Transferts de chaleur par convection

CHAPITRE 4
Transferts de chaleur
par convection
1

Les 3 modes de transfert de
chaleur sont :
La conduction
La convection
Le rayonnement
2

Transfert par conduction
3

Transfert par convection
4

Exemple de Chauffage
Réservoir
d’expansion
Sortie de fumée
par convection
Brûleur
Convecteur
Chauffe-eau
Pompe
5

Transfert par rayonnement
6

Les 3 Modes de
transfert
Convection
Conduction
Rayonnement
7

La convection
8

Corps
chaud
(S)
Fluide chaud
ϕ
1- Généralités – Définitions
Fluide froid
(air, eau …)
Lorsque le transfert de chaleur
s’accompagne d’un transfert de
masse, il est appelé transfert
par convection.
Ce mode d’échange de chaleur
existe au sein des milieux
fluides ou lorsque un fluide
circule autour d’un solide.
9

L’étude du transfert de chaleur par convection
permet de déterminer les échanges de chaleur se
produisant entre un fluide et une paroi.
La quantité de chaleur échangée par unité de
temps dépend de plusieurs paramètres :
- la différence de température entre la paroi et le fluide ;
- la vitesse du fluide ;
- la capacité thermique massique du fluide ;
- la surface d'échange ;
- l'état de surface du solide ;
- sa dimension etc . . .
10

Selon le mécanisme qui génère le mouvement du
fluide, on distingue :
la convection naturelle
la convection forcée
11

• La convection naturelle ou libre :
Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet :
des différences de masses volumiques résultant des
différences de températures sur les frontières ;
d’un champ de forces extérieures (la pesanteur).
La convection forcée forc :
Le mouvement du fluide est induit par une
cause indépendante des différences de
température (pompe, ventilateur...).
12

Compte tenu du lien entre le transfert
de masse et le transfert de chaleur, il est
nécessaire cessaire de considérer consid rer la nature du
régime gime d’é d’écoulement.
coulement.
On distingue :
Ecoulement en régime turbulent
Ecoulement en régime laminaire
13

2 - Loi de Newton
La loi de Newton
donne l’expression
l expression
de la quantité quantit dQ
échang changée e entre la
surface d’un d un solide
à la température
temp rature
T et le fluide à la
s
température temp rature T .
f
14

2-1 1 Coefficient d'échange d' change par convection
L’étude du transfert de chaleur par convection permet de
déterminer les échanges de chaleur se produisant entre un
fluide et une paroi.
T ∞
Fluide
n
Paroi
dS
T p
La quantité de chaleur δQ qui
traverse dS pendant l’intervalle
de temps dt, peut s’écrire :
δQ = h.(T p –T ∞ ) dS.dt
h est le coefficient d’échange par convection,
il s’exprime en W/(m 2 .K)
δQ s’exprime en Joules et δQ/dt en Watts
15

Puissance
transmise (W)
Quelque soit le type de convection (libre ou
forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du
fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur
transmis est donné par la relation dite loi de
Newton :
δQ/dt = h.(T p –T ∞ ).dS
Coefficient d’échange
(W/m².k)
Différence de température entre
le corps et le fluide (K)
Surface d’échange
(m²)
16

Le problème majeur à résoudre avant le
calcul du flux de chaleur consiste à déterminer
h qui dépend de nombreux paramètres :
• caractéristiques du fluide,
• nature de l’écoulement,
• la température,
• la forme de la surface d’échange,...
17

2-2 Ordre de grandeur du coefficient h pour
différentes configurations.
Configurations
Convection naturelle:
Plaque verticale de hauteur 0,3 m dans l’air l air
Cylindre horizontal de diamètre diam tre 5 cm dans l’air. l air.
Cylindre horizontal de diamètre diam tre 5 cm dans l’eau l eau
Convection forcée: forc e:
Courant d’air d air à 2m/s sur plaque carrée carr e de 2m de
coté cot
Courant d’air d air à 35m/s sur plaque carrée carr e de
0,75m de coté cot
Eau à 0,5 kg/s dans un tube de diamètre diam tre 2,5 cm.
Courant d’air d air à 50m/s perpendiculaire/tube de 5
cm de diamètre
diam tre
Ébullition bullition de l’eau: l eau:
Dans un récipient r cipient
En écoulement coulement dans un tube
h (W.m -2. 2. K-1 )
4,5
6,5
890
12
75
3500
180
2500-35000
2500 35000
5000-10000
5000 10000
18

