DUMI2E - ANALYSE 3 CHAPITRE 2 - INTÉGRALES ... - Ceremade

DUMI2E - ANALYSE 3
CHAPITRE 2 - INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
BRUNO NAZARET
1. Introduction et premières définitions
Commençons par un état des lieux de nos connaissances sur l’intégrale. On sait
pour l’instant définir l’intégrale
b
f(x)dx
a
à l’aide d’une primitive de f lorsque
• a et b sont des réels.
• f : [a, b] → R est une fonction continue.
Ceci est malheureusement insuffisant dans beaucoup d’applications. Par exemple,
en calcul des probabilités, les valeurs des paramètres dont on calcule la probabilité
n’ont aucune raison d’être confinées à un ensemble borné. Il existe aussi un certain
nombre de cas, en particulier lorsque nous aborderons l’analyse de Fourier, où les
fonctions considérées peuvent être amenées à prendre des valeurs complexes. Le but
de ce chapitre est de généraliser la notion d’intégrale pour de telles fonctions.
Tout d’abord, faisons une remarque importante qui s’applique en général à chaque
fois que l’on veut étendre le domaine d’application d’un objet mathématique. Que
veut-on dire par ”généraliser” ? En fait, l’intégrale des fonctions possède certaines
propriétés que l’on désire conserver à travers cette extension de la théorie. En
particulier, on veut garder
• La linéarité :
(f + λg) =
f + λ
• La relation de Chasles :
c b c
f = f + f.
a
a
On veut de plus que la nouvelle définition coincide avec l’ancienne lorsque les bornes
a et b sont finies et la fonction f est continue à valeurs réelle sur l’intervalle [a, b].
1
b
g.

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Commençons par le plus facile, la généralisation aux fonctions qui prennent des
valeurs complexes.
Définition 1.1. Soit f : [a, b] → C une fontion. On note, pour tout x dans [a, b],
Rf(x) = Re(f(x)) et If(x) = Im(f(x)).
On suppose que les fonctions Rf et If sont continues sur [a, b]. On définit alors
l’intégrale de f sur [a, b] par
b b b
f(x)dx = Rf(x)dx + i If(x)dx.
Exemple: Prenons, pour tout x ∈ [0, π],
a
a
f(x) = e ix = cos(x) + i sin(x),
et calculons π
f(x)dx.
Par définition,
π
f(x)dx =
0
0
π
0
= [sin(x)] π
0
= 2i.
a
π
cos(x)dx + i sin(x)dx
0
+ i [− cos(x)]π
0
Exercice. Montrer que pour tout x ∈ R et λ = 0,
x
e iλt dt = 1 iλx
e − 1 ,
iλ
et retrouver le résultat précédent.
0
L’extension à un domaine non borné ou à une fonction non continue en un point
est bien moins aisée et nous occupera tout ce chapitre. On introduit en premier
lieu le concept d’intégrale généralisée. Le lecteur pourra remarquer que les résultats
de ce chapitre ressemblent beaucoup aux résultats sur les séries. Considérons une
fonction f : [a, b[→ R, continue sur [a, b[, avec a < b ≤ +∞.
Définition 1.2. On dit que l’intégrale de f sur [a, b] est convergente si et seulement
si, étant donnée une primitve F de f sur [a, b[, limx→b− F(x) existe. On note alors
b
a
f(x)dx = lim F(x) − F(a).
x→b− Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale diverge.

