Parties semi-algébriques d'une variété algébrique p-adique

manuscripta math. 111, 513–528 (2003) © Springer-Verlag 2003
Antoine Ducros
Parties semi-algébriques d’une variété algébrique
p-adique
Received: 4 July 2002 / Revised version: 28 February 2003
Published online: 2 July 2003
Abstract. Let k be a field complete with respect to an ultrametric absolute value, let A be a
finitely generated k-algebra and let X be its spectrum. We denote by X an the analytification
à la Berkovich of the algebraic variety X. We say that a subset of X an is semi-algebraic
if it can be defined by a boolean combination of inequalities |f |⊲⊳λ|g| where f and
g are in A, where ⊲⊳ is a symbol belonging to {, ≤, ≥} and where λ is a positive
real number. In this text we show that the image of any semi-algebraic subset under an
algebraic map between affine varieties is semi-algebraic, and that a semi-algebraic subset
has only finitely many connected components, each of which is semi-algebraic. In fact our
results concern not only algebraic varieties, but also analytic families of algebraic varieties
which are parametrized by an affinoid space.
1. Introduction
Soit X une variété algébrique sur R et A l’anneau des fonctions polynomiales
sur X . Une partie de X (R) est dite semi-algébrique si elle peut être définie par
une combinaison booléenne d’inégalités entre fonctions appartenant à A. Les deux
assertions suivantes sont classiques :
a) Soit ϕ : Y → X un morphisme entre R-variétés algébriques affines. L’image
par ϕ de toute partie semi-algébrique de Y(R) est une partie semi-algébrique
de X (R) (cf. [3], th. 2.2.1) ;
b) soit X une R-variété algébrique affine de type fini et P une partie semialgébrique
de X (R). Les composantes connexes de P sont en nombre fini
et sont semi-algébriques (cf. [3], th. 2.2.4 et th. 2.2.5).
Le but de cet article est d’établir des résultats analogues pour les variétés algébriques
sur un corps k complet pour une valeur absolue ultramétrique. Si l’on munit simplement
l’ensemble des k-points (ou même des points à valeurs dans une clôture
algébrique donnée de k) d’une telle variété de la topologie induite par celle de k
on obtient un espace qui est totalement discontinu, ce qui ôte tout espoir d’obtenir
un énoncé du type b). Aussi a-t-on fait ici le choix de se placer dans le cadre de
la théorie des espaces analytiques de Berkovich qui sont munis d’une topologie
“sympathique” : ainsi chacun de leurs points a une base de voisinages compacts et
connexes par arcs.
A. Ducros: IRMAR Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes CEDEX,
France. e-mail: antoine.ducros@univ-rennes1.fr
DOI: 10.1007/s00229-003-0382-4

514 A. Ducros
Si X est une k-variété on lui associe de manière naturelle un espace analytique
X an , et tout morphisme ϕ : Y → X entre k-variétés induit une application ϕ an :
Y an → X an entre leurs analytifications. Soit X une k-variété algébrique affine et
A l’anneau des fonctions polynomiales sur X . Une partie de X an sera dite semialgébrique
si elle peut être définie par une combinaison booléenne d’inégalités de
la forme |f |⊲⊳λ|g| où f et g sont éléments de A, où λ est un réel positif, et où
⊲⊳ est un symbole appartenant à {,≥}. Les deux résultats principaux de ce
texte sont les suivants:
Proposition 2.5. Soit ϕ : Y → X un morphisme entre deux k-variétés algébriques
affines. L’image par ϕ an de toute partie semi-algébrique de Y an est une partie
semi-algébrique de X an .
Théorème 3.2. Soit X une k-variété affine et soit P une partie semi-algébrique de
X an . Les composantes connexes de P sont en nombre fini et sont semi-algébriques.
La proposition 2.5 est la conséquence d’un résultat plus général portant sur certaines
familles de semi-normes et établi à l’aide de l’élimination des quantificateurs
dans la théorie des corps valués algébriquement clos et du Nullstellensatz analytique.
Quant au théorème 3.2 on ramène essentiellement sa preuve, après un certain
nombre de réductions qui utilisent des techniques de base de géométrie algébrique
(compactification, éclatement, normalisation) ainsi que la proposition 2.5, à celle
du lemme ci-dessous (rappelons qu’un espace strictement affinoïde est le lieu des
zéros d’une famille de fonctions analytiques sur un polydisque unité fermé, et dans
la théorie de Berkovich un tel espace est compact):
Lemme 3.1.2. Soit X un espace strictement affinoïde équidimensionnel et réduit
sur un corps ultramétrique complet algébriquement clos et ρ : X → �X la flèche de
réduction modulo la boule unité ouverte du corps de base. Soit F un fermé Zariski
connexe de �X. L’ouvert ρ −1 (F) de X est connexe.
Le cas particulier où F est un point de �X, qui est dûà Bosch ([4], Kor. 6.2), est
un ingrédient essentiel de la démonstration de ce lemme.
Les deux énoncés figurant ci-dessus ne sont que des cas particuliers de la proposition
2.5 et du théorème 3.2 de l’article, qui s’appliquent non seulement à des
variétés algébriques mais à des “familles analytiques à base affinoïde de variétés
algébriques affines”, les inégalités étant à prendre entre “familles analytiques de
fonctions algébriques”; en termes plus techniques on s’intéresse au spectre d’une
algèbre B de type fini sur une algèbre affinoïde A (et à l’analytification dudit
spectre) et aux fonctions qui appartiennent à B. Le choix de ce point de vue permet
d’avoir des résultats nettement plus généraux que si l’on se limitait au cadre
des variétés algébriques, sans que cela entraîne de réelles complications dans les
démonstrations.

