Vincent Trinquet IVP 2 Avril 2007 - EIVP

Vincent Trinquet IVP 2
Avril 2007

TER : Les plans d’expériences
Les plans d’expériences ont pour but d’optimiser l’organisation des essais expérimentaux pour obtenir
le maximum de renseignements avec le minimum d’expériences et la meilleure précision possible. Ils
permettent dans le cas de plans complets d’obtenir l’influence de facteurs sur la réponse ainsi que leur
interaction et dans le cas de plans fractionnaires d’avoir une idée de l’influence de chacun des facteurs
influents.
Dans un premier temps, nous présenterons les plans d’expériences complets à deux niveaux et deux
facteurs.
Puis nous nous intéresserons aux plans à deux niveaux et trois facteurs en commençant par le plan
complet puis par le plan fractionnaire avec pour chacun une application.
Ensuite, nous examinerons les plans à deux niveaux et cinq facteurs en prenant pour exemple
d’application la résistance mécanique du bois en fonction du protocole de fabrication.
Dans une quatrième partie, nous élaborerons des réflexions sur les plans d’expériences complets à deux
niveaux, en analysant les avantages, notamment concernant la variance, et les inconvénients.
Dans une 5ène partie, nous évoquerons les plans à 3 niveaux.
Enfin, nous ferons une application sur Excel.
I Introduction aux plans à deux facteurs
Ex : plan complet à deux facteurs
On étudie le rendement d’une réaction chimique en fonction de deux facteurs, à savoir la température et
la pression. On cherche par exemple à obtenir le rendement maxi sachant que la température varie entre
60 ° et 80 ° C et la pression entre 1 et 2 Bars.
Pour cela on considère le rendement comme la réponse que l’on note y et qui dépend de deux facteurs
(variables), à savoir la température notée x1 et la pression notée x2.
( 1, 2 ) x x f y = avec x1 ∈[ 60 ° C ; 80°
C]
∈ 1bar;
2 bars
Il s’agit d’une fonction de deux variables
x2 [ ]
On suppose que le domaine d’étude est :
° C ; 80°
C 1 bar; 2 bars tout entier
D= [ 60 ] × [ ]
1

a) La démarche « naturelle », sans plan d’expériences
Naturellement, le chimiste est tenté de faire varier chacun des deux facteurs indépendamment c’est-àdire
de fixer l’un et de faire varier l’autre. Ainsi, l’expérimentateur a tendance à fixer la pression à sa
valeur moyenne, à savoir 1,5 bars et à étudier le rendement pour une température de 60°C et une de 80°C
(et peut-être une de 70°C). Puis il fixe la température à sa valeur moyenne ( 70°C) et mesure le rendement
quand la pression est respectivement à sa valeur basse (1 bar) et à sa valeur haute (2 bars).
Il a ainsi réalisé les 5 essais suivants :
Il se rend compte que à pression constante (fixée à 1,5 bar), le rendement croît avec la pression.
Ainsi il se doute que le rendement a des chances d’augmenter quand la pression et la température croissent
simultanément. Pour le vérifier, il réalise une sixième expérience en fixant la pression à 2 bars et la
température à 80°C.
b) La démarche novatrice, par les plans d’expériences
, ) x f y = avec
( 1 2 x
⎧x1
= T°
⎪
⎨x2
= pression
⎪
⎩y
= rendement
On approxime la réponse par une fonction polynomiale de type : y= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2 avec
b0 , b1, b2 et b12 des constantes.
Cela revient à supposer que, à x1 fixé, y varie linéairement en fonction de x2 et que, à x2 fixé, y varie
linéairement en fonction de x1, c’est-à-dire que toutes les coupes verticales, parallèles aux axes, de la
surface de réponse font apparaître des droites.
Par contre, les coupes verticales non parallèles aux axes peuvent faire apparaître des courbes autres que
des droites car il existe un terme croisé
Le plan d’expériences complet consiste à faire varier les deux facteurs simultanément.
L’expérimentateur réalisera 4 essais au lieu de 7 :
Il mesurera le rendement pour - T= 60°C, P= 1 bar
- T= 60°C, P= 1,5 bars
- T= 80°C, P= 1,5 bars
- T= 80°C, P= 2 bars
2

Pour plus de commodité, on peut centrer et réduire les variables. Pour cela, on utilise le changement de
variables suivant :
[ a,
b]
⎯⎯→
[ −1;
+ 1]
⎧
⎪
⎨
⎪x
⎩
1
⎯⎯→
et idem pour x2.
~ 2x1
− ( b + a)
x1
=
b − a
Dans notre exemple, x1 ∈[ ° C ; 80°
C]
60 d’où a = 60°C, b = 80°C
2x1
− ( 80 + 60)
2x
=
=
80 − 60
− ( 140)
20
~ 1
x 1
de même, x2 ∈ [ 1bar;
2 bars]
~ x
2
1
2x2
− ( 2 + 1)
2x2
− ( 3)
= = = 2x
2 −1
1
[ −1;
+ 1]
, ~ ∈[
−1;
+ 1]
~ x ∈ x
2
2
− 3
~ x1
= ± 1(
2niveaux)
Dans le plan d’expériences ~ x = ± 1(
2niveaux)
L’expérimentateur réalise 2 2 = 4 essais :
2
essai n°1 essai n°2 essai n°3 essai n°4
~ x1
= −1
~ x1
= + 1
~ x1
= −1
~ x1
= + 1
~ x = −1
~ x = −1
~ x = + 1
~ x = + 1
2
Ce qui correspond à :
2
T = 60°C T = 80°C T = 60°C T = 80°C
P = 1bar P = 1 bar P = 2 bars P = 2 bars
ymod =a0 + a1 x1+ a2 x2+ a12 x1 x2
avec ymod = réponse du modèle
y1=f( -1 ; -1) : rendement de l’essai 1
y2=f( +1 ; -1) : rendement de l’essai 2
y3=f( -1 ; + 1) : rendement de l’essai 3
y4=f(+1 ;+ 1) : rendement de l’essai 4
3
2
2

cad
y1= a0 + a1 (-1)+ a2 (-1) + a12 (-1)(-1)
y2= a0 + a1(1) + a2 (-1) + a12 (1) (-1)
y3= a0 + a1 (-1)+ a2 (1) + a12 (-1) (1)
y1= a0 + a1 (1) + a2 (1) + a12 (1) (1)
cad
y1= a0 - a1 - a2 + a12
y2= a0 + a1 - a2 - a12
y3= a0 - a1 + a2 - a12
y4= a0 + a1 + a2 + a12
y1, y2, y3 , y4 sont mesurés expérimentalement donc connus.
On en déduit a0, a1, a2, a12 grâce à ce système de 4 équations à 4 inconnues
Son expression matricielle est :
⎛ y1
⎞ ⎛1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ ⎜1
⎜ ⎟ =
y ⎜
3 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎝ y4
⎠ ⎝1
−1
+ 1
−1
+ 1
−1
−1
+ 1
+ 1
+ 1⎞⎛a
⎟⎜
−1⎟⎜
a
−1⎟⎜
a
⎟⎜
+ 1⎟⎜
⎠⎝a
⎛ y1
⎞ ⎛a
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ ⎜a
y=X a avec y= ⎜ ⎟ , a =
y
⎜
3 a
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ y ⎜
4 ⎠ ⎝a
⎛1
⎜
⎜1
et X= ⎜1
⎜
⎝1
−1
+ 1
−1
+ 1
_1
−1
+ 1
+ 1
+ 1⎞
⎟
−1⎟
−1⎟
⎟
+ 1
⎟
⎠
0
1
2
12
0
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
On remarque que, par construction,
- la première colonne de la matrice X n’est composée que de 1
- la 2 ème colonne de la matrice X est composée de signes de x1
- la 3 ème colonne de la matrice X est composée de signes de x2
- la 4 ème colonne de la matrice X est composée de signes de x1x2
Ceci est dû au fait que ymod =a0 + a1 x1+ a2 x2+ a12 x1 x2
En renversant le système, on trouve a :
a=X -1 y avec X -1 =matrice inverse de X
Comme X est une matrice d’Hadammard, X –1 peut être obtenue très facilement (cf annexe).
4