CHAP. 2 - INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 3
Remarque 1.3. Cette définition s’adapte de manière évidente au cas où le problème
se pose en la borne a.
La définition 1.2 couvre tous les cas que l’on voulait traiter. En effet, regardons
en premier lieu le cas où b < +∞. Il y a alors 2 possibilités. Tout d’abord, si f
admet une limite finie en b, alors f peut être prolongée par continuité en ce point
et de ce fait, l’intégrale n’est pas généralisée. Par exemple, prenons le cas de
sin x
f(x) = sur ]0, 1].
x
Il est bien connu que f peut être prolongé par continuité en 0 par la valeur 1.
On obtient donc une fonction continue sur l’intervalle [0, 1] dont l’intégrale est par
conséquent parfaitement définie par la théorie classique.
Ce n’est plus le cas si f tend vers une valeur infinie en b, et là, on doit vérifier
que la définition s’applique. On va étudier ici un exemple qui se révèlera important
par la suite. Soit α ∈ R et soit, pour tout 0 < x ≤ 1,
fα(x) = 1
xα. Pour tout α réel, la fonction est continue sur ]0, 1] et l’on a, pour tout x ∈]0, 1],
1
1 α−1
x − 1 si α = 1,
Fα(x) = fα(t)dt = 1 − α
x
− ln x si α = 1.
On en déduit la proposition suivante.
Proposition 1.4. (Intégrale de Riemann en 0) L’intégrale
1
dx
0 xα converge si et seulement si α < 1.
Exercice Calculer la valeur de l’intégrale précédente dans le cas où elle converge.
L’autre cas que nous voulions traiter dans ce chapitre est celui où b = +∞. On
reprend l’exemple précédent mais sur l’intervalle [1, +∞[ cette fois-ci. Après un
calcul analogue, il vient en notant cette fois-ci, pour x ≥ 1,
x
dt
Fα(x) =
1 tα,
1
d’où le résultat suivant.
lim
x→+∞ Fα(x) =
si α > 1,
α − 1
+∞ si α ≤ 1,

4 BRUNO NAZARET
Proposition 1.5. (Intégrale de Riemann en +∞) L’intégrale
+∞
dx
xα converge si et seulement si α > 1.
1
Remarque 1.6. Lorsque l’on interprète une intégrale en terme de l’aire (algébrique)
comprise entre la courbe représentative de la fonction et l’axe des abscisses, on voit
que la convergence de l’intégrale généralisée revient à se demander si cette portion
du plan, non bornée dans ce cas, admet une aire finie. D’autre part, il peut être
tentant de supposer que si une intégrale converge en +∞, alors la fonction ellemême
converge vers 0 (ce qui sera la cas pour les séries). Il n’en est rien !!. En
effet, prenons pour f la fonction définie sur [1, +∞[ de la manière suivante. Sur
chaque intervalle de la forme [n, n + 1], où n est un entier, la fonction f est affine
par morceaux et, pour tout x ∈ [n, n + 1],
⎧
4n
⎪⎨
f(x) =
⎪⎩
4
(x − n) si x ∈ n, n + 1
2n3
2n − 4n 4
x − n − 1
2n3
si x ∈ n + 1 1
2n3, n +
n3
0 si x ∈ n + 1
n3, n + 1 .
On a alors (Faire un dessin !)
N
N−1
n+1
N−1 1
f(x)dx = f(x)dx =
n2. 1
n=1
n
On a vu dans le chapitre sur les séries que cette suite admet une limite finie lorsque
N → +∞. Malgré tout, la fonction f ne tend pas vers 0 en +∞ puisque
f n + 1
2n3
= 2n −−−−→
n→+∞ +∞.
On a néanmoins le résultat suivant.
Proposition 1.7. Soit f : [a, +∞[→ R telle que l’intégrale de f sur [a, +∞[ soit
convergente. On suppose que f admet une limite en +∞. Alors, celle-ci vaut 0.
Preuve. Raisonnons par l’absurde en supposant que
λ = lim f(x) = 0.
x→+∞
n=1

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On peut supposer sans perdre en généralité que λ > 0 (considérer dans le cas
contraire −f au lieu de f). Par définition de la limite,
c’est-à-dire
∀ε > 0, ∃Aε ≥ a; ∀x ≥ Aε, |f(x) − λ| < ε,
λ − ε < f(x) < λ + ε.
On choisit ε = λ
2 . Ainsi, pour tout x ≥ Aε, f(x) ≥ λ
2
A
f(x)dx =
a
≥
Aε A
f(x)dx + f(x)dx
a
Aε
a
Aε
d’où, pour tout A ≥ Aε,
f(x)dx + λ
2 (A − Aε) −−−−→
A→+∞ +∞.
On obtient donc une contradiction avec l’hypothèse de convergence de l’intégrale de
f sur [a, +∞[.
A travers tous ces exemples, on voit que si l’on connaît une primitive de f, la
convergence de
b
f(x)dx
a
se ramène à l’examen d’une limite de fonction. Néanmoins, comme dans le cas
des séries, il n’est pas toujours possible d’exhiber une primitive. De nouveau, il
s’agit de trouver des critères portant sur la fonction f assurant la convergence ou la
divergence de l’intégrale.
Remarque 1.8. Tout ce qui a été présenté ici se généralise à l’aide de la formule
de Chasles à une fonction posédant un nombre fini de singularités. En effet, considérons
une fonction f :]a, b[→ R continue sur ]a, b[ sauf en un nombre fini de
points (ai)1≤i≤n. On écrira alors, au moins formellement, avec a0 = a et an+1 = b,
b
n
ai+1
f(x)dx = f(x)dx
a
k=0
et on dira que b
f(x)dx est convergente si et seulement si toutes les intégrales
a
ai+1
f(x)dx sont convergentes.
ai
La méthode se shématise ainsi:
• Repérer les points singuliers (±∞ inclus bien évidemment).
• Etudier la nature de l’intégrale au voisinage de chacun de ces points.
ai

