Applications linéaires en dimension finie - Michel Quercia

Applications linéaires en dimension finie
Exercice 1. Applications du thm du rang
Soient E, F deux K-ev et f ∈ L(E, F ).
1) Montrer que si H est un sev de E, alors dim f(H) = dim H − dim(H ∩ Ker f).
2) Montrer que si K est un sev de F , alors dim f −1 (K) = dim(K ∩ Im f) + dim(Ker f).
Exercice 2. Application du thm du rang
Soient E, F deux ev de dimensions finies et u, v ∈ L(E, F ).
Montrer que dim(Ker(u + v)) dim(Ker u ∩ Ker v) + dim(Im u ∩ Im v).
(considérer w = u | Ker(u+v))
Exercice 3. Rang de f ◦ g
Soit E un ev de dimension finie et f, g ∈ L(E). Établir :
1) dim Ker(f ◦ g) dim Ker f + dim Ker g.
2) dim(Im f ∩ Ker g) = rg(f) − rg(g ◦ f).
3) rg(f) + rg(g) − dim E rg(f ◦ g) min(rg(f), rg(g)).
Exercice 4. CNS pour que Ker f et Im f soient supplémentaires
Soit E un ev de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
a: Ker f 2 = Ker f. b: Im f 2 = Im f. c: Ker f ⊕ Im f = E. d: Ker f ∩ Im f = {0}.
e: Ker f + Im f = E.
Exercice 5. fog = 0
Soit E un ev de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que f ◦ g = 0. Trouver une inégalité liant les rangs de f et de
g. Peut-on avoir égalité ?
Exercice 6. Rang de f + g
Soient E, F deux ev, E de dimension finie, et f, g ∈ L(E, F ).
1) Démontrer que rg(f + g) rg(f) + rg(g).
2) Montrer qu’il y a égalité si et seulement si Im f ∩ Im g = {0F } et Ker f + Ker g = E.
Exercice 7. Ker f + Ker g = Im f + Im g = E
Soient E un ev de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que Ker f + Ker g = Im f + Im g = E.
Montrer que les sommes sont directes.
Exercice 8. f 3 = 0
Soit f ∈ L(E) tel que f 3 = 0.
1) Montrer que rg f + rg f 2 dim E.
2) Montrer que 2 rg f 2 rg f (appliquer le théorème du rang à f | Im f ).
Exercice 9. f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E)
Soit E de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que :
Montrer que rg f + rg g = dim E.
f ◦ g = 0
f + g ∈ GL(E).
Exercice 10. f tq Im f et Ker f sont imposés
Soit E un K-ev de dimension finie et H, K deux sev fixés de E.
1) A quelle condition existe-t-il un endomorphisme f ∈ L(E) tel que Im f = H et Ker f = K ?
2) On note E = {f ∈ L(E) tq Im f = H et Ker f = K}. Montrer que E est un groupe pour ◦ si et seulement si
H ⊕ K = E.
Exercice 11. Thms de factorisation
Soient E, F, G trois K-ev avec dim(G) finie.
1) Soient u ∈ L(F, E) et v ∈ L(G, E). Montrer qu’il existe h ∈ L(G, F ) tel que v = u ◦ h si et seulement si
Im v ⊂ Im u.
2) Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(E, G). Montrer qu’il existe h ∈ L(G, F ) tel que u = h ◦ v si et seulement si
Ker v ⊂ Ker u.
appfinie.tex samedi 31 octobre 2009

Exercice 12. Isomorphisme ◦ projecteur
Soient E en ev de dimension finie et f ∈ L(E).
1) Montrer qu’il existe un projecteur p ∈ L(E) et un isomorphisme g ∈ GL(E) tels que f = g ◦ p.
2) Montrer qu’il existe un projecteur p ∈ L(E) et un isomorphisme g ∈ GL(E) tels que f = p ◦ g.
Exercice 13. Centre de L(E)
Soit E un K-ev de dimension finie. Le centre de L(E) est : Z = {f ∈ L(E) tq ∀ g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f}.
1) Soit f ∈ L(E) et x ∈ E. Si (x, f(x)) est libre, montrer qu’il existe g ∈ L(E) telle que g(x) = x et g ◦ f(x) =
−f(x).
2) En déduire que Z est l’ensemble des homothéties.
3) Déterminer Z ′ = {f ∈ L(E) tq ∀ g ∈ GL(E), f ◦ g = g ◦ f}.
Exercice 14. Éléments réguliers dans L(E)
Soit f ∈ L(E, F ).
1) Montrer que : (f est injectif) ⇐⇒ (∀ g ∈ L(E), f ◦ g = 0 =⇒ g = 0).
2) Montrer que : (f est surjectif) ⇐⇒ (∀ g ∈ L(F ), g ◦ f = 0 =⇒ g = 0).
Exercice 15. f 2 = −id
Soit E un R-ev et f ∈ L(E) tel que f ◦ f = −idE. Pour z = x + iy ∈ C et u ∈ E, on pose : zu = xu + yf(u).
1) Montrer qu’on définit ainsi une structure de C-ev sur E.
2) En déduire que dimR(E) est paire.
