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ESTP – TP 1 - Cours de Résistance des Matériaux 

DEFINITIONS DEFINITIONS ET ET PRINCIPES PRINCIPES FONDAMENTAUX 

FONDAMENTAUX 

DE DE LA LA RDM RDM 

RDM 

1 OBJET DE LA RDM 2 

2 PRINCIPES DE LA STATIQUE 2 

2.1 Définition de l’équilibre statique 2 

2.1.1 Expression du torseur des actions, moment d’une force 2 

2.1.2 Systèmes de forces divers 3 

2.2 Les actions (ou forces extérieures) 4 

2.3 Les différentes natures d’appuis (ou liaisons) 4 

2.3.1 Appui simple glissant (système plan) 4 

2.3.2 Appui simple fixe (ou rotule ou articulation) 5 

2.3.3 Encastrement 7 

2.4 Différents types d’actions 8 

2.4.1 Charge ponctuelle 8 

2.4.2 Charges réparties 9 

2.4.3 Couple ponctuel 10 

3 ISOSTASTISME , HYPERSTASTISME 11 

3.1 Définition 11 

3.2 Exemples 11 

3.2.1 Structures isostatiques 11 

3.2.2 Structures hyperstatiques 11 

3.2.3 Mécanismes 12 

3.3 Hyperstaticité et sécurité 12 

4 METHODE DES COUPURES 15 

4.1 Principe 15 

4.2 Exemple 15 

4.3 Généralisation 15 

TP1 C01 Définitions et principes fondamentaux Page 1 sur 17 

cours disponible sur http://membres.lycos.fr/rdmestp


1 OBJET DE LA RDM 

La Résistance des Matériaux a pour objet l’étude de la stabilité et de la résistance des constructions. Elle 

constitue l’outil indispensable à l’ingénieur-constructeur pour concevoir et réaliser des ouvrages économiques 

qui ne risquent ni de se rompre ni de se déformer excessivement sous les actions qui leur sont appliquées 

(charges ou déformations imposées). 

Mots clés : 

Actions ; calcul des efforts la structure ; calculs des déformations ; matériaux. 

2 PRINCIPES DE LA STATIQUE 

On ne s’intéressera qu’aux structures supposées immobiles et en équilibre sous l’effet des différentes actions 

qui leur sont appliquées. En particulier, la dynamique des structures ne sera pas abordée. Nous verrons même 

plus loin que les actions doivent être appliquées aux structures de manière lente, progressive (application 

quasi-statique des charges). La résistance des matériaux fait donc en premier lieu appel à la Statique. 

2.1 Définition de l’équilibre statique 

Un solide est en équilibre s’il est soumis à un système de forces ou de couples formant un torseur nul, c’est à 

dire dont les composantes : 

de la résultante générale R 

et du moment résultant général Γ 

Le moment résultant général Γ comprend les couples appliqués au solide ainsi que les moments des forces, 

dont la valeur dépend du point d’application. 

2.1.1 Expression du torseur des actions, moment d’une force 

Le système ( R ; Γ ) est appelé torseur des actions ou des efforts. On pourrait penser que la composante en 

moment du torseur dépend du point où l’équilibre est exprimé car la résultante R exerce un moment variable en 

fonction du point considéré. 

En effet, si l’on suppose une force F appliquée en un point P, celle-ci exerce en un point A distinct de P un 

moment : 

M A 

= AP ∧ F 

Son intensité vaut MA = F.AP.sin( AP , F) 

=F.δ 

Le moment de la force en A est nul si la force F est nulle ou si le support de F passe par A. 

Le moment de la même force en un point B différent de A s’écrit : 

M B 

P 

= BP ∧ F = + BA ∧ F 

M A 

F 

δ 

A 

sont nulles 

Supposons que le solide est en équilibre sous l’action de forces Fi seules. Si l’on écrit l’équilibre de ce solide 

par rapport à un point A, il vient : 




∑ i 

∑ 

i 

i i 

F i = 0 et AP ∧ F = 0 

Ecrivons cet équilibre par rapport à un point B, il vient : 

∑ i 

∑ 

i 

i i 

F i = 0 et BP ∧ F = 0 

Or : ∑ BPi ∧ Fi 

= ∑ ( BA+ APi 

) ∧ Fi 

= BA ∧ ∑ Fi 

+ ∑ APi 

∧ Fi 

. 

i 

i 

Comme F i = 0 , ∑ BPi ∧ Fi 

= ∑ APi ∧ Fi 

. 

