Les transparents de l'exposé. - Site de Florian HECHNER

4 La loi des grands nombres de Marcinkiewicz-Zygmund
4.1 Le cas scalaire
Theorème 4.1 :
Soit (Xk) une suite de copies indépendantes d’une variable aléatoire réelle
centrée X, et p ∈]1, 2[ fixé. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. La suite Sn
n1/p 2. E|X| p < +∞
converge presque sûrement vers 0.
Allan Gut a précisé la vitesse de convergence en montrant le résultat suivant
:
Theorème 4.2 :
Si Sn
n1/p Sn
converge presque sûrement vers 0, alors n1/p
est un amart relativement
à la filtration naturelle.
La suite Sn
n est-elle également une quasimartingale, à savoir la condition
est-elle vérifiée ?
n1
Contre-exemple 4.3 :
Soit X de loi symétrique telle que
1
n 1+1/pE|Sn| < +∞
∀t > 0, P(|X| p > t) = 1 [0,e 2 ](t) +
2 p e 2 ln 2
t(ln t) p (ln ln t) 1 ]e 2 ,+∞[(t).
Alors X est centrée et |X| p est intégrable, donc Sn
n1/p
est un amart. Cependant,
on montre que ce n’est pas une quasimartingale.
Pourtant il y a des situations simples où Sn
n est une quasimartingale, par
exemple si E(X2 ) < +∞.