Université de Provence — Centre de télé-enseignement L3 BGSTU ...

Université de Provence
—
Centre de télé-enseignement
L3 BGSTU Statistique
Nicolas Pech
Université de Provence
EA EGEE case 36
3, place Victor Hugo
13331 Maxseille cedex 3
2004-2005

Ce cours fait suite à celui dispensé dans le cadre du L2 BGSTU. J’ai essayé de faire en sorte
qu’il puisse être lu de manière indépendante. Pour cela j’ai été amené à faire des rappels aux
endroits où ils étaient nécessaires. Ces rappels seront signalés, et je vous invite à les lire. Je
vous conseille les ouvrages suivants :
J. Bouyer. Méthodes statistiques. Médecine-Biologie. Estem
J-J. Daudin, S. Robin & C. Vuillet. Statistique inférentielle. Idées, démarches, exemples.
Presses universitaires de Rennes.
G. Saporta. Probabilités, analyse des données et statistique. Technip
B. Scherrer. Biostatistique. Gaëtan Morin.
D. Schwartz. Méthodes statistiques à l’usage des médecins et des biologistes. 4ème édition.
Flammarion

Table des matières
1 Notions de probabilité [rappels de L2] 4
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Définition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Indépendance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Loi géométrique et loi exponentielle 11
2.1 La loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 La loi de Bernoulli [rappel de L2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 La loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Moyenne théorique ou espérance d’une variable aléatoire discrète . . . . 13
2.1.4 Variance théorique ou espérance d’une variable aléatoire discrète . . . . 14
2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Loi de probabilité d’une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Moyenne théorique ou espérance d’une v.a. continue . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Variance théorique d’une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Loi de Laplace-Gauss ou loi normale [Rappel de L2] . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Table de la loi N(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Comparaison de deux moyennes 24
3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Les effectifs des échantillons sont suffisamment importants . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Distribution d’une moyenne [Rappel de L2] . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Construction du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 Calcul de l’erreur de seconde espèce β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Les petits échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Les observations individuelles sont distribuées selon une loi normale :
test de student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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3.3.2 Les observations individuelles ne sont pas distribuées selon une loi normale
: test de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Test paramétrique et test libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Table de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Table la loi de Mann et Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Test du chi-deux (χ 2 ) d’adéquation 40
4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Construction du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Cas où la distribution théorique ne dépend pas de paramètre inconnu . . 41
4.2.2 Cas où la distribution théorique dépend de paramètre(s) inconnu(s) . . . 44
4.3 Fonction de répartition de la loi du χ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Liaison entre deux variables aléatoires discrètes 49
5.1 Loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Test du χ 2 d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Liaison entre deux variables aléatoires continues 55
6.1 Loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires continues . . . . . . . . . 55
6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Covariance et coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Estimation du cooefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.3 Test de l’hypothèse de nullité du coefficient de corrélation linéaire . . . . 60
6.3 exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7 Régression linéaire simple 62
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Estimation des coefficients du modèle par la méthode des moindres carrés . . . 65
7.4 Test de la pente de la droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.1 Construction du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.2 Interprétation du test de la pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5 Précision de la droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.5.1 Intervalle de confiance de la pente de la droite de régression . . . . . . . 69
7.5.2 Prédiction de Y connaissant x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6 Part de variance expliquée par la régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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Chapitre 1
Notions de probabilité [rappels de L2]
L’objet de toute étude statistique est de formuler des lois valables pour un ensemble d’êtres
ou d’éléments auquel on donne le nom de population.
1.1 Généralités
Définition 1.1 On appelle population (notée Ω) un ensemble d’éléments ou individus (notés
ω), possédant au moins une caractéristique commune et exclusive, permettant de l’identifier
et de le distinguer sans ambiguïté de tout autre.
Exemples :
1. Ω1 =“Ensemble des étudiants inscrits en L3BGSTU” ;
2. Ω2 = “Ensemble des poissons d’un lac” ;
3. Ω3 = “Ensemble des familles d’un pays” ;
4. Ω4 = “Ensemble de cellules”.
Ω1 constitue bien une population car l’élément constitutif de la population est bien identifié
(une personne), et ses caractéristiques communes et exclusives : il est étudiant ET inscrit en
L3BGSTU.
Remarque : Un individu n’est pas forcément un individu au sens usuel. Pour Ω1, l’individu
ω est une personne. Pour Ω3, l’individu (ω) est une famille.
Définition 1.2 On appelle variable aléatoire (notée T; X; Y ... Z) une application qui à
un individu ω associe une valeur numérique appelée réalisation de la variable aléatoire (notée
T(ω)=t; X(ω)=x;Y(ω)=y ...Z(ω)=z).
Exemples : L’observation des cellules permet de définir la variable aléatoire “état de la
cellule” :
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C : Ω4 −→ {0,1}
ωi ↦−→ C(ωi) = 1 si la cellule i est cancéreuse;
= 0 sinon.
Un jet de dés permet de définir la variable aléatoire “numéro de la face tirée” :
X : Ω1 −→ {1,2,3,4,5,6}
ωi ↦−→ X(ωi) = xi = numéro de la face tirée
L’observation du groupe sanguin d’un individu dans la population humaine permet de définir
la variable aléatoire “groupe sanguin” :
X : Ω2 −→ {1,2,3,4}
ωi ↦−→ X(ωi) = 1 si le groupe est de type A
= 2 si le groupe sanguin est de type B
= 3 si le groupe sanguin est de type AB
= 4 si le groupe sanguin est de type O
L’observation de la taille d’un poisson permet de définir la variable aléatoire “taille” :
T : Ω3 −→ {R + }
ωi ↦−→ T(ωi) = xi = taille du poisson
Définition 1.3 On appelle espace fondamental l’ensemble E constitué de tous les résultats
possibles de la variable aléatoire.
Exemple : Pour la variable aléatoire “jet de dés”, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; pour la variable
aléatoire “groupe sanguin”, E = {1, 2, 3, 4}; pour la variable aléatoire “taille du poisson”,
E = R + .
Définition 1.4 On appelle événement -noté A, B, ...- une proposition concernant les résultats
de la variable aléatoire, ce qui est équivalent à un sous ensemble de l’espace fondamental E.
On notera E l’ensemble des événements associé à E.
Exemple 1 L’événement “obtenir un résultat pair” pour la variable aléatoire “jet de dés” est
A1 = {2, 4, 6}; l’événement “obtenir un résultat impair” pour la variable aléatoire “jet de
dés” est A2 = {1, 3, 5}; l’événement “avoir un 1” pour la variable aléatoire “jet de dés” est
A3 = {1}, l’événement “obtenir un 7” pour la variable aléatoire “jet de dés” est ∅. Ces quatre
ensembles font partie de E = {A1, A2, A3, ∅, ..., E}.
Exemple 2 L’événement “ne pas être du groupe sanguin A” pour la variable aléatoire “groupe
sanguin” est A1 = {2, 3, 4}; L’événement “être donneur universel” pour la variable aléatoire
“groupe sanguin” est A1 = {3}.
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Exemple 3 L’événement “être compris entre 10 et 12 cm” pour la variable aléatoire “taille
du poisson” est A1 = [10, 12]; l’événement “être strictement supérieur à 12” pour la variable
aléatoire “taille du poisson” est A2 =]12, +∞[.
La première caractéristique d’une variable aléatoire, c’est qu’on ne connaît pas avant sa réalisation,
la valeur qu’elle prend. Puisqu’on ne peut connaître la valeur prise par la variable
aléatoire considérée, on va s’intéresser aux chances ou probabilités de tout événement. “Connaître”
la variable aléatoire ce n’est pas connaître à l’avance les résultats, c’est connaître quelle
est la chance ou probabilité de réalisation de tout événement.
1.2 Définition d’une probabilité
1.2.1 Espace probabilisable
Définition 1.5 Soit Ω un ensemble, on appelle espace probabilisable la donnée d’un couple
(Ω, A) où A (dite tribu associée à Ω) est une collection de sous ensembles de Ω vérifiant :
1. Ω ∈ A
2. Si A ∈ A alors A c ∈ A
3. Pour toute suite (An)n∈N d’éléments de A, ∪n∈NAn ∈ A
Exemple : Soit E = {1,2,3,4,5,6} de l’exemple “jet de dé”. Si on définit E = P(E) =ensemble
des parties de E, alors (E, E) constitue un espace probabilisable. E correspond alors à l’ensemble
des événements qu’il est possible d’associer à la variable aléatoire “jet de dé”.
1.2.2 Probabilité
Définition
Définition 1.6 Soit (Ω, A) un espace probabilisable. On appelle probabilité P associée à (Ω, A)
l’application :
P : A −→ [0, 1]
A ↦−→ P(A) telle que :
• P(Ω) = 1;
• Pour toute suite (Ai)i d’événements deux à deux disjoints (ie Ai ∩ Aj, ∀i = j) alors
P(∪iAi) =
i P(Ai)
Définition 1.7 Le triplet (Ω, A,P) est dit espace probabilisé.
Propriété 1.1 Soient A et B deux événements quelconques, alors on a toujours :
P(∅) = 0
P(A c ) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B).
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Propriété 1.2 Quand l’espace fondamental est fini et si ses éléments sont équiprobables alors
la probabilité d’obtenir un événement A est notée P(A), avec P(A) = CardA
. Le cardinal de
CardE
A désigne le nombre d’éléments de A.
Exemples :
1. Soit un dé, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et A = { 2, 4, 6}. Donc CardE= 6 et CardA= 3. La probabilité
= 1/2.
d’obtenir un nombre pair est donc P(A)= CardA
CardE
2. Soit un dé, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et B = { 3, 4, 5, 6}. Donc CardE= 6 et CardB= 4. La
= 2/3.
probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 est donc P(B)= CardB
CardE
3. Soit un dé, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair et supérieur ou égal à 3?
Pour cela nous calculons la probabilité de l’intersection des événements A et B :
CardA ∩ B
A ∩ B = { 4, 6} d’où P(A ∩ B) = = 1/3.
CardE
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 1.8 Soit X une variable aléatoire réelle, E son espace fondamental muni de E.
On definit PX la probabilité associée à X par : PX(A) = P {ω / X(ω) ∈ A} = P(X ∈ A). PX
est dite distribution théorique ou encore loi de probabilité de X.
Exemple : Soit Ω=“Ensemble des étudiants de L3BGSTU” et A= “Ensemble de tous les
groupes d’étudiants de L3BGSTU qu’il est possible de constituer”. On définit alors sur (Ω, A)
la probabilité :
Soit X la variable “groupe sanguin” :
X : Ω −→
P : (Ω, A) −→ [0,1]
A ↦−→ P(A) = cardA
cardΩ
{1,2,3,4}, E
ω ↦−→ X(ω) = 1 si le groupe sanguin est de type A
= 2 si le groupe sanguin est de type B
= 3 si le groupe sanguin est de type AB
= 4 si le groupe sanguin est de type O
Soit l’événement “être donneur universel”= A = {4}. Alors on a :
PX(A) = PX{4} = P {ω / X(ω) = 4} =
card{ω / X(ω) = 4}
cardΩ
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Probabilité conditionnelle
Définition 1.9 Si A et B sont deux événements (avec P(A) = 0), on appelle probabilité
conditionnelle de B quand A est réalisé, le nombre réel défini par P(B/A) . P(A ∩ B)
= .
P(A)
Exemple : Jet de dé (Ω, A,P) −→ (E = {1,2,3,4,5,6}, E, PX)
ω ↦−→ X(ω)
Considérons les deux événements : A=“Obtenir un résultat pair” et B=“Obtenir un résultat
supérieur ou égal à 4”.
PX(B/A) . = PX(A ∩ B)
PX(A) = PX{4, 6}
1/3
. Nous obtenons donc = 2/3.
PX{2, 4, 6} 1/2
1.3 Indépendance
1.3.1 Indépendance de deux événements
Définition 1.10 Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Remarques :
1. Si A et B sont indépendants alors P(B/A) = P(B);
2. “indépendance” signifie que la réalisation de l’événement A ne modifie pas les chances
ou la probabilité de réalisation de l’événement B ;
3. Pour montrer la dépendance de deux événements A et B, il suffit de vérifier que P(A ∩
B) = P(A) × P(B).
Exemple :
1. Considérons l’exemple précédent (obtenir un résultat pair et supérieur ou égal à 4). La
probabilité de l’intersection des événements A et B (A ∩ B = { 4, 6}) est égale à :
CardA ∩ B
P(A ∩ B) = = 1/3.
CardE
Si nous calculons P(A) × P(B), nous obtenons P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4 donc
P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Les événements A et B ne sont pas indépendants.
2. Reprenons l’exemple précédent en considérant B1 l’événement “obtenir un résultat supérieur
ou égal à 3". La probabilité de l’intersection des événements A et B1 (A ∩ B1 =
CardA ∩ B1
{ 4, 6}) est égale à : P(A ∩ B1) = = 1/3.
CardE
Si nous calculons P(A) × P(B1), nous obtenons P(A) × P(B1) = 1/2 × 2/3 = 1/3 donc
P(A ∩ B1) = P(A) × P(B1). Les événements A et B1 sont donc indépendants.
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1.3.2 Indépendance de deux variables aléatoires
Définition 1.11 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur la même population.
X et Y sont dites variables aléatoires indépendantes si et seulement si :
∀(a1, a2, b1, b2) / a1 < b1 ∧ a2 < b2,
P {ω/a1 < X(ω) < b1 ∧ a2 < Y (ω) < b2} = PX[a1, b1] × PY [a2, b2].
Interprétation : Intuitivement, deux variables aléatoires sont indépendantes si la distribution
de l’une ne dépend pas des valeurs de l’autre. Par exemple, le poids et la tension arterielle
seraient indépendantes si la distribution de la tension artérielle était la même quelque soit le
poids. Pratiquement, cela signifie que si l’on regroupait les sujets d’une population en sous
populations de sujets de même poids, la distribution de la tension artérielle serait la même
dans toutes ces populations.
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1.4 Exercices
Exercice 1.1 On considère un dé à 6 faces non pipé. On définit les 3 événements :
A=“Obtenir un chiffre pair”, B=“Obtenir un chiffre impair”, C=“Obtenir un résultat ≥ à 4”.
1. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Montrer que les événements A et C ne sont pas indépendants.
3. Proposer un événement D qui soit indépendant de l’événement A.
Exercice 1.2 On a mélangé par inadvertance des graines de deux provenances différentes :
A et B. On a ainsi un ensemble de graines dont 1/3 provient de A et 2/3 de B. La moitié des
graines de A et les trois quarts des graines de B sont noires. On choisit une graine au hasard :
elle est noire. Quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de A?
Exercice 1.3 On vous présente un homme. Dans la brève conversation qui suit, vous apprenez
que cet homme a deux enfants dont au moins une fille. Quelle est la probabilité pour qu’il
ait deux filles ?
Exercice 1.4 Une population est composée de 40% d’hommes et de 60% de femmes. 50%
des hommes et 30% des femmes fument. Quelle est la probabilité pour qu’un fumeur, choisi
au hasard, soit une femme?
Exercice 1.5 Une partie du jeu du lièvre et de la tortue se déroule ainsi : On lance un dé.
Si le dé tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5 la tortue avance d’une case. Elle a 5 cases à franchir avant
d’atteindre l’arrivée. La partie est alors terminée, la tortue a gagné. Si le dé tombe sur 6 le
lièvre atteint directement l’arrivée. La partie est alors terminée, le lièvre a gagné.
La partie continue jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant. Quelle est la situation la plus enviable :
celle du lièvre ou celle de la tortue?
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Chapitre 2
Loi géométrique et loi exponentielle
2.1 La loi géométrique
2.1.1 La loi de Bernoulli [rappel de L2]
Nous allons considérer l’exemple suivant : on considère un malade qui doit recevoir une greffe.
Pour que la greffe puisse se faire, il faut que le donneur soit compatible avec le malade. Si on
définit par Ω l’ensemble des donneurs potentiels (e.g. adultes entre 25 et 45 ans) on peut à
chaque individu associer une valeur numérique égale à :
• 1 si le donneur est compatible;
• 0 si le donneur n’est pas compatible.
... et définir l’application suivante :
X1 : Ω −→ {0,1}
ω ↦−→ X1(ω) = 1 si compatible;
= 0 si non compatible.
Ω représente la population (ie les donneurs respectant le critère d’inclusion, et ω est le donneur
qui se présente. On considère ici que le donneur est choisi aléatoirement dans la population.
Ainsi, le résultat (ie compatibilité ou non compatibilité) est aléatoire...on ne peut pas savoir
à l’avance si le donneur est compatible!
Définition 2.1 On appelle variable aléatoire (v.a.) réelle une application X qui à un individu
ω associe une valeur numérique appelée réalisation de la variable aléatoire (notée X(ω) = x).
On note :
X : Ω −→ E
ω ↦−→ X(ω) = x
Pour notre exemple, la v.a. est à valeurs dans un ensemble dénombrable (et même fini) : E =
{0,1}. On parlealors de v.a. discrète. E = {0,1} est le plus simple possible. Les événements
possibles sont : ∅, {0}, {1}, {0,1} ...et pour connaître leurs probabilités il suffit de connaître
les probabilités associées à {0} et à {1}. On notera : p = P(X1 = 1) et 1−p = q = P(X1 = 0).
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Définition 2.2 La “collection” des probabilités associées aux événements unitaires est dite loi
de probabilité de la variable aléatoire X.
La définition précédente est valable dans le cas discret, nous verrons ensuite ce qu’elle devient
dans le cas continu, c’est à dire dans le cas où la v.a. est à valeurs dans un ensemble non
dénombrable.
Exemple (suite) Imaginons que dans la population des donneurs 30% des individus soient
compatibles. Alors, nous en déduisons que P(X = 1) = 0,3 et P(X = 0) = 0,7. La loi de
probabilité de X1 est donc : (p = 0,3;q = 0,7).
Définition 2.3 La loi de probabilité d’une v.a. à deux états (en général codés par 0 et par 1)
est dite loi de Bernoulli. On note X1 B(p).
2.1.2 La loi géométrique
Exemple (suite) : Imaginons nous à la place du malade. Il peut se demander :
(a) Si le prochain donneur sera compatible ...ou plutôt quelle est la probabilité que le
prochain donneur soit compatible? C’est ce que nous venons de voir au paragraphe
précédent.
(b) Qu’elle est la probabilité qu’il lui faille attendre 2 (ou 3, 4, ...k) donneurs avant d’être
greffé? ...autrement dit il s’interesse à la v.a. “nombre de donneurs avant la greffe”.
Dans la cas (b), définissons la v.a.Y associée. Un individu est ici un malade, donc Ω ′
=ensemble
des malades. Combien y-a-t-il de valeurs possibles ? k = 1,2,3, · · · + ∞ = N ⋆ = E. Nous
pouvons donc définir :
X : Ω ′
ω ′
−→ N⋆ ↦−→ X(ω ′
) = Nombre de donneurs nécessaires pour la greffe
Calculons maintenant les probabilités associées aux événements unitaires :
P(Y = 1) = P(X1 = 1) = p = 0,300
P(Y = 2) = P(X1 = 0 ∩ X2 = 1)
= P(X1 = 0) × P(X2 = 1) si on suppose les v.a. Xi indépendantes.
= (1 − p) × p = 0,3 × 0,7 = 0,210.
P(Y = 3) = P(X1 = 0 ∩ X2 = 0 ∩ X3 = 1)
= P(X1 = 0) × P(X2 = 0) × P(X1 = 1)si on suppose les v.a. Xi indépendantes.
= (1 − p) 2 × p = 0,7 2 × 0,3 = 0,147.
...et plus généralement P(Y = k) = (1 − p) k−1 × p
Définition 2.4 Une v.a. Y à valeurs dans N ⋆ suit une loi géométrique de paramètre p (0 ≤
p ≤ 1) si et seulement si : P(Y = k) = (1 − p) k−1 × p
La loi géométrique est la loi du nombre d’essai(s) nécessaire(s) pour faire apparaître un événement
de probabilité p.
12