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 515
0. Rappels et notations
(0.1) Définition. Un corps valué sera dans la suite du texte un corps k muni d’une
valeur absolue ultramétrique que l’on notera ||sauf mention expresse du contraire.
(0.2) Soit k un corps valué complet. Dans cet article le terme espace k-analytique
sera à prendre au sens de Berkovich; sa théorie est développée dans les deux textes
fondateurs [1] et [2]; les résultats et définitions essentiels de [1], Chap. 1, 2, et 3 et
de[2],§1,§2et§3seront supposés connus et utilisés pour la plupart sans rappels
ni justification. L’espace k-analytique associéà une algèbre k-affinoïde A sera noté
M(A). SiX est un espace k-analytique et L un corps valué complet extension de
k on notera XL le transformédeX par changement de base de k à L.SiA est une
algèbre k-affinoïde on désignera par A o le sous-anneau de A formé des éléments
de norme spectrale majorée par 1 et par A oo l’idéal de A o formé des éléments de
norme spectrale strictement majorée par 1; le quotient A o /A oo sera noté �A.
(0.3) Soit A une algèbre affinoïde sur un corps valué complet k et soit X un
A-schéma de type fini. L’analytification de X aété définie par Berkovich (cf. [2],
Prop. 2.6.1) et sera notée X an . Elle est munie d’un morphisme naturel vers M(A).
Le normalisé Y de X est fini sur X et les domaines analytiques de Y an sont normaux
(sur cette question, cf. l’appendice). Si X est le spectre d’une A-algèbre de type
fini B un domaine affinoïde V de X an sera dit de Weierstraß s’il peut être défini
par une combinaison booléenne d’inégalités de la forme
|f1| ≤λ1 et ... et |fn| ≤λn
où les fi sont des éléments de B et les λi des réels strictement positifs; notons que
sous cette hypothèse l’image de B est dense dans l’anneau des fonctions analytiques
sur V .Siϕ est un A-morphisme entre deux A-schémas de type fini la flèche
correspondante entre les analytifications sera notée ϕ an .
(0.4) Soit k un corps valué complet et soit r = (ri) une famille finie de réels
strictement positifs. L’algèbre affinoïde
�
k
T1
,... ,
r1
Tn
,
rn
S1
�
/(T1S1 − 1,... ,TnSn − 1)
r −1
1
,... , Sn
r −1
n
est isomorphe à l’algèbre des séries formelles � aI T I où le multi-indice I parcourt
(Z) n telles que |aI |r I tende vers zéro lorsque |I| tend vers l’infini
(si I = (i1,... ,in) on désigne par |I| l’entier positif |i0|+···|in|). Sa norme est
l’application � aI T I ↦→ max |aI |r I . Cette algèbre sera notée kr. Si la famille (ri)
est libre dans (R ∗ + /|k∗ |) ⊗Z Q alors kr est un corps.
Soit r une famille de réels strictement positifs. Si X est un espace k-analytique
on notera Xr le produit fibré X ×k M(kr).SiA est une algèbre k-affinoïde et si B
(resp. X ) est une A-algèbre (resp. un A-schéma) de type fini on notera Br (resp.
Xr) l’algèbre B ⊗A (A�⊗kkr) (resp. le schéma X × Spec A (Spec A�⊗kkr) ).

516 A. Ducros
1. Parties semi-algébriques et stabilité sous un morphisme affine
(1.1) Soit A un anneau et X un ensemble de semi-normes multiplicatives ultramétriques
sur A dont les restrictions à Z coïncident. Soit P un élément de X.
Son noyau est un idéal premier de A; le corps des fractions de l’anneau quotient
correspondant est naturellement muni d’une valeur absolue résiduelle ||. On notera
H(P ) son complété pour cette dernière. Si f est un élément de A on désignera par
f(P)son image dans H(P ). La valeur en f de la semi-norme P est égale à |f(P)|
par la définition même de la valeur absolue résiduelle ||.
(1.2) Définition. On appelle partie semi-algébrique (resp. partie strictement semialgébrique)
deX relativement à A toute partie de X définie par une combinaison
booléenne d’inégalités de la forme |f |⊲⊳λ|g| où f et g sont deux éléments de A,
où ⊲⊳ est un symbole appartenant à {, ≤, ≥}, etoù λ est un réel positif (resp.
un élément de {0, 1}).
(1.3) Remarque. S’il n’y a pas d’ambiguïté, ce qui sera le cas la plupart du temps,
l’expression “relativement à A” sera omise.
(1.4) Remarque. Il est clair d’après la définition ci-dessus que les parties semialgébriques
(resp. strictement semi-algébriques) de X relativement à A constituent
une sous-algèbre de Boole de P(X).
(1.5) Soit B une A-algèbre de type fini et soit P un point de X. Toute semi-norme
multiplicative de B ⊗A H(P ) dont la restriction à H(P ) est égale à ||induit une
semi-norme multiplicative sur B au-dessus de P ; notons YP l’ensemble des seminormes
ainsi construites, et Y la réunion des YP pour P parcourant X. On dira que
Y est la variété affine au-dessus de X définie par B. On note π la flèche de Y vers
X dont la fibre en un point P est précisément YP .
(1.6) Proposition. Soit U une partie semi-algébrique (resp. strictement semialgébrique)
de Y . Alors π(U) est une partie semi-algébrique (resp. strictement
semi-algébrique) de X.
Démonstration. On procède en deux temps.
(1.6.1) Supposons d’abord que U est strictement semi-algébrique. Soit P un point
de X. La fibre YP de Y en P est en bijection naturelle avec l’ensemble sous-jacent
à l’espace strictement H(P )-analytique
(Spec (B ⊗A H(P )) ) an .
L’intersection de U avec cet espace est, par sa forme même, réunion finie d’espaces
strictement H(P )-analytiques. En vertu du Nullstellensatz analytique (cf. [5], 6.1.2
Cor. 3) elle est non vide si et seulement si elle possède un point sur une extension
algébrique finie de H(P ). La théorie de l’élimination des quantificateurs sur un

