Cours 4. La connexité 1 Espaces connexes 2 Partitions - LATP
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Université de Provence<br />
Topologie 2<br />
1 <strong>Espaces</strong> <strong>connexes</strong><br />
<strong>Cours</strong> <strong>4.</strong> <strong>La</strong> <strong>connexité</strong><br />
Définition. Un espace topologique non vide X sera dit connexe si les seules<br />
parties de X à la fois ouvertes et fermées sont la partie vide et la partie<br />
pleine.<br />
Exemple 1. (Voir dessin: deux disques fermés dans la plan, situés de<br />
part et d’autre de l’axe vertical.) L’ensemble Y n’est pas connexe. En effet<br />
le disque A de gauche est bien une partie non vide et non pleine. Il est<br />
visiblement fermé dans le plan et donc dans Y (pour la topologie induite!).<br />
Par ailleurs son complémentaire B dans Y est aussi fermé dans le plan et<br />
dans Y donc A (qui n’est pas ouvert dans le plan) sera ouvert dans Y (pour<br />
la topologie induite).<br />
Exemple 2. (Autre dessin: un seul disque fermé.) L’ensemble X est connexe,<br />
nous verrons plus loin les outils qui permettent de le démontrer.<br />
Remarque. <strong>La</strong> notion d’espace connexe sert à formaliser mathématiquement<br />
l’idée d’espace “d’un seul tenant”.<br />
2 <strong>Partitions</strong><br />
Définition. Soit X un ensemble. Un ensemble P de parties non vides de X<br />
sera appelé une partition de X si tout élément de X appartient à un élément<br />
de P et un seul.<br />
Autrement dit une partition de X est un ensemble de parties de X non<br />
vides, disjointes et de réunion X tout entier.<br />
Exemple 1. Un ensemble à deux éléments {A, B} admet deux partitions:<br />
1){A}, {B}<br />
2){A, B}<br />
Exemple 2. Un ensemble à trois éléments {A, B, C} admet cinq partitions:<br />
1){A}, {B}, {C}<br />
2){A, B}, {C}<br />
3){A, C}, {B}<br />
1
4){B, C}, {A}<br />
5){A, B, C}<br />
Exemple 3. Une partition de R:<br />
R ∗ − , {0}, R∗ + .<br />
On peut donner d’autres définitions (équivalentes) de la <strong>connexité</strong>:<br />
Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet<br />
pas de partition en deux ouverts.<br />
Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet<br />
pas de partition en deux fermés.<br />
3 Lien avec la notion de frontière<br />
Dans un espace topologique X, la frontière d’une partie A est le complémentaire<br />
de int(A) dans adh(A).<br />
Fr(A) = adh(A)\int(A) = {x ∈ adh(A) | x ∈ int(A)}.<br />
Notons B le complémentaire de A dans X. Alors, en se souvenant que les parties<br />
int(A) et adh(B) sont complémentaires l’une de l’autre, on peut écrire:<br />
Fr(A) = adh(A) ∩ adh(B) = Fr(B).<br />
Remarque. Un point de la frontière sera donc un point adhérent à la fois<br />
à A et à son complémentaire B.<br />
Exemple. Dans le plan euclidien, la frontière d’un disque (ouvert ou fermé)<br />
sera le cercle de même centre et de même rayon.<br />
Remarque. Dans la suite d’inclusion:<br />
int(A) ⊂ A ⊂ adh(A)<br />
la première inclusion sera une égalité si et seulement si A est un ouvert et<br />
la seconde si et seulement si A est un fermé. Donc A sera à la fois ouvert<br />
et fermé si et seulement si son intérieur est égal à son adhérence. Autrement<br />
dit, les parties à la fois ouvertes est fermées sont celles dont la frontière est<br />
vide. Dire d’un espace topologique non vide X qu’il est connexe revient donc<br />
à dire que dans X, toutes les parties ont une frontière non vide, sauf bien sûr<br />
la partie vide et la partie pleine.<br />
2
4 Les intervalles<br />
Il est temps de donner des exemples d’espaces <strong>connexes</strong>.<br />
Définition. Un intervalle est une partie I de R qui vérifie:<br />
∀a ∈ I ∀b ∈ I ∀x ∈ R (a < x < b) ⇒ (x ∈ I)<br />
Proposition. Les intervalles non vides sont <strong>connexes</strong> (pour la topologie induite!).<br />