∑ i 

i 

i 

Propriété fondamentale : 

Le moment d’un système de forces en équilibre peut s’écrire en n’importe quel point. 

2.1.2 Systèmes de forces divers 

Les équations de la statique, qui expriment l’équilibre, sont au nombre : 

- de 6, pour une structure spatiale, soit, en prenant pour repère un repère orthonormé OXYZ : 

Rx = Ry = Rz = 0 ; Γx = Γy = Γz = 0 ; 

- de 3, pour une structure plane et chargée dans ce plan (OXY) : 

Rx = Ry = 0 ; Γz = 0 ; 

i 

- de 2, pour une structure plane droite de direction OX soumise à des forces parallèles à une même direction 

OY (exemple des forces de pesanteur) : 

Ry = 0 ; Γz = 0 ; 

y 

x 

Attention ! Nous verrons que dans les cas d’arcs et de portiques, qui se déploient dans 2 directions, cela n’est 

plus le cas : un système de forces verticales appliqué à un portique ou un arc pourra faire apparaître des 

réactions horizontales. 

L’écriture des équilibres se fait dans un repère dans lequel les forces et couples sont orientés. 

Γy 

Rz 

Γz 

Ry 

y 

Rx 

z 

Le choix des orientations est libre ; ce qui importe, c’est de se fixer une orientation et de la garder identique 

pour toutes les résultantes et tous les moments lors de l’écriture des équilibres. 


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i 

Γx 

x


2.2 Les actions (ou forces extérieures) 

Elles comprennent : 

- les charges permanentes : poids propre du solide, poids des superstructures d’un ouvrage (chaussée, trottoir, 

garde corps, canalisations, etc) ; 

- les charges variables : vent, véhicules, piétons, température, etc ; 

- des déformations ou déplacements imposés : gradient de température, tassement d’appui, etc ; 

- les réactions d’appui du solide qui, du point de vue du solide, sont des charges extérieures. Elles sont en 

général inconnues et peuvent se déduire de l’application du principe de la statique. 

2.3 Les différentes natures d’appuis (ou liaisons) 

Un système matériel est au contact d’autres solides (le sol, un massif de fondations, des piles de pont, etc) par 

l’intermédiaire de liaisons. Les appuis sont des obstacles, empêchant ou limitant la liberté de mouvement du 

système matériel en ces endroits. Tout mouvement entravé par la liaison entraîne l’apparition d’une réaction 

d’appui (ou action de liaison) dans la direction du mouvement gêné ou bloqué. 

A tout mouvement de translation entravé dans une direction donnée correspond une force de liaison 

ou action d’appui ayant cette direction ; 

A tout mouvement de rotation autour d’un axe donné entravé correspond un torseur de forces de 

liaison équivalent à un couple. Le vecteur représentatif du couple a pour support l’axe précité. 

Pour les systèmes plans, les mouvements possibles se ramènent à une rotation autour d’un axe normal au plan 

du système et à une translation dans une direction quelconque du plan, soit trois degrés de liberté. 

{R} 

{S} 

2.3.1 Appui simple glissant (système plan) 

Un solide S1 est en appui simple sur un solide S2, si le contact entre S1 et S2 est ponctuel et permet deux 

degrés de liberté de S1 par rapport à S2 : 

- une translation d’axe Ax : 

- une rotation d’axe Az. 

La réaction d’appui en A est donc perpendiculaire au plan tangent en A, seule son intensité suivant Ay est 

inconnue : 




[ R ] 

0 

VA 

0 

Représentation : 

L’appui simple glissant est représenté par le symbole suivant : 

La pointe du triangle symbolise le fait que l’appui est ponctuel, permettant ainsi la rotation autour de la pointe du 

triangle, tandis que les deux rouleaux signifient que ce dernier est glissant. 