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 517
corps valué algébriquement clos (cf. [9], 4.17 ou [10]) permet alors de conclure que
π(U) est strictement semi-algébrique.
(1.6.2) Dans le cas général soit (r1,... ,rn) une famille finie de réels strictement
positifs tels que chacun des λ non nuls intervenant dans la combinaison d’inégalités
définissant U soit l’un des ri. Soit A ′ l’algèbre
�
A T1,... ,Tn, 1
,... ,
T1
1
�
Tn
où les Ti sont des indéterminées. Soit P un point de X. L’application � aITI ↦→
max |aI(P )|r
I
I est une semi-norme multiplicative sur A ′ .
Notons X ′ l’ensemble des semi-normes ainsi obtenues. L’application qui à une
semi-norme sur A ′ associe sa restriction à A induit une bijection ηX : X ′ → X.
Désignons par Y ′ la variété affine au-dessus de X ′ définie par B ⊗A A ′ et par
π ′ la flèche naturelle Y ′ → X ′ . La restriction de B ′ à B induit une application
ηY : Y ′ → Y de sorte que le diagramme
ηY
Y ′
��
Y
π ′
�� X ′
π ��
�� X
commute.
Considérons l’une des inégalités |f |⊲⊳λ|g| entrant dans la définition de U
(et donc de η −1
Y (U)); si λ est non nul c’est par hypothèse l’un des ri et donc on
peut réécrire cette égalité sous la forme |f |⊲⊳|Tig|; ceci montre que η −1
(U) est
Y
une partie strictement semi-algébrique de Y ′ . D’après le 1.6.1 ci-dessus le sousensemble
π ′ (η −1
Y (U)) est une partie strictement semi-algébrique de X′ .
D’autre part π ′ (η −1
Y (U)) est égal à η−1
X (π(U)). En effet l’inclusion
ηX
π ′ (η −1
Y (U)) ⊂ η−1
X (π(U))
provient de la commutativité du diagramme. Pour l’inclusion réciproque, soit P
un point de X ′ �
et soit Q un point de U tel que π(Q) = ηX(P ). La semi-norme
bITI ↦→ max |bI(Q)|r
I
I définit un élément Q ′ de Y ′ qui appartient à η −1
Y (U)
(puisque ηY (Q ′ ) = Q); par définition de Q ′ on a π ′ (Q ′ ) = P , et donc P appartient
à π ′ (η −1
Y (U)).
Le sous-ensemble η −1
X (π(U)) est donc une partie strictement semi-algébrique
de X ′ ;ladéfinition de ηX permet d’en déduire immédiatement que π(U) est une
partie semi-algébrique de X, et ceci achèveladémonstration. ⊓⊔