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2. Intégrales des fonctions positives
Tout le paragraphe est basée sur la proposition suivante.
Proposition 2.1. Soit f : [a, b[→ R une fonction positive et continue sur [a, b[ et
soit, pour tout x ∈ [a, b[,
x
F(x) = f(y)dy.
a
Alors, l’intégrale de f sur [a, b] est convergente si et seulement si F est majorée sur
[a, b[.
Preuve. Soient x1 < x2 < b. Alors,
F(x2) − F(x1) =
=
x2 x1
f(y)dy − f(y)dy,
a
x2
a
f(y)dy.
x1
Or, x1 < x2 et f ≤ 0 sur [x1, x2] donc F(x2) ≥ F(x1). On en déduit que F est
croissante sur [a, b[ et admet donc une limite finie en b si et seulement si elle est
majorée sur [a, b[.
On peut en déduire directement un premier critère de convergence.
Théorème 2.2. Soient f, g : [a, b[→ R, deux fonction positives et continues sur
[a, b[. On suppose que
∀x ∈ [a, b[, f(x) ≤ g(x).
Alors,
• Si b
a g(x)dx converge, il en va de même pour b
a f(x)dx.
• Si b
a f(x)dx diverge, il en va de même pour b
a g(x)dx.
Preuve. La preuve est analogue à celle du critère de comparaison pour les séries
numériques, puisqu’une fois encore, l’inégalité entre f et g se transmet à leur primitive.
Exemples:
• On pose, pour tout x ∈ [0, +∞[,
f(x) = cos(x)2
.
1 + x2 f est une fonction continue et positive sur [0, +∞[ et, pour tout x ≥ 0,
f(x) ≤ 1
1 + x2.

CHAP. 2 - INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 7
Or, on connaît une primitive de cette dernière fonction. En effet, pour tout
X ≥ 0,
X
dx
π
= arctan X −−−−→
1 + x2 X→+∞ 2 .
0
Ainsi, l’intégrale de f sur [0, +∞[ est convergente.
• Soit, pour tout x ∈ [0, +∞[,
f(x) = 1
1 + x 3.
La fonction f est positive, continue sur [0, +∞[ et ∀x ≥ 1,
f(x) ≤ 1
x 3.
L’intégrale de cette dernière fonction est convergente sur [1, +∞[ d’après la
proposition 1.5, et il en va donc de même pour l’intégrale de f sur [1, +∞[.
On déduit finalement puisque f est continue sur [0, 1] que
+∞
f(x)dx
converge.
• Soit, pour tout x ∈ [0, +∞[,
0
f(x) = x2
1 + x 3.
De nouveau, f étant continue sur [0, 1], il suffit de regarder la nature de
l’intégrale sur [1, +∞[. On a, pour tout x ≥ 1, 1 + x 3 ≤ 2x 3 , donc
f(x) ≥ 1
2x .
La proposition 1.5 permet de conclure cette fois-ci à la divergence de l’intégrale
de f sur [1, +∞[ et donc sur [0, +∞[.
Remarque 2.3. Comme on a pu le voir dans les exemples précédents, il suffit
de vérifier les hypothèses des théorèmes qu’au voisinage des points qui posent un
problème.
Remarque 2.4. Tout ce qui a été dit dans cette section s’applique aussi à des
fonctions négatives, en appliquant les critères à la fonction −f.
On termine cette partie sur l’intégrale des fonctions positives en explicitant le lien
entre séries et intégrales généralisées.

