Courbes paramétrées et polaires - Michel Quercia

Courbes paramétrées et polairesExercice 1. RebroussementsÉtudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :1) x = sint, y = cos2 t2 − cost . (Bicorne)2) x = (1 + cos 2 t)sin t, y = sin 2 t cost.3) x = (1 + cost)sin 2t, y = cos2t.4) x = 2t 3 + 3t 2 , y = 3t 2 + 6t.5) x = t 3 − 3t, y = t 3 − t 2 − t + 1.Exercice 2. Branches infiniesÉtudier les branches infinies des courbes paramétrées suivantes :1) x = t 5 − t 3 +4 t , y = 3t3t 2 + 1 .2) x = 2√cos 2 t + ln | sint|, y = sin 2t.3) x = t 2 − 2, y = tx. L’aire comprise entre lat 4 − 1courbe et ses asymptotes est-elle finie ?4) x = t3 − t2t − 1 , y = tx.5) x = 1 t + 1t + 1 , y = 1 t + 16) x = 1 t + t + 11 , y = 1 t − t + 11 .7) x = 3t1 + t 3 , y = tx.8) x =t tet+ 1 , y = t + et1 .9) x = 2t 3 + 3t 2 , y = 3t 2 + 6t.10) x = t 3 − 3t, y = t 3 − t 2 − t + 1.(t + 1) 2 . 11) x = tt 2 − 1 , y = t − t21 .12) x = sin2 t , y = tant.Exercice 3. Ensi PC 1999Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par : x = t 2 − 2t, y = 1 t 2 + t2 .Exercice 4. InflexionsDéterminer les points d’inflexion des courbes paramétrées suivantes :1) x = sint, y = cos2 t2 − cost . (Bicorne)3) x = et2) x = sin2 t t , y = tet ., y = tant. 4) x = sintcos2t, y = costsin 2t.Exercice 5. MatexoSoit C la courbe d’équations paramétriques : x(t) = t2 + 12tt 3 − 1 .t 3 − 1 , y(t) =1) Montrer que les points de paramètres t, u, v (distincts) sont alignés si et seulement si tuv = t + u + v + 1.2) Prouver que C admet exactement trois points d’inflexion et qu’ils sont alignés.Exercice 6. ConstructionConstruire la courbe d’équations paramétriques : x = tt 2 − 1 , y = t − t21 .Déterminer les coordonnées du point double et vérifier que les tangentes en ce point sont orthogonales.Exercice 7. ConstructionDessiner la courbe d’équation cartésienne : x 3 + y 3 = 3xy (folium de Descartes) On prendra t = y x commeparamètre.Exercice 8. ConstructionConstruire les courbes d’équation polaire :1) ρ = cos(θ/2)1 + sin θ .5) ρ = cosθ +cosθ 1 .2) ρ = cos2θ . (Strophoïde, calculer l’aire limitée par 6) ρ =cosθ 2 cosθ cos2θ− 1 .la boucle)7) ρ = cos θ 33) ρ = sin θ.. Vérifier que la courbe traverse ses 8) ρ = 1 + sin 3θ.2 cosθ − 1asymptotes au point double.9) ρ = √ 1 .4) ρ = 1θcosθ + sin 2θ . 10) ρ = lnθ.courbes.tex mercredi 21 février 2007

Exercice 9. StrophoïdeSoit Γ un cercle de centre O et de rayon 1, A ∈ Γ, et D le diamètre de Γ perpendiculaire à (OA).Pour M ∈ Γ \ {A}, on construit le point N intersection de D et (AM), puis le point P tel que AP −→ = MN.−−→Dessiner le lieu des points P (Strophoïde).Exercice 10. Cochléoïde1) Tracer la courbe C d’équation polaire ρ = sinθ (cochléoïde)θ2) Une droite passant par O coupe C en un certain nombre de points. Montrer que les tangentes à C en ces pointssont concourantes.Exercice 11. Chimie P 91Soient O et A deux points distincts dans un plan P. Déterminer le lieu des points M ∈ P tels que ( OA, −→ AM) −−→ ≡3( OA, −→ OM) −−→ [π].Exercice 12. Ensi Chimie P’ 93Déterminer les points doubles de la courbe d’équation polaire ρ =θθ 2 − 1 .courbes.tex page 2

SolutionsExercice ( 4. )y′ ′3)x ′ = 2t(t2 − t − 1)(t − 1) 2 =⇒ t = 1 ± √ 52.4) det(M ′ , M ′′ ) = 3 2sin 4t + 3 sin2t =⇒ t = kπ.Exercice 5.2) m′ (t)m(t) = −2(t − 1)(t2 + t + 1)(t 3 − 3t − 1)t(2t 3 + 1)(t 3 .+ 2 + 3t)Exercice 10.2) Repère (0,⃗u θ ,⃗v θ ) avec θ constant =⇒ point de concours : X = cosθ, Y = sin θ.Exercice 11.Coordonnées polaires : ρ = a (24 cosθ −cosθ1 )avec A = (a, 0).Exercice 12.1.510.50La courbe est symétrique { par rapport { à Oy. M(ρ, θ) = M 1 (ρ 1 , θ 1 ) siθ1 ≡ θ [2π] θ1 ≡ θ + π [2π]et seulement si ouρ 1 = ρ ρ 1 = −ρ.Dans le premier cas, ρ = ρ 1 ⇐⇒ θθ 1 = −1 pour θ ≠ θ 1 ce qui donnel’équation en θ :θ 2 + 2kπθ + 1 = 0avec k ∈ Z. Cette équation à k fixé non nul admet deux racines, cequi donne deux familles de points doubles. De même, le second casammène deux autres familles définies par l’équation :0.51 0.5 0 0.5 1θ 2 + (2k + 1)πθ + 1 = 0.courbes.tex page 3