En effet les matrices d’Hadammard ont la propriété suivante : tXX= n I n avec n = taille de la matrice
carrée
D’où, en multipliant par X -1 à droite, tXX X -1
= n I n X -1 = n X -1
cad tX== n X -1
1
tX
X –1 = n
Ici n=4 d’où X –1 1
= tX
4
⎛ 1
a= X –1 y
1
=
4
⎜
⎜−
1
⎜−
1
⎜
⎝+
1
cad :
1
a0
= ( y1
+ y2
+ y3
+ y4
)
4
1
a1
= ( −y1
+ y2
− y3
+ y4
)
4
1
a2
= ( −y1
− y2
+ y3
+ y4
)
4
1
a1
= ( y1
− y2
− y3
+ y4
)
2
4
Or l’expérimentateur mesure :
y1=60
y2=70
y3=80
y4=90
d’où
a0=75
a1=5
a2=10
a12=0
1
+ 1
−1
−1
1
−1
+ 1
−1
1 ⎞
⎟
+ 1⎟
+ 1⎟
⎟
+ 1⎟
⎠
y= a0+ a1x1 + a2x2 + a12x1x2 = 75+ 5 x1 + 10 x2
Il reste ensuite l’interprétation des résultats :
Etant donné que a12 = 0, l’interaction de la température et de la pression est nulle. La surface de réponse
pourra donc être modélisée par un plan.
Par ailleurs, , a1 est l’effet moyen du facteur x1.
a1 correspond à l’augmentation de la réponse y à x2 fixée nulle lorsque le facteur x1 passe de la
valeur 0 à la valeur 1, cad quand le facteur x1 augmente d’une unité.
En effet, y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a12 x1x2
d’où, à x2 =0 (fixée), y = a0+ a1 x1 (fonction linéaire de x1 représentée par une droite)
5

y
80
75
70
a1 est également la moitié de la variation de y lorsque à x2 =0 (fixée), x1 passe de –1 à +1, cad lorsque
à P=1,5 bar, T passe de 60°C à 80°C.
De même, a2 correspond à l’augmentation de la réponse y à x1 fixée nulle lorsque x2 passe de la valeur 0 à
la valeur 1, cad quand le facteur x1 augmente d’une unité.
En effet, y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a12 x1x2
d’où, à x1 =0 (fixée) , y = a0+ a2 x2 (fonction linéaire de x2 représentée par une droite)
y
85
75
65
Des résultats, on peut en déduire que la réponse sera maxi pour x1 = +1 et x2 = +1 cad que le
rendement sera maxi pour T=80°C et P+2 bars.
Par ailleurs, a2 = 2 a1, donc la pression agit deux fois plus que la température sur le rendement,
relativement aux intervalles que nous nous sommes choisis :
La pente de la droite obtenue par la coupe verticale telle que x1 = 0 est deux fois plus élevée que celle
telle que x2 = 0
6
: a1
2 : a1

II Plans à deux niveaux- 3 facteurs
1) Plan complet à 2 niveaux et 3 facteurs
a) Concept
y= f ( x1, x2, x3 ) avec x1, x2, x3, 3 facteurs
y = réponse
x1= ± 1
x2= 1
x3= ± 1
± d’où 2 3 =8 possibilités cad 8 points extrémaux
Ce sont les 8 coins du cube
On modélise la réponse par le modèle polynômial suivant :
y ( x1, x2, x3 ) = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1x3 + a23 x2 x3+ a123 x1 x2 x3
x1= ± 1, x2= ± 1, x3 = ± 1
y (-1, -1, -1) = y1 = a0 - a1 - a2 - a3 + a12 + a13 + a23 - a123
y (+1, -1, -1) = y2 = a0 + a1 - a2 - a3 - a12 - a13 + a23 + a123
y (-1, +1, -1) = y3 = a0 - a1 + a2 - a3 - a12 + a13 - a23 + a123
y (+1, +1, +1)= y4 = a0 + a1 + a2 - a3 + a12 - a13 - a23 - a123
y (-1, -1, +1) = y5 = a0 - a1 - a2 + a3 + a12 - a13 - a23 + a123
y (-1, -1, +1) = y6 = a0 + a1 - a2 + a3 - a12 + a13 - a23 - a123
y (-1, +1, +1) = y7 = a0 - a1 + a2 + a3 - a12 - a13 + a23 - a123
y (+1, +1, +1) = y8 = a0 + a1 + a2 + a3 + a12 + a13 + a23 + a123
y1… y8 sont connus
7

Il s’agit d’un système de 8 équations à 8 inconnues : a0 , a1 , a2 , a3 , a12 …
( 1) a0 = 1/8 ( y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 ++ y7 + y8 )
( 2) a1 = 1/8 ( -y1 + y2 - y3 + y4 - y5 + y6 - y7 + y8 )
( 3) a2 = 1/8 ( - y1 - y2 + y3 + y4 - y5 - y6 + y7 + y8 )
( 4) a3 = 1/8 ( - y1 - y2 - y3 - y4 + y5 + y6 + y7 + y8 )
( 5) a12 = 1/8 ( y1 - y2 - y3 + y4 + y5 - y6 - y7 + y8 )
( 6) a13 = 1/8 ( y1 - y2 + y3 - y4 - y5 + y6 - y7 + y8 )
( 7) a23 = 1/8 ( y1 + y2 - y3 - y4 - y5 - y6 + y7 + y8 )
( 8) a123 = 1/8 ( -y1 + y2 + y3 - y4 + y5 - y6 - y7 + y8 )
Remarque : on aurait pu écrire le problème sous forme matricielle :
⎛ y1
⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ ⎜ 1
⎜ y ⎟ ⎜
3 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y4
⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟ = ⎜
⎜ y5
⎟ ⎜
1
⎜ y ⎟ ⎜ 6 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y7
⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 1
8
−1
1
−1
1
1
1
−1
1
−1
−1
1
1
1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
−1⎞
⎟
1 ⎟
1 ⎟
⎟
−1⎟
1
⎟
⎟
−1⎟
⎟
−1⎟
1
⎟
⎠
⎛a
0 ⎞
⎜ ⎟
⎜a1
⎟
⎜
a
⎟
2 ⎜ ⎟
⎜a3
⎟
⎜ ⎟
⎜a12
⎟
⎜a
⎟
13
⎜ ⎟
⎜a
23 ⎟
⎜ ⎟
⎝a123
⎠
y=Xa On peut remarquer que, par construction,
. la première colonne n’est constituée que de 1
. les 2 ème , 3 ème , et 4 ème colonnes sont constituées des signes
respectivement de x1, x2 , et x3
. les 5 ème , 6 ème , 7 ème et 8 ème colonnes sont constituées des signes de
x1 x2, x1 x13 , x2 x3 , et x1 x2 x3
a= X -1 y
Or X est une matrice d’Hadammard
d’où X -1 = 1/8 tX
d’ où a= 1/8 tX y
on trouve a cad a1, a2 , a3, a12 , a13, a23 , a123
8

) Application 1
On cherche à obtenir un bitume stable en jouant sur 3 facteurs lors de la fabrication : la teneur en
émulsifiant (facteur 1), celle en acide chlorhydrique (facteur 2) et la nature du bitume (facteur 3).
On réalise pour cela un plan d’expériences 2 3 , à savoir à 2 niveaux et 3 facteurs. Il est constitué de 2 3 = 8
essais (chacun des facteurs est pris au niveau bas et au niveau haut) :
⎛ y
⎜
⎜ y
⎜ y
⎜
⎜ y
On mesure expérimentalement ⎜
⎜ y
⎜ y
⎜
⎜ y
⎜
⎝ y
d’où a 0 = 27,25
a 1 = -1
a2 = -6
a3 = -4
a12 = - 0.25
a13 = - 0,25
a23 = 0,25
a123 = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
= 38 ⎞
⎟
= 37⎟
= 26
⎟
⎟
= 24⎟
⎟
= 30 ⎟
= 28⎟
⎟
= 19 ⎟
= 16 ⎟
⎠
a1 < 0, a2 < 0, a3 < 0 donc chacun des facteurs a un effet négatif sur la réponse
a3 > a2 > a1 donc le facteur 3 est plus influent que le facteur 2 qui lui-même est plus influent que le facteur
1
en valeur absolue, a1

On en déduit les valeurs des effets cf VI
2) Plan fractionnaire à 2 niveaux et 3 facteurs
a) principe
Au lieu de réaliser les 2 3 = 8 essais décrits au II 1, on n’effectue que 4 essais bien choisis.
Le plan complet fournissait le système de 8 équations à 8 inconnues suivantes :
y5 = a0 - a1 - a2 + a3 + a12 - a13 - a23 + a123
y2 = a0 + a1 - a2 - a3 - a12 - a13 + a23 + a123
y3 = a0 - a1 + a2 - a3 - a12 + a13 - a23 + a123
y8 = a0 + a1 + a2 + a3 + a12 + a13 + a23 + a123
y1 = a0 - a1 - a2 - a3 + a12 + a13 + a23 - a123
y6 = a0 + a1 - a2 + a3 - a12 + a13 - a23 - a123
y7 = a0 - a1 + a2 + a3 - a12 - a13 + a23 - a123
y4 = a0 + a1 + a2 - a3 + a12 - a13 - a23 - a123
issu du modèle polynomial y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1x3 + a23 x2 x3+ a123 x1 x2 x3
avec x1 = ±1, x2 = ±1, x3 = ±1
On sélectionne les quatre premières équations de ce système que l’on appelle demi plan supérieur.
Ce sont les lignes telles que le signe précédent a123 est positif, cad telles que sg (x1, x2 , x3)= +1
Nous avons donc un système de 4 équations à 8 inconnues,
les inconnues étant a0 , a1, a2, a3, a12, a13, a23, a123 :
y5 = a0 - a1 - a2 + a3 + a12 - a13 - a23 + a123
y2 = a0 + a1 - a2 - a3 - a12 - a13 + a23 + a123
y3 = a0 - a1 + a2 - a3 - a12 + a13 - a23 + a123
y8 = a0 + a1 + a2 + a3 + a12 + a13 + a23 + a123
L’idée consiste à grouper les inconnues 2 par 2:
sg (x1, x2 , x3)= +1,
donc le signe précédent a123 sera toujours positif donc identique au signe précédent a0 (qui lui aussi est
positif)
donc on peut regrouper les termes a0 et a123 ,
et poser l0 = a0 + a123.
10