Exemples d’appuis simples glissants (ou libres) : 

2.3.2 Appui simple fixe (ou rotule ou articulation) 

z 

A 

S1 

y 

S1 

Par rapport à l’appui simple glissant, l’appui simple fixe offre un degré de liberté en moins : l’appui est toujours 

ponctuel, mais il ne permet plus que la rotation, autour de l’axe Az, du solide S1 par rapport au solide S2. 

La réaction d’appui de S2 sur S1 a donc deux composantes, une horizontale et une verticale : 

S2 

Mouvements possibles de 

S1 par rapport à S2. 



S2 

x



L’appui simple fixe est représenté par les symboles suivants : 

S1 

S2 

[ R] 

HA 

VA 

0 

z 

L’appui simple fixe est appelé également rotule ou articulation, comme l’illustre le second dessin. 

Exemples d’appuis simples fixes (ou rotules ou articulation) 

Exemple d’application à grande échelle : la digue de Monaco 

A 

y 

S1 

S2 

S2 

La digue de Monaco est un caisson flottant en béton précontraint, de 400m de long environ, destiné à accroître 

les capacités portuaires et sécuriser le port de la Principauté. Cette digue est reliée à la terre par une liaison 

rotule. 

Vue aérienne de la digue en phase d’accostage 



S1 

Mouvement possible de 

S1 par rapport à S2. 

x


2.3.3 Encastrement 

Organes composant la rotule : à gauche côté terre ; à droite côte digue 

L’encastrement ne permet plus aucune degré de liberté de S1 par rapport à S2. La réaction d’appui de S2 sur S1 

a alors trois composantes : 

- une force horizontale HA suivant la direction Ax ; 

- une force verticale VA suivant la direction Ay ; 

- un couple CA d’axe Az. 


L’encastrement est représenté par le schéma suivant : 

S1 

S2 

[ ] R 

HA 

VA 

CA 

z 

A 

y 

S1 

S2 



x


Exemples d’appuis encastrés 

2.4 Différents types d’actions 

2.4.1 Charge ponctuelle 

C’est une charge unique appliquée en point de la structure et représentée par un vecteur. 

Unité : N, MN, t 

Exemple : camion roulant sur un pont. Le poids du camion se répartit sur les essieux, qui exercent des forces 

ponctuelles sur le pont : 

6 t 12 t 12 t 

A B 

4 m 3 m 9 m 4 m 

Calcul des réactions d’appuis : 

Σ Fv = 0 => VA + VB -30 = 0 

Σ M/A = 0 => -6x4 – 12x7 -12x16 + VBx20 = 0, soit VB = 15 t. On déduit alors VA = 15 t. 

Rem : Le groupe de charges ponctuelles peut être remplacé, pour l’écriture de l’équilibre général de la 

structure, par leur résultante positionnée au centre de gravité des trois charges. 

Position du centre de gravité par rapport à l’essieu de 6 tonnes : xg = 

12x 3 + 12x12 

30 

Le schéma du chargement précédent est donc équivalent au chargement suivant : 

30 t 

A B 

4 m 6 m 10 m 

= 6 m. 



z 

z 

y 

y 

x 

x


Ce schéma de chargement est symétrique, on déduit directement que VA = VB = 15 tonnes. 

Attention cependant ! le chargement équivalent n’est pas le chargement réel de la structure, il n’y a pas de 

charge ponctuelle au milieu de la poutre, ce n’est qu’un schéma statique ayant les mêmes résultantes et 

engendrant les mêmes réactions que le chargement réel. 

2.4.2 Charges réparties 

2.4.2.1 Charges uniformément réparties 

C’est une charge d’intensité constante qui s’applique sur une certaine étendue de la structure. 

Unité : MN/ml, N/ml, t/ml 

Exemple : vent appliqué sur la façade d’un immeuble : 

p = 100 daN/m² 

Ry = 1 MN 

y 

0,5H 

Ry 

L’immeuble est soumis à une pression due au vent, égale à p = 100 daN/m², uniformément répartie sur une 

façade de largeur B= 10m. Il en résulte une charge uniformément répartie d’intensité w = 1000 daN/ml 

appliquée à la tour, considérée encastrée sur ses fondations. 