518 A. Ducros
2. Parties semi-algébriques dans certains espaces de Berkovich
On fixe pour tout le paragraphe un corps valué complet k.
(2.1) Définition. Soit A une algèbre k-affinoïde et soit B une A-algèbre de type
fini dont on note X le spectre. On dit qu’une partie de X an est semi-algébrique si
elle est semi-algébrique (au sens de la définition 1.2) relativement à l’anneau B.
(2.2) Remarque. Les parties d’un espace k-analytique X définies par des combinaisons
booléennes d’inégalités de la forme |f |⊲⊳|g| où f et g sont des fonctions
analytiques quelconques sur X, ainsi que les images de telles parties sous certaines
projections, ont étéétudiées par différents auteurs sous les appellations respectives
de parties semi-analytiques et sous-analytiques. On pourra consulter par exemple
[7] ou [8], la liste n’est pas exhaustive et chacun de ces deux textes contient
lui-même de nombreuses références sur la question.
(2.3) Un exemple de partie semi-algébrique. Si X est un espace k-affinoïde alors
tout domaine analytique compact de X est semi-algébrique. Cela résulte en effet du
lemme suivant (dont M. Temkin a également donné une preuve, indépendamment
de l’auteur):
(2.4) Lemme. Soit X un espace k-affinoïde et Y un domaine k-affinoïde de X.
Alors Y est une réunion finie de domaines rationnels de X.
Démonstration. Soit r une famille finie non vide de réels strictement positifs
linéairement indépendants dans (R ∗ + /|k∗ |)⊗ZQ telle que Xr et Yr soient strictement
affinoïdes sur kr. D’après le théorème de Gerritzen-Grauert (cf. [5], § 7.3.5, Cor. 3
du Th. 1) on peut écrire Yr comme une réunion finie Y1 ∪...∪Ym où les Yi sont des
domaines strictement kr-rationnels de Xr. Pour tout entier i compris entre 1 et m
il existe donc des fonctions gi,fi,1,... ,fi,ni sur Xr sans zéro commun sur Xr et
telles que Yi soit défini par les inégalités |fi,1| ≤|gi|,... ,|fi,ni |≤|gi|. Notons A
l’algèbre des fonctions de X et ||∞ la semi-norme spectrale sur A. Toute fonction
analytique sur Xr peut s’écrire � aI T I où les aI sont dans A et sont tels que |aI |∞r I
tende vers zéro lorsque |I| tend vers l’infini. Soit σ la section continue de Xr → X
qui envoie P sur le point � bI T i ↦→ max |bI (P )|r I . Fixons un i et employons
les notations g, f1,... ,fn au lieu de gi,fi,1,... ,fi,ni . Ecrivons g = � γI T I
et fj = � αI,jT I . Les fj et g n’ayant pas de zéro commun sur Xr la fonction
g ne peut s’annuler sur Yi. Comme Yi ∩ σ(X) est compact la fonction |g| y est
minorée par un réel λ strictement positif. Soit I un ensemble fini de multi-indices
tel que pour tout I en dehors de I les réels |γI |∞r I , |αI,1|∞r I ,... ,|αI,n|∞r I
soient strictement inférieurs à λ. Soit P un point de X. Alors σ(P)appartient à Yi
si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
(i) |γI (P )|rI ≥ λ pour au moins un élément I de I.
(ii) sup |γI (P )|r
I∈I
I ≥ sup |αI,j(P )|r
I∈I
I pour tout j compris entre 1 et n.

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 519
Pour tout élément I de I, notons �I le domaine rationnel de X défini par
les inégalités |γI |r I ≥ λ, |γI |r I ≥|γJ |r J , |γI |r I ≥|αJ,j|r J où J parcourt I et
j l’ensemble des entiers compris entre 1 et n. Ondéduit de ce qui précède que
σ −1 (Yi) est la réunion des �I .OrY est la réunion des σ −1 (Yi), ce qui achève la
démonstration du lemme. ⊓⊔
(2.5) Proposition. Soit A une algèbre k-affinoïde et ϕ : Y → X un morphisme
entre A-schémas affines de type fini. L’image par ϕ an d’une partie semi-algébrique
de Y an est une partie semi-algébrique de X an .
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la proposition 1.6. ⊓⊔
(2.6) Corollaire. Soit A une algèbre k-affinoïde, soit X un A-schéma affine de
type fini, soit � (resp. F) un ouvert affine (resp. un fermé) de X . Toute partie
semi-algébrique de � an (resp. de F an ) est une partie semi-algébrique de X an . ⊓⊔
(2.7) Remarque. Le corollaire ci-dessus peut se prouver directement de manière
élémentaire (sans utiliser l’élimination des quantificateurs).
3. Enoncé etpreuveduthéorème principal
Commençons par établir la proposition suivante:
(3.1) Proposition. Soit k un corps valué complet dont la valeur absolue n’est pas
triviale, soit A une algèbre strictement k-affinoïde équidimensionnelle et soit X
l’espace M(A). Soit n un entier, soit λ1,... ,λn une famille de réels strictement
positifs de torsion modulo |k ∗ | et soient ξ1,... ,ξn une famille de n éléments de A
tels que |ξi| ≤λi sur A pour tout i. Soit U l’ouvert de X défini comme le lieu de
validité de la condition
|ξ1|

