fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_suites_reelles

Revenons à ( ), prenons
√
, quelconque (ici il n’y a pas besoin d’en prendre un en particulier,
cela marche avec tous !) et , cela montre que ( ) est vrai, autrement dit que ( ) n’est pas une
suite de Cauchy. Par conséquent
2.
a)
√ √ (√ √ )(√
√ √
√ )
D’autre part
√ √ √ √ √ √
Ce qui entraine que
√
(√ √ )
b) On applique le 2.a pour tout {
Première méthode
}
√( )
√
Puis on fait la somme de ces lignes
√
√
√
(√ √ )
(√ √ )
(√ √ )
√ √
√
√ √
√
√
√
(√( ) √ )
(√ √ )
√
(√ √ )
En simplifiant tous les termes qui se simplifient
√
√
√ √
√ √
L’inégalité de droite donne l’inégalité de gauche demandée (√ √ )
Et l’inégalité de gauche
√
(√ √ )
( )
√
Il faudrait montrer que pour tout ,
√
√
√ √
√
√ √ ( ) ( )
Seulement voilà, c’est faux !
Alors au lieu de faire la somme des premières lignes on va faire la somme des
premières lignes en ne gardant que l’inégalité de gauche.
(√ )
Ce qui entraine que
√
√