LICENCE Parcours Mathématiques L3 Télé-Enseignement - CMI

LICENCE Parcours Mathématiques L3 Télé-Enseignement
1 Présentation générale
CTES Université d’Aix-Marseille 1 2011-12
Envoi 0
La troisième étape de la licence ou L3 correspond essentiellement à l’ancienne année de Licence, mais
le contenu des enseignements et l’organisation des Unités d’enseignements (UE) ont été repensés
pour s’insérer dans le cadre de la réforme Licence-Master-Doctorat (LMD) en 2004 puis renouvelés
encore de 2007-08 à 20011-12 avec une nouvelle maquette demandée et approuvée par le Ministère.
Ces changements sont prévus tous les 4 ans dans le but d’une mise à jour des programmes et pour
permettre aussi une plus grande mobilité entre les universités européennes.
A partir de 2011-12 les UE du L3 changeront encore. Vos ECTS acquis seront conservés mais les
UE restantes à pour compléter votre L3 seront remplacées par des UE dites équivalentes (mais pas
toujours équivalentes dans le sens de leur programmes).
• Les UE d’ enseignement sont 9 UE dont une valant 12 ECTS et chacune des autres valant
6 ECTS, soit 60 ECTS par an. A titre indicatif, il est admis que dans le cadre du téléenseignement
les étudiant(e)s puissent passent 5 UE par an. Pour cette raison, le semestre a
été redéfini comme une période.
Il est fortement conseillé de s’inscrire seulement à un nombre d’UE qu’on a réellement le
temps de suivre activement tout au long de l’année, par exemple toutes les UE d’une même
période, et en remettant à chaque responsable d’UE les deux Devoirs de Contrôle Continu
correspondants (voir la section 5 : Contrôle des Connaissances).
Une UE de “Remise à Niveau de Mathématiques” (UE: RNM, ne donnant pas droit à des
ECTS) a été mise en place par le CTES pour les étudiants qui reprennent leurs études après
une longue interruption ou qui accèdent au L3 avec des lacunes importantes.
Pour les étudiants acceptés en L3 mais n’ayant pas une formation précédente de deux ans
de Maths il est souvent conseillé de s’inscrire en “auditeur libre” (sans obligation de passer
l’examen final)
Cette licence peut déboucher sur le Master 1, ensuite sur la préparation à des concours comme
le CAPES puis l’Agrégation de mathématiques, sur un recrutement en école d’ingénieur, ou encore
sur de la formation continue pour les ingénieurs voulant conforter leurs connaissances en
mathématiques.
Les 9 UE du L3 avec les UE des L1 et L2 donnent le diplôme “Licence de Mathématiques”.
Pour tout renseignement d’ordre administratif, dysfonctionnement dans la réception des documents,
s’adresser au
Secrétariat du CTES
Université d’Aix-Marseille 1
3, Place Victor Hugo
13331 Marseille Cedex 3
France
Tél. +33 (0)4 13 55 05 14 Fax : +33 (0)4 13 55 03 06
ctes@univ-provence.fr http://www.ctes.univ-provence.fr/
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Pour toute question concernant l’organisation des enseignements, contrôle des connaissances, équivalences
d’UE s’adresser au responsable des Mathématiques au CTES
Mr Claudio MUROLO
CMI Université d’Aix-Marseille 1
39, rue F. Joliot-Curie
13453 Marseille Cedex 13
France
murolo@cmi.univ-mrs.fr
Pour toute question concernant un cours précis s’adresser à l’enseignant responsable de l’UE (voir
ci-dessous).
2 UE proposées
Voici succintement le programme des UE proposées, quelques variations étant possibles.
PERIODE 5
• UE5-1: Topologie et Analyse 2 (12 Ects) :
Topologie des espaces métriques : distance, boules, ouverts, fermés, topologie. Complétude,
nombreux exemples. Exemples d’espaces vectoriels normés, normes équivalentes, espaces de
Banach, de Hilbert, théorème de Riesz. Compacité, connexité. Dans un evn, un ouvert connexe
est connexe par arcs. Théorèmes de point fixe, notion de partition de l’unité, existence
dans R n .