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(c) Autre question : quelle est la probabilité de n’avoir toujours pas été greffé au bout de 5
donneurs ?
Répondre à cette question, c’est calculer la valeur de :
P(Y > 5) = 1 − P(Y ≤ 5)
= 1 − P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5)
= 1 − p + (1 − p) × p + (1 − p) 2 × p + (1 − p) 3 × p + (1 − p) 4
× p
= 1 − 0,300 + 0,210 + 0,147 + 0,103 + 0,072
= 1 − 0,832
= 0,168
2.1.3 Moyenne théorique ou espérance d’une variable aléatoire discrète
(d) Nouvelle question que peut se poser le malade : si on considère l’ensemble des malades
(qui constituent Ω ′
), quel est le nombre moyen µ(Y ) de donneurs nécessaires pour être
greffé?
Définition 2.5 Nous appelons moyenne théorique ou espérance d’une v.a. discrète le nombre
-s’il existe et a un sens- :
µ(Y ) =
j
pj × cj
où les cj sont les valeurs possibles. dans notre exemple cj = 1,2,3,... , et les pj sont les
probabilités qui leur sont associées.
Dans le cadre de notre exemple, où Y suit une loi géométrique nous obtenons :
Or
µ(Y ) =
+∞
k=0
=
=
=
=
+∞
i=1
+∞
k=0
+∞
k=0
+∞
k=0
+∞
q k 1
1 − q ⇒
k=0
+∞
j × p × (1 − p) j−1
(k + 1) × p × (1 − p) k
(k + 1) × (1 − q) × (q) k
(k + 1)q k −
kq k +
k=0
+∞
(k + 1)q k+1
k=0
+∞
q k + q 2
+∞
k=0
kq k−1 =
k=0
1
(1 − q) 2
D’où µ(Y ) = (q − q2 1 1
) +
(1 − q) 2 1 − q
en posant k = j − 1
car q = 1 − p
kq k−1 − q
+∞
k=0
q k
1
1
× (1 − q) = × (q + 1 − q) =
1 − q 1 − q
13
= 1
p .

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Propriété 2.1 Si Y suit une loi géométrique de paramètre p, alors µ(Y ) = 1
p
Exemple : Nous avons p = 0,3 ⇒ µ(Y ) = 1
3,33. Donc en moyenne la greffe peut être
0,3
effectuée au bout de trois donneurs.
La moyenne théorique ou espérance µ(Y ) est un paramètre qui donne la valeur centrale de
la distribution. µ est une constante connue si et seulement si on connait les pj . Si on ne
connait pas les pj (dans notre exemple, si on ne connait pas la probabilité p de compatibilité
d’un donneur), alors µ existe mais est inconnue ...on peut alors chercher à en obtenir une
estimation ou à faire un test quant à sa valeur possible.
Propriété 2.2 1) Soient X et Y définies sur la même population Ω,
alors µ(X + Y ) = µ(X) + µ(Y )
2) Soit a une constante. Alors µ(aX) = a × µ(X)
2.1.4 Variance théorique ou espérance d’une variable aléatoire discrète
(e) Autre (encore!) question : en moyenne la greffe sera possible au bout de µ(Y ) = 3,33
donneurs. Mais pour un malade donné, le nombre de donneurs nécessaires pour le greffe
ne sera pas (et forcément!) égal à 3,33 et va fluctuer de part et d’autre de cette valeur.
Nous allons quantifier cette fluctuation à l’aide d’un indice qui s’appelle la variance.
Définition 2.6 Nous appelons variance théorique d’une v.a. discrète Y , le nombre -lorsqu’il
existe et a un sens- défini par :
σ 2 (Y ) = µ(Y − µ(Y )) 2 =
pj × (cj − µ(Y )) 2 .
Propriété 2.3 Si Y suit une loi géométrique de paramètre p, alors σ 2 (Y ) = q
p 2.
Exemple : p = 0,3, q = 0,7 ⇒ σ2 (Y ) = 0,7
= 7,77 ⇐⇒ σ(Y ) = 2,78.
0,32 Exercice : Soit la v.a X1 définie au début du paragraphe, qui suit une loi de Bernoulli B(p).
Montrer que µ(X1) = p et σ2 (X1) = pq.
Il existe deux autres lois de probabilités discrètes usuelles que vous avez vu en L2. Il s’agit de
la loi binomiale et de la loi de Poisson.
2.2 La loi exponentielle
(f) Le malade se pose maintenant la question suivante : “Combien de temps vais-je attendre
avant d’être greffé?” ou encore “Quelle est la probabilité que j’attende plus qu’un temps
T avant d’être greffé?”
14
j

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Fonction de densite
0.0 0.01 0.02 0.03 0.04
a b
Fig. 2.1 – Densité de probabilité d’une variable aléatoire continue.
2.2.1 Loi de probabilité d’une v.a. continue
Définissons la variable aléatoire associée à notre question. C’est celle qui à chaque malade va
associer le temps d’attente avant la greffe :
Z : Ω ′
ω ′
−→ R +
↦−→ Z(ω ′
) = Temps nécessaire pour la greffe
Cette v.a. est à valeurs dans un ensemble indénombrable, on parle de v.a. continue.
Définition 2.7 On appelle événement d’une v.a. continue tout intervalle, ou réunion d’intervalles.
En conséquence, la loi de probabilité d’une v.a. continue est connue dès que l’on connait, pour
tout intervalle [a, ,b] la probabilité pour que Z soit comprise entre a et b. : P(a < Z ≤ b) =
PZ(]a,b]).
Définition 2.8 Soit Z une v.a. à valeurs dans R. S’il existe une fonction fZ continue positive
telle que : P(a < Z ≤ b) =
b
a
fZ(t)dt, alors fZ est dite densité de probabilité de Z.
En conséquence, pour une v.a. continue, la probabilité d’un intervalle se présente comme une
aire sous la courbe de fZ, pour l’intervalle correspondant. L’aire totale est égale à 1. fZ est
l’analogue des (pj)j qui ont été définis dans le cas discret;
Nous allons maintenant présenter une de ces fonctions de densité, qui sous certaines suppositions
que nous énoncerons, permet de répondre à la question posée.
2.2.2 La loi exponentielle
C’est l’analogue, en version continue, de la loi géométrique que nous avons vue précedemment.
Notons A l’événement “un donneur compatible est trouvé”, et faisons les suppositions
suivantes :
(S1) La probabilité que A se produise dans un intervalle de temps ]t, t + ∆t] ne dépend que
de ∆t : on dit que le processus est homogène et sans mémoire.
15

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Z
A1 A2 AN AN+1
0 1 2
k-1 k
t1 t2 tN tN+1
X1
(S2) Soit P(∆t) cette probabilité. On suppose que P(∆t) λ × ∆t quand ∆t tend vers 0, où
λ > 0 : A est un événement rare.
(S3) Si t1, t2, t3, t4 sont quatre instants successifs, alors les événements “A se produit entre
t1 et t2” et “A se produit entre t3 et t4” sont indépendants.
Modélisation du temps d’attente (cas discret)
On décide de faire une observation par heure, pour voir si A s’est produit. Notons 1,2,3,... ,k−
1,k,... les instants d’observation séparés par un intervalle de temps ∆t = 1h.
Soit [0, T] l’intervalle d’étude du phénomène pendant lequel on a observé un nombre (aléatoire)
N de manifestations de A. On note t1,... ,tN,... les instants où A se produit et Xk = tk−tk−1
les variables d’attente successives.
Soit Ak=“l’événement se produit pendant la k ième heure”, et Āk l’événement contraire. Les
événements Ak et Āl (k = l) sont indépendants (d’après (S3)). Pour tout k, la probabilité
que A se produise pendant la k ième heure ne dépend pas de k (d’après (S1)). Posons donc
P(Ak) = P(∆t) = λ. Nous avons donc P( Āk) = 1 − λ.
Soit Z ′
le temps d’attente discrétisé de A : Z ′
est une v.a. discrète exprimant le temps d’attente
en nombre d’heures. Alors Z ′
suit une loi géométrique de paramètre p :
X2
P(Z ′
= k) = λ × (1 − λ) k−1
Du discret au continu : de la loi géométrique à la loi exponentielle
Si on considère des intervalles de temps plus courts ...par exemple multiples de 1
heure (par
n
exemple toutes les minutes,...), la probabilité que A se produise durant un intervalle donné
16
T

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de durée ∆t = 1
n
0
1/n
2/n
t
3/n
4/n
1
est P(1 ) =
n n × λ (car d’après (S2), P(∆t) λ × ∆t).
Soit Z la c.a. continue du temps d’attente de l’événement A. Soit Yn le nombre de frac-
tions de ∆t = 1
n
minutes à attendre avant que l’événement A se produise. D’après le para-
graphe précédent, Yn suit une loi géométrique de paramètre p = P( 1
n
P(Yn = kn) = λ λ
× (1 −
n n )kn−1 ).
λ
) = . Nous avons donc
n
Supposons que l’événement A se produit en l’instant t compris entre (kn−1)×∆t = (kn−1)× 1
n
et kn × ∆t = kn × 1
n .
Remarquons que kn
n → t quand n → +∞. Si Yn = kn, alors nous avons kn − 1
n
Or, P(Yn = k) P( kn − 1
n
kn
n ≤ τn < kn − 1
n .
< Z ≤ kn kn
) = P(Z ≤
n
D’après le théorème des accroissements finis, nous avons donc :
P(Y = kn) 1
n f(τn)
n ) − P(Z ≤ kn − 1
n
kn
< Z ≤
n .
1
)
n f(τn) avec
⇐⇒ λ λ
× (1 −
n n )kn−1 ) = 1
n f(τn)
⇐⇒ λ × (1 − λ
n )kn−1 ) = f(τn)
En prenant la limite lorsque n tend vers +∞ des deux membres de l’égalité, nous obtenons :
17

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lim
n→+∞ f(τn) = f(t)
Or
λ
lim λ × (1 −
n→+∞ n )kn−1 =
λ kn−1
lim λ × (1 − )n× n
n→+∞ n
kn−1 λ
×ln(1−
en× n n )
= λ × lim
n→+∞
kn−1
= λ × lim e n
n→+∞ ×−λ
car ln(1 − λ
n
) −λ , sin >> λ
n
= λ × e−λ×t kn − 1
car lim = t
n→+∞ n
Nous avons donc f(t) = λ × e −λ×t . Cette densité est dite densité de la loi exponentielle.
Définition 2.9 Une variable aléatoire réelle positive Z suit une loi exponentielle de paramètre
λ, notée exp(λ) ssi elle admet comme densité de probabilité : f(t) = λ × e −λ×t .
2.2.3 Moyenne théorique ou espérance d’une v.a. continue
Définition 2.10 Définition 2.11 On appelle moyenne théorique ou espérance, notée µ(X)
d’une variable aléatoire continue X, le nombre lorsqu’il existe :
µ = µ(X) =
+∞
−∞
t × fX(t)dt.
Remarque : C’est l’analogue du cas discret µ(X) =
ci × pi.
Propriété 2.4 Soit Z suivant une loi exponentielle exp(λ). Alors µ(Z) = 1
λ
2.2.4 Variance théorique d’une v.a. continue
Définition 2.12 On appelle variance théorique σ2 d’une variable aléatoire continue X, le
nombre lorsqu’il existe :
σ 2 = σ 2 +∞
(X) =
−∞
i≥0
(t − µ(X)) 2 × fX(t)dt
Remarque : C’est l’analogue du cas discret σ2 (X) =
(ci − µ(X)) 2 × pi.
Propriété 2.5 Soit Z suivant une loi exponentielle exp(λ). Alors var(Z) = 1
λ 2.
Il existe d’autres lois de probabilités continues que vous avez vu en L2. : loi normale ou de
Laplace-Gauss, loi Uniforme, de Student, du χ 2 ... Nous rappelons dans le paragraphe suivant
la loi normale.
18
i≥0

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2.3 Loi de Laplace-Gauss ou loi normale [Rappel de L2]
2.3.1 Définition
Pour les variables aléatoires continues, c’est la loi la plus utilisée en statistique.
Définition 2.13 Une variable aléatoire continue X suit une loi normale de paramètres µ et
σ 2 ≥ 0 si elle admet comme densité de probabilité :
On note X ↩→ N(µ,σ 2 ).
fX(t) = 1
σ √ 2π e−1
t − µ
2 σ
Remarque : La notation N(µ,σ) existe également. Aussi, pour enlever toute ambiguïté, on
précisera laquelle des deux notations est employée. Par exemple, X ↩→ N(µ,σ 2 = 9). ou
X ↩→ N(µ,σ = 3).
Fonction de densite
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
2
-9 -6 -3 0 3 6 9 12 15
Fig. 2.2 – Densité de probabilité pour une loi N(µ = 3,σ 2 = 9).
Propriété 2.6 Si X ↩→ N(µ,σ 2 ), alors : µ(X) = µ et σ 2 (X) = σ 2 .
Propriété 2.7 Si X ↩→ N(µ,σ 2 ), alors Y = aX + b suit une loi normale
de moyenne µ(Y ) = µ(aX + b) = aµ(X) + b;
et de variance σ 2 (Y ) = σ 2 (aX + b) = a 2 σ 2 (X).
Propriété 2.8 Si X1 ↩→ N(µ1,σ 2 1 ) et X2 ↩→ N(µ2,σ 2 2 ) sont indépendantes, alors Y =
X1 + X2 suit une loi normale :
• de moyenne µ(Y ) = µ(X1 + X2) = µ(X1) + µ(X2);
• et de variance σ 2 (Y ) = σ 2 (X1 + X2) = σ 2 (X1) + σ 2 (X2).
Remarques :
19

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1. fX(x)est est une fonction symétrique par rapport à la moyenne µ et admet deux points
d’inflexion d’abcisse µ − σ et µ + σ.
2. La loi normale dépend de deux paramètres µ et σ 2 . Il existe donc une infinité de lois
normales :
Fonction de densite
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
N(-5;0.7)
N(0;1)
N(3;3)
-10 -5 0 5 10 15
Fig. 2.3 – Fonction de densité pour trois lois normales.
Cependant, à partir d’une loi normale quelconque, X ↩→ N(µ,σ 2 ), on peut se ramener
X − µ
à Z ↩→ N(0,1). En effet Z = suit alors d’après la propriété (2.8) une loi normale
σ
de moyenne µ(Z) = µ µ
var(X) σ2
− = 0 et de variance var(Z) = = = 1.
σ σ σ2 σ2 3. Le calcul des probabilités associées à la loi normale n’est pratiquement pas possible avec
des moyens simples. En effet, la primitive de :
1
σ √ 2π e−1
t − µ(X)
2 σ
n’existe pas. On se sert alors de tables construite pour la loi N(0,1).
4. Lorsque l’on doit calculer une probabilité relative à une loi normale quelconque N(µ,σ 2 )
on utilise le changement de variable indiqué en 2 :
a − µ
PX([a,b]) = P(a < X < b) = P
σ
< X − µ
σ
2
< b − µ
σ
a − µ
= P
σ
< Z <
b − µ
. Ainsi la table de la loi normale N(0,1) suffit à calculer les probabilités relatives
σ
à n’importe quelle loi normale.
5. Vocabulaire : La loi N(0,1) est dite loi normale standard ou encore loi normale centrée
réduite.
6. Importance de la loi normale
• La loi normale est certainement la loi de probabilité la plus utilisée. Comme on le
verra par la suite, elle intervient souvent comme loi limite vers laquelle convergent
20

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certains modèles : par exemple la moyenne de n mesures indépendantes et de même
loi a une distribution qui se rapproche de plus en plus d’une distribution normale
lorsque n augmente.
• Introduite comme “Loi normale des erreurs”, d’où son nom, la loi normale semble
décrire assez bien la distribution de certains caractères biométriques, par exemple la
taille d’un individu choisi au hasard dans une population donnée.
• Elle est à l’origine du développement de modèles probabilistes : les modèles gaussiens
(Loi du Chi-Deux, loi de Student, loi de Fisher-Snedecor).
• Enfin, elle peut être utilisée comme approximation des lois discrètes binomiale et de
Poisson.
21