Démonstration. Soit I un intervalle non vide. Supposons par l’absurde<br />
qu’il existe une partition de I en deux ouverts non vides A et B. Choisissons<br />
deux points a ∈ A et b ∈ B. Sans perte de généralité, on peut les supposer<br />
dans l’ordre (a < b). Posons:<br />
A ′ =] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])<br />
On va prouver que A ′ est une partie de R à la fois ouverte, fermée, non vide<br />
et majorée. Elle est non vide car elle contient a et elle est majorée par b.<br />
Comme A est un ouvert de I (pour la topologie induite!), on peut choisir<br />
un ouvert O de R vérifiant A = I ∩ O. Alors:<br />
A ′ = ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])<br />
= ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b[)<br />
(car b n’appartient pas à A)<br />
= ] − ∞, a[∪(I ∩ O ∩ [a, b[)<br />
= ] − ∞, a[∪(O ∩ [a, b[)<br />
(car [a, b[ est inclus dans I)<br />
A ′ = ] − ∞, a[∪(O∩] − ∞, b[).<br />
Cette dernière formulation permet de voir que A ′ est bien ouvert dans R car<br />
] − ∞, a[, O et ] − ∞, b[ le sont.<br />
Comme A est un fermé de I, on peut choisir un fermé F de R vérifiant<br />
A = I ∩ F. Alors:<br />
A ′ = ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])<br />
= ] − ∞, a] ∪ (A ∩ [a, b])<br />
(car a appartient à A ∩ [a, b])<br />
= ] − ∞, a] ∪ (I ∩ F ∩ [a, b])<br />
= ] − ∞, a] ∪ (F ∩ [a, b])<br />
(car [a, b] est inclus dans I).<br />
3
Cette dernière formulation permet de voir que A ′ est fermé dans R, en effet<br />
] − ∞, a], F et [a, b] le sont.<br />
On a donc bien prouvé que A ′ était une partie de R à la fois ouverte,<br />
fermée, non vide et majorée. C’est contradictoire car on a vu en TD qu’il<br />
n’existait pas, dans R, de telles parties.<br />
Rappelons brièvement l’argument vu en TD. Un telle partie A ′ étant<br />
non vide et majoré, elle admettra une borne supérieure dans R. Comme A ′<br />
est fermée dans R, cette borne sera un maximum. Mais, par ailleurs, A ′ est<br />
ouverte dans R et donc n’atteint pas de maximum. Contradiction.<br />
Exemple. Notamment, R lui-même est connexe.<br />
Remarque. Dans la démonstration, on a utilisé la propriété essentielle de<br />
la droite réelle qui mérite d’être rappelée:<br />
Proposition. Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne<br />
supérieure.<br />
On ne démontre pas cette proposition, elle découle directement de la<br />
construction des nombres réels (la construction de Dedekind).<br />
Proposition. Réciproquement, toute partie connexe de R est un intervalle<br />
(non vide par définition d’un espace connexe).<br />
Démonstration. Soit P une partie de R qui n’est pas un intervalle. Alors<br />
on peut choisir trois réels a < b < c de telle sorte que a et c soient des points<br />
de P mais pas b. Posons A = P ∩] − ∞, b[ et B = P ∩]b, + ∞[. Les parties A<br />
et B ne sont pas vides car l’une contient le point a et l’autre le point c.<br />
et:<br />
A ∩ B = P ∩] − ∞, b[∩]b, + ∞[= P ∩ ∅ = ∅<br />
A ∪ B = P ∪ (] − ∞, b[∩]b, + ∞[) = P \{b} = P<br />
car P ne contient pas le point b. Ces parties A et B sont ouvertes dans P<br />
pour la topologie induite. Elles ne sont pas vides car l’une contient le point<br />
a et l’autre le point c.<br />
On a trouvé une partition de P en deux ouverts donc P n’est pas connexe.<br />
Exemples. <strong>La</strong> partie R∗ n’est pas connexe. Il est facile d’en donner une<br />
partition en deux ouverts: R∗ + et R∗− . <strong>La</strong> partie Z n’est pas connexe non plus:<br />
toutes les parties de Z sont ouvertes et fermées!<br />
4
5 Image continue d’un espace connexe<br />
<strong>La</strong> <strong>connexité</strong> est une propriété qu’on a définie en termes d’ouverts et de<br />
fermés. C’est donc une propriété topologique et on en déduit immédiatement<br />
une proposition évidente.<br />
Proposition. Un espace topologique homéomorphe à un espace connexe sera<br />