520 A. Ducros
réduite donc distinguée ([5], 6.4.3/1). La�k-algèbre �A est de type fini ([5], 6.4.3 Cor.
3). L’image dans �A d’un élément f de A o sera notée �f . Soit �X le spectre de �A et ρX
la flèche de réduction X → �X (cf. [1], 2.4). L’ouvert U est l’image réciproque par
ρX du fermé Zariski de �X défini par l’idéal qu’engendrent les �ξi et que l’on notera
�U. Du lemme suivant on déduira immédiatement que les composantes connexes de
U sont exactement les images réciproques par ρX des composantes connexes de
�U, ce qui montrera à la fois qu’elles sont en nombre fini et qu’elles ont la forme
souhaitée.
(3.1.2) Lemme. Soit F un fermé irréductible de �X. L’ouvert ρ −1
X (F) est connexe.
Démonstration. Soit � une composante connexe de ρ −1
X (F). Comme X est
localement connexe � est un ouvert, et est par conséquent réunion de domaines
strictement affinoïdes de X. Soit Y l’un d’eux. Le diagramme
ρY
Y
��
�Y
(le sens des notations ρY et �Y est évident) est commutatif, les flèches verticales
sont surjectives et la flèche du bas est de type fini. On en déduit que ρX(Y ) est une
partie constructible de F, puis que ρX(�) est ind-constructible.
D’après un résultat de Bosch ([4], Kor. 6.2) l’image réciproque par ρX d’un point
fermédeF est connexe, donc incluse dans une et une seule composante de ρ −1
X (F).
L’intersection des images par ρX de deux composantes disjointes de ρ −1
X (F) est
donc une partie ind-constructible de F ne contenant aucun point fermé, c’est par
conséquent l’ensemble vide. Les images par ρX des composantes de ρ −1
(F) sont
donc deux à deux disjointes.
Soit �0 l’unique composante de ρ −1
X (F) dont l’image par ρX contient le point
générique ξ de F et soit P un point de �0 tel que ρX(P ) = ξ. La composante �0
est un ouvert de X; le point P possède par conséquent un voisinage strictement
affinoïde Y inclus dans �0. Le morphisme d’inclusion de Y dans X est intérieur
en P (au sens de [1], 2.5.7 et en vertu de [2], 1.5.5). Comme |k∗ | est divisible et
comme Y est strictement affinoïde la norme spectrale de toute fonction analytique
�� X
��
���X
sur Y est un élément de |k∗ | ([1], Cor. 2.1.6). Désignons par Dk (resp. Do k
ρX
X
) le disque
unité fermé (resp. ouvert) sur k. Ondéduit de ce qui précède, à l’aide du lemme
2.5.11 de [1], que l’inclusion de Y dans X se factorise comme suit
X × Dn k
���
ι ��
��
��
��
��
Y �� X

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 521
où n est un entier et où ι est une immersion fermée telle que ι(P) appartienne à
X × (D o
k )n . Ce diagramme en induit un dans la catégorie des �k-variétés:
�X × A n �k
���
�ι ��
��
��
��
��
�Y
���X
Soit σ la section de la flèche �X × An �k → �X correspondant à l’origine de An �k .Le
morphisme�ι envoie l’image de P sur σ(ξ). Comme�ι est fini ([5], 6.3.5 Th. 1) son
image est fermée et contient donc σ(F). En conséquence F ⊂ ρX(Y ) ⊂ ρX(�0).
Ceci montre que ρX(�0) = F et donc (les images des composantes de ρ −1
X (F)
étant deux à deux disjointes) que �0 = ρ −1
X (F), ce qui achèveladémonstration
du lemme. ⊓⊔
(3.1.3) Supposons maintenant k quelconque, et soit K le complété d’une clôture
algébrique de k. Soit p la flèche XK → X. L’ouvert p −1 (U) de XK a d’après ce
qui précède un nombre fini de composantes connexes, chacune d’elles étant de la
forme voulue. Soit ksep la fermeture séparable de k dans K. La densitédeksep dans
K (cf. [5], 3.4.1/6) entraîne l’existence d’une extension finie séparable L de k telle
que toutes les fonctions analytiques en jeu dans les inégalités qui définissent les
composantes connexes de p −1 (U) puissent être choisies de manière à provenir de
fonctions analytiques sur XL. Le corps L satisfait alors clairement les conclusions
de la proposition. ⊓⊔
Enonçons maintenant le théorème principal de cet article:
(3.2) Théorème. Soit k un corps valué complet et soit A une algèbre k-affinoïde.
Soit B une A-algèbre de type fini et soit Y son spectre. Soit U une partie semialgébrique
de Y an . Les composantes connexes de U sont en nombre fini et sont
semi-algébriques.
Démonstration. On peut supposer les inégalités qui définissent U reliées uniquement
par des conjonctions et, ce qui ramène le problème au cas où U est défini par
une combinaison
|f1| ⊲⊳1 λ1|g1| et ... et |fn| ⊲⊳n λn|gn|
où les fi et gi appartiennent à B, où les λi sont des réels positifs et les ⊲⊳i des
éléments de {, ≤, ≥}.
Identifions Y à un ouvert dense d’un A-schéma projectif Y. Désignons par U
(resp. Z) le schéma (P1 Y )n (resp. (P1 Y )n ); pour tout i donnons-nous un système de
coordonnées homogènes (Si,Ti) sur sur le i-ème facteur P1 Y et notons ξi l’élément
inversible Ti
de l’anneau total des fractions de Z. En tout point z de Z l’une au
Si