De même , comme sg (x1, x2 , x3)= +1, sg (x1) = sg ( x2 , x3)
donc le signe précédent a1 sera le même que celui précédent a23 ( cela est dû au fait que y = a0+ a1 x1
+ a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1x3 + a23 x2 x3+ a123 x1 x2 x3)
donc on peut regrouper a1 et a23 et poser l1 = a1 + a123
. De même sg (x2) = sg ( x1 , x3)
On regroupe a2 et a13 et poser l2 = a2 + a13
Le système des 4 équations devient :
y5 =( a0+ a123) – ( a1 + a23 ) - (a2 + a13 )+ ( a3+ a12)
y2 =( a0+ a123) + ( a1 + a23 ) - (a2 + a13 ) - ( a3+ a12)
y3 =( a0+ a123) – ( a1 + a23 ) + (a2 + a13 ) - ( a3+ a12)
y8 =( a0+ a123) + ( a1 + a23 ) + (a2 + a13 )+ ( a3+ a12)
On pose:
l1 = a1 + a23
l2 = a2 + a13
l3 = a3 + a12
l0 = a0 + a123
On obtient ainsi 4 équations à 4 inconnues: l1 , l2 , l3 , l0 :
y5 = l0 – l1 - l2 + l3
y2 = l0 + l1 - l2 - l3
y3 = l0 – l1 + l2 - l3
y8 = l0 + l1 + l2 + l3
En inversant le système on trouve :
l1 = ¼ ( -y5 + y2 - y3 + y8 )
l2 = ¼ ( -y5 - y2 + y3 + y8 )
l3 = ¼ ( y5 - y2 - y3 + y8 )
l0 = ¼ ( y5 + y2 + y3 + y8 )
11

On trouve ainsi l1 , l2 , l3 , l0 (que l’on appelle « contrastes »)
cad a0 + a123 , a1 + a23 , a2 + a13 , a3 + a12 ,
On dit que : les effets a0 et a123 sont aliasés
les effets a1 et a23 sont aliasés
les effets a2 et a13 sont aliasés
les effets a3 et a12 sont aliasés
et que « sg (x1, x2 , x3)= +1 » est le générateur d’aliases car de cette équation on en déduit les aliases.
b) application 1 : stabilité du bitume
En reprenant le même exemple du I.1.b., au sujet de la stabilité du bitume, mais avec le plan fractionnaire
indiqué ci-dessus au lieu du plan complet, nous n’effectuons que les 4 expériences, à savoir celles telles
que sg (x1, x2 , x3) = +1, ce qui correspond aux 4 coins du tétraède suivant :
Nous obtenons :
l0 = ¼ ( y5 + y2 + y3 + y8 ) = ¼ ( 30 +37+26+16) = 27,25
l1 = ¼ ( -y5 + y2 - y3 + y8 ) = ¼ ( - 30 +37 – 26 +16) = - 0,75
l2 = ¼ ( -y5 - y2 + y3 + y8 ) = ¼ (- 30 - 37 + 26 +16) = - 6,25
l3 = ¼ ( y5 - y2 - y3 + y8 ) = ¼ ( 30 - 37 – 26 +16) = - 4,25
Mais que peut-on en déduire ?
Il faut alors faire des approximations
. l0 = a0 + a123 ≈ a0 car a123 est un effet d’ordre 3 donc négligeable devant a0
d’où a0 ≈ 27,25
. l1 = a1 + a23 ≈ a1 car a23 est un effet d’ordre 2 donc négligeable devant a1 qui est un effet d’ordre 1
De plus, physiquement il n’y a pas de raison pour que le facteur 2, qui est la teneur en acide
chlorhydrique, interagisse avec le facteur 3 qui est la nature du bitume :
d’où a1 ≈ 0,75
De même,
. l2 = a2 + a13 ≈ a2 d’où a2 ≈ - 6,25
. l1 = a1 + a23 ≈ a1 d’où a3 ≈ - 4,25
y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1x3 + a23 x2 x3+ a123 x1 x2 x3
≈ 27,25 – 0,75 x1 – 6,25 x2 – 4,25 x3
12

Ce modèle obtenu grâce au plan fractionnaire est peu différent de celui du plan complet qui fournissait :
y = 27,25 - x1 - 6 x2 - 4 x3 – 0,25 x1 x2 - 0,25 x1x3 + 0,25 x2 x3
≈ 27,25 – 6 x2 – 4 x3
Remarque 1:
On pourrait se poser la question du bien fondé du modèle y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13
x1x3 + a23 x2 x3+ a123 x1 x2 x3 dans ce cas précis. En effet à quoi cela sert-il d’introduire les nouvelles
inconnues a12, a13, a23, a123 si elles sont négligées ensuite ?
Nous aurions pu utiliser directement le modèle « y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 »
Cependant dans d’autres cas, notamment lorsque les interactions entre les facteurs sont fortes, les
approximations seront différentes : nous pourrons alors dans certains cas bien particuliers supposer que :
. l1 = a1 + a23 ≈ a23
ou . l1 = (a1 + a23 ) /2 par exemple
Remarque 2 :
En toute rigueur, il faudrait connaître l’écart type, l’incertitude des mesures sur y5 , y2 , y3 , y8 et donc sur
l0 , l1 , l2 , l3 pour savoir si les décimales ont une signification. Cependant dans notre cas, la précision des
mesures n’était pas donnée donc on ne peut pas savoir si 6,25 peut être remplacé par 6.
III Plans à deux niveaux et 5 facteurs : 2 5
Principe et application
Ex : on cherche l’influence de 5 facteurs sur la résistance mécanique du bois
- facteur 1 : type du bois (sapin ou pin)
- facteur 2 : température de pyrolyse
niveau bas : 225 °C
niveau haut : 240 °C
- facteur 3 : durée de pyrolyse
niveau bas : 5 mn
niveau haut : 15 mn
- facteur 4 : température de séchage
niveau bas : 80 °C
niveau haut : 120 °C
13

- facteur 5 : injection d’azote avant ou après la pyrolyse
niveau bas : injection avant pyrolyse
niveau haut : injection après pyrolyse
x1 = ±1, x2 = ±1 ….. x5 = ±1
→ le plan complet nécessite 2 5 essais= 32 essais
Au lieu de réaliser les 32 essais du plan complet, on n’effectue que les 8 essais du plan fractionnaire tel
que :
sg (x4) = sg (x1, x2, x3)
sg (x5)= sg ( x1, x3)
Plan factoriel 2 5-2 : 5 facteurs x1, x2, x3 x4, x5
1) ma méthode avec comme aliases : sg (x1, x2, x3 x4, x5) =1 et sg ( x1)=1
∀ i ∈[ 1,5], xi = ±1
y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + a12 x1 x2 +…+ a15 x1x5 + a23 x2 x5+… + a25 x2 x3+ a34 x3 x4
+ a35 x3 x5+ a45 x4 x5 + a123 x1 x2 x3 + a1234 x1 x2 x3 x4 + a12345 x1 x2 x3 x4 x5
= a0+ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + ∑( ∑ aij xij ) avec i, j ∈[1; 5],
On l’applique pour x1 = ± 1 … x5 = ± 1 → on obtient 2 5 = 32 équations à 32 inconnues
Y = X . a
1…………………………………….. ..1 a0
1 -1 1……..-1…………..-1 1……….1 a1
…………………………………………. a2
…………………………………………. a3
…………………………………………. a4
…………………………………………. …
…………………………………………. …
…………………………………………. …
…………………………………………. a12 X est une matrice 32-32
…………………………………………. a45
…………………………………………. a123
…………………………………………. …
…………………………………………. …
…………………………………………. a345
14

En effet,
pour
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 1 y1 = a0+ a1 + a2 +…… a5 + a12 + ……a45
x4 = 1
x5 = 1
x1 = - 1
x2 = - 1
x3 = - 1 y2 = a0 - a1 +…… a12 -……- a15 + a23 + a34 +……+ a25 + a34 + a35+ a45
x4 = - 1
x5 = - 1
Notre but est de faire 16 expériences au lieu de 32 (plan factoriel fractionnaire)
On sélectionne le demi plan tel que sg (x1, x2, x3, x4, x5) = 1
On aliase
a0 avec a12345 l0 = a0 + a12345
a1 avec a2345 car sg (x1, x2, x3, x4, x5) = 1 → sg (x1) = sg ( x2, x3, x4, x5), on pose l1 = a1 + a2345
… …
… …
a5 avec a1234 l5 = a5 + a1234
a12 avec a345 l12 = a12 + a345
x1 = ±1, x12 = ±1, ………. x5 = ±1,
sg (x1, x2, x3, x4, x5) = 1 donc sg (x5) se déduit de sg (x1, x2, x3, x4, x5) cad la colonne l5 se déduit des
colonnes l1 , l2 , l3 , l4
15