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2.3.2 Table de la loi N(0,1)
Si Z sui la loi normale N(0,1), la table donne la valeur de P(Z < x). Cette valeur s’obtient
par addition des nombres inscrits en marge.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
0.000
0.0000
0.0251
0.0502
0.0753
0.1004
0.1257
0.1510
0.1764
0.2019
0.2275
0.2533
0.2793
0.3055
0.3319
0.3585
0.3853
0.4125
0.4399
0.4677
0.4959
0.5244
0.5534
0.5828
0.6128
0.6433
0.6745
0.7063
0.7388
0.7722
0.8064
0.8416
0.8779
0.9154
0.9542
0.9945
1.0364
1.0803
1.1264
1.1750
1.2265
1.2816
1.3408
1.4051
1.4758
1.5548
1.6449
1.7507
1.8808
2.0537
2.3263
0.001
0.0025
0.0276
0.0527
0.0778
0.1030
0.1282
0.1535
0.1789
0.2045
0.2301
0.2559
0.2819
0.3081
0.3345
0.3611
0.3880
0.4152
0.4427
0.4705
0.4987
0.5273
0.5563
0.5858
0.6158
0.6464
0.6776
0.7095
0.7421
0.7756
0.8099
0.8452
0.8816
0.9192
0.9581
0.9986
1.0407
1.0848
1.1311
1.1800
1.2319
1.2873
1.3469
1.4118
1.4833
1.5632
1.6546
1.7624
1.8957
2.0749
2.3656
0.002
0.0050
0.0301
0.0552
0.0803
0.1055
0.1307
0.1560
0.1815
0.2070
0.2327
0.2585
0.2845
0.3107
0.3372
0.3638
0.3907
0.4179
0.4454
0.4733
0.5015
0.5302
0.5592
0.5888
0.6189
0.6495
0.6808
0.7128
0.7454
0.7790
0.8134
0.8488
0.8853
0.9230
0.9621
1.0027
1.0450
1.0893
1.1359
1.1850
1.2372
1.2930
1.3532
1.4187
1.4909
1.5718
1.6646
1.7744
1.9110
2.0969
2.4089
0.003
0.0075
0.0326
0.0577
0.0828
0.1080
0.1332
0.1586
0.1840
0.2096
0.2353
0.2611
0.2871
0.3134
0.3398
0.3665
0.3934
0.4207
0.4482
0.4761
0.5044
0.5330
0.5622
0.5918
0.6219
0.6526
0.6840
0.7160
0.7488
0.7824
0.8169
0.8524
0.8890
0.9269
0.9661
1.0069
1.0494
1.0939
1.1407
1.1901
1.2426
1.2988
1.3595
1.4255
1.4985
1.5805
1.6747
1.7866
1.9268
2.1201
2.4573
0.004
0.0100
0.0351
0.0602
0.0853
0.1105
0.1358
0.1611
0.1866
0.2121
0.2378
0.2637
0.2898
0.3160
0.3425
0.3692
0.3961
0.4234
0.4510
0.4789
0.5072
0.5359
0.5651
0.5948
0.6250
0.6557
0.6871
0.7192
0.7521
0.7858
0.8204
0.8560
0.8927
0.9307
0.9701
1.0110
1.0537
1.0985
1.1455
1.1952
1.2481
1.3047
1.3658
1.4325
1.5063
1.5893
1.6849
1.7991
1.9431
2.1444
2.5121
0.005
0.0125
0.0376
0.0627
0.0878
0.1130
0.1383
0.1637
0.1891
0.2147
0.2404
0.2663
0.2924
0.3186
0.3451
0.3719
0.3989
0.4261
0.4538
0.4817
0.5101
0.5388
0.5681
0.5978
0.6280
0.6588
0.6903
0.7225
0.7554
0.7892
0.8239
0.8596
0.8965
0.9346
0.9741
1.0152
1.0581
1.1031
1.1503
1.2004
1.2536
1.3106
1.3722
1.4395
1.5141
1.5982
1.6954
1.8119
1.9600
2.1701
2.5758
0.006
0.0150
0.0401
0.0652
0.0904
0.1156
0.1408
0.1662
0.1917
0.2173
0.2430
0.2689
0.2950
0.3213
0.3478
0.3745
0.4016
0.4289
0.4565
0.4845
0.5129
0.5417
0.5710
0.6008
0.6311
0.6620
0.6935
0.7257
0.7588
0.7926
0.8274
0.8633
0.9002
0.9385
0.9782
1.0194
1.0625
1.1077
1.1552
1.2055
1.2591
1.3165
1.3787
1.4466
1.5220
1.6072
1.7060
1.8250
1.9774
2.1973
2.6521
0.007
0.0175
0.0426
0.0677
0.0929
0.1181
0.1434
0.1687
0.1942
0.2198
0.2456
0.2715
0.2976
0.3239
0.3505
0.3772
0.4043
0.4316
0.4593
0.4874
0.5158
0.5446
0.5740
0.6038
0.6341
0.6651
0.6967
0.7290
0.7621
0.7961
0.8310
0.8669
0.9040
0.9424
0.9822
1.0237
1.0669
1.1123
1.1601
1.2107
1.2646
1.3225
1.3852
1.4538
1.5301
1.6164
1.7169
1.8384
1.9954
2.2262
2.7478
0.008
0.0201
0.0451
0.0702
0.0954
0.1206
0.1459
0.1713
0.1968
0.2224
0.2482
0.2741
0.3002
0.3266
0.3531
0.3799
0.4070
0.4344
0.4621
0.4902
0.5187
0.5476
0.5769
0.6068
0.6372
0.6682
0.6999
0.7323
0.7655
0.7995
0.8345
0.8705
0.9078
0.9463
0.9863
1.0279
1.0714
1.1170
1.1650
1.2160
1.2702
1.3285
1.3917
1.4611
1.5382
1.6258
1.7279
1.8522
2.0141
2.2571
2.8782
0.009
0.0226
0.0476
0.0728
0.0979
0.1231
0.1484
0.1738
0.1993
0.2250
0.2508
0.2767
0.3029
0.3292
0.3558
0.3826
0.4097
0.4372
0.4649
0.4930
0.5215
0.5505
0.5799
0.6098
0.6403
0.6713
0.7031
0.7356
0.7688
0.8030
0.8381
0.8742
0.9116
0.9502
0.9904
1.0322
1.0758
1.1217
1.1700
1.2212
1.2759
1.3346
1.3984
1.4684
1.5464
1.6352
1.7392
1.8663
2.0335
2.2904
3.0902
22

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2.4 Exercices
Exercice 2.1 L’instituteur de Paul donne chaque semaine une récitation à apprendre à ses
25 élèves. Chaque jour de la semaine il interroge un élève au hasard.
1. Soit la variable aléatoire X=“être interrogé un jour donné”. Quelle est sa distribution ?
2. Sur les 38 semaines de l’année scolaire, quelle est la distribution de la variable aléatoire
“nombre de jours où Paul sera interrogé” ?
3. Paul s’interroge maintenant sur le nombre moyen de séances qu’il passera avant d’être
interrogé.
(a) Quelle est la probabilité qu’il soit interrogé dès la première séance? Que 5 séances
se passent avant que Paul ne soit interrogé?
(b) Définir la variable aléatoire “nombre de séances jusqu’à l’interrogation”. Quelle est
sa distribution de probabilité? (on considèrera le nombre de jours d’interrogations
comme suffisamment grand pour être assimilable à l’infini)
(c) Quel est le nombre moyen de séances qui auront lieu avant que Paul ne soit interrogé?
Exercice 2.2 Dans une population, la taille des femmes adultes a une distribution normale
de moyenne µ = 1,65 m et de variance σ 2 = 0.0025 m 2 .
1. Quelle est la proportion de femmes mesurant plus de 1,70 m?
2. (a) Quelle est la taille qui n’est dépassée que par 5 % des femmes ?
(b) Quelle est la valeur de taille telle que la taille de 5% des femmes lui soit inférieure?
(c) En déduire un intervalle où se trouve la taille de 90 % des femmes de la population?
Y-a-t-il une seule solution?
Exercice 2.3 La taille des tortues est distribuée selon une loi normale N(113cm;12cm) pour
les mâles et selon une loi normale N(136cm; 21cm) pour les femelles.
1. Donner un intervalle de taille contenant 95% des individus femelles, puis 90% des individus
femelles ;
2. Donner un intervalle de taille contenant 95% des individus mâles, puis 90% des individus
mâles ;
3. Quelle est la probabilité qu’une tortue donnée mesure :
(a) exactement 113 cm;
(b) moins de 130 cm;
(c) plus de 100 cm;
(d) entre 100 et 130 cm.
23

Chapitre 3
Comparaison de deux moyennes
3.1 Position du problème
On considère deux lacs, lac A et lac B peuplés chacun de truites. On s’interesse à la variable
poids. Si ΩA (resp. ΩB) désigne la population constituée des poissons du lac A (resp. B). Alors
nous pouvons définir :
et
XA ΩA −→ R +
ω ↦−→ XA(ω) =poids du poisson ω
XB ΩB −→ R +
ω ↦−→ XB(ω) =poids du poisson ω
Nous posons µA = µ(XA) et σ 2 (XA) = σ 2 A et µB = µ(XB) et σ 2 (XB) = σ 2 B .
On souhaite décider entre les deux hypothèses suivantes :
(H0) µA = µB
(H1) µA = µB
Pour répondre à la question, on va prélever un échantillon de nA poissons dans le lac A et de
nB poissons dans le lac B.
Nous allons maintenant présenter le test statistique de (H0) contre (H1) en considérant plusieurs
situations liées à la taille des échantillons que l’on va prélever et à la nature des distributions
de XA et XB.
3.2 Les effectifs des échantillons sont suffisamment importants
Dans le cas d’une variable continue (comme l’est la variable poids), on entendra par là nA ≥ 30
et nB ≥ 30.
Exemple : On a collecté 2 échantillons, les résultats obtenus sont les suivants :
24

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Lac A ¯xA = 123g s 2 A (x) = 2530g2 nA = 60
Lac B ¯xB = 132g s 2 A (x) = 2310g2 nB = 73
Pour chacun des deux échantillons, nous pouvons calculer ¯xA(resp.¯xB). Cette valeur est une
réalisation de la variable aléatoire :
¯XA ΩA × ΩA ...ΩA −→ R +
ω ′
= (ω1,...,ωn) ↦−→ ¯ XA(ω ′
) = 1
De même ¯xB est une réalisation de la v.a. :
¯XB ΩB × ΩB ...ΩB −→ R +
ω ′
= (ω1,...,ωn) ↦−→ ¯ XB(ω ′
) = 1
nA
i=1
nB
nA
Xi(ωi)
nB
Xi(ωi)
3.2.1 Distribution d’une moyenne [Rappel de L2]
Propriété 3.1 Soit X1,...Xn, n variables aléatoires indépendantes de même distribution et
possédant une moyenne µ et une variance σ2 . Alors la variable aléatoire X = 1
n
Xi suit
n
i=1
asymptotiquement une distribution normale de moyenne µ ′ = µ et de variance σ ′2 = σ2
n
La démonstration de la propriété précédente est basée sur le théorème central limite :
Théorème 3.1 Soit (Xi)i≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même
loi possédant une moyenne µ et une variance σ 2 . Alors quelle que soit la loi des Xi,
(3.1) lim
n→+∞ L
n i=1 Xi − nµ
σ √ n
i=1
= N(0,1).
L’égalité (3.1) signifie qu’en tout point t de l’intervalle de variation où F est continue,
lim
n→+∞ Fn(t) = F(t), où on note Fn la fonction de répartion de la variable aléatoire
et F la fonction de répartition de la loi N(0,1).
La propriété en découle comme suit : si n est assez “grand”, alors à n fixé :
L
n i=1 Xi − nµ
σ √
N(0,1)
n
X − µ
⇐⇒ L
σ/ √
N(0,1)
n
⇐⇒ L(X − µ) N(0,σ/ √ n)
⇐⇒ L(X) N(µ,σ/ √ n)
25
n
i=1 Xi − nµ
σ √ n

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3.2.2 Construction du test
Ainsi, lorsque nA ≥ 30 et nB ≥ 30, et en supposant ¯ XA et ¯ XB indépendantes : D = ¯ XA − ¯ XB
qui suit une distribution N
vons peut avoir deux origines possibles :
µD = µA − µB,σ 2 D = σ2 A
• Les fluctuations d’échantillonnage? :
• Une réelle différtence entre µA et µB ?
nA
+ σ2 B
nB
. Ainsi ¯xA − ¯xB que nous obser-
Les deux cas sont possibles! Il est donc impossible de répondre avec certitude à la question
posée.
Le but est de choisir entre (H0) et (H1), à notre choix étant associé un risque d’erreur (nous
pouvons nous tromper!). On définit ainsi :
α=erreur consistant à décider (H1) alors que (H0) est vraie = P(H1/H0)
β=erreur consistant à décider (H0) alors que (H1) est vraie.
Construire un test de l’hypothèse nulle (H0) contre l’hypothèse alternative (H1), c’est établir
une règle de décision entre (H0) et (H1).
Règle de décision du test
On peut présenter son principe en faisant l’analogie avec un procès. H0 (être innocent) est
l’hypothèse que l’on conserve si le résultat n’est pas clair. Tous suspect est présumé innocent,
et c’est à l’accusation d’apporter la preuve de sa culpabilité (hypothèse H1). Le jury va prendre
une décision en ayant deux types de risque :
• Condamner à tort un innocent (risque α);
• Innocenter à tort un coupable (risque β).
Dans le cas d’un test statistique, nous allons calculer, sous l’hypothèse (H0) la probabilité
ou p-valeur d’observer un écart au moins aussi important que celui observé entre (¯xA − ¯xB
et µD. Nous établissons alors la règle de décision du test :
• Si cette valeur est suffisamment faible i.e. inférieure au risque α fixé a priori : on rejette
(H0) au risque α ;
• Si cette p-valeur n’est pas suffisamment faible : i.e. supérieure au risque α fixé a priori :
on ne rejette pas (H0) au risque β.
Exemple : Choisissons α = 0,05. Etant donné que les effectifs des deux échantillons sont
supérieurs à 30, nous avons alors sous (H0) D = ¯ XA − ¯
XB qui suit une distribution N µD =
0,σ2 D = σ2 A +
nA
σ2
B N 0,
nB
s2 A +
nA
s2
B .
nB
73,81
Or, ¯xA − ¯xB=123-132=-9g. Nous en déduisons :
26

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1/2 p-valeur
p-valeur = P(D < −9 ∩ D > 9
1/2 p-valeur
-20 -10 0 10 20
= P(D < −9) + P(D > 9)
= 2P(D > 9)
= 2 × P( D
√ 73,81 >
= 2 × P(Z > 1.04)
= 2 × (1 − P(Z < 1.04))
= 2 × (1 − 0,85)
9
√ 73,81 )
= 0,3.
Il y a donc 30% de chances d’observer sous (H0) une différence au moins aussi importante que
celle observée. Dans notre exemple, la p-valeur est donc supérieure à 0,05. D’après la règle de
décision de notre test, nous en déduisons que l’on ne rejette pas (H0) au risque β de se tromper.
Pour notre exemple, la conclusion du test correspond au nfait que l’écart observé (-9 g) ne
peut pas -sauf à prendre un risque α > 0,05 (et il faudrait qu’il soit au moins supérieur à
la p-valeur qui vaut 0,3!)- être attribué à autre chose qu’aux fluctuations d’échantillonnage.
Ceci ne veut pas dire qu’il n’existe pas de différence! C’est la raison pour laquelle on dit “on
ne rejette pas (H0)” plutôt que “on accepte (H0)”.
3.2.3 Calcul de l’erreur de seconde espèce β
Rappelons que nous avons défini β comme la probabilité de ne pas rejeter (H0) lorsque (H1)
est vraie. Remarquons qu’étant donné que (H1) µD = 0 il y a autant de valeurs de β que
d’alternatives à (H0). Nous nous proposons de calculer sa valeur dans le cas où µD = 15 g : si
la différence entre les moyennes théoriques des deux lacs est de 15 g, quelle est la probabilité
β de ne pas la découvrir?
27

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Beta
Alpha/2
-40 -20 0 20
Intervalle de fluctuation
Alpha/2
Fig. 3.1 – Erreurs de première espèce (α) et de seconde espèce (β) dans le cas d’un test de
comparaison de deux moyennes bilatéral
Zones de rejet et de non rejet du test
Définition 3.1 On appelle one de non-rejet du test, l’ensemble des valeurs u telles que la pvaleur
qui leur est associé ne conduise pas à un rejet de l’hypothèse (H0) :
u / p − valeur >
α = u / P(|D| > u) > α) = u / P(−u < D < u) < 1 − α)
Cet ensemble est un intervalle (centré sur 0 dans le cas du test de comparaison de deux
moyennes) dont les bornes vérifient :
⇐⇒ P
σ2 A
−a
<
σ 2 A
D
P(−a < D < a) = 1 − α
a
<
σ2
= 1 − α
A
+
nA
σ2 B
nB
+
nA
σ2 B
nB
+
nA
σ2 B
nB
⇐⇒ P(−zα/2 < Z < zα/2) = 1 − α
La valeur zα/2 est lue dans la table de la loi normale, et vaut 1,96 lorsque α = 0,05. Nous
σ
avons donc : [−a, a] = − zα/2 ×
2
A
σ2
A . Cet intervalle est dit
nA
+ σ2 B , zα/2 ×
nB
nA
+ σ2 B
nB
intervalle de fluctuation (IF) : c’est l’intervalle auquel D = ¯ XA − ¯ XB a une probabilité 1 − α
d’appartenir si (H0) est vraie.
On pourrait (et c’est absolument équivalent à ce que nous avons fait précedemment) définir
la règle de décision du test ainsi :
28