Les réactions d’appuis sont données par les équations d’équilibre : 

H 

ΣFy = 0 => Ry – ∫ w x) 

dx 

0 

H 

ΣMz = 0 => C - ∫ 

0 

( = 0 , soit Ry - wH = 0, soit Ry = wH = 100 000 daN = 1 MN 

2 

2 

H H 

( = 0, soit C - w = 0 soit C = w = 5 000 000 daN.m = 50 MN.m 

2 

2 

w x). 

x. 

dx 

La charge uniformément répartie peut être remplacée, pour l’écriture de l’équilibre global de la structure, 

par une sa résultante R = wH située au barycentre de la charge soit l’abscisse H/2. Ces deux schémas de 

charges sont statiquement équivalents pour la détermination des réactions d’appuis. Ils ne le sont pas en ce qui 

concerne le comportement même de la tour, en particulier ce qui est « ressenti » à chaque étage : ainsi, dans le 

cas du deuxième cas (résultante ponctuelle située à mi-hauteur de la tour), les étages situés au dessus de la 

résultante ne sont pas soumis à des pressions, ce qui n’est pas le cas du 1 er cas. 

2.4.2.2 Charge répartie d’intensité variable 

x 

C 

B 

H = 100 m 

p = 100 daN/m² 

w = 1000 daN/ml 

Les charges réparties peuvent voir leur intensité varier le long de la structure sur laquelle elles s’appliquent. 

Exemple : immeuble soumis à une charge de vent triangulaire. 

Reprenons l’exemple précédent avec une pression nulle au niveau du sol et d’intensité p= 100 daN/m² au 

sommet : 



y 

y 

z 

z 

B 

B


L’écriture de l’équilibre de l’immeuble amène : 

H 

ΣFy = 0 => Ry – ∫ w x) 

dx 

0 

( =0 , soit Ry - wH/2 = 0, soit Ry = wH/2 = 50 000 daN = 0,5 MN 

H 

2 

2 

H H 

ΣMz = 0 => C - ∫ w ( x). 

x. 

dx =0 , soit C - w = 0, soit C = w = 3 333 333 daN.m = 33,3 MN.m 

3 

3 

0 

La charge triangulaire peut être remplacée, pour l’écriture de l’équilibre global de la structure, par une sa 

résultante R = wH/2 située au barycentre de la charge soit l’abscisse 2H/3. 

Conseil : lorsqu’une charge w est variable suivant une abscisse x, il importe en premier lieu d’établir la loi de 

variation w(x) de cette charge. 

2.4.3 Couple ponctuel 

Exemple : 

p = 100 daN/m² 

R=0,5wH 

y 

VA 

2/3H 

Ry 

H = 100 m 

Considérons une poutre de longueur L sur deux appuis simples soumise à un couple d’intensité C situé à 

l’abscisse a. 

L’écriture de l’équilibre de la poutre amène : 

ΣFy = 0 => VA + VB = 0 soit VA = - VB 

ΣMz / A = 0 => C +VB x L = 0 soit VB = - C/ L. On déduit alors que VA = + C/L. 

L 

C 

On remarquera que les réactions d’appuis ne dépendent pas, dans ce cas, de la position du couple. 

x 

C 

a b 



VB


3 ISOSTASTISME , HYPERSTASTISME 

3.1 Définition 

Considérons une structure plane, soumise à un chargement extérieur. Cette structure a des appuis qui ont au 

total r composantes de réactions, à déterminer. 

La structure étant plane, on dispose de 3 équations pour écrire l’équilibre global de la structure et donc 

déterminer les réactions d’appuis. 

Notons h = r -3. 

Si h = 0 alors la structure est dite isostatique, l’écriture des équations de la statique suffit seule à déterminer les 

réactions d’appuis. 

Si h> 0, la structure est dite hyperstatique d’ordre h ; l’écriture des équations d’équilibre ne suffit pas seule à 

déterminer les réactions d’appuis. Il faudra écrire d’autres équations. Nous verrons plus loin que ces équations 

supplémentaires seront trouvées en raisonnant sur les déformations de la structure. 