Ordres de grandeur du coefficient h (W.m -2 .K -1 )
convection libre (air) 5 - 25
convection libre (eau) 100 - 900
convection forcée forc e (air) 10 - 500
convection forcée forc e (eau) 100 - 15 000
convection forcée forc e (huile) 50 - 2 000
conv. conv.
f. (métaux (m taux fondus) 6 000 - 120 000
conv. conv.
f. (eau bouillante) 2 500 - 25 000
Condens. Condens.
de vapeur d'eau 50 000 - 100 000

3 - Convection naturelle
20

La particule chaude se met en mouvement et assure
directement le transfert de la chaleur vers le milieu le plus
froid : Le régime devient convectif
ρ > ρ 0
ρ 0
Cellule de convection
Flux de chaleur
21

Considérons une surface
horizontale (S) à T s au contact
d’un fluide immobile à T f .
Une particule (P) du fluide de
volume v au contact de la
surface (S) a une température
voisine de T s .
Bilan des forces agissant sur la particule (P) :
La Poussée
d’Archimède :
Le Poids :
A = ρ (T f ).v.g.k
P = - m.g = - ρ (T s ).v.g.k
k
z
(P)
(S)
La Poussée exercée sur
un objet est égale au
poids du fluide déplacé.
22

Comme Ts > T f on a bien entendu : ρ(T (Tf) ) > ρ(T (Ts) L'équation du mouvement de la particule au voisinage immédiat
de S s'écrit, selon le principe fondamental de la dynamique :
d’où :
d
2
dt
→
F ext
→
∑ = m. a
[ ρ(
Tf
) - ρ(Ts
) ] . g . v = ρ(Ts
) . v .
2
z
2
=
ρ
(T
f
)
ρ
- ρ
(T
s
)
(T
s
)
.
g
d
2
dt
z
A > P
23

L'équilibre L' quilibre mécanique m canique impose que les
parties les plus denses soient situées situ es
en dessous des moins denses. Les
mouvements dans le fluide seront
alors favorisés favoris s :
c'est le phénomène de convection naturelle.
24

Les applications de la convection naturelle
sont nombreuses :
Chauffage d'une maison (cas d'un radiateur)
Formation de courants océaniques,
oc aniques,
Formation des vents dans l'atmosphère
l'atmosph re …
25

Formation des vents dans l'atmosphère
Air Froid Air chaud
Air Froid
26

Expérience Exp rience de Bénard: B nard:
T 1 > T 2
Tourbillon de Bénard
T 2
T 1
28

4- Etude du phénom ph nomène ne de convection
Pour étudier la convection, nous allons traiter les
points suivants :
1. Couches limites
2. Nature du coefficient de convection h c
3. Détermination termination de h c : Analyse dimensionnelle
4. Méthodes thodes pratiques de calcul de h c
5. Cas particuliers importants
6. Résistance sistance thermique superficielle
7. Détermination termination expérimentale exp rimentale de h c
29

4-1 1 Couches limites
L'étude L' tude des écoulements coulements au voisinage
des parois est nécessaire n cessaire pour la
détermination termination des échanges changes
thermiques par convection entre un
solide et le fluide qui l'entoure.
30

Considérons Consid rons un fluide qui s'écoule s' coule le long d’une d une
surface S.
Y
T f ≠ T s
V
Loin de la surface, le fluide a une vitesse moyenne V m
T s
V m
et une température moyenne T m .
T m
(S)
31

Au voisinage immédiat imm diat de la surface, la
température temp rature du fluide est très tr s voisine de
celle de la surface. La vitesse du fluide est
quasiment nulle.
32

Les diagrammes des vitesses et des températures, dans la
direction y perpendiculaire à la surface, définissent une couche de
fluide appelée 'couche limite' dont la température et la vitesse ont
l’allure des courbes suivantes :
0
v
y
Tf
TS
On définit ainsi deux couches limites
y d et y t de quelques mm d’épaisseur.
y
33