+ désignera +1 et – désignera –1
l0 l1 l2 l3 l4 l5 l12 l13 l14 l15 l23 l24 l25 l34 l35 l45
( 1) + + + + + + + + + + + + + + + +
( 2) + + + + – – + + – – + – – – – +
( 3) + + + – + – + – + – – + – – + –
( 4) + + + – – + + – – + – – + + – +
( 5) + + – + + – – + + – – + + + + +
( 6) + + – + – + – + – + – + – – + –
( 7) + + – – + + + – – + – – + + – –
( 8) + + – – – – – – – – + + + + + +
( 9) + – + + + – – – – + + + – + – –
( 10) + – + + – + – – + + + – + – + –
( 11) + + + + + + + + + + + + + + + +
( 12) + – + – – – – + + + – – + + + +
( 13) + – – + + + + – – – – – – + + +
( 14) + – – + – – + – + + – + + – – +
( 15) + – – – + – + + – + + – + – + –
( 16) + – – – – + + + + – + + – + – –
L1 : ∀ i ∈[ 1,4], xi = +1
L2 : x1 = +1, x2 = +1, x3 = +1, x4 = – 1, et donc x5 = – 1, car sg (x1, x2, x3, x4, x5) = 1
C’est le plan factoriel 2 5-2
Pour obtenir le plan factoriel 2 5-2 , cad diviser encore par deux le nombre d’expériences, on sélectionne le
demi plan tel que sg (x1) = 1. C’est le demi plan supérieur.
sg (x1) = 1, d’où sg ( x2, x3, x4, x5) = 1 aussi
16

On utilise ainsi les aliases ci-dessous :
. l0 + l1
. l2 + l12
. l3 + l13
. l4 + l14
. l5 + l15
. l 23 + l45
. l24 + l35
. l25 + l34
l0 = l1 l2 l3 l4 l5 l23 l24 l25
+ + + + + + + +
+ + + – – + – –
+ + – + – – + –
XS = + + – – + – – +
+ – + + – – + +
+ – + – + – + –
+ – – + + + – +
+ – – – – + + +
Les 8 inconnues sont :
. l0 + l1 = ( a0+ a12345 ) + a1 + a2345 = a0+ a1 + a12345 + a2345
. l2 + l12 = ( a2+ a1345 ) + a12 + a2345 = a2+ a12 + a345 + a1345
. l3 + l13 = ( a3 + a1245 ) + a13 + a245 = a3 + a13 + a2345 + a21235
. l4 + l14 = ( a4 + a1235 ) + a14 + a235 = a4+ a14 + a235 + a1235
. l5 + l15 = ( a0+ a1234 ) + a15 + a234 = a5+ a15 + a234 + a1234
. l 23 + l45 = ( a23+ a145 ) + a45 + a123 = a23+ a45 + a123 + a145
. l24 + l35 = ( a24 + a135 ) + a35 + a124 = a24+ a35 + a124 + a135
. l25 + l34 = ( a25 + a134 ) + a34 + a125 = a25+ a34 + a135 + a134
Remarque : nous aurions pu aliaser différemment.
Dans le cours, l’auteur a sélectionné les lignes telles que :
sg ( x4) = sg (x1, x2, x3)
sg ( x5) = sg (x1, x3)
17

Ce sont ces aliases-ci que nous utiliserons dans la suite, notamment pour l’exemple de la résistance
mécanique du bois.
2) la méthode du cours : avec comme aliases sg (x1, x2, x3) = sg (x4) et sg (x5) = sg (x1, x3)
Plan complet 2 5 : 32 équations à 32 inconnues
On sélectionne les lignes telles que : sg (x4) = sg (x1, x2, x3) qu’on note 4 =123
Le générateur d’aliases est I =1234 ; sg (x1, x2, x3, x4) = 1
A partir de ce générateur d’aliases, on peut en déduire les aliases. Pour cela on multiplie 1234 par
respectivement 1,2,3,4,5 :
1 x I = 1 1234 = 234 → 1 est aliasé avec 234 → a1 + a234
2 I = 2 1234 = 134 → 2 est aliasé avec 134 → a2 + a134
3 I = 3 1234 = 124 → 3 est aliasé avec 124 → a3 + a134
4 I = 4 1234 = 4 2 x 123=123 → 4 est aliasé avec 123 → a4 + a123
5 I = 5 1234 = 12345 → 5 est aliasé avec 12345 → a5 + a12345
Par ailleurs, , a0 est précédé d’un « + », comme x1, x2, x3, x4 → a0 + a1234
On peut donc poser :
12 I = 12 1234 = 12 2 34 = 34 → 12 est aliasé avec 34 → a12 + a34
13 I = 13 1234 = 24 → 13 est aliasé avec 24 → a13 + a24
14 I = 14 1234 = 23 → 14 est aliasé avec 23 → a14 + a23
15 I = 15 1234 = 2345 → 15 est aliasé avec 23 → a15 + a2345
23 I = 23 1234 = 14 → 23 est aliasé avec 14 → a23 + a14
25 I = 25 1234 = 1345 → 25 est aliasé avec 1345 → a25 + a1345
35 I = 35 1234 = 1245 → 35 est aliasé avec 1245 → a35 + a1245
45 I = 45 1234 = 1235 → 45 est aliasé avec 1235 → a45 + a1235
→ On a 8 équations
Nos contrastes du plan 2 5-1 sont donc :
. l0 = a0+ a1234
. l1 = a1+ a234
. l2 = a2+ a134
. l3 = a3+ a124
. l4 = a4+ a123
. l5 = a5+ a12345
. l12 = a12+ a34
. l13 = a13+ a24
. l14 = a14+ a23
. l15 = a15+ a2345
. l23 = a23+ a14
. l25 = a25+ a1345
. l35 = a35+ a1245
18

. l45 = a45+ a1235
. l125 = a125+ a345
. l135 = a135+ a245
. l145 = a145+ a235
Cela nous donne bien 16 contrastes (deux fois moins que de facteurs 2 5 /2 = 16)
On cherche à diviser encore par deux le nombre de contrastes :
On sélectionne les lignes telles que sg (x5) = sg (x1, x3), ce qu’on note 5=13
Le générateur d’aliase est donc 135 ; sg (x1, x3, x5) = 1
On regroupe les 16 contrastes 2 par 2
135 = 1 cad 1 = 135
On multiplie respectivement par 1, 2, …5
1 x I = 1 x 135 = 1 2 35 = 35 → a1 et a35 ensemble → ( a1 + a234 ) + ( a35 + a1245 ) noté l1
2 I = 2 135 = 1235 → a2 et a1235 ensemble → ( a2 + a134 ) + ( a45 + a1235 ) noté l2
3 I = 3 135 = 15 → a3 et a15 ensemble → ( a3 + a124 ) + ( a15 + a2345 ) noté l3
4 I = 4 135 = 1345 → a4 et a1345 ensemble → ( a4 + a123 ) + ( a25 + a1345 ) noté l4
5 I = 5 135 = 13 → a5 et a13 ensemble → ( a5 + a1245 ) + ( a13 + a24 ) noté l5
12 I = 12 135 = 1 2 235 = 235 → a12 et a235 ensemble → ( a12 + a34 ) + ( a145 + a235 ) noté l12
23 I = 23 135 = 125 → a23 et a325 ensemble → ( a14 + a23 ) + ( a125 + a345 ) noté l23
sg (x1, x3, x5) d’où → a0 et a135 ensemble → ( a0 + a1234 ) + ( a135 + a245 ) noté l0
On note ainsi :
. l0 = a0 + a135 + a245 + a1234 ≈ a0
. l1 = a1 + a35 + a234 + a1245 ≈ a1+ a35
. l2 = a2+ a45 + a134 + a1235 ≈ a2+ a45
. l3 = a3+ a15 + a124 + a2345 ≈ a3+ a15
. l4 = a4+ a25 + a123 + a1345 ≈ a4+ a25
. l5 = a5+ a13 + a24 + a12345 ≈ a5+ a13+ a24
. l12 = a12+ a34 + a235 + a145 ≈ a12+ a34
. l23 = a23+ a14 + a125 + a345 ≈ a23+ a14
19