Si h< 0, la structure est un mécanisme, elle n’est pas stable. 

3.2 Exemples 

3.2.1 Structures isostatiques 

A B 

A 

A B 

3.2.2 Structures hyperstatiques 

Réactions : HA, VA, VB 



B 

Réactions : HA, VA, CA 

Réactions : HA, VA, VB 

h = 1 

h = 3 

h = 1


3.2.3 Mécanismes 

Ci-dessous des exemples de structures instables et de leur schéma cinématique. 

3.3 Hyperstaticité et sécurité 

Les structures fréquemment rencontrées, surtout dans le bâtiment, sont fortement hyperstatiques. Ainsi, un 

bâtiment à n poteaux encastrés à leur base possède un degré d’hyperstatisme égal à 6(n-1), dans le cas d’une 

structure non plane. 

Ce fort degré d’hyperstatisme est un facteur de sécurité : la disparition accidentelle d’un appui n’entraîne pas 

systématiquement la ruine totale du bâtiment, celle-ci peut n’être que locale. Pour exemple, lors de la tempête 

de fin décembre 1999, un des bâtiments du projet « Cœur Défense » a perdu un poteau à sa base par suite de 

l’effondrement d’une grue. Au lieu d’avoir des travées espacées de 8m, le bâtiment de 10 étages a dû franchir 

une portée double, de 16 m, au droit du poteau disparu. Le bâtiment ne s’est pourtant pas effondré ; les 

planchers des différents niveaux se sont affaissés : l’affaissement du premier niveau était de l’ordre de 10 cm 

au niveau du premier étage, au dernier étage il n’était que de quelques millimètres. La structure s’est adaptée, 

elle a adopté un autre comportement, en l’occurrence, un fonctionnement en poutre-échelle. 

Adaptation d’un portique complexe à la ruine d’un de ses appuis 

Une autre illustration de la sécurité amenée par une structure hyperstatique peut être trouvée dans le cas d’une 

poutre continue dont une travée est soumise au feu : supposons que le feu entraîne la ruine d’une travée, celleci 

a lieu en général vers le milieu de la travée. Mécaniquement, la ruine se traduit par le changement de la 

nature de la travée en cause ; d’une travée continue, elle passe à deux consoles en continuité avec les travées 

adjacente. La poutre continue devient ainsi un ensemble de deux poutres se terminant par des consoles. Cette 

structure est cependant encore stable, bien que son degré d’hyperstatisme soit moins élevé. 




Les figures ci-dessous donnent les déformations d’une poutre continue soumise à une charge uniformément 

répartie. Dans le premier cas, la structure est complète ; dans le second, la section au milieu de la poutre est 

soumise à la ruine, par le feu par exemple. Les allures des déformées sont bien sûr très différentes, la flèche au 

milieu est notamment bien plus importante dans le second cas. Néanmoins, malgré la ruine de la section 

médiane, la structure reste stable. 

Poutre soumise à une charge uniformément répartie. En vert : allure de la déformée 

Même poutre dont la section centrale est ruinée par le feu par exemple - déformée 

A l’inverse, une structure isostatique offre peu de sécurité en cas d’accident : une ruine locale peut entraîner la 

ruine de l’ensemble de la structure. L’exemple le plus simple peut être trouvé dans le cas d’une poutre sur deux 

appuis simples soumise au feu. La ruine d’une section quelconque de la poutre causée par le feu entraîne 

l’instabilité de toute la poutre et donc sa ruine. 

Un exemple récent est la ruine de la voûte de la jetée (hall d’embarquement) de l’aérogare Charles de Gaulle 

2 E . Cette voûte n’étant pas fortement hyperstatique, une ruine locale (un poinçonnement trop important au droit 

des bracons extérieurs) a entraîné une ruine de l’ensemble de la section de la voûte. 