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−→ Si ¯xA − ¯xB appartient à l’intervalle de fluctuation, on décide alors de ne pas rejeter
(H0) au risque β de se tromper.
−→ Si ¯xA − ¯xB n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, on décide de rejeter (H0)
au risque α de se tromper.
Calcul de β
Dans notre cas, IF =
β = PH1 (D ∈ IF)
= PH1 (−a < D < a)
σ2 A
= PH1
= P
− z α/2 ×
− z α/2 −
− 1,96 × √ 73,81, +1,96 × √
73,81 . Nous en déduisons :
σ 2 A
nA
nA
15
+ σ2 B
nB
+ σ2 B
nB
< D < z α/2 ×
< Z < +z α/2 −
= P − zα/2 − 15
√ ,+zα/2 −
73,81 15
√
73,81
= P(−3,7 < Z < 0,21)
= P(Z < 0,21) − P(Z < −3,7)
0
= 0,58
σ 2 A
+
nA
σ2 B
nB
σ 2 A
nA
15
+ σ2 B
nB
Donc, si (H1) est vraie avec un écart de 15 g entre les moyennes théoriques des deux lacs, il
y a une probabilité égale à 0,58 de na pas le mettre en évidence...
3.3 Les petits échantillons
Nous avons alors deux situations : celle où on peut supposer que les variables XA et XB sont
distribuées selon une loi normale, et celle où cette supposition ne peut être faite.
3.3.1 Les observations individuelles sont distribuées selon une loi normale :
test de student
Considérons l’exemple suivant : nous souhaitons comparer les poids moyens de deux lacs à
partir des observations suivantes :
Lac A ¯xA = 111g s 2 A (x) = 2432g2 nA = 11
Lac B ¯xB = 193g s 2 A (x) = 2728g2 nB = 18
Les tailles des échantillons (inférieures à 30) ne nous autorisent pas à employer le test précédent.
Nous allons alors faire la supposition suivante : les v.a. XA et XB sont distribuées
selon une loi normale. Comment peut-on justifier cette distribution? En invoquant le théorème
central-limite (TCL). En effet le poids d’un animal est la résultante de nombreux facteurs
29

Télé-enseignement Université de Provence L3BGSTU Statistique, N. Pech
(environnementaux, génétique, ...) qui s’ajoutent et -peut-on penser- ceci de manière indépendante.
Donc, le poids d’un individu peut-être vu comme l’addition de facteurs indépendants
...donc comme une somme de v.a. indépendantes. D’après le TCL, cela nous permet de supposer
la normalité des poids individuels. Bien entendu ceci ne reste qu’une supposition, qu’il
faudrait en toute rigueur valider par une analyse de la distribution des poids individuels.
Donc, si on suppose XA distribué selon une loi N(µA, σ2 A ) et XB distribué selon une loi
N(µB, σ2 B ). Alors ¯ XA = 1
nA
Xi suit -en supposant les Xi indépendantes une distribution
nA
i=1
N(µA, σ2 A).
(d’après un résultat vu en L2, et rappelé dans le paragraphe de la loi nor-
nA
male, quant à l’addition de lois normales et à la multiplication d’une v.a. par une constante).
De même ¯ XB = 1
nB
nB
i=1
Xi est distribué selon une loi N(µB, σ2 B ). Nous en déduisons que
nB
D = ¯ XA − ¯ XB suit une distribution N(µA − µB, σ2 A
nA
+ σ2 B )
nB
Dans la section précédente(cas des “grands” échantillons) , nous avions alors approximé la
distribution de D par N(µA − µB, s2 A
nA
+ s2 B ) (∗), c’est à dire en remplaçant les valeurs
nB
théoriques des variances (σ 2 A et σ2 B ) par leurs estimations i.e. les variances empiriques (s2 A et
s 2 B ). Rappelons que s2 (x) = 1
n − 1
n
(xi − ¯x) 2 .
i=1
Dans le cas de petits échantillons (qui est celui qui nous concerne maintenant), l’approximation
(∗) n’est plus valable, les estimations s2 A (de σ2 A ) et s2 B (de σ2 B ) pouvant beaucoup sécarter
des vraies valeurs.
Le problème ne peut être abordé simplement que si l’on suppose σ2 A = σ2 B c’est à dire que les
échantillons proviennent de populations pouvant différer par leurs moyennes (c’est l’hypothèse
qu’on souhaite tester!) mais pas par leur variance (i.e. on supposera σ2 A = σ2 B = σ2
Propriété 3.2 Soit X1,... ,Xn nA variables aléatoires de distributions N(µA,σ 2 ), Y1,... ,Yn
nB variables aléatoires de distributions N(µB,σ 2 ¯X −
), alors
¯ Y
1
s × +
nA
1
Tn−2 où n =
nB
nA + nB où s 2 = (nA) × s 2 A + (nB) × s 2 B
nA + nB − 2
Tn−2 est appelée distribution de Student à n −2 degrés de libertés (ddl). La loi de Student est
très similaire à la loi N(0,1) : courbe en cloche symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Sa distribution est seulement plus large aux extrémités. De plus, lorsque n → +∞, on montre
que Tn → N(0,1).
30

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-4 -2 0 2 4
Fig. 3.2 – Fonctions de densité de la loi de T de Student (pointillés) à 5 degrés de liberté et
de la loi normale N(0,1)
Construction du test
¯X −
Ainsi sous (H0), T =
¯ Y
1
s × +
nA
1
Tn−2. Si on se fixe un risque α (α = 0,05
nB
¯xA − ¯xB
par exemple) on peut calculer la p-valeur associée à
1
s × +
nA
1
, c’est à dire la pro-
nB
babilité d’observer sous H0 un écart à 0 au moins aussi important que celui observé. Ici,
s2 (11 − 1) × 2432 + (18 − 1) × 2728
= = 2618,37 ←→ s = 51,2.
11 + 18 − 2
Donc ¯xA − ¯xB 111 − 193
= =
s
1 1
51,2 × +
11 18
−82
= −3,44. De plus n = 11 + 18 = 29, donc
51,2
ddl=39 − 2 = 27.
La règle de décision du test sera donc :
• Si la p-valeur est inférieure au risque α fixé a priori : on rejette (H0) au risque α;
• Si la p-valeur est supérieure au risque α fixé a priori : on ne rejette pas (H0) au risque
β.
Calculons la p-valeur. p-valeur= P(T27 < −3,44ouT27 > 3,44) = ×P(|T27| > 3,44). Or, à
partir de la table de la loi de Student, nous avons P(|T | > 2.05) = 0.05. Nous en déduisons
donc que : p-valeur=P(|T27| > 3,44) < P(|T | > 2.05) = 0.05.
D’après la règle de décision du test, nous décidons de rejeter (H0) au risque α de se tromper.
31

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3.3.2 Les observations individuelles ne sont pas distribuées selon une loi
normale : test de Mann-Whitney
Revenons à l’exemple des greffes ( cf chapitre 2). Nous souhaitons comparer le nombre moyen
de donneurs nécessaires avant d’être greffé pour deux hôpitaux. Nous avons observé les résultats
suivants :
Hôpital A 22 7 3 19 24 12 8
Hôpital B 7 2 18 11 15
On souhaite tester (H0) µA = µB
contre (H1) µA = µB
Ici, la taille des échantillons n’est pas assez importante pour pouvoir mettre en oeuvre le
test présenté en 1. D’autre part, nous pouvons difficilement supposer le nombre de donneurs
distribué selon une loi normale (cf chapitre 2) où nous avons, sous certaines conditions ,
proposé la loi géométrique) et donc employer le test précédent. Nous présentons donc le test
de Mann-Withney, qui revient exactement à tester
(H0) meA = meB
contre (H1) meA = meB
où me désigne la médiane.
Soient, dans le cas général, (x1,x2,... ,xnA ) et (y1,y2,... ,ynB les deux échantillons. Ce test
repose sur l’idée que si l’on mélange les deux séries de valeurs et qu’on ordonne le tout par
valeurs croissantes on doit obtenir un mélange homogène. Pour cela, les deux suites étant
réordonnées, on compte le nombre total de couples (xi,yi) où xi a un rang plus grand que yi
(ou bien tels que xi > yi si X et Y sont quantitatives).
Soit Ux ce nombre. Il varie de 0 à nA × nB.
– Si Ux = 0, nous avons : x1,... ,xnA ,y1,...,ynB
– Si Ux = nA × nB, nous avons : y1,... ,ynB ,x1,... ,xnA
D’autre part, si les deux distributions sont issues de la même population on montre que :
L(Ux) = L(Uy) et :
E(Ux) = nA × nB
, V (Ux) =
2
(nAnB) × (nA + nB + 1)
12
De plus, la distribution de Ux est connue exactement (et tabulée), et est asymptotiquement
normale (approximation considérée comme correcte dès que nA et nB sont ≥ 8).
Soit alors u = min(ux,uy) et si on se fixe un risque de première espèce α (par exemple
α = 0,05) alors la p-valeur=P(U > u).
Mais revenons à notre exemple. Si nous classons les observations par ordre croissant nous
obtenons :
observation 2 3 7 8 11 12 15 18 19 22 24
rang 1 2 3.5 5 6 7 8 9 10 11 12
région B A A,B A B A B B A A A
32

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Nous en déduisons que UA = 4 + 3.5 + 3 + 2 = 12.5 et UB = 7 + 5.5 + 4 + 3 + 3 = 22.5, d’où
u = min(12.5,22.5) = 8.5. Or, P(U < 12,5) > P(U < 5) = 0.05. D’après la règle de décision
du test, nous décidons de ne pas rejeter l’hypothèse (H0) au risque β de nous tromper.
3.4 Test paramétrique et test libre
Considérons l’exemple du test de la comparaison de deux moyennes observées i.e. de l’hypothèse
:
(H0) µA = µB
contre (H1) µA = µB
Nous avons précedemment présenté trois façons de construire le test, fonction de diverses
suppositions que l’on peut émettre :
Cas Supposition Statistique de test
¯XA −
(1)nA et nB > 30 Aucune
¯ XB
↩→ N(0, 1) sous (H0)
(2)nA et/ou nB < 30 Normalité des observations individuelles
s 2 A
nA
+ s2 B
nB
¯XA − ¯ XB
s
↩→ Tn−2 sous (H0)
Homogénéité des variances par groupe où s 2 = (nA − 1) × s 2 A + (nB − 1) × s 2 B
nA + nB − 2
(3)nA et/ou nB < 30 Aucune U = min(Ux, Uy)
Définition 3.2 Un test est dit paramétrique si son objet est de tester certaine hypothèse
relative à un ou plusieurs paramètres d’une v.a. de loi spécifiée ou non.
Au sens de la définition précédente, le test que nous considérons dans ce chapitre est paramétrique.
Nous verrons un exemple de test non-paramétrique - le test du χ 2 - dans un chapitre
ultérieur où nous testerons par exemple :
(H0) La v.a. considérée suit une loi Normale
contre (H1) La v.a. considérée ne suit pas une loi Normale
Définition 3.3 Un test est dit libre (distribution free en anglais) si sa mise en œuvre ne
repose pas sur une supposition concernant le distribution de la variable aléatoire considérée.
Au sens de la définition précédente, les tests (1) et (3) sont libres (et paramétriques) tandis
que le test (2) n’est pas libre car faisant une supposition de normalité des observations individuelles.
Le test (1), bien que libre, nécessite d’avoir des effectifs suffisamment importants
pour être mis en œuvre, ce qui n’est pas le cas du test (3).
33

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le test de Mann-Withney. est souvent qualifié (abusivement au sens des définitions précédentes)
de test non paramétrique, Même si les conditions d’application de ce test sont moins
restrictives, il faut cependant noter que les échantillons doivent être aléatoires et indépendants
entre eux.
34

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3.5 Table de la loi de Student
Si T suit la loi de Student Tn à n degrés de liberté (ddl), la table donne la valeur de P(Tn < x).
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
ddl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0.60
0.325
0.289
0.277
0.271
0.267
0.265
0.263
0.262
0.261
0.260
0.260
0.259
0.259
0.258
0.258
0.258
0.257
0.257
0.257
0.257
0.257
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.70
0.727
0.617
0.584
0.569
0.559
0.553
0.549
0.546
0.543
0.542
0.540
0.539
0.538
0.537
0.536
0.535
0.534
0.534
0.533
0.533
0.532
0.532
0.532
0.531
0.531
0.531
0.531
0.530
0.530
0.530
0.530
0.530
0.530
0.529
0.529
0.529
0.529
0.529
0.529
0.529
0.529
0.528
0.528
0.528
0.528
0.528
0.528
0.528
0.528
0.528
0.80
1.376
1.061
0.978
0.941
0.920
0.906
0.896
0.889
0.883
0.879
0.876
0.873
0.870
0.868
0.866
0.865
0.863
0.862
0.861
0.860
0.859
0.858
0.858
0.857
0.856
0.856
0.855
0.855
0.854
0.854
0.853
0.853
0.853
0.852
0.852
0.852
0.851
0.851
0.851
0.851
0.850
0.850
0.850
0.850
0.850
0.850
0.849
0.849
0.849
0.849
0.90
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.309
1.309
1.308
1.307
1.306
1.306
1.305
1.304
1.304
1.303
1.303
1.302
1.302
1.301
1.301
1.300
1.300
1.299
1.299
1.299
0.95
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.696
1.694
1.692
1.691
1.690
1.688
1.687
1.686
1.685
1.684
1.683
1.682
1.681
1.680
1.679
1.679
1.678
1.677
1.677
1.676
0.9750
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.040
2.037
2.035
2.032
2.030
2.028
2.026
2.024
2.023
2.021
2.020
2.018
2.017
2.015
2.014
2.013
2.012
2.011
2.010
2.009
0.9900
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.453
2.449
2.445
2.441
2.438
2.434
2.431
2.429
2.426
2.423
2.421
2.418
2.416
2.414
2.412
2.410
2.408
2.407
2.405
2.403
0.9950
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.744
2.738
2.733
2.728
2.724
2.719
2.715
2.712
2.708
2.704
2.701
2.698
2.695
2.692
2.690
2.687
2.685
2.682
2.680
2.678
0.9990
318.309
22.327
10.215
7.173
5.893
5.208
4.785
4.501
4.297
4.144
4.025
3.930
3.852
3.787
3.733
3.686
3.646
3.610
3.579
3.552
3.527
3.505
3.485
3.467
3.450
3.435
3.421
3.408
3.396
3.385
3.375
3.365
3.356
3.348
3.340
3.333
3.326
3.319
3.313
3.307
3.301
3.296
3.291
3.286
3.281
3.277
3.273
3.269
3.265
3.261
0.9995
636.619
31.599
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.768
3.745
3.725
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
3.633
3.622
3.611
3.601
3.591
3.582
3.574
3.566
3.558
3.551
3.544
3.538
3.532
3.526
3.520
3.515
3.510
3.505
3.500
3.496
35

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3.6 Table la loi de Mann et Whitney
La table donne la valeur mα telle que P(U ≤ mα) = α = 0.05 pour deux échantillons d’effectifs
n1 et n2 avec n1 ≤ n2.
n2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n1
2 - - - - 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2
3 - 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
4 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14
5 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20
6 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27
7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
8 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41
9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48
10 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55
11 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62
12 37 41 45 49 53 57 61 65 69
13 45 50 54 59 63 67 72 76
14 55 59 64 69 74 78 83
15 64 70 75 80 85 90
16 75 81 86 92 98
17 87 93 99 105
18 99 106 112
19 113 119
20 127
36

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3.7 Exercices
Exercice 3.1 On a déterminé sur quelques individus mâles et femelles d’une espèce d’échinoderme
le rapport gonadosomatique (RGS=100× poids gonadique/poids individuel).
Mâles 6,3 2,4 3,0 4,6 8,3
Femelles 5,6 4,8 9,2 7,9 8,6
Malgré la très faible taille des échantillons, peut-on déterminer si les RGS diffèrent significativement?
Exercice 3.2 Dans le cadre d’une étude sur le traitement des eaux usées, on souhaite comparer
l’efficacité de deux filtres : l’un en fibre de verre et l’autre en papier filtre. Pour cela
on décide d’effectuer des prélèvements de 200 millilitres d’eau, et de mesurer pour chacun
d’entre eux la quantité de solides en suspension -exprimée en mg/l- retenus lorsqu’on filtre.
34 prélèvements seront filtrés en utilisant le filtre en fibre de verre et 34 autres en utilisant le
filtre en papier filtre.
1. Proposer un test permettant de décider si les deux types de filtres ont des efficacités
différentes.
2. Les résultats de ces analyses, c’est à dire les quantités mesurées de solides en suspension
sont présentés dans le tableau suivant :
Filtre en fibre de verre Papier filtre Filtre en fibre de verre Papier filtre
65 62 62 99
88 87 99 85
66 90 101 68
76 60 81 90
60 81 87 81
55 85 98 72
108 74 96 86
106 87 63 89
101 61 120 91
79 87 75 133
100 100 71 58
83 114 74 71
75 84 81 100
81 112 58 92
79 106 77 104
84 63 64 101
95 70 82 102
¯x 82,06 86,62
s(x) 16,05 17,34
Qu’en concluez vous ?
3. Calculer l’erreur de seconde espèce β associée au test précédent si la différence des
moyennes théoriques entre les filtres en fibre de verre et les filtres papier était égale à 4
mg/l.
4. On décide maintenant de continuer les prélévements. Toujours dans le cas où la différence
des moyennes théoriques serait égale à 4 mg/l, combien faut-il effectuer de prélèvements
supplémentaires pour que β soit inférieure à 0,3?
37

Télé-enseignement Université de Provence L3BGSTU Statistique, N. Pech
Exercice 3.3 On a mesuré (en mm) la longueur des œufs de coucou trouvés dans les nids
de deux espèces d’oiseaux : roitelet et fauvette. Les résultats sont présentés dans le tableau
suivant :
Roit. 23.78 21.80 20.69 22.44 21.03 21.88 20.24 18.83 20.08 20.90 20.99 20.63 24.74 22.87
Fauv. 24.86 22.75 22.52 22.83 20.75 23.03 23.16 22.96 22.30 22.85 21.29 22.16 22.06 22.37
1. Si nous ne faisons pas de test, pourquoi l’affirmation : “ ¯x1 est différent de ¯x2 , donc la
taille moyenne des œufs de coucous installés dans des nids de roitelets est différente de
celle des œufs de coucous installés dans des nids de fauvettes” n’est-elle pas fondée?
2. Proposez un test permettant de décider entre les deux hypothèses :
(H0) : “La taille moyenne des œufs de coucous installés dans des nids de roitelets est
égale à celle des œufs de coucous installés dans des nids de fauvettes”
(H1) : “La taille moyenne des œufs de coucous installés dans des nids de roitelets est
différente de celle des œufs de coucous installés dans des nids de fauvettes”
3. Qu’en concluez-vous ?
Exercice 3.4 Deux groupes de 10 étudiants, formés à des méthodes pédagogiques différentes,
ont subi le même examen. A l’issue de cet examen, le classement des étudiants était le suivant :
groupe A 1 3 4 5 7 8 8 ex 12 15 17
groupe B 2 6 10 11 13 14 15 ex 18 19 20
On désire savoir si les deux méthodes pédagogiques conduisent à des résultats statistiquement
différents. Proposer un test permettant de répondre à cette question.
Exercice 3.5 On considère un lac peuplé de truites et ouvert à la pêche. Les gestionnaires
du lac ont décidé d’adopter comme critère d’évaluation de l’état de cette population son poids
moyen théorique µ. Les actions envisagées sont les suivantes : si µ = 150 g on laisse les choses
en l’état, si µ < 150 g on prend une mesure de gestion. Pour évaluer l’état de la population,
on décide de prélever un échantillon de n poissons. On notera ¯x le poids moyen et s 2 (x) la
variance associés à l’échantillon.
1. Les gestionnaires décident de prélever eux-même les n poissons en posant des filets en
divers points du lac. Pourquoi ne prélèvent-ils pas leur échantillon parmi les prises des
pêcheurs ?
2. Proposer les hypothèses (H0) et (H1) associées au test. Construire le test.
3. L’échantillon prélevé est constitué de n = 43 individus dont le poids moyen est ¯x = 146
g et s(x) = 25 g. Quelle conclusion en déduisez-vous ?
4. Quel est le risque d’erreur associé à votre décision? Quelle est sa valeur numérique (si
besoin est, on considèrera µH1 = 140 g)?
38