l0 l1 l2 l3 l4 l5 l12 l23
⎛+
⎜
⎜+
⎜+
⎜
⎜+
X S = ⎜
⎜
+
⎜+
⎜
⎜+
⎜
⎝+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+ ⎞
⎟
+ ⎟
−⎟
⎟
−⎟
−
⎟
⎟
−⎟
⎟
+ ⎟
+ ⎟
⎠
En effet XS est la matrice 8 lignes 8 colonnes
. la première colonne n’est composée que de « + »
. ensuite pour les trois colonne suivantes, on utilise :
sg x1 = ±1,
sg x2 = ±1,
sg x3 = ±1
. les autres colonnes s’en déduisent
en effet sg ( x4 ) = sg ( x1 x2 x3 )
dc la colonne de l4 est identique à celle composée du produit des sg des colonnes de l1 , l2 , l3
. sg (x5 ) = sg ( x1 x3 )
. sg (x1 x2 ) = sg ( x1 ) sg ( x2 )
dc on en déduit la colonne l12
. sg (x2 x3 ) = sg ( x2 ) sg ( x3 )
dc on en déduit la colonne l23
y = XS L avec L =
On cherche L :
y = = XS -1 y
⎛l
⎞ 0 ⎜ ⎟
⎜l1
⎟
⎜ ⎟
⎜l
2 ⎟
⎜l
⎟
3
⎜ ⎟
⎜...
⎟
⎜l
⎟
12 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝
l23
⎠
⎛81,
1 ⎞
⎜ ⎟
⎜75,
2⎟
⎜62,
4⎟
⎜ ⎟
⎜65,
3⎟
et y = ⎜ ⎟ = vecteur des résultats des 8 expériences
⎜
77,
8
⎟
⎜63,
6⎟
⎜ ⎟
⎜76,
2⎟
⎜ ⎟
⎝48,
2⎠
20

or XS est une matrice d’Hadarmard d’où t X XS = nIn
S
avec n=8 ici (n = nb d’expériences)
d’où t X XS XS
S
-1 = nIn XS –1
t X = n XS
S
-1
XS -1 = 1/n t X S
donc ici XS -1 = 1/8 t X S
cad
t X S
X S
⎛+
⎜
⎜+
⎜+
⎜
⎜+
= ⎜
⎜
+
⎜+
⎜
⎜+
⎜
⎝+
⎛+
⎜
⎜ −
⎜ −
⎜
1 ⎜ −
⋅ y = ⋅⎜
8
⎜
−
⎜+
⎜
⎜+
⎜
⎝+
l0 l1 l2 l3 l4 l5 l12 l23
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+ ⎞
⎟
+ ⎟
−⎟
⎟
−⎟
−
⎟
⎟
−⎟
⎟
+ ⎟
+ ⎟
⎠
l0 l1 l2 l3 l4 l5 l12 l23
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
+
−
+
+
−
−
+
+
+
−
−
−
+
−
. l0 = 1/8 ( y0 + y1 + y2 + ……+ y23 )
+
−
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
−
−
+
+ ⎞⎛
y0
⎞
⎟⎜
⎟
+ ⎟⎜
y1
⎟
+ ⎟⎜
y ⎟
2 ⎟⎜
⎟
+ ⎟⎜
y3
⎟
⎟⎜
⎟
+
⎟⎜
y4
⎟
+ ⎟⎜
y ⎟ 5
⎟⎜
⎟
+ ⎟⎜
y12
⎟
+
⎟⎜
⎟
⎠⎝
y23
⎠
. l1 = 1/8 (– y0 + y1 – y2 + y3 – y4 + y5 – y12+ y23 )
. l2 = 1/8 (– y0 – y1 + y2 + y3 – y4 – y5 + y12+ y23 )
……..
. l23 = 1/8 ( y0 + y1 – y2 – y3 – y4 – y5 + y12+ y23 )
21

cad
. l0 = 1/8 ( 81,1 + 75,2 + 62,4 +… + 48,2 )= 68,725 ≈ 68,7
. l1 = 1/8 (– 81,1 + 75,2 – 62,4 + 65,3 – 77,8 + 63,6 – 76,2 + 48,2)= 45,2 / 8 = 5,65 ≈ 5,6
. l2 = 1/8 (– 81,1 – 75,2 + 62,4 + 65,3 – 77,8 – 63,6 + 76,2 + 48,2)= – 5,7
. l3 = 1/8 ( ……. )= – 2,275 ≈ – 2,3
. l4 = 1/8 ( ……. )= – 2,825 ≈ –2,8
. l5 = 1/8 ( ……. )= – 4,9
. l12 = 1/8 ( ……. )= – 0,625 ≈ – 0,1
. l23 = 1/8 ( ……. )= 1,45 ≈ 1,5
On peut considérer par exemple que si la valeur absolue du contraste est inférieure à 4,5, alors
celui-ci est négligeable.
Donc on, néglige l3, l4 , l12 , l23
Or
. l3 = a3+ a15 donc a3 ≈ 0 et a15 ≈ 0 probablement d’après l’hypothèse 2
. l4 = a4+ a25 donc a4 ≈ 0 et a25 ≈ 0 probablement
. l12 = a12+ a34 donc a12 ≈ 0 et a34 ≈ 0 probablement
. l23 = a23+ a14 donc a23 ≈ 0 et a14 ≈ 0 probablement
Il ne reste plus que 3 contrastes influents:
. l1 = a1+ a35 ≈ – 5,6
. l2 = a2+ a45 ≈ – 5,7
. l5 = a5 + a13 + a24 ≈ – 4,9
Grâce à l’hypothèse 3, comme a3 ≈ 0, alors a23 ≈ 0
d’où a1 ≈ – 5,6
- de même comme a4 ≈ 0, alors a45 ≈ 0
d’où a2 ≈ – 5,7
- de même, comme a3 ≈ 0, alors a13 ≈ 0
- de même, comme a4 ≈ 0, alors a24 ≈ 0
22

l5 = a5 + a13 + a24 ≈ a5
or l5 = – 4,9 d’où a5 = – 4,9
On constate que a1 < 0 et donc que la résistance diminue quand le facteur 1 augmente cad quand le
facteur 1 centré réduit passe de –1 à +1 .
Donc, pour avoir une résistance élevée, il faut fixer le facteur 1 au niveau –1 ; c'est-à-dire qu’il faut
choisir du sapin.
De même, a2 < 0 , donc la résistance diminue quand le facteur 2 augmente. Pour avoir une résistance
élevée, il faut donc choisir une température de pyrolyse basse : à 225 °C.
Enfin, il faut fixer le facteur 5 à –1 cad injecter l’azote avant la pyrolyse
En conclusion, pour avoir une bonne résistance mécanique du sapin, il faut choisir une température
de pyrolyse basse (225°C°) et injecter l’azote avant la pyrolyse
IV Réflexions sur les plans d’expériences complets et fractionnaires à 2 niveaux
1) Les avantages
a) Les avantages généraux
Les plans d’expériences complets à deux niveaux permettent de trouver les effets des facteurs testés sur
la réponse avec peu d’essais.
Dans le cas d’un plan d’expériences 2 2 (deux niveaux et deux facteurs), on peut ainsi trouver avec les
quatre essais précédemment décrits les paramètres a0 , a1 , a2 et a12 du modèle, tels que
ymod =a0 + a1 x1+ a2 x2+ a12 x1 x2
avec x1 et x2 les variables centrées réduites.
Ils permettent donc indirectement de trouver les paramètres b0 , b1 , b2 et b12 tels que
23

ymod =b0 + b1 x1+ b2 x2+ b12 x1 x2
avec x1 et x2 les variables de départ.
En effet,
~ x
2x
− ( x
+ x
1 1max
1min
1 = et
x1max
− x1min
)
24
~ 2x1
− ( x2
max + x
x2
=
x − x
Ceci est tout à fait intéressant lorsque la dépendance de la réponse y en fonction des facteurs x1 et x2 est
effectivement modélisable par ce modèle.
De plus, la précision des effets a0 , a1 , a2 et de l’interaction a12 obtenus est intéressante.
b) La précision
Prenons l’exemple d’un plan 2 2 (deux niveaux et deux facteurs).
Supposons qu’il n’yait pas d’erreur systématique.
On cherche à déterminer les effets a0 , a1 , a2 et éventuellement a12 .
1 ère méthode la plus immédiate
Analogie avec la pesée : on pèse les poids a1 et a2 indépendamment avec une incertitude σ
On mesure a0 (étalonnage de la balance).
On rajoute le poids a1
on mesure y1 =a0 + a1.
On enlève le poids a1 et on met le poids a2 à la place.
on mesure y2 =a0 + a2
a1 =y1 – a0 d’où Var(a1)=2Var(y).
a2 =y2 – a0 d’où Var(a2)=2Var(y).
Méthode peu précise.
2 ème méthode : méthode de la double pesée
On suppose que a0 a déjà été mesuré.
On cherche à déterminer les 2 poids a1 et a2 (qui peuvent par exemple être des masses)
Au lieu de peser a1 et a2 séparément, on pèse les poids a1 et a2 du même côté, puis des 2 côtés :
2 max
2 min
2 min
)