522 A. Ducros
moins des deux fonctions ξi et ξ −1
i appartient à OZ,z. SiP est un point de Zan et
si ξi n’appartient pas à OZan ,P on posera |ξi(P )| =+∞; modulo cette convention
|(1/ξi)(P )| =1/|ξi(P )| pour tout point P de X an et toute partie définie par une
inégalité stricte (resp. large) entre |ξi| et un élément de R∗ + ∪ {+∞} est un ouvert
(resp. un fermé) de Zan .
Pour tout i appartenant à {1,... ,n} soit Ei le sous-ensemble de U défini par
la condition (qui dépend du symbole ⊲⊳i):
• fi = 0 si ⊲⊳i est égal à ≤.
• gi �= 0 si ⊲⊳i est égal à .
Soit maintenant I un sous-ensemble de {1,... ,n}. On introduit les notations
suivantes :
• WI désignera le sous-ensemble de Zan défini comme le lieu de validité simultanée
de toutes les inégalités |ξi| ⊲⊳iλi pour i parcourant I;
• FI désignera le fermé Zariski de U défini par le système d’équations
{Sifi − Tigi = 0}i∈I ;
• VI désignera l’ouvert d’inversibilité dans U de la fonction �
figi;
• GI désignera le fermé Zariski de U défini par le système d’équations
{figi = 0}i/∈I ;
• EI désignera l’intersection des Ei pour i parcourant le complémentaire de I;
• �I désignera l’intersection WI ∩F an
I ∩Gan
I ∩Van
I ∩Ean
I . C’est un sous-ensemble
de U an .
Soit p la flèche structurale U an → Y an . Le sous-ensemble U auquel on
s’intéresse est la réunion des p(�I ) pour I parcourant l’ensemble des parties de
{1,... ,n}. Supposons que l’on sache montrer que pour tout I et tout ouvert affine
� de Z l’intersection �I ∩ � an a un nombre fini de composantes connexes, chacune
d’entre-elles étant une partie semi-algébrique de � an ; alors en recouvrant U
par un nombre fini d’ouverts affines et en appliquant la proposition 2.5 on achève
la preuve du théorème. Or �I est combinaison booléenne de la partie WI et d’un
certain nombre d’analytifications d’ouverts et fermés Zariski de Z. Il suffit donc
de démontrer l’assertion ci-dessous:
(3.2.1) Nouvelle version de l’assertion àétablir. Soit Z un A-schéma projectif,
soit n un entier et soit (ξ1,... ,ξn) une famille d’éléments inversibles de l’anneau
total des fractions de Z telle que pour tout i et pour tout point z de Z l’une au moins
des deux fonctions ξi et ξ −1
i appartienne à OZ,z. Soit (λ1,... ,λn) une famille de
scalaires positifs, soit (⊲⊳1,... ,⊲⊳n) une famille de symbole appartenant à {, ≥} et soit W le sous-ensemble de Z an défini par la conjonction d’inégalités
|ξ1| ⊲⊳1 λ1 et ... et |ξn| ⊲⊳n λn.
i∈I

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 523
On se donne un fermé F et deux ouverts V et � de Z; on suppose que � est
affine. Sous ces hypothèses F an ∩ W ∩ V an ∩ � an a un nombre fini de composantes
connexes, et ce sont des parties semi-algébriques de � an .
(3.2.2) Si λi est nul pour un certain i on peut retrancher l’inégalité |ξi| ⊲⊳i λi de
la définition de W et la faire rentrer dans celle de F ou de V. Ceci permet de se
ramener au cas où tous les λi sont strictement positifs. Quitte à remplacer ξi par
ξ −1
i pour certains i on peut alors supposer que les symboles ⊲⊳i appartiennent tous
à {

524 A. Ducros
finie séparable L de kr telle que (W ∩ T)L ait un nombre fini de composantes
connexes, chacune d’elle étant définie par une conjonction d’inégalités de la forme
|ψ| < 1où ψ est une fonction � analytique sur (W ∩ T)L majorée en norme par 1.
Soit K la k-algèbre k T1,... ,Tm, 1
,... , 1
�
. Munie de la norme
T1
Tm
� aIT I ↦→ max |aI|r I
elle s’identifie à une sous-algèbre dense de kr. Le lemme de Krasner assure alors
l’existence d’une K-algèbre finie L telle que L ⊗K kr soit isomorphe à L; notons
que L se plonge de manière dense dans L. Soit C l’anneau des fonctions du schéma
affine T . Comme W ∩ T est un domaine de Weierstraß de T an l’anneau C ⊗k L est
dense dans l’anneau des fonctions analytiques sur (W ∩ T)L. Chaque composante
connexe de (W ∩ T)L peut donc être décrite par une conjonction d’inégalités de
la forme |ψ| < 1où ψ est une fonction provenant de C ⊗k L et majorée en norme
par 1 sur (W ∩ T)L.
(3.2.4) L’espace analytique T an est naturellement homéomorphe à un certain
ensemble de semi-normes sur C. Comme la famille (r1,... ,rm) est libre dans
(R ∗ + /|k∗ |) ⊗Z Q l’espace (T an )L s’identifie à l’ensemble des semi-normes sur
C ⊗k L dont la restriction à C appartient à T an et dont la valeur en Tp est égale à rp
pour tout entier p compris entre 1 et m.Désignons par S la variété affine au-dessus
de T an , toujours vu comme un ensemble de semi-normes de C, associée à C ⊗k L
(rappelons que cette notion a étédéfinie au 1.5).Alors d’après ce qui précède chaque
composante connexe de (W ∩ T)L s’identifie à une partie semi-algébrique de S,
puisque c’est l’ensemble des points en lesquels sont vérifiées :
• les égalités |Tp| =rp pour tout p;
• les majorations en norme de fonctions de C qui définissent W et le domaine de
Weierstraß T ;
• les majorations en norme de fonctions de C ⊗k L qui, sur (W ∩ T)L,décrivent
la composante en question (l’existence de telles majoration a été mentionnée
plus haut).
(3.2.5) On déduit alors de la proposition 1.6 que l’image dans T an d’une telle composante
est une partie semi-algébrique, nécessairement connexe et bien sûr incluse
dans W ∩ T . En conséquence les composantes connexes de W ∩ T sont en nombre
fini et sont des parties semi-algébriques de T an . Soit � une telle composante. C’est
un ouvert du domaine analytique W ∩ T de Z an . Comme Z est normal � est donc
elle-même un espace analytique normal et connexe (cf. l’appendice). On en déduit
que � ∩ � an ∩ V an est connexe ([1], cor. 3.3.15). C’est une partie semi-algébrique
de T an , donc de T an ∩ � an (notons que T ∩ � est affine puisque Z est projectif
sur A donc séparé). Or T ∩ � est un ouvert de �, et le corollaire 2.6 assure
alors que � ∩ � an ∩ V an est une partie semi-algébrique de � an , ce qui achève la
démonstration. ⊓⊔