Câble sous-tendeur 

Coque en béton 

Schéma de la section transversale de la voûte de la jetée de l’aérogare CDG 2 E 

Ruine de la section entraînant la ruine générale de la coque 

Point de rupture par 

poinçonnement de la voûte 

Braquon 

NB : ce dernier exemple est pris non pas pour dire que l’ouvrage a été mal conçu, mal dimensionné ou mal 

construit, mais pour illustrer le fait qu’une structure isostatique ou peu hyperstatique offre moins de sécurité en 

cas de rupture d’un appui ou d’une ruine locale. 




4 METHODE DES COUPURES 

4.1 Principe 

Le principe sur lequel repose cette méthode est le principe suivant lequel, pour un solide soumis à un 

chargement et en équilibre, toutes ses parties sont alors en équilibre. 

La méthode des coupures consiste, comme l’indique son nom, à procéder à une coupure fictive du solide pour 

faire apparaître des efforts internes. 

4.2 Exemple 

Considérons une poutre droite soumise à un chargement uniformément réparti. 

L’ équilibre de la structure implique pour les réactions d’appuis : 

VA = VD = pL/2. 

Isolons maintenant G,la moitié gauche de la structure. Celle-ci est en équilibre sous l’effet de : 

- la charge p qui lui est appliquée ; 

- la réaction d’appui VA ; 

- les actions exercées par D, la moitié droite de la structure. 

L’écriture de l’équilibre de G permet de déterminer les efforts exercés par D sur G : 

ΣFH = 0 => HD = 0 ; 

ΣFV = 0 => VA – pL/2 - VD = 0 => VD = 0 ; 

ΣM/O = 0 => -VA x L/2 + pL²/4 + CD = 0 => CD = pL²/8 . 

La méthode des coupures est très souvent employée, elle permet d’accéder aux efforts internes qui se 

développent dans une structure et de calculer les contraintes qui en résultent. 

4.3 Généralisation 

De manière plus générale, il est possible, selon le même procédé de mettre en évidence ces efforts internes 

dans toute section Σ d’abscisse x, en procédant à une coupure. 

Si l’on note N(x), T(x) et M(x) la projection sur les trois axes des actions de la partie Droite sur la partie Gauche 

et si l’on écrit l’équilibre de la partie gauche, on obtient alors : 

∑ 

∑ 

∑ 

F x 

A 

= 0 ⇒ −N 

( x) 

= 0 

= 0 ⇒ V − px − T ( x) 

= 0 

F A 

G D 

A O 

B 

VA 

y d’où T( x) 

= V A− px = p − px 

2 

x 

M / A = 0 ⇒ − p × −T 

( x). 

x + M ( x) 

= 0 

2 

G 

L 

2 

x 

M ( x p L − x 

2 

z d’où ) = ( ) 

Ces trois efforts sont appelés respectivement effort normal, effort tranchant et moment fléchissant. 

O 

p 



HD 

VD 

CD


rem : l’expression du moment aurait également être obtenue en écrivant l’équilibre des moments non pas par 

rapport au point A, mais par rapport à l’endroit où la coupure a été faite (plus exactement le centre de gravité de 

la section de coupure). Cette équation donne : 

∑ 

2 

x 

M / Σ = 0 ⇒ −V 

A × x + px × + M ( x) 

= 0 

2 

x 

M ( x p L − x 

2 

z d’où ) = ( ) . 

On obtient évidemment la même expression que précédemment. 

Il est alors possible de tracer les évolutions des trois composantes N(x), T(x) et M(x). Ces trois fonctions sont 

tracées séparément sur la structure. 

pL/2 

+ 

A 

A B 

G Σ 

D 

VA 

G 

x 

T(x) 

Evolution de N(x) 

O 

Evolution de T(x) 

Evolution de M(x) 

M max =pL²/8 

+ 

M(x) 

N(x) 



- 

-pL/2 

Pour bien tracer la fonction M(x), il convient d’étudier le signe de sa dérivée. 

p


dM ( x) 

dx 

pL 

2 

px 

T 

x 

Or, = − = ( ) . On généralisera par la suite ce résultat que la dérivée du moment fléchissant 

est l’effort tranchant. Il est donc conseillé de tracer en premier lieu les évolutions de l’effort tranchant, dont le 

signe nous permettra de tracer correctement les évolutions du moment fléchissant.

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