Conduction
Le transfert-chaleur de la plaque vers le fluide résulte de 2 mécanismes :
- Au voisinage immédiat de la surface, le transfert se fait par
conduction ;
- Loin de la surface le transfert résulte aussi du déplacement
du fluide.
34

Dans la couche limite, si on admet que le transfert-
chaleur se fait essentiellement par conduction,
conduction,
donc sans transfert de matière mati re dans la direction y,
on peut écrire crire :
la quantité quantit de chaleur
à travers la surface (S) :
la quantité quantit de chaleur
à travers la couche limite :
Ts est la température temp rature de la surface du solide et
Tf la température temp rature moyenne du fluide assez loin de la paroi.
(1)
(2)
35

Tf = T f(y) (y) et T S = T S(y) (y)
Tf et Ts ne sont généralement g ralement pas connues pour pouvoir
déduire duire dQ à partir des égalit galités s (1) et (2).
La loi de Newton permet de contourner cette difficulté difficult
en utilisant seulement la différence diff rence de températures
temp ratures
(T s – Tf). ).
δQ
= hc
. (Ts
- Tf
) . dA . dt
36

4-2 2 Nature du coefficient de convection hc
Le coefficient hc dépend pend de plusieurs paramètres
param tres et
l’é ’échange change de chaleur est d’autant d autant plus actif, (h plus
grand) lorsque :
1- la vitesse v d'écoulement d' coulement du fluide est plus grande ;
2- sa masse volumique ρ est plus grande ;
3- sa chaleur spécifique sp cifique cp est plus grande ;
4- sa conductivité conductivit thermique λ (ou sa diffusivité diffusivit thermique a) est
plus forte ;
5- sa viscosité viscosit cinématique
cin matique ν (m 2 .s -1 ) = µ/ρ est plus faible ;
hc peut également galement dépendre d pendre des dimensions de la
paroi, de sa nature et de sa forme.
37

En première premi re approximation on peut écrire crire :
h c = h c (c p, λ, µ, D, ρ, v)
La nature de l'écoulement l' coulement du
fluide (laminaire
( laminaire ou turbulent)
turbulent)
a beaucoup d'importance sur le
transfert de chaleur.
L'écoulement
L' coulement turbulent est beaucoup plus favorable
aux échanges changes convectifs car le
transfert chaleur par transfert
de masse se superpose au
Transfert-chaleur
Transfert chaleur par conduction.
38

Le grand nombre de facteurs influant sur le transfert de
chaleur par convection explique la difficulté difficult de toute étude tude
théorique, th orique, voire expérimentale
exp rimentale, , surtout si les coefficients qui
caractérisent caract risent la matière mati re varient avec la pression et la
température.
temp rature.
La grande variabilité variabilit des valeurs du coefficient de convection
obtenues à partir des formules empiriques rendent leurs
utilisation difficile voire impossible, sauf dans des domaines
très tr s limités limit s et bien détermin d terminés. s.
Convection libre
Convection forcée forc e (gaz)
Convection forcée forc e (liquide)
Conv. Conv.
chang. chang.
de phase (condens ( condens. . ébul bul.) .)
5 - 25
25 - 250
50 - 20 000
2 500 - 100 000
39

La méthode m thode utilisant l’analyse analyse dimensionnelle
semble être la plus aisée ais e dans sa mise en œuvre vre
pour la détermination d termination de l’expression l expression du coefficient
de convection hc .
Elle ne permet cependant pas d’é d’établir
tablir les lois,
mais de prévoir pr voir leur allure.
40

4-3 3 Détermination D termination de hc par la méthode m thode de l'analyse
dimensionnelle
Supposons que h c soit une fonction des variables :
c : chaleur spécifique (J.kg -1 .K -1 )
λ : conductivité thermique (W.m -1 .K -1 )
µ : viscosité dynamique (kg.m -1 .s -1 )
v : vitesse (m.s -1 )
d : dimension caractéristique (m)
µ
ν = : viscosité cinématique : (m²/s)
ρ
h c = h c (c, λ, µ, d, v ) ; (W.m -2 .K -1 )
hc est aussi fonction implicite de la température temp rature T puisque ρ, , c et λ en
dépendent. pendent.
Ces variables n'interviennent pas toutes en même temps.
41