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Exercice 3.6 Les mesures des tailles de deux échantillons de rotifères ont conduit aux résultats
suivants :
Echantillon des mâles : effectif : 51, moyenne : 10,67 mm, variance : 1.48 mm 2 .
Echantillon des femelles : effectif : 47, moyenne : 11,07 mm, variance : 1.29 mm 2 .
1. Peut-on dire que la différence observée entre les moyennes de la taille des mâles et celle
des femelles est due au hasard?
2. Calculer la valeur de l’erreur de seconde espèce β associée au test précédent si la différence
des moyennes entre les populations mâles et femelles était égale à 0,4 mm?
3. Si on avait observé les résultats sur des échantillons d’effectifs égaux à 130, que concluraiton?
39

Chapitre 4
Test du chi-deux (χ 2 ) d’adéquation
4.1 Position du problème
Nous avons étudié au premier chapitre la variable aléatoire Y =“Nombre de donneurs nécessaires
à une greffe” :
où Ω ′
Y Ω ′
ω ′
−→ N⋆ ↦−→ Y (ω ′
) = Nombre de donneurs nécessaires pour effectuer la greffe
désigne l’ensemble des malades.
Nous avons vu que si les donneurs sont prélevés aléatoirement parmi l’ensemble des donneurs,
alors Y suit une loi géométrique et P(Y = k) = (1 − p) k−1 × p, où p est la probabilité qu’un
donneur soit compatible.
L’hôpital, où ont lieu les greffes, souhaite diminuer la durée d’attente pour les malades et donc
envisage une autre procédure que la sélection aléatoire des donneurs. Pour cela, les donneurs
compatibles étant le plus souvent du groupe sanguin A, l’hôpital décide de mener une campagne
d’information incitant les personnes du groupe sanguin A à venir préférentiellement à
l’hôpital.
Sur 100 malades greffés après la campagne de l’hôpital, voici les délais d’attente observés :
Nbre de donneurs nécessaires 1 2 3 4 5 et +
pour la greffe
Nombre de malades Oi 40 29 8 10 13
Nous souhaitons tester l’effeicacité de la campagne d’information menée par l’hôpital. Nous
avons alors deux situations ou hypothèses :
(H0) La campagne n’a eu aucun effet ⇐⇒ Les donneurs sont toujours prélevés aléatoirement;
(H1) La campagne a eu un effet ⇐⇒ Les donneurs ne sont plus prélevés aléatoirement.
40

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Remarquons que si (H0) est vraie, alors la distribution de la v.a. Y : “nombre de donneurs”
est une loi géométrique. Dans ce cas, les effectifs observés (cf tableau précédent) devraient
être en adéquation avec la loi géométrique. Si tel n’est pas le cas, on penchera plutôt pour
l’hypothèse (H1). Ainsi, les deux hypothèses (H0) et (H1) entre lesquelles nous souhaitons
décider peuvent être réécrites ainsi :
(H0) Y suit une loi géométrique;
(H1) Y ne suit pas une loi géométrique.
Il s’agit donc de tester si la répartition de la v.a. Y est conforme ou pas à une loi géométrique.
4.2 Construction du test
4.2.1 Cas où la distribution théorique ne dépend pas de paramètre inconnu
Nous nous plaçons dans la situation où p = 0,3, i.e. 30 % des personnes entre 25 et 45 ans
sont compatibles. Alors nous pouvons préciser l’hypothèse (H0) :
(H0) : Y suit une loi géométrique de paramètrep = 0,3
Remarque : Nous nous plaçons ainsi dans la situation où les paramètres de la distribution
sous (H0) sont connus. Dans le cas où ils sont inconnus, nous verrons en fin de ce chapitre
comment le test doit être adapté.
Définition 4.1 Soit une urne contenant k catégories de boules différentes en proportion p1,p2...pk.
k
Comme pi=1, la composition de l’urne est parfaitement définie par (k − 1) de ces propor-
i=1
tions. k−1 est dit nombre de degrés de libertés (ddl). C’est le nombre de proportions permettant
de déterminer parfaitement la composition de l’urne.
Dans notre exemple, k = 5 donc le nombre de degrésde liberté (ddl) est égal à 5 − 1 = 4.
Si (H0) était vraie, alors les probabilités des occurences de Y seraient :
P(Y = 1) = p = 0,3; P(Y = 2) = p × (1 − p) = 0,21;
P(Y = 3) = p × (1 − p) 2 = 0,147; P(Y = 4) = p × (1 − p) 3 = 0,103; P(Y ≥ 5) = 0,24
Si la répartition de l’échantillon était la même que la répartition théorique on observerait :
C1 = n × p1 = 100 × 0,3 = 30
C2 = n × p2 = 100 × 0,21 = 21
C3 = n × p3 = 100 × 0,147 = 14,7
C4 = n × p4 = 100 × 0,103 = 10,3
C5 = n × p5 = 100 × 0,24 = 24
Nous en déduisons le tableau récapitulatif suivant :
41

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Y 1 2 3 4 ≥ 5
pi 0,300 0,210 0,147 0,103 0,240
Ci 30 21 14,7 10,3 24
Oi 40 29 8 10 13
Il existe donc un “écart” entre la composition de l’échantillon et la composition théorique. Il
est d’abord nécessaire de caratériser cet écart i.e. de choisir un indice exprimant “l’écart” entre
la composition théorique et observée.
Indice?
– Somme des écarts ? Non, car elle est nulle.
– Somme des valeurs absolues ? Non, car ne se prête pas facilement au calcul des probabilités.
– Somme des carrés des écarts ? Il donne le même poids à tous les écarts, qu’ils se rapportent
à de petits ou à des grands effectifs calculés.
On choisit donc comme indice :
KH = (O1 − C1) 2
+ (O2 − C2) 2
+ ... + (Ok − Ck) 2
=
C1
C2
Ck
k (Oi − Ci) 2
Avantage : Si l’échantillon provient effectivement de l’urne théorique, alors on connaît la distribution
de KH donc ses fluctuations d’échantillonnage.
Propriété 4.1 Si l’échantillon provient de la distribution théorique (p1.. pk), alors KH =
k (Oi − Ci) 2
suit approximativement une loi de χ2 (chi-deux) à k−1 ddl. On note L(KH) =
i=1
χ 2 k−1 .
Ci
Remarques :
1. L’avantage principal de la variable KH est que sa distribution ne dépend pas de la
composition de l’urne, mais ne dépend que du nombre de catégories ou modalités.
2. Condition de validité de la propriété. La propriété précédente est valide lorsque n tend
vers +∞ et ni tend vers +∞ quelque soit i. Concrètement on considère l’approximation
comme correcte dès que les effectifs calculés Ci = npi ≥ 5.
Construction du test
Si l’hypothèse (H0) est vérifiée, alors d’aprés la propriété précédente KH =
i=1
Ci
5 (Oi − Ci) 2
suit approximativement une distribution du χ 2 à 5−1 = 4 ddl. Les conditions d’approximation
de la distribution sont ici vérifiées (tous les Ci ≥ 5).
Calculons maintenant la valeur observée de la statistique du test :
42
i=1
Ci

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0 5 10 15 20
14,47
p-valeur
Fig. 4.1 – p-valeur (partie hachurée) du test du χ 2 (voir texte)
(40 − 30)2
KHobs = +
30
(21 − 29)2
+
21
(14,7 − 8)2
+
14,7
(10,3 − 10)2
= 3,33 + 3,05 + 3,05 + 810−3 + 5,04
10
+ (24 − 13)2
24
14,47
Nous allons maintenant calculer la probabilité d’observer un “écart” au moins aussi important
sous (H0). On appelle p-valeur cette probabilité.
Fixons nous alors un risque α. Par exemple, choisissons α=0,05. Alors, nous définissons la
règle de décision suivante :
• Si p-valeur < α, alors nous décidons de rejeter (H0) au risque α (car on considère que
la p-valeur est trop faible, la limite étant fixée par α, pour pouvoir l’attribuer au hasard);
• Si la p-valeur > α, alors nous décidons de ne pas rejeter (H0) au risque β (car on considère
que la p-valeur est trop élevée, la limite étant fixée par α, pour pouvoir l’attribuer
à autre chose qu’au hasard).
Dans le cas de notre exemple, ddl = 5 − 1 = 4 et P(KH > KHobs = 14,47) < 0,01 (lu dans
la table du χ 2 ). D’après notre règle de décision, nous concluons alors au rejet de l’hypothèse
(H0) au risque α = 0,05 de se tromper : on peut dire que la campagne de l’hôpital a eu un
effet. Mais cet effet est-il positif ou négatif ?
La réponse à la question nous est donnée en comparant les effectifs théoriques et observées
pour les composantes de KHobs les plus élevées, ie celles qui concourrent au rejet de (H0).
Nous constatons alors qu’il y a plus de malades ayant attendu 1 ou 2 donneurs que sous le
hasard ... et moins ayant attendu plus de 3 donneurs. Donc la campagne a eu un effet positif !
43

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4.2.2 Cas où la distribution théorique dépend de paramètre(s) inconnu(s)
On a mesuré la taille de 217 oiseaux en mm. Les observations sont regroupées en classes dans
le tableau suivant :
Classes 745 Total
Effectifs observés Oi 3 31 74 67 42 217
Effectifs théoriques Ci = npi 5.22 26.18 64.84 73.2 47.55 217
(Oi − Ci) 2
Ci
0.94 0.89 1.29 0.53 0.65 4.29
La moyenne des tailles de l’échantillon des 217 oiseaux est la moyenne ¯x = 728.1 et l’écart
type s(x) = 21.8. Ces valeurs ont été calculées avant de mettre en classe les observations.
Peut-on dire que la distribution des tailles est conforme à une loi normale? Répondre à cette
question, c’est trancher entre les deux hypothèses suivantes :
(H0) : la distribution des tailles est une loi normale
(H1) : la distribution des tailles n’est pas une loi normale
La différence avec le cas précédent c’est que (H0) correspond à une loi (normale, dans notre
exemple) dont les paramètres µ et σ sont inconnus.
Pour pouvoir utiliser la statistique du χ 2 on doit calculer, sous l’hypothèse (H0), les nombres
pi correspondants aux probabilités des différentes classes considérées :
p1 = P(T < 685) = PT − µ
σ
p2 = P(685 < T < 705) = P685 − µ
σ
p3 = P(705 < T < 725) = P705 − µ
σ
p4 = P(725 < T < 745) = P725 − µ
σ
685 − µ 685 − µ
< < < −1.977) = 0.024
σ=PZ
σ=P(Z
< Z <
< Z <
< Z <
705 − µ
σ=P(−1.977 < Z < −1.06) = 0.121
725 − µ
σ=P(−1.06 < Z < −0.14) = 0.299
745 − µ
σ=P(−0.14 < Z < 0.775) = 0.337
745 − µ
p5 = P(T > 745) = 1 − PZ < = 1 − 0.781 = 0.219
σ)
On choisit la loi normale la plus proche de nos observations i.e. N(µ = 728.1;σ = 21.8). On
peut alors compléter le tableau précédent.
Propriété 4.2 Si on estime p paramètres, alors si (H0) est vraie, KH =
approximativement une distribution dite de χ 2 à k − 1 − p degrés de libertés.
44
k (Oi − Ci) 2
suit
i=1
Ci

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Conditions d’approximation : n tend +∞ et ni tend +∞ quelque soit i. Concrètement, on
conidère les conditions d’approximation remplis dès que Ci = npi > 5
On peut alors d’après la propriété précédente dire que si (H0) est vérifié alors la statistique
k (Oi − Ci)
KH =
2
suit approximativement une loi de χ2 à 5 −1−2 = 2 degrés de libertés.
i=1
Ci
Les conditions d’approximations sont vérifiées (tous les Ci ≥ 5). On peut alors construire
la règle de décision du test. On se fixe pour cela un risque d’erreur de première espèce
α = P(H1/H0) = 0.05 et on définit la p-valeur suivant p − valeur = P(KH > KHobs).
Alors, nous définissons la règle de décision suivante :
• Si p-valeur < α, alors nous décidons de rejeter (H0) au risque α (car on considère que
la p-valeur est trop faible, la limite étant fixée par α, pour pouvoir l’attribuer au hasard);
• Si la p-valeur > α, alors nous décidons de ne pas rejeter (H0) au risque β (car on considère
que la p-valeur est trop élevée, la limite étant fixée par α, pour pouvoir l’attribuer
à autre chose qu’au hasard).
Dans notre cas le KHobs = 4.296, ddl = 4. D’après la table du χ 2 nous lisons que P(KH >
4.296) > P(KH = 7,78) = 0,1. Nous concluons donc au non rejet de l’hypothèse (H0) au
risque β de se tromper.
45

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4.3 Fonction de répartition de la loi du χ 2
Si KH sui la loi normale χ 2 p , la table donne la valeur de F(x) = P(KH < x). En ligne les
degrés de liberté (ddl), en colonnes les valeurs de la fonction de répartition, à l’intersection
des deux la valeur de x
0 5 10 15 20
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0.001
0.000
0.002
0.024
0.091
0.210
0.381
0.598
0.857
1.152
1.479
1.834
2.214
2.617
3.041
3.483
3.942
4.416
4.905
5.407
5.921
6.447
6.983
7.529
8.085
8.649
9.222
9.803
10.391
10.986
11.588
12.196
12.811
13.431
14.057
14.688
15.324
15.965
16.611
17.262
17.916
18.575
19.239
19.906
20.576
21.251
21.929
22.610
23.295
23.983
24.674
0.005
0.000
0.010
0.072
0.207
0.412
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
14.458
15.134
15.815
16.501
17.192
17.887
18.586
19.289
19.996
20.707
21.421
22.138
22.859
23.584
24.311
25.041
25.775
26.511
27.249
27.991
0.010
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.558
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
14.953
15.655
16.362
17.074
17.789
18.509
19.233
19.960
20.691
21.426
22.164
22.906
23.650
24.398
25.148
25.901
26.657
27.416
28.177
28.941
29.707
0.025
0.001
0.051
0.216
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
17.539
18.291
19.047
19.806
20.569
21.336
22.106
22.878
23.654
24.433
25.215
25.999
26.785
27.575
28.366
29.160
29.956
30.755
31.555
32.357
0.05
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
22.465
23.269
24.075
24.884
25.695
26.509
27.326
28.144
28.965
29.787
30.612
31.439
32.268
33.098
33.930
34.764
0.1000
0.016
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
21.434
22.271
23.110
23.952
24.797
25.643
26.492
27.343
28.196
29.051
29.907
30.765
31.625
32.487
33.350
34.215
35.081
35.949
36.818
37.689
0.5000
0.455
1.386
2.366
3.357
4.351
5.348
6.346
7.344
8.343
9.342
10.341
11.340
12.340
13.339
14.339
15.338
16.338
17.338
18.338
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
24.337
25.336
26.336
27.336
28.336
29.336
30.336
31.336
32.336
33.336
34.336
35.336
36.336
37.335
38.335
39.335
40.335
41.335
42.335
43.335
44.335
45.335
46.335
47.335
48.335
49.335
0.9000
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
41.422
42.585
43.745
44.903
46.059
47.212
48.363
49.513
50.660
51.805
52.949
54.090
55.230
56.369
57.505
58.641
59.774
60.907
62.038
63.167
0.9500
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
44.985
46.194
47.400
48.602
49.802
50.998
52.192
53.384
54.572
55.758
56.942
58.124
59.304
60.481
61.656
62.830
64.001
65.171
66.339
67.505
0.9750
5.024
7.378
9.348
11.143
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
48.232
49.480
50.725
51.966
53.203
54.437
55.668
56.896
58.120
59.342
60.561
61.777
62.990
64.201
65.410
66.617
67.821
69.023
70.222
71.420
0.9900
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
52.191
53.486
54.776
56.061
57.342
58.619
59.893
61.162
62.428
63.691
64.950
66.206
67.459
68.710
69.957
71.201
72.443
73.683
74.919
76.154
0.9950
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
55.003
56.328
57.648
58.964
60.275
61.581
62.883
64.181
65.476
66.766
68.053
69.336
70.616
71.893
73.166
74.437
75.704
76.969
78.231
79.490
0.9990
10.828
13.816
16.266
18.467
20.515
22.458
24.322
26.124
27.877
29.588
31.264
32.909
34.528
36.123
37.697
39.252
40.790
42.312
43.820
45.315
46.797
48.268
49.728
51.179
52.620
54.052
55.476
56.892
58.301
59.703
61.098
62.487
63.870
65.247
66.619
67.985
69.346
70.703
72.055
73.402
74.745
76.084
77.419
78.750
80.077
81.400
82.720
84.037
85.351
86.661
46