connexe lui aussi.<br />
Cette proposition est un cas particulier d’une autre proposition que nous<br />
énonçons:<br />
Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques<br />
X et Y . On suppose connexe l’espace de départ X et on suppose f<br />
surjective. Alors l’espace d’arrivée Y sera connexe.<br />
Démonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention)<br />
et contiendra un élément x et donc Y sera non vide puisqu’il contiendra f(x).<br />
Par l’absurde, supposons Y non connexe. Alors on peut choisir dans Y<br />
deux ouverts non vides A et B d’intersection vide et de réunion Y . Leur<br />
images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront ouvertes par continuité de f.<br />
Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l’image réciproque<br />
se comporte bien pour les opérations ensemblistes. Enfin comme A et B sont<br />
non vides et f surjective, les images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront non<br />
vides. On a donc trouvé une partition de X en deux ouverts (non vides), ce<br />
qui contredit la <strong>connexité</strong> de X.<br />
Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques<br />
X et Y . On suppose connexe l’espace de départ X. Alors l’image de<br />
f sera une partie connexe de Y .<br />
Démonstration. Posons:<br />
f :<br />
X → Im(f)<br />
x ↦→ f(x)<br />
(C’est f sauf qu’on a réduit l’espace d’arrivée pour la rendre surjective.)<br />
Vérifions que l’application f est continue. Soit U une partie de Im(f) ouverte<br />
dans Im(f). Alors il existe un ouvert O de Y qui vérifie: U = Im(f) ∩ O.<br />
Alors f −1 (U) est égal à f −1 (O) qui est ouvert par continuité de f.<br />
L’application f est surjective par défintion et on a prouvé qu’elle était<br />
continue donc son espace d’arrivée Im(f) est connexe.<br />
5
Exemple 1. Le cercle unité est connexe, en effet c’est l’image du connexe<br />
R par l’application continue:<br />
R → C<br />
x ↦→ exp(ix)<br />
Exemple 2. Plus généralement, soit f une application continue d’un intervalle<br />
réel vers le plan R 2 . Alors la courbe Im(f) sera une partie connexe<br />
du plan R 2 .<br />
6 Le théorème des valeurs intermédiaires<br />
Proposition. Soit f une fonction continue d’espace de départ un intervalle<br />
réel et d’espace d’arrivée R. Alors Im(f) est un intervalle réel.<br />
Démonstration. L’espace de départ étant un intervalle non vide, il sera<br />
connexe (on écarte le cas évident d’un intervalle vide). Alors Im(f) sera<br />
l’image continue d’un espace connexe donc sera connexe, or on sait que les<br />
seules parties <strong>connexes</strong> de R sont les intervalles non vides donc Im(f) sera<br />
un intervalle.<br />
7 Composantes <strong>connexes</strong><br />
Définition. Soit X un espace topologique et a un point de X. On appelle<br />
composante connexe de a dans X la réunion de toutes les parties <strong>connexes</strong><br />
de X qui contiennent a.<br />
Exemple. (Faire un dessin, toujours le même exemple). Dans Y , la composante<br />
connexe du point P sera le disque A qui contient P. Nous verrons<br />
plus loin les outils qui permettent de le démontrer. On peut déjà voir (exercice)<br />
que toute partie connexe de Y contenant le point P est nécessairement<br />
incluse dans A.<br />
Proposition. <strong>La</strong> composante connexe d’un point a dans un espace topologique<br />
est connexe (pour la topologie induite) et contient le point a.<br />
Démonstration. Il existe au moins une partie connexe contenant le point<br />
a: le singleton {a}. Donc la composante connexe Ca de a contient a.<br />
Supposons par l’absurde que Ca ne soit pas connexe. Alors on peut choisir<br />
une partition de Ca en deux parties A et B ouvertes dans Ca. Il existe des<br />
6
parties A ′ et B ′ ouvertes dans l’epace topologique X qui verifient A = Ca ∩A ′<br />