Utilisons les équations quations aux dimensions de chaque terme
[ ] [ ] [ ] [ ] -2
δQ
=
énergie
[ conductivité
thermique λ]
[ chaleur spécifique c]
=
=
force
[ vitesse v]
[ δQ]
2 -2
-1
M. θ
L’é ’équation quation aux
dimensions de hc est
obtenue à partir de la loi
de Newton :
=
L
.
[ δQ]
3 -1
= =
L.T. θ
.T
déplacement
[ h ]
c
. θ
=
M.L.T
=
L
T
[ viscosité dynamique µ ]
[ δQ]
[ (T - T ) ][ . dA][
. dt]
s
f
- .
θ
=
=
=
M.L
M
L.T
M.T
-3
2 .T
. θ
-1
42

En écrivant crivant [h [ c] ] sous la forme :
a
b
[ h ] = [ c]
. [ λ]
. [ µ ] . [ d]
. [ v]
c
Ou encore :
[ ] ( 2 -2
-1
)
a
( -3
-1
)
b
( -1
-1
h L.T
. M.
L.
T . M.
L . T )
c
( L)
d ( -1
= θ θ
L.T
)
c
c
d
e
e
= M.T
Les grandeurs fondamentales intervenant dans le calcul de h c sont :
la masse M, le temps T, la longueur L, la température
temp rature θ
L’identification identification des exposants dans l’é l’équation
quation aux
dimensions de hc fournit un système syst me linéaire lin aire d’é d’équations
quations
permettant de calculer a, , b, , c, , d et e.
-3
43
. θ
-1

( 2 - 2 -1
)
a
( - 3 -1
)
b
( -1
-1
L .T . M . L.
T . M . L . T )
c
( L )
d
( -1
θ
θ
L .T )
Ainsi :
l’exposant de M b + c = 1
l’exposant de θ a + b = 1
e
=
M.T
l’exposant de L 2a + b - c + d + e = 0
l’exposant de T 2a + 3b + c + e = 3
- 3
44
. θ
-1

La résolution r solution des équations quations aux dimensions fait
apparaître appara tre des nombres sans dimension très tr s
utiles dans l'étude l' tude de la mécanique m canique des fluides et
en particulier dans les phénom ph nomènes nes convectifs.
Ces nombres sont en particulier :
1 - Le nombre de Reynolds
2 - Le nombre de Nusselt
3 - Le nombre d’ d Eckert
4 - Le nombre de Grashof
5 - Le nombre de Prandtl
45

Le nombre de Reynolds
Le régime d’écoulement d’un fluide peut être laminaire ou
turbulent. Le passage d’un régime à un autre est
caractérisé par le nombre de Reynolds :
Re =
v.d
ν
L’expérience montre que pour R e inférieur à une valeur
critique R ec , l’écoulement dans une conduite est toujours
laminaire
On peut admettre la valeur 2200 pour R ec .
46

Le nombre de Nusselt
Il caractérise l'importance de la convection par rapport à la
conduction :
C’est le rapport de la quantité de chaleur échangée par
convection h.S.∆T à une quantité de chaleur échangée par
conduction λ.S.∆T/d :
Nu
=
Remarque:
h.S. ∆T
∆T
λ.S.
d
Nu
=
λ
d h.
Nu est fonction directe de h c, , sa connaissance permet de
déterminer terminer la valeur de h c.
47

Le nombre d'Eckert :
Caractérise la dissipation
d'énergie par frottement au sein
du fluide (dégradation de
l’énergie mécanique en chaleur).
Le nombre de Grashof :
Caractérise la force de viscosité
du fluide.
β p : facteur de dilatation volumique du fluide
Le nombre de Prandtl :
2
ν
c ∆T
Gr =
gd
µc
Caractérise la distribution des
vitesses par rapport à la
Pr =
distribution de la température. λ
p
3βp∆T 2
ν
p
48

4-4 4 Méthode thode pratique de calcul de hc
Avant de procéder proc der au calcul de h c il faut bien savoir :
1- si le fluide est liquide ou gaz
2- l'intervalle de température
temp rature du fluide
3- s'il s'agit d'une convection naturelle ou
forcée forc
4- si le régime gime d'écoulement
d' coulement est laminaire ou
turbulent.
5- si le fluide est en contact avec une surface
plane, plane,
circule entre deux surfaces planes
ou circule dans un tube…
tube
49