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4.4 Exercices
Exercice 4.1 Pour étudier le comportement alimentaire d’une espèce de fourmi, Lasius flavus,
on a conçu le dispositif expérimental suivant : 6 chambres sont disposées en rayon autour
d’un promenoir central circulaire. Un gramme d’aliment à tester est placé au centre de chaque
chambre et le même aliment se retrouve dans deux chambres diamétralement opposées. Trois
sucres ont été testés : le glucose, le galactose et le lévulose. Le premier jour de l’expérience, à
8 heures du matin, 20 ouvrières sont introduites dans le promenoir central et pendant 5 jours
consécutifs on note de 8 heures à 16 heures le nombre et l’emplacement des fourmis dans les
diverses chambres.
La répartition de Lasius flavus a été la suivante : Glucose : 255 observations de fourmis ; Galactose
: 458 observations de fourmis ; Lévulose : 67 observations de fourmis.
On veut tester l’hypothèse H0 selon laquelle la répartition des fourmis dans les chambres ne
dépend pas du type de nourriture qui s’y trouve.
1. Quelle est l’hypothèse H1 complémentaire de H0 ?
2. Traduire H0 et H1 en terme de probabilité de fréquentation des trois types de nourriture.
3. Proposer une procédure de test de H0 contre H1. Vous préciserez notamment la distribution
utilisée pour la statistique du test sous H0, puis la règle de décision avant de
conclure.
(255 − 260)2
On donne +
260
(458 − 260)2
+
260
(67 − 260)2
= 294, 15.
260
4. Proposer une interprétation biologique du résultat obtenu.
Exercice 4.2 Dans une région du Canada, vivent sur le même territoire deux types d’oies.
Des oies blanches et des oies de couleur “gris-bleuté” dénommées “oies bleues”. On observe sur
le territoire trois types de couples :
• Type 1 : blanc × blanc
• Type 2 : blanc × bleu ou bleu × blanc
• Type 3 : bleu × bleu
1. Désignons par p la probabilité pour qu’une oie soit blanche dans la population et par
q = 1 − p la probabilité qu’elle soit bleue. Dans l’hypothèse où la formation des couples
se ferait au hasard, définir la distribution de la variable aléatoire X=“Nombre d’oies
blanches par couple”.
2. On observe dans la nature 520 couples. Quels devraient être les effectifs (théoriques) de
chacun des types de couples s’ils se formaient au hasard?
3. En réalité, les effectifs observés sont de 373 pour le type 1 et 83 pour le type 2. Estimer
à partir de ces observations les paramètres p et q. Tester l’hypothèse selon laquelle la
formation des couples s’effectue au hasard. Que peut-on en conclure?
47

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Exercice 4.3 Le lycée de la ville de P. accueille 948 élèves dont 593 filles. Le service des
sports du lycée organise une course d’orientation, chaque équipe étant formée de 4 élèves. Les
élèves décident librement de la formation des équipes.
1. Définir la variable aléatoire X=“Nombre de filles par équipe”.
2. Dans l’hypothèse où les équipes se forment indépendamment du sexe des élèves, quelle
est la distribution de la variable aléatoire X ?
3. Le jour de la course, la répartition des équipes suivant le nombre de filles qu’elles
contiennent est la suivante :
Nombre de filles par équipe 0 1 2 3 4
Effectifs Observés 14 31 68 70 54
Quels devraient être les effectifs théoriques du nombre de filles par équipe si les équipes
se formaient indépendamment du sexe?
4. Tester l’hypothèse selon laquelle les équipes se forment indépendamment du sexe.
5. Interpréter le résultat obtenu.
Exercice 4.4 Vous avez conçu un programme informatique générateur de nombres choisis
au hasard dans l’ensemble des dix premiers entiers. Les mille premiers résultats sont répartis
comme suit :
Chiffre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre d’observations 105 92 115 103 91 109 92 112 94 87
1. Pourquoi l’affirmation “Les effectifs observés pour les différents chiffres sont différents,
donc le programme est à revoir” n’est-elle pas fondée?
2. Proposer un test permettant de tester l’hypothèse d’équiprobabilité de chacun des chiffres.
Vous préciserez notamment les hypothèses H0 et H1, la distribution utilisée pour la statistique
du test sous l’hypothèse H0 ainsi que la règle de décision.
3. Qu’en concluez-vous ?
48

Chapitre 5
Liaison entre deux variables aléatoires
discrètes
5.1 Loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes
5.1.1 Définition
Dans un lac, vivent deux espèces de poissons (espèce A et espèce B). Ces deux espèces peuvent
s’hybrider, donnant lieu à un troisième groupe (C). Nous pouvons ainsi définir la variable aléatoire
discrète “espèce” :
X : Ω −→ {1,2,3}
ω ↦−→ X(ω) = 1 si A
2 si B
3 si C
Ces animaux présentent deux formes pour leur bouche qui peut être “infère” (ie dirigée vers
le bas lorsque l’animal se nourrit préférentiellement au fond) ou “supère” (ie dirigée vers le
haut). Nous pouvons ainsi définir la variable aléatoire discrète “forme” :
Y : Ω −→ {1,2}
ω ↦−→ Y (ω) = 1 si infère
2 si supère
L’étude de la liaison entre deux variables -ici discrètes- est un problème fondamental en statistique.
Dans l’exemple que nous venons de présenter, nous observons en fait sur chaque individu
deux caractères ou variables aléatoires. Nous pouvons alors définir la variable aléatoire “couple”
ou (X,Y ) ainsi :
(X, Y ) : Ω −→
{1,2,3} × {1,2}
ω ↦−→ X(ω) , Y (ω)
Définition 5.1 On appelle loi de probabilité jointe ou loi du couple (X,Y ) la loi de probabilité
P (X,Y ) définie ainsi : P (X,Y )(xi,yj) = P(X = xi ∩ Y = yj).
49

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Dans le cas discret, cette loi de probabilité peut se mettre sous la forme d’une table :
x1
.
y1 ... yj ... yq
.
.
xi ... ... pij ... ... pi.
On note pij = P(X = xi ∩ Y = yj), et bien entendu :
5.1.2 Lois marginales
.
xp
.
p.j
p
q
i=1 j=1
Définition 5.2 On appelle lois marginales, les lois de probabilité de X et Y prises séparément
:
q
P(X = xi) =
P(Y = yj) =
j=1
p
i=1
pij = pi.
pij = p.j
5.1.3 Lois conditionnelles
Lorsque les événements {X = xi} et {Y = yj} sont de probabilités non nulles, on peut définir
deux types de lois conditionnelles selon que l’on connaît la valeur de X ou de Y .
Définition 5.3 On appelle loi conditionnelle de X si Y = yj :
pij
P(X = xi/Y = yj) = P(X = xi ∩ Y = yj)
P(Y = yj)
On appelle loi conditionnelle de Y si X = xi :
P(Y = yj/X = xi) = P(X = xi ∩ Y = yj)
P(X = xi)
= pij
p.j
= pij
pi.
Propriété 5.1 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors :
pij = P(X = xi ∩ Y = yj) = P(X = xi) × P(Y = yj) = pi. × p.j ∀(i,j)
5.2 Test du χ 2 d’indépendance
Reprenons l’exemple précédent. Nous souhaitons tester l’hypothèse :
(H0) X et Y sont indépendantes
contre (H1) X et Y ne sont pas indépendantes
50

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D’après la propriété précédente, (H0) et (H1) peuvent être réécrites en :
(H0) ∀(i,j) pij = pi × pj
contre (H1) ∃(i,j) / pij = pi × pj
Pour répondre à la question posée, on décide de collecter un échantillon de n = 148 poissons.
Les résultats observés sont les suivants :
A B C
I 12 (14) 22 (29,135) 22 (12,865) n1. = 56
S 25 (23) 55 (47,865) 12 (21,135) n2. = 92
n.1 = 37 n.2 = 77 n.3 = 34 n.. = 148
Le tableau précédent est dit tableau de contingence des deux variables aléatoires X et Y . On
note nij l’effectif observé pour la modalité i de X et j de Y . Calculons maintenant les effectifs
théoriques (et le tableau de contingence théorique qui en découle) sous l’hypothèse (H0). Sous
(H0) :
Cij = n × pi × pj n × ni.
n
× n.j
n
où on remplace la valeur théorique pi par son estimation ˆpi = ni.
n , et de même pj par son
estimation ˆpj = nj.
n . Nous en déduisons alors le tableau des effectifs théoriques (termes entre
parenthèses dans le tableau précédent).
Remarquons que le test que nous présentons est un test d’adéquation d’une distribution observée
à une distribution théorique où :
1. La distribution théorique est celle du couple (X,Y ) sous l’hypothèse d’indépendance;
2. On se sert de l’échantillon pour estimer des paramètres de la distribution théorique : les
(pi)i et les (pj)j.
Rappelons ici la propriété vue dans le chapitre précédent :
Propriété 5.2 Si on estime p paramètres, alors si (H0) est vraie, KH =
approximativement une distribution dite de χ 2 à k − 1 − p degrés de libertés.
Dans notre cas, nous avons KH =
p
q
i=1 j=1
(Oij − Cij) 2
Cij
Calculons alors le nombre de paramètres estimés :
• Les pi ? Il y en a p dont p − 1 sont indépendants ;
• Les pj ? Il y en a p dont p − 1 sont indépendants.
51
=
p
i=1 j=1
k (Oi − Ci) 2
suit
i=1
Ci
q (nij − ni. × n.j
)
n
2
ni. × n.j
n

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Nous en déduisons que le degré de liberté est égal à :
pq − 1 − (p − 1) − (q − 1)
= pq − p − q + 1
= p × (q − 1) − q + 1
= p × (q − 1) − (q − 1)
= (p − 1) × (q − 1).
Pour notre exemple, nous avons donc KH qui suit approximativement sous l’hypothèse (H0)
une distribution χ 2 (3−1)×(2−1) = χ2 2 . Remarquons que les conditions d’approximation : Cij ≥ 5
sont bien vérifiées ici.
Calculons KHobs =
+ (25 − 23)2
23
+ (55 − 47, 865)2
(12 − 14)2
14
47, 865
+ (22 − 29, 135)2
+ (12 − 21, 135)2
29, 135
21, 135
+ (22 − 12, 865)2
12, 865
= 13, 71.
Fixons nous maintenant un risque α = 0, 05 et calculons la pvaleur = PH0(KH > 13, 71). Nous
emploierons ensuite la règle de décision suivante du test :
• Si pvaleur > α alors nous ne rejetons pas (H0) au risque β de se tromper
• Si pvaleur < α alors nous rejetons (H0) au risque α de se tromper
En lisant la table du χ 2 pour ddl=2, nous en concluons que :
p − valeur = PH0(KH > 13, 71) < PH0(KH > 9, 21) = 0, 01 < 0, 05. D’après la règle de décision,
nous concluons au rejet de (H0), au risque α de se tromper.
Interprétation des résultats
Une fois l’hypothèse (H0) rejetée, nous pouvons regarder quels sont les termes qui contribuent le plus
au rejet :
KH = 13,71 = 0,28 + 1,73 + 6,48
+ 0,17 + 1,06 + 3,94
Dans notre cas, ce sont les deux termes correspondant à la catégorie C qui sont les plus importants.
Ce sont donc ces termes dont nous interpréterons l’écart entre effectifs observés et théoriques. En
l’occurence, pour la catégorie C :
• On a plus d’individus à bouche infère que théoriquement sous (H0);
• On a moins d’individus à bouche supère que sous (H0).
52

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5.3 Exercices
Exercice 5.1 Dans la Durance vivent -entre autres- deux espèces de poissons Chondrostoma nasus et
Chondrostoma toxostoma qui peuvent s’hybrider, donnant lieu à un troisième groupe “hybrides”. On a
échantillonné 626 poissons sur quatre stations : Laragne, Manosque, Pertuis, Cavaillon. Le tableau de
contingence croisant la variable station à la variable groupe est le suivant :
Cavaillon Pertuis Manosque Laragne Total
“Hybrides” 39 9 26 3 77
Chondrostoma toxostoma 84 136 141 15 376
Chondrostoma nasus 105 13 13 42 173
Total 228 158 180 60 626
1. Proposez un test permettant de décider si la répartition des individus suivant les groupes est
indépendante de la station. Vous préciserez notamment les hypothèses H0 et H1, la distribution
utilisée pour la statistique du test sous l’hypothèse H0 ainsi que la règle de décision.
2. Les résultat du test fournis par un logiciel sont les suivants :
Cavaillon Pertuis Manosque Laragne Total
Hyb 39 9 26 3 77
? ? 22.14 7.38 77
C. toxostoma 84 136 141 15 376
? ? 108.12 36.03 376
C. nasus 105 13 13 42 173
63.01 43.66 49.74 16.58 173
Total 228 158 180 60 626
Kh = 4.28+5.60+0.67+?+20.47+17.80+?+12.28+27.98+21.53+27.14+38.97=189.32
DL = ?
Remplacer chacun des 7 points d’interrogation par sa valeur, en expliquant ce qu’il représente
et en justifiant votre calcul.
3. Conclure quant au résultat du test, puis interpréter les résultats obtenus. Les stations sont placées
le long du cours d’eau de l’amont vers l’aval comme suit : Laragne, Manosque, Pertuis,
Cavaillon. Peut-on parler le gradient amont-aval dans la répartion des 3 groupes ?
Exercice 5.2 Des larves d’une certaine espèce d’insecte ont été récoltées dans des prélévements de
milieu d’un même site, à trois dates de l’année différentes. Les divers stades de développement sont
dénombrés. Les résultats obtenus sont les suivants :
Date Stade 1 Stade 2 Stade 3 Stade 4
T1 36 42 30 18
T2 22 31 22 13
T3 14 17 20 17
Peut-on considérer qu’il y a eu évolution de la population larvaire sur le site entre ces trois dates ?
Exercice 5.3 Un médecin étudie la question suivante : “Les risques de complication sont-ils différents
lorsqu’on accouche à l’hôpital ou à domicile ?” Pour y répondre, il a entrepris une enquête réunissant
1000 cas d’accouchement, moitié ayant eu lieu sans accoucheur (à domicile) et moitié avec accoucheur
(à l’hôpital). Les résultats sont les suivants :
53

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Hôpital Domicile
Pas de complication 440 480
Avec complication 60 20
1. Définir les variables “Lieu d’accouchement” et “Type de complication”, puis proposer un test
permettant de décider s’il existe ou non une dépendance entre ces deux variables.
2. Donner le résultat du test. Le médecin interprète ce résultat en disant qu’accoucher à l’hôpital
augmente le risque de complication . . . mais saisi d’un doute il présente ses résultats à deux
collègues.
- Le premier lui fait remarquer qu’il est possible que l’on fasse plus appel à l’accoucheur
lorsque la situation se présente mal. Le médecin interroge alors les 60 personnes ayant eu
des complications à l’hôpital et se rend compte que 38 d’entre elles sont allées à l’hôpital
sachant qu’elles avaient un fort risque de complication.
- Le second lui demande d’augmenter la taille de son échantillon. L’enquête complétée
conduit aux résultats suivants :
Hôpital Domicile
Pas de complication 861 947
Avec complication 139 53
3. Lequel des deux conseils vous semble-t-il justifié ? Effectuez alors le test complémentaire correspondant
au conseil qui vous semble justifié.
4. Pour quelle raison l’interprétation par le médecin des résultats du premier test n’était-elle pas
correcte ?
54

Chapitre 6
Liaison entre deux variables aléatoires
continues
6.1 Loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires continues
6.1.1 Définition
On s’intéresse sur des poissons aux deux caractères quantitatifs suivants :
• Longueur à la fourche (X)
• Diamètre de l’œil (Y)
Si Ω désigne la population, alors nous pouvons définir :
X : Ω −→ R +
ω ↦−→ X(ω) = longueur à la fourche du poisson ω
Y : Ω −→ R +
ω ↦−→ Y (ω) = Diamètre de l’œil du poisson ω
Dans cet exemple, nous observons en fait sur chaque individu deux caractères ou variables aléatoires.
Nous pouvons alors définir le couple (X, Y ) ainsi :
(X, Y ) : Ω −→ R + × R +
ω ↦−→
X(ω) , Y (ω)
Nous nous interessons ici à la définition de la distribution du couple.
Définition 6.1 On appelle loi du couple ou loi de probabilité jointe de (X, Y ) la probabilité définie
ainsi : ∀ [ax, bx], [ay, by]
[ax, bx], [ay, by] = P ax < X < bx ∩ ay < Y < by
P (X,Y )
bx by
Propriété 6.1 S’il existe une fonction f(x, y) telle que : P (X,Y ) [ax, bx], [ay, by] = f(x, y)dx dy,
alors f(., .) est dite densité de probabilité du couple.
55
ax
ay

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6.1.2 Lois marginales
Fig. 6.1 – Densité d’un couple de variables réelles (X,Y)
Définition 6.2 On appelle loi marginale de X la loi de probabilité de X prise séparément :
bx
PX([ax, bx]) = P (X,Y ) [ax, bx], (−∞, +∞) = f(x, y)dy dx,
ax R
fX(x)
De la même manière, on définit la loi marginale de Y par :
by
PY ([ay, by]) = P (X,Y ) (−∞, +∞), [ay, by] = f(x, y)dx dy,
ay R
fY (y)
6.1.3 Lois conditionnelles
Comme nous l’avons vu au paragraphe précédent, on peut toujours déduire de la loi du couple de deux
variables aléatoires la loi de chacune des deux variables. Nous allons maintenant nous intéresser à la
liaison entre ces deux variables, c’est à dire à la manière dont les couples (xi, yi) observables sont appariés
dans la loi du couple. Une loi conditionnelle donne, pour une valeur fixée de l’une des variables,
la loi de probabilité de l’autre. Dans notre exemple, cela revient à s’intéresser à la distribution de la
longueur Y des poissons conditionnellement à une valeur fixée x du diamètre de l’œil.
Nous rappelons les notations :
f (X,Y ) est la densité de probabilité du couple (X, Y )
56