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 525
(3.3) Remarque. Même lorsque les scalaires et les fonctions en jeu dans la combinaison
d’inégalités qui la définissent sont non nuls une partie semi-algébrique
n’est pas en général un domaine analytique de l’espace ambiant. Ainsi soit k un
corps valué complet, soit X le spectre de k[T1,T2] et soit U la partie de X an définie
par l’inégalité |T1| ≤|T2|. Alors U n’est pas un domaine analytique de X an car
l’origine est un point rigide de X an qui est situé sur le bord topologique de U dans
X an .
(3.4) Remarque. Un morphisme entre espaces affinoïdes ne transforme pas en
général une partie semi-algébrique en partie semi-algébrique. Par exemple, soit X
un espace affinoïde, soit Y un domaine affinoïde intègre de X et soit F un fermé
Zariski strict de Y dont l’adhérence Zariski dans X est égal à X tout entier (de tels
triplés (X,Y,F)existent effectivement, cf. [2], rem. 2.2.9). Sous ces hypothèses le
sous-ensemble F de X, qui est l’image de l’immersion composée F → Y → X,
n’est pas semi-algébrique.
Appendice : analytification des schémas normaux
Le but de cet appendice est d’établir la proposition ci-dessous. Si l’on se limite à
des algèbres strictement affinoïdes et à des domaines strictement analytiques elle
est essentiellement connue, la démonstration de Berkovich du théorème 2.2.1 de
[2], énoncé avec des hypothèses plus restreintes, s’appliquant en fait sans problème
ici.
Proposition. Soit k un corps valué complet et soit A une algèbre k-affinoïde. Soit
X un A-schéma de type fini.
i) La normalisation Y de X est un X -schéma fini;
ii) tout domaine analytique de Y an est normal;
iii) si x est un point d’un bon domaine analytique W de X an d’image x dans X
alors OW,x est normal si et seulement si OX ,x l’est.
Démonstration. Observons pour commencer que iii) découle de i) et ii),dela
fidèle platitude de X an → X ([2], prop. 2.6.2) et de la platitude du morphisme
d’anneaux induit par l’immersion d’un domaine affinoïde ([2], 2.2.4 (ii)).
Montrons maintenant i). On peut supposer que X est le spectre d’une A-algèbre
B de type fini intègre. Prouvons que pour toute famille r de réels strictement positifs
l’anneau Br est intègre. Soit r une telle famille et f et g deux éléments de Br de
produit nul. On peut écrire f = � aITI et g = � bITI où les aI et les bI appartiennent
à B. La restriction de fg à chacune des fibres de X an
r → X an est nulle.
Or ses fibres sont intègres (par exemple parce que chacune d’elles devient, après
une extension de corps convenable, isomorphe au cercle unité) , ce qui implique
que pour tout P appartenant à X an ou bien tous les aI(P ) ou bien tous les bI(P )
sont nuls. Soit Ia (resp. Ib) l’idéal de B engendré par les aI (resp. les bI). Ce qui

526 A. Ducros
précède implique que tout point P de X an s’envoie ou bien sur le fermé Zariski de
X défini par Ia ou bien sur celui défini par Ib. Comme X an → X est surjective et
comme B est intègre l’un au moins des idéaux Ia et Ib est trivial, et donc l’une au
moins des fonctions f et g est nulle.
Soit r une famille de réels strictement positifs telle que kr soit un corps sur
lequel Ar soit strictement affinoïde. Comme les algèbres strictement affinoïdes sur
un corps sont des anneaux excellents le raisonnement suivi par Berkovich dans [2],
théorème 2.2.1 (pour la partie concernant précisément la normalité) s’applique ici :
le normalisé algébrique X norm
r de Xr est fini sur Xr, et il existe une fonction b
non nulle appartenant à Br telle que bOX norm
r ⊂ Br; onendéduit aussitôt (cf. [2],
paragraphe précédent le corollaire 2.2.6) l’existence d’une fonction b ′ non nulle
appartenant à B telle que b ′ OX norm ⊂ B, ce qui achèveladémonstration de i).
On va maintenant montrer le ii). On peut oublier X et s’intéresser uniquement à
Y.Onseramène immédiatement au cas où ce dernier est le spectre d’une A-algèbre
de type fini intègre (et donc intégralement close) C.
Lemme. Soit r une famille finie de réels strictement positifs. L’anneau Cr est
intégralement clos.
Démonstration. Notons déjà pour commencer que cet anneau est intègre, par
le raisonnement déjà tenu ci-dessus. Soit s une famille de réels strictement positifs
telle que ks soit un corps sur lequel As soit strictement affinoïde, et telle que chacun
des réels de la famille r soit de torsion modulo |k ∗ s |. L’anneau (Cs)r (toujours intègre
pour les mêmes raisons) est l’anneau des fonctions d’un domaine strictement ksaffinoïde
d’un espace affine relatif sur Ys. Par des arguments identiques à ceux
utilisés par Berkovich dans [2], et fondés sur l’excellence des algèbres strictement
affinoïdes ainsi que sur l’identité des complétés des anneaux locaux algébrique
et analytique en un point rigide (cf. [2], lemme 2.6.3) on montre que la fermeture
intégrale de (Cs)r dans son corps des fractions est précisément le sous-anneau formé
des séries � cIT I où chacun des cI appartient à la fermeture intégrale de Cs dans
son corps des fractions; comme Cs est japonais il existe un élément c de Cs tel que
tout élément de la clôture intégrale de (Cs)r soit de la forme � c −1 cIT I où cI est
pour tout I un élément de Cs tel que c −1 cI soit entier sur Cs.
Soit f un élément de la clôture intégrale de Cr; il appartient a fortiori àlaclôture
intégrale de (Cs)r et peut donc s’écrire � c −1 cIT I pour une certaine famille (cI)
d’éléments de Cs, le terme c −1 cI étant entier sur Cs pour tout I. Par ailleurs f est
élément du corps des fractions de Cr et est en conséquence de la forme
� γIT I
� δIT I
où les γI et les δI appartiennent à C.
Comme c appartient à Cs il existe une famille (λJ) d’éléments de C telle que
c = � λJS J .