Les différentes diff rentes phases de calcul
Calculer R e et le comparer à Rec ec ;
Si Re < Rec ec le régime r est dit
gime est dit laminaire,
laminaire,
Re > Rec ec le régime r gime est dit turbulent ;
Utiliser l'une des formules empiriques données donn es pour
déterminer terminer hc ;
Calculer δQ par la formule de Newton et intégrer int grer pour
avoir Q.
50

a - Ecoulement tubulaire :
Nombre de Reynolds critique : R ec = 2200
Généralement les écoulements sont forcés et le
régime est turbulent et
avec :
Formules utilisées
Nu = 0,023 . Pr 1/3 . Re 4/3
Formule connue sous le nom 'formule de ‘Colburn’
Vd
=
ν
ρVd
Re = µ
d est le diamètre du tube
51

- Ecoulement plan :
Nombre de Reynolds critique : R ec = 3.10 5
Convection naturelle:
Ecoulement laminaire :
Convection forcée:
Ecoulement laminaire :
Nu = 0,479.Gr 1/4 , Re < Rec
Ecoulement turbulent : Nu = 0,13.(Gr.Pr) 1/3 , Re > Rec
Nu = 0,66 Pr 1/3 Re 1/2 , Re < Rec
Ecoulement turbulent : Nu = 0,036 Pr 1/3 Re 4/5 , Re > Rec
52

Exemple de calcul :
De l'air à 5 °C C circule sur une surface plane de
75 cm de long et 30 cm de large à la
température temp rature 71 °C, C, avec une vitesse moyenne
de 26,8 m/s.
V=26,8 m/s
75 cm
30 cm
Calculer la puissance-chaleur
puissance chaleur échang changée e entre
l'air et la surface.
53

Données :
Température de l'air : Tair = 5 °C
Masse volumique de l'air : ρ = 1,136 kg/m3 Chaleur spécifique isobare de l'air : cp = 1 J.g-1 .K-1 )
Viscosité dynamique de l'air : µ = 1,91 10-5 Poiseuille (kg.m-1. s-1 )
Conductivité de l'air : λ = 0,027 W.m -1 .K -1
Calcul du nombre de Reynolds
V.
L V.
L.
ρ 26,8x0,75x1,136
Re = = =
= 1,2.10
ν µ
−5
1,
91x10
Re > 3.10 5 → le régime r gime d’é d’écoulement
coulement est turbulent
V = 26,8 m/s = 96,5 km/h km/h
→ la convection est forcée forc
Nombre de Nusselt
6
Nu = 0,036 Pr 1/3 Re 4/5
54

Nombre de Prandtl
•
Pr
=
µ . c
λ
p
-5
1,91.10 .10
=
0,
027
3
=
0,711
Nu = 0,036.(0,711) 1/3 .(1,2.10 6 ) 4/5 = 2346
λ.
Nu 0,027.2346
h c = =
= 84,5
L 0,
75
Q = hc
.(Ts
- Tair
).S =
W.m
84,5.(71-
5).0,75.0, 3
-2
.K
= 1255
-1
W
55

4-5 5 Cas particuliers importants
1 - Convection entre deux plans à
températures temp ratures différentes.
diff rentes.
2 - Cas des parois en contact avec
l'air atmosphérique.
atmosph rique.
56

1 - Convection entre deux plans parallèles,
parall les, à
températures temp ratures différentes
diff rentes: :
La circulation d'un fluide entre deux plans, pour des volumes
limités, se rencontre très fréquemment :
- vitre au dessus de la partie absorbant d'un capteur solaire,
- effet de serre en général, …
Si la distance entre S 1 et S 2 est suffisamment grande, il y a mise
en circulation naturelle du fluide de S 1 vers S 2 si T S1 > T S2
57