y + y
a − a
2
y − y
a − a
2
1 2
1 2
1 = 0 et 2 =
0
1
1
Var( a2
) = ⋅ 2Var(
y)
= ⋅Var(
y)
4
2
3 e méthode (méthode classique)
On effectue les 4 essais comme suit sur le schéma
(marques roses) :
On note :
y’1 la réponse obtenue pour x1 = -1 et x2 =0 .
y’2 la réponse obtenue pour x1 =+1 et x2 =0 .
y’3 la réponse obtenue pour x1 =0 et x2 = -1.
y’4 la réponse obtenue pour x1 =0 et x2 = +1.
a1 = ½ (y’2 – y’1)
d’où Var (a1) = (½) 2 (Var(y’2) + Var(y’1)) = ¼ 2 Var(y) = ½ Var(y)
σ (a1) =
1 σ (y).
2
4 e méthode (méthode de la double pesée améliorée)
Si nous utilisons cette méthode issue des plans d’expériences
nous effectuons les 4 essais suivants :
a1 = ¼ ( - y1 + y2 - y3 + y4 ), d’où :
Var(a1 ) = ( ¼ ) 2 ( Var(y1) + Var(y2) + Var(y3) + Var(y4) ).
= 1/16 4 Var(y)
= ¼ Var(y)
σ (a1) = ½ σ (y).
25
1.5
1
0.5
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
-1
-1.5
y = a + a + a
1
2
0
y = a + a − a
0
Plans
Classique
1
1
2
2

Ainsi la variance de a1 et a2 est divisée par 2, et l’écart-type par 2 par rapport à la méthode
classique.
La variance de a0 reste inchangée.
Et le plan d’expérience 2 2 fournit a12 avec une variance Var(a12) = ¼ Var(y)
alors que la méthode classique ne prend pas en compte cet effet.
Remarque
On peut faire l’analogie avec une quadruple pesée avec 4 poids a0 , a1 , a2 et a12 .
Cependant, l’analogie est limité par le fait que a12 n’est pas un poids réel, mais représente l’intezraction
entre 2 poids. Il pourrait être représentée par une aimantation.
2) Limites des plans à 2 niveaux
Les plans complets à 2 niveaux supposent une loi linéaire avec un terme (ou des termes)
d’interaction n-linéaire (linéaire par rapport à chacune des variables).
Par exemple, dans le cas d’un plan complet à 2 niveaux et 2 facteurs, on suppose que la surface de réponse
puisse s’approximer par le modèle suivant :
y = a0 + a1 x1+ a2 x2 + a12 x1 x2
Or si l’on prend une fonction quelconque de 2 facteurs, il n’ y aucune raison qu’elle soit
effectivement approximable par un tel modèle. Prenons par exemple le contre-exemple de la fonction h :
(x1 ; x2) → 100 x1 2 -100 + 0.1 x1 + 0* x2.
Admettons que l’on recherche le point le plus bas de la surface de réponse.
Le modèle « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 » nous fournira les points tels que x1=-1 et x2 quelconque.
En effet, y(-1 ; x2)=-0.1 et y(+1 ; x2)= +0.1
On mesure expérimentalement :
-pour x1=-1 et x2==-1, on obtient y=-0.1
-pour x1=-1 et x2==1, on obtient y=-0.1
-pour x1=1 et x2==-1, on obtient y= +0.1
-pour x1=1 et x2==1, on obtient y=-0.1
En résolvant le système de 4 équations à 4 inconnues, on obtiendra :
a0 = 0
a 1 = 0.1
a 2,= 0
a 12= 0
cad y = 0+ 0.1x1+ 0*x2+ 0*x1 x2= 0.1x1
Les conclusions du plan d’expériences laisseraient penser que les points bas se situent sur la droite
d’équation x1==-1.alors que, en réalité, l’ensemble des points bas est la droite x1==-0.1/200=-0.0005≈0.
On voit bien dans cet exemple les limites du modèle. Plus généralement, le modèle « y= a 0+ a 1 x1+
a 2 x2+ a 12 x1 x2 » est trompeur notamment pour considérer les fonctions caractérisées par de grandes
fluctuations, lorsque les coupes verticales du graphe y=f(x1 ; x2) parallèles aux axes (O x1) et (O x2)
26

donnent des courbes très fluctuantes par rapport à la pente moyenne (lorsque nous sommes proches d’un
maximum ou d’un minimum).
27

V Plans d’expériences à trois niveaux
Plan complet 3 2
y = a0+ a1 x1 + a2 x2 + a12 x1x2 + a11 x1 2 + a22 x2 2 + a112 x1 2 x2 + a122 x1x2 2 + a1122 x1 2 x2 2
En prenant : x1 ∈ { −1
; 0;
+ 1}
x2 ∈ { −1
; 0;
+ 1}
nous obtenons un système de 9 équations à 9 inconnues, : a0, a1 , a2, a12 , a11, a22, a112, a122, a1122 ,
que l’on peut écrire :
⎛ y1
⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ ⎜ 1
⎜
y
⎟ ⎜
⎜ 3 ⎟
1
⎜
⎜ y4
⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟
=
⎜
⎜ y5
⎟ ⎜
1
⎜ y ⎟ ⎜ 6 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y7
⎟ ⎜ 1
⎜ y ⎟ ⎜ 1
8 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 1
9
−1
_1
−1
0
0
0
1
1
1
−1
0
1
−1
0
1
−1
0
1
1
0
−1
0
0
0
−1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
−1
0
1
0
0
0
−1
0
1
−1
0
−1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
28
⎛a
0
⎜
⎜a1
⎜
a2
⎜
⎜a
⎜
⎜a
⎜a
⎜
⎜a
⎜a
⎜
⎝a
12
11
22
112
122
1122
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

VI Application : plans d’expériences appliqués aux transports
Influence de différents facteurs sur le nombre de kilomètres parcourus par des véhicules utilitaires
légers
Le but de cette étude est de voir, à partir d’une enquête réelle, s’il aurait été possible d’utiliser
les plans d’expériences pour obtenir des résultats sur l’influence de facteurs sans effectuer tous les essais
qui ont été réalisés, autrement dit d’obtenir la même information avec moins d’essais. Ma démarche est la
démarche inverse des expérimentateurs. En effet, ceux-ci construisent un plan d’expériences avant
d’effectuer les essais (afin de limiter le nombre d’essais). Ici, nous avons déjà le tableau de valeurs et nous
cherchons à savoir comment nous aurions pu utiliser les plans d’expériences pour limiter le nombre
d’essais. L’intérêt de cette étude consiste notamment à évaluer sur ce cas réel la fiabilité du modèle
polynomial fourni par un plan d’expériences adapté. Nous commencerons donc par construire un tel plan.
Puis nous évaluerons la qualité des résultats fournis par ce plan d’expériences.
1) Tableau initial
Le tableau de valeurs initial est fourni par une enquête sur plus de 10 000 véhicules utilitaires légers.
Il présente certaines caractéristiques de chacun d’eux, en particulier leur PTAC (poids total autorisé en
charge), la charge utile (poids maximum de marchandises pouvant être transportées par le véhicule), la
marque, la date de mise en circulation, la consommation pour 100 km et le nombre de kilomètres
parcourus durant l’année 2000. On restreint l’étude aux seuls fourgons aux parois et toit rigide et de
marque Renault, Peugeot, Citroen ou Mercedes. Et nous cherchons à connaître l’influence de différents
facteurs sur le nombre de kilomètres parcourus durant l’année 2000.
2) Sélection et choix des facteurs
Je retire les individus (c’est-à-dire les véhicules) dont les données sont aberrantes ou non
représentatives : déjà ceux dont le PTAC>3.5 tonnes (en effet, par définition des véhicules utilitaires
légers, leur PTAC est inférieur à 3.5 tonnes). Je supprime également les véhicules dont la date de mise en
circulation est 2000. En effet, leur nombre de kilomètres parcourus durant l’année 2000 n’est de fait pas
représentatif.
En ce qui concerne le choix des facteurs, je cherche à savoir entre autre, si le fait que le véhicule
soit de marque Renault ou non influe sur la réponse, c’est-à-dire sur le nombre de kilomètres parcourus
par an (en 2000). J’associe donc la valeur « 1 » aux véhicules « Renault » et « -1 » aux autres. Les 5
facteurs choisis seront les suivants :
-x1= code marque (Renault ou pas Renault) : x1=+1 si marque=Renault
x1=-1 sinon
-x2= PTAC
-x3= charge utile
-x4= date de mise en circulation
-x5=consommation
Ces 5 facteurs peuvent influer sur la réponse. L’un est une variable discrète : le code marque. Les
autres sont des variables continues.
3) Indépendance des facteurs
Ces 5 facteurs ne sont pas indépendants. En effet, la charge utile (poids des marchandises pouvant
être transportées) est naturellement proportionnelle au poids du véhicule. Plus le véhicule est gros, plus il
sera lourd et plus il pourra transporter de marchandises.
Le facteur «charge utile » doit donc être remplacé par le facteur «charge utile/PTAC » noté
« CU/PTAC ».
De même, la consommation est globalement proportionnelle au poids du véhicule. Le facteur
«consommation» doit donc être remplacé par le facteur ««consommation/PTAC » noté « Conso/PTAC ».
Les 5 facteurs retenus sont ainsi :
29