Construction du corps des nombres réels : méthode de complétion, des coupures de Dedekind.
Développement décimal illimité, développement en fractions continues.
Calcul Différentiel : Différentiabilité, différentielle, lien avec les dérivées partielles pour des
applications de R n dans R p . Fonctions de classe C k , interversion de l’ordre des dérivations
partielles, formule de Taylor. Opérateurs différentiels classiques : gradient, divergence, rotationnel.
Inégalité des accroissements finis, théorèmes d’inversion locale et des fonctions
implicites. Extrema et extrema liés (dans R3). Théorème de Cauchy–Lipschitz, inégalités de
Gronwall.
L’intégrale de Lebesgue dans R et R n : construction sans théorie abstraite de la mesure.
Fonctions intégrables, propriétés élémentaires de l’intégrale. Fonctions mesurables, ensembles
de mesure nulle. Théorèmes de convergence (monotone et dominée), intégrales à paramètre.
Inégalités de Cauchy–Schwarz, Holder, Minkowski, Jensen. Théorème de Fubini et du changement
de variables, intégration par parties dans R n (cas simples de Green–Riemann ou de la
divergence). Méthodes numériques et mise en œuvre sur machine. La mesure de Lebesgue.
Espaces L p et applications : définition des espaces L p , théorèmes de complétude et de densité.
Séries de Fourier, application à la résolution de certaines EDP classiques.
• UE5-2: Algèbre et Géométrie (6 Ects) :
Les groupes : groupe, sous-groupe, morphisme, noyau et image. Sous-groupe distingué, quotient.
Action d’un groupe sur un ensemble, orbite, stabilisateur. Théorème de Lagrange.
Groupe des automorphismes du groupe cyclique. Compléments sur les groupes : équation
aux classes, application aux groupes d’isométries de figures, aux groupes de permutations.
Commutateurs, abélianisation, groupes résolubles. Exemples.
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Compléments sur les espaces euclidiens et hermitiens : isomorphisme canonique avec le dual,
sommes directes orthogonales, dimension de l’orthogonal d’un sous-espace, projecteurs et
symétries orthogonales. Adjoint d’un endomorphisme, matrice associée dans une base orthonormale,
endomorphismes symétriques / antisymétriques. Produit vectoriel en dimension
3, expression dans une base orthogonale directe. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension
2 ou 3 : rotations, symétries, similitudes. Espaces hermitiens : sommes directes
orthogonales, projecteurs orthogonaux. Adjoint d’un endomorphisme, matrice associée dans
une base orthonormale. Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes. Groupes classiques
: rappels sur la réduction (réduction des endomorphismes symétriques, orthogonaux.
. .), forme de Jordan. Etude de propriétés topologiques et géométriques simples de quelques
groupes de matrices classiques (orthogonaux, spéciaux-linéaires, unitaires). Décomposition
de Jordan (Gauss), d’Iwasawa (LU).
• UE5-3: Géométrie des courbes et des surfaces (6 Ects) :
Courbes : courbes paramétrées dans l’espace euclidien (R 2 et R 3 ), reparamétrage, paramétrage
par longueur d’arcs. Repère de Frenet, courbures, classification à isométrie près des courbes
par leurs courbures. Exemples de courbes planes classiques. Isopérimétrie dans le plan,
intégrale de chemin. Courbes spatiales classiques.
Surfaces : surfaces paramétrées, surfaces intrinsèques, notion de sous-variété (tout est dans
R 3 ). Plan tangent, normale, champs tangents. Première et deuxième formes fondamentales,
courbures (principales, de Gauss moyenne). Theorema Egregium et formule de Gauss–Bonnet
(éventuellement sur des cas simples). Exemples de surfaces classiques. Géodésiques des
surfaces de révolution et invariant de Clairaut. Projections classiques de la cartographie,
courbes remarquables sur la sphère.