Parties semi-algébriques d’une variété algébrique p-adique 527
Pour tout I on peut de même écrire cI = � µI,JS J où les µI,J appartiennent à C.
il vient
Partant de
c � γIT I ��
= δIT I� �
cIT I
�
λJγIT I S J = �
⎛
⎝ �
I,J
I,J
I0+I1=I
δI0 µI1,J
⎞
⎠ T I S J ,
les sommes infinies d’éléments de C étant à prendre au sens de la convergence
uniforme sur tout compact de Yan .
Comme c est non nul il existe J tel que λJ soit non nul. Fixons un tel J. Dece
qui précède découle l’égalité
�
λJγIT I = �
⎛
⎝ �
⎞
⎠ T I
que l’on peut réécrire
I
I
I0+I1=I
δI0 µI1,J
�
γITI �
δITI = � µI,J
T I ,
l’indice de sommation étant I. On reconnaît dans le membre de gauche l’élément
f ; en conséquence on a par identification c−1cI = µI,J
pour tout I.
En particulier µI,J
est pour tout I un élément du corps des fractions de C entier
λJ
sur Cs et donc, par un calcul immédiat, entier sur C. Or ce dernier est intégralement
clos par hypothèse. En conséquence µI,J
appartient à C pour tout I.Dès lors f est
élément de Cr et la démonstration du lemme est terminée. ⊓⊔
λJ
Pour prouver ii) on peut supposer que W est affinoïde. Soit r une famille de
réels strictement positifs telle que M(A)r et Wr soient strictement kr-affinoïdes.
D’après le lemme ci-dessus l’anneau Cr est normal et donc l’espace strictement
kr-analytique Yan r l’est aussi, et il en va de même de son domaine strictement
kr-analytique Wr (puisque le lieu de normalité de ce dernier est un ouvert de Zariski
qui contient tous les points rigides). De la fidèle platitude de la flèche Wr → W
(cf. [1], 2.2.4 (ii) )ondéduit que W est normal, ce qui achèveladémonstration de
la proposition. ⊓⊔
Remerciements. Je tiens à remercier tout particulièrement le rapporteur. La première
mouture de ce texte était très différente ; par ses remarques la concernant (et notamment
par sa mention d’une erreur, ou à tout le moins d’une sérieuse lacune, dans la
preuve d’un lemme) il a inspiré une refonte à peu près complète de l’article, et une
λJ
λJ

528 A. Ducros
extension des résultats initiaux. Je lui sais également gré de sa lecture attentive de
la deuxième version et des commentaires et suggestions qu’il a faits à son sujet.
Ma gratitude va aussi à Vladimir Berkovich pour la promptitude avec laquelle
il répond à mes questions, pour l’intérêt qu’il a manifesté pour ce travail et pour
ses conseils et encouragements.
References
[1] Berkovich, V.: Spectral theory and analytic geometry over non-archimedean fields,
Mathematical Surveys and Monographs 33, AMS, Providence, RI, 1990
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Etudes Sci. Publ. Math. 78, 5–161 (1993)
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Grenzgeb (3)12, Springer-Verlag, 1986
[4] Bosch, S.: Eine bemerkenswerte Eigenschaft der formellen Fasern affinoider Räume,
Math. Ann. 229, 25–45 (1977)
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approach to rigid analytic geometry, Grundl. Math. Wiss. 261, Springer-Verlag, 1984
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[8] Lipshitz, L., Robinson, Z.: Rings of separated power series and quasi-affinoid geometry.
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[9] Prestel, A.: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg
(Braunschweig), 1986
[10] Weispfenning, V. Quantifier Elimination and Decision Procedures for Valued Fields,
In: Models and Sets,Aachen, 1983, Lecture Notes in Math. 1103. 419–472, Springer-
Verlag 1984