-x1= code marque (Renault ou pas Renault)
-x2= PTAC
-x3= CU/PTAC (charge utile divisée par le poids)
-x4= date de mise en circulation
-x5=conso/PTAC : consommation divisée par le poids
Et la réponse reste inchangée :y= nombre de kilomètres parcourus par chacun des véhicules durant
l’année 2000.
4) tests et sélection
A ce stade, il reste encore des véhicules aux valeurs aberrantes. On élimine notamment les véhicules
dont le rapport «charge utile/PTAC » est inférieur à 0.25 ou supérieur à 0.5. En effet, les véhicules tels que
«CU/PTAC 0.5» sont à priori
théoriquement introuvables : physiquement, il serait étonnant qu’un véhicule puisse transporter des
marchandises de poids aussi élevé que le poids à vide (cad la moitié du poids total autorisé en charge).
Par ailleurs, en réalité, ce n’est pas le PTAC lui-même, mais plutôt le logarithme du PTAC qui a de
l’importance (par exemple quand on multiplie le PTAC par2). On change donc le deuxième facteur : « x2=
PTAC » devient « x2= log(PTAC) ».
5) Centrer-réduire
On calcule la moyenne et l’écart-type de chaque facteur. On centre et on réduit les variables. On
note x1’=( x1-m1)/σ1 la variable centrée réduite déduite de x1 et même chose pour les autres facteurs. x1’
est de moyenne 0 et d’écart-type 1.
6) bijection vers [-1 ;1]
Comme nous venons de le souligner, après avoir centré-réduit les variables, on obtient des variables de
moyenne 0 et d’écart-type 1. La majeure partie des valeurs prises par x1’ (par exemple) sont dans
l’intervalle [-1 ;1], mais pas toutes. Les valeurs de x1’ non comprises dans l’intervalle [-1 ;1]
correspondent aux valeurs de x1 non comprises dans l’intervalle [m1- σ1 ; m1+ σ1 ]. Il faut garder ces
valeurs extrêmes et surtout pas les retirer car elles correspondent aux points extrêmes (sommets du cube)
qui vont servir au plan d’expériences.
Cependant, on veut obtenir des variables à valeurs dans [-1 ;1]. Pour cela, on leur applique une
fonction bijective à valeurs dans [-1 ;1], par exemple la fonction tangente hyperbolique (tanh). On obtient
ainsi des variables à valeurs dans [-1 ;1]. Par ailleurs, on ne garde que 3 facteurs
Les facteurs sont donc :
-x1= code marque (Renault ou pas Renault), inchangé depuis le début
-x2= tanh [(log(PTAC))cr]
-x3= tanh [(date)cr] : la tangente hyperbolique de la date centrée réduite
( on ne se souciera dans la suite que de l’influence de ces 3 facteurs, quitte à étudier celle des 2 autres
facteurs dans une autre étude).
On cherche les variations de la réponse y (nombre de kilomètres parcourus durant l’année 2000) en
fonction de ces 3 facteurs.
7) Sélection des points extêmaux : plan complet 2 3
On ne garde que les véhicules tels que x1=-1ou1, x20.6, x30.6 c’est-à-dire
les points qui correspondent aux coins du cube.
Les valeurs de x2 telles que x2 0.6 appartiennent à l’intervalle [0.6 ;1] sont donc voisines
de 0.8. On a alors x2=0.8 environ. On écrit alors « x2/0.8 =1 » noté désormais « x2 =1 ».
Même démarche pour x3.
30

Et on a toujours x1=-1ou 1.
On obtient ainsi un plan complet 2 3 : un plan à 2 niveaux et 3 facteurs.
x1 =-1 ou +1, x2 =-1 ou +1, x3 =-1 ou +1.
On fait ensuite successivement les 8 sélections :
- 1 ère sélection : x1 =-1, x2 =-1, x3 =-1 (les 3 facteurs sont au niveau bas)
On obtient une petite centaine de véhicules. On calcule la moyenne et l’écart-type. On trouve une
moyenne y1= 12003 et un écart-type de 8403.
- 2ème sélection : x1 =-1, x2 =-1, x3 =1
…
-8ème sélection : x1 =1, x2 =1, x3 =1 (les 3 facteurs sont au niveau haut)
Cf II plan complet 2 3
Le vecteur réponse est :
y1 =12003
y2 =12402
y3 =14361
y4 =18764
y5 =25997
y6 =19503
y7 =49995
y8 =44696
On renverse le système y=Xa du II pour trouver le vecteur des effets a :
a 0= 24 712
a 1= -874
a 2= 7 239
a 3= 10 333
a 12= 650
a 13= -2 074
a 23= 5 059
a 123= -351
avec une variance V(a 0)=V(a 1)=…=V(a 123)=(1/8)*[V(y1)+V(y 2)+…+V(y8)]
et un écart-type σ=21 775
On en déduit que les facteurs influents sont x2et x3 c’est-à-dire la date de mise en circulation et le
log(PTAC).
- plus le véhicule est récent, plus il parcourt de kilomètres par an (en 2000)
- plus le véhicule a un PTAC plus il parcourt de kilomètres
Par contre le facteur « Renault »ou « pas Renault » peut être jugé sans influence notable car la valeur
absolue de a 1 est faible, inférieure à l’écart-type.
Don y peut être modélisable par le modèle polynomial suivant :
y= a 0+ a 2 x2+ a 3 x3+ a 23 x2 x3= 24 715+7 239 x2+ 10 333 x3+ 5 059x2 x3 avec x2 et x3 les facteurs
centrés-réduits.
Il est à noter que l’interaction a 23= 5 059 est importante. Ainsi, quand la date et le PTAC augmentent
simultanément, le nombre de kilomètres parcourus durant l’année 2000 augmente plus que linéairement :
c’est l’effet cumulé des 2 facteurs.
8) plan fractionnaire
On obtient :
l 0= a 0+ a 123=24 364
l 1= a 1+ a 23=4 185
l 2= a 2+ a 13=5 165
31

l 3= a 3+ a 12=10 982
avec un écart-type de 38220.
Il faut ensuite faire des hypothèses . Si on suppose que, en valeur absolue a 123

CONCLUSION
En conclusion, les plans d’expériences à 2 niveaux constituent un moyen rapide et efficace pour
trouver les effets des facteurs sur la réponse avec un nombre limité d’essais. Ils donnent des résultats
plutôt satisfaisants lorsque la réponse est effectivement modélisable par le modèle polynomial du plan
d’expérience.
Dans le cas de l’exemple du bitume, nous avons pu effectuer le plan complet 2 5 avec seulement 8
essais.
Dans le cas du nombre de kilomètres parcourus par les véhicules utilitaires légers, l’utilisation d’un
plan d’expériences par l’expérimentateur n’aurait pas été tellement bienfaitrice. Elle aurait permis
néanmoins de réaliser seulement 800 essais ( 8 x 100 essais pour chaque coin du cube) voire moins, au
lieu de 3.200 si on avait pris toutes les valeurs.
Les plans d’expériences présentent un intérêt vis-à-vis de la variance des facteurs, c’est-à-dire qu’à
partir de peu d’essais, on obtient une certaine précision.
Les plans fractionnaires, qui nécessitent encore moins d’essais mais sont moins précis, donnent une
idée de l’influence des facteurs mais font appel à l’intelligence de l’expérimentateur pour faire les bonnes
hypothèses pour les simplifications.
Les plans à trois niveaux présentent l’avantage par rapport aux plans à deux niveaux de prendre en
compte l’influence quadratique mais demandent plus d’essais.
L’enjeu actuellement consiste à trouver des domaines d’application aux plans d’expérience dans des
secteurs variés comme la chimie ou l’agriculture mais la difficulté est la suivante : les plans d’expériences
à deux niveaux ne nécessitent que 2 n essais (n étant le nombre de facteurs) seulement lorsque la
dispersion de la réponse au niveau des sommets de l’hypercube est faible, ce qui n’était pas le cas dans
l’exemple des véhicules utilitaires légers.
33