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fX est la densité de probabilité de X
fY est la densité de probabilité de Y
P x ≤ X < x + dx ∩ y < Y < y + dy
= P y < Y < y + dy / x ≤ X < x + dx
× P x ≤ X < x + dx
↓dx → 0, dy → 0
↓ dx → 0
f (X,Y )(x, y)dx dy = P y < Y < y + dy / x ≤ X < x + dx × fX(x)dx
Nous en déduisons : P y < Y < y + dy / x ≤ X < x + dx f (X,Y )(x, y)
dy.
fX(x)
Définition 6.3 Ainsi, pour tout réel x tel que fX(x) = 0, nous pouvons définir une fonction : fY/X=x :
f(x, y)
y ↦−→ fY/X=x(y) = . Cette fonction s’appelle la densité conditionnelle de Y sachant que X = x.
f(x)
Remarques :
1) On définit de même pout tout réel y tel que fY (y) = 0 la densité conditionnelle de X sachant que
f(x, y)
Y = y : fX/Y =y(x) =
fY (y) .
2) Remarquons que f X/Y =y (et de même f Y/X=x) ont bien les propriétés d’une densité de probabilité
puisque :
• f X/Y =y(x) =
•
+∞
−infty
f(x, y)
fY (y)
≥ 0.
f X/Y =ydx = 1
fY (y)
+∞
−infty
f(x, y)dx = fY (y)
= 1
fY (y)
6.2 Covariance et coefficient de corrélation linéaire
6.2.1 Définitions
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles. On suppose que chacune de ces deux variables
possède une espérance et une variance. On note µX, µY leurs espérances, σ2 X et σ2 Y leurs variances.
Définition 6.4 On appelle covariance des variables X et Y et on note cov(X, Y ), σXY le nombre,
s’il existe, défini par :
µ (X − µX)(Y − µY ) =
(xi − µX)(yj − µY )pij
si les variables sont discrètes
µv (X − µX)(Y − µY )
=
i
R
j
R
(x − µX)(y − µY )f (X,Y )(x, y)dxdy où f (X,Y )(x, y)
désigne la densité de probabilité du couple(X, Y )
La covariance possède la propriété d’être nulle lorsque les variables sont indépendantes. Réciproquement,
une covariance nulle n’implique pas l’indépendance entre les variables (sauf dans le cas gaussien).
Cependant la covariance donne des indications sur la liaison entre les deux variables :
• Lorsque cov(X, Y ) < 0, les écarts (X − µX) et (Y − µY ) ont tendance à être de signe contraire
et X et Y ont tendance à évoluer en sens contraire ;
• Lorsque cov(X, Y ) > 0, les écarts (X − µX) et (Y − µY ) ont tendance à être de même signe et
X et Y ont tendance à évoluer dans le même sens.
57

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Définition 6.5 On appelle coefficient de corrélation des variables X et Y le nombre, s’il existe, défini
par :
cov(X, Y )
ρXY =
var(X)var(Y )
Le coefficient de corrélation est utilisé pour mesurer le degré de liaison entre deux variables. Il vérifie
les propriétés suivantes :
1. −1 < ρXY < 1 et ρXY est inchangé si on change d’unité et/ou d’origine pour X et Y . Cela
signifie que si l’on remplace X par X ′ = aX + b où a ≥ 0 et b ≥ 0, le coefficient de corrélation
linéaire entre X ′ et Y est le même que celui entre X et Y .
2. |ρXY | = 1 ⇐⇒ Y = aX + b (cf chapitre sur la régression linéaire. De plus, ρ = 1 → a > 0 et
ρ = 1 → a < 0.
Ces propriétés signifient que le coefficient de corrélation linéaire mesure l’association entre X et
Y indépendamment des unités choisies pour ces variables, ce qui facilite grandement l’interprétation
de sa valeur. On peut par exemple dire que la corrélation ρ entre les variables X et
Y est plus forte que celle de ρ ′
entre les variables X ′
et Y ′
lorsque ρ est supérieur (en valeur
absolue) à ρ ′
alors qu’une telle conclusion n’aurait aucun sens à propos des covariances (ou des
pentes des droites de régression, cf chapitre sur la régression linéaire).
3. L’indépendance de X et Y implique ρXY = 0. C’est la liaison la plus faible. Attention, la réciproque
n’est pas vraie sauf pour des cas particuliers comme celui où X et Y sont distribuées
selon une loi normale.
4. ρXY > 0 ←→ X et Y ont tendance à évoluer dans le même sens, ρXY < 0 ←→ X et Y ont
tendance à évoluer en sens contraire.
Propriété 6.2 Soient X et Y deux variables aléatoires quelconques. Alors :
σ 2 (X + Y ) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) + 2cov(X, Y ).
En effet σ2
2 (X + Y ) = µ X + Y − µ(X) − µ(Y )
2 = µ (X − µ(X)) + (Y − µ(Y ))
= µ
(X − µ(X)) 2 + (Y − µ(Y )) 2 + 2 × (X − µ(X)) × (Y − µ(Y ))
= σ 2 (X) + σ 2 (Y ) + 2 cov(X, Y )
En particulier si X et Y sont indépendantes, alors : var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
6.2.2 Estimation du cooefficient de corrélation linéaire
On a mesuré sur n = 29 poissons les deux variables aléatoires X=“longueur à la fourche” et Y =“diamètre
de l’œil”. Les données observées sont les suivantes :
58

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 13.91 19.94 14.93 12.94 12.06 16.73 15.75 22.91 23.49 26.45
y 0.70 0.71 0.74 0.68 0.66 0.80 0.81 1.07 1.00 1.11
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x 27.56 20.61 23.20 25.19 19.23 13.41 14.43 13.97 12.40 13.21
y 1.19 0.94 1.01 1.15 0.86 0.78 0.80 0.77 0.72 0.77
21 22 23 24 25 26 27 28 29
x 13.97 17.25 8.58 18.59 16.75 20.03 12.02 14.43 13.75
y 0.73 0.84 0.54 0.96 0.77 0.98 0.68 0.76 0.78
L’estimateur de µX est ¯ X = 1
n
L’estimateur de µY est ¯ Y = 1
n
L’estimateur de σ 2 X est
L’estimateur de σ 2 Y est
1
n − 1
1
n − 1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
Xi, son estimation est ¯x = 1
n
Yi, son estimation est ¯y = 1
n
n
xi = 16.95
i=1
n
yi = 0.838
i=1
(Xi − ¯ X) 2 , son estimation est s 2 (x) = 1
n − 1
(Yi − ¯ Y ) 2 , son estimation est s 2 (y) = 1
L’estimateur de la covariance cov(X, Y ) est cov(X, Y ) = 1
n − 1
est
1
n − 1
n
(xi − ¯ (x)) × (yi − ¯y).
i=1
n
(xi − ¯x) 2 = 23.76
i=1
n
(yi − ¯y)
n − 1
i=1
2 = 0.026
n
(Xi−¯ (X))×(Yi− ¯ Y ), son estimation
Après simplification par n − 1, nous en déduisons l’estimateur R du coefficient de corrélation ρ :
i=1
n
(Xi − ¯ X) × (Yi − ¯ Y )
i=1
R =
n
(Xi − ¯ X) 2 ×
i=1
L’estimation r de R à partir des données est alors
n
(Yi − ¯ Y ) 2
i=1
n
(xi − ¯x) × (yi − ¯y)
i=1
r =
n
(xi − ¯x) 2 ×
i=1
n
(yi − ¯y) 2
L’expression précedente de r peut encore s’écrire sous les formes :
59
i=1

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r =
n i=1
n
i=1
xi × yi − 1
n (
x 2 i − 1
n (
n
i=1
n n
xi) × ( yi)
i=1
xi) 2
×
n
i=1
i=1
n
y 2 i − 1
n (
i=1
=
yi)
2
n
(xi × yi) − n × ¯x × ¯y
i=1
(n − 1) × s2 (x) × s2 (y)
En pratique, on utilise celle des trois formules qui est la plus commode avec les données dont on dis-
n
pose. Dans notre exemple, xi × yi = 433.341. Nous en déduisons alors l’estimation de ρ :
r =
i=1
433.81 − 29 × 16.95 × 0.84
(29 − 1) × √ 23.76 × 0.026
= 0.972.
6.2.3 Test de l’hypothèse de nullité du coefficient de corrélation linéaire
L’estimation précédemment observée r est le résultat d’une variable aléatoire. Nous ne pouvons pas,
au vu de la seule valeur de r conclure à l’existence d’une corrélation entre X et Y ... encore faut-il que
r soit une valeur qu’on a très peu de chances d’observer si ρ = 0. Nous présentons maintenant le test
de :
(H0) ρ = 0
contre (H1) ρ = 0
Comme pour tous les autres tests que nous avons vus, la construction d’un test du coefficient de
corrélation linéaire nécessite de connaître les fluctuations d’échantillonnage de R sous l’hypothèse
(H0). On montre ainsi que sous (H0), et si l’une des deux distributions conditionnelles est normale et
de variance constante alors : T = R × √ n − 2
√ suit une distribution de Student à n−2 degrés de liberté.
1 − R2 Le test consiste donc à calculer t0 = r × √ n − 2
√ 1 − r 2 = 21.507 et à en déduire la p-valeur associée à t0 :
P(|T | > t0).
Si on se fixe un risque α (par exemple α = 0.05), nous en déduisons la règle de décision du test :
• Si la p-valeur < α, alors nous rejetons (H0) au risque α de se tromper ;
• Si la p-valeur > α, alors nous ne rejetons pas (H0) au risque β de se tromper.
A l’aide de la table de Student, nous lisons que : P(|T27| > t0) < P(|T27| > 3.69) = 0.001 < 0.05
Nous concluons donc au rejet de (H0) au risque α = 0.05 de se tromper : il existe donc bien une
corrélation linéaire (positive) entre les variables aléatoires X=“longueur à la fourche” et Y =“diamètre
de l’œil”.
6.3 exercice
Exercice 6.1 Dans une étude sur la dynamique des populations naturelles de la tenthrède du pin
(Diprion frutetarum) on a mesuré la longueur y de 14 cocons et observé sa capacité de reproduction
en comptant le nombre x d’ovocytes matures.
x 9,31 8,31 9,57 10,64 7,54 8,29 8,28 9,57 8,91 7,59 7,39 9,27 6,15 8,08
y 37,94 35,05 32,39 38,90 24,88 40,55 43,78 37,77 36,88 30,44 27,80 42,46 22,74 30,92
60

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1. Tracer le graphe des observations (yi − ¯y) en fonction des (xi − ¯x), que constatez vous ?
2. Rappeler la définition du coefficient de corrélation linéaire ρ(X, Y ) entre deux variables aléatoires
X et Y . Quelles sont ses propriétés ?
3. Donner l’expression de l’estimateur r(x, y) de ρ(X, Y ) calculé à partir d’un échantillon. Calculer
l’estimation du coefficient de corrélation linéaire dans notre cas.
4. On supposera désormais que la distribution de Y à X = x fixé est normale. On désire tester
l’hypothèse (H0) : ρ(X, Y ) = 0 contre (H1) : ρ(X, Y ) = 0. Construire le test et conclure.
61

Chapitre 7
Régression linéaire simple
7.1 Introduction
L’étude de l’association entre deux variables quantitatives X et Y est un problème où :
(a) Les deux variables peuvent jouer un rôle symétrique : on souhaite savoir si les variables évoluent
conjointement. C’est le cas que nous avons vu au chapitre précédent avec X=“longueur à la fourche”
et Y =“diamètre de l’œil”.
(b) Les deux variables ne jouent pas un rôle symétrique. Par exemple, si Y =“poids de naissance du
nourrisson” et X=“poids de naissance de la mère”, on peut se poser la question suivante : le poids de
la mère est-il la “cause” du poids de naissance de l’enfant? Ou, même si ce n’est pas le cas, peut-on
-au vu du poids maternel- prédire celui du nourrisson ?
On parle alors pour Y de “variables réponse”, “variable à expliquer”, “variable à prédire”, “variable
endogène”, “variable endogène” ou de “variable dépendante‘” ;
On parle pour X de “facteur”, “variable explicative”, “variable prédictrice”, “variable exogène”, ou “variable
indépendante”.
Pour décrire les liens entre les variables aléatoires X et Y , la régression consiste à décrire au mieux la
façon dont Y varie en fonction de X. Cela revient à décrire la distribution de Y pour chaque valeur x
de X. L’existence d’un lien entre X et Y correspond à une situation où la distribution de Y varie selon
les valeurs de X. Inversement, l’absence de lien correspond au cas où la distribution de Y est inchangée
quelle que soit la valeur de X. Ainsi, (b) n’est pas une restriction du cas (a), mais correspond à une
situation qui se pose souvent en pratique.
7.2 Le modèle
Nous allons étudier l’exemple suivant 1 : On a mesuré pour 12 stations situées aux environs de Banyuls
deux variables :
• La distance à la côte X (en m)
• Le taux de salinité Y (en ln(g/m 2 ))
1 Données de Lebreton et al : Principal component analysis analyses with respect to instrumental variables :
an overview of their role in studies of structure -activity and species - environment relationships. In : Applied
multivariate analysis in SAR and environmental studies. 1991
62

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Les données sont représentées par n couples (xi, yi) d’observations données dans le tableau suivant :
Relevé Salinité Distance à la côte
1 7,3 23
2 6,60 29
3 5,70 35
4 6,80 57
5 6,20 57
6 6,30 60
7 5,90 62
8 5,60 66
9 5,40 80
10 4,60 85
11 4,99 100
12 4,13 123
Le modèle que nous allons étudier et que nous appellerons modèle de regression linéaire s’applique
aux conditions expérimentales suivantes : les valeurs xi prises par X sont supposées connues
sans erreur dans tout le domaine des valeurs possibles. Elles peuvent être :
• Choisies a priori (exemple : doses d’un engrais fourni à des unités expérimentales);
• Mesurées après avoir déterminé sur quelles unités expérimentales se feraient les mesures (exemple :
tirage au sort dans une population plus vaste).
Dans notre exemple, on supposera la distance à la côte connues exactement, les places ou stations
choisies a priori.
Si nous pensons que la relation entre Y et X est linéaire, si nous pensons que l’une (X) peut expliquer
l’autre (Y ), nous écrivons leur relation sous la forme :
Yi = a + b × xi + Ei i = 1, . . .,n
Cela signifie que, la valeur de X étant fixée à x, le résultat (aléatoire) de Y se décompose en :
• une composante fixe (a + b × x) : c’est la salinité moyenne théorique des parcelles situées à
une distance x de la côte. Cette moyenne théorique est ainsi supposée varier de manière linéaire
avec la distance à la côte.
a est un paramètre constant et représente l’ordonnée à l’origine
b est un paramètre constant, appelé coefficient de régression ou pente : il représente l’augmentation
moyenne du ln(sal) lorsque la distance augmente d’une unité. Soulignons qu’il s’agit d’une
augmentation moyenne : la différence de salinité entre deux stations éloignées d’un mètre est en
moyenne égale à b.
• Une composante aléatoire Ei qui représente l’écart de l’individu i à la moyenne théorique. Il
est appelé résidu. Nous supposerons les (Ei) indépendants et de même variance (supposition1),
de même moyenne théorique 0 et variance théorique σ 2 (supposition 2), et distribuées selon une
loi normale (supposition 3). σ 2 est dite variance résiduelle. C’est également la variance de Y
lorsque X = x est fixé. On a donc σ 2 Y > σ2 .
La relation (1), complétée par les suppostions (1) à (3) sur les résidus constitue le modèle de régression
linéaire. Nous employons le terme de supposition (traduction de l’anglais assumption) de préférence à
63

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celui d’hypothèse. En effet, le sens donné à “hypothèse” en statistique est très précis : on teste une
hypothèse alors qu’on vérifie -ou pas- une supposition.
On parle pour (1) de modèle de régression linéaire simple :
• linéaire car les deux paramètres (a et b) interviennent de façon linéaire dans (1) . On exprime
E(Y/X = x), la moyenne théorique de Y à x fixé, comme une fonction linéaire de x. Si la
relation est autre que linéaire, on parle de régression non linéaire.
• simple car il n’y a qu’une seule variable explicative X. Lorsqu’il y en a plusieurs, on parle de
régression multiple.
• régression pour des raisons historiques. Le terme de régression a une origine curieuse. Il remonte
à l’étude par Sir Francis Galton (cousin de Darwin et fondateur de l’eugénisme) de la
relation entre la taille des parents et celle des enfants. Il observa que les enfants de parents de
petite taille avaient tendance à être de petite taille mais pas autant que leurs parents. Ils avaient
plutôt une taille les rapprochant de parents moyens. Il en était de même pour les enfants de
parents ayant une grande taille : leurs enfants semblaient “régresser” vers la moyenne (dans le
sens de retourner vers un état antérieur). Galton appela “rapport de régression filiale” la pente
(< 1) de la relation linéaire entre la taille des parents et celle des enfants.
Une fois choisi le modèle linéaire (1) et faisant les suppositions (1) à (3), deux questions se posent :
• Quelles sont les valeurs de a et b ?
• La pente de la droite a + b × x est-elle différente de 0 ?
Cette seconde question est intéressante car elle permet de tester l’existence d’un lien entre X et Y . En
effet, si b = 0, E(Y/X = x) = a : la moyenne conditionnelle de Y ne dépend pas de X ou encore qu’il
n’existe pas de lien en moyenne entre X et Y .
Enfin, notons bien qu’un absence de relation est plus exactement ici une absence de relation linéaire
. . . mais un autre type de relation (non linéaire) peut très bien exister entre X et Y .
Y
X
Fig. 7.1 – Deux type de relations pouvant lier Y à X : (a) linéaire; (b) non linéaire.
64
Y
X

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7.3 Estimation des coefficients du modèle par la méthode des
moindres carrés
Chaque individu i est caractérisé par un couple (xi, yi). On peut le représenter par un point sur le
graphique suivant.
log(sal)
4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
(xi, yi)
20 40 60 80 100 120
dist
(xi, yi=a + b xi)
Fig. 7.2 – Graphe des observations (xi,yi) et de la droite des moindres carrés.
Principe : nous allons, pour notre jeu de données, estimer la droite de régression a + b × x par la
droite â + ˆ b × x qui minimise le critère suivant :
SCE =
n
(yi − a − b × xi) 2
â et ˆ b seront dits estimations par la méthode des moindres carrés des paramètres a et b.
Propriété 7.1 Les estimations des paramètres a et b par les moindres carrés sont :
ˆ b =
n
i=1
â = 1
n
xi × yi − 1
n (
n
i=1
x 2 i
i=1
− 1
n (
n
yi − ˆb × ¯x.
i=1
i=1
n n
xi) × ( yi)
n
xi) 2
i=1
i=1
Exemple : nous avons ¯x = 5, 8, ¯y = 64, 75, s 2 x
=
n
xi × yi − n × ¯x × ¯y
i=1
= 848, 75 et
65
(n − 1) × s 2 x
; =
cov(x, y)
s 2 x
n
xi × yi = 4250, 26. Nous en déduisons :
i=1