Exercice 16. f ◦ f = 0 et f ◦ g + g ◦ f = id
2 f = 0
1) Soit E un K-ev et f, g ∈ L(E) tels que :
f ◦ g + g ◦ f = idE.
Montrer que Ker f = Im f.
2) Réciproquement, soit f ∈ L(E) tel que Ker f = Im f, et F un supplémentaire de Ker f. Montrer ...
a) f 2 = 0.
b) ∀ x ∈ E, il existe y, z ∈ F uniques tels que x = y + f(z).
c) Il existe g ∈ L(E) tel que f ◦ g + g ◦ f = idE.
Exercice 17. Endomorphisme nilpotent
Un endomorphisme f ∈ L(E) est dit nilpotent s’il existe p ∈ N tel que f p = 0. Dans ce cas, l’indice de f est le
plus petit entier p tel que f p = 0. On considère f ∈ L(E) nilpotent d’indice p.
1) Soit u ∈ E \ Ker f p−1 . Montrer que la famille u, f(u), ..., f p−1 (u) est libre.
2) En déduire que si E est de dimension finie n, alors f n = 0.
3) Soit g ∈ GL(E) tel que f ◦ g = g ◦ f. Montrer que f + g ∈ GL(E)...
a) en dimension finie.
b) pour E quelconque.
4) Dans L(K2 ), soient f, g de matrices :
0 0
0 1
2
1 0 et −1 0 . Vérifier que f est nilpotent, g ∈ GL(K ), mais
f + g /∈ GL(K2 ).
Exercice 18. Matexo
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que ∀ x ∈ E, ∃px ∈ N ∗ , f px (x) = 0. Montrer que
f est nilpotent. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
Exercice 19. Mines P’ 1995
Soit E un
K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) nilpotente d’indice n.
L(E) −→ L(E)
Soit φ :
g ↦−→ f ◦ g − g ◦ f.
1) Montrer que φp (g) = p
(−1) k p p−k k f ◦ g ◦ f . En déduire que φ est nilpotente.
k=0
k
2) Soit a ∈ L(E). Montrer qu’il existe b ∈ L(E) tel que a ◦ b ◦ a = a. En déduire l’indice de nilpotence de φ.
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Exercice 20. Endomorphisme cyclique
Soit E un ev de dimension n et f ∈ L(E). On suppose qu’il existe un vecteur u ∈ E tel que la famille f k (u)
k∈N
engendre E.
1) Montrer que u, f(u), ..., f n−1 (u) est une base de E. (Considérer p maximal tel que F = u, ..., f p−1 (u) est
libre, et prouver que f k (u) est combinaison linéaire de F pour tout entier k)
2) Montrer qu’un endomorphisme g ∈ L(E) commute avec f si et seulement si c’est un polynôme en f.
Exercice 21. u 2 = 0 en dimension 3
Soit E un ev de dimension 3 et u ∈ L(E) tel que u 2 = 0. Montrer qu’il existe f ∈ E ∗ et a ∈ E tels que :
∀ x ∈ E, u(x ) = f(x )a.
Exercice 22. (u, x, f(x)) liée
Soit E un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et u ∈ E \ {0}. Trouver tous les endomorphismes f ∈ L(E) tels
que : ∀ x ∈ E, la famille (u, x, f(x)) est liée.
Exercice 23. Noyaux itérés
Soit E un ev de dimension finie et f ∈ L(E). On pose Nk = Ker(f k ) et Ik = Im(f k ).
1) Montrer que la suite (Nk) est croissante (pour l’inclusion) et que la suite (Ik) est décroissante.
2) Soit p tel que Np = Np+1. Justifier l’existence de p et montrer que Np+1 = Np+2 = ... = Np+k = ...
3) Montrer que les suites (Nk) et (Ik) sont stationnaires à partir du même rang p.
4) Montrer que Np ⊕ Ip = E.
5) Montrer que la suite (dim(Nk+1) − dim(Nk)) est décroissante.
Exercice 24. Dimension des g tq f ◦ g = 0 et/ou g ◦ f = 0
Soit f ∈ L(E). On pose K = Ker f, I = Im f, K = {g ∈ L(E) tq f ◦ g = 0} et I = {g ∈ L(E) tq g ◦ f = 0}.
1) Montrer que K et I sont des sev de L(E).
2) Soit g ∈ L(E). Montrer que : g ∈ K
⇐⇒ Im g ⊂ K, et : g ∈ I ⇐⇒ Ker g ⊃ I.
K −→ L(E, K)
3) a) Montrer que l’ application Φ :
est un isomorphisme d’ev. En déduire dim K.
g ↦−→ g |K
b) Chercher de même dim I en introduisant un supplémentaire I ′ de I.
c) Chercher aussi dim(K ∩ I).
Exercice 25. Rang de f ↦−→ u ◦ f ◦ v
Soient u, v ∈ L(E). Déterminer le rang de l’endomorphisme de L(E) : f ↦−→ u ◦ f ◦ v.
Exercice 26. Sous algèbres
Soit E un ev de dimension finie et A une sous-algèbre de L(E). Montrer que si f ∈ A et f est bijective, alors
f −1 ∈ A.