• UE5-4: Histoire et Epistémologie des Mathématiques (6 Ects) : L’histoire que nous
vous proposons dans ce cours est celle qui privilégie l’évolution de la pensée mathématique ;
le développement et la transformation des idées, des concepts internes à cette discipline. Le
fil d’Ariane qui traversera ce cours est l’idée épistémologique selon laquelle la connaissance
mathématique est le modèle de la pensée rationnelle et certaine. Mais si la mathématique ne
cesse pas de se transformer au cours de l’histoire, quelle signification faut-il donc accorder à
cette caractérisation qui se veut universelle et immuable ? Dans la tentative d´y répondre,
nous aborderons les thèmes suivants :
• La rationalité en Grèce ou l’émergence d’une pensée abstraite et démonstrative. La création
dans l’Antiquité Grecque de la démonstration mathématique - l’école ionienne et l’école de
Pythagore-. La raison selon Platon et Aristote. La constitution de la géométrie : les Éléments
d’Euclide
• La naissance de l’incertitude ou le problème du fondement des mathématiques au XIXème
siècle. Examen de la découverte des géométries non-euclidiennes et la constitution de la
théorie des ensembles infinis. Les modèles géométriques de Beltrami, Poincaré et Klein. Les
tentatives pour surmonter la crise des fondements : analyse du logicisme de Frege et Russell,
et du programme finitiste de Hilbert .
• La fécondité de l’échec. Les résultats négatifs de Gödel et de Turing au programme de
Hilbert et la constitution de l’informatique théorique.
• Certitudes mathématiques et démonstrations mécaniquement vérifiables. On se demandera
dans quel sens les logiciels assistants des preuves se conforment-ils à l’idéal axiomatique de
démonstration mathématique. Étude du théorème des quatre couleurs.
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PERIODE 6
• UE6-1: Analyse Complexe (6 Ects) :
Fonctions holomorphes : dérivabilité complexe, différentielle C-linéaire, Cauchy–Riemann,
conformalité. Propriétés algébriques élémentaires. Inversion locale. Fonctions analytiques.
Fonctions usuelles, racines, logarithmes. Chemins : intégration de 1-formes différentielles sur
des chemins de classe C1 par morceaux, propriétés, formule de Green–Riemann. Formules de
Cauchy : première et deuxième formules de Cauchy, inégalités de Cauchy, applications.
Analyticité : analyticité des fonctions holomorphes. Applications : principes du maximum,
zéros isolés, application ouverte. Suites de fonctions holomorphes : convergence uniforme sur
les compacts. Holomorphie de la limite, théorème d’Hurwitz.
Singularités et résidus : classification des singularités, théorème des résidus. Application au
calcul d’intégrales, calcul de sommes de séries.
Complément possible, la sphère de Riemann : définitions diverses (compactifié, projection
stéréographique, projective). Fonctions méromorphes, fractions rationnelles, groupe de Möbius.
Dérivée sphérique, familles normales et théorème de Marty. Complément possible, le disque
de Poincaré : lemme de Scwharz, groupe conforme, métrique invariante. Géométrie hyperbolique
du disque, modèle du demi-plan.
• UE6-2 : Probabilités et Statistiques 2 (6 Ects) :
Notions de base : axiomatique des probabilités, le triplet (Ω,A,P). Fonction de répartition
d’une probabilité sur R (cas discret et à densité). Variables aléatoires réelles : loi, espérance.
Conditionnement, indépendance : pour les événements, les variables, les tribus. Vecteurs
aléatoires : densité d’un vecteur aléatoire, martingales, transformations. Matrice de covariance,
indépendance. Sommes de v.a. indépendantes : inégalités de Markov, application
à la construction d’intervalles de confiance pour une moyenne. Lois faible et forte des
grands nombres, démontrées dans le cas de variables bornées. Récurrence et transience des
marches aléatoires sur Zd. Vecteurs gaussiens : fonction caractéristique, indépendance dans
les vecteurs gaussiens. Théorème de Cochran, énoncé du théorème de la limite centrale multidimensionnel.
Statistiques gaussiennes : échantillons gaussiens, estimateurs de la moyenne et
de la variance. Tests de Student et du chi 2.