et B = Ca ∩ B ′ .<br />
Sans perte de généralité, on peut supposer que c’est la partie A qui<br />
contient le point a et on choisit un point b dans la partie non vide B. Comme<br />
le point b appartient à Ca, on sait qu’il existera une partie connexe Y de X<br />
qui contiendra les points a et b. Les deux parties A ′′ = Y ∩A ′ et B ′′ = Y ∩B ′<br />
sont bien sûr ouvertes dans Y (pour la topologie induite). Elles ne sont pas<br />
vides car l’une contient a et l’autre b. Calculons leur intersection et leur<br />
réunion.<br />
A ′′ ∩ B ′′ = Y ∩ A ′ ∩ B ′<br />
= Y ∩ Ca ∩ A ′ ∩ B ′<br />
(car Y est incluse dans Ca)<br />
= Y ∩ A ∩ B<br />
= ∅<br />
A ′′ ∪ B ′′ = Y ∩ (A ′ ∪ B ′ )<br />
(par définition de A ′ et de B ′ )<br />
(car A et B forment une partition de Ca)<br />
= Y ∩ Ca ∩ (A ′ ∪ B ′ )<br />
(car Y est incluse dans Ca)<br />
= Y ∩ (A ∩ B)<br />
(par définition de A ′ et de B ′ )<br />
= Y ∩ Ca<br />
(car A et B forment une partition de Ca)<br />
= Y<br />
(car Y est incluse dans Ca).<br />
Les parties A ′′ et B ′′ forment donc une partition de Y en deux ouverts ce qui<br />
contredit la <strong>connexité</strong> de Y .<br />
Remarque. On peut donc dire que la composante connexe de a dans X<br />
est la plus grande partie connexe de X qui contienne a (“plus grande” au sens<br />
de l’inclusion).<br />
Exemple. Dans R ∗ , la composante connexe du nombre 7 est R ∗ +. En effet<br />
on sait que les parties <strong>connexes</strong> de R sont les intervalles non vides et le plus<br />
7
grand intervalle contenant 7 inclus dans R ∗ est R ∗ + .<br />
Définition. On dira de deux points a et b d’un espace topologique X qu’ils<br />
sont connectés dans X s’il existe une partie connexe de X qui les contienne<br />
tous les deux.<br />
Proposition. Sur un espace topologique, la relation “être connecté à” est une<br />
relation d’équivalence.<br />
Démonstration. Reflexivité. Soit a un point. On a déjà remarqué qu’il y<br />
a au moins une partie connexe qui contient a: le singleton {a}. Donc a est<br />
bien connecté à lui-même.<br />
Symétrie. Cette relation a visiblement été définie de façon symétrique.<br />
Transitivité. Soient trois points a, b et c. On suppose a et b connectés<br />
et on suppose b et c connectés. Alors a et c appartiennent à la composante<br />
connexe de b, or on a vu que cette composante connexe était connexe, donc<br />
a et c sont bien connectés.<br />
Proposition. <strong>La</strong> classe d’équivalence d’un point pour de la relation “être<br />
connecté à” est sa composante connexe.<br />
Cette proposition découle directement de la définition d’une composante<br />
connexe.<br />
Remarque 1. On sait qu’en général, les classes d’équivalence d’une relation<br />
d’équivalence sur un ensemble forment une partition de cet ensemble. En<br />
particulier les composantes <strong>connexes</strong> d’un espace topologique forment une<br />
partition de cet espace.<br />
Remarque 2. Un espace topologique non vide sera connexe si et seulement<br />
s’il n’admet qu’une seule composante connexe.<br />
8 Connexité par arcs<br />
Définition. On dira de deux points a et b d’un espace topologique X qu’ils<br />
sont reliés dans X par un arc s’il existe une application continue γ du segment<br />
[0, 1] vers X qui vérifie γ(0) = a et γ(1) = b.<br />
Proposition. Deux points reliés par un arcs appartiendront à la même composante<br />
connexe.<br />
Démonstration. Soient x et y deux tels points et γ un arc qui les relie.<br />
L’image de γ est connexe puisque c’est l’image continue du connexe [0, 1].<br />
On a donc trouvé une partie connexe qui contient les points x et y.<br />
Définition. Un espace topologique non vide X sera dit “connexe par arcs”<br />
8
si tous points a et b de X sont reliés par un arcs.<br />
On peut énoncer une proposition qui découle directement de la proposition<br />