ANNEXE : REFLEXIONS SUPPLEMENTAIRES
Plan 2 2 : interprétation géométrique
Essayons de comprendre la signification des termes du modèle polynomial adapté à 2 facteurs : y= a 0+ a 1
x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2
- influence du terme bilinéaire a 12 x 1 x 2
S’il n’y avait pas ce terme d’interaction, le modèle polynomial serait :
y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2. La surface de réponse serait donc plane.
Pour x2=-1 (fixé), y= a 0+ a 1 x1- a 2
Pour x2=0 (fixé), y= a 0+ a 1 x1
Pour x2=-1 (fixé), y= a 0+ a 1 x1+ a 2
La droite donnant y=f(x1) reste une droite toujours de même pente (pente = a 1) mais se trouve
progressivement translatée verticalement au fur et à mesure que x2 augmente. Ainsi la surface ABCD
forme un parallélogramme (plan).
Ajoutons maintenant le terme d’interaction a 12 x1 x2. Ce terme est proportionnel à x1 x2. La
fonction g : ( x1 ; x2)→ x1 x2 est une fonction bien connue des mathématiciens et est appelée
communément la fonction « selle de cheval ».
Fixons x2 . A x2 fixé, y est proportionnelle à x1. On obtient donc une droite.
Pour x2=-1 (fixé), y= - x1. Il s’agit de la droite passant par l’origine et de pente -1.
Pour x2=0 (fixé), y= 0. Il s’agit de la droite passant par l’origine et de pente nulle, confondue avec l’axe
(Ox).
Pour x2=1 (fixé), y= x1. Il s’agit de la droite passant par l’origine et de pente 1.
34

Ainsi, si l’on s’intéresse à l’évolution de la droite y=f(x1) au fur et à mesure que x2 augmente, on
s’aperçoit que la droite tourne autour de l’ axe (O x2) pour passer de la pente -1 à la pente +1. J’ai
représenté en noir dans le graphe ci-dessous les valeurs prises par y= x1 x2 en pour différentes valeurs de
x1 et x2
Le point (0 ; 0 ; 0) est un col. En effet, c’est un point bas par rapport à la coupe verticale suivant le plan de
la première bissectrice et un point haut par rapport à la coupe verticale suivant le plan de la deuxième
bissectrice.
On en déduit l’allure de la fonction ( x1 ; x2) → a 12 x1 x2 en multipliant la fonction « selle de
cheval » par a 12 qui peut être soit positif soit négatif.
La surface de réponse du modèle polynomial adapté à 2 facteurs : y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 est
obtenue en faisant la somme des ordonnées du parallélogramme (modèle y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2) et de la
selle de cheval ( y= a 12 x1 x2 ). Elle n’est à priori pas plane, sauf si a 12=0. Par contre, il s’agit quandmême
d’une fonction bilinéaire cad linéaire par rapport à chacune des variables.
Remarque : le modèle polynomial « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 » parait à priori étonnant. L’intuition
nous amènerait à choisir plutôt un modèle du type « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2 » ,cad du premier ordre, ou, si
l’on veut être plus précis « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 », cad du deuxième ordre.
Le modèle polynomial « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 » utilisé pour les plans d’expériences à 2 niveaux
et 2 facteurs n’est en réalité ni du premier ordre ni du second ordre. Il prend en compte le terme
d’interaction a 12 x1 x2 et néglige les termes a 11 x1 2 et a 22 x2 2 alors qu’ils sont du même ordre. Cela peut
paraître contradictoire. Cependant, la raison de son utilisation est la suivante : on cherche à avoir autant
d’inconnues que d’équations. Pour un plan complet 2 2 , nous avons 4 équations. Ce système permet de
déterminer 4 effets, d’où l’ajout du facteur a 12, qui peut être utile pour connaître l’effet cumulé,
l’interaction de 2 facteurs.
Il en est de même pour les plans 2 3 à 2 niveaux et 3 facteurs. Ceux-ci s’appuient sur 8 essais et
permettent donc de déterminer 8 facteurs. Le modèle polynomial est également ni tout-à-fait du premier
ordre ni deuxième ordre : « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 3 x3+a 12 x1 x2+ a 13 x1 x3 + a 23 x2 x3++ a 123 x1 x2 x3
».
C’est le cas, plus généralement, des plans 2 n , où n désigne le nombre de facteurs.
Il et à noter que les plans 3 2 à 3 niveaux et 2 facteurs sont, quant-à-eux, d’ordre intermédiaire entre
le deuxième et le troisième ordre:
« y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 + a 112 x1 2 x2+ a 122 x1 x2 2 + a 1122 x1 2 x2 2 »
Si on revient au cas du modèle polynomial « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 » et si on veut un
modèle véritablement du deuxième ordre, on rajouterait un terme en x1 2 et un terme en x2 2 pour obtenir le
modèle suivant : « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 ». L’ajout du terme en x1 2
correspond géométriquement à l’ajout d’une surface de réponse parabolique par rapport à x1 et invariante
par translation selon l’axe (O x2)
35

De même, l’ajout du terme en x2 2 correspond géométriquement à l’ajout d’une surface de réponse
parabolique par rapport à x2 et invariante par translation selon l’axe (O x1)
Cela reviendrait à rajouter ces deux fonctions quadratiques au modèle précédent, ce qui pernettrait
de prendre en compte l’éventuelle non-bilinéarité de la réponse. Cependant, ce modèle « y= a 0+ a 1 x1+ a 2
x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 » , (satisfaisant intellectuellement car il constitue le développement de
Taylor à l’ordre 2 de la fonction-réponse) présente un problème vis-à-vis de l’expérimentation. Il fait
apparaître 6 coefficients à déterminer expérimentalement : a 0, a 1 , a 2 , a 12 , a 11 , a 22 donc nécessite 6
expériences ou plus. On ne peut plus alors choisir un plan à 2 niveaux avec chacun des facteurs au niveau
+1 ou -1. Il faut prendre 3 niveaux : -1 ; 0 et +1 afin de prendre en compte l’influence quadratique. Si on
choisit le plan 3 2 , nous obtenons un système de 8 équations et seulement 6 inconnues, ce qui signifie que 2
équations sont en trop.
Nous voyons ainsi la complexité de l’expérimentique associée au modèle polynomial « y= a 0+ a 1 x1+
a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 » et plus généralement aux modèles polynomiaux d’ordre n. Des
chercheurs proposent des plans pour de tels modèles, mais beaucoup plus compliqués que les plans à 2 ou
3 niveaux.
Une astuce consiste néanmoins à utiliser le plan 3 2 avec le modèle :
« y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 + a 112 x1 2 x2+ a 122 x1 x2 2 + a 1122 x1 2 x2 2 », à mesurer la
réponse expérimentalement aux 9 points du domaine d’étude :
Grâce au système de 9 équations à 9 inconnues, on trouve les effets a0 , a 1 , a 2, a 12 , a 11 , a22, a 112 , a 122
et a 1122 . Puis on néglige les termes a 112 , a 122 et a 1122.
36

SOMMAIRE
Introduction………………………………………………………………………………………………...1
I Introduction aux plans à deux facteurs………………………………………………………………....1
a) La démarche « naturelle », sans plan d’expériences………………………………………………....….2
b) La démarche novatrice, par les plans d’expériences……………………………………………………2
II Plans à deux niveaux- 3 facteurs…………………………………………………………………...…7
1) Plan complet à 2 niveaux et 3 facteurs…………………………………………………………...…….7
a) Concept………………………………………………………………………………………...…..7
b) Application 1……………………………………………………………………………...………..8
c) application 2…………………………………………………………………………...…………....9
2) Plan fractionnaire à 2 niveaux et 3 facteurs…………………………………………………...………10
a) principe………………………………………………………………………………..…………10
b) application 1 : stabilité du bitume………………………………………………………………....12
III Plans à deux niveaux et 5 facteurs : 2 5 …………………………………………………………..….13
Principe et application………………………………………………………………………………….….13
Plan factoriel 2 5-2 : 5 facteurs x1, x2, x3 x4, x5…………………………………………………………….. 14.
1) ma méthode avec comme aliases : sg (x1, x2, x3 x4, x5) =1 et sg ( x1)=1……………………………...14
2) la méthode du cours : avec comme aliases sg (x1, x2, x3) = sg (x4) et sg (x5) = sg (x1, x3)…………18
IV Réflexions sur les plans d’expériences complets et fractionnaires à 2 niveaux…………………...24
1) Les avantages…………………………………………………………………………………………24
a) Les avantages généraux…………………………………………………………………………..24
b) La précision………………………………………………………………………………………24
2) Limites des plans à 2 niveaux……………………………………………………………………...…26
V Plans d’expériences à trois niveaux……………………………………………………………….….28
VI Application : plans d’expériences appliqués aux transports………………………………………29
Influence de différents facteurs sur le nombre de kilomètres parcourus par des véhicules utilitaires légers
Conclusion…………………………………………………………………………………………………3
Annexe : réflexions supplémentaires………………………………………………………………………34
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BIBLIOGRAPHIE
- Modélisation par les plans d’expériences de Jacques Goupy
- Plans d’expériences de Jacques Goupy
- Thèse de Stéphane Vivier, Centrale Lille, Université des Sciences et Technologies de Lille :
« stratégies d’optimisation par la méthode des plans d’expériences et application aux dispositifs
électrotechniques modélisés par les éléments finis » :
thèse soutenue le 11/07/2002 en vue d’obtenir le grade de docteur en Génie Electrique
- cours de Fabien Picaud sur les plans d’expériences, IUT de Chimie, année 2000-2001 :
« Méthodologie expérimentale : les plans d’expériences »
Les deux derniers documents sont disponibles sur Internet (Google).
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