Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 ... - LATP

Université de Provence
Topologie 2
Cours3. Applications continues et
homéomorphismes
1 Rappel sur les images réciproques
Soit une application f d’un ensemble X vers un ensemble Y et soit une
partie P de l’ensemble d’arrivée Y . L’image réciproque par f de la partie P
est la partie de X formée des éléments dont l’image appartient à la partie P.
f −1 (P) = { x ∈ X | f(x) ∈ P }
Exemple. L’image réciproque de l’intervalle [−1, 4[ par l’application x ↦→
x 2 de R dans R est l’ensemble:
f −1 ([−1, 4[) = { x ∈ R | x 2 ∈ [−1, 4[ }
= ] − 2,2[
Remarque. L’image réciproque se comporte bien pour les opérations ensemblistes:
l’image réciproque de la réunion est bien la réunion des images
réciproques, l’image réciproque de la partie vide est bien la partie vide,
l’image réciproque de l’intersecion est bien l’intersection des images réciproques,
l’image réciproque de la partie pleine Y est bien la partie pleine X.
Ou encore l’image réciproque du complémentaire dans Y d’une partie P de
Y est le complémentaire dans X de l’image réciproque de P.
Attention! Ne pas confrondre la notation f −1 (P) pour une partie P et la
notation f −1 (y) pour un élément y. D’un côté, l’image réciproque f −1 (P) par
une application f d’une partie P de l’espace d’arrivée est toujours définie.
De l’autre, quand f est bijective, elle admet une bijection réciproque aussi
notée f −1 (d’où le risque de confusion). Cette bijection réciproque est une
application de Y vers X qui associe à un élément y de l’espace d’arrivée Y
l’élement:
f −1 (y) = l’élément de X dont l’image par f vaut y,
= la solution x de l’équation y = f(x).
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Quand f est bijective, cette équation admet bien une solution unique. Cette
notation f −1 (y) n’aura de sens que si f est bijective.
2 Applications continues
Définition. Une application f d’un espace topologique X vers un espace
topologique Y sera dite continue en un point x de l’ensemble de départ X si
pour tout voisinage du point f(x), l’image réciproque de ce voisinage est une
voisinage de x.
Remarque. Quans X et Y sont des espaces métriques, on peut donner
une définition équivalente de la continuité de f au point x:
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀y ∈ B(x, α) f(y) ∈ B(f(x), ε).
Définition. Une application f d’un espace topologique vers un autre sera
dite continue si elle est continue en tout point de son ensemble de départ.
Exemple 1. Les fonctions polynomiales sont des fonctions continues sur
R.
Exemple 2. Les fonctions trigonométriques sin, cos et tan sont des fonctions
continues (les deux premières sur R, la troisième sur son ensemble de
départ R\{ π + nπ | n ∈ Z}).
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Exemple 3. Exemple de fonction non continue: la fonction f définie sur
R par f(x) = 1 quand x est positif et par f(x) = 0 quand x est strictement
négatif: elle n’est pas continue en 0.
Exemple 4. Les fonctions polynomiales de deux variables sont continues
sur R2 (typiquement la fonction qui associe à un point (x, y) de R2 le nombre
x3 + xy − 7y).
Exemple 5. Un exemple simple de fonction continue sur R mais non dérivable:
la fonction valeur absolue est bien continue et n’est pas dérivable en
0.
Proposition. Soient X et Y deux espaces topologiques et f une application
de X vers Y . Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
(a) L’application f est continue.
(b) L’image réciproque par f de tout ouvert de Y est un ouvert de X.
(c) L’image réciproque par f de tout fermé de Y est un fermé de X.
Démonstration. L’équivalence entre (b) et (c) est une évidence si on se
souvient que l’image réciproque du complémentaire est le complémentaire de
l’image réciproque.
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Il reste à prouver l’équivalence entre (a) et (b). Supposons (b) vérifiée
et prouvons que f est continue en un point x quelconque de X. Soit V un
voisinage de f(x) dans Y . Alors f(x) appartient à l’ouvert int(V ) et donc x
appartiendra à f −1 (int(V )) ouvert lui-aussi par hypothèse. Comme int(V )
est inclus dans V , l’image réciproque f −1 (int(V )) sera incluse dans l’image
réciproque f −1 (V ). Donc x appartient à un ouvert inclus dans f −1 (V ), autrement
dit f −1 (V ) est bien un voisinage de x. On a prouvé la continuité de
f en un point x quelconque de X donc f est continue.
Réciproquement, supposons f continue et prouvons que l’image réciproque
par f d’un ouvert O de Y est un ouvert de X. Soit x un point de
f −1 (O). Comme O est un ouvert, il est un voisinage de chacun de ses points
et donc notamment un voisinage du point f(x). Par continuité de f en x,
l’image réciproque f −1 (O) sera donc un voisinage de x. On a donc prouvé
que f −1 (O) était un voisinage de chacun de ses points donc f −1 (O) est bien
un ouvert.
Exemple. La fonction f définie sur R par f(x) = 1 quand x est positif et
par f(x) = 0 quand x est strictement négatif n’était pas continue. En effet
l’image réciproque par f de l’ouvert ] 1 3 , [ est l’intervalle [0, + ∞[ qui n’est
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pas ouvert.
Remarque. Si X et Y sont des espaces métriques, on pourra donner une
quatrième propriété équivalente:
(d) Si une suite (xn)n∈N de points de X tend vers une limite l ∈ X,
la suite des images (f(xn))n∈N tendra dans Y vers l’image f(l) de la limite
(admis).