• UE6-3 : Algèbre et Théorie des Nombres (6 Ects) :
Les anneaux : anneau intègre, idéal, quotient. Idéaux premiers, maximaux, caractérisation
par le quotient. Notion d’anneau principal, euclidien. Exemples. Compléments sur les
polynômes : polynômes à plusieurs indéterminées sur un anneau ou sur un corps, propriétés
élémentaires, dérivation partielle. Notions élémentaires d’élimination : discriminant
et résultant, déterminant de Sylvester, matrice compagnon. Relations entre les coefficients et
les racines d’un polynôme, algèbre des polynômes symétriques. Transformation de Tschirnhaus.
Notion de nombre algébrique, adjonction de racines pour les polynômes à coefficients
rationnels. Le corps C est algébriquement clos.
Arithmétique : forme matricielle de l’algorithme d’Euclide et développement en fractions
continues. Petit théorème de Fermat, calcul dans les corps finis Fp (et construction d’un
corps à 4 et 8 éléments), théorème de Wilson. Fonction d’Euler, propriétés, calcul dans les
cas simples, formule d’Euler pour la fonction zeta. Fonction de Moëbius et formule d’inversion.
Symbole de Legendre et loi de réciprocité quadratique.
Cryptographie et Cryptanalyse : notion de codage et de chiffrage. Méthodes élémentaires de
chiffrage, cryptanalyse par fréquences. Cryptographie à clé privée, méthodes DES et RSA.
Attaques de RSA. Implémentation sur machine.
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• UE6-4: Analyse Numérique: (6 Ects) :
Systèmes linéaires : normes induites sur l’espace des matrices, normes matricielles. Résolution
directe de systèmes linéaires : méthode de Gauss et Choleski. Conditionnement. Résolution
itérative : méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel. Systèmes non linéaires : points fixes par contraction,
monotonie, théorème de Brouwer. Méthodes de Newton et de Newton-Kantorovitch.
Optimisation : analyse mathématique de l’optimisation ; equation d’Euler, convexité et
optimisation, existence, unicité d’un minimum. Algorithmes de gradients à pas fixe, optimal,
variable. Algorithme du gradient conjugué. Optimisation sous contraintes d’égalités
(multiplicateurs de Lagrange), d’inégalités (théorème de Kuhn-Tucker).
Equations différentielles : rappels sur théorème de Cauchy-Lipschitz, les inégalités de Gronwall.
Méthode d’Euler explicite. Méthodes numériques à un pas. Notions de consistance, de
stabilité, d’ordre et de convergence d’un schéma numérique. Méthodes implicites. Schémas
de Runge-Kutta.
• UE6-5: Traîtement du Signal: (6 Ects) :
Notions de base : signaux, systèmes et leur modélisation mathématique. Exemple de problématiques
en traitement du signal. Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel :
utilisation des séries de Fourier, transformée de Fourier. Bases de Fourier locales. Bases et
repères dans les espaces des signaux.
Filtrage : utilisation de la transformée de Fourier et de la transformée de Laplace. Echantillonnage.
Quantification uniforme, adaptative et vectorielle : approximation d’une variable aléatoire à
densité par une variable aléatoire discrète. Application au codage des signaux.
3 Calendrier prévisionnel
Pour chaque période les cours, exercices, solutions et problèmes sont accessibles sur la plate-forme
du CTES par et répartis en 5 envois selon le calendrier suivant :
• Accès ou Envoi 1: semaines 42 et 43 de 2011 : 17 et 24 octobre 2011
• Accès ou Envoi 2: semaines 45 et 46 de 2011 : 7 et 14 novembre 2011
• Accès ou Envoi 3: semaines 49 et 50 de 2011 : 5 et 12 décembre 2011
• Accès ou Envoi 4: semaines 5 et 6 de 2012 : 1 et 6 Février 2012
• Accès ou Envoi 5: semaines 10 et 11 de 2012 : 5 et 12 Mars 2012
Les deux Devoirs de Contrôle Continus seront envoyés avec les envois 2e et 4e ou 3e et 5e.