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ˆb =
4250, 26 − 12 × 5, 8 × 64, 75
11 × 848, 75
= −0, 0278
â = 64, 75 − (−0, 0278) × 5, 8 = 7, 6
Démonstration de la propriété :
La droite des moindres carrés correspond aux valeurs de a et b pour les quelles SCE est minimum. Pour
estimer a et b, on utilise un résultat mathématique classique : le point où la dérivée d’une fonction est
nulle correspond à un minimum ou à un maximum de cette fonction. On obtient ainsi les coefficients
â et ˆ b de la droite de régression en annulant les dérivées de SCE par rapport à a et à b. On montre
qu’il s’agit bien d’un minimum. Les deux équations obtenues en dérivant SCE par rapport à a, puis
par rapport à b, sont les suivantes :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂SCE
∂a
∂SCE
∂b
=
=
n
−2 × (yi − a − b × xi) = −2 ×
i=1
n
yi + 2 × n × a + 2 × b ×
i=1
n
−2 × xi × (yi − a − b × xi) = −2 ×
i=1
La première équation donne : â = ¯y − ˆ b × ¯x.
La seconde équation donne en remplaçant â par ¯y − ˆ b × ¯x :
−
n
xi × yi + ¯y ×
i=1
⇐⇒ ˆ n b ×
⇐⇒ ˆ b =
i=1
x 2 i
− n × ¯x2
n
xi + ˆb ×
i=1
=
n
i=1
x 2 i = 0
n
xi × yi + 2 × a ×
i=1
n
xi × yi − n × ¯y × ¯x
i=1
⇐⇒ ˆ n b × x
i=1
2 i − 1
n
× ( xi)
n
i=1
2
=
n
xi × yi − n × ¯y × ¯x
i=1
n
i=1
x 2 i
− 1
n
× (
n
xi) 2
i=1
=
n
xi × yi − n × ¯y × ¯x
i=1
n
xi × yi − n × ¯y × ¯x
i=1
(n − 1) × s 2 x
n
xi = 0
i=1
n
xi + 2 × b ×
Remarque : â et ˆ b présentés dans la propriété précédente sont des réalisations des variables aléatoires :
B =
n
xi × Yi − 1
n
× ( xi) ×
n
i=1
n
x
i=1
2 n 1
i − × ( xi)
n
i=1
2
n
n
i=1
i=1
Yi
i=1
xi
n
i=1
Yi
A = − B ×
n n
A et B sont dits estimateurs de a et b. Les valeurs numériques qu’ils prennent sur un échantillon (â
et ˆb) sont appelées estimations.
Propriété 7.2 Sous le modèle linéaire Yi = a + b × xi + Ei et en supposant les Ei indépendants
de moyenne théorique nulle et de variance σ 2 constante, alors A et B sont des estimateurs sans biais
de a et b (ie µ(A) = a et µ(B) = b) qui ont une variance minimale parmi les estimateurs qui sont des
fo nctions linéaires des Yi.
66
i=1
n
i=1
x 2 i
= 0

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Propriété 7.3 Un estimateur de σ2 est donné par S = 1
n
(Yi − A − B ×xi)
n − 2
i=1
2 . Son estimation
est donc égale à s2 = 1
n
(yi − â −
n − 2
ˆb × xi) 2 . On note aussi s2 = ˆ σ2 i=1
Remarque : L’expression s 2 est aussi égale à s 2 =
avons s 2 y = 0.85. Nous en déduisons s 2 =
n − 1
n − 2 × (s2y − b2 × s 2 x ). Pour notre exemple, nous
12 − 1
12 − 2 × (0.85 − (0.0278)2 × 848.75) = 0.213.
7.4 Test de la pente de la droite de régression
7.4.1 Construction du test
Dans le modèle Yi = a + b × xi + Ei, le terme a + b × xi est l’équation d’une droite dont b est la
pente. Nous souhaitons tester :
(H0) b = 0
contre (H1) b = 0
Il est bien entendu possible de présenter un test concernant a, mais sauf dans des cas très particuliers
il n’a pas d’intérêt.
Comme nous l’avons déjà fait, par exemple dans le cas du test de comparaison de deux moyennes
(chapitre 3), il faut pour construire le test déterminer les fluctuations d’échantillonnage ou loi de probabilité
de B lorsque (H0) est vraie.
Propriété 7.4 Soit le modèle linéaire Yi = a + b × xi + Ei, et les suppositions : (1) Les Ei sont
indépendants, de moyenne théorique nulle, et de même variance σ 2 , (2) Les Ei sont distribués selon
une loi normale.
Alors, T =
B − b
s 2 B
suit une loi de Student à n − 2 degrés de libertés, où σ2 sy
(
B =
n − 2
En particulier si (H0) est vraie, nous avons T = B
s 2 B
libertés.
s 2 B sera estimée par s 2 B
Construction du test
= ( sy
sx )2 − b 2
n − 2
Calculons la valeur observée de la statistique du test : Tobs = ˆ b
s 2 B
= ( sy
sx )2 − b 2
= ( 0.85
848.75 )2 − (−0.0278) 2
car s2 B = 0.000023.
n − 2 12 − 2
Calculons maintenant la p − valeur = P(|T | > 5.81).
67
sx )2 − B 2
qui suit une loi de Student à n − 2 degrés de
= −0.0278
√ 0.000023 = −5.81
.

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Si on se fixe un risque α (par exemple α = 0.05), nous en déduisons la règle de décision du test :
• Si la p-valeur < α, alors nous rejetons (H0) au risque α de se tromper ;
• Si la p-valeur > α, alors nous ne rejetons pas (H0) au risque β de se tromper.
Ici, pour α = 0.05, nous lisons dans la table de Student que : P(|T | > 2.228) = 0.05. Or, 5.81 >
2.228 ⇒ P(|T | > 5.81) < P(|T | > 2.228) = 0.05. D’après la règle de décision, nous en concluons au
rejet de (H0) au risque α = 0.05 de se tromper.
7.4.2 Interprétation du test de la pente
Il faut bien avoir conscience que l’hypothèse testée est celle d’une relation linéaire entre les variables
X et Y . Ainsi, un non rejet de l’hypothèse (H0), en admettant que la décision ne soit pas fausse, peut
correspondre aux cas suivants : (a) Il n’existe pas de relation (linéaire ou pas) entre X et Y ; (b) Il
existe un autre type de relation que linéaire entre X et Y .
De même, un rejet de l’hypothèse (H0) signifie qu’il existe -au moins- une composante linéaire dans la
relation entre X et Y .
Y
Y
(a)
(c)
X
X
Fig. 7.3 – Régression linéaire de Y en X : (a) Il n’existe pas de relation (linéaire ou pas) entre
X et Y ; (b) Il existe un autre type de relation que linéaire entre X et Y ; (c) Il n’existe qu’une
relation linéaire entre X et Y ; (b) Il existe un autre type de relation, en plus d’une relation
linéaire, entre X et Y .
Pour cette raison il est important, une fois le modèle linéaire effectué, de vérifier la validité des suppositions
du modèle. Par exemple, les résidus (estimés) associés aux modèles (b) et ((d) devraient
68
Y
Y
(b)
(d)
X
X

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apparaître comme corrélés et de ce fait devraient nous amener à remettre en cause le modèle linéaire
pour représenter la liaison entre X et Y .
7.5 Précision de la droite de régression
Les coefficients a et b de la droite de régression sont estimés par â et ˆ b à partir des couples de valeurs
(xi, yi) observés sur notre échantillon. Comme toute estimation, â et ˆ b sont soumis aux fluctuations
d’échantillonnage.
7.5.1 Intervalle de confiance de la pente de la droite de régression
Nous avons précédemment vu que sous les suppositions du modèle linéaire alors : T =
loi de Student à n − 2 degrés de libertés, où σ 2 B
un risque α, alors :
⇐⇒ P(−t α/2 <
= ( sy
sx )2 − B 2
n − 2
P(−t α/2 < T < t α/2) = α
B − b
s 2 B
⇐⇒ P(−t α/2 × s 2 B < B − b < t α/2) × s 2 B
⇐⇒ P(B − t α/2 × s 2 B < b < B + t α/2) × s 2 B
ˆb − tα/2 × s 2 B , ˆ b + t α/2 × s 2 B
Donc, l’intervalle
de la pente de la droite de régression.
< t α/2) = α
= α
= α
B − b
s 2 B
suit une
. Nous en déduisons que, si on se fixe
constitue un intervalle de confiance de niveau α
Application : ˆ b = −0.0278, s 2 B = 0.000023. Si on choisit α = 0.05, alors t α/2 = 2.228 pour un degré de
liberté égal à 12−2 = 10. L’intervalle de confiance à 1−α = 0.95 de la pente est donc [−0.038, −0.017].
7.5.2 Prédiction de Y connaissant x
Une des utilisations importantes de la régression linéaire est de prédire la valeur de y connaissant
x. Cette question a deux aspects selon que l’on s’interesse à la prédiction ˆy de la valeur moyenne
E(Y/X = x) ou à la valeur individuelle y lorsque x est fixé.
Intervalle de confiance de ˆy
La droite de régression estimée ˆy = â + ˆ b × x permet de calculer la valeur moyenne ˆy pour une valeur
donnée x. Par supposition du modèle, la distribution de Y à x fixé est N(a+b×x, σ 2 ). La distribution
de la valeur moyenne prédite ˆy est donc aussi normale, et on montre que sa variance est :
n − 1
var(ˆy) =
n − 2 × (s2y − b 2 × s 2 x)
s2
1
×
n
Nous en déduisons un intervalle de confiance de E(Y/X = x) :
¯y − t n−2, α/2 × s 2 ×[ 1
n
(x − ¯x)2
+
(n − 1)s2
x
(x − ¯x)2
+
(n − 1)s2 ], ¯y + tn−2, α/2 ×
x
s2 ×[ 1
n
69
(x − ¯x)2
+
(n − 1)s2
]
x

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Où s 2 constitue une estimation de σ 2 .
Remarquons que var(ˆy) dépend de x. Elle est minimum pour x = ¯x. En effet, les fluctuations d’échantillonnage
sont moins importantes au voisinage de ¯x.
Exemple : ˆy = 7.6−0.0278×x et s2 = 0.213. Nous en déduisons :
1 (x −
5.8)2
var(ˆy) = 0.213× + .
12 11 × 848.75
L’expression de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 1 − α = 0.95 est donc :
1 (x −
5.8)2
7.6 − 0.0278 + / − 2.228 × 0.213 × + .
12 11 × 848.75
Fluctuation d’échantillonnage de la valeur individuelle y prédite connaissant x
Le paragraphe précédent donnait l’intervalle de confiance de la moyenne théorique ˆy = E(Y/X = x).
On peut aussi s’intéresser à l’intervalle où se situe la valeur y d’un sujet pour lequel x est fixé. Il
s’agit ici d’un intervalle de fluctuation. La prédiction individuelle y à x fixé a pour moyenne théorique
ˆy = a + b × x et pour variance var(ˆy) + σ 2 .
L’intervalle de fluctuation de la valeur prédite s’écrit donc :
a + b × x − tn−2,α/2 × var(ˆy) + σ2 , a + b × x + tn−2,α/2 × var(ˆy) + σ2
Lorsqu’on fait le calcul numérique, il faut remplacer les valeurs théoriques inconnues (a, b, var(ˆy) et
σ 2 ) par leurs estimations. On obtient alors :
â+ ˆ
b ×x−t n−2,α/2 × s2 × (1 + 1 (x − ¯x)2
+
n (n − 1)s2 ), â+
x
ˆ
b ×x+t n−2,α/2 × s2 × (1 + 1 (x − ¯x)2
+
n (n − 1)s2
)
x
7.6 Part de variance expliquée par la régression
Trois valeurs sont associées à chaque individu : xi, yi et ˆyi = â + ˆb × xi (valeur prédite par le modèle).
n
Nous pouvons alors considérer la décomposition suivante de SCET = (yi − ¯y) 2 , variabilité des yi
par rapport à leur moyenne :
n
SCET = (yi − ¯y) 2 =
SCET =
i=1
=
n
(yi − ˆy + ˆy − ¯y) 2
i=1
i=1
i=1
i=1
n
(yi − ˆyi) 2
n
+ (ˆyi − ¯y) 2
n
+ 2 ×(yi − ˆyi) × (ˆyi − ¯y)
SCER SCEM
=0
n
(yi − ¯y) 2 représente la variabilité totale des yi par rapport à leur moyenne, c’est la
i=1
somme des carrés des écarts totale ;
n
SCER = (yi − ˆyi) 2 représente la variabilité des valeurs observées par rapport aux valeurs
i=1
prédites par le modèle , c’est la somme des carrés des écarts résiduels ;
n
SCEM = (ˆyi − ¯y) 2 représente la variabilité des valeurs prédites par le modèle par rapport à
i=1
la moyenne, c’est la somme des carrés des écarts dus au modèle.
Définition 7.1 On appelle coefficient de détermination - ou pourcentage de variance expliquée- le
70
i=1

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rapport : R 2 = SCEM
SCET
= SCET − SCER
SCET
=
n
(ˆyi − ¯y) 2
i=1
n
(yi − ¯y) 2
Exemple SCET = 9, 40, SCEM = 7, 14, SCER = 2, 26. Nous en déduisons que
R 2 = SCEM
SCET
= 7.14
= 0, 76
9.40
On montre que R 2 = B 2 × s2 x
s 2 y
i=1
Propriété 7.5 (test de significativité de la régression)
SCEM/1
On montre que sous l’hypothèse (H0) b = 0, alors F =
suit une loi de Fisher-Snedecor
SCER/(n − 2)
à 1 et (n − 2) degrés de liberté.
On montre que ce test est équivalent à celui de (H0) b = 0 contre (H1) b = 1 et à celui de (H0) R = 0
contre (H1) R = 0.
On présente souvent les résultats sous la forme d’un tableau récapitulatif dit tableau de décomposition
de la variance : ddl SC CM = SC/ddl Fobs p-valeur
distance 1 7.14 7.14 31.57 0.00022
résidus 10 2.26 0.2262
71

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7.7 Exercices
Exercice 7.1 (A faire en partie sous Excel, jeu de données data.exercice7.1.xls)
Les isotopes sont des éléments chimiques possédant un même nombre d’électrons et de protons mais
un nombre différent de neutrons, ce qui entraîne un nombre de masse particulier à chaque isotope. La
plupart des éléments ont plusieurs isotopes stables, par exemple 12C et 13C pour le carbone. On définit
le rapport isotopique d’un organisme
R −
Rref
"isotope le moins abondant"
par δ =
× 100 où R =
Rref
"isotope le plus abondant" =
12C pour le carbone et Rref est le
13C rapport d’une référence.
Dans la nature, la composition isotopique varie suivant les organismes. Elle peut varier suivant le
producteur primaire (par exemple les plantes terrestres qui effectuent leur photosynthèse à partir du
CO2 atmosphérique et les algues qui utilisent le carbone inorganique dissous dans l’eau n’auront pas
le même rapport isotopique en carbone), et suivant le niveau trophique (en général, le consommateur
est très légérement enrichi en isotope lourd par rapport à sa nourriture).
La composition des isotopes du carbone est connue comme étant assez stable suivant le niveau trophique
(on admettra par la suite qu’elle est indépendante du niveau trophique), beaucoup plus variable suivant
l’origine du producteur primaire.
On a échantillonné sur la Durance 71 poissons de l’espèce Chondrostoma nasus. Pour chaque individu
i on a calcule le rapport isotopique du carbone : yi, et mesuré sa taille xi.
1. Pour quelle raison a-t-on pu effectuer ces mesures ?
2. Représenter graphiquement les valeurs observées yi en fonction des tailles xi. Commenter le graphique.
3. Nous cherchons maintenant à modéliser le rapport isotopique du carbone en fonction de la taille
selon le modèle linéaire :
yi = a + b × xi + ɛi,
Dans l’équation précédente quels sont les termes qui sont aléatoires et ceux qui sont fixes ? Préciser
les suppositions associées au modèle.
4. On se propose maintenant d’estimer les paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés.
Calculer les estimations des paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés.
5. Ajouter au graphe précédent la droite de régression. Représenter pour une observation yi la contribution
due au modèle, et celle due au terme résiduel.
6. Donner les expressions de la somme des carrés des écarts totale (SCEt), la somme des carrés des
écarts dus à la régression (SCEr) et la somme des carrés des écarts résiduels (SCEr). Calculer sous
Excel les valeurs numériques correspondantes.
7. Quel est le pourcentage de la variance totale qui est expliqué par notre modèle ?
8. On se propose de tester :
(H0) b = 0
contre (H1) b = 0
72

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Donner sous (H0) la distribution de B, l’estimateur de b. En déduire la statistique de test. Quelle est
la conclusion du test?
9. Proposer une interprétation biologique de ce résultat.
10. On définit ˆyi = â × xi + ˆ b et êri = (yi − ˆyi)/s. Tracer les graphiques suivants :
• êri en fonction de ˆyi ;
• Un histogramme des êri
Quel est le but de chacun des graphes ? Commenter les résultats obtenus.
11. Sous Excel, vérifier que dans le menu Outil l’option Utilitaire d’analyse est bien affichée. Si
ce n’est pas le cas, cliquez sur macro complémentaire, cocher Utilitaire d’analyse et valider.
Effectuer la régression linéaire de y sur x. Interpréter les sorties du logiciel.
Exercice 7.2 Les données ci-dessous donnent, pour 14 années, le nombre de téléviseurs pour 1000
habitants (variable X) et le nombre de malades mentaux pour 1000 habitants (variable Y).
Année Nbre de téléviseurs Nbre de malades mentaux
pour 1000 habitants pour 1000 habitants
1970 13 8
1971 20 8
1972 23 9
1973 25 10
1974 27 11
1975 31 11
1976 36 12
1977 46 16
1978 55 18
1979 63 19
1980 70 20
1981 76 21
1982 81 22
1983 85 23
Tracer le graphe y en fonction de x. Proposer un modèle de régression linéaire expliquant y par x.
A-t-on le droit d’en conclure que le nombre de postes de télévision a une influence sur le nombre de
malades mentaux ?
On donne :
n
xi × yi = 1147,
i=1
n
xi = 651,
i=1
n
yi = 208,
i=1
73
n
i=1
x 2 i = 3490,
n
i=1
y 2 i = 38281.