précédente.<br />
Proposition. Tout espace connexe par arcs est connexe.<br />
Remarque. <strong>La</strong> réciproque est fausse. Il existe des espaces topologiques<br />
(assez compliqués) qui sont <strong>connexes</strong> mais pas <strong>connexes</strong> par arcs. Par exemple<br />
on démontre que le graphe de la fonction f de R vers R définie par f(x) =<br />
sin <br />
1 pour x non nul et complétée par f(0) = 0 est connexe mais pas<br />
x<br />
connexe par arcs. (Dessin du graphe). Nous l’admettrons.<br />
9 Convexité et <strong>connexité</strong><br />
Définition. Une partie de P d’un espace vectoriel sera dite convexe si pour<br />
tous points a et b de P, le segment [a, b] (c’est-à-dire l’ensemble {(1 − t)a +<br />
tb | t ∈ [0, 1]}) est inclus dans P.<br />
Autrement dit dans une partie convexe, deux points seront reliés par un<br />
segment. On en déduit la proposition suivante.<br />
Proposition. Toute partie de R n convexe et non vide sera connexe par arcs<br />
(et donc notamment connexe).<br />
Remarque. Cette proposition restera vraie si on remplace R n par un espace<br />
vectoriel normé. En effet, une application du type t ↦→ (1 − t)a + tb est<br />
continue dans n’importe quel espace vectoriel normé.<br />
Exemples. L’espace R n est convexe donc la proposition implique qu’il est<br />
connexe. Idem pour les boules ouvertes et fermées. Idem, les droites seront<br />
<strong>connexes</strong> dans R 2 . Dans R 3 , les droites et les plans seront <strong>connexes</strong> et plus<br />
généralement dans R n , les sous-espaces vectoriels ou affines seront <strong>connexes</strong><br />
(on appelle sous-espace affine d’un espace vectoriel tout translaté d’un sousespace<br />
vectoriel).<br />
Proposition. <strong>La</strong> surface plane R 2 \{(0, 0)} est connexe.<br />
Démonstration. Les quatre demi-plans ouverts H1, H2, H3 et H4 d’inéquations<br />
x > 0, x < 0, y > 0 et y < 0 sont convexes et donc <strong>connexes</strong>. Chacun<br />
de ces quatre demi-plans H1, H2, H3 et H4 est donc contenu dans une composante<br />
connexe C1, C2, C3 ou C4 de R 2 \{(0, 0)}. On veut démontrer que ces<br />
quatre composantes <strong>connexes</strong> sont une même composante connexe C. Alors<br />
cette composante C contiendra R 2 \{(0, 0)} tout entier et donc R 2 \{(0, 0)}<br />
sera connexe.<br />
9
On sait que les composantes <strong>connexes</strong> d’un espace topologique sont disjointes,<br />
autrement dit si deux composantes <strong>connexes</strong> ont une intersection non<br />
vide, elles seront confondues.<br />
L’intersection C1 ∩ C3 contient le quart de plan d’inéquations x > 0 et<br />
y > 0 donc elle n’est pas vide et les composantes C1 et C3 seront confondues.<br />
De même on prouve les identités C1 = C4 et C2 = C3.<br />
Remarque. Plus généralement, l’espace R n \{(0,...,0)} sera connexe pour<br />
tout n ≥ 2 (on a vu que c’était faux pour n = 1). <strong>La</strong> démonstration utilisera<br />
2n demi-espaces.<br />
10 L’ensemble de Cantor<br />
Définition. L’ensemble triadique de Cantor est l’ensemble K des nombres<br />
réels positifs qui admettent en base 3 une écriture qui commence par “0,” et<br />
dont les chiffres après la virgule ne valent pas 1 (ils peuvent valoir 0 ou 2).<br />
(faire un dessin)<br />
Remarque. En base 10, les décimaux strictement positifs admettent deux<br />
écriture décimales, l’une où les chiffres après la virgules valent 9 à partir<br />
d’un certain rang, l’autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir<br />
d’un certain rang. Par exemple 7 = 6,99... = 7,00.... Les nombres strictement<br />
positifs autres que les décimaux n’admettent qu’une écriture décimale (qui<br />
ne se termine ni par une suite de 9, ni par une suite de 0).<br />
De même en base 3, certains nombres strictement positifs admetront deux<br />