Vous devez les remettre par courrier au nom des enseignants concernés à l’adresse suivante
Centre de Mathématiques et d’Informatique
Université d’Aix-Marseille
39, rue F. Joliot-Curie
13453 Marseille Cedex 13
France
Les examens auront lieu en juin (première session) et en Septembre (seconde session) le plus souvent
pendant la 1ère semaine complète du mois, soit dans les différents centres extérieurs, soit à Marseille,
dans les locaux de l’Université près de la gare St Charles. Chaque candidat recevra une convocation
personnelle.
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4 Relations entre étudiant(e)s et enseignant(e)s
Il est conseillé de communiquer avec les enseignants, par la plate-forme et par email. Dans ce cas
envoyez vos messages aussi aux adresses email du CMI des enseignants listés ci-dessous.
Il est important de poser des questions, demander des précisions, aussi bien sur le cours que les
exercices, aussi fréquemment que nécessaire.
Un étudiant expert ayant le rôle de votre tuteur est aussi à votre disposition pour répondre à toutes
vos questions sur la plateforme.
Un forum de discussions surveillé par le CTES sera ouvert dans chaque UE pour que les étudiants
d’une même UE classe (c.à.d. tous les inscrits à une même UE) puissent discuter entre eux du
cours, des exercices etc.... Le responsable d’UE et le tuteur pourront intervenir pour des précisions.
PERIODE 5 :
UE5-1: Topologie et Analyse 2 :
Mme M. Henry: Marie.Henry@cmi.univ-mrs.fr & M. Alexander Boricev: borichev@cmi.univ-mrs.fr
& Mme Victoria Paolantoni: victoria.paolantoni@univ-cezanne.fr
UE5-2: Algèbre et Géométrie :
Mr Pierre Derbez : derbez@cmi.univ-mrs.fr & Mr Daniel Matignon : matignon@cmi.univ-mrs.fr
UE5-3: Géométrie des courbes et des surfaces :
Mr Christophe Pittet : pittet@cmi.univ-mrs.fr
UE5-4: Histoire et Epistémologie des Mathématiques, :
Mme Norma Short : norma-claudia.short@up.univ-mrs.fr
PERIODE 6 :
UE6-1: Analyse Complexe : Mr Hassan Youssfi : youssfi@cmi.univ-mrs.fr
UE6-2 : Probabilités et Statistiques 2 : Mme Marina Talet : marina@cmi.univ-mrs.fr
UE6-3 : Algèbre et Théorie des Nombres :
Mme Nathalie Noirel: nathalie.noirel@free.fr & Mr Christophe Pittet : pittet@cmi.univ-mrs.fr
UE6-4: Analyse Numérique : Mme Raphaele Herbin : herbin@cmi.univ-mrs.fr
UE6-5: Traîtement du Signal : Mr. Kacem Saikouk : saik@cmi.univ-mrs.fr
RNM : Remise à niveau de Mathématiques : Mr Christophe Pittet : pittet@cmi.univ-mrs.fr
5 Contrôle des connaissances
Le Contrôle Continu d’une UE consiste en l’envoi de deux devoirs dont on prend la moyenne notée
CC. En notant E la note d’examen, la note finale d’une UE est obtenue par la formule
Note finale = max {E, (3E + CC)/4} .
Nous soulignons que le poids du CC est avec cette formule augmenté par rapport au passé ; par
contre tout devoir de CC non rendu sera normalement noté par zéro et empêchera alors la possibilité
d’améliorer votre note finale d’examen.
Le responsable et l’administration comptent beaucoup sur le fait que vous envoyiez tous vos DCC
Les épreuves d’examen durent 3 heures.
Toute UE pour laquelle la note est ≥ 10 est définitivement acquise et donne 6 ECTS.
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Déroulement de l’examen de l’UE Topologie Analyse 2 à 12 ECTS.
L’examen de l’UE Topologie Analyse 2 valant 12 ECTS se déroulera en deux séances partielles,
TA2A et TA2B de 3h chacune qui se tiendront dans la même journée (matin et après midi).