Proposition. Soient trois espace topologiques X, Y et Z et deux applications
continues f de X vers Y et g de Y vers Z. Alors la composée g ◦ f est
continue.
Démonstration. Soit O un ouvert de Z. Alors g−1 (O) est un ouvert de Y
par continuité de g et donc (g ◦f) −1 (O) (= f −1 (g−1 (O)))) est bien un ouvert
de X par continuité de f.
3 Isométries
Soient, dans le plan, deux segments de même longueur, par exemple les
segments [A, B] et [C D] (si on choisit les points A = (0,0), B = (5,0), C =
(1,2) et D = (5,5)). Intuitivement, il semble possible d’envoyer le segment
[A, B] sur le segment [C, D] sans déformation. En revanche, on n’enverra pas
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sans déformation le segment [A, B] sur un arc de cercle ni sur un segment
de longueur différente. Pour envoyer [A, B] sur [C, D], utilisons la bijection
suivante:
[A, B] → [C, D]
f :
(t,0) ↦→ (1 + 4 3
t, 2 + 5 5t) On constate, pour tous points P et Q de [A, B], la propriété suivante:
d(f(P), f(Q)) = d(P, Q)
(où d désigne la distance euclidienne). Cette propriété correspond à l’idée
intuitive de mouvement sans déformation. Mathématiquement, on parlera
d’isométrie.
Définition. Soient (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques. Une bijection
f de X vers Y sera appelée une isométrie si elle vérifie:
∀(x, x ′ ) ∈ X 2
dY (f(x), f(x ′ )) = dX(x, x ′ ).
Deux espaces métriques seront dits isométriques s’il existe une isométrie de
l’un vers l’autre.
Explication. En général, on sait qu’une bijection permet d’identifier son
ensemble de départ et son ensemble d’arrivée (identification point par point).
En algèbre par exemple, il arrive qu’une bijection entre deux groupes G1
et G2 soit telle que les lois des deux groupes soient “les mêmes via cette
identification”. On dit alors que la bijection est un isomorphisme de groupes
et on sait que toutes les propriétés algébriques seront conservées si on passe de
G1 à G2 via cette identification. Par exemple G1 sera abélien si et seulement
si G2 l’est, G1 sera cyclique si et seulement si G2 l’est etc.
De même, une bijection entre deux espaces métriques identifie bien sûr
ces espaces point par point et elle sera une isométrie quand les deux distances
seront “les mêmes via cette identification”. Dans la pratique, toutes les propriétés
qui s’expriment en termes de distance seront préservées, par exemple
le diamètre.
Définition. On appelle diamètre d’un espace métrique (X, d) la borne supérieure
de l’ensemble suivant:
{d(x, y) | (x, y) ∈ X 2 }
Remarque. C’est soit un réel positif soit +∞ (ça pourra même être −∞
si X est vide!).
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Exemple. Dans le plan, pour la distance euclidienne, le diamètre d’un
cercle sera son diamètre au sens habituel. Le diamètre d’un carré sera la
longueur de sa diagonale.
Proposition. Deux espaces métriques isométriques auront le même diamètre.
C’est intuitivement évident puisque le diamètre est une propriété qui s’exprime
en termes de distance (une propriété métrique) mais (exercice) écrivez
quand même une démonstration.
Un autre exemple de propriété métrique: la complétude.
Proposition. Un espace métrique isométrique à un espace complet sera complet
lui aussi.
4 Homéomorphismes
Soit C le cercle d’équation:
La bijection:
f :
x 2 + y 2 = 1.
[0, 1[ → C
t ↦→ exp(i2πt)
correspond à l’idée intuitive de collage. On a collé les extrémités de l’intervalle
pour obtenir le cercle. On a intuitivement créé une continuité supplémentaire.
Ce ne sera pas un homéomorphisme.
La bijection réciproque f −1 correspond à l’idée intuitive de découpage, ça
ne sera pas non plus un homéomorphisme.
Soit E l’ellipse d’équation:
x 2 + 2y 2 = 1.
La bijection suivante n’est pas une isométrie:
C → E
(x,y) ↦→ (x, y √ 2 )
Elle déforme le cercle en une ellipse mais, intuitivement, c’est une déformation
faite sans couper le cercle et sans collage. Mathématiquement, ce sera un
homéomorphisme. Il est temps de définir cette notion.
Définition. Soient X et Y deux espaces topologiques et f une bijection de
X vers Y . La bijection f sera appelée un homéomorphisme si toute partie O
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de Y vérifie:
(O est un ouvert de Y) ⇔ (f −1 (O) est un ouvert de X).
Autrement dit un homéomorphisme est une bijection f telle que f et la bijection
réciproque f −1 soient toutes les deux continues.
Définition. Deux espaces topologiques seront dits homéomorphes s’il existe
un homéomorphisme de l’un vers l’autre.
Remarque. On appelle propriété topologique toute propriété qui s’exprime
en termes d’ouverts (ou de fermés). Si deux espaces sont homéomorphes,
toute propriété topologique vérifiée par l’un sera aussi vérifiée par l’autre. Une
des grandes questions qu’étudie la topologie est de savoir quand deux espaces
sont homéomorphes, c’est-à-dire sont les mêmes à certaines déformations
près.
Proposition. La composée de deux homéomorphismes est un homéomorphisme.
La bijection réciproque d’un homéomorphisme est un homéomorphisme.
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