La puissance chaleur échang changée e par convection entre les
deux plaques s'écrit s' crit :
•
Q
v
= h
c1
. (T
S1
- T
f1
) . A = h
c2
. (T
f2
- T
S2
) . A
T f1 et T f2 : températures du fluide au voisinage des surfaces S 1 et S 2 .
Si T f1 = T f2 = T f , on peut écrire :
h
c1
. (T
S1
•
- T
Q
f
v
)
= h
h
c1
c2
. (T
S1
. (T
- T
f
- T
On introduisant le coefficient de
transfert chaleur :
On peut écrire :
=
f
) . A = h
•
S2
Q
v
)
h
c
=
h
=
h
c2
c1
h
c1
. (T
h
c1
.h
c1
+ h
f
c2
.h
c2
- T
c2
+ h
c2
S2
T
. ( T
f
s1
) .A
=
−T
h
s2
c1
.T
h
) . A
s1
c1
+
+
h
h
c2
c2
.T
58
s2

Si l’épaisseur x du fluide est petite, on peut admettre que le
transfert par convection est négligeable devant le transfert par
conduction. La puissance chaleur transmise par conduction serait
alors :
• λ f
Q d = . ( TS1
− TS2
x
) . A
Le rapport de ces deux puissances est un nombre de Nusselt
particulier :
•
Q
•
Q
v
d
=
h
c
λ
On constate que si x est petit, Qv
est petit par rapport à Qd
. x
f
•
=
N
* u
•
59
.

Formules à utiliser :
Nu* = K.(Gr. Pr) n
K et n sont des constantes dépendant de l'inclinaison des plans et de leur géométrie.
Pour des plans verticaux,
* u
N
hc
x ⎛ L
= = 0,2 . ⎜
λ ⎝ x
.
⎞
⎟
⎠
−
1
9
⎛
⎜
.
⎜
⎝
g.
x
3
. β
ν
p
2
. ∆T
µ . c
.
λ
hc étant tant détermin d terminé, , on déduit d duit
Q = hc.(T .(TS1 S1 – TS2).A S2).A
Pour des plans horizontaux,
* u
N
h x
⎛
c ⎜
= = 0,21 .
λ ⎜
⎝
g.
x
3
. β
ν
p
2
. ∆T
µ . c
.
λ
p
1
n = et
4
⎞
⎟
⎟
⎠
p
1
3
⎞
⎟
⎟
⎠
1
4
1
n = et
3
⎛ L ⎞
K = 0,2.
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
K = 0,21
Pour des inclinaisons intermédiaires, n et K sont
différents.
1
−
9
60

2 - Cas des parois en contact avec l’air l air
atmosphérique
atmosph rique: :
Pour traiter les problèmes probl mes de l'air atmosphérique
atmosph rique
au contact des parois, plusieurs formules
empiriques sont utilisées. utilis es.
La plus utilisée utilis e est :
hc = 5.7 + 3.8 v
v en (m/s) et hc en (W.m -2. 2. K-1 )
Les tableaux suivants sont d'un emploi très tr s Commode.
Commode
61

Convection naturelle
Convection forcée
Vitesse en m.s -1
h c en W.m -2 .K -1
Valeur de h c en W.m -2 .K -1
Ecart de température Air-Paroi
Exemple : De l'air circule sur la face verticale externe d'un mur, avec une vitesse de
5 m/s. m/s.
La température temp rature de surface du mur est 20 °C, , celle de l'air est 10 °C.
La convection étant tant forcée, forc , la densité densit de flux de chaleur échang changée e par convection est,
dans ce cas :
ϕ
=
h
2
c .( Ts1
− Ts
2 ) = 23.
(20 -10)
= 230 W/m
62

Pour le calcul des charges thermiques des
bâtiments, on prend généralement g ralement :
1
= 0,11m
h
ci
2
.K.W
-1
Soit hci ci = 9,09 W.m -2 .K -1
pour une paroi verticale
en contact avec l'air
intérieur int rieur d'une salle
(conv conv. . naturelle).
1
=
h
ce
0,06
m
2
.K.W
-1
et hce ce = 16,67 W.m -2 .K -1
comme valeur moyenne
pour une paroi verticale
en contact avec l'air
extérieur ext rieur.
Pour des sites très tr s exposés expos s au vent (immeuble de grande
hauteur par exemple), on augmente la valeur de hce. ce
63