écriture triadiques, l’une où les chiffres après la virgules valent 2 à partir d’un<br />
certain rang, l’autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir d’un<br />
certain rang. Les autres nombres strictement positifs n’admetront qu’une<br />
écriture (qui ne se terminera ni par une suite de 2, ni par une suite de 0).<br />
Proposition. Soit x un élément de l’ensemble de Cantor K. Sa composante<br />
connexe dans K sera réduite au singleton {x}.<br />
Démonstration. Soit a et b deux éléments de K distincts. Prouvons que<br />
a et b ne sont pas connectés.<br />
Après la virgule, a et b ont un certain nombre de chiffre communs puis un<br />
premier chiffre différent. Par exemple si a = 0,020020002... et b = 0,020220222...,<br />
les trois premiers chiffres sont communs (les deux nombres commencent par<br />
0,020) mais le quatrième ne l’est pas. On intercale entre a et b un nombre<br />
x n’appartenant pas à K dont l’écriture est obtenu en gardant les premiers<br />
10
chiffres communs et en remplaçant par des 1 tous les chiffres à partir du<br />
premier chiffre différent. (Dans l’exemple, on pose x = 0,020111...)<br />
Supposons par l’absurde que les points a et b soient contenus dans une<br />
partie connexe I de K. Comme toute partie connexe de R, cette partie I<br />
sera un intervalle. Cette partie I contient les points a et b mais, étant incluse<br />
dans K, elle ne contient pas x. Ca contredit la définition d’un intervalle.<br />
11 Le produit de deux espaces topologiques<br />
Soient X et Y deux espaces topologiques. On décrète qu’une partie O de<br />
X ×Y sera ouverte pour la topologie produit si pour tout (x,y) appartenant<br />
à O il existe une ouvert U de X et un ouvert V de Y tels que le produit<br />
U × V contienne le point (x,y) et soit inclus dans O.<br />
On définit bien une topologie sur le produit X × Y .<br />
Exercice. Vérifier les quatre axiomes.<br />
Remarque. Dans le cas métrique, nous admettrons le fait suivant. Quand<br />
les topologies sur X et Y sont associées à des distances dX et dY , la topologie<br />
produit est la topologie associée à la distance dmax définie par:<br />
dmax((x,y), (x ′ ,y ′ )) = max{dX(x,x ′ ), dY (y,y ′ )}<br />
Proposition. Le produit de deux espaces <strong>connexes</strong> est connexe (pour la topologie<br />
produit).<br />
Démonstration.<br />
(Faire un dessin.)<br />
Soient dans X × Y deux points (x,y) et (x ′ ,y ′ ). On se souvient que la relation<br />
“être connecté à” est une relation d’équivalence. Pour prouver que les<br />
points (x,y) et (x ′ ,y ′ ) sont connectés entre eux, il suffit donc de les connecter<br />
tous les deux au point (x ′ ,y). Or (x,y) et (x ′ ,y) sont connectés car ils appartiennent<br />
tous les deux à X × {y} qui est homéomorphe à X et donc connexe.<br />
De même (x ′ ,y) et (x ′ ,y ′ ) sont connectés car ils appartiennent tous les deux<br />
à {x ′ } × Y qui est homéomorphe à Y et donc connexe.<br />
Exercice. Dans la démonstration, on a affirmé que X × {y} (muni de la<br />
topologie induite par la topologie produit!) était homéomorphe à X. Sauriezvous<br />
justifier ce fait?<br />
Exemple. Dans R 2 , on sait que le cercle d’équation x 2 +y 2 = 1 est connexe<br />
et par ailleurs le segment [0, 1] est connexe donc dans R 3 , leur produit sera<br />
connexe (ce produit est le cylindre défini par x 2 + y 2 = 1 et 0 ≤ z ≤ 1).<br />
11
12 Petite remarque pour conclure<br />
Si la <strong>connexité</strong> servait uniquement à distinguer les espaces <strong>connexes</strong> des<br />
espaces non <strong>connexes</strong> cette notion serait banale. Mais elle permet aussi parfois<br />
de distinguer deux espaces <strong>connexes</strong>. Par exemple, nous verrons en TD<br />
comment utiliser la <strong>connexité</strong> pour prouver qu’un segment n’est pas homéomorphe<br />
à un cercle, qu’un cercle n’est pas homéomorphe à une sphère etc.<br />
12