Chacune de ces deux séances concernera une moitié du programme comme pour une UE à 6 ECTS
(y compris pour la manière de fonctionner de ses deux DCC de chaque séance partielles). A la fin
il y aura une note finale unique d’examen donnée par la moyennne de ces deux notes partielles :
NFT A2 = 1/2 · (NFT A2A + NFT A2B) .
Il est admis la possibilité de garder une note partielle d’une de ces deux epreuves partielles de la
session 1 de juillet à la session 2 de septembre d’une même année académique. Par contre, avoir
obtenu une note supérieure à 10/20 sur une des deux séances sans avoir complètement validée à
la fin de l’année l’UE entière TA2 ne donnera droit ni à l’obtention d’ECTS ni à la possibilité de
garder la note pour l’année suivante.
L’UE TA2 pourrait aussi être vaidée complètement avec une note NFT A2 inférieure à 10/20 en
validant le semestre 5 par compensation avec les autres matières de la période 5. Pour cette raison
nous vous conseillons de concentrer vos efforts sur les UE d’un même semestre et de préparer l’ UE
Topologie Analyse 2 en commencant à la soutenir dès la session 1 de juin. De cette manière vous
aurez plus de possibilités de la valider complètement pour la fin de l’année.
Compensations.
Pour chaque période, l’étudiant(e) obtient une note Mi, i = 1, 2 obtenue en faisant la moyenne des
5 notes obtenues à chaque UE de la période (L’UE 5.1 ayant logiquement un poids double).
On obtient la période i lorsque Mi ≥ 10.
Pour cette raisons il vous convient de concentrer vos efforts sur des UE du même semestre !
Pour l’obtention du L3 1, il y a une compensation entre les notes Mi: le diplôme est obtenu si:
1
2 (M1 + M2) ≥ 10.
Après chaque session d’examens, les étudiant(e)s recevront un relevé de notes délivré par la division
de l’étudiant qui délivre également les diplômes. Aucun document officiel n’est donné par le CTES
et les notes communiquées aux étudiants après le jury par le secrétariat du CTES ou le président
du jury ne constituent pas une attestation officielle de réussite.
Inscriptions au Master 1. Nous accepterons pour inscription au Master 1-Maths par Télé-
Enseignement l’année suivante, tout étudiant du L3-Maths du CTES ayant validé au moins completement
la période 5 et au moins 18 crédits de la période 6 (laissant donc un défaut maximum
de 12 ECTS), sous conditions de les valider en priorité l’année suivante.
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LICENCE 3 - Parcours MATHEMATIQUES - TE
CALENDRIER des ENVOIS 2011-12
Envoi En Ligne: Date–Sem. UE Période 5 UE Période 6
Envoi 1 17/10/11–42 5-1 5-2 5-3 5-4
24/10/11–43 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
Envoi 2 7/11/11–45 5-1 5-2 5-3 5-4
14/11/11–46 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
Envoi 3 5/12/11–49 5-1 5-2 5-3 5-4
12/12/11–50 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
Envoi 4 1/2/2012–5 5-1 5-2 5-3 5-4
6/2/2012–6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
Envoi 5 5/3/2012–10 5-1 5-2 5-3 5-4
12/3/2012–11 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
UE Cours Enseignant(s)
UE5-1 Topologie et Analyse 2 Henry - Boricev - Paolantoni
UE5-2 Algèbre et Géométrie P. Derbez – D. Matignon
UE5-3 Géométrie des courbes et des surfaces Ch. Pittet
UE5-4 Histoire et Epistémologie des Mathématiques N. Short
UE6-1 Analyse Complexe H. Youssfi
UE6-2 Probabilités et Statistiques 2 M. Talet
UE6-3 Algèbre et Théorie des Nombre N. Noirel – Ch. Pittet
UE6-4 Analyse Numérique R. Herbin
UE6-5 Traîtement du Signal K. Saikouk
Responsable des Mathématiques : Claudio Murolo : murolo@cmi.univ-mrs.fr – 04.13.55.14.53
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