A −→ A
On pourra étudier l’application φ :
g ↦−→ f ◦ g.
Exercice 27. Idéaux de L(E)
Un idéal à gauche de L(E) est un sev I de L(E) tel que : ∀ f ∈ I, ∀ g ∈ L(E), f ◦ g ∈ I.
Soit I un idéal à gauche.
1) Montrer que si f ∈ I et Im g ⊂ Im f, alors g ∈ I.
2) Soient f1, f2 ∈ I. Montrer qu’il existe g1, g2 ∈ L(E) tels que Im(f1 ◦ g1 + f2 ◦ g2) = Im f1 + Im f2.
3) Soit f ∈ I tel que rg(f) soit maximal. Montrer que I = {g ∈ L(E) tq Im g ⊂ Im f} = {f ◦ g tq g ∈ L(E)}.
Exercice 28. Automorphismes de L(E)
Soit E un ev de dimension n et Φ : L(E) −→ L(E) un automorphisme d’algèbre. On note (e1, ..., en) une base
fixée de E, (ϕij) la base de L(E) associée
ϕij(ek) = δjkei et ψij = Φ(ϕij).
1) Simplifier ψij ◦ ψkℓ.
2) En déduire qu’il existe u1 ∈ E \ {0} tel que ψ11(u1) = u1.
3) On note ui = ψi1(u1). Montrer que ψij(uk) = δjkui et en déduire que (ui) est une base de E.
4) Soit f ∈ GL(E) définie par : f(ei) = ui. Montrer que : ∀ g ∈ L(E), Φ(g) = f ◦ g ◦ f −1 .
Exercice 29. f 2 = 0 =⇒ f = g ◦ h avec h ◦ g = 0
Soit f ∈ L(E) telle que f 2 = 0. Montrer qu’il existe g, h ∈ L(E) tels que f = g ◦ h et h ◦ g = 0.
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Exercice 30. Centrale MP 2001
Soit f un endomorphisme donné de E de dimension n et F = {g ∈ L(E) | g ◦ f = f ◦ g = 0}. Trouver la dimension
de F .
Exercice 31. X MP ∗ 2001
Soit G un sous-groupe fini de GL(R n ) et F =
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g∈G
Ker(g − id). Montrer que card(G) × dim F =
tr(g).
g∈G

Solutions
Exercice 6.
Im f ∩ Im g = {0F }
2) rg(f + g) = rg(f) + rg(g) ⇐⇒
Im(f + g) = Im f + Im g
Im f ∩ Im g = {0F }
⇐⇒
∀ x, y, ∃ z tq f(x) + g(y) = (f + g)(z).
=⇒ : Donc f(x − z) = g(z − y) = 0. Pour y = 0 : x = (x − z) + z ∈ Ker f + Ker g.
⇐= : Soient x = xf + xg et y = yf + yg : Alors f(x) + g(y) = f(xg) + g(yf ) = (f + g)(xg + yf ).
Exercice 9.
Im f ⊂ Ker g =⇒ rg f + rg g dim E.
f + g est surjective =⇒ Im f + Im g = E =⇒ rg f + rg g dim E.
Exercice 10.
1) dim H + dim K = dim E.
2) Si H ⊕ K = E alors E n’est pas stable pour ◦.
Exercice 16.
2) c) g(x) = z.
Exercice 17.
3) a) (f + g)(x) = 0 =⇒ f k (x) + g ◦ f k−1 (x) = 0.
Pour k = p : f k−1 (x) = 0, puis pour k = p − 1 : f k−2 (x) = 0, etc, jusqu’à x = 0.
b) Même principe sur l’équation : (f + g)(x) = y.
On obtient : (f + g) −1 = g −1 ◦ id − g −1 ◦ f + g −2 ◦ f 2 − ... + (−1) p−1 g 1−p ◦ f p−1 .
Exercice 22.
f(x) = αx + β(x)u, β ∈ E ∗ .
Exercice 24.
3) dim K = (dim E)(dim Ker f) = dim I, dim(K ∩ I) = (rg f) 2 .
Exercice 25.
(rg u)(rg v).
Exercice 28.
1) ψij ◦ ψkℓ = δjkψiℓ.
2) ψ11 est un projecteur non trivial.
3) Si λkuk = 0, alors en appliquant ψ1j : λju1 = 0 =⇒ λj = 0.
4) Décomposer g sur la base (ϕij).
Exercice 29.
g = une projection sur Im f et h = f.
Exercice 30.
On veut Im g ⊂ Ker f et Ker g ⊃ Im f donc g est entièrement définie par sa restriction à un supplémentaire de Im f,
application linéaire à valeurs dans Ker f. On en déduit dim F = (codim Im f)(dim Ker f) = (dim Ker f) 2 .
Exercice 31.
Soit p = 1
g. Alors g ◦ p = p, pour tout g ∈ G donc p
card G
2 = p, F ⊂ Im p et si x ∈ Im p, on a p(x) = x d’où
g∈G
g(x) = x pour tout g ∈ G c’est-à-dire x ∈ F . Donc F = Im p et dim F = rg(p) = tr(p) (trace d’un projecteur).
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