3 - Résistance sistance Thermique superficielle :
Considérons Consid rons un fluide de température
temp rature T1 qui circule
au voisinage d’une d une paroi de température
temp rature T2. . La
densité densit de flux de chaleur échang changée e s'écrit s' crit :
ϕ = hc(T (T1 – T2 )
1
(T1 - T2
) = . ϕ = R th . ϕ
h
L'analogie avec la loi d’Ohm d Ohm
permet de définir d finir la résistance r sistance
thermique superficielle Rth. th.
c
1
R = (m
th h
2 .K.W-1 )
c
64

4 - Détermination termination expérimentale exp rimentale de hc :
On considère consid re un écoulement coulement laminaire d'un fluide
dans un tube cylindrique. La surface latérale lat rale du
cylindre est maintenue à température temp rature constante T 0
(chauffage à l'aide d'une résistance
r sistance électrique lectrique
intégr int grée e dans la surface). On fixe le débit d bit du fluide
dans le tube et on mesure les températures temp ratures d'entrée d'entr e
T1 et de sortie T 2 du fluide.
65

L'équation L' quation qui régit r git les échanges changes de chaleur entre la
surface A du cylindre et le fluide s'écrit: s' crit:
•
Q
= •
m
f
. c
p
. (T
Tf est la température temp rature moyenne du fluide qui circule
dans le tube :
T
f
2
=
- T
T1
T
2
+
On obtient ainsi une valeur moyenne de h c généralement
suffisante pour les calculs des installations industrielles.
1
)
=
h
2
c
. (T
0
- T
f
)
66

5 - Transfert de chaleur d'un fluide à un autre à travers
une paroi
Ce problème probl me se rencontre fréquemment fr quemment dans les échangeurs changeurs de chaleur.
Paroi plane
En régime r gime stationnaire, le flux de chaleur à travers une surface S donnée donn e
est conservatif. Il est donc aisé ais d'exprimer l'égalit l' galité des flux de chaleur :
.
λ
Q =
h c1 . S.
(T1
- Tp1
) = . S.
( Tp1
− Tp
2 ) = h c2 . S.
(Tp2
- T2
e
)
67

d'où d'o :
T
1
- T
p1
=
h
.
Q
c1
. S
Tp1 - Tp2
=
⋅
Q.
e
λ.
S
T
p2
- T
En ajoutant membre à membre ces équations, on obtient :
ou encore :
Posons :
T
1
- T
2
=
.
Q ⎛ 1
. ⎜
S ⎜
⎝ h
c1
+
e
λ
+
h
1
c2
. 1
Q =
. S.
(T1
- T2
1 e 1
+ +
h λ h
k
c1
=
h
1
c1
+
l’équation précédente devient donc : =
k . S.
(T - T )
c2
1
e
λ
+
h
1
c2
⎞
⎟
⎠
)
2
=
h
.
Q 1 2
.
Q
c 2
. S
68

k étant tant le coefficient de transfert global (en W.m -2 .k -1 ),
1
et R = est la résistance r sistance thermique globale.
k
Dans le cas d'une paroi plane composée (épaisseurs e1 , e2 , e3 …et
conductivités λ1 , λ2 , λ3 …), le même calcul conduit à la résistance
thermique globale :
soit :
1
k
1
= (
h
c1
1
k
+
=
e
λ
h
1
1
1
c1
+
e
λ
2
2
+
e
+ ∑
λ
i
i i
e
λ
3
3
+
+ ... +
1
h
c2
h
1
c2
)
69

Paroi tubulaire
Rappel :
Mur :
Cylindre :
En régime r gime stationnaire,
l'égalit l' galité des flux de chaleur donne :
71

Paroi tubulaire
.
2πL
Q = h ce .D e . π.L.(Te
- Tpe
) = λ.
.( Tpe
- Tpi
) = h ci .Di
. π.L.(Tpi
- Ti
D e
ln ( )
D
Un calcul analogue à celui de la paroi plane conduit à :
i
.
πL
Q =
.( Te
- Ti
1 1 De
1
+ .ln ( ) +
h .D 2λ
D h .D
ce
e
.
Q = k.L.(
Te
- Ti
Avec k le coefficient de transfert global (en W.m-2 .K-1 ), et
1/k la résistance thermique globale.
Dans le cas d'un tube à
paroi composée :
k =
h
1
.D
1
+ ∑
2λ
π
D
. ln (
D
i
ce
ci
)
e
i
)
e
i i i
) +
h
ci
1
)
.D
72
i

Application:
Calculer les températures des deux faces d'un mur
d'épaisseur 0,4 m.
On donne:
. λ = 0,813 W.m -1 .K -1
. Te = -15 °C
. Ti = 20 °C
. h ce = 25 W.m -2 .K -1
. h ci = 8,33 W.m -2 .K -1
73

La résistance thermique globale :
1
k
=
h
1
ce
+
e
λ
+
h
1
ci
=
1
25
+
0,4
0,813
Soit : k = 1,534 W.m -2 .K -1
1
+ = 0,652
8,33
Avec Ti –Te = 35 °C, on a : Q = k.S.(T − T )
Q&
et = k . (Ti
− Te
) = 1,534 x 35 = 53,69 W/m²
S
Or :
D’où :
Q&
S
= h
ci
. (T
i
−
T
pi
&
λ
) =
e
Q&
(T
i
− T
pi
) = = 6,45 ° C
h
ci
.S
e Q&
(T
pi
− T
pe
) = = 26,42 ° C
λ S
. (T
pi
i
−
T
pe
e
)
= h
ce
. (T
pe
−
74
T
e
T pi = 13,55 °C.
T pe = -12,87 °C
)

C - Echange de chaleur à travers la paroi d'un
tube de chaudière chaudi re :
En désignant par hc1 et hc2 les coefficients de convection
fluide-paroi de chaque côté de
la paroi d’un tube de chaudière,
la densité de flux de chaleur se
conserve en régime permanent,
et on a :
ϕ
= h c1
. (T1
−
T
'
1
)
λ
=
e
. (T
'
1
−
T
'
2
)
= h c2
. (T
'
2
−
T2
)
75

Un tube de chaudière a en général une paroi très mince.
La densité de flux de chaleur qui la traverse a pour expression :
ϕ = k.(T 1 – T2) Pour (T1 –T2 ) fixe, il faut avoir évidemment k aussi fort que
possible afin de limiter le dimensionnement de l'installation.
T 1
Air
Eau
T 2
e
Air
T 1
76

Pour que k soit fort, il faut que 1/h c1 ,
1/h c2 et particulièrement e/λ soient
faibles (e faible, λ fort)
1
=
k
h
1
c1
e
+ +
λ
Il faut tenir compte des contraintes mécaniques grâce à la formule :
h c1 hc2
e
=
PD
εR
P est la pression interne,
D le diamètre du tube
R la charge de rupture du métal à la
température ambiante
e un paramètre qui tient compte de la
température du métal et d'un coefficient de
77
sécurité.
h
1
c 2

En général, e/λ est très faible dans une chaudière
Dans ce cas :
La température
moyenne du tube est :
D'autre part on a :
l'eau est beaucoup plus convectif que le gaz.
ϕ
=
k . (T1
−
T2
)
λ
=
e
. (T
'
1
−
T
'
2
)
78

Mais : hc2(eau) c2(eau)
>> k, k → T’ 2 - T2

Exemple : Tubes de chaudière – transvasement
avec changement d'état
Considérons le tube
d’une chaudière en
acier alimenté par un
fluide (eau) qui change
d’état lors de son
transvasement dans
l’échangeur.
Prenons comme
valeurs :
h c1 = 30 W/m 2 K
h c2 = 5000 W/m 2 K
λ acier = 50 W/mK
256,4 °C
255 °C
80

La densité de flux de chaleur traversant la paroi est : ϕ = k(T 1 -T 2 )
avec :
1
h
c1
ϕ = 0,033593 et k = 29,8 W/m 2 K
1
h
c2
et k(T 1 -T 2 ) = h c1 (T 1 -T’ 1 ) = h c2 (T’ 2 -T 2 )
d’où la répartition des températures :
T 1 -T’ 1 = 743,4 °C
T’ 1 -T’ 2 = 1,4 °C
T’ 2 -T 2 = 5 °C
1
k
=
Notons la grande différence de températures du coté du
fluide chaud. Les températures de la paroi sont comme suit :
T’ 1 = 256,4 °C
T’ 2 = 255,0 °C
+
e
λ
+
81

Autres exemples : voir TD
------------- Fin du Chapitre 3 --------------
82