∆ = 1 + ∆ = äöesim. teräs: = 12 ∙ 10 • Pinta-alan lämpölaajeneminen: ∆ = ∆Ao∆A = 1 + ∆ = 2 = − äöA• Tilavuuden lämpölaajeneminen: ∆ = ∆t otV oV∆V = V-V o ∆t = t-t o t > t o = 1 + ∆ = 3 = äö, esim. vesi: = 0,21 ∙ 10 .• kiinteille aineille =3α, α:n arvoja on taulukossa (MAOL s. 72-77 (72-77)).• Huom! Veden poikkeava lämpölaajeneminen(Veden tilavuus V pienenee (tiheys kasvaa), kun lämpötila t nousee: 0 o C +4 o C)• nesteille :n arvoja on taulukossa (MAOL s. 78-79 (78-79)).• kaikille kaasuille tilavuuden lämpötilakerroin on = ℃ .

Teht. 1. Osoita, että = 3α ja = 2α.Todistus.Tarkastellaan kuutiota, a a + ∆ajonka särmän pituus lämpötilassa t1 on a.Särmän pituus lämpötilassa t2 on + ∆ = + ∙ − = + ∙ ∆ = 1 + ∆.Kuution tilavuus on alussa lämpötilassa t1 on V1 = a 3 jalopussa lämpötilassa t2 kuution tilavuus on = 1 + ∆ = 1 + ∆ .Sovelletaan lausekkeeseen 1 + ∆ taulukon binomikaavaa: + = + 3 + 3 + (MAOL s. 56 (60)).Kuution tilavuus lämpötilassa t2 on näin ollent1t2 = 1 + ∆ = 1 + 3 ∙ 1 ∆ + 3 ∙ 1∆ + ∆ = 1 + ∆ = 1 + 3∆ + 3∆ + ∆ (*)hyvin pieniäKoska kiinteillä aineilla α on pieni ~ 10 , niin termit 3∆ ja ∆ ovateo. yhtälössä erittäin pieniä, joten niitä ei tarvitse ottaa huomioon.Kuution tilavuuden lauseke (*) voidaan siis mittaustarkkuuden rajoissakirjoittaa muotoon: = 1 + ∆ ≈ 1 + 3∆ eli = 1 + ∆ (1)Toisaalta kuution tilavuus lämpötilassa t2 on = + ∆ = + ∆ = 1 + ∆ (2)Vertaamalla yhtälöitä (1) ja (2), todetaan, että = 3α.Lopuksi voidaan tehdä yleistys ja todeta, että kuutiolle johdettutilavuuden lämpötila kerroin = 3α pätee kaikenmuotoisille (3-ulotteisille) kiinteille kappaleille yleisemminkin.

Vastaavasti osoitetaan, että = 2α.Tarkastellaan neliötä eri lämpötiloissa. t1 t2a a + ∆aTarkastellaan neliötä lämpötilassa t1 , jonka särmän pituus on a ja pinta-ala onA1 = a 2 .Lämpötilassa t2 neliön särmän pituus on a + ∆a = a + αa∆t.Lämpötilassa t2 neliön pinta-ala on = + ∆ = + ∆ = 1 + ∆ = 1 + ∆ = 1 + 2 ∙ 1∆ + ∆ (**) = 1 + 2∆ + ∆ (**)hyvin pieniKoska kiinteillä aineilla α on pieni ~ 10 , niin termi ∆ ja on eo.yhtälössä erittäin pieni, joten sitä ei tarvitse ottaa huomioon.Neliön pinta-alan lauseke (**) voidaan siis mittaustarkkuuden rajoissakirjoittaa muotoon: ≈ 1 + ∆ (1)Toisaalta neliön pinta-ala lämpötilassa t 2 on = + ∆ = + ∆ = 1 + ∆ (2)Vertaamalla yhtälöitä (1) ja (2), todetaan, että = 2α.Lopuksi voidaan tehdä yleistys ja todeta, että neliölle johdettu pinta-alanlämpötila- kerroin = 2α pätee kaikenmuotoisille (2-ulotteisille)tasokappaleille yleisemminkin.

Teht. 2.Metallilevyssä on pyöreä reikä. Miten reiän koko muuttuu,kun levyä lämmitetään?Ratkaisu.Kun kiinteä kappale laajenee, sen muoto säilyy kuten valokuvaasuurennettaessa (vrt. valokopiosuurennus). Näin ollen myös levyssä olevareikä laajenee yhtä paljon kuin reiän kokoinen levy laajenisi. Reiällisenmetallilevyn muoto siis säilyy lämpötilan noustessa tai laskiessa.Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on 4a ja jossa ympyränmuotoinen reikä(säde a).A o4aa4aLevyn alkuperäinen pinta-ala = 4 − = 16 - Reiällistä levyä aletaan lämmittää, jolloin sen uusi pinta-ala = + ∆ = + ∆ = + 2 ∆ = + 216 − ∆ = + ∆ − reiän alalevyn alaLevyn ala ja reiän ala kasvavat kuumennettaessa kumpikin yhtä paljon eline molemmat tulevat ∆ -kertaisiksi, joten reiällisen levyn muotosäilyy.

Teht. 3.Näsinneulan tornin korkeus on 120 m ja rakennusmateriaalina käytetynteräsbetonin pituuden lämpötilakerroin on 1,2∙10 -5 1/ o C. Kuinka paljon näkötorninpituus muuttuu, kun lämpötila muuttuu -30 o C:sta + 30 o C:seen?Ratkaisu:∆ = ∆ = 1,2 ∙ 10 1 ∙ 120 ∙ 60 ℃ = 0,0864 ℃∆ ≈ 8,6 Vastaus: 8,6 cm.Teht. 4.Järvestä tuotiin kylmää vettä 62 litran terässäiliöön. Säiliö täytettiin ääriäänmyöten. Vedellä täytettyä terässäiliötä ruvettiin lämmittämään. Alkulämpötila oli+15 ˚C ja loppulämpötila +74 ˚C. Laske ylivaluneen veden määrä.Ratkaisu:Terässäiliö laajenee: ∆ = ∆ = ∙ 12 ∙ 10 ∙ 62 ∙ 74 − 15 ℃℃∆ ≈ 0,131688 .Vesi laajenee: ∆ = ∆ = 0,21 ∙ 10 ∙ 62 ∙ 74 − 15 ℃℃∆ ≈ 0,76818 .Vettä valuu yli ∆ = ∆ − ∆ = 0,76818 − 0,131688 = 0,636492 ∆ ≈ 0,64 .Vastaus: Vettä valuu yli 6,4 dl.