8 BRUNO NAZARET
Proposition 2.5. Soit a > 0 et soit f : [a, +∞[→ R une fonction supposée continue,
positive et décroissante sur [a, +∞[. Alors,
+∞
f(n) et f(x)dx
sont de même nature.
n>a
La preuve est laissée en exercice (voir feuille de TD). Une application directe de ce
résultat combinée à la proposition 1.5 sur les intégrales de Riemann en +∞ permet
de montrer que la série
1
est convergente si et seulement si α > 1.
3. Un exemple classique : les intégrales de Bertrand
Théorème 3.1. L’intégrale
est convergente si et seulement si
⎧
⎨
⎩
+∞
2
a
n α
dx
(ln x) β x α
α > 1, β quelconque
ou
α = 1, β > 1.
Preuve. Remarquons tout d’abord que la fonction
1
x ↦→
(ln x) β xα étant continue sur [2, +∞[, le problème ne se situe qu’au voisinage de +∞. D’autre
part, cette fonction étant de surcroît positive, on va pouvoir utiliser le critère de
comparaison donné par le théorème 2.2, plus précisément avec les intégrales de
Riemann (voir proposition 1.5).
Supposons que α > 1. Alors, on peut trouver ε > 0 tel que α − ε > 1. Par les
résultats de croissances comparées, on sait que
lim
x→+∞ xε (ln x) β = +∞
et on en déduit que pour x suffisamment grand,
1
(ln x) β ≤ xε et donc
1
(ln x) β 1
≤
xα x α−ε.

Or, puisque α−ε > 1, l’intégrale +∞
pour +∞
2
dx
(ln x) β x α.
CHAP. 2 - INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 9
2
dx
xα−ε est convergente et il en va donc de même
A l’inverse, prenons α < 1 et remarquons que l’on peut toujours trouver ε > 0 tel
que α + ε < 1. En utilisant cette fois-ci que
lim
x→+∞
on obtient que pour x suffisamment grand,
ce qui entraine la divergence de +∞
2
x ε
= +∞, β
(ln x)
1
(ln x) β 1
≥
xα dx
(lnx) β x α.
x α+ε,
Reste à traiter le cas α = 1. Soit X ≥ 2. Alors, un changement de variables
permet de voir que
X ln X
dx dy
= .
β
2 x (ln x) ln 2 yβ Cette dernière intégrale admet une limite finie si et seulement si β > 1 (voir la
preuve de la proposition 1.5) d’où la conclusion.
Le cas des intégrales de Bertand en 0
1
2
est laissé à titre d’exercice.
0
dx
(ln x) β x α
4. Absolue convergence et fonctions intégrables
Comme pour les séries, on s’interesse à présent aux fonctions qui peuvent changer
de signe, en particulier celles qui oscillent autour de 0, ou qui sont à valeurs complexes.
On sait déja que, si f : [a, b] → R est continue sur [a, b], alors
b
f(x)dx
≤
b
|f(x)|dx.
a
Cette propriété se transmet en quelque sorte aux intégrales généralisées et conduit
à la notion de fonction intégrable.
Définition 4.1. Soit f : [a, b[→ R, continue sur [a, b[. On dit que l’intégrale de f
est absolument convergente sur [a, b[, ou encore que f est intégrable sur [a, b], si et
seulement si b
|f(x)|dx est convergente.
a
a

10 BRUNO NAZARET
Si une fonction f est intégrable sur [a, b], on note f ∈ L 1 (a, b). Autrement dit,
l’ensemble des fonctions intégrables sur [a, b] est noté L 1 (a, b).
Proposition 4.2. Si f ∈ L1 (a, b), alors l’intégrale de f sur [a, b] est convergente et
b
f(x)dx
≤
b
|f(x)|dx.
a
Comme le résultat sur les séries absolument convergentes, la preuve de cette proposition
repose sur un critère de Cauchy pour la limite d’une fonction que nous ne
présenterons pas ici. Dans la quasi-totalité des exemples que nous traiterons, les
intégrales seront absolument convergentes.
Exemple: Posons, pour x ∈ R,
f(x) = eitx
1 + x2. Cette fonction est continue sur R à valeurs dans C. Les deux points qui posent
problème pour l’intégrale sont donc ici −∞ et +∞. On a, pour tout x ∈ R,
|f(x)| =
e
itx
1 + x2
= |eitx | 1
=
1 + x2 1 + x2. Cette dernière fonction étant paire, il suffit de regarder son intégrale au voisinage
de +∞, et on a vu plus haut que celle-ci était convergente. On en déduit que f est
intégrable sur R.
Théorème 4.3. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b[. Si f et g sont
équivalentes au voisinage de b, alors
f ∈ L 1 (a, b) ⇐⇒ g ∈ L 1 (a, b).
Remarque 4.4. On rappelle que f et g sont équivalentes au voisinage de b signifie
que
lim
x→b− f(x)
= 1,
g(x)
ce qui suppose que g ne s’annule pas sur un intervalle de la forme ]b − ε, b[.
Preuve. Pour tout ε > 0, il existe η > 0, tel que, pour tout x ∈]b − η, b[,
||f(x)| − |g(x)|| ≤ |f(x) − g(x)| ≤ ε|g(x)|.
En prenant ε = 1,
et le η correspondant, on voit que
2
∀x ∈]b − η, b[,
1
3
|g(x)| ≤ |f(x)| ≤
2 2 |g(x)|.
On peut alors conclure à l’aide du critère de comparaison pour les intégrales de
fonctions positives.
a

CHAP. 2 - INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 11
Exemple: Considérons, pour tout x ∈ [0, +∞[,
f(x) =
x 2
2x 4 + 4x + 1 .
La fonction f est continue sur [0, +∞[, et il est facile de voir qu’au voisinage de
+∞, f est équivalente à
1
2x 2.
On en déduit que f est intégrable sur [0, +∞[.
5. Intégrales impropres
Cette fin de chapitre est consacrée à l’étude d’un cas où l’intégrale converge sans
pour autant être absolument convergente. Nous ne ferons pas d’étude générale de
ce type d’intégrales. Soit
f(x) =
sin x
, ∀x ∈]0, +∞[.
x
La fonction f est continue sur ]0, +∞[. On a donc 2 bornes à étudier, 0 et +∞.
Pour la première, en remarquant que
sin x
lim
x→0 x
= 1,
on voit que f est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 1, et donc l’intégrale
converge en 0.
Examinons la convergence de l’intégrale au voisinage de +∞. En premier lieu,
nous allons montrer que cette intégrale n’est pas absolument convergente. En effet,
soit n ∈ N, alors
(2n+1)π
1
| sinx|
dx =
x
2n
k=1
(k+1)π
kπ
| sin x|
dx ≥
x
n
(2k+1)π
k=1
2kπ
| sin x|
dx.
x
(L’inégalité précédente signifie qu’on ne prend qu’un terme sur deux dans la somme,
celui correspondant aux valeurs paires de k).
Sur un intervalle de la forme [2kπ, (2k + 1)π], on a
| sinx| = sin x.

12 BRUNO NAZARET
On en déduit que
(2n+1)π
1
| sinx|
dx ≥
x
≥
≥
n
(2k+1)π
sin x
2kπ x dx
n
(2k+1)π
1
sin xdx
(2k + 1)π 2kπ
n 1
(2k + 1)π [cosx]π
n 2 1
0 =
π 2k + 1 .
La divergence de la série harmonique permet alors de conclure.
Nous allons maintenant montrer que
1
k=1
k=1
k=1
+∞
sin x
1 x dx
est convergente. La méthode employée est très analogue à celle que l’on avait utilisée
lors de la preuve du critère d’Abel pour les séries semi-convergentes, et utilise une
intégration par parties. En effet, soit X ≥ 1, alors
X
sin x
cos x
X X
cosx
dx = − − dx,
x x 1 x2 = cos 1 − cosX
X −
La fonction cosinus étant bornée, on a
cosX
X −−−−→
X→+∞ 0,
1
1
X
1
k=1
cosx
dx.
x2 et, pour tout x ≥ 1,
cosx
x2
≤ 1
x2. Il s’ensuit que l’intégrale de
x ↦→ cosx
x2 est absolument convergente sur [1, +∞[ et donc convergente. On en déduit ainsi la
convergence de
+∞